Persamaan kekonduksian terma. Penyelesaian asas kepada persamaan haba. Tugas untuk kerja bebas

Persamaan kekonduksian terma dalam medium homogen, seperti yang telah kita lihat, mempunyai bentuk

Pekali kekonduksian terma dalaman, c ialah kapasiti haba bahan dan ialah ketumpatan. Sebagai tambahan kepada persamaan (1), seseorang mesti mengingati keadaan awal, yang memberikan taburan suhu awal dan pada

Jika badan dihadkan oleh permukaan (S), maka pada permukaan ini kita juga akan mempunyai keadaan had, yang boleh berbeza, bergantung kepada keadaan fizikal. Sebagai contoh, permukaan (S) boleh dikekalkan pada suhu tertentu, yang boleh berubah dari semasa ke semasa. Dalam kes ini, keadaan had dikurangkan kepada menentukan fungsi U pada permukaan (S), dan ini fungsi yang diberikan mungkin juga bergantung pada masa t. Jika suhu permukaan tidak tetap, tetapi terdapat sinaran suhu tertentu ke dalam persekitaran, maka menurut hukum Newton, walaupun jauh dari tepat, aliran haba melalui permukaan (S) adalah berkadar dengan perbezaan suhu antara ruang sekeliling. dan permukaan badan (S). Ini memberikan syarat had borang

di mana pekali perkadaran h dipanggil pekali kekonduksian haba luaran.

Dalam kes perambatan haba dalam badan dimensi linear, iaitu dalam rod homogen, yang kita anggap terletak di sepanjang paksi, bukannya persamaan (1), kita akan mempunyai persamaan

Dengan bentuk persamaan ini, sudah tentu pertukaran haba antara permukaan rod dan ruang sekeliling tidak diambil kira.

Persamaan (S) juga boleh didapati daripada persamaan (1), dengan mengandaikan U bebas daripada . Keadaan awal dalam kes rod

Persamaan pengaliran terma untuk kes tidak mantap

tidak pegun, jika suhu badan bergantung pada kedudukan titik dan pada masa.

Mari kita nyatakan dengan Dan = Dan(M, t) suhu pada satu titik M badan homogen dibatasi oleh permukaan S, pada masa ini t. Adalah diketahui bahawa jumlah haba dQ, diserap dari semasa ke semasa dt, dinyatakan dengan persamaan

di mana dS− elemen permukaan, k− pekali kekonduksian terma dalaman, − terbitan fungsi Dan dalam arah normal luar ke permukaan S. Oleh kerana ia merebak ke arah penurunan suhu, maka dQ> 0 jika > 0, dan dQ < 0, если < 0.

Daripada kesamarataan (1) ia berikut

Sekarang mari kita cari Q dengan cara lain. Pilih elemen dV kelantangan V, terhad oleh permukaan S. Jumlah haba dQ, diterima oleh unsur dV dalam masa dt, adalah berkadar dengan peningkatan suhu dalam unsur ini dan jisim unsur itu sendiri, i.e.

di mana adalah ketumpatan bahan, pekali kekadaran yang dipanggil kapasiti haba bahan.

Daripada kesamarataan (2) ia berikut

Oleh itu,

mana . Memandangkan = , , kita dapat

Menggantikan sebelah kanan kesaksamaan menggunakan formula Ostrogradsky–Hijau, kita perolehi

untuk sebarang volum V. Dari sini kita dapat persamaan pembezaan

yang dipanggil persamaan haba untuk kes tidak mantap.

Jika badan adalah rod yang diarahkan sepanjang paksi Oh, maka persamaan haba mempunyai bentuk

Pertimbangkan masalah Cauchy untuk kes berikut.

1. Kes joran tak berbatas. Cari penyelesaian kepada persamaan (3) ( t> 0, ), memenuhi syarat awal . Menggunakan kaedah Fourier, kita memperoleh penyelesaian dalam bentuk

− Kamiran Poisson.

2. Sarung batang, terhad pada satu pihak. Penyelesaian kepada persamaan (3), memenuhi syarat awal dan syarat sempadan, dinyatakan dengan formula

3. Sarung batang, terhad pada kedua-dua belah pihak. Masalah Cauchy ialah apabila X= 0 dan X = l cari penyelesaian kepada persamaan (3) yang memenuhi syarat awal dan dua syarat sempadan, contohnya, atau .

Dalam kes ini, penyelesaian tertentu dicari dalam bentuk siri

untuk syarat sempadan,

dan dalam bentuk siri

untuk syarat sempadan.

Contoh. Cari penyelesaian bagi persamaan tersebut

syarat awal yang memuaskan

dan syarat sempadan.

□ Kami akan mencari penyelesaian kepada masalah Cauchy dalam borang

Oleh itu,

Persamaan haba untuk kes pegun

Pengagihan haba dalam badan dipanggil pegun, jika suhu badan Dan bergantung pada kedudukan titik M(X, di, z), tetapi tidak bergantung pada masa t, iaitu

Dan = Dan(M) = Dan(X, di, z).

Dalam kes ini, 0 dan persamaan pengaliran haba untuk kes pegun menjadi Persamaan Laplace

yang sering ditulis sebagai .

Kepada suhu Dan dalam badan ditentukan secara unik dari persamaan ini, anda perlu mengetahui suhu di permukaan S badan. Oleh itu, untuk persamaan (1) masalah nilai sempadan dirumuskan seperti berikut.

Cari fungsi Dan, persamaan memuaskan (1) di dalam isipadu V dan menerima pada setiap titik M permukaan S tetapkan nilai

Tugas ini dipanggil Masalah Dirichlet atau masalah nilai sempadan pertama untuk persamaan (1).

Jika suhu pada permukaan badan tidak diketahui, dan fluks haba pada setiap titik pada permukaan diketahui, yang berkadar dengan , maka pada permukaan S bukannya syarat sempadan (2) kita akan ada syarat

Masalah mencari penyelesaian kepada persamaan (1) yang memenuhi syarat sempadan (3) dipanggil Masalah Neumann atau masalah nilai sempadan kedua.

Untuk angka satah, persamaan Laplace ditulis sebagai

Persamaan Laplace mempunyai bentuk yang sama untuk ruang jika Dan tidak bergantung pada koordinat z, iaitu Dan(M) mengekalkan nilai tetap apabila titik bergerak M dalam garis lurus, paksi selari Oz.

Dengan menggantikan , persamaan (4) boleh ditukar kepada koordinat kutub

Konsep fungsi harmonik dikaitkan dengan persamaan Laplace. Fungsi itu dipanggil harmonik di kawasan tersebut D, jika di rantau ini ia berterusan bersama derivatifnya sehingga termasuk tertib kedua dan memenuhi persamaan Laplace.

Contoh. Cari taburan suhu pegun dalam rod nipis dengan permukaan sisi berpenebat haba jika di hujung rod, .

□ Kami mempunyai kes satu dimensi. Perlu mencari fungsi Dan, memenuhi persamaan dan syarat sempadan , . Persamaan am bagi persamaan tersebut ialah . Dengan mengambil kira syarat sempadan, kami memperoleh

Oleh itu, taburan suhu dalam rod nipis dengan permukaan sisi berpenebat haba adalah linear. ■

Masalah dirichlet untuk bulatan

Biarkan bulatan jejari diberi R berpusat di tiang TENTANG sistem koordinat kutub. Adalah perlu untuk mencari fungsi yang harmonik dalam bulatan dan memenuhi syarat pada bulatannya, di mana adalah fungsi tertentu yang berterusan pada bulatan. Fungsi yang diperlukan mesti memenuhi persamaan Laplace dalam bulatan

Menggunakan kaedah Fourier, seseorang boleh mendapatkan

− Kamiran Poisson.

Contoh. Cari taburan suhu pegun pada plat bulat nipis seragam jejari R, bahagian atas dikekalkan pada suhu , dan bahagian bawah pada suhu .

□ Jika, maka, dan jika, maka. Taburan suhu dinyatakan oleh kamiran

Biarkan titik itu terletak di separuh bulatan atas, i.e. ; kemudian berbeza dari hingga , dan selang panjang ini tidak mengandungi mata. Oleh itu, kami memperkenalkan penggantian , dari mana , . Kemudian kita dapat

Jadi sebelah kanan adalah negatif, kemudian Dan at memenuhi ketaksamaan. Untuk kes ini kami memperoleh penyelesaiannya

Jika titik itu terletak di separuh bulatan bawah, i.e. , maka selang perubahan mengandungi titik , tetapi tidak mengandungi 0, dan kita boleh membuat penggantian , dari mana , , Kemudian untuk nilai ini kita ada

Menjalankan transformasi yang serupa, kami dapati

Oleh kerana sebelah kanan kini positif, maka. ■

Kaedah beza terhingga untuk menyelesaikan persamaan haba

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada persamaan tersebut

memuaskan:

keadaan awal

dan syarat sempadan

Jadi, diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada persamaan (1) yang memenuhi syarat (2), (3), (4), i.e. ia diperlukan untuk mencari penyelesaian dalam segi empat tepat yang dibatasi oleh garis , , , , jika nilai fungsi yang diperlukan diberikan pada tiga sisinya , , .

Mari bina grid segi empat tepat yang dibentuk oleh garis lurus

− melangkah sepanjang paksi Oh;

− melangkah sepanjang paksi daripada.

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Daripada konsep perbezaan terhingga kita boleh menulis

serupa

Dengan mengambil kira formula (6), (7) dan notasi yang diperkenalkan, kami menulis persamaan (1) dalam bentuk

Dari sini kita dapat formula pengiraan

Daripada (8) ia berikutan bahawa jika tiga nilai k k lapisan ke atas grid: , , , maka anda boleh menentukan nilai dalam ( k+ 1) lapisan ke-.

Keadaan awal (2) membolehkan anda mencari semua nilai pada garis lurus; syarat sempadan (3), (4) membolehkan kita mencari nilai pada garisan dan . Menggunakan formula (8), kami mencari nilai di semua titik dalaman lapisan seterusnya, i.e. Untuk k= 1. Nilai fungsi yang diingini pada titik ekstrem diketahui daripada syarat sempadan(3), (4). Bergerak dari satu lapisan grid ke yang lain, kami menentukan nilai penyelesaian yang dikehendaki pada semua nod grid.

Portal:Fizik Persamaan resapan mewakili pandangan peribadi

persamaan pembezaan separa. Ia boleh menjadi tidak pegun dan pegun. Dalam erti kata tafsiran semasa membuat keputusan persamaan resapan kita bercakap tentang mencari pergantungan kepekatan bahan (atau objek lain) pada koordinat spatial dan masa, dan pekali diberikan (dalam kes umum juga bergantung pada koordinat dan masa spatial) yang mencirikan kebolehtelapan medium untuk penyebaran . Apabila membuat keputusan persamaan haba

kita bercakap tentang mencari pergantungan suhu medium pada koordinat spatial dan masa, dan kapasiti haba dan kekonduksian haba medium (juga dalam kes umum tidak homogen) diberikan.

Dalam kebanyakan kes, ini dengan serta-merta bermakna bahawa persamaan resapan dan kekonduksian terma dalam kawasan kebolehgunaannya adalah jauh dari kawasan di mana kesan kuantum atau keterhinggaan kelajuan cahaya menjadi ketara, iaitu, dalam keterlaluan. majoriti kes, bukan sahaja dalam terbitannya, tetapi juga pada prinsipnya, terhad kepada alam fizik Newtonian klasik.

• Dalam masalah resapan atau kekonduksian terma dalam cecair dan gas dalam gerakan, bukannya persamaan resapan, persamaan pengangkutan digunakan, yang memperluaskan persamaan resapan kepada kes apabila mengabaikan gerakan makroskopik tidak boleh diterima.

• Analog persamaan resapan yang paling hampir formal, dan dalam banyak cara substantif, adalah persamaan Schrödinger, yang berbeza daripada persamaan resapan oleh unit khayalan faktor di hadapan terbitan masa. Banyak teorem mengenai penyelesaian persamaan Schrödinger dan juga beberapa jenis perwakilan formal penyelesaiannya adalah sama secara langsung dengan teorem yang sepadan tentang persamaan resapan dan penyelesaiannya, tetapi penyelesaiannya berbeza secara kualitatif.

Pandangan umum

Persamaan biasanya ditulis seperti ini:

di mana φ( r, t) ialah ketumpatan bahan meresap pada satu titik r dan semasa t Dan D(φ, r) - pekali resapan umum untuk ketumpatan φ pada satu titik r; ∇ - pengendali yang boleh diperhatikan. Jika pekali resapan bergantung pada ketumpatan, persamaannya adalah tak linear, jika tidak, ia adalah linear.

Jika D- pengendali pasti positif simetri, persamaan menerangkan resapan anisotropik:

Jika D(\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))(\partial t))=\sum _(i=1)^(3)\sum _(j=1)^( 3)(\frac (\sebahagian )(\sebahagian x_(i)))\kiri.)

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , (\displaystyle (\frac (\partial \phi (\mathbf (r) ,t))(\partial t))=D\ nabla ^(2)\phi (\mathbf (r) ,t),)

Kisah asal usul

Persamaan tidak mantap Tidak mantap persamaan resapan dikelaskan sebagai parabola

persamaan pembezaan. Ia menerangkan taburan bahan terlarut akibat resapan atau pengagihan semula suhu badan akibat kekonduksian terma.

Dalam kes proses resapan satu dimensi dengan pekali resapan (konduksi terma) D (\gaya paparan D) persamaannya ialah:

(\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\;t)=(\frac (\partial )(\partial x))D(\frac (\partial )(\partial x ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).) D (\gaya paparan D) Pada tetap

di mana ∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\ ;t)=D(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian x^(2)))(c(x,\;t))+f(x,\;t),) c (x , t) (\displaystyle c(x,\;t)) ialah kepekatan bahan meresap, a f (x , t) (\displaystyle f(x,\;t))

- fungsi yang menerangkan sumber jirim (haba).

Kes tiga dimensi

di mana ∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c( (\vec (r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r)),\;t))+f((\vec (r)),\; t),)∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z) (\displaystyle \nabla =(\sebahagian _(x),\;\sebahagian _(y),\;\sebahagian _(z))) - pengendali nabla, dan(,) (\displaystyle (\;,\;))

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f , (\displaystyle \partial _(t)c=\mathbf (div) \,(D\,\mathbf (grad) \,c)+f,) D (\gaya paparan D) Pada tetap

di mana ∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c((\vec ( r)),\;t)=D\Delta c((\vec (r)),\;t)+f((\vec (r)),\;t),)Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian x ^(2)))+(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian y^(2)))+(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian z^(2))) )

- Operator Laplace. n

-kes berdimensi N (\gaya paparan n) kes -dimensi - generalisasi langsung di atas, hanya oleh pengendali nabla, kecerunan dan perbezaan, serta oleh pengendali Laplace yang mesti kita fahami n (\gaya paparan n)

Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=\sebahagian _(1)^(2)+\sebahagian _(2)^(2)+\ldots +\sebahagian _(n)^(2).).

Ini juga terpakai kepada kes dua dimensi

n = 2 (\displaystyle n=2)

Lazimnya, persamaan resapan timbul daripada persamaan empirikal (atau entah bagaimana diturunkan secara teori) yang menyatakan perkadaran aliran jirim (atau tenaga haba) dengan perbezaan kepekatan (suhu) kawasan yang dipisahkan oleh lapisan nipis jirim tertentu. kebolehtelapan, dicirikan oleh pekali resapan (atau kekonduksian terma):

digabungkan dengan persamaan kesinambungan yang menyatakan pemuliharaan jirim (atau tenaga):

mengambil kira dalam kes persamaan kekonduksian haba juga kapasiti haba (suhu = ketumpatan tenaga / kapasiti haba tentu).

• Di sini sumber bahan (tenaga) di sebelah kanan ditinggalkan, tetapi, sudah tentu, ia boleh dengan mudah diletakkan di sana jika terdapat aliran masuk (aliran keluar) bahan (tenaga) dalam masalah.
• Ia juga diandaikan bahawa aliran bahan meresap (kotoran) tidak dipengaruhi oleh sebarang daya luar, termasuk graviti (kotoran pasif).

B.

Di samping itu, ia secara semula jadi timbul sebagai had berterusan bagi persamaan perbezaan yang serupa, yang seterusnya timbul apabila mempertimbangkan masalah berjalan rawak pada kekisi diskret (satu dimensi atau kes -dimensi - generalisasi langsung di atas, hanya oleh pengendali nabla, kecerunan dan perbezaan, serta oleh pengendali Laplace yang mesti kita fahami-dimensi). (Ini adalah model yang paling mudah; dalam model berjalan rawak yang lebih kompleks, persamaan resapan juga timbul dalam had berterusan.) Tafsiran fungsi yang paling mudah c (\gaya paparan c) dalam kes ini, bilangan (atau kepekatan) zarah pada titik tertentu (atau berhampirannya) berfungsi, dengan setiap zarah bergerak secara bebas daripada yang lain tanpa ingatan (inersia) masa lalunya (dalam kes yang lebih kompleks sedikit - dengan masa- ingatan terhad).

Penyelesaian

(\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)c_(f)(x-x",\;t)\ ,dx"=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)(\frac (1)(\sqrt (4\pi Dt)))\exp \left (-(\frac ((x-x")^(2))(4Dt))\kanan)\,dx".)

Nota fizikal kelajuan rendah dan skala makroskopik (lihat di atas), tidak menghairankan bahawa mereka penyelesaian asas pada jarak yang jauh ia tidak berkelakuan sangat realistik, secara rasmi membenarkan penyebaran pengaruh yang tidak terhingga di angkasa dalam masa yang terhad; Perlu diingatkan bahawa magnitud kesan ini berkurangan dengan begitu cepat dengan jarak sehingga kesan ini biasanya tidak dapat diperhatikan pada dasarnya (contohnya, kita bercakap tentang kepekatan lebih kurang daripada perpaduan).

Walau bagaimanapun, jika kita bercakap tentang situasi di mana kepekatan kecil seperti itu boleh diukur secara eksperimen, dan ini penting bagi kita, adalah perlu untuk menggunakan sekurang-kurangnya bukan pembezaan, tetapi persamaan resapan perbezaan, dan lebih baik lagi, fizikal mikroskopik yang lebih terperinci dan model statistik untuk mendapatkan pemahaman yang lebih mencukupi tentang realiti dalam kes ini.

Persamaan pegun

Dalam kes apabila tugasnya adalah untuk mencari taburan keadaan mantap ketumpatan atau suhu (contohnya, dalam kes apabila taburan sumber tidak bergantung pada masa), terma berkaitan masa bagi persamaan dikeluarkan daripada bukan -persamaan pegun. Kemudian ia ternyata persamaan haba pegun, tergolong dalam kelas persamaan elips. miliknya pandangan umum:

Δ c (r →) = 0. (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=0.)

• Penyataan masalah nilai sempadan Masalah dengan syarat awal

(Masalah Cauchy) pada taburan suhu pada garis lurus tak terhingga

Jika kita mempertimbangkan proses pengaliran haba dalam rod yang sangat panjang, maka untuk jangka masa yang singkat tidak ada pengaruh suhu di sempadan, dan suhu di kawasan yang sedang dipertimbangkan hanya bergantung pada taburan suhu awal. dan , memenuhi syarat< x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty u (x , t 0) = φ (x) (− ∞

• , di manakah fungsi yang diberikan.

Masalah nilai sempadan pertama untuk rod separuh tak terhingga

Jika bahagian rod yang menarik minat kita terletak berhampiran satu hujung dan dibuang dengan ketara dari yang lain, maka kita datang kepada masalah nilai sempadan di mana pengaruh hanya satu daripada syarat sempadan diambil kira. Cari penyelesaian kepada persamaan haba di rantau itu− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) Dan t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))