Nombor transendental dalam perkataan mudah. Apakah transendensi, atau mengapa kita tidak dapat mengenali diri kita sendiri. Lihat apa "Nombor Transendental" dalam kamus lain

Petikan yang mencirikan nombor Transendental

Sebagai tambahan kepada pembahagian nombor nyata kepada rasional dan tidak rasional, terdapat satu lagi pembahagian daripada mereka - kepada algebra dan transendental.

Jika nombor nyata memenuhi beberapa persamaan bentuk

dengan pekali integer, maka kita katakan bahawa nombor ini adalah algebra. Nombor nyata yang tidak memenuhi sebarang persamaan jenis ini dipanggil transendental. ( Nombor kompleks dibahagikan kepada algebra dan transendental dengan cara yang sama, tetapi dalam perkara berikut kita hanya akan berminat dengan nombor nyata.)

Adalah mudah untuk melihat bahawa setiap nombor rasional adalah algebra. Sebagai contoh, 5/7 memenuhi persamaan jenis yang diperlukan. Secara umum, sebarang nombor rasional memenuhi persamaan dan oleh itu adalah algebra.

Oleh kerana setiap nombor rasional adalah algebra, maka setiap nombor bukan algebra adalah tidak rasional (lihat kaedah 12 daripada jadual “Cara ungkapan: jika A, maka B” ditunjukkan pada halaman 40), atau, dalam bentuk yang lebih mudah untuk kita: setiap nombor transendental adalah tidak rasional. Pembahagian ini digambarkan secara skematik dalam Rajah. 15.

Dalam rajah ini, nombor muncul sebagai contoh nombor algebra. Mereka sememangnya algebra, kerana mereka memenuhi, masing-masing, persamaan algebra berikut:

Nombor, sebaliknya, disenaraikan sebagai contoh nombor transendental. (Nombor yang sama dengan 3.14159... ialah nisbah lilitan bulatan kepada panjang diameternya.) Kami tidak dapat memberikan di sini bukti transendensi nombor ini, kerana ia berdasarkan penggunaan kaedah yang lebih mendalam daripada mereka yang kita gunakan. Transendensi nombor telah ditubuhkan pada tahun 1882, tetapi transendensi nombor adalah hasil yang lebih lama - ia telah dibuktikan hanya pada tahun 1934. Nombor telah digunakan sebagai contoh oleh ahli matematik hebat David Hilbert apabila dia mengumumkan senarai terkenalnya dua puluh tiga masalah pada tahun 1900, dianggap oleh beliau sebagai masalah matematik yang paling penting yang belum diselesaikan. Khususnya, masalah ketujuh Hilbert ialah untuk mengetahui sama ada sesuatu nombor adalah algebra atau transendental jika diketahui bahawa nombor itu adalah algebra. (Kes-kes rasional dikecualikan, kerana dalam kes ini agak mudah untuk membuktikan bahawa nombor itu adalah algebra.) Pada tahun 1934, A. O. Gelfond dan, secara bebas, T. Schneider menetapkan bahawa nombor itu adalah transendental. Transendensi nombor, sudah tentu, kes khas keputusan umum ini.

Transendensi nombor juga mengikuti daripada keputusan ini. Malah, kita menandakan dengan , dan 10 dengan a. Berdasarkan takrifan logaritma perpuluhan

Jika nombor itu adalah algebra dan tidak rasional, maka mengikut teorem Gelfond-Schneider nombor itu mestilah transendental. Oleh kerana ia tidak begitu, ia sama ada rasional atau transendental. Tetapi di atas kami menunjukkan bahawa nombor itu tidak rasional. Oleh itu ia adalah transendental.

Secara umum, ia mengikuti daripada teorem Gelfond-Schneider bahawa semua nombor yang rasional adalah sama ada transendental atau rasional. Berdasarkan apa yang diperkatakan dalam § 3 (lihat juga latihan 4 pada halaman 97), ini bermakna bahawa bilangan itu adalah transendental untuk semua rasional positif, tidak termasuk yang berikut:

Kita tidak boleh lupa bahawa semua logaritma yang dibincangkan dalam buku ini adalah perpuluhan, iaitu, ia diambil dalam asas 10.

Oleh itu, semua nombor , di mana terdapat sebarang integer antara 1 dan 1000, tidak termasuk transendental. Sebaliknya, nilai fungsi trigonometri, seperti nombor, yang terbukti tidak rasional pada permulaan bab ini, adalah algebra. Keputusan umum yang berkaitan di sini dirumuskan seperti berikut untuk sebarang nombor rasional

Dalam bahagian ini, kita sekali lagi akan meninggalkan kerajaan integer yang indah dan selesa, di mana kita berjalan (saya hampir berkata mengembara) sambil mengkaji teori perbandingan. Jika kita menjejaki sejarah kemunculan dan perkembangan pengetahuan manusia tentang nombor, fakta yang agak paradoks akan muncul - sepanjang hampir keseluruhan sejarah berabad-abad lamanya, manusia telah menggunakan dalam amalan dan mengkaji dengan teliti sebahagian kecil daripada keseluruhan set nombor. hidup dalam alam semula jadi. Untuk masa yang lama, orang sama sekali tidak menyedari kewujudan, kerana ia kemudiannya ternyata, majoriti besar nombor nyata, dikurniakan dengan sifat yang menakjubkan dan misteri dan kini dipanggil transendental. Nilailah sendiri (saya menyenaraikan anggaran peringkat pembangunan konsep nombor nyata):

1) Abstraksi matematik yang bijak bagi nombor asli, datang dari kedalaman beribu-ribu tahun

Kejeniusan abstraksi ini sangat mengagumkan, dan kepentingannya untuk pembangunan umat manusia melebihi, mungkin, bahkan ciptaan roda. Kami telah terbiasa dengannya sehingga kami tidak lagi mengagumi pencapaian minda manusia yang paling cemerlang ini. Walau bagaimanapun, cuba, untuk keaslian yang lebih besar, bayangkan diri anda bukan sebagai pelajar matematik, tetapi manusia primitif, atau, katakan, seorang pelajar filologi, merumuskan dengan tepat apa yang mempunyai persamaan antara tiga pondok, tiga ekor lembu jantan, tiga pisang dan tiga pengimbas ultrasound (kami tidak mempertimbangkan persamaan tiga orang teman minum di sini). Menjelaskan kepada seseorang selain daripada matematik tentang nombor asli "tiga" adalah satu usaha yang hampir tiada harapan, tetapi sudah pun seorang anak manusia berusia lima tahun secara dalaman merasakan abstraksi ini dan mampu mengendalikannya secara bijak, meminta ibunya untuk tiga gula-gula sebaliknya daripada dua.

2) Pecahan, iaitu. nombor rasional positif

Pecahan secara semula jadi timbul apabila menyelesaikan masalah tentang pembahagian harta, mengukur plot tanah, mengira masa, dll. DALAM Yunani purba nombor rasional secara umum adalah simbol keharmonian dunia sekeliling dan manifestasi prinsip ketuhanan, dan semua segmen, sehingga beberapa waktu, dianggap sepadan, i.e. nisbah panjang mereka perlu dinyatakan sebagai nombor rasional, jika tidak, ia akan menjadi paip (dan tuhan tidak boleh membenarkan ini).

3) Nombor negatif dan sifar (mengikut beberapa sumber saintifik

Nombor negatif pada mulanya ditafsirkan sebagai hutang dalam pengiraan kewangan dan tukar barang, tetapi kemudian ternyata tanpa nombor negatif dan di kawasan lain aktiviti manusia tidak ada pelarian (mereka yang tidak percaya, biarkan mereka melihat termometer di luar tingkap pada musim sejuk). Angka sifar, pada pendapat saya, pada mulanya tidak berfungsi sebagai simbol ruang kosong dan ketiadaan sebarang kuantiti, tetapi sebagai simbol kesamaan dan kesempurnaan proses penyelesaian (sebanyak yang anda berhutang kepada jiran anda, anda memberi kembali kepada dia, dan kini sifar, iaitu, sayangnya).

4) Nombor algebra tidak rasional

Nombor tidak rasional ditemui di sekolah Pythagoras apabila cuba mengukur pepenjuru segi empat sama dengan sisinya, tetapi mereka merahsiakan penemuan ini - tidak kira berapa banyak masalah yang akan membawa kepada! Hanya pelajar yang paling stabil dari segi mental dan terbukti telah dimulakan ke dalam penemuan ini, dan ia ditafsirkan sebagai fenomena menjijikkan yang melanggar keharmonian dunia. Tetapi keperluan dan peperangan memaksa manusia untuk belajar membuat keputusan persamaan algebra bukan sahaja ijazah pertama dengan pekali integer. Selepas Galileo, projektil mula terbang dalam parabola, selepas Kepler, planet-planet terbang dalam bentuk elips, mekanik dan balistik menjadi sains tepat, dan di mana-mana perlu untuk menyelesaikan dan menyelesaikan persamaan yang akarnya adalah nombor tidak rasional. Oleh itu, kami terpaksa akur dengan kewujudan punca tidak rasional bagi persamaan algebra, tidak kira betapa menjijikkannya. Selain itu, kaedah untuk menyelesaikan persamaan kubik dan persamaan darjah keempat, ditemui pada abad ke-16 oleh ahli matematik Itali Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia (Tartaglia ialah nama panggilan yang bermaksud gagap, saya tidak tahu nama sebenarnya), Ludovic Ferrari dan Raphael Bombelli membawa kepada penciptaan nombor kompleks "ghaib" sepenuhnya, yang ditakdirkan untuk menerima pengiktirafan penuh hanya pada abad ke-19. Ketidakrasionalan algebra telah menjadi kukuh dalam amalan manusia sejak abad ke-16.

Dalam sejarah perkembangan konsep nombor ini, tidak ada tempat untuk nombor transendental, i.e. nombor yang bukan punca mana-mana persamaan algebra dengan rasional atau, yang setara (selepas dikurangkan kepada penyebut sepunya), pekali integer. Benar, walaupun orang Yunani purba mengetahui nombor p yang luar biasa, yang, seperti yang ternyata kemudian, adalah transendental, tetapi mereka mengetahuinya hanya sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameternya. Persoalan tentang sifat sebenar nombor ini tidak menarik minat sesiapa sahaja sehingga orang ramai berpuas hati dan tidak berjaya menyelesaikan masalah Yunani kuno mengenai kuasa dua bulatan, dan nombor p itu sendiri entah bagaimana secara misteri muncul dalam pelbagai bahagian matematik dan sains semula jadi.

Hanya pada tahun 1844 Liouville membina contoh pertama dari segi sejarah nombor transendental, dan dunia matematik terkejut dengan hakikat kewujudan nombor tersebut. Hanya pada abad ke-19 Georg Cantor yang cemerlang memahami, menggunakan konsep kuasa set, bahawa terdapat majoriti besar nombor transendental pada garis nombor. Hanya dalam perenggan kelima buku kecil ini akhirnya kita akan beralih kepada nombor transendental perhatian anda.

Titik 24. Ukur dan kategorikan pada garisan.

Dalam perenggan ini saya akan memberikan beberapa maklumat awal daripada analisis matematik yang diperlukan untuk memahami pembentangan selanjutnya. Dalam matematik, beberapa pemformalkan berbeza tentang konsep "kekecilan" sesuatu set telah dicipta. Kami memerlukan dua daripadanya - set ukuran sifar dan set kategori Baire pertama. Kedua-dua konsep ini bergantung pada konsep kebolehkiraan sesuatu set. Adalah diketahui bahawa set nombor rasional boleh dikira (| Q|= A 0), dan mana-mana set tak terhingga mengandungi subset boleh dikira, i.e. set boleh dikira adalah yang "terkecil" daripada yang tidak terhingga. Antara sebarang set boleh dikira dan set nombor asli N terdapat pemetaan bijektif, i.e. unsur-unsur bagi mana-mana set boleh kira boleh dinomborkan semula, atau, dengan kata lain, mana-mana set boleh kira boleh disusun dalam urutan. Tiada selang pada baris adalah set boleh dikira. Ini jelas berikutan daripada teorem berikut.

Teorem 1 (Cantor). Untuk sebarang urutan ( a n) nombor nyata dan untuk sebarang selang saya ada satu titik r TENTANG saya sedemikian rupa hlm № a n untuk sesiapa sahaja n TENTANG N .

Bukti. Proses. Kami mengambil segmen (iaitu segmen, bersama-sama dengan hujung) saya 1 J saya sedemikian rupa a 1 P saya 1. Dari satu segmen saya 1 ambil segmen saya 2 M saya 1 seperti itu a 2 P saya 2, dsb. Meneruskan proses, dari segmen saya n -1 ambil segmen saya n M saya n-1 seperti itu a n P saya n. Hasil daripada proses ini, kami memperoleh urutan segmen bersarang saya pertama saya 2 J...J saya n... persimpangan
yang, seperti yang kita ketahui dari kursus pertama, adalah tidak kosong, i.e. mengandungi beberapa titik
. Ia adalah jelas bahawa p# a n di hadapan semua orang n O N .

Saya tidak fikir bahawa pembaca sebelum ini tidak menemui bukti elegan ini (walaupun dalam amalan saya, saya telah menemui pelajar yang sangat kabur), cuma idea bukti ini akan digunakan kemudian dalam pembuktian teorem Baire dan oleh itu adalah berguna untuk mengingatnya terlebih dahulu.

Definisi. banyak A ketat dalam selang waktu saya, jika ia mempunyai persimpangan bukan kosong dengan setiap subselang dari saya. banyak A ketat jika ia ketat masuk R. banyak A tidak padat di mana-mana jika ia tidak padat dalam mana-mana selang pada garisan sebenar, i.e. Setiap selang pada baris mengandungi subselang yang terletak sepenuhnya pada pelengkap A .

Ia adalah mudah untuk memahami bahawa banyak A tiada tempat yang padat jika dan hanya jika pelengkapnya A ў mengandungi set terbuka yang padat. Ia adalah mudah untuk memahami bahawa banyak A tiada tempat yang ketat jika dan hanya jika penutupannya
tidak mempunyai sebarang titik dalaman.

Tiada set padat pada garisan secara intuitif dirasakan kecil dalam erti kata ia penuh dengan lubang dan titik set sedemikian terletak pada garisan agak jarang. Mari kita rumuskan beberapa sifat himpunan padat mana-mana secara beramai-ramai dalam bentuk teorem.

Teorem 2. 1) Mana-mana subset set nowhere padat tidak ada padat.

2) Penyatuan dua (atau mana-mana nombor terhingga) tiada set padat di mana-mana tidak padat.

3) Penutupan set nowhere padat tidak ada padat.

Bukti. 1) Jelas sekali.

2) Jika A 1 dan A 2 tidak padat, kemudian untuk setiap selang saya akan ada selang waktu saya 1 J ( saya \ A 1) dan saya 2 J ( saya 1 \ A 2). Bermaksud, saya 2 M saya \(A 1 saya A 2), yang bermaksud bahawa A 1 saya A 2 tidak ketat di mana-mana.

3) Jelas sekali, sebarang selang terbuka yang terkandung dalam A ў, juga terkandung dalam
.

Oleh itu, kelas himpunan padat tidak di mana-mana ditutup di bawah operasi pengambilan subset, operasi penutupan dan kesatuan terhingga. Penyatuan himpunan padat yang boleh dikira, secara amnya, tidak semestinya himpunan padat mana-mana. Contoh ini ialah set nombor rasional, yang padat di mana-mana, tetapi merupakan gabungan titik individu yang boleh dikira, setiap satunya membentuk satu unsur yang tidak padat di mana-mana. R .

Definisi. Satu set yang boleh diwakili sebagai kesatuan terhingga atau boleh dikira daripada set padat mana-mana dipanggil set kategori pertama (mengikut Baer). Satu set yang tidak boleh diwakili dalam bentuk ini dipanggil set kategori kedua.

Teorem 3. 1) Pelengkap mana-mana set kategori pertama pada baris adalah padat.

2) Tiada selang masuk R bukanlah satu set kategori pertama.

3) Persilangan mana-mana jujukan set terbuka tumpat ialah set tumpat.

Bukti. Tiga sifat yang dirumuskan dalam teorem pada dasarnya adalah setara. Mari kita buktikan yang pertama. biarlah

– perwakilan bagi satu set A kategori pertama dalam bentuk gabungan yang boleh dikira set padat mana-mana, saya– selang sewenang-wenangnya. Seterusnya ialah proses seperti dalam pembuktian teorem Cantor. Mari pilih segmen (iaitu segmen, bersama-sama dengan hujungnya) saya 1 J ( saya \ A 1). Ini boleh dilakukan, kerana sebagai tambahan kepada set tempat padat A 1 di dalam selang waktu saya sentiasa terdapat keseluruhan subselang, dan ia, seterusnya, mengandungi keseluruhan segmen di dalam dirinya sendiri. Jom pilih segmen saya 2 J ( saya 1 \ A 2). Jom pilih segmen saya 3 J ( saya 2 \ A 3) dsb. Persilangan segmen bersarang
tidak kosong, maka pelengkapnya saya \ A tidak kosong, yang bermaksud bahawa pelengkap A ў ketat.

Pernyataan kedua teorem mengikuti terus dari yang pertama, pernyataan ketiga juga mengikuti dari yang pertama, jika hanya anda berusaha dan beralih ke pelengkap dari urutan set terbuka yang padat.

Definisi. Kelas set yang mengandungi semua kemungkinan kesatuan terhingga atau boleh dikira ahlinya dan mana-mana subset ahlinya dipanggil s - ideal.

Jelas sekali, kelas semua paling banyak set boleh dikira adalah s-ideal. Selepas berfikir sedikit, mudah untuk memahami bahawa kelas semua set kategori pertama pada baris juga adalah s-ideal. Satu lagi contoh menarik bagi s-ideal disediakan oleh kelas yang dipanggil set nol (atau set ukuran sifar).

Definisi. banyak A M R dipanggil set ukuran sifar (set-null) jika A boleh diliputi dengan tidak lebih daripada set selang yang boleh dikira, jumlah panjangnya kurang daripada mana-mana nombor yang telah ditetapkan e >0, i.e. bagi mana-mana e >0 terdapat jujukan selang sedemikian saya n, Apa
dan e Ѕ I n Ѕ< e .

Konsep set nol ialah satu lagi pemformalkan konsep intuitif tentang "kekecilan" set: set null ialah set yang panjangnya kecil. Jelas sekali bahawa titik individu ialah set nol dan mana-mana subset bagi set null itu sendiri adalah set null. Oleh itu, fakta bahawa set nol membentuk s -ideal mengikuti daripada teorem berikut.

Teorem 4 (Lebesgue). Sebarang gabungan boleh dikira bagi set null ialah set null.

Bukti. biarlah A i– set nol, i= 1, 2, ... . Kemudian untuk semua orang i terdapat urutan selang saya ij( j=1, 2, ...) sedemikian
Dan
. Set semua selang saya ij meliputi A dan jumlah panjangnya adalah kurang daripada e, kerana
. Bermaksud, A– set nol.

Tiada selang atau segmen adalah set nol, kerana adil

Teorem 5 (Heine–Borel). Jika jujukan selang terhingga atau tak terhingga saya n meliputi selang waktu saya, Itu

S S saya n Ѕ і Ѕ saya Ѕ .

Saya tidak akan memberikan bukti teorem yang jelas intuitif ini di sini, kerana ia boleh didapati dalam mana-mana kursus yang lebih atau kurang serius dalam analisis matematik.

Daripada teorem Heine-Borel ia mengikuti bahawa s -ideal set nol, seperti s -ideal tidak lebih daripada set boleh dikira dan set kategori pertama, tidak mengandungi selang dan segmen. Persamaan ketiga-tiga cita-cita ini ialah ia merangkumi semua set terhingga dan boleh dikira. Di samping itu, terdapat set tidak boleh dikira kategori pertama bagi ukuran sifar. Contoh yang paling biasa bagi set sedemikian ialah set Cantor perfect (*). c M, terdiri daripada nombor yang notasi ternarinya tidak mengandungi satu. Ingat proses membina set sempurna Cantor: segmen dibahagikan kepada tiga bahagian yang sama dan selang terbuka tengah dibuang. Setiap baki dua pertiga segmen itu sekali lagi dibahagikan kepada tiga bahagian yang sama dan selang terbuka tengah dibuang, dsb. Adalah jelas bahawa set yang tinggal selepas proses ini tidak padat, i.e. kategori pertama. Adalah mudah untuk mengira bahawa jumlah panjang bahagian tengah yang dibuang adalah sama dengan satu, i.e. Dengan mempunyai ukuran sifar. Adalah diketahui bahawa Dengan tidak terkira, kerana banyak urutan tak terhingga yang terdiri daripada sifar dan dua (setiap elemen Dengan diwakili oleh pecahan terner di mana selepas titik perpuluhan terdapat urutan sifar dan dua dengan tepat).

Saya mencadangkan agar pembaca menyemak sendiri bahawa terdapat set kategori pertama yang bukan set nol, dan terdapat set nol yang bukan set kategori pertama (namun, jika anda mendapati sukar untuk menghasilkan contoh yang berkaitan, jangan putus asa, baca sahaja perkara ini kepada Teorem 6) .

Oleh itu, gambaran hubungan antara tiga s-ideal yang dipertimbangkan adalah seperti berikut:

Jadi, kami telah memperkenalkan dua konsep set kecil. Tidak ada yang paradoks bahawa set yang kecil dalam satu pengertian boleh menjadi besar dalam pengertian lain. Teorem berikut menggambarkan idea ini dengan baik dan menunjukkan bahawa dalam beberapa kes, konsep kekecilan yang kami perkenalkan mungkin bertukar menjadi bertentangan secara diametrik.

Teorem 6. Garis nombor boleh dibahagikan kepada dua set pelengkap A Dan DALAM Jadi A terdapat satu set kategori pertama, dan DALAM mempunyai ukuran sifar.

Bukti. biarlah a 1 , a 2 ,…, a n ,… – set bernombor nombor rasional (atau mana-mana subset tumpat lain yang boleh dikira di mana-mana R). biarlah saya ij– selang terbuka panjang 1/2 i+j dengan pusat pada titik a i. Mari kita pertimbangkan set:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ў .

Jelas sekali, untuk mana-mana e >0, kita boleh memilih j supaya 1/2 j< e . Тогда

,

oleh itu, DALAM– set nol.

Seterusnya,
– subset terbuka padat R kerana ia adalah penyatuan jujukan selang terbuka dan mengandungi semua titik rasional. Ini bermakna pelengkapnya Gjў tidak padat di mana-mana, oleh itu
– satu set kategori pertama.

Bukankah hasil yang menakjubkan! Daripada teorem terbukti, setiap subset baris, ternyata, boleh diwakili sebagai kesatuan set nol dan set kategori pertama. Dalam perenggan seterusnya kita akan melihat partition tertentu R menjadi dua subset, satu daripadanya ialah nombor Liouville transendental - mengukur sifar, tetapi kategori kedua menurut Baire. Cepat ke titik seterusnya!

Nombor dipanggil algebra, jika ia adalah punca beberapa polinomial dengan pekali integer

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(iaitu punca persamaan a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, Di mana a n, a n-1, ..., a 1, a 0--- integer, n 1, a n 0).

Kami menandakan set nombor algebra dengan huruf .

Adalah mudah untuk melihat bahawa sebarang nombor rasional adalah algebra. Sesungguhnya, punca persamaan qx-p=0 dengan pekali integer a 1 =q Dan a 0 =-p. Jadi, .

Walau bagaimanapun, tidak semua nombor algebra adalah rasional: sebagai contoh, nombor adalah punca persamaan x 2 -2=0, oleh itu, ialah nombor algebra.

Untuk masa yang lama, soalan penting untuk matematik masih tidak dapat diselesaikan: Adakah nombor nyata bukan algebra wujud? ? Hanya pada tahun 1844 Liouville mula-mula memberikan contoh nombor transendental (iaitu, bukan algebra).

Membina nombor ini dan membuktikan transendensinya adalah sangat sukar. Adalah mungkin untuk membuktikan teorem tentang kewujudan nombor transendental dengan lebih mudah, menggunakan pertimbangan tentang kesetaraan dan bukan kesetaraan set nombor.

Iaitu, kita akan membuktikan bahawa set nombor algebra boleh dikira. Kemudian, oleh kerana set semua nombor nyata tidak boleh dikira, kita akan mewujudkan kewujudan nombor bukan algebra.

Mari kita bina satu-dengan-satu surat-menyurat antara dan beberapa subset . Ini bermakna - terhingga atau boleh dikira. Tetapi sejak , Itu tidak terhingga, dan oleh itu boleh dikira.

Biarkan beberapa nombor algebra. Mari kita pertimbangkan semua polinomial dengan pekali integer yang puncanya ialah , dan pilih polinomial antaranya P darjah minimum (iaitu tidak akan menjadi punca mana-mana polinomial dengan pekali integer darjah yang lebih rendah).

Sebagai contoh, untuk nombor rasional polinomial sedemikian mempunyai darjah 1, dan untuk nombor ia mempunyai darjah 2.

Mari bahagikan semua pekali polinomial P oleh pembahagi sepunya terbesar mereka. Kami memperoleh polinomial yang pekalinya saling perdana (pembahagi sepunya terbesar ialah 1). Akhir sekali, jika pekali pendahulu a n adalah negatif, darab semua pekali polinomial dengan -1 .

Polinomial yang terhasil (iaitu, polinomial dengan pekali integer yang puncanya ialah nombor yang mempunyai darjah minimum yang mungkin, pekali koprima dan pekali pendahuluan positif) dipanggil polinomial minimum nombor itu.

Ia boleh dibuktikan bahawa polinomial sedemikian ditentukan secara unik: setiap nombor algebra mempunyai tepat satu polinomial minimum.

Bilangan punca sebenar polinomial tidak lebih besar daripada darjahnya. Ini bermakna kita boleh nombor (contohnya, dalam tertib menaik) semua punca polinomial tersebut.

Kini setiap nombor algebra ditentukan sepenuhnya oleh polinomial minimumnya (iaitu, set pekalinya) dan nombor yang membezakan polinomial ini daripada punca lain: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Jadi, untuk setiap nombor algebra kami telah mengaitkan set integer terhingga, dan daripada set ini ia boleh dibina semula secara unik (iaitu, set berbeza sepadan dengan nombor berbeza).

Marilah kita menomborkan semua nombor perdana dalam tertib menaik (mudah untuk menunjukkan bahawa terdapat banyak yang tidak terhingga). Kami mendapat urutan yang tidak terhingga (pk): p 1 =2,p 2 =3, p 3 =5, p 4 =7, ... Kini satu set integer (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) ia boleh dipadankan dengan kerja

(nombor ini adalah positif dan rasional, tetapi tidak selalu semula jadi, kerana antara nombor a 0, a 1, ..., a n-1, mungkin negatif). Perhatikan bahawa nombor ini ialah pecahan tidak boleh dikurangkan, kerana faktor perdana yang termasuk dalam pengembangan pengangka dan penyebut adalah berbeza. Perhatikan juga bahawa dua pecahan tidak dapat dikurangkan dengan pengangka dan penyebut positif adalah sama jika dan hanya jika kedua-dua pengangkanya adalah sama dan penyebutnya adalah sama.

Sekarang mari kita pertimbangkan pemetaan hujung ke hujung:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oleh kerana kami telah menetapkan set integer yang berbeza kepada nombor algebra yang berbeza, dan nombor rasional yang berbeza kepada set yang berbeza, maka kami telah mewujudkan korespondensi satu dengan satu antara set dan beberapa subset . Oleh itu, set nombor algebra boleh dikira.

Oleh kerana set nombor nyata tidak boleh dikira, kami telah membuktikan kewujudan nombor bukan algebra.

Walau bagaimanapun, teorem kewujudan tidak menunjukkan cara untuk menentukan sama ada nombor yang diberikan adalah algebra. Dan soalan ini kadang-kadang sangat penting untuk matematik.