Menyelesaikan persamaan haba. Kekonduksian terma. penerangan matematik, masalah tertentu pengaliran haba. Penyataan masalah nilai sempadan

Rumah

Penebat fasad

Persamaan kekonduksian terma dalam medium homogen, seperti yang telah kita lihat, mempunyai bentuk

Pekali kekonduksian terma dalaman, c ialah kapasiti haba bahan dan ialah ketumpatan. Sebagai tambahan kepada persamaan (1), seseorang mesti mengingati keadaan awal, yang memberikan taburan suhu awal dan pada

Jika badan dihadkan oleh permukaan (S), maka pada permukaan ini kita juga akan mempunyai keadaan had, yang boleh berbeza, bergantung kepada keadaan fizikal. Sebagai contoh, permukaan (S) boleh dikekalkan pada suhu tertentu, yang boleh berubah dari semasa ke semasa. Dalam kes ini, keadaan had dikurangkan kepada menentukan fungsi U pada permukaan (S), dan ini fungsi yang diberikan mungkin juga bergantung pada masa t. Jika suhu permukaan tidak tetap, tetapi terdapat sinaran suhu tertentu ke dalam persekitaran, maka menurut hukum Newton, walaupun jauh dari tepat, aliran haba melalui permukaan (S) adalah berkadar dengan perbezaan suhu antara ruang sekeliling. dan permukaan badan (S). Ini memberikan syarat had borang

di mana pekali perkadaran h dipanggil pekali kekonduksian haba luaran.

Dalam kes perambatan haba dalam badan dimensi linear, iaitu dalam rod homogen, yang kita anggap terletak di sepanjang paksi, bukannya persamaan (1), kita akan mempunyai persamaan

Dengan bentuk persamaan ini, sudah tentu pertukaran haba antara permukaan rod dan ruang sekeliling tidak diambil kira.

Persamaan (S) juga boleh didapati daripada persamaan (1), dengan mengandaikan U bebas daripada . Keadaan awal dalam kes rod

Mekanik kontinum

Medium berterusan

Lihat juga: Portal:Fizik

Persamaan resapan mewakili pandangan peribadi persamaan pembezaan separa. Ia boleh menjadi tidak pegun dan pegun.

Dalam erti kata tafsiran semasa membuat keputusan persamaan resapan kita bercakap tentang mencari pergantungan kepekatan bahan (atau objek lain) pada koordinat spatial dan masa, dan pekali diberikan (dalam kes umum juga bergantung pada koordinat dan masa spatial) yang mencirikan kebolehtelapan medium untuk penyebaran . Apabila membuat keputusan persamaan haba kita bercakap tentang mencari pergantungan suhu medium pada koordinat spatial dan masa, dan kapasiti haba dan kekonduksian haba medium (juga dalam kes umum tidak homogen) diberikan.

Secara fizikal, dalam kedua-dua kes, ketiadaan atau kecuaian aliran makroskopik jirim diandaikan. Ini adalah had fizikal kebolehgunaan persamaan ini. Juga, mewakili had berterusan masalah ini (iaitu, tidak lebih daripada beberapa anggaran), persamaan resapan dan haba secara umum tidak menggambarkan turun naik statistik dan proses hampir dalam skala dengan panjang dan masa laluan bebas, juga menyimpang sangat kuat daripada penyelesaian tepat yang dijangkakan bagi masalah berkenaan dengan korelasi pada jarak yang setanding (dan lebih besar) dengan jarak yang dilalui oleh bunyi (atau zarah bebas daripada rintangan medium pada halaju cirinya) dalam medium tertentu pada masa yang dipertimbangkan.

Dalam kebanyakan kes, ini dengan serta-merta bermakna bahawa persamaan resapan dan kekonduksian terma dalam kawasan kebolehgunaannya adalah jauh dari kawasan di mana kesan kuantum atau keterhinggaan kelajuan cahaya menjadi ketara, iaitu, dalam keterlaluan. majoriti kes, bukan sahaja dalam terbitannya, tetapi juga pada prinsipnya, terhad kepada alam fizik Newtonian klasik.

Dalam masalah resapan atau kekonduksian terma dalam cecair dan gas dalam gerakan, bukannya persamaan resapan, persamaan pengangkutan digunakan, yang memperluaskan persamaan resapan kepada kes apabila mengabaikan gerakan makroskopik tidak boleh diterima.

Analog persamaan resapan yang paling hampir formal, dan dalam banyak cara substantif, adalah persamaan Schrödinger, yang berbeza daripada persamaan resapan oleh unit khayalan faktor di hadapan terbitan masa. Banyak teorem mengenai penyelesaian persamaan Schrödinger dan juga beberapa jenis perwakilan formal penyelesaiannya adalah sama secara langsung dengan teorem yang sepadan tentang persamaan resapan dan penyelesaiannya, tetapi penyelesaiannya berbeza secara kualitatif.

Pandangan umum

Persamaan biasanya ditulis seperti ini:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , (\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))( \separa t))=\nabla \cdot (\besar [)D(\varphi ,\mathbf (r))\ \nabla \varphi (\mathbf (r) ,t)(\besar ]),)

di mana φ( r, t) ialah ketumpatan bahan meresap pada satu titik r dan semasa t Dan D(φ, r) - pekali resapan umum untuk ketumpatan φ pada satu titik r; ∇ - pengendali yang boleh diperhatikan. Jika pekali resapan bergantung pada ketumpatan, persamaannya adalah tak linear, jika tidak, ia adalah linear.

Jika D- pengendali pasti positif simetri, persamaan menerangkan resapan anisotropik:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] .

Jika D(\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))(\partial t))=\sum _(i=1)^(3)\sum _(j=1)^( 3)(\frac (\sebahagian )(\sebahagian x_(i)))\kiri.)

malar, maka persamaan itu dikurangkan kepada persamaan pembezaan linear:

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , (\displaystyle (\frac (\partial \phi (\mathbf (r) ,t))(\partial t))=D\ nabla ^(2)\phi (\mathbf (r) ,t),)

Kisah asal usul

Persamaan tidak mantap Tidak mantap persamaan resapan dikelaskan sebagai parabola

persamaan pembezaan. Ia menerangkan taburan bahan terlarut akibat resapan atau pengagihan semula suhu badan akibat kekonduksian terma.

Kes satu dimensi Dalam kes proses resapan satu dimensi dengan pekali resapan (konduksi terma) D (\gaya paparan D)

persamaannya ialah:

∂ ∂ t c (x , t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x , t) + f (x , t) . Dalam kes proses resapan satu dimensi dengan pekali resapan (konduksi terma)(\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\;t)=(\frac (\partial )(\partial x))D(\frac (\partial )(\partial x ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).)

Pada tetap

mengambil bentuk: ∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\ ;t)=D(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian x^(2)))(c(x,\;t))+f(x,\;t),) di mana c (x , t) (\displaystyle c(x,\;t)) ialah kepekatan bahan meresap, a

f (x , t) (\displaystyle f(x,\;t))

- fungsi yang menerangkan sumber jirim (haba).

Kes tiga dimensi

mengambil bentuk: Dalam kes tiga dimensi, persamaan mengambil bentuk:∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c( (\vec (r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r)),\;t))+f((\vec (r)),\; t),) ∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z) (\displaystyle \nabla =(\sebahagian _(x),\;\sebahagian _(y),\;\sebahagian _(z)))- pengendali nabla, dan

(,) (\displaystyle (\;,\;))

- hasil skalar. Ia juga boleh ditulis sebagai Dalam kes proses resapan satu dimensi dengan pekali resapan (konduksi terma)(\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\;t)=(\frac (\partial )(\partial x))D(\frac (\partial )(\partial x ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).)

∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c((\vec ( r)),\;t)=D\Delta c((\vec (r)),\;t)+f((\vec (r)),\;t),)

mengambil bentuk: Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian x ^(2)))+(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian y^(2)))+(\frac (\sebahagian ^(2))(\sebahagian z^(2))) )- Operator Laplace.

n-kes berdimensi

N (\gaya paparan n) kes -dimensi - generalisasi langsung di atas, hanya oleh pengendali nabla, kecerunan dan perbezaan, serta oleh pengendali Laplace yang mesti kita fahami n (\gaya paparan n)-versi dimensi pengendali yang sepadan:

∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , (\displaystyle \nabla =(\partial _(1),\;\partial _(2),\;\ldots ,\;\partial _(n )),) Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 .

(\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=\sebahagian _(1)^(2)+\sebahagian _(2)^(2)+\ldots +\sebahagian _(n)^(2).) Ini juga terpakai kepada kes dua dimensi.

n = 2 (\displaystyle n=2)

Motivasi

Lazimnya, persamaan resapan timbul daripada persamaan empirikal (atau entah bagaimana diturunkan secara teori) yang menyatakan perkadaran aliran jirim (atau tenaga haba) dengan perbezaan kepekatan (suhu) kawasan yang dipisahkan oleh lapisan nipis jirim tertentu. kebolehtelapan, dicirikan oleh pekali resapan (atau kekonduksian terma):Φ = − ϰ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi =-\varkappa (\frac (\partial c)(\partial x))) (kes satu dimensi), j = − ϰ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) =-\varkappa \nabla c)

(untuk sebarang saiz),

digabungkan dengan persamaan kesinambungan yang menyatakan pemuliharaan jirim (atau tenaga):Φ = − ϰ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi =-\varkappa (\frac (\partial c)(\partial x))) ∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\displaystyle (\frac (\partial c)(\partial t))+(\frac (\partial \Phi )(\partial x))=0) j = − ϰ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) =-\varkappa \nabla c)

∂ c ∂ t + d i v j = 0 (\displaystyle (\frac (\partial c)(\partial t))+\mathrm (div) \,\mathbf (j) =0)

mengambil kira dalam kes persamaan kekonduksian haba juga kapasiti haba (suhu = ketumpatan tenaga / kapasiti haba tentu).
Di sini sumber bahan (tenaga) di sebelah kanan ditinggalkan, tetapi, sudah tentu, ia boleh dengan mudah diletakkan di sana jika terdapat aliran masuk (aliran keluar) bahan (tenaga) dalam masalah.

Ia juga diandaikan bahawa aliran bahan meresap (kotoran) tidak dipengaruhi oleh sebarang daya luar, termasuk graviti (kotoran pasif).

Di samping itu, ia secara semula jadi timbul sebagai had berterusan bagi persamaan perbezaan yang serupa, yang seterusnya timbul apabila mempertimbangkan masalah berjalan rawak pada kekisi diskret (satu dimensi atau n (\gaya paparan n)-dimensi). (Ini adalah model yang paling mudah; dalam model berjalan rawak yang lebih kompleks, persamaan resapan juga timbul dalam had berterusan.) Tafsiran fungsi yang paling mudah c (\gaya paparan c) dalam kes ini, bilangan (atau kepekatan) zarah pada titik tertentu (atau berhampirannya) berfungsi, dengan setiap zarah bergerak secara bebas daripada yang lain tanpa ingatan (inersia) masa lalunya (dalam kes yang lebih kompleks sedikit - dengan masa- ingatan terhad).

Penyelesaian

c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp ⁡ (− (x − x ′) 2 4 D t) d x ′ .

(\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)c_(f)(x-x",\;t)\ ,dx"=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)(\frac (1)(\sqrt (4\pi Dt)))\exp \left (-(\frac ((x-x")^(2))(4Dt))\kanan)\,dx".)

Nota fizikal Oleh kerana penghampiran yang direalisasikan oleh persamaan resapan dan kekonduksian terma pada asasnya terhad kepada rantau kelajuan rendah dan skala makroskopik (lihat di atas), tidak menghairankan bahawa mereka penyelesaian asas

pada jarak yang jauh ia tidak berkelakuan sangat realistik, secara rasmi membenarkan penyebaran pengaruh yang tidak terhingga di angkasa dalam masa yang terhad; Perlu diingatkan bahawa magnitud kesan ini berkurangan dengan begitu cepat dengan jarak sehingga kesan ini biasanya tidak dapat diperhatikan pada dasarnya (contohnya, kita bercakap tentang kepekatan lebih kurang daripada perpaduan).

Walau bagaimanapun, jika kita bercakap tentang situasi di mana kepekatan kecil seperti itu boleh diukur secara eksperimen, dan ini penting bagi kita, adalah perlu untuk menggunakan sekurang-kurangnya bukan pembezaan, tetapi persamaan resapan perbezaan, dan lebih baik lagi, fizikal mikroskopik yang lebih terperinci dan model statistik untuk mendapatkan pemahaman yang lebih mencukupi tentang realiti dalam kes ini.

Persamaan pegun Dalam kes apabila tugasnya adalah untuk mencari taburan keadaan mantap ketumpatan atau suhu (contohnya, dalam kes apabila taburan sumber tidak bergantung pada masa), terma berkaitan masa bagi persamaan dikeluarkan daripada bukan -persamaan pegun. Kemudian ia ternyata persamaan haba pegun , tergolong dalam kelas persamaan elips. miliknya:

− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . (\displaystyle -(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r))))=f((\vec (r))).) Δ c (r →) = − f (r →) D , (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=-(\frac (f((\vec (r))))(D) ),)

Δ c (r →) = 0. (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=0.)

Penyataan masalah nilai sempadan Masalah dengan syarat awal

(Masalah Cauchy) pada taburan suhu pada garis lurus tak terhingga

Jika kita mempertimbangkan proses pengaliran haba dalam rod yang sangat panjang, maka untuk jangka masa yang singkat tidak ada pengaruh suhu di sempadan, dan suhu di kawasan yang sedang dipertimbangkan hanya bergantung pada taburan suhu awal. dan , memenuhi syarat< x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty u (x , t 0) = φ (x) (− ∞

, di manakah fungsi yang diberikan.

Masalah nilai sempadan pertama untuk rod separuh tak terhingga

Jika bahagian rod yang menarik minat kita terletak berhampiran satu hujung dan dibuang dengan ketara dari yang lain, maka kita datang kepada masalah nilai sempadan di mana pengaruh hanya satu daripada syarat sempadan diambil kira. Cari penyelesaian kepada persamaan haba di rantau itu− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) Dan t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))

, memenuhi syarat< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

mengambil bentuk: ( u (x , t 0) = φ (x) , (0− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) φ (x) (\displaystyle \varphi (x))μ (t) (\displaystyle \mu (t))

- fungsi tertentu.

Masalah nilai sempadan tanpa syarat awal

Jika bahagian rod yang menarik minat kita terletak berhampiran satu hujung dan dibuang dengan ketara dari yang lain, maka kita datang kepada masalah nilai sempadan di mana pengaruh hanya satu daripada syarat sempadan diambil kira. Sekiranya momen masa yang menarik minat kita cukup jauh dari yang awal, maka masuk akal untuk mengabaikan keadaan awal, kerana pengaruhnya terhadap proses semakin lemah. Oleh itu, kita datang kepada masalah di mana syarat sempadan ditentukan dan tidak ada yang awal.− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) − ∞ < t {\displaystyle -\infty t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))

0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l)

( u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , (\displaystyle \left\((\begin(array)(l)u(0,\;t )=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\end(array))\kanan.)

di mana dan diberi fungsi.

Masalah nilai sempadan untuk rod berbatas

Pertimbangkan masalah nilai sempadan berikut:< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0 u t = a 2 u x x + f (x , t) , 0

Jika - persamaan pengaliran haba. f (x , t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0) , maka persamaan sedemikian dipanggil homogen , jika tidak -.

heterogen u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l) - keadaan awal pada masa t = 0 (\displaystyle t=0) , suhu pada titik x (\displaystyle x) ( u (x , t 0) = φ (x) , (0. u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , ) 0 ⩽ t ⩽ T (\displaystyle \left.(\begin(array)(l)u(0 ,\;t)=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\end(array))\kanan\)\quad 0 \leqslant t\leqslant T)- syarat sempadan. Fungsi μ 1 (t) (\displaystyle \mu _(1)(t))− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) μ 2 (t) (\displaystyle \mu _(2)(t)) tetapkan nilai suhu pada titik sempadan 0 dan l (\gaya paparan l) pada bila-bila masa t (\gaya paparan t).

Bergantung pada jenis keadaan sempadan, masalah untuk persamaan haba boleh dibahagikan kepada tiga jenis. Pertimbangkan kes umum ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 1,\;2))).

α 1 u x (0, t) + β 1 u (0, t) = μ 1 (t), α 2 u x (l, t) + β 2 u (l, t) = μ 2 (t).

Jika (\displaystyle (\begin(array)(l)\alpha _(1)u_(x)(0,\;t)+\beta _(1)u(0,\;t)=\mu _(1 )(t),\\\alfa _(2)u_(x)(l,\;t)+\beta _(2)u(l,\;t)=\mu _(2)(t). \end(array)))α i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)) , maka keadaan sedemikian dipanggil keadaan jenis pertama , Jika - β i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2)) jenis kedua , dan jika− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) α i (\displaystyle \alpha _(i))β i (\displaystyle \beta _(i)) adalah berbeza daripada sifar, maka keadaannya jenis ketiga

. Dari sini kita memperoleh masalah untuk persamaan pengaliran haba - masalah sempadan pertama, kedua dan ketiga.

Prinsip maksimum Biarkan fungsi dalam ruang D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb (R) ^(n)) , memenuhi persamaan haba homogen∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 (\gaya paparan (\frac (\sebahagian u)(\sebahagian t))-a^(2)\Delta u=0) Dalam kes proses resapan satu dimensi dengan pekali resapan (konduksi terma), dan - kawasan terhad. Prinsip maksimum menyatakan bahawa fungsi u (x , t) (\displaystyle u(x,\;t)) Dalam kes proses resapan satu dimensi dengan pekali resapan (konduksi terma).

boleh mengambil nilai yang melampau sama ada pada saat awal masa atau di sempadan wilayah

Nota

Di bawah ini kita akan mempertimbangkan beberapa masalah untuk menentukan medan suhu untuk keadaan geometri dan fizikal yang agak mudah yang membolehkan penyelesaian analitikal dalam bentuk mudah dan pada masa yang sama memberikan ilustrasi berguna tentang proses fizikal ciri yang berkaitan dengan pemindahan haba dalam pepejal.

Pada nilai malar bagi pekali kekonduksian terma kuasa pelepasan haba isipadu, persamaan terakhir boleh disepadukan dua kali

(75)

Pemalar penyepaduan boleh didapati daripada keadaan sempadan. Contohnya, jika suhu di hujung rod ditetapkan kepada , . Kemudian dari (75) kita ada

Dari sini kita dapati pemalar penyepaduan dan . Penyelesaian di bawah syarat sempadan yang ditentukan akan mengambil bentuk

Dari formula terakhir adalah jelas bahawa jika tiada sumber haba. Suhu dalam rod berbeza secara linear dari satu nilai sempadan yang lain

Sekarang mari kita pertimbangkan satu lagi kombinasi syarat sempadan. Biarkan sumber luaran mencipta fluks haba di hujung kiri rod. Di hujung kanan rod kami mengekalkan keadaan sebelumnya, jadi kami ada

Menyatakan keadaan ini menggunakan kamiran am (75), kita memperoleh sistem berkenaan dengan pemalar kamiran

Setelah menemui pemalar yang tidak diketahui daripada sistem yang terhasil, kami memperoleh penyelesaian dalam bentuk

Seperti dalam contoh sebelumnya, jika tiada sumber haba dalaman, taburan suhu sepanjang rod akan menjadi linear

Dalam kes ini, suhu di hujung kiri rod, di mana sumber haba luaran terletak, akan sama dengan .

Sebagai contoh seterusnya, mari kita cari taburan suhu pegun sepanjang jejari dalam silinder bulat panjang pepejal (Rajah 39). Dalam kes ini, penggunaan sistem koordinat silinder akan memudahkan tugas dengan ketara. Dalam kes silinder dengan nisbah panjang kepada jejari yang besar dan taburan malar

Memandangkan sumber haba dalaman, suhu jauh dari hujung silinder boleh dianggap bebas daripada koordinat paksi sistem silinder. Kemudian persamaan haba pegun (71) akan mengambil bentuk

Mengintegrasikan persamaan terakhir dua kali (pada pemalar ) memberi

Keadaan simetri untuk taburan suhu pada paksi silinder () memberi

Dari mana kita dapat?

Syarat terakhir akan dipenuhi apabila . Biarkan suhu pada permukaan silinder () ditentukan. Kemudian kita boleh mencari pemalar kedua penyepaduan daripada persamaan

Dari sini kita mencari dan menulis penyelesaian dalam bentuk terakhirnya

Sebagai contoh berangka aplikasi hasil yang diperolehi, mari kita pertimbangkan taburan suhu dalam plasma nyahcas arka silinder dengan jejari mm. Sempadan saluran pelepasan terbentuk sebagai kawasan di mana proses pengionan berhenti. Kami melihat di atas bahawa pengionan gas yang ketara semasa pemanasan berhenti pada K. Oleh itu, nilai yang diberikan boleh diambil sebagai sempadan K. Kami mendapati ketumpatan kuasa isipadu pelepasan haba dalam plasma nyahcas daripada hukum Joule-Lenz, di mana σ - kekonduksian elektrik plasma, E- kekuatan medan elektrik dalam saluran pelepasan. Nilai ciri untuk nyahcas arka ialah 1/Ohm m, V/m. Kekonduksian terma plasma arka lebih tinggi daripada gas neutral pada suhu urutan 10,000 K, nilainya boleh diambil sama dengan . Jadi parameter . Taburan suhu sepanjang jejari ditunjukkan dalam Rajah. 39. Dalam kes ini, suhu pada paksi nyahcas () ialah 8000 K.

Dalam contoh seterusnya kita akan mempertimbangkan medan haba yang mempunyai simetri sfera. Keadaan sedemikian timbul, khususnya, jika sumber haba kecil terletak dalam susunan yang besar, sebagai contoh, kerosakan arka selang dalam penggulungan mesin elektrik yang besar. Dalam kes ini, menggabungkan pusat sistem koordinat sfera dengan sumber haba, kita boleh mengurangkan persamaan haba pegun (64) kepada bentuk:

Mengintegrasikan persamaan ini dua kali, kita dapati

Berbalik kepada contoh kita, katakan bahawa sesar arka berlaku di dalam rongga sfera jejari (Rajah 40). Mari kita ambil rintangan nyahcas arka menjadi Ohm, arus nyahcas A. Maka kuasa yang dilepaskan dalam rongga ialah . Mari kita pertimbangkan penyelesaian di luar kawasan tindakan sumber haba.

Kemudian kamiran persamaan haba akan dipermudahkan

Untuk mengira pemalar penyepaduan, kita mula-mula menggunakan keadaan pada titik yang jauh tidak terhingga dari tapak nyahcas, di mana C ialah suhu ambien. Daripada ungkapan terakhir kita dapati . Untuk menentukan pemalar, kami menganggap bahawa tenaga haba yang dibebaskan dalam nyahcas diagihkan secara seragam ke atas permukaan rongga sfera jejari. Oleh itu, aliran haba pada sempadan rongga akan menjadi

Sejak , kemudian daripada dua persamaan terakhir yang kita ada

dan keputusan muktamad

Dalam kes ini, suhu pada sempadan rongga (mm) pada W/mK adalah K (Gamb. 40).

Sebagai contoh pertama kumpulan ini, mari kita pertimbangkan medan haba dalam keratan rentas dawai bulat dengan saluran penyejuk (Rajah 41, A). Wayar dengan saluran penyejukan digunakan dalam belitan mesin elektrik yang berkuasa dan gegelung untuk menghasilkan medan magnet yang kuat. Peranti ini dicirikan oleh aliran arus jangka panjang dengan amplitud ratusan malah beribu-ribu Amperes. Sebagai contoh, cecair, seperti air, atau gas (hidrogen, udara) dipam, yang memastikan pengekstrakan tenaga haba dari permukaan dalaman saluran dan penyejukan wayar secara keseluruhan. Dalam kes ini, kita berurusan dengan penyejukan perolakan paksa permukaan saluran, yang mana kita boleh menggunakan syarat sempadan jenis ketiga (67) yang dibenarkan di atas. Jika paksi sistem koordinat silinder diselaraskan dengan paksi wayar, maka suhu akan bergantung hanya pada koordinat jejarian. Kami memperoleh kamiran am bagi persamaan haba pegun untuk kes ini sebelum ini

Ketumpatan kuasa isipadu pelepasan haba didapati daripada hukum Joule-Lenz: , j- ketumpatan arus, σ - kekonduksian elektrik,

mengambil bentuk: R- jejari bahagian wayar, a- jejari saluran penyejukan. Kawat dikelilingi di luar oleh lapisan penebat, yang, berbanding dengan konduktor, mempunyai kekonduksian terma yang agak rendah. Oleh itu, sebagai anggaran pertama, kami mengandaikan bahawa permukaan luar wayar adalah terlindung secara haba, iaitu, aliran haba di atasnya.

Pada permukaan saluran penyejukan, aliran haba ditentukan oleh keadaan jenis ketiga

di mana adalah pekali pemindahan haba, ialah suhu aliran penyejukan. Tanda tolak di sebelah kanan diambil kerana fakta bahawa normal ke permukaan dalaman saluran diarahkan ke arah yang bertentangan dengan paksi.

Menggantikan ungkapan untuk suhu (76) ke dalam keadaan sempadan bertulis yang pertama, kita perolehi

mana . Syarat sempadan kedua memberi

dari mana kita dapati?

Pada masa yang sama, daripada (76)

Membandingkan dua ungkapan terakhir, kami dapati

Selepas menggantikan pemalar yang ditemui ke dalam penyelesaian am (76) dan penjelmaan, kita memperoleh

Suhu pada sempadan keratan rentas wayar daripada larutan yang terhasil akan dikira menggunakan formula

Pengagihan suhu di sepanjang jejari keratan rentas untuk wayar dengan saluran penyejukan dengan parameter: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm ditunjukkan dalam Rajah. 41, b.

Daripada Rajah. 41, b ia berikutan bahawa dalam keratan rentas wayar perubahan suhu adalah agak kecil berbanding dengan nilai puratanya, yang dijelaskan oleh kekonduksian haba yang tinggi λ dan dimensi keratan rentas wayar yang agak kecil.

Situasi yang berbeza timbul dalam taburan suhu sepanjang wayar yang terdiri daripada bahagian berasingan yang bersentuhan antara satu sama lain. Kemerosotan dalam kualiti hubungan antara konduktor yang disambungkan membawa kepada peningkatan dalam penjanaan haba di persimpangan dua wayar berbanding dengan wayar itu sendiri. Pengukuran jauh suhu wayar menggunakan pengimej haba atau pyrometer membolehkan anda mendiagnosis kualiti sambungan kenalan.

Mari kita mengira taburan suhu di sepanjang wayar dengan kehadiran sesentuh yang rosak. Contoh sebelumnya menunjukkan bahawa walaupun dalam keadaan yang paling teruk, perubahan suhu dalam keratan rentas wayar adalah sangat kecil. Oleh itu, untuk pengiraan kami, kami boleh, sebagai anggaran pertama, menganggap bahawa taburan suhu dalam keratan rentas wayar adalah seragam. Pengagihan penjanaan haba di sepanjang wayar bergantung kepada pengagihan rintangan elektrik di sepanjang wayar, yang seragam jauh dari sentuhan dan meningkat apabila menghampirinya. Mari kita selaraskan paksi sistem koordinat Cartes dengan paksi wayar, dan asal koordinat dengan pusat kawasan sentuhan (Rajah 42). Sebagai model untuk pengagihan rintangan sepanjang wayar, kami mengambil pengedaran rintangan linear berikut

di mana , ialah parameter yang mencirikan saiz linear kawasan sentuhan. Kuasa penjanaan haba per unit panjang wayar ialah . Dikira per unit isipadu, kuasa pelepasan haba adalah sama dengan

mengambil bentuk: S- keratan rentas wayar. Kawat itu disejukkan oleh perolakan semula jadi dari permukaannya. Fluks haba perolakan per unit panjang wayar ialah

mengambil bentuk: α - pekali pemindahan haba, - suhu ambien, hlm- perimeter keratan rentas wayar. Pemindahan haba ke persekitaran per unit isipadu konduktor akan

Taburan suhu pegun di sepanjang wayar akan mematuhi persamaan kekonduksian terma

Untuk transformasi selanjutnya bagi persamaan yang terhasil, mari kita ambil pemalar pekali kekonduksian terma sepanjang wayar, gantikan ungkapan yang diperoleh di atas untuk dan , dan juga sebagai fungsi yang diingini dan bukannya T mari ambil:

kita sampai pada persamaan pembezaan tak homogen linear

Kami akan mencari penyelesaian persamaan yang terhasil dalam bentuk hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen.

dan penyelesaian tertentu dalam bentuk sebelah kanan

Menyelesaikan persamaan algebra menggunakan kaedah Newton

Kaedah yang agak popular untuk menyelesaikan persamaan ialah kaedah tangen, atau kaedah Newton. Dalam kes ini, persamaan bentuk f(x) = 0 diselesaikan seperti berikut. Pertama, anggaran sifar (titik x 0). Pada ketika ini tangen kepada graf dibina y = f(x). Titik persilangan tangen ini dengan paksi-x ialah penghampiran seterusnya untuk punca (titik x 1). Pada ketika ini tangen dibina semula, dsb. Urutan mata x 0 , x 1 , x 2 ... mesti membawa kepada nilai sebenar akar. Syarat penumpuan ialah .

Oleh kerana persamaan garis yang melalui suatu titik ialah x 0 , f(x 0) (dan ini adalah tangen), ditulis dalam bentuk

dan sebagai anggaran seterusnya x 1 untuk punca persamaan asal, titik persilangan garis ini dengan paksi absis diambil, maka kita harus meletakkan pada titik ini y = 0:

dari mana persamaan segera mengikuti untuk mencari penghampiran seterusnya melalui yang sebelumnya:

Dalam Rajah. Rajah 3 menunjukkan pelaksanaan kaedah Newton menggunakan Excel. Anggaran awal ( x 0 = -3), dan kemudian semua nilai perantaraan dikira dalam sel baki lajur sehingga pengiraan x 1. Untuk melakukan langkah kedua, nilai dari sel B10 dimasukkan ke dalam sel C3 dan proses pengiraan diulang dalam lajur C. Kemudian, dengan sel C2:C10 dipilih, anda boleh menyeret pemegang di sudut kanan bawah pilihan untuk melanjutkan ia ke lajur D:F. Hasilnya, nilai 0 diperolehi dalam sel F6, i.e. nilai dalam sel F3 ialah punca persamaan.

Keputusan yang sama boleh diperoleh menggunakan pengiraan kitaran. Kemudian selepas mengisi lajur pertama dan mendapat nilai pertama x 1, masukkan formula =H10 dalam sel H3. Dalam kes ini, proses pengiraan akan digelung dan agar ia dapat dilaksanakan, dalam menu Perkhidmatan | Pilihan pada tab Pengiraan kotak semak mesti ditanda Lelaran dan nyatakan bilangan maksimum langkah proses berulang dan ralat relatif (nombor lalai 0.001 jelas tidak mencukupi dalam banyak kes), apabila mencapai proses pengiraan akan berhenti.

Seperti yang diketahui, proses fizikal seperti pemindahan haba dan pemindahan jisim semasa resapan mematuhi hukum Fick

mengambil bentuk: l- pekali kekonduksian terma (penyebaran), dan T– suhu (kepekatan), dan – aliran nilai yang sepadan. Daripada matematik diketahui bahawa perbezaan aliran adalah sama dengan ketumpatan isipadu sumber. Q nilai ini, i.e.

atau, untuk kes dua dimensi, apabila taburan suhu dalam satu satah dikaji, persamaan ini boleh ditulis sebagai:

Menyelesaikan persamaan ini secara analitik hanya boleh dilakukan untuk kawasan bentuk mudah: segi empat tepat, bulatan, cincin. Dalam situasi lain, penyelesaian yang tepat bagi persamaan ini adalah mustahil, i.e. Ia juga mustahil untuk menentukan taburan suhu (atau kepekatan bahan) dalam kes yang kompleks. Kemudian anda perlu menggunakan kaedah anggaran untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Penyelesaian anggaran persamaan (4) dalam domain bentuk kompleks terdiri daripada beberapa peringkat: 1) pembinaan jaringan; 2) pembinaan skema perbezaan; 3) menyelesaikan sistem persamaan algebra. Mari kita pertimbangkan setiap peringkat secara berurutan dan pelaksanaannya menggunakan pakej Excel.

Pembinaan grid. Biarkan kawasan itu mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 4. Dengan bentuk ini, penyelesaian analitikal yang tepat bagi persamaan (4), contohnya, dengan kaedah pengasingan pembolehubah, adalah mustahil. Oleh itu, kami akan mencari penyelesaian anggaran kepada persamaan ini pada titik individu. Mari kita gunakan grid seragam ke kawasan itu, yang terdiri daripada segi empat sama dengan sisi h. Sekarang, daripada mencari penyelesaian berterusan untuk persamaan (4), yang ditakrifkan pada setiap titik rantau, kami akan mencari penyelesaian anggaran, ditakrifkan hanya pada titik nod grid yang digunakan pada rantau itu, i.e. di sudut-sudut petak.

Pembinaan skema perbezaan. Untuk membina skema perbezaan, pertimbangkan nod grid dalaman sewenang-wenangnya C (tengah) (Rajah 5). Empat nod bersebelahan dengannya: B (atas), N (bawah), L (kiri) dan P (kanan). Ingat bahawa jarak antara nod dalam grid ialah h. Kemudian, menggunakan ungkapan (2) untuk menulis lebih kurang terbitan kedua dalam persamaan (4), kita boleh menulis kira-kira:

dari mana mudah untuk mendapatkan ungkapan yang mengaitkan nilai suhu di titik pusat dengan nilainya di titik jiran:

Ungkapan (5) membolehkan kita, mengetahui nilai suhu di titik jiran, mengira nilainya di titik pusat. Skim sedemikian, di mana derivatif digantikan dengan perbezaan terhingga, dan untuk mencari nilai pada titik grid, hanya nilai pada titik jiran terdekat digunakan, dipanggil skema perbezaan pusat, dan kaedah itu sendiri dipanggil kaedah perbezaan terhingga.

Adalah perlu untuk memahami bahawa kita memperoleh persamaan yang serupa dengan (5) UNTUK SETIAP titik grid, yang dengan itu ternyata bersambung antara satu sama lain. Iaitu, kita mempunyai sistem persamaan algebra di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan nod grid. Sistem persamaan sedemikian boleh diselesaikan menggunakan pelbagai kaedah.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra. Kaedah lelaran. Biarkan suhu pada nod sempadan ditetapkan dan sama dengan 20, dan kuasa sumber haba sama dengan 100. Dimensi rantau kami ditetapkan dan sama menegak kepada 6 dan mendatar hingga 8, jadi sisi segi empat sama grid ( langkah) h= 1. Kemudian ungkapan (5) untuk mengira suhu pada titik dalaman mengambil bentuk

Mari kita tetapkan sel pada helaian Excel untuk setiap NODE. Dalam sel yang sepadan dengan titik sempadan, kami memasukkan nombor 20 (ia diserlahkan dalam warna kelabu dalam Rajah 6). Dalam sel yang tinggal kita menulis formula (6). Sebagai contoh, dalam sel F2 ia akan kelihatan seperti ini: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Setelah menulis formula ini dalam sel F2, anda boleh menyalinnya dan menampalnya ke dalam sel yang tinggal di kawasan yang sepadan dengan nod dalaman. Dalam kes ini, Excel akan melaporkan kemustahilan untuk melakukan pengiraan kerana gelung keputusan:

Klik "Batal" dan pergi ke tetingkap Alat|Pilihan|Pengiraan, di mana tandakan kotak dalam bahagian "Lelaran", menyatakan 0.00001 sebagai ralat relatif dan 10000 sebagai bilangan maksimum lelaran:

Nilai sedemikian akan memberikan kami ralat COUNTABLE kecil dan menjamin bahawa proses lelaran akan mencapai ralat yang ditentukan.

Walau bagaimanapun, nilai ini TIDAK memastikan ralat kecil kaedah itu sendiri, kerana yang terakhir bergantung pada ralat apabila menggantikan derivatif kedua dengan perbezaan terhingga. Jelas sekali, ralat ini lebih kecil, lebih kecil langkah grid, i.e. saiz segi empat sama yang berdasarkan skema perbezaan kami. Ini bermakna bahawa nilai suhu DIKIRA dengan tepat pada nod grid, dibentangkan dalam Rajah. 6, sebenarnya, mungkin ternyata tidak benar sama sekali. Terdapat hanya satu kaedah untuk menyemak penyelesaian yang ditemui: cari pada grid yang lebih halus dan bandingkan dengan yang sebelumnya. Jika penyelesaian ini berbeza sedikit, maka kita boleh menganggap bahawa taburan suhu yang ditemui sepadan dengan realiti.

Mari kita kurangkan langkah dengan separuh. Daripada 1 ia akan menjadi sama dengan ½. Bilangan nod kami akan berubah dengan sewajarnya. Secara menegak, bukannya 7 knot (terdapat 6 langkah, iaitu 7 knot) akan ada 13 (12 petak, iaitu 13 knot), dan secara mendatar bukannya 9 akan ada 17. Tidak boleh dilupakan bahawa saiz langkah telah separuh dan kini dalam formula (6) dan bukannya 1 2 anda perlu menggantikan (1/2) 2 di sebelah kanan. Sebagai titik kawalan di mana kita akan membandingkan penyelesaian yang ditemui, kita akan mengambil titik dengan suhu maksimum, ditandakan dalam Rajah. 6 dalam warna kuning. Hasil pengiraan ditunjukkan dalam Rajah. 9:

Dapat dilihat bahawa penurunan langkah membawa kepada perubahan ketara dalam nilai suhu pada titik kawalan: sebanyak 4%. Untuk meningkatkan ketepatan penyelesaian yang ditemui, langkah grid perlu dikurangkan lagi. Untuk h= ¼ kita mendapat 199.9 pada titik kawalan, dan untuk h = 1/8 nilai yang sepadan ialah 200.6. Anda boleh merancang pergantungan nilai yang ditemui pada saiz langkah:

Daripada rajah tersebut kita boleh simpulkan bahawa penurunan lagi langkah tidak akan membawa kepada perubahan ketara dalam suhu pada titik kawalan dan ketepatan penyelesaian yang ditemui boleh dianggap memuaskan.

Menggunakan keupayaan pakej Excel, anda boleh membina permukaan suhu yang secara visual mewakili pengedarannya di kawasan kajian.

Bahagian