rumah
Decking
Sistem persamaan homogen linear dengan kelewatan. Sistem keputusan asas (contoh konkrit). Penyelesaian sistem persamaan algebra linear bentuk am

Sistem persamaan homogen linear dengan kelewatan. Sistem keputusan asas (contoh konkrit). Penyelesaian sistem persamaan algebra linear bentuk am

Sistem persamaan linear di mana semua sebutan bebas adalah sama dengan sifar dipanggil homogen :

Mana-mana sistem homogen sentiasa konsisten, kerana ia sentiasa ada sifar (remeh ) penyelesaian. Persoalannya timbul dalam keadaan apa sistem homogen akan mempunyai penyelesaian yang tidak remeh.

Teorem 5.2.Sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika pangkat matriks asas adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Akibat. Sistem homogen persegi mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu matriks utama sistem itu tidak sama dengan sifar.

Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l yang mana sistem mempunyai penyelesaian bukan remeh dan cari penyelesaian ini:

Penyelesaian. Sistem ini akan mempunyai penyelesaian bukan remeh apabila penentu matriks utama adalah sama dengan sifar:

Oleh itu, sistem ini bukan remeh apabila l=3 atau l=2. Untuk l=3, pangkat matriks utama sistem ialah 1. Kemudian, tinggalkan hanya satu persamaan dan andaikan bahawa y=a Dan z=b, kita mendapatkan x=b-a, iaitu

Untuk l=2, pangkat matriks utama sistem ialah 2. Kemudian, pilih sebagai minor asas:

kita mendapat sistem yang dipermudahkan

Dari sini kita dapati itu x=z/4, y=z/2. Andainya z=4a, kita mendapatkan

Set semua penyelesaian sistem homogen mempunyai yang sangat penting sifat linear : jika X lajur 1 dan X 2 - penyelesaian sistem homogen AX = 0, maka sebarang kombinasi linear daripadanya a X 1+b X 2 juga akan menjadi penyelesaian sistem ini. Sesungguhnya, kerana AX 1 = 0 Dan AX 2 = 0 , Itu A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Disebabkan oleh sifat ini, jika sistem linear mempunyai lebih daripada satu penyelesaian, maka akan terdapat banyak penyelesaian ini secara tak terhingga.

Lajur Bebas Linear E 1 , E 2 , E k, yang merupakan penyelesaian sistem homogen, dipanggil sistem keputusan asas sistem persamaan linear homogen jika penyelesaian umum sistem ini boleh ditulis sebagai gabungan linear lajur ini:

Jika sistem homogen mempunyai n pembolehubah, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan r, Itu k = n-r.

Contoh 5.7. Cari sistem asas penyelesaian bagi sistem persamaan linear berikut:

Penyelesaian. Cari pangkat matriks utama sistem:

Oleh itu, set penyelesaian sistem persamaan ini membentuk subruang linear dimensi n - r= 5 - 2 = 3. Kami memilih sebagai minor asas

Kemudian tinggalkan persamaan asas sahaja (selebihnya ialah gabungan linear daripada persamaan ini) dan pembolehubah asas (selebihnya, yang dipanggil pembolehubah bebas, dipindahkan ke kanan), kita mendapat sistem persamaan yang dipermudahkan:

Andainya x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, kita dapati


Andainya a= 1, b=c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas pertama; mengandaikan b= 1, a = c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas kedua; mengandaikan c= 1, a = b= 0, kita memperoleh penyelesaian asas ketiga. Akibatnya, sistem asas penyelesaian biasa terbentuk

Dengan menggunakan sistem asas, penyelesaian umum sistem homogen boleh ditulis sebagai

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Mari kita perhatikan beberapa sifat penyelesaian sistem tak homogen bagi persamaan linear AX=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sepadan AX = 0.

Penyelesaian umum sistem tidak homogenadalah sama dengan jumlah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX = 0 dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem tidak homogen. Sesungguhnya, biarkan Y 0 ialah penyelesaian tertentu arbitrari bagi sistem tidak homogen, i.e. AY 0 = B, Dan Y ialah penyelesaian umum bagi sistem tidak homogen, i.e. AY=B. Menolak satu kesamaan daripada yang lain, kita dapat
A(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX=0. Oleh itu, Y-Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Biarkan sistem tidak homogen mempunyai bentuk AX = B 1 + B 2 . Kemudian penyelesaian umum sistem sedemikian boleh ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , di mana AX 1 = B 1 dan AX 2 = B 2. Sifat ini menyatakan sifat universal mana-mana sistem linear(algebra, pembezaan, fungsian, dsb.). Dalam fizik, sifat ini dipanggil prinsip superposisi, dalam kejuruteraan elektrik dan radio - prinsip tindanan. Sebagai contoh, dalam teori litar elektrik linear, arus dalam mana-mana litar boleh diperoleh sebagai jumlah algebra bagi arus yang disebabkan oleh setiap sumber tenaga secara berasingan.

Sistem persamaan homogen linear- mempunyai bentuk ∑a k i x i = 0. dengan m > n atau m Sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten, kerana rangA = rangB . Ia pasti mempunyai penyelesaian yang terdiri daripada sifar, yang dipanggil remeh.

Tugasan perkhidmatan. Kalkulator dalam talian direka bentuk untuk mencari penyelesaian yang tidak remeh dan asas kepada SLAE. Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam fail Word (lihat contoh penyelesaian).

Arahan. Pilih dimensi matriks:

Sifat sistem persamaan homogen linear

Agar sistem mempunyai penyelesaian yang tidak remeh, adalah perlu dan memadai bahawa pangkat matriksnya kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Teorem. Sistem dalam kes m=n mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu sistem ini sama dengan sifar.

Teorem. Mana-mana kombinasi linear penyelesaian kepada sistem juga merupakan penyelesaian kepada sistem itu.
Definisi. Set penyelesaian kepada sistem persamaan homogen linear dipanggil sistem keputusan asas jika koleksi ini terdiri daripada penyelesaian bebas linear dan sebarang penyelesaian sistem adalah gabungan linear penyelesaian ini.

Teorem. Jika pangkat r bagi matriks sistem adalah kurang daripada bilangan n yang tidak diketahui, maka terdapat sistem asas penyelesaian yang terdiri daripada (n-r) penyelesaian.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan homogen linear

  1. Cari pangkat matriks itu.
  2. Kami memilih bawah umur asas. Kami memilih bergantung (asas) dan bebas yang tidak diketahui.
  3. Kami memotong persamaan sistem yang pekalinya tidak termasuk dalam minor asas, kerana ia adalah akibat daripada yang lain (mengikut teorem kecil asas).
  4. Istilah persamaan yang mengandungi tidak diketahui percuma akan dipindahkan ke sebelah kanan. Akibatnya, kita memperoleh sistem persamaan r dengan r tidak diketahui, bersamaan dengan yang diberikan, penentunya berbeza daripada sifar.
  5. Kami menyelesaikan sistem yang terhasil dengan menghapuskan yang tidak diketahui. Kami mendapati hubungan menyatakan pembolehubah bersandar dari segi yang bebas.
  6. Jika pangkat matriks tidak sama dengan bilangan pembolehubah, maka kita dapati keputusan asas sistem.
  7. Dalam kes rang = n, kita mempunyai penyelesaian yang remeh.

Contoh. Cari asas sistem vektor (a 1 , a 2 ,...,a m), pangkat dan ungkapkan vektor dalam sebutan tapak. Jika a 1 =(0,0,1,-1) dan 2 =(1,1,2,0) dan 3 =(1,1,1,1) dan 4 =(3,2,1,4) , dan 5 =(2,1,0,3).
Kami menulis matriks utama sistem:


Darab baris ke-3 dengan (-3). Mari tambah baris ke-4 kepada baris ke-3:
0 0 1 -1
0 0 -1 1
0 -1 -2 1
3 2 1 4
2 1 0 3

Darab baris ke-4 dengan (-2). Darab baris ke-5 dengan (3). Mari tambah baris ke-5 ke baris ke-4:
Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:
Cari pangkat matriks itu.
Sistem dengan pekali matriks ini adalah setara dengan sistem asal dan mempunyai bentuk:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Dengan kaedah penghapusan yang tidak diketahui, kami dapati penyelesaian yang tidak remeh:
Kami mendapat hubungan yang menyatakan pembolehubah bersandar x 1, x 2, x 3 melalui x 4 percuma, iaitu, kami menemui penyelesaian umum:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Persamaan linear dipanggil homogen jika pintasannya adalah sifar, dan tidak homogen sebaliknya. Sistem yang terdiri daripada persamaan homogen dipanggil homogen dan mempunyai bentuk umum:

Jelas sekali, mana-mana sistem homogen adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian sifar (remeh). Oleh itu, berhubung dengan sistem persamaan linear homogen, seseorang sering perlu mencari jawapan kepada persoalan kewujudan penyelesaian bukan sifar. Jawapan kepada soalan ini boleh dirumuskan sebagai teorem berikut.

Teorem . Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika pangkatnya kurang daripada bilangan yang tidak diketahui .

Bukti: Katakan sistem yang pangkatnya sama mempunyai penyelesaian bukan sifar. Jelas sekali, tidak melebihi . Dalam kes sistem mempunyai penyelesaian yang unik. Oleh kerana sistem persamaan linear homogen sentiasa mempunyai penyelesaian sifar, penyelesaian sifarlah yang akan menjadi penyelesaian unik ini. Oleh itu, penyelesaian bukan sifar hanya boleh dilakukan untuk .

Akibat 1 : Sistem persamaan homogen, di mana bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, sentiasa mempunyai penyelesaian bukan sifar.

Bukti: Jika sistem persamaan mempunyai , maka pangkat sistem tidak melebihi bilangan persamaan, i.e. . Oleh itu, syaratnya dipenuhi dan, oleh itu, sistem mempunyai penyelesaian bukan sifar.

Akibat 2 : Sistem persamaan homogen dengan tidak diketahui mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika penentunya adalah sifar.

Bukti: Katakan satu sistem persamaan homogen linear yang matriksnya dengan penentu mempunyai penyelesaian bukan sifar. Kemudian, menurut teorem terbukti, , yang bermaksud bahawa matriks adalah merosot, i.e. .

Teorem Kronecker-Capelli: SLE adalah konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan sistem ini. Sistem ur-th dipanggil serasi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Sistem homogen persamaan algebra linear.

Sistem persamaan linear m dengan n pembolehubah dipanggil sistem persamaan homogen linear jika semua sebutan bebas adalah sama dengan 0. Sistem persamaan homogen linear sentiasa serasi, kerana ia sentiasa mempunyai sekurang-kurangnya penyelesaian sifar. Sistem persamaan homogen linear mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika pangkat matriks pekalinya pada pembolehubah adalah kurang daripada bilangan pembolehubah, i.e. untuk pangkat A (n. Mana-mana kombinasi linear

penyelesaian sistem garisan. homogen ur-ii juga merupakan penyelesaian kepada sistem ini.

Sistem penyelesaian bebas linear e1, e2,…,ek dipanggil asas jika setiap penyelesaian sistem ialah gabungan penyelesaian linear. Teorem: jika kedudukan r bagi matriks pekali pada pembolehubah sistem persamaan homogen linear adalah kurang daripada bilangan pembolehubah n, maka mana-mana sistem asas penyelesaian sistem terdiri daripada penyelesaian n-r. Oleh itu, penyelesaian umum sistem garisan. bujang ur-th mempunyai bentuk: c1e1+c2e2+…+ckek, dengan e1, e2,…, ek ialah sebarang sistem asas penyelesaian, c1, c2,…,ck ialah nombor arbitrari dan k=n-r. Penyelesaian umum sistem persamaan linear m dengan n pembolehubah adalah sama dengan hasil tambah

penyelesaian umum sistem yang sepadan dengannya adalah homogen. persamaan linear dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem ini.

7. Ruang linear. Subruang. Asas, dimensi. Cangkang linear. Ruang linear dipanggil n-dimensi, jika ia mengandungi sistem vektor bebas linear, dan mana-mana sistem lebih banyak vektor adalah bergantung secara linear. Nombor dipanggil dimensi (bilangan ukuran) ruang linear dan dilambangkan dengan . Dalam erti kata lain, dimensi ruang ialah bilangan maksimum vektor bebas linear dalam ruang itu. Jika nombor sedemikian wujud, maka ruang itu dikatakan sebagai dimensi terhingga. Jika untuk apa-apa nombor asli n dalam ruang terdapat sistem yang terdiri daripada vektor bebas linear, maka ruang sedemikian dipanggil dimensi tak terhingga (tulis: ). Dalam perkara berikut, melainkan dinyatakan sebaliknya, ruang dimensi terhingga akan dipertimbangkan.

Asas ruang linear n-dimensi ialah set tertib bagi vektor bebas linear ( vektor asas).

Teorem 8.1 tentang pengembangan vektor dari segi asas. Jika ialah asas ruang linear n-dimensi, maka mana-mana vektor boleh diwakili sebagai gabungan linear vektor asas:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+ms
dan, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik, i.e. pekali ditentukan secara unik. Dalam erti kata lain, mana-mana vektor ruang boleh dikembangkan secara asas dan, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik.

Sesungguhnya, dimensi ruang adalah . Sistem vektor adalah bebas linear (ini adalah asas). Selepas mencantumkan mana-mana vektor ke asas, kita mendapat sistem bersandar linear (memandangkan sistem ini terdiri daripada vektor dalam ruang n-dimensi). Dengan sifat 7 vektor bersandar linear dan bebas linear, kita memperoleh kesimpulan teorem.

Pertimbangkan sistem homogen m persamaan linear dengan n pembolehubah:

(15)

Sistem persamaan linear homogen sentiasa serasi, kerana ia sentiasa mempunyai penyelesaian sifar (remeh) (0,0,…,0).

Jika dalam sistem (15) m=n dan , maka sistem hanya mempunyai penyelesaian sifar, yang mengikuti dari teorem dan formula Cramer.

Teorem 1. Sistem homogen (15) mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika pangkat matriksnya kurang daripada bilangan pembolehubah, i.e. . r(A)< n.

Bukti. Kewujudan penyelesaian bukan remeh sistem (15) adalah bersamaan dengan kebergantungan linear lajur matriks sistem (iaitu, terdapat nombor sedemikian x 1 , x 2 ,…, x n , tidak semua sama dengan sifar , bahawa kesamaan (15) adalah sah).

Mengikut teorem minor asas, lajur matriks adalah bersandar secara linear , apabila tidak semua lajur matriks ini adalah asas, i.e.  apabila susunan r bagi minor asas matriks adalah kurang daripada nombor n lajurnya. Ch.t.d.

Akibat. Sistem homogen segi empat sama mempunyai penyelesaian bukan remeh  apabila |A|=0.

Teorem 2. Jika lajur x (1), x (2), ..., x (s) bagi penyelesaian sistem homogen AX=0, maka sebarang kombinasi linear daripadanya juga merupakan penyelesaian kepada sistem ini.

Bukti. Pertimbangkan sebarang kombinasi penyelesaian:

Kemudian AX=A()===0. h.t.d.

Akibat 1. Jika sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan remeh, maka ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Itu. adalah perlu untuk mencari penyelesaian sedemikian x (1), x (2), ..., x (s) sistem Ax = 0, supaya sebarang penyelesaian lain sistem ini boleh diwakili sebagai gabungan linear daripadanya dan , lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik.

Definisi. Sistem k=n-r (n ialah bilangan yang tidak diketahui dalam sistem, r=rg A) bagi penyelesaian bebas linear x (1) ,x (2) ,…,x (k) sistem Ax=0 dipanggil sistem keputusan asas sistem ini.

Teorem 3. Biarkan sistem homogen Ax=0 dengan n tidak diketahui dan r=rg A diberikan. Maka terdapat satu set k=n-r larutan x (1) ,x (2) ,…,x (k) sistem ini yang membentuk sistem asas penyelesaian.

Bukti. Tanpa kehilangan keluasan, kita boleh menganggap bahawa asas minor bagi matriks A terletak di sudut kiri atas. Kemudian, mengikut teorem minor asas, baris yang tinggal bagi matriks A adalah gabungan linear baris asas. Ini bermakna jika nilai x 1 ,x 2 ,…,x n memenuhi persamaan r pertama i.e. persamaan yang sepadan dengan baris minor asas), maka mereka juga memenuhi persamaan lain. Oleh itu, set penyelesaian sistem tidak akan berubah jika semua persamaan bermula dari (r + 1)th dibuang. Kami mendapat sistem:

Mari alihkan x r +1 percuma yang tidak diketahui, x r +2 ,…,x n ke sebelah kanan dan biarkan yang asas x 1 , x 2 ,…, x r di sebelah kiri:

(16)

Kerana dalam kes ini, semua b i =0, kemudian bukannya formula

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a dalam)) j=1,2,…,r ((13), kita dapat:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a dalam)) j=1,2,…,r (13)

Jika tidak diketahui percuma х r +1 ,х r +2 ,…,x n ditetapkan kepada nilai arbitrari, maka berkenaan dengan asas tidak diketahui kita memperoleh SLAE segi empat sama dengan matriks bukan tunggal yang mempunyai penyelesaian unik. Oleh itu, sebarang penyelesaian SLAE homogen ditentukan secara unik oleh nilai-nilai yang tidak diketahui bebas х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Pertimbangkan siri k=n-r berikut bagi nilai yang tidak diketahui bebas:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Nombor siri ditunjukkan oleh superskrip dalam kurungan, dan siri nilai ditulis dalam bentuk lajur. Dalam setiap siri =1 jika i=j dan =0 jika ij.

siri ke-i nilai yang tidak diketahui percuma secara unik sepadan dengan nilai,,…, asas yang tidak diketahui. Nilai-nilai yang tidak diketahui bebas dan asas bersama-sama memberikan penyelesaian kepada sistem (17).

Mari kita tunjukkan bahawa lajur e i =,i=1,2,…,k (18)

membentuk sistem penyelesaian asas.

Kerana lajur ini dengan pembinaan adalah penyelesaian sistem homogen Ax=0 dan bilangannya adalah sama dengan k, maka ia kekal untuk membuktikan kebebasan linear penyelesaian (16). Biarkan terdapat gabungan linear penyelesaian e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), sama dengan lajur sifar:

1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Kemudian sebelah kiri kesamaan ini ialah lajur yang komponennya dengan nombor r+1,r+2,…,n adalah sama dengan sifar. Tetapi komponen (r+1)th adalah sama dengan  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Begitu juga, komponen (r+2)-th adalah sama dengan  2 ,…, komponen k-th adalah sama dengan  k . Oleh itu  1 =  2 = …= k =0, yang bermaksud kebebasan linear penyelesaian e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Sistem asas penyelesaian (18) yang dibina dipanggil biasa. Berdasarkan formula (13), ia mempunyai bentuk berikut:

(20)

Akibat 2. biarlah e 1 , e 2 ,…, e k-sistem asas biasa bagi penyelesaian sistem homogen, maka set semua penyelesaian boleh diterangkan dengan formula:

x=c 1 e 1 + daripada 2 e 2 +…+с k e k (21)

di mana с 1 ,с 2 ,…,с k – mengambil nilai sewenang-wenangnya.

Bukti. Mengikut Teorem 2, lajur (19) ialah penyelesaian kepada sistem homogen Ax=0. Ia kekal untuk membuktikan bahawa sebarang penyelesaian sistem ini boleh diwakili dalam bentuk (17). Pertimbangkan lajur X=y r +1 e 1 +…+yn e k. Lajur ini bertepatan dengan lajur y dari segi unsur dengan nombor r+1,…,n dan merupakan penyelesaian kepada (16). Oleh itu lajur X Dan di padan, kerana penyelesaian sistem (16) ditentukan secara unik oleh set nilai yang tidak diketahui bebasnya x r +1 ,…,x n , dan lajur di Dan X set ini sepadan. Oleh itu, di=X= y r +1 e 1 +…+yn e k, iaitu penyelesaian di ialah gabungan linear lajur e 1 ,…,y n FSR biasa. Ch.t.d.

Pernyataan yang dibuktikan adalah benar bukan sahaja untuk FSR biasa, tetapi juga untuk FSR sewenang-wenangnya SLAE homogen.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - keputusan bersama sistem persamaan homogen linear

Di mana Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r ialah sebarang sistem asas penyelesaian,

c 1 ,c 2 ,…,с n - r ialah nombor arbitrari.

Contoh. (ms 78)

Marilah kita mewujudkan hubungan antara penyelesaian SLAE yang tidak homogen (1) dan SLAE homogen yang sepadan (15)

Teorem 4. Hasil tambah sebarang penyelesaian bagi sistem tak homogen (1) dan sistem homogen sepadan (15) ialah penyelesaian kepada sistem (1).

Bukti. Jika c 1 ,…,c n ialah penyelesaian kepada sistem (1), dan d 1 ,…,d n ialah penyelesaian kepada sistem (15), kemudian menggantikan kepada mana-mana (contohnya, i-th) persamaan sistem (1) sebagai ganti nombor yang tidak diketahui c 1 +d 1 ,…,c n +d n , kita dapat:

B i +0=b i

Teorem 5. Perbezaan dua penyelesaian arbitrari sistem tidak homogen (1) ialah penyelesaian sistem homogen (15).

Bukti. Jika c 1 ,…,c n dan c 1 ,…,c n ialah penyelesaian sistem (1), maka gantikan kepada mana-mana (contohnya, i-th) persamaan sistem (1) sebagai ganti yang tidak diketahui nombor c 1 -с 1 ,…,c n -с n , kita dapat:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

Ia berikutan daripada teorem yang telah terbukti bahawa penyelesaian am bagi sistem persamaan homogen linear m dengan n pembolehubah adalah sama dengan jumlah penyelesaian umum sistem persamaan linear homogen yang sepadan (15) dan nombor arbitrari bagi penyelesaian tertentu ini. sistem (15).

X neod. =X jumlah satu +X kerap lebih daripada satu (22)

Sebagai penyelesaian tertentu kepada sistem tidak homogen, adalah wajar untuk mengambil penyelesaiannya, yang diperoleh jika dalam formula c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a dalam)) j=1,2,…,r ((13) set sama dengan sifar semua nombor c r +1 ,…,c n , i.e.

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Menambah penyelesaian khusus ini kepada penyelesaian umum X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r sistem homogen yang sepadan, kami memperoleh:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C n - r X n - r (24)

Pertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah:

di mana sekurang-kurangnya satu daripada pekali aij 0.

Untuk menyelesaikannya, kami mengecualikan x 2 dengan mendarabkan persamaan pertama dengan 22, dan yang kedua dengan (-a 12) dan menambahkannya: Hapuskan x 1 dengan mendarabkan persamaan pertama dengan (-a 21), dan yang kedua dengan 11 dan menambahnya: Ungkapan dalam kurungan - penentu

Menandakan ,, maka sistem akan mengambil bentuk:, iaitu, jika, maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik:,.

Jika Δ=0, a (atau), maka sistem itu tidak konsisten, kerana dikurangkan kepada bentuk Jika Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, maka sistem itu tidak pasti, kerana dibawa ke fikiran

Sistem m persamaan linear c n tidak diketahui dipanggil sistem homogen linear persamaan jika semua sebutan bebas adalah sama dengan sifar. Sistem sedemikian kelihatan seperti:

di mana dan ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - nombor yang diberikan; x i- tidak diketahui.

Sistem persamaan homogen linear sentiasa konsisten, kerana r(A) = r(). Ia sentiasa mempunyai sekurang-kurangnya sifar ( remeh) penyelesaian (0; 0; ...; 0).

Mari kita pertimbangkan dalam keadaan apa sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan sifar.

Teorem 1. Sistem persamaan homogen linear mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika pangkat matriks utamanya r kurang yang tidak diketahui n, iaitu r < n.

□ 1). Biarkan sistem persamaan homogen linear mempunyai penyelesaian bukan sifar. Oleh kerana pangkat tidak boleh melebihi saiz matriks, jelas sekali r ≤ n. biarlah r = n. Kemudian salah seorang kanak-kanak bawah umur n n berbeza dengan sifar. Oleh itu, sistem persamaan linear yang sepadan mempunyai penyelesaian yang unik: , , . Justeru, tiada penyelesaian selain yang remeh temeh. Jadi, jika ada penyelesaian yang tidak remeh, maka r < n.

2). biarlah r < n. Kemudian sistem homogen, yang konsisten, adalah tidak tentu. Oleh itu, ia mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, i.e. juga mempunyai penyelesaian bukan sifar. ■

Pertimbangkan sistem homogen n persamaan linear c n tidak diketahui:

(2)

Teorem 2. sistem homogen n persamaan linear c n tidak diketahui (2) mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika penentunya sama dengan sifar: = 0.

□ Jika sistem (2) mempunyai penyelesaian bukan sifar, maka = 0. Untuk pada , sistem hanya mempunyai penyelesaian sifar unik. Jika = 0, maka pangkatnya r matriks utama sistem adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui, i.e. r < n. Dan, oleh itu, sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, i.e. juga mempunyai penyelesaian bukan sifar. ■

Nyatakan penyelesaian sistem (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n sebagai rentetan .

Penyelesaian kepada sistem persamaan homogen linear mempunyai sifat berikut:

1. Jika rentetan ialah penyelesaian kepada sistem (1), maka rentetan itu juga merupakan penyelesaian kepada sistem (1).

2. Jika garisan dan merupakan penyelesaian sistem (1), kemudian untuk sebarang nilai Dengan 1 dan Dengan 2 gabungan linear mereka juga merupakan penyelesaian kepada sistem (1).

Anda boleh menyemak kesahihan sifat ini dengan menggantikannya secara langsung ke dalam persamaan sistem.

Ia berikutan daripada sifat yang dirumuskan bahawa sebarang kombinasi linear penyelesaian kepada sistem persamaan homogen linear juga merupakan penyelesaian kepada sistem ini.

Sistem penyelesaian bebas linear e 1 , e 2 , …, e r dipanggil asas, jika setiap penyelesaian sistem (1) ialah gabungan linear bagi penyelesaian ini e 1 , e 2 , …, e r.

Teorem 3. Jika pangkat r matriks pekali bagi pembolehubah sistem persamaan homogen linear (1) adalah kurang daripada bilangan pembolehubah n, maka mana-mana sistem asas penyelesaian kepada sistem (1) terdiri daripada n–r penyelesaian.

sebab tu keputusan bersama sistem persamaan homogen linear (1) mempunyai bentuk:

di mana e 1 , e 2 , …, e r ialah sebarang sistem asas penyelesaian kepada sistem (9), Dengan 1 , Dengan 2 , …, dengan p- nombor sewenang-wenangnya, R = n–r.

Teorem 4. Penyelesaian sistem am m persamaan linear c n tidak diketahui adalah sama dengan jumlah penyelesaian am sistem sepadan persamaan homogen linear (1) dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem ini (1).

Contoh. Selesaikan sistem

Penyelesaian. Untuk sistem ini m = n= 3. Penentu

oleh Teorem 2, sistem hanya mempunyai penyelesaian remeh: x = y = z = 0.

Contoh. 1) Cari penyelesaian umum dan khusus sistem

2) Cari sistem asas penyelesaian.

Penyelesaian. 1) Untuk sistem ini m = n= 3. Penentu

oleh Teorem 2, sistem mempunyai penyelesaian bukan sifar.

Oleh kerana hanya terdapat satu persamaan bebas dalam sistem

x + y – 4z = 0,

maka daripadanya kita luahkan x =4z- y. Dari mana kita mendapat set penyelesaian yang tidak terhingga: (4 z- y, y, z) ialah penyelesaian umum sistem.

Pada z= 1, y= -1, kita mendapat satu penyelesaian tertentu: (5, -1, 1). Meletakkan z= 3, y= 2, kita mendapat penyelesaian khusus kedua: (10, 2, 3), dsb.

2) B keputusan bersama (4z- y, y, z) pembolehubah y Dan z adalah bebas, dan pembolehubah X- bergantung kepada mereka. Untuk mencari sistem asas penyelesaian, kami memberi percuma nilai pembolehubah: pada mulanya y = 1, z= 0, maka y = 0, z= 1. Kami memperoleh penyelesaian tertentu (-1, 1, 0), (4, 0, 1), yang membentuk sistem asas penyelesaian.

Ilustrasi:

nasi. 1 Pengelasan sistem persamaan linear

nasi. 2 Kajian sistem persamaan linear

Persembahan:

Menyelesaikan kaedah SLAE_matrix

Penyelesaian kaedah SLAU_Cramer

Penyelesaian kaedah SLAE_Gauss

・Pakej penyelesaian masalah matematik Mathematica: mencari penyelesaian analitikal dan berangka bagi sistem persamaan linear

Soalan kawalan:

1. Takrifkan persamaan linear

2. Apakah jenis sistem yang dilakukan m persamaan linear dengan n tidak diketahui?

3. Apakah yang dipanggil penyelesaian sistem persamaan linear?

4. Apakah sistem yang dipanggil setara?

5. Apakah sistem yang dipanggil tidak serasi?

6. Apakah sistem yang dipanggil sendi?

7. Apakah sistem yang dipanggil takrif?

8. Apakah sistem yang dipanggil tak tentu

9. Senaraikan transformasi asas sistem persamaan linear

10. Senaraikan penjelmaan asas bagi matriks

11. Merumuskan satu teorem tentang aplikasi penjelmaan asas kepada sistem persamaan linear

12. Apakah sistem yang boleh diselesaikan dengan kaedah matriks?

13. Apakah sistem yang boleh diselesaikan dengan kaedah Cramer?

14. Apakah sistem yang boleh diselesaikan dengan kaedah Gauss?

15. Senaraikan 3 kemungkinan kes yang timbul apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

16. Huraikan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

17. Huraikan kaedah Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

18. Huraikan kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

19. Apakah sistem yang boleh diselesaikan menggunakan matriks songsang?

20. Senaraikan 3 kemungkinan kes yang timbul apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer

kesusasteraan:

1. matematik yang lebih tinggi untuk ahli ekonomi: Buku teks untuk universiti / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. Kursus am Matematik Tinggi untuk Ahli Ekonomi: Buku Teks. / Ed. DALAM DAN. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 hlm.

3. Pengumpulan masalah dalam matematik tinggi untuk ahli ekonomi: Tutorial/ Di bawah pengarang V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 hlm.

4. V. E. Gmurman, Panduan Penyelesaian Masalah dalam Teori Kebarangkalian dan Statistik Magmatik. - M.: Sekolah Tinggi, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. Teori VE Kebarangkalian dan Statistik Matematik. - M.: Sekolah tinggi, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematik yang lebih tinggi dalam latihan dan tugasan. Bahagian 1, 2. - M .: Onyx abad ke-21: Dunia dan pendidikan, 2005. - 304 p. Bahagian 1; – 416 hlm. Bahagian 2

7. Matematik dalam Ekonomi: Buku Teks: Dalam 2 jam / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Kewangan dan statistik, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematik Tinggi: Buku teks untuk pelajar. universiti - M .: Sekolah tinggi, 2007. - 479 p.


Maklumat yang serupa.


Bahagian