Rumah
Fasad kaca
Persamaan garis yang sepanjang satah bersilang. Persamaan garis lurus dalam ruang. Sifat matriks songsang

Persamaan garis yang sepanjang satah bersilang. Persamaan garis lurus dalam ruang. Sifat matriks songsang

Dalam bahagian ini kita akan terus mengkaji topik persamaan garis dalam ruang dari perspektif stereometri. Ini bermakna kita akan menganggap garis lurus dalam ruang tiga dimensi sebagai garis persilangan dua satah.

Mengikut aksiom stereometri, jika dua satah tidak bertepatan dan mempunyai satu titik biasa, maka mereka juga mempunyai satu garis lurus sepunya yang terletak pada semua titik yang sepunya kepada dua satah. Dengan menggunakan persamaan dua satah bersilang, kita boleh menentukan garis lurus masuk sistem segi empat tepat koordinat

Semasa kami mempertimbangkan topik tersebut, kami akan menyediakan banyak contoh, beberapa ilustrasi grafik dan penyelesaian terperinci yang diperlukan untuk asimilasi bahan yang lebih baik.

Biarkan dua satah diberi yang tidak bertepatan antara satu sama lain dan bersilang. Mari kita nyatakan mereka sebagai satah α dan satah β. Mari letakkannya dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z ruang tiga dimensi.

Seperti yang kita ingat, mana-mana satah dalam sistem koordinat segi empat tepat diberikan oleh persamaan satah am dalam bentuk A x + B y + C z + D = 0. Kami akan menganggap bahawa satah α sepadan dengan persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, dan satah β sepadan dengan persamaan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Dalam kes ini, vektor normal satah α dan β n 1 → = (A 1, B 1, C 1) dan n 2 → = (A 2, B 2, C 2) bukan segaris, kerana satah itu tidak bertepatan antara satu sama lain dan e diletakkan selari antara satu sama lain. Mari tulis syarat ini seperti berikut:

n 1 → ≠ λ n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ A 2 , λ B 2 , λ C 2 , λ ∈ R

Untuk menyegarkan ingatan anda tentang bahan mengenai topik "Paralelisme pesawat", lihat bahagian yang sepadan di tapak web kami.

Mari kita nyatakan garis persilangan pesawat dengan huruf a . Itu. a = α ∩ β. Garis ini mewakili satu set titik yang biasa kepada kedua-dua satah α dan β. Ini bermakna semua titik garis lurus a memenuhi kedua-dua persamaan satah A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Malah, ia adalah penyelesaian khusus kepada sistem persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Penyelesaian umum sistem persamaan linear A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 menentukan koordinat semua titik garis di sepanjang dua satah α dan β bersilang. Ini bermakna dengan bantuannya kita boleh menentukan kedudukan garisan dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z.

Mari kita pertimbangkan teori yang diterangkan sekali lagi, kini menggunakan contoh khusus.

Contoh 1

Garis lurus O x ialah garis lurus sepanjang satah koordinat O x y dan O x z bersilang. Mari kita takrifkan satah O x y dengan persamaan z = 0, dan satah O x z dengan persamaan y = 0. Kami membincangkan pendekatan ini secara terperinci dalam bahagian "Persamaan umum satah yang tidak lengkap," supaya, sekiranya terdapat kesulitan, anda boleh merujuk kepada bahan ini semula. Dalam kes ini, garis koordinat O x ditentukan dalam sistem koordinat tiga dimensi oleh sistem dua persamaan dalam bentuk y = 0 z = 0.

Mencari koordinat titik yang terletak pada garisan yang bersilang di sepanjang satah

Mari kita pertimbangkan masalahnya. Biarkan sistem koordinat segi empat tepat O x y z diberikan dalam ruang tiga dimensi. Garis di mana dua satah bersilang diberikan oleh sistem persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Diberi satu titik dalam ruang tiga dimensi M 0 x 0, y 0, z 0.

Mari kita tentukan sama ada titik M 0 x 0, y 0, z 0 tergolong dalam garis lurus yang diberikan a .

Untuk mendapatkan jawapan kepada persoalan masalah, kita menggantikan koordinat titik M 0 ke dalam setiap dua persamaan satah. Jika, hasil daripada penggantian, kedua-dua persamaan bertukar menjadi kesamaan yang betul A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 dan A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0, maka titik M 0 adalah milik setiap satah dan tergolong dalam garisan yang diberikan. Jika sekurang-kurangnya satu daripada kesamaan A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 dan A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 ternyata menjadi palsu, maka titik M 0 tidak tergolong dalam garis lurus.

Mari kita lihat contoh penyelesaian

Contoh 2

Garis lurus ditakrifkan dalam ruang dengan persamaan dua satah bersilang dalam bentuk 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0. Tentukan sama ada titik M 0 (1, - 1, 0) dan N 0 (0, - 1 3, 1) tergolong dalam garis lurus persilangan satah.

Penyelesaian

Mari kita mulakan dari titik M 0. Mari kita gantikan koordinatnya ke dalam kedua-dua persamaan sistem 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Hasil daripada penggantian, kami memperoleh kesamaan yang betul. Ini bermakna titik M 0 tergolong dalam kedua-dua satah dan terletak pada garis persimpangan mereka.

Mari kita gantikan koordinat titik N 0 (0, - 1 3, 1) ke dalam kedua-dua persamaan satah itu. Kami mendapat 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0.

Seperti yang anda lihat, persamaan kedua sistem telah menjadi persamaan yang tidak betul. Ini bermakna titik N 0 tidak tergolong dalam garisan yang diberikan.

Jawapan: titik M 0 tergolong dalam garis lurus, tetapi titik N 0 tidak.

Sekarang kami menawarkan kepada anda algoritma untuk mencari koordinat titik tertentu kepunyaan garis lurus, jika garis lurus dalam ruang dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z ditentukan oleh persamaan satah bersilang A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Bilangan penyelesaian kepada sistem dua persamaan linear dengan tidak diketahui A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 adalah tak terhingga. Mana-mana penyelesaian ini boleh menjadi penyelesaian kepada masalah tersebut.

Mari kita beri contoh.

Contoh 3

Biarkan garis lurus ditakrifkan dalam ruang tiga dimensi dengan persamaan dua satah bersilang dalam bentuk x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0. Cari koordinat mana-mana titik pada baris ini.

Penyelesaian

Mari kita tulis semula sistem persamaan x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .

Mari kita ambil minor bukan sifar bagi urutan kedua sebagai minor asas bagi matriks utama sistem 1 0 2 3 = 3 ≠ 0. Ini bermakna bahawa z ialah pembolehubah bebas yang tidak diketahui.

Mari kita pindahkan istilah yang mengandungi pembolehubah bebas tidak diketahui z ke sebelah kanan persamaan:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

Mari kita perkenalkan nombor nyata arbitrari λ dan andaikan bahawa z = λ.

Kemudian x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .

Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil, kami menggunakan kaedah Cramer:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ 3 - 0 (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Penyelesaian umum kepada sistem persamaan x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 akan mempunyai bentuk x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ, di mana λ ∈ R.

Untuk mendapatkan penyelesaian tertentu kepada sistem persamaan, yang akan memberikan kita koordinat yang diingini bagi titik kepunyaan garis tertentu, kita perlu mengambil nilai khusus parameter λ. Jika λ = 0, maka x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0.

Ini membolehkan kita mendapatkan koordinat titik yang dikehendaki - 7, 4, 0.

Mari kita semak ketepatan koordinat titik yang ditemui dengan menggantikannya ke dalam persamaan asal dua satah bersilang - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Jawab: - 7 , 4 , 0

Vektor arah garis di mana dua satah bersilang

Mari kita lihat bagaimana untuk menentukan koordinat vektor arah garis lurus, yang diberikan oleh persamaan dua satah bersilang A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Dalam sistem koordinat segi empat tepat 0xz, vektor arah garis lurus tidak dapat dipisahkan daripada garis lurus.

Seperti yang kita ketahui, garis adalah berserenjang dengan satah dalam kes apabila ia berserenjang dengan mana-mana garis yang terletak dalam satah tertentu. Berdasarkan di atas, vektor normal satah adalah berserenjang dengan mana-mana vektor bukan sifar yang terletak dalam satah tertentu. Kedua-dua fakta ini akan membantu kita dalam mencari vektor arah garis.

Satah α dan β bersilang di sepanjang garisan a . Vektor arah a → garis lurus a terletak berserenjang dengan vektor normal n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) bagi satah A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan vektor normal n 2 → = (A 2 , B 2, C 2) satah A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Vektor langsung a ialah hasil vektor bagi vektor n → 1 = (A 1, B 1, C 1) dan n 2 → = A 2, B 2, C 2.

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Mari kita takrifkan set semua vektor arah garis sebagai λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , di mana λ ialah parameter yang boleh mengambil sebarang nilai sebenar selain sifar.

Contoh 4

Biarkan garis lurus dalam ruang dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z diberikan oleh persamaan dua satah bersilang x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0. Mari cari koordinat mana-mana vektor arah garisan ini.

Penyelesaian

Satah x + 2 y - 3 z - 2 = 0 dan x - z + 4 = 0 mempunyai vektor normal n 1 → = 1, 2, - 3 dan n 2 → = 1, 0, - 1. Mari kita ambil sebagai vektor pengarah satu garis lurus, yang merupakan persilangan dua kapal terbang yang diberi, hasil vektor vektor biasa:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (- 1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →

Mari kita tulis jawapan dalam bentuk koordinat a → = - 2, - 2, - 2. Bagi mereka yang tidak ingat bagaimana untuk melakukan ini, kami mengesyorkan anda merujuk kepada topik "Koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat."

Jawapan: a → = - 2 , - 2 , - 2

Peralihan kepada persamaan parametrik dan kanonik bagi garis lurus dalam ruang

Untuk menyelesaikan beberapa masalah, lebih mudah untuk menggunakan persamaan parametrik garis dalam ruang dalam bentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ atau persamaan kanonik garis lurus dalam ruang dalam bentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ. Dalam persamaan ini, a x, a y, a z ialah koordinat bagi vektor pengarah garis, x 1, y 1, z 1 ialah koordinat bagi beberapa titik pada garisan, dan λ ialah parameter yang mengambil nilai sebenar sewenang-wenangnya.

Daripada persamaan garis lurus dalam bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 kita boleh pergi ke persamaan kanonik dan parametrik bagi garis lurus di angkasa. Untuk menulis persamaan kanonik dan parametrik garis lurus, kita memerlukan kemahiran mencari koordinat titik tertentu pada garis lurus, serta koordinat vektor arah tertentu bagi garis lurus, yang diberikan oleh persamaan dua satah bersilang.

Mari kita lihat apa yang ditulis di atas menggunakan contoh.

Contoh 5

Mari kita tentukan garis lurus dalam sistem koordinat tiga dimensi dengan persamaan dua satah bersilang 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0. Mari kita tulis persamaan kanonik dan parametrik bagi baris ini.

Penyelesaian

Mari cari koordinat bagi vektor arah garis, iaitu hasil vektor bagi vektor normal n 1 → = 2, 1, - 1 satah 2 x + y - z - 1 = 0 dan n 2 → = ( 1, 3, - 2) satah x + 3 y - 2 z = 0:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (- 2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Koordinat vektor arah garis lurus a → = (1, 2, 5).

Langkah seterusnya ialah menentukan koordinat titik tertentu pada garis lurus yang diberikan, yang merupakan salah satu penyelesaian kepada sistem persamaan: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .

Mari kita ambil sebagai matriks minor sistem penentu 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5, iaitu bukan sifar. Dalam kes ini pembolehubah z adalah percuma. Mari kita pindahkan istilah dengannya ke sebelah kanan setiap persamaan dan berikan pembolehubah nilai arbitrari λ:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Kami menggunakan kaedah Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) 3 - 1 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 λ

Kami dapat: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

Mari kita ambil λ = 2 untuk mendapatkan koordinat titik pada garis lurus: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Sekarang kita mempunyai data yang mencukupi untuk menuliskan persamaan kanonik dan parametrik bagi garis tertentu dalam ruang: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Jawapan: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 dan x = 1 + λ y = 1 + 3 λ z = 2 + 5 λ

Terdapat cara lain untuk menyelesaikan masalah ini.

Mencari koordinat titik tertentu pada garis dijalankan dengan menyelesaikan sistem persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Dalam kes umum, penyelesaiannya boleh ditulis dalam bentuk persamaan parametrik yang dikehendaki bagi garis dalam ruang x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ.

Persamaan kanonik diperoleh seperti berikut: kita menyelesaikan setiap persamaan yang diperoleh berkenaan dengan parameter λ, dan menyamakan sisi kanan kesamaan.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

Mari gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan masalah.

Contoh 6

Mari kita tetapkan kedudukan garis lurus dengan persamaan dua satah bersilang 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0. Mari kita tulis persamaan parametrik dan kanonik untuk garis lurus ini.

Penyelesaian

Menyelesaikan sistem dua persamaan dengan tiga tidak diketahui dijalankan sama seperti cara kita melakukannya dalam contoh sebelumnya. Kami dapat: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ .

Ini adalah persamaan parametrik bagi garis dalam ruang.

Kami memperoleh persamaan kanonik seperti berikut: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Persamaan yang diperolehi dalam kedua-dua contoh berbeza dalam rupa, tetapi ia adalah setara, kerana ia mentakrifkan set titik yang sama dalam ruang tiga dimensi, dan oleh itu garis lurus yang sama.

Jawapan: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 dan x = 3 5 + 1 5 λ y = - 1 5 + 3 5 λ z = λ

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Oleh kerana kepentingannya, masalah persilangan pesawat dipanggil "masalah kedudukan No. 2" oleh beberapa pengarang.

Daripada stereometri diketahui bahawa garis persilangan dua satah ialah garis lurus. Dalam masalah awal sebelum ini, di mana kita bercakap tentang kes-kes khas persimpangan pesawat, kita meneruskan dari definisi ini.

Seperti yang diketahui, untuk membina satu atau satu lagi baris, dalam kes paling mudah adalah perlu untuk mencari dua titik kepunyaan baris ini. Dalam kes menentukan satah dengan jejak, kedua-dua titik ini adalah titik persilangan bagi jejak satah bersilang yang sama.

Contoh untuk kerja bebas

Latihan 5.1

Bina garis persilangan satah yang ditakrifkan oleh landasan (Rajah 72):

  • a) unjurkan I secara mendatar dan unjurkan A ke hadapan;
  • b) mengunjurkan Z dan satah secara mendatar kedudukan umum Q;
  • c) dua satah kedudukan am I dan 0.

nasi. 72

Dalam Rajah. 73 menyediakan jawapan kepada latihan ini.

Untuk kes di mana pesawat ditentukan oleh angka satah tempatan, adalah wajar untuk menggunakan sekurang-kurangnya dua laluan penyelesaian yang berbeza.


nasi. 73

Penyelesaian pertama ialah menggunakan algoritma tiga peringkat untuk mencari titik pertemuan garis am dengan satah am. Untuk mencari garis persilangan dua segi tiga, satu daripada segi tiga dibiarkan tidak berubah, dan yang kedua secara mental dibahagikan kepada segmen berasingan, mewakili mereka sebagai garis lurus dalam kedudukan umum. Mula-mula, cari titik persilangan salah satu garis am dengan satah segi tiga itu. Kemudian mereka mencari satu lagi titik hilang kepunyaan baris yang dikehendaki. Ini dilakukan dengan cara yang sama, mengulangi keseluruhan urutan tindakan yang diterangkan.

Latihan 5.2

Diberi koordinat bucu dua segi tiga LAN Dan DEK bina gambar rajah yang terakhir dan cari garis persilangannya. Nyatakan keterlihatan unsur-unsur kedua-dua segi tiga pada rajah: A(0, 9, 2); ?(10, 1, 16); C (23, 14, 9); D(3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12.0, 2). Untuk mencari garis persilangan bagi segi tiga, adalah disyorkan untuk mencari titik pertemuan garis lurus terlebih dahulu KD dengan segi tiga ABC, dan kemudian titik pertemuan garis lurus NE dengan segi tiga EDK.

Pandangan umum bagi rajah yang terhasil ditunjukkan dalam Rajah. 74.

Penyelesaian kedua ialah penggunaan dua satah pemotong tambahan pada aras.

Memandangkan angka rata yang bersilang harus bersilang dua kali oleh satah aras tambahan (sama ada nama yang sama atau yang bertentangan - tidak mengapa), contohnya, dua satah aras mendatar.

Adalah mudah untuk memahami bahawa pembedahan satu kali membolehkan anda mencari dua garis bersilang h l Dan Dan 2, memberikan satu mata A, kepunyaan garis persimpangan yang dikehendaki (Rajah 75). Melukis satu lagi satah bantu yang serupa pada jarak tertentu

nasi. 74


nasi. 75

daripada yang pertama, mereka mendapat pembinaan yang serupa dan satu mata lagi. Dengan menyambungkan unjuran nama yang sama bagi dua titik yang diperolehi, garis persilangan yang dikehendaki bagi kedua-dua satah ditemui.

Latihan 5.3

Menggunakan koordinat yang diberikan bagi titik dua rajah segi tiga, bina gambar rajah yang terakhir, untuk membina garis persilangan segitiga menggunakan satah bantu. Nyatakan keterlihatan unsur kedua-dua segi tiga pada rajah:

kepada ABC. A(16, 5, 17); saya (10, 19,

A DEF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,

Pandangan umum masalah yang diselesaikan ditunjukkan dalam Rajah. 76.

Latihan 5.4

Untuk mengukuhkan kemahiran mencari garis persilangan dua satah, masalah diberikan, penyelesaiannya diberikan dalam dinamik pembinaan mengikut peringkat algoritma.

Cari garis persilangan dua satah dalam kedudukan sepunya p ialah jq

tions ditakrifkan oleh dua segi tiga ABC Dan DEF dan tentukan keterlihatan interpenetrasi mereka (Rajah 77).

Menyelesaikan contoh adalah untuk mencari titik persilangan sisi (garis lurus) A ABC dengan satah generik yang diberikan oleh A DEF. Algoritma untuk menyelesaikan contoh ini diketahui.

Kami membuat kesimpulan sebelah (lurus) SEBAGAI LAN ke dalam satah unjuran hadapan tambahan t _1_ P 2 (Gamb. 78).

Jejak hadapan satah tambahan ini bersilang dengan unjuran sisi D 2 E 2 gE 2 - 1 2 dan D 2 F 2 pt 2 = 2 2 pada titik 1 2 dan 2 2. Talian komunikasi unjuran membolehkan untuk menentukan garis persilangan (1 !~2 2) = n A pada satah unjuran mendatar D X E X F ( . Kemudian tunjuk K 1 dan unjurannya K 2 tentukan titik persilangan garis itu AC dengan A DEF.

Kami mengulangi algoritma untuk mencari titik persilangan sisi A ABC langsung Matahari dengan ADEF. Kami menutup matahari dalam satah unjuran hadapan tambahan p_L P 2 (Gamb. 79).

Kami mencari unjuran titik 3 dan 4 dan pada satah unjuran mendatar kita tentukan unjuran titik persilangan garis B 1 C [ dengan garis persilangan (3,-4,):

Talian komunikasi unjuran membolehkan anda mencari titik unjuran hadapannya M 2.

Menghubungkan titik yang ditemui Ki Mi cari garis persilangan dua satah generik A ABC n A DEF= AF (Gamb. 80).

Keterlihatan sisi AABC secara relatifnya ADEF ditentukan menggunakan mata bersaing. Mula-mula kita tentukan keterlihatan bentuk geometri pada satah unjuran P 2. Untuk melakukan ini, melalui mata yang bersaing 5 dan 6 (5 2 = 6 2) lukis garis komunikasi unjuran berserenjang dengan paksi unjuran x n(Gamb. 81).

Mengikut unjuran mendatar 5 U Dan 6 { titik 5 dan 6, di mana garis sambungan unjuran masing-masing bersilang dengan garis bersilang AC 4 D.F. ternyata titik 6 lebih jauh dari satah unjuran P 2 daripada titik 5. Oleh itu, titik 6 ialah garis lurus D.F. kepunyaannya kelihatan relatif kepada satah unjuran P 2 . Ia berikutan bahawa segmen (K 2 -6 2) akan tidak kelihatan. Begitu juga, kita menentukan keterlihatan sisi A LAN dan A DEF - matahari Dan D.F. mereka. segmen (F 2 -8 2) tidak akan kelihatan.

Keterlihatan AABC Dan ADEF relatif kepada satah unjuran П j, ditubuhkan sama. Untuk menentukan keterlihatan garis bersilang AC * DF Dan SM ±DF relatif kepada satah unjuran P] melalui mata yang bersaing 9 1 = 10 1 dan 11 1 = 12 1 kita melukis garis komunikasi unjuran secara berserenjang x p. Berdasarkan unjuran hadapan mata yang bersaing ini, kami menetapkan bahawa unjuran mata 10 2 dan 12 2 adalah lebih jauh dari satah unjuran P ( . Akibatnya, segmen (А^-УД dan (M g 2 1) akan tidak kelihatan. Oleh itu keterlihatan AABC Dan ADEF ditunjukkan dengan jelas dalam Rajah. 82.

SUDUT ANTARA PESAWAT

Pertimbangkan dua satah α 1 dan α 2, masing-masing ditakrifkan oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua satah kita akan memahami salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh satah ini. Jelas sekali bahawa sudut antara vektor normal dan satah α 1 dan α 2 adalah sama dengan salah satu sudut dihedral bersebelahan yang ditunjukkan atau . sebab tu . Kerana Dan , Itu

.

Contoh. Tentukan sudut antara satah x+2y-3z+4=0 dan 2 x+3y+z+8=0.

Keadaan untuk keselarian dua satah.

Dua satah α 1 dan α 2 adalah selari jika dan hanya jika vektor normalnya selari, dan oleh itu .

Jadi, dua satah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika pekali koordinat yang sepadan adalah berkadar:

atau

Keadaan serenjang satah.

Adalah jelas bahawa dua satah berserenjang jika dan hanya jika vektor normalnya berserenjang, dan oleh itu, atau .

Justeru, .

Contoh.

LURUS DI ANGKASA.

PERSAMAAN VEKTOR UNTUK GARIS.

PERSAMAAN LANGSUNG PARAMETRIK

Kedudukan garis dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menyatakan mana-mana titik tetapnya M 1 dan vektor selari dengan garis ini.

Vektor yang selari dengan garis dipanggil panduan vektor baris ini.

Jadi biarkan garis lurus l melalui satu titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1), terletak pada garis selari dengan vektor .

Pertimbangkan satu perkara yang sewenang-wenangnya M(x,y,z) pada garis lurus. Daripada rajah itu jelas bahawa .

Vektor dan adalah kolinear, jadi terdapat nombor sedemikian t, apa , di manakah pengganda t boleh mengambil sebarang nilai berangka bergantung pada kedudukan titik M pada garis lurus. Faktor t dipanggil parameter. Setelah menetapkan vektor jejari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , kita memperoleh . Persamaan ini dipanggil vektor persamaan garis lurus. Ia menunjukkan bahawa bagi setiap nilai parameter t sepadan dengan vektor jejari sesuatu titik M, berbaring di atas garis lurus.

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan bahawa, dan dari sini

Persamaan yang terhasil dipanggil parametrik persamaan garis lurus.

Apabila menukar parameter t perubahan koordinat x, y Dan z dan tempoh M bergerak dalam garis lurus.


PERSAMAAN KANON LANGSUNG

biarlah M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – titik terletak pada garis lurus l, Dan ialah vektor arahnya. Mari kita sekali lagi mengambil titik sewenang-wenangnya pada baris M(x,y,z) dan pertimbangkan vektor.

Adalah jelas bahawa vektor juga adalah kolinear, jadi koordinat sepadannya mestilah berkadar, oleh itu,

– berkanun persamaan garis lurus.

Nota 1. Ambil perhatian bahawa persamaan kanonik garis boleh didapati daripada parametrik dengan menghapuskan parameter t. Sesungguhnya, daripada persamaan parametrik yang kita perolehi atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis tersebut dalam bentuk parametrik.

Mari kita nyatakan , dari sini x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Biarkan garis lurus berserenjang dengan salah satu paksi koordinat, contohnya paksi lembu. Kemudian vektor arah garisan adalah serenjang lembu, oleh itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik garis akan menjadi bentuk

Mengecualikan parameter daripada persamaan t, kita memperoleh persamaan garis dalam bentuk

Walau bagaimanapun, dalam kes ini juga, kami bersetuju untuk menulis secara rasmi persamaan kanonik garis dalam bentuk . Oleh itu, jika penyebut salah satu pecahan ialah sifar, ini bermakna garis lurus adalah berserenjang dengan paksi koordinat yang sepadan.

Sama dengan persamaan kanonik sepadan dengan garis lurus yang berserenjang dengan paksi lembu Dan Oy atau selari dengan paksi Oz.

Contoh.

PERSAMAAN AM GARISAN LURUS SEBAGAI GARISAN PERSIMPANGAN DUA SATAH

Melalui setiap garis lurus di angkasa terdapat satah yang tidak terkira banyaknya. Mana-mana dua daripadanya, bersilang, mentakrifkannya dalam ruang. Akibatnya, persamaan mana-mana dua satah sedemikian, yang dipertimbangkan bersama, mewakili persamaan garis ini.

Secara umum, mana-mana dua satah tidak selari diberikan persamaan am

tentukan garis lurus persilangan mereka. Persamaan ini dipanggil persamaan am langsung.

Contoh.

Bina garis yang diberikan oleh persamaan

Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari mana-mana dua titiknya. Cara paling mudah ialah memilih titik persilangan garis lurus dengan satah koordinat. Contohnya, titik persilangan dengan satah xOy kita perolehi daripada persamaan garis lurus, dengan andaian z= 0:

Setelah menyelesaikan sistem ini, kami dapati maksudnya M 1 (1;2;0).

Begitu juga dengan andaian y= 0, kita mendapat titik persilangan garis dengan satah xOz:

Daripada persamaan am garis lurus seseorang boleh beralih kepada persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari titik tertentu M 1 pada garis lurus dan vektor arah garis lurus.

Koordinat titik M 1 kita peroleh daripada sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrari. Untuk mencari vektor arah, ambil perhatian bahawa vektor ini mestilah berserenjang dengan kedua-dua vektor normal Dan . Oleh itu, di luar vektor arah garis lurus l anda boleh mengambil produk vektor bagi vektor biasa:

.

Contoh. Berikan persamaan am bagi garis itu kepada bentuk kanonik.

Mari kita cari titik yang terletak pada garisan. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenangnya, sebagai contoh, y= 0 dan selesaikan sistem persamaan:

Vektor biasa satah yang menentukan garis mempunyai koordinat Oleh itu, vektor arah akan lurus

. Oleh itu, l: .


SUDUT ANTARA LURUS

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan memanggil mana-mana sudut bersebelahan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang dilukis melalui titik arbitrari selari dengan data.

Biarkan dua baris diberikan dalam ruang:

Jelas sekali, sudut φ antara garis lurus boleh diambil sebagai sudut antara vektor arah dan . Sejak , kemudian menggunakan formula untuk kosinus sudut antara vektor yang kita dapat

Biarkan dalam persamaan kanonik garis lurus

pekali adalah berbeza daripada sifar, iaitu garis lurus tidak selari dengan satah xOy. Mari kita tulis persamaan ini secara berasingan dalam bentuk ini:

Di bawah keadaan kami, persamaan (6) mentakrifkan garis lurus sepenuhnya. Setiap daripada mereka secara individu menyatakan satah, dengan yang pertama selari dengan paksi Oy, dan yang kedua dengan paksi

Oleh itu, mewakili garis lurus dengan persamaan bentuk (6), kami menganggapnya sebagai persilangan dua satah yang mengunjurkan garis lurus ini pada satah koordinat xOz dan yOz. Persamaan pertama (6), yang dipertimbangkan dalam satah, menentukan unjuran garis lurus yang diberikan pada satah ini; dengan cara yang sama, kedua persamaan (6), dipertimbangkan dalam satah, menentukan unjuran garis lurus yang diberikan pada satah yOz. Jadi, kita boleh mengatakan bahawa untuk memberikan persamaan garis lurus dalam bentuk (6) bermakna memberikan unjurannya pada satah koordinat xOz dan yOz.

Jika pekali panduan adalah sifar, maka sekurang-kurangnya satu daripada dua pekali yang lain, sebagai contoh, akan berbeza daripada sifar, iaitu garis lurus tidak akan selari dengan satah yOz. Dalam kes ini kita boleh menyatakan garis lurus

persamaan satah mengunjurkannya ke satah koordinat dengan menulis persamaan (5) dalam bentuk

Oleh itu, sebarang garis lurus boleh dinyatakan dengan persamaan dua satah yang melaluinya dan mengunjurkannya ke satah koordinat. Tetapi tidak perlu sama sekali untuk menentukan garis lurus hanya dengan sepasang satah sedemikian.

Terdapat banyak satah yang melalui setiap garis lurus. Mana-mana dua daripadanya, bersilang, mentakrifkannya dalam ruang. Akibatnya, persamaan mana-mana dua satah sedemikian, yang dipertimbangkan bersama, mewakili persamaan garis ini.

Secara umum, mana-mana dua satah tidak selari antara satu sama lain dengan persamaan am

tentukan garis lurus persilangan mereka.

Persamaan (7), dipertimbangkan bersama, dipanggil persamaan umum garis.

Daripada persamaan am garis lurus (7) kita boleh pergi ke persamaan kanoniknya. Untuk tujuan ini, kita mesti mengetahui beberapa titik pada garis dan vektor arah.

Kita boleh mencari koordinat titik dengan mudah daripada sistem persamaan tertentu dengan memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenangnya dan kemudian menyelesaikan sistem dua persamaan menggunakan sebutan dua koordinat yang tinggal.

Untuk mencari vektor arah garis lurus, kita perhatikan bahawa vektor ini, yang diarahkan di sepanjang garis persilangan satah ini, mestilah berserenjang dengan kedua-dua vektor normal satah ini. Sebaliknya, setiap vektor yang berserenjang dengan adalah selari dengan kedua-dua satah, dan oleh itu dengan garis yang diberikan.

Tetapi produk vektor juga mempunyai sifat ini. Oleh itu, hasil darab vektor bagi vektor biasa satah ini boleh diambil sebagai vektor arah garis lurus.

Contoh 1. Kurangkan persamaan garis kepada bentuk kanonik

Mari pilih salah satu koordinat sewenang-wenangnya. Biarkan, sebagai contoh,. Kemudian

dari mana Jadi, kami dapati titik (2, 0, 1) terletak pada garisan,

Sekarang mencari hasil vektor vektor, kita memperoleh vektor arah garis lurus Oleh itu, persamaan kanonik ialah:

Komen. Daripada persamaan garis lurus am dalam bentuk (7) anda boleh pergi ke persamaan kanonik tanpa menggunakan kaedah vektor.

Mari kita bincangkan dengan lebih terperinci sedikit tentang persamaan

Mari kita nyatakan x dan y daripada mereka melalui . Kemudian kita dapat:

di mana ia sepatutnya

Persamaan (6) dipanggil persamaan garis lurus dalam unjuran pada satah

Jom pasang makna geometri pemalar M dan N: M ialah pekali sudut unjuran garis tertentu pada satah koordinat (tangen sudut unjuran ini dengan paksi Oz), dan N ialah pekali sudut unjuran garis lurus ini ke satah koordinat (tangen sudut unjuran ini dengan paksi Oz). Oleh itu, nombor menentukan arah unjuran garis lurus yang diberikan pada dua satah koordinat, yang bermaksud ia juga mencirikan arah garis lurus yang diberikan itu sendiri. Oleh itu, nombor M dan N dipanggil pekali sudut baris ini.

Untuk mengetahui makna geometri pemalar, mari kita letakkan garis lurus dalam persamaan (6), maka kita perolehi: iaitu titik terletak pada garis lurus yang diberikan. Jelas sekali, titik ini ialah titik persilangan garis lurus ini dengan satah Jadi, ini adalah koordinat jejak garis lurus ini pada satah koordinat

Kini mudah untuk membuat peralihan daripada persamaan unjuran kepada persamaan kanonik. Biarkan, sebagai contoh, persamaan (6) diberikan. Menyelesaikan persamaan ini untuk , kita dapati:

daripadanya kita secara langsung memperoleh persamaan kanonik dalam bentuk

Contoh 2. Berikan persamaan kanonik bagi garis itu

kepada persamaan dalam unjuran pada satah

Kami menulis semula persamaan ini dalam bentuk

Menyelesaikan yang pertama daripada persamaan ini untuk x, dan yang kedua untuk y, kita dapati persamaan yang diperlukan dalam unjuran:

Contoh 3. Berikan persamaan dalam ppojeksyen

kepada bentuk kanonik.

Menyelesaikan persamaan ini untuk , kita dapat:

Persamaan kanonik bagi garis dalam ruang ialah persamaan yang mentakrifkan garisan yang melalui titik yang diberi kolinear ke vektor arah.

Biarkan satu titik dan vektor arah diberikan. Titik sewenang-wenangnya terletak pada garis l hanya jika vektor dan adalah kolinear, iaitu, syaratnya dipenuhi untuk mereka:

.

Persamaan di atas adalah persamaan kanonik bagi garis lurus.

Nombor m , n Dan hlm ialah unjuran vektor arah pada paksi koordinat. Oleh kerana vektor bukan sifar, maka semua nombor m , n Dan hlm tidak boleh serentak sama dengan sifar. Tetapi satu atau dua daripadanya mungkin menjadi sifar. Dalam geometri analitik, sebagai contoh, entri berikut dibenarkan:

,

yang bermaksud bahawa unjuran vektor pada paksi Oy Dan Oz adalah sama dengan sifar. Oleh itu, kedua-dua vektor dan garis yang ditakrifkan oleh persamaan kanonik adalah berserenjang dengan paksi Oy Dan Oz, iaitu kapal terbang yOz .

Contoh 1. Tulis persamaan untuk garis dalam ruang berserenjang dengan satah dan melalui titik persilangan satah ini dengan paksi Oz .

Penyelesaian. Mari kita cari titik persilangan satah ini dengan paksi Oz. Oleh kerana mana-mana titik terletak pada paksi Oz, mempunyai koordinat , maka, dengan andaian dalam persamaan satah yang diberikan x = y = 0, kita dapat 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh itu, titik persilangan satah ini dengan paksi Oz mempunyai koordinat (0; 0; 2) . Oleh kerana garis yang dikehendaki berserenjang dengan satah, ia adalah selari dengan vektor normalnya. Oleh itu, vektor arah garis lurus boleh menjadi vektor normal kapal terbang yang diberi.

Sekarang mari kita tuliskan persamaan yang diperlukan bagi garis lurus yang melalui titik A= (0; 0; 2) dalam arah vektor:

Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus boleh ditakrifkan oleh dua titik yang terletak di atasnya Dan Dalam kes ini, vektor arah garis lurus boleh menjadi vektor . Kemudian persamaan kanonik garisan itu mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2. Tulis persamaan untuk garis dalam ruang yang melalui titik dan .

Penyelesaian. Mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang diperlukan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam rujukan teori:

.

Oleh kerana , maka garis lurus yang dikehendaki adalah berserenjang dengan paksi Oy .

Lurus sebagai garis persilangan satah

Garis lurus dalam ruang boleh ditakrifkan sebagai garis persilangan dua satah tidak selari dan, iaitu, sebagai satu set titik yang memenuhi sistem dua persamaan linear

Persamaan sistem juga dipanggil persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3. Susun persamaan kanonik bagi garis dalam ruang yang diberikan oleh persamaan am

Penyelesaian. Untuk menulis persamaan kanonik garis atau, apakah perkara yang sama, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, anda perlu mencari koordinat mana-mana dua titik pada garisan. Mereka boleh menjadi titik persilangan garis lurus dengan mana-mana dua satah koordinat, sebagai contoh yOz Dan xOz .

Titik persilangan garis dan satah yOz mempunyai absis x= 0 . Oleh itu, andaikan dalam sistem persamaan ini x= 0, kita mendapat sistem dengan dua pembolehubah:

keputusan dia y = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mentakrifkan satu titik A(0; 2; 6) baris yang dikehendaki. Kemudian andaikan dalam sistem persamaan yang diberikan y= 0, kita mendapat sistem

keputusan dia x = -2 , z= 0 bersama-sama dengan y= 0 mentakrifkan satu titik B(-2; 0; 0) persilangan garis dengan satah xOz .

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis yang melalui titik A(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau selepas membahagikan penyebutnya dengan -2:

,

Bahagian