30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина: Если C – замкнутая граница области D и функции P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными первого порядканепрерывны в замкнутой области D (включая границу C), то справедлива формула Грина:, причем обход вокруг контура C выбирается так, что область D остается слева.

Из лекций: Пусть заданы функции P(x,y) и Q(x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D: . Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.

Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точки M1 и M2, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является равенство:.

.

31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

– задание поверхности.

Спроектируем S на плоскость xy, получим область D. Разобьём область D сеткой линий на части, называемые Di. Из каждой точки каждой линии проведём параллельные z линии, тогда и S разделится на Si. Составим интегральную сумму: . Устремим максимум диаметра Di к нулю:, получим:

Это поверхностный интеграл первого рода

Так считается поверхностный интеграл первого рода.

Определение вкратце. Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S на элементарные участки Si и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого рода.

При переходе от переменных x и y к u и v:

Поверхностный интеграл обладает всеми свойствами обычного интеграла. См. в вопросах выше.

Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L (рис. 3.10). Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур L, не имеющий общих точек с границей L. В точке М контура L можно восстановить две нормали ик поверхности S. Выберем какое-либо одно из этих направлений. Обводим точку M по контуру L с выбранным направлением нормали.

Если в исходное положение точка M вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности. Двусторонней поверхностью является всякая гладкая поверхность с уравнением .

Пусть S – двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева. Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.

Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.

Пусть R(x,y,z) – функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n "элементарных" участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек. На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть (ΔSi)xy – площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком "+", если нормаль к поверхности S в точке Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) образует с осью Oz острый угол, и со знаком "–", если этот угол тупой. Составим интегральную сумму для функции R(x,y,z) по поверхности S по переменным x,y: . Пусть λ – наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n).

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции R(x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается.

Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z или у, z по соответствующей стороне поверхности, т. е. и.

Если существуют все эти интегралы, то можно ввести "общий" интеграл по выбранной стороне поверхности: .

Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

Пусть поверхность S задана уравнением: z = f(x,y), причем f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) - непрерывные функции в замкнутой области τ (проекции поверхности S на координатную плоскость Оху), а функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности S. Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ, выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда .

Для общего случая имеем:

=

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N . Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D , в которой целиком лежит кривая L . Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L , а только от расположения точек M и N .

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN , лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

М N Рис. 1. P

Предположим, что , то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Теорема 1. Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и . Тогда для того, чтобы для любого замкну-того контура L , лежащего в области D , выполнялось условие

Необходимо и достаточно, чтобы = во всех точках области D .

Доказательство .

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкну-тый контур L в области D , ограничивающий область S , и напишем для него формулу Грина:

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие выполнено в каждой точке области D , но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой - ≠ 0. Пусть, например, в точке P(x 0 , y 0) - > 0. Так как в левой части неравенства стоит непре-рывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0 в некоторой малой области D` , содержащей точку Р . Следовательно,

Отсюда по формуле Грина получаем, что , где L` - контур, ограничивающий область D` . Этот результат противоречит условию . Следовательно, = во всех точках области D , что и требовалось доказать.

Замечание 1 . Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

Замечание 2. При выполнении условий (28/1.18) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и . Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

где (x 0 , y 0 , z 0) – точка из области D , a C – произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и , заданной формулой (28/1.19), равны P, Q и R .

2-го рода от пути интегрирования

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода, где L - кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MSN и MTN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.14).

Предположим, что, то есть

где L - замкнутый контур, составленный из кривых MSN и NTM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Теорема 5 (теорема Грина). Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и. Тогда для того, чтобы для любого замкнутого контура L, лежащего в области D, выполнялось условие

необходимо и достаточно, чтобы = во всех точках области D.

Доказательство.

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой - ? 0. Пусть, например, в точке P(x0, y0) имеем: - > 0. Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, она будет положительна и больше некоторого? > 0 в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,

Отсюда по формуле Грина получаем, что

где L` - контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию. Следовательно, = во всех точках области D, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

Замечание 2. При выполнении условий (52) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

где (x0, y0, z0) - точка из области D, a C - произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (53), равны P, Q и R.

Пример 10.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

по произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).

Убедимся, что выполнены условия (52):

Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (53), положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда

Таким образом, функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz. Следовательно,

От пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N . Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D , в которой целиком лежит кривая L . Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L , а только от расположения точек M и N .

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN , лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

Q

М N Рис. 1.

Предположим, что , то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Билет №34 . Поверхностный интеграл первого род(по площади поверхности).Приложения(масса материальной поверхности, координаты центра тяжести, моменты, площадь искривленной поверхности).

Рассмотрим незамкнутую поверхность S , ограниченную контуром L , и разобьем ее какими-либо кривыми на части S 1 , S 2 ,…, S n . Выберем в каждой части точку M i и спроектируем эту часть на касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку. Получим в проек-ции плоскую фигуру с площадью T i . Назовем ρ наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S .

Определение 12.1. Назовем площадью S поверхности предел суммы площадей T i при

Поверхностный интеграл первого рода.

Рассмотрим некоторую поверхность S , ограниченную контуром L , и разобьем ее на части S 1 , S 2 ,…, S п (при этом площадь каждой части тоже обозначим S п ). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S i точку M i (x i , y i , z i) и составим интегральную сумму

. (12.2)

Определение 12.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы (12.2), не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M i , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функ-ции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).

Геометрический и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.

Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 12.2 следует, что равен площади рассматриваемой поверхности S.

. (12.4)

Приложение поверхностного интеграла 1-го рода.

1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой z = f(x, y) , можно найти в виде:

(14.21)

(Ω – проекция S на плоскость Оху ).

2. Масса поверхности

(14.22)

3. Моменты:

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy , Oxz , Oyz ;

Моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

Моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

- (14.26)

Момент инерции поверхности относительно начала координат.

4. Координаты центра масс поверхности:

. (14.27)

Билет №35. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода(сведение его к кратному).

Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом, то есть уравне-нием вида z = φ(x, y) . При этом из определения площади поверхности следует, что

S i = , где Δσ i – площадь проекции S i на плоскость Оху , а γ i – угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в точке M i . Известно, что

,

где (x i , y i , z i) – координаты точки M i . Cледовательно,

Подставляя это выражение в формулу (12.2), получим, что

,

Где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху , являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.1).

S: z=φ(x,y)

Δσ i Ω

При этом в правой части получена интегральная сумма для функции двух переменных по плоской области, которая в пределе при дает двойной интеграл Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:

Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (12.5) стоит поверхностный интеграл, а в правой – двойной .

Билет № 36. Поверхностный интеграл второго рода. Поток векторного поля. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

Поток векторного поля.

Рассмотрим векторное поле А (М) , определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п (М) на выбранной стороне поверхности S .

Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода

, (13.1)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а А п – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S .

Замечание 1. Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.

Замечание 2. Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).

Пусть дано плоское векторное поле . В дальнейшем мы будем предполагать, что функции Р и Q непрерывны вместе со своими производными и в некоторой области О плоскости

Рассмотрим в области G две произвольные точки Эти точки можно соединить различными линиями, лежащими в области вдоль которых значения криволинейного интеграла вообще говоря, различны.

Так, например, рассмотрим криволинейный интеграл

и две точки . Вычислим этот интеграл, во-первых, вдоль отрезка прямой , соединяющей точки А и В, и, во-вторых, вдоль дуги параболы соединяющей эти же точки. Применяя правила вычисления криволинейного интеграла, найдем

а) вдоль отрезка

б) вдоль дуги параболы:

Таким образом, мы видим, что значения криволинейного интеграла зависят от пути интегрирования, т. е. зависят от вида линии, соединяющей точки А и В. Наоборот, как нетрудно проверить, криволинейный интеграл вдоль тех же линий , соединяющих точки дает одно и то же значение, равное .

Разобранные примеры показывают, что криволинейные интегралы, вычисленные по различным путям, соединяющим две данные точки, в одних случаях различны между собой, а в других случаях принимают одно и то же значение.

Пусть А и В - две произвольные точки области G. Рассмотрим различные кривые, лежащие в области G и соединяющие точки А и В.

Если криволинейный интеграл по любому из этих путей принимает одно и то же значение, то говорят, что он не зависит от пути интегрирования.

В следующих двух теоремах приводятся условия, при которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл в некоторой области G не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, был равен нулю.

Доказательство. Достаточность.

Пусть интеграл по любому замкнутому контуру, проведенному в области G, равен нулю. Покажем, что этот интеграл не зависит от пути интегрирования. В самом деле, пусть А и В две точки, принадлежащие области G. Соединим эти точки двумя различными, произвольно выбранными кривыми лежащими в области G (рис. 257).

Покажем, что дуги образуют замкнутый контур Учитывая свойства криволинейных интегралов, получим

так как . Но по условию как интеграл по замкнутому контуру.

Следовательно, или Таким образом, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Необходимость. Пусть в области G криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Покажем, что интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю. В самом деле, рассмотрим произвольный замкнутый контур, лежащий в области G, и возьмем на нем две произвольные точки А я В (см. рис. 257). Тогда

так как по условию . Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области G, равен нулю.

Следующая теорема дает удобные для практического использования условия, при соблюдении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2.

Для того чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

Доказательство. Достаточность. Пусть в области Покажем, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области G, равен нулю. Рассмотрим площадку а, ограниченную контуром L. В силу односвязности области G площадка а целиком принадлежит этой области. На основании формулы Остроградского-Грина частности, на площадке Поэтому а следовательно, . Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L в области G равен нулю. На основании теоремы 1 заключаем, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования в некоторой области Q. Покажем, что во всех точках области

Предположим противное, т. е. что в некоторой точке области Пусть для определенности . В силу предположения о непрерывности частных производных и разность будет непрерывной функцией. Следовательно, около точки можно описать круг а (лежащий в области G), во всех точках которого, как и в точке разность будет положительной. Применим к кругу формулу Остроградского-Грина.