Membandingkannya dengan fungsi jisim. Media, jenis, fungsi, peranan dan pengaruh. Jenis-jenis media

Fungsi. Jika setiap nilai pembolehubah x daripada set X dikaitkan, mengikut undang-undang yang terkenal, dengan nombor y tertentu, maka mereka mengatakan bahawa fungsi y=y(x) diberikan pada set X;

Had fungsi.

1. Biarkan X dan Y ialah ruang metrik, biarkan fungsi y=y(x) ditakrifkan dalam kejiranan titik x 0, kita katakan bahawa g ialah had fungsi untuk x à x 0 jika bagi setiap jujukan ( x n) dari ε kejiranan x 0 , menumpu kepada x 0 dengan sebutan berbeza daripada x 0 , jujukan yang sepadan f(x) (jujukan nilai fungsi) menumpu kepada nombor g.

a. Jika bagi mana-mana ε>0 terdapat δ>0 sehingga ρ (f(x),g)<ε, для любых х из Х, для которых ρ(x,х 0)<δ

b. g=f(x 0) ó|f(x)-f(x 0)|<ε для любых х из Х: |x-x 0 |<δ

Diperlukan dan ven. syarat kewujudan had: Agar g menjadi had f(x) untuk xàx 0, adalah perlu dan memadai bahawa bagi mana-mana ε>0 wujud N(x 0) supaya pengetahuan f(x) untuk semua nombor N( x 0) (tidak termasuk. mungkin x 0) menganggarkan nombor g dengan ralat< ε (Док-во от противного)

Teorem. Jika f(x) mempunyai had terhingga pada x à x 0, maka ia dihadkan dalam kejiranan x 0 (berdasarkan kriteria yang perlu dan mencukupi)

Tandatangani teorem pemuliharaan: Jika pada xàx 0 lim f(x)=g; g>0, maka terdapat α>0 sehingga dalam kejiranan x 0: f(x)>α>0; x!=x 0 (bukti mengikut syarat yang perlu dan mencukupi)

Teorem pada laluan ke had dalam saraf: Jika lim f 1,2 (x)=g 1,2, untuk sebarang x daripada N(x 0) ketaksamaan f 1 (x)≤f 2 (x) berlaku, maka g 1 ≤g 2

Teorem tentang had pembolehubah perantaraan: Jika lim f 1 (x)=lim f 2 (x)=g (xàx 0), dan dalam beberapa N(x 0) ketaksamaan f 1 (x) ≤ φ(x) ≤ f 2 (x) kekal, maka fungsi φ(x) mempunyai had g (Dokumen melalui takrifan had)

Fungsif(x) dipanggil berterusan pada titik x=x 0 jika had

lim f(x)=f(x 0) lim f(x 0 +h)=f(x 0)

Sifat fungsi berterusan: Jika f,g selanjar pada titik x 0, maka c*f(x) (c-const); f(x)+g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x) (g(x)!=0) juga merupakan fungsi selanjar.

Fungsi α dipanggil sangat kecil untuk x→x 0 jika lim α(x)=0 ;

Fungsi f dipanggil tanpa henti besar untuk xàx 0 jika lim f(x)=∞ ;

Lemma. Had terhingga f(x)=a ó f(x)=a+α(x) (α(x)-infinitesimal)

Teorem. Jumlah dan hasil darab nombor terhingga bagi banyak fungsi tak terhingga, serta hasil darab infinitesimal dengan terhad memberikan infinitesimal.

Teorem. Jika f(x) besar tak terhingga, maka 1/f(x) adalah kecil tak terhingga.

Perbandingan fungsi.

Jika bagi fungsi f(x) dan g(x) wujud c>0 supaya bagi mana-mana h dalam kejiranan x 0 ketaksamaan |f(x)| ≤ c|g(x)|, maka f dipanggil bersempadan berbanding dengan g. Dalam kes ini f(x)=O(g(x), xàx 0)

Lemma. Jika f(x) boleh diwakili sebagai f(x)=φ(x)*g(x), x adalah daripada kejiranan x 0 dan terdapat had terhingga lim φ(x)≤ x< ∞, тогда f(x)=O(g(x), xàx 0)

Lemma. Jika terdapat had terhingga f(x)/g(x) yang tidak bersamaan dengan sifar, maka f dan g ialah fungsi tertib yang sama.

f(x) dan g(x) dipanggil setara, jika terdapat φ(x) sedemikian rupa sehingga dalam beberapa N(x 0) kesamaan f(x) = φ(x)*g(x) dipegang, dan lim φ(x)=1. Oleh kerana kewujudan had fungsi pada satu titik adalah sifat tempatan, kelakuan φ(x) di luar N(x 0) tidak memainkan peranan. Hubungan kesetaraan adalah simetri, tidak seperti hubungan tertib.

α(x) dipanggil infinitesimal untuk xàx 0 berbanding dengan f(x), jika terdapat ε(x) sedemikian rupa sehingga dalam beberapa N(x 0) kesamaan berlaku untuk semua x: α(x)=ε(x)*f(x); xàx 0 . Dalam kes ini, ε(x) memenuhi syarat: lim ε(x)=0. Fungsi sedemikian ditetapkan seperti berikut: α (x)= o(f(x), xà x 0 ).

Jika kita menggantikan beberapa f(x) dengan g(x), maka f(x)-g(x) akan menjadi kesilapan mutlak, A

(f(x)-g(x))/f(x) akan menjadi ralat relatif.

Teorem. Agar f(x) dan g(x) bersamaan dengan xàx 0, adalah perlu dan memadai bahawa f(x)=g(x)+o(g(x)); (dari definisi kesetaraan)

Mengira had menggunakan Bab. bahagian fungsi.

Biarkan α(x) dan β(x) diberikan. Jika bagi mana-mana x daripada N(x 0) fungsi β(x)=α(x)+o(α(x)), maka fungsi α(x) dipanggil bahagian utama β(x). Bahagian utama fungsi ditentukan secara unik hanya jika anda menentukan jenis bahagian utama.

Lemma. Biarkan x 0 =limX; X bersarang dalam R; Jika fungsi β(x):XàR, Pada xàx 0, mempunyai bahagian utama dalam bentuk A*(x-x 0) k, A!=0, maka di antara semua bahagian utama jenis ini ia ditakrifkan secara unik.

Mata pecah.

1. Biarkan f(x) ditakrifkan. Dalam N(x 0). Titik x 0 dipanggil titik putus fungsi, jika f tidak ditakrifkan dalam titik x 0 atau ditakrifkan tetapi tidak selanjar di dalamnya.

Nesterova I.A. Media massa, jenis, fungsi, peranan dan pengaruh // Ensiklopedia Nesterov

Media adalah alat yang paling penting pembangunan sosial V dunia moden. Namun, di tangan yang tidak jujur, media bertukar menjadi alat propaganda yang canggih. Oleh itu, media Eropah telah meyakinkan penduduk EU selama bertahun-tahun bahawa pelarian adalah baik. Akibatnya ialah peningkatan jenayah dan kehilangan prinsip moral.

Takrif fungsi kecil, besar, setara (asymptotically equal), fungsi tertib yang sama, dan sifatnya diberikan. Bukti sifat dan teorem diberikan. Sifat dan teorem ini digunakan untuk membandingkan fungsi dan mengira had apabila hujah menghampiri titik terhingga atau tak terhingga.

Definisi

Definisi kecil
Simbol oh kecik menandakan sebarang tak terhingga fungsi kecil o (f(x)) berbanding dengan fungsi yang diberikan f (x) dengan hujah yang cenderung kepada nombor x terhingga atau tak terhingga 0 .

Fungsi α dipanggil sangat kecil berbanding dengan fungsi f di:
di
(dibaca: "ada kira-kira kecil dari bila"),
jika perkara sebegitu wujud kejiranan tertusuk titik di mana
pada ,
di mana ialah fungsi infinitesimal di:
.

Ciri-ciri kecil yang digunakan dalam siri kuasa
Di sini m dan n ialah nombor asli, .
;
;
, Jika ;
;
;
;
, Dimana ;
, di mana c ≠ 0 - malar;
.

Untuk membuktikan sifat ini, anda perlu menyatakan yang kecil melalui fungsi yang sangat kecil:
, Di mana.

Sifat fungsi yang setara


3) Jika , maka pada .

Teorem tentang hubungan antara fungsi setara dan kecil
.

Sifat ini selalunya ditulis seperti ini:
.
Pada masa yang sama mereka mengatakan bahawa ia adalah bahagian utama di . Pada masa yang sama, bahagian utama tidak ditakrifkan secara unik. Mana-mana fungsi yang setara adalah bahagian utama kepada yang asal.
Oleh kerana sifat simetri:
.

Teorem menggantikan fungsi dengan yang setara dalam had hasil
Jika, untuk , dan dan ada had
, maka ada hadnya
.

Disebabkan oleh sifat simetri fungsi setara, jika salah satu daripada had ini tidak wujud, maka yang lain juga tidak wujud.

Memandangkan mana-mana fungsi yang ditakrifkan pada beberapa kejiranan tertusuk titik adalah bersamaan dengan dirinya sendiri, maka terdapat had
.

Menggantikan fungsi g dan g 1 pada 1/g Dan 1/ g 1, kami memperoleh teorem yang serupa untuk produk.
Jika, untuk , dan , maka
.
Ini bermakna jika satu had wujud, maka yang lain juga wujud. Jika salah satu daripada had ini tidak wujud, maka yang kedua tidak wujud.

Lemma. Tanda fungsi susunan yang sama
(L1.1) ,
maka fungsi f dan g adalah susunan yang sama untuk:
di .

Bukti sifat dan teorem

Teorem. Hartanah tentang kecil

1) Jika , maka pada .

Bukti

biarlah .
,
Ini bermakna terdapat kejiranan tertusuk pada titik di mana perhubungan itu ditakrifkan dan oleh itu .
.
Kemudian di kawasan kejiranan ini
mana . Dengan syarat

lepas tu .
Harta 1) telah terbukti.
.

Bukti

2) Jika pada beberapa kejiranan tertusuk mata ,
.
dan , kemudian
.
Sejak , kemudian pada kejiranan tertusuk yang dianggap titik itu,

Sejak itu 0 Harta 2) telah terbukti.
3.2) ;
3.3) .

Bukti

3.1).
,
3.1), di mana c ≠
.
dan , kemudian
.
- malar.

mana . Mari perkenalkan fungsinya.
Kemudian
,
Harta 3.1) telah terbukti.
3.2).
Mari kita buktikan itu.
biarlah .
.
Mengikut definisi kecil,

mana .
Kemudian
,
Kemudian,
.
mana . Kerana
.
Kemudian di kawasan kejiranan ini
, Itu

Harta 3.2) telah terbukti.

3.3).

Mari kita buktikan itu.

Bukti

di mana,
,
Harta 3.1) telah terbukti.
Mengikut sifat aritmetik had fungsi, Harta 3.3) telah terbukti. Fungsi yang setara
.
Sifat fungsi yang setara 1) Sifat simetri. Jika, pada , maka . ,
.
Oleh kerana untuk , , maka mengikut takrifan fungsi setara, wujud kejiranan tertusuk pada titik yang

Oleh kerana fungsi mempunyai had bukan sifar, maka

Bukti

3) Jika , maka pada .

Bukti

teorem tentang sempadan dari bawah fungsi yang mempunyai had bukan sifar,
terdapat kejiranan tertusuk titik di mana .
Oleh kerana untuk , , maka mengikut takrifan fungsi setara, wujud kejiranan tertusuk pada titik yang

Oleh itu, di kawasan ini.

Oleh itu, fungsi ditakrifkan padanya.
.

Bukti

1. Keperluan. Biarkan fungsi dan setara untuk .
.
dan , kemudian
.
Kemudian di kawasan kejiranan ini
Kemudian

Keperluan telah terbukti.
.
2. Kecukupan. Biar pada ,
.
dan , kemudian
.
Kemudian di mana.

Dari sini

teorem tentang sempadan dari bawah fungsi yang mempunyai had bukan sifar

, terdapat kejiranan tertusuk titik , di mana dan, oleh itu, .

Kemudian terdapat kejiranan tertusuk pada titik di mana fungsi ditakrifkan dan bukan sifar dan, oleh itu, hasil bagi ditakrifkan:
Kami menggunakan sifat aritmetik bagi had fungsi:
(L1.1) ,
Teorem telah terbukti.
di .

Tanda fungsi susunan yang sama
;
;
Lemma .
Sekiranya terdapat had bukan sifar terhingga
,
maka fungsi f dan g adalah susunan yang sama pada , yang mana
Mari kita ubah ketidaksamaan dan gantikan:
,
maka fungsi f dan g adalah susunan yang sama pada , yang mana

(L1.2)

Daripada ketidaksamaan kedua:
atau .
Daripada ketaksamaan pertama (L1.2):
Lemma terbukti.

Sastera yang digunakan.

O.I. Besov. Kuliah mengenai analisis matematik. Bahagian 1. Moscow, 2004. L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 2003. CM. Nikolsky. Kursus analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 1983.

Rajah menunjukkan lengkung (dan garis lurus) yang menggambarkan salah satu ciri terpenting dalam astronomi - fungsi jisim awal bintang.

Fungsi jisim awal (IMF) boleh ditentukan dengan cara yang berbeza. Itu. intipati akan sama - berapa banyak bintang daripada apa jisim - tetapi formula boleh ditulis dalam beberapa versi. Ini penting untuk difahami untuk memahami apa yang ditunjukkan dalam gambar. Dan di atasnya penulis membentangkan beberapa fungsi jisim yang paling popular. Walau bagaimanapun, di sini kami tidak akan menulis formula (dan oleh itu tidak akan menerangkan secara terperinci apa yang diplot di sepanjang paksi menegak). Jisim bintang diplot di sepanjang paksi mendatar. Menegak - perkadaran jisim dalam tong logaritma (selang) jisim. Jika kita memplot bilangan bintang dalam selang jisim unit, maka lengkung akan naik lebih curam ke arah jisim yang lebih rendah.

Fungsi jisim yang paling popular di kalangan ahli astrofizik ialah fungsi Salpeter. Kembali pada tahun 1955, Salpeter menentukan bahawa taburan jisim digambarkan dengan baik oleh garis lurus pada skala logaritma. Itu. fungsi kuasa. Sememangnya, semakin rendah jisim, semakin banyak bintang tersebut. Fungsi jisim Salpeter digunakan untuk objek dengan jisim dari 0.1 hingga 120 jisim suria (garis putus-putus dalam rajah).

Berbanding dengan Salpeter, fungsi jisim lain mempunyai sekatan sama ada pada jisim kecil atau besar (atau kedua-duanya). Pengarang yang paling terkenal ialah Skala dan Krupa (lihat gambar). Fungsi jisim boleh ditentukan dengan cara yang berbeza: daripada kiraan bintang langsung kepada penggunaan ciri global (ditambah beberapa jenis model). Contohnya, anda boleh mengukur kecerahan galaksi dalam julat yang berbeza dan melihat taburan bintang mengikut jisim (dengan menetapkan model sinaran untuk setiap jisim pada setiap peringkat evolusi) yang boleh diterangkan. Adalah mungkin untuk menentukan fungsi jisim (terutamanya pada hujung jisim rendah) daripada data kanta mikro. Akhir sekali, seseorang boleh cuba membina lengkung teori dengan mensimulasikan proses kelahiran bintang pada komputer.

Apa kebenarannya, kita tidak tahu. Jika kita tidak bercakap tentang objek berjisim sangat rendah atau, sebaliknya, tentang bintang yang paling besar, maka fungsi Salpeter menerangkan segala-galanya dengan baik. Ngomong-ngomong, Baldry dan Glazebrook menulis dalam kerja mereka bahawa dalam julat jisim dari 0.5 hingga 120 jisim suria semuanya adalah sesuai dengan fungsi Salpeter (sekurang-kurangnya semuanya boleh digambarkan dengan satu garis lurus dengan cerun yang hampir dengan yang ditunjukkan dalam karya Salpeter 1955). Nampaknya, karya akan muncul untuk masa yang lama, di mana mereka akan menemui lebih banyak bukti yang memihak kepada fungsi massa Salpeterian atau memihak kepada Miller-Scalo, atau mereka akan menawarkan pilihan baru. Gambaran keseluruhan yang baik (tetapi lebih bersifat ad hoc) boleh didapati dalam karya Chabrier