Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dengan 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profile Unified State Exam dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!

Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.

Semua teori yang diperlukan. Cara cepat penyelesaian, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersepadu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.

Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.

Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang ringkas dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks Bahagian 2 Peperiksaan Negeri Bersatu.

Luas permukaan piramid. Dalam artikel ini kita akan melihat masalah dengan piramid biasa. Biar saya ingatkan anda bahawa piramid biasa ialah piramid yang tapaknya ialah poligon sekata, bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah poligon ini.

Muka sisi piramid tersebut ialah segi tiga sama kaki.Ketinggian segi tiga ini dilukis daripada bucu piramid biasa, dipanggil apothem, SF – apothem:

Dalam jenis masalah yang dibentangkan di bawah, anda perlu mencari luas permukaan keseluruhan piramid atau luas permukaan sisinya. Blog telah membincangkan beberapa masalah dengan piramid biasa, di mana persoalan mencari elemen (tinggi, tepi tapak, tepi sisi) dibangkitkan.

DALAM Tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu Sebagai peraturan, piramid segi tiga biasa, segi empat dan heksagon dipertimbangkan. Saya tidak melihat sebarang masalah dengan piramid pentagonal dan heptagonal biasa.

Formula untuk luas keseluruhan permukaan adalah mudah - anda perlu mencari jumlah luas tapak piramid dan luas permukaan sisinya:

Mari kita pertimbangkan tugas:

Sisi tapak piramid segi empat sekata ialah 72, tepi sisi ialah 164. Cari luas permukaan piramid ini.

Luas permukaan piramid adalah sama dengan jumlah luas permukaan sisi dan tapak:

*Permukaan sisi terdiri daripada empat segi tiga yang sama luas. Tapak piramid ialah segi empat sama.

Kita boleh mengira luas sisi piramid menggunakan:

Oleh itu, luas permukaan piramid ialah:

Jawapan: 28224

Sisi tapak piramid heksagon sekata adalah sama dengan 22, tepi sisi adalah sama dengan 61. Cari luas permukaan sisi piramid ini.

Asas piramid heksagon sekata ialah heksagon sekata.

Luas permukaan sisi piramid ini terdiri daripada enam kawasan segi tiga sama dengan sisi 61,61 dan 22:

Mari cari luas segi tiga menggunakan formula Heron:

Oleh itu, luas permukaan sisi adalah:

Jawapan: 3240

*Dalam masalah yang dibentangkan di atas, kawasan muka sisi boleh didapati menggunakan formula segitiga lain, tetapi untuk ini anda perlu mengira apotema.

27155. Cari luas permukaan piramid segi empat sekata yang sisi tapaknya ialah 6 dan tingginya ialah 4.

Untuk mencari luas permukaan piramid, kita perlu mengetahui luas tapak dan luas permukaan sisi:

Luas tapak ialah 36 kerana ia adalah segi empat sama dengan sisi 6.

Permukaan sisi terdiri daripada empat muka, iaitu segi tiga sama. Untuk mencari luas segi tiga sedemikian, anda perlu mengetahui tapak dan ketinggiannya (apotema):

* Luas segi tiga adalah sama dengan separuh hasil darab tapak dan ketinggian yang dilukis pada tapak ini.

Pangkalan diketahui, ia sama dengan enam. Jom cari ketinggian. Mari kita pertimbangkan segi tiga tepat(ia diserlahkan dalam warna kuning):

Satu kaki adalah sama dengan 4, kerana ini adalah ketinggian piramid, yang lain adalah sama dengan 3, kerana ia sama dengan separuh tepi pangkalan. Kita boleh mencari hipotenus menggunakan teorem Pythagoras:

Ini bermakna bahawa luas permukaan sisi piramid ialah:

Oleh itu, luas permukaan keseluruhan piramid ialah:

Jawapan: 96

27069. Sisi tapak piramid segi empat sekata adalah sama dengan 10, tepi sisi adalah sama dengan 13. Cari luas permukaan piramid ini.

27070. Sisi tapak piramid heksagon sekata adalah sama dengan 10, tepi sisi adalah sama dengan 13. Cari luas permukaan sisi piramid ini.

Terdapat juga formula untuk luas permukaan sisi piramid biasa. Dalam piramid biasa, tapak adalah unjuran ortogon bagi permukaan sisi, oleh itu:

P- perimeter tapak, l- apotema piramid

*Formula ini adalah berdasarkan formula untuk luas segi tiga.

Jika anda ingin mengetahui lebih lanjut tentang cara formula ini diperoleh, jangan ketinggalan, ikuti penerbitan artikel.Itu sahaja. Semoga berjaya kepada anda!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

ialah rajah yang tapaknya ialah poligon arbitrari, dan muka sisi diwakili oleh segi tiga. Bucu mereka terletak pada titik yang sama dan sepadan dengan bahagian atas piramid.

Piramid boleh diubah - segi tiga, segi empat, heksagon, dll. Namanya boleh ditentukan bergantung kepada bilangan sudut yang bersebelahan dengan tapak.
Piramid yang betul dipanggil piramid di mana sisi tapak, sudut, dan tepi adalah sama. Juga dalam piramid sedemikian luas muka sisi akan sama.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid ialah jumlah luas semua mukanya:
Iaitu, untuk mengira luas permukaan sisi piramid sewenang-wenangnya, anda perlu mencari luas setiap segi tiga individu dan menambahnya bersama-sama. Jika piramid itu dipotong, maka mukanya diwakili oleh trapezoid. Terdapat formula lain untuk piramid biasa. Di dalamnya, luas permukaan sisi dikira melalui separuh perimeter tapak dan panjang apotema:

Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid.
Biarkan piramid segi empat biasa diberikan. Bahagian pangkal b= 6 cm, apotema a= 8 cm Cari luas permukaan sisi.

Di dasar piramid segi empat sekata adalah segi empat sama. Mula-mula, mari cari perimeternya:

Sekarang kita boleh mengira luas permukaan sisi piramid kita:

Untuk mencari jumlah luas polihedron, anda perlu mencari luas tapaknya. Formula untuk luas tapak piramid mungkin berbeza bergantung pada poligon yang terletak di dasar. Untuk melakukan ini, gunakan formula untuk luas segi tiga, luas segi empat selari dll.

Pertimbangkan contoh pengiraan luas tapak piramid yang diberikan oleh keadaan kita. Oleh kerana piramid adalah sekata, terdapat segi empat sama pada dasarnya.
Kawasan persegi dikira dengan formula: ,
di mana a ialah sisi segi empat sama. Bagi kami ia adalah 6 cm Ini bermakna luas tapak piramid ialah:

Sekarang yang tinggal hanyalah mencari jumlah luas polihedron. Formula untuk luas piramid terdiri daripada jumlah luas tapaknya dan permukaan sisi.

• Masalah 1. Cari jumlah luas permukaan piramid
• Masalah 2. Cari luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa

Masalah 1. Cari jumlah luas permukaan piramid sekata

Penyelesaian.

Di dasar piramid segi tiga sekata terletak segitiga sama sisi.
Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah, kami akan menggunakan sifat segi tiga biasa:

Kita tahu ketinggian segi tiga, dari mana kita boleh mencari luasnya.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Dari mana luas tapak akan sama dengan:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Untuk mencari luas muka sisi, kami mengira ketinggian KM. Mengikut masalah, sudut OKM ialah 45 darjah.
Oleh itu:
OK / MK = cos 45
Mari gunakan jadual nilai fungsi trigonometri dan gantikan nilai yang diketahui.

OK / MK = √2/2

Mari kita ambil kira bahawa OK adalah sama dengan jejari bulatan yang tertera. Kemudian
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Kemudian
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Luas muka sisi kemudiannya sama dengan separuh hasil darab ketinggian dan tapak segi tiga.
Sisi = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Oleh itu, jumlah luas permukaan piramid akan sama dengan
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Jawab: 3√3 + 18/√6

Masalah 2. Cari luas permukaan sisi piramid biasa

Penyelesaian.

Oleh kerana tapak piramid segi tiga sekata ialah segi tiga sama, AO ialah jejari bulatan yang dihadkan di sekeliling tapak.
(Ini susulan daripada)

Kami mendapati jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segitiga sama sisi daripada sifatnya

Dari mana panjang tepi piramid segi tiga biasa akan sama dengan:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ketinggian piramid diketahui dengan keadaan (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Setiap sisi piramid ialah segi tiga sama kaki. Segi empat segi tiga sama kaki kita dapati daripada formula pertama yang dibentangkan di bawah

S = 1/2 * 16 persegi((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 persegi((556/3) - 64)
S = 8 persegi(364/3)
S = 16 persegi(91/3)

Oleh kerana ketiga-tiga muka piramid sekata adalah sama, luas permukaan sisi akan sama dengan
3S = 48 √(91/3)

Jawapan: 48 √(91/3)

Masalah 3. Cari jumlah luas permukaan piramid biasa

Sisi piramid segi tiga sekata ialah 3 cm dan sudut antara muka sisi dan tapak piramid ialah 45 darjah. Cari jumlah luas permukaan piramid itu.

Penyelesaian.
Oleh kerana piramid adalah sekata, terdapat segi tiga sama di tapaknya. Oleh itu luas tapak adalah


Jadi = 9 * √3/4

Untuk mencari luas muka sisi, kami mengira ketinggian KM. Mengikut masalah, sudut OKM ialah 45 darjah.
Oleh itu:
OK / MK = cos 45
Jom ambil kesempatan

Luas permukaan sisi piramid biasa adalah sama dengan hasil darab apotemanya dan separuh perimeter tapak.

Bagi jumlah luas permukaan, kami hanya menambah luas tapak ke bahagian sisi.

Permukaan sisi piramid biasa adalah sama dengan hasil darab separuh perimeter tapak dan apotema.

Bukti:

Jika sisi tapak ialah a, bilangan sisi ialah n, maka permukaan sisi piramid adalah sama dengan:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

dengan l ialah apotema dan p ialah perimeter tapak piramid. Teorem telah terbukti.

Formula ini berbunyi seperti ini:

Luas permukaan sisi piramid biasa adalah sama dengan separuh hasil darab perimeter tapak dan apotema piramid.

Jumlah luas permukaan piramid dikira dengan formula:

S penuh = S sebelah +S asas

Jika piramid itu tidak sekata, maka permukaan sisinya akan sama dengan jumlah luas muka sisinya.

Isipadu piramid

Kelantangan piramid adalah sama dengan satu pertiga daripada hasil darab luas tapak dan ketinggian.

Bukti. Kita akan bermula dari prisma segi tiga. Mari kita lukis satah melalui bucu A" tapak atas prisma dan tepi bertentangan BC tapak bawah. Satah ini akan memotong piramid segi tiga A" ABC daripada prisma itu. Kami akan menguraikan baki bahagian prisma kepada badan pepejal, melukis satah melalui pepenjuru A"C dan B"C muka sisi. Dua jasad yang terhasil juga adalah piramid. Dengan mengambil kira segi tiga A"B"C" sebagai tapak salah satu daripadanya, dan C sebagai puncaknya, kita melihat bahawa tapak dan ketinggiannya adalah sama dengan piramid pertama yang kita potong, oleh itu piramid A"ABC dan CA"B"C" adalah sama dalam saiz. Selain itu, kedua-dua piramid baharu CA"B"C" dan A"B"BC juga sama saiz - ini akan menjadi jelas jika kita mengambil segi tiga BBC" dan B"CC " sebagai tapaknya. "Matahari mempunyai bucu A yang sama," dan tapaknya terletak dalam satah yang sama dan adalah sama, oleh itu, piramid adalah sama saiz. Jadi, prisma itu diuraikan kepada tiga piramid yang sama saiz; isipadu setiap satu daripadanya adalah sama dengan satu pertiga daripada isipadu prisma maka, secara amnya, isipadu piramid n-gonal adalah sama dengan satu pertiga daripada isipadu prisma dengan ketinggian yang sama dan sama (. atau sama) tapak Mengingat semula formula yang menyatakan isipadu prisma, V=Sh, kita mendapat keputusan akhir: V=1/3Sh.