Liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, algebraiczne, przestępne. Liczba transcendentalna. Fragment charakteryzujący liczbę transcendentalną

Ilja Szczurow

Matematyk Ilja Szczurow o ułamkach dziesiętnych, transcendencji i niewymierności liczby Pi.

W jaki sposób „jeden” pomógł w budowie pierwszych miast i wielkich imperiów? W jaki sposób zainspirowałeś wybitne umysły ludzkości? Jaką rolę odegrała w pojawieniu się pieniądza? Jak „jeden” połączył siły z zerem, aby rządzić współczesny świat? Historia jednostki jest nierozerwalnie związana z historią cywilizacji europejskiej. Terry Jones wyrusza w pełną humoru podróż, by złożyć w całość niesamowitą historię naszej liczby pierwszej. Wykorzystując w tym programie grafikę komputerową, jednostka ożywa w różnych formach. Historia jednostki wyjaśnia, skąd wzięły się współczesne liczby i jak wynalezienie zera uchroniło nas od konieczności używania cyfr rzymskich.

Jacques’a Sesiano

Niewiele wiemy o Diofantusie. Myślę, że mieszkał w Aleksandrii. Żaden z greckich matematyków nie wspomina o nim przed IV wiekiem, zatem żył prawdopodobnie w połowie III wieku. Najważniejsze dzieło Diofantosa, „Arytmetyka” (Ἀριθμητικά), miało miejsce na początku 13 „ksiąg” (βιβλία), czyli rozdziałów. Dziś mamy ich 10, a mianowicie: 6 w tekście greckim i 4 inne w średniowiecznym tłumaczeniu arabskim, których miejsce znajduje się pośrodku ksiąg greckich: księgi I-III w języku greckim, IV-VII w języku arabskim, VIII-X po grecku. „Arytmetyka” Diofantosa to przede wszystkim zbiór problemów, w sumie około 260. Prawdę mówiąc, nie ma żadnej teorii; są tylko ogólne instrukcje we wstępie książki oraz, jeśli zajdzie taka potrzeba, komentarze prywatne w niektórych problemach. „Arytmetyka” ma już cechy traktatu algebraicznego. Pierwsze użycie Diofantusa różne znaki wyrazić niewiadomą i jej potęgę, także obliczenia; jak cała algebraiczna symbolika średniowiecza, jej symbolika wywodzi się ze słów matematycznych. Następnie Diofant wyjaśnia, jak rozwiązać problem algebraicznie. Ale problemy Diofantosa nie są algebraiczne w zwykłym tego słowa znaczeniu, ponieważ prawie wszystkie sprowadzają się do rozwiązania nieokreślonego równania lub układów takich równań.

Georgy Szabat

Program zajęć: Historia. Pierwsze szacunki. Problem współmierności obwodu koła z jego średnicą. Nieskończone szeregi, iloczyny i inne wyrażenia na π. Konwergencja i jej jakość. Wyrażenia zawierające π. Sekwencje szybko zbiegające się do π. Nowoczesne metody obliczenia π, obsługa komputerów. O irracjonalności i transcendencji π i niektórych innych liczb. Aby zrozumieć kurs, nie jest wymagana żadna wcześniejsza wiedza.

Naukowcy z Uniwersytetu Oksfordzkiego twierdzą, że za najwcześniejsze znane użycie cyfry 0 do wskazania braku wartości miejsca (jak w przypadku liczby 101) należy uznać tekst indyjskiego rękopisu Bakhshali.

Wasilij Pispanen

Kto w dzieciństwie nie bawił się w grę „wymień największą liczbę”? Trudno już wyobrazić sobie w umyśle miliony, biliony i inne „-ony”, ale spróbujemy zrozumieć „mastodonta” w matematyce - liczbę Grahama.

Wiktor Kleptsyn

Liczbę rzeczywistą można przybliżyć z dowolną dokładnością za pomocą liczb wymiernych. Jak dobre może być takie przybliżenie w porównaniu z jego złożonością? Na przykład, łamiąc zapis dziesiętny liczby x w k-ta cyfra po przecinku otrzymujemy przybliżenie x≈a/10^k z błędem rzędu 1/10^k. I ogólnie, ustalając mianownik q ułamka aproksymującego, możemy dokładnie uzyskać przybliżenie z błędem rzędu 1/q. Czy można zrobić coś lepiej? Znane przybliżenie π≈22/7 daje błąd rzędu 1/1000 – czyli wyraźnie znacznie lepiej, niż można by się spodziewać. Dlaczego? Czy mamy szczęście, że π ma takie przybliżenie? Okazuje się, że dla każdej liczby niewymiernej istnieje nieskończenie wiele ułamków p/q, które przybliżają ją lepiej niż 1/q^2. To właśnie stwierdza twierdzenie Dirichleta – a kurs zaczniemy od jego nieco niekonwencjonalnego dowodu.

W 1980 roku Księga Rekordów Guinnessa powtórzyła twierdzenia Gardnera, jeszcze bardziej podsycając zainteresowanie opinii publicznej tą liczbą. Liczba Grahama jest niewyobrażalną liczbę razy większą niż inne dobrze znane duże liczby, takie jak googol, googolplex, a nawet większa niż liczba Skewesa i liczba Mosera. W rzeczywistości cały obserwowalny wszechświat jest zbyt mały, aby pomieścić zwykłą dziesiętną notację liczby Grahama.

Dmitrij Anosow

Wykłady prowadzi Dmitrij Wiktorowicz Anosow, doktor nauk fizycznych i matematycznych, profesor, akademik Rosyjskiej Akademii Nauk. Szkoła letnia„Współczesna matematyka”, Dubna. 16-18 lipca 2002

Nie da się poprawnie odpowiedzieć na to pytanie, ponieważ seria liczb nie ma górnej granicy. Zatem do dowolnej liczby wystarczy dodać jeden, aby otrzymać jeszcze większą liczbę. Chociaż same liczby są nieskończone, nie mają wielu nazw własnych, ponieważ większość z nich zadowala się nazwami złożonymi z mniejszych liczb. Oczywiste jest, że w ostatecznym zestawie liczb, któremu ludzkość nadała swoje imię, musi być jakiś największa liczba. Ale jak to się nazywa i czemu jest równe? Spróbujmy to rozgryźć i jednocześnie dowiedzieć się, jak wymyślili duże liczby matematycy.

Liczba transcendentalna

liczba (rzeczywista lub urojona), która nie spełnia żadnej równanie algebraiczne(Patrz równanie algebraiczne) ze współczynnikami całkowitymi. Zatem liczby liczbowe są kontrastowane z liczbami algebraicznymi (patrz liczba algebraiczna ). Istnienie T. ch. po raz pierwszy stwierdził J. Liouville (1844). Punktem wyjścia Liouville’a było jego twierdzenie, zgodnie z którym rząd aproksymacji ułamka wymiernego o danym mianowniku do danej niewymiernej liczby algebraicznej nie może być dowolnie wysoki. Mianowicie, jeśli liczba algebraiczna A spełnia nieredukowalne algebraiczne równanie stopnia N ze współczynnikami całkowitymi, to dla dowolnej liczby wymiernej c zależy tylko od α ). Jeżeli więc dla danej liczby niewymiernej α można podać nieskończony zbiór wymiernych przybliżeń, które nie spełniają danej nierówności dla żadnego Z I N(tak samo dla wszystkich przybliżeń), następnie α to T. h. Przykład takiej liczby daje:

Kolejny dowód na istnienie liczb T. podał G. Cantor (1874), zauważając, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny (czyli wszystkie liczby algebraiczne można zmienić numerację; patrz Teoria mnogości ), podczas gdy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest niepoliczalny.

Wynikało z tego, że zbiór liczb jest niepoliczalny, a ponadto liczby stanowią większość zbioru wszystkich liczb. Najważniejszym zadaniem teorii T. ch. jest sprawdzenie, czy wartości T. ch funkcje analityczne

, posiadający pewne właściwości arytmetyczne i analityczne dla wartości algebraicznych argumentu. Zagadnienia tego rodzaju należą do najtrudniejszych problemów współczesnej matematyki. W 1873 r. C. Hermite udowodnił, że liczba Nepero W 1882 r. niemiecki matematyk F. Lindemann uzyskał bardziej ogólny wynik: jeśli α jest liczbą algebraiczną, toα - Wynik T. h. Lipdemanna został znacząco uogólniony przez niemieckiego matematyka K. Siegela (1930), który udowodnił na przykład transcendencję wartości szerokiej klasy funkcji cylindrycznych dla wartości algebraicznych argumentu. W 1900 roku na kongresie matematycznym w Paryżu D. Hilbert wśród 23 nierozwiązanych problemów matematycznych wskazał, co następuje: jest liczbą przestępną α β , Gdzie α I β - liczby algebraiczne i β - liczba niewymierna, a w szczególności jest liczbą e π przestępną (zagadnienie transcendencji liczb postaci α β po raz pierwszy wystawiony w formie prywatnej przez L. Eulera, 1744). Pełne rozwiązanie tego problemu (w sensie twierdzącym) uzyskał dopiero w 1934 roku A. O. Gelfond u. W szczególności z odkrycia Gelfonda wynika, że ​​wszystkie logarytmy dziesiętne liczb naturalnych (tj. „logarytmy tabelaryczne”) są liczbami całkowitymi. Metody teorii liczb mają zastosowanie do szeregu problemów rozwiązywania równań na liczbach całkowitych.

Oświetlony.: Gelfond A. O., Liczby transcendentalne i algebraiczne, M., 1952.

Duży Encyklopedia radziecka. - M .: Encyklopedia radziecka. 1969-1978 .

Zobacz, co oznacza „liczba transcendentalna” w innych słownikach:

Liczba, która nie spełnia żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Liczby transcendentalne to: liczba??3,14159...; logarytm dziesiętny dowolnej liczby całkowitej, która nie jest reprezentowana przez jedynki i zera; liczba e=2,71828... i inne... Duży Słownik encyklopedyczny

- (od łac. transcendere – przekroczyć, przekroczyć) to jest realne lub liczba zespolona, która nie jest algebraiczna, innymi słowy liczba, która nie może być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych. Spis treści 1 Właściwości 2 ... ... Wikipedia

Liczba, która nie spełnia żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Liczby transcendentalne to: liczba π = 3,14159...; logarytm dziesiętny dowolnej liczby całkowitej niereprezentowanej przez jedynki i zera; liczba e = 2,71828... itd... Słownik encyklopedyczny

Liczba, która nie spełnia żadnej algebry. równanie ze współczynnikami całkowitymi. W tym: liczba PI = 3,14159...; logarytm dziesiętny dowolnej liczby całkowitej niereprezentowanej przez jedynki i zera; liczba e = 2,71828... itd... Nauki przyrodnicze. Słownik encyklopedyczny

Liczba, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Dziedziną definicji takich liczb są zera liczb rzeczywistych, zespolonych i radykalnych. Istnienie i jednoznaczne konstrukcje części rzeczywistych potwierdził J. Liouville... ... Encyklopedia matematyczna

Równanie, które nie jest algebraiczne. Zazwyczaj są to równania zawierające funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, odwrotne funkcje trygonometryczne, na przykład: Bardziej ścisła definicja to: Równanie przestępne to równanie… Wikipedia

Liczba w przybliżeniu równa 2,718, często spotykana w matematyce i nauki przyrodnicze. Na przykład, gdy substancja radioaktywna rozpada się po czasie t, z początkowej ilości substancji pozostaje ułamek równy ek kt, gdzie k jest liczbą,... ... Encyklopedia Colliera

E jest stałą matematyczną, podstawą logarytmu naturalnego, liczbą niewymierną i przestępną. Czasami liczba e nazywana jest liczbą Eulera (nie mylić z tzw. liczbami Eulera pierwszego rodzaju) lub liczbą Napiera. Oznaczone małą literą łacińską „e”.... ... Wikipedia

E jest stałą matematyczną, podstawą logarytmu naturalnego, liczbą niewymierną i przestępną. Czasami liczba e nazywana jest liczbą Eulera (nie mylić z tzw. liczbami Eulera pierwszego rodzaju) lub liczbą Napiera. Oznaczone małą literą łacińską „e”.... ... Wikipedia

Słowo „transcendentalny” zwykle kojarzy się z medytacją transcendentalną i różnymi ezoteryzmami. Ale żeby go poprawnie używać, trzeba przynajmniej odróżnić go od terminu „transcendentalny”, a co najwyżej pamiętać jego rolę w dziełach Kanta i innych filozofów.

Pojęcie to wywodzi się z łacińskiego transcendens – „przekraczanie”, „przewyższanie”, „wykraczanie poza”. Ogólnie rzecz biorąc, oznacza coś, co jest zasadniczo niedostępne wiedzy empirycznej lub nie opiera się na doświadczeniu. Przesłanki dla tego terminu powstały w filozofii neoplatonizmu – założyciel ruchu, Plotyn, stworzył doktrynę Jednego – pierwszej zasady wszechdobrej, której nie można poznać ani wysiłkiem myśli, ani za pomocą zmysłów doświadczenie. „Jeden nie jest bytem, ​​ale jego rodzicem” – wyjaśnia filozof.

Termin „transcendentny” najpełniej ujawnił się w filozofii Immanuela Kanta, gdzie zaczęto nim charakteryzować te, które istnieją niezależnie od świadomości i działają na nasze zmysły, a jednocześnie pozostają zasadniczo niepoznawalne zarówno w praktyce, jak i w teorii. Przeciwieństwem transcendencji jest: oznacza ona albo niezbywalność, wewnętrzne powiązanie jakiejkolwiek jakości przedmiotu z samym przedmiotem, albo poznawalność przedmiotu na osobiste doświadczenie. Jeśli na przykład założymy, że Wszechświat został stworzony według jakiegoś wyższego planu, to sam plan jest dla nas transcendentalny – możemy na jego temat budować jedynie hipotezy. Ale jeśli ten plan istnieje w rzeczywistości, jego konsekwencje są dla nas immanentne i przejawiają się w prawa fizyczne i okoliczności, w jakich się znaleźliśmy. Dlatego w niektórych koncepcjach teologicznych Bóg jest transcendentalny i znajduje się poza istnieniem, które stworzył.

Niektóre rzeczy same w sobie są nadal dostępne wiedzy apriorycznej: na przykład przestrzeń i czas, idee Boga, dobro i piękno, kategorie logiczne. Oznacza to, że obiekty transcendentalne są, mówiąc w przenośni, „domyślnie ustawione” w naszym umyśle

Pojęcie transcendencji istnieje również w matematyce: liczba przestępna to liczba, której nie można obliczyć za pomocą algebry ani wyrazić algebraicznie (to znaczy nie może być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, który nie jest identyczny z zerem). Należą do nich na przykład liczby π i e.

Pojęciem bliskim „transcendentalnego”, ale różniącym się znaczeniem, jest „transcendentalny”. Początkowo oznaczał po prostu obszar abstrakcyjnych kategorii mentalnych, później został rozwinięty przez Kanta, wpadając we własną pułapkę: okazało się, że niemożliwe jest zbudowanie systemu filozoficznego wyłącznie na danych empirycznych, a on nie uznawał żadnych inne źródła doświadczeń niż empiryczne. Aby się wydostać, filozof musiał przyznać, że pewne rzeczy same w sobie są nadal dostępne wiedzy apriorycznej: na przykład przestrzeń i czas, idee Boga, dobro i piękno, kategorie logiczne. Oznacza to, że przedmioty transcendentalne są, mówiąc w przenośni, „domyślnie zainstalowane” w naszym umyśle - podczas gdy informacje o nich istnieją same i nie wynikają z naszego doświadczenia.

Istnieje jeszcze jedno powiązane pojęcie – transcendencja. W najszerszym znaczeniu tego słowa oznacza przejście granicy pomiędzy dwoma odrębnymi obszarami, zwłaszcza przejście ze sfery tego świata do sfery nieziemskiej, transcendentnej. Dla uproszczenia weźmy przykład z science fiction: świat równoległy Dla zwykła osoba- zjawisko transcendentalne. Kiedy jednak bohater znajdzie się w tym równoległym świecie lub w jakiś sposób jest w stanie go dostrzec, jest to transcendencja. Albo bardziej złożony przykład z filozofii egzystencjalnej: Jean-Paul Sartre wierzył, że człowiek jest transcendentny, ponieważ wykracza poza wszelkie możliwe osobiste doświadczenia: możemy badać siebie i otaczający nas świat z różnych punktów widzenia, ale nigdy nawet nie zbliżymy się do pełnej wiedzy się. Ale jednocześnie człowiek ma zdolność transcendowania: przekracza każdą rzecz, nadając jej jakieś znaczenie. Transcendencja jest ważnym elementem religii: pomaga człowiekowi uwolnić się od swojej materialnej natury i dotknąć czegoś poza nią.

Z filozofii koncepcja transcendentalności przeniosła się do psychologii: szwajcarski psycholog Carl Jung wprowadził pojęcie „funkcji transcendentalnej” - jest to funkcja, która łączy świadomość i nieświadomość. W szczególności psychoanalityk może pełnić funkcję transcendentalną - pomaga pacjentowi analizować obrazy nieświadomości (na przykład sny) i łączyć je ze świadomymi procesami zachodzącymi w jego psychice.

Jak mówić

Niepoprawnie „Zapisałem się na zajęcia z medytacji transcendentalnej”. Zgadza się – „transcendentalny”.

Poprawnie „Kiedy wchodzę do świątyni, doświadczam uczucia połączenia z czymś transcendentalnym”.

Słusznie „Sztuka wykracza poza znane przedmioty ze świata materialnego, napełniając je wyższym znaczeniem”.

Liczba transcendentalna- liczba zespolona, ​​która nie jest algebraiczna, to znaczy nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o wymiernych współczynnikach.

Istnienie liczb przestępnych po raz pierwszy stwierdził J. Liouville w 1844 r.; Skonstruował także pierwsze przykłady takich liczb. Liouville zauważył, że liczb alebraicznych nie można „zbyt dobrze” przybliżyć liczbami wymiernymi. Mianowicie twierdzenie Liouville’a stwierdza, że ​​jeśli liczba algebraiczna jest pierwiastkiem wielomianu stopnia o współczynnikach wymiernych, to dla dowolnej liczby wymiernej zachodzi nierówność:

gdzie stała zależy tylko od. Z tego stwierdzenia wynika wystarczające dowody transcendencja: jeśli liczba jest taka, że ​​dla dowolnej stałej istnieje nieskończony zbiór liczb wymiernych spełniających nierówności

to jest transcendentalne. Następnie takie liczby nazwano liczbami Liouville'a. Przykładem takiej liczby jest

Kolejny dowód na istnienie liczb przestępnych uzyskał G. Cantor w 1874 r. na podstawie stworzonej przez siebie teorii mnogości. Cantor udowodnił, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny, a zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny, co oznacza, że ​​zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny. Jednakże w odróżnieniu od dowodu Liouville’a argumenty te nie pozwalają na podanie przykładu przynajmniej jednej takiej liczby.

Praca Liouville'a dała początek całemu działowi teorii liczb przestępnych - teorii aproksymacji liczb algebraicznych przez liczby wymierne lub, szerzej, algebraiczne. Twierdzenie Liouville'a zostało wzmocnione i uogólnione w pracach wielu matematyków. Umożliwiło to skonstruowanie nowych przykładów liczb przestępnych. Zatem K. Mahler pokazał, że jeśli jest to niestały wielomian, który przyjmuje wartości całkowite nieujemne dla wszystkich liczb naturalnych, to dla dowolnej liczby naturalnej, gdzie jest liczbą zapisaną w systemie liczb podstawowych, jest przestępna, ale jest nie jest to numer Liouville’a. Na przykład za pomocą i otrzymujemy następujący elegancki wynik: liczba

transcendentalna, ale nie liczba Liouville'a.

W 1873 r. C. Hermite, posługując się innymi pomysłami, udowodnił transcendencję liczby Nepera (podstawy logarytmu naturalnego):

Rozwijając idee Hermite’a, F. Lindemann w 1882 roku udowodnił transcendencję liczby, kładąc tym samym kres starożytnemu problemowi kwadratury koła: przy pomocy kompasu i linijki nie da się zbudować kwadratu o równej wielkości (tzn. mające tę samą powierzchnię) do danego okręgu. Mówiąc bardziej ogólnie, Lindemann wykazał, że dla dowolnej liczby algebraicznej liczba jest przestępna. Równoważne sformułowanie: dla dowolnej liczby algebraicznej innej niż i jej logarytm naturalny jest liczbą przestępną.

W roku 1900 na Kongresie Matematyków w Paryżu D. Hilbert wśród 23 nierozwiązanych problemów matematycznych wskazał następujące, sformułowane w szczególnej formie przez L. Eulera:

Pozwalać I są liczbami algebraicznymi, oraz nadzmysłowy? W szczególności, czy liczby są transcendentalne? I?

Problem ten można przedstawić w następującej formie, zbliżonej do pierwotnego sformułowania Eulera:

Pozwalać I - liczby algebraiczne inne niż a ponadto stosunek ich logarytmów naturalnych irracjonalny. Czy będzie numer nadzmysłowy?

Pierwsze częściowe rozwiązanie problemu uzyskał w 1929 roku A. O. Gelfond, który w szczególności udowodnił transcendencję liczby. W 1930 roku R. O. Kuzmin udoskonalił metodę Gelfonda, w szczególności udało mu się udowodnić transcendencję liczby. Pełne rozwiązanie problemu Eulera-Hilberta (w sensie twierdzącym) uzyskali w 1934 roku niezależnie A. O. Gelfond i T. Schneider.

A. Baker w 1966 r. uogólnił twierdzenia Lindemanna i Gelfonda-Schneidera, udowadniając w szczególności transcendencję iloczynu dowolnej skończonej liczby liczb w postaci i algebraicznych w warunkach naturalnych ograniczeń.

W 1996 r Yu.V. Nesterenko udowodnił algebraiczną niezależność wartości szeregu Eisensteina, a w szczególności liczb i. Oznacza to przekroczenie dowolnej liczby postaci, w której niezerowa funkcja wymierna ma współczynniki algebraiczne. Na przykład suma szeregu będzie przestępna

W latach 1929-1930 K. Mahler w szeregu prac zaproponował nową metodę udowadniania transcendencji wartości funkcji analitycznych spełniających równania funkcyjne pewnego typu (później funkcje takie nazwano funkcjami Mahlera).

Metody teorii liczb przestępnych znalazły zastosowanie w innych gałęziach matematyki, w szczególności w teorii równań diofantyny.