Ikatan garis lurus. Persamaan pensel garisan. Ikatan satah, persamaan sekumpulan satah Persamaan sekumpulan satah yang melalui garis tertentu

Dalam artikel ini kami akan memberikan definisi pensel satah, mendapatkan persamaan untuk pensel satah berkenaan dengan sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan, dan mempertimbangkan secara terperinci penyelesaian kepada masalah ciri yang berkaitan dengan konsep pensel satah.

Navigasi halaman.

Himpunan pesawat – definisi.

Daripada aksiom geometri ia mengikuti bahawa dalam ruang tiga dimensi satah tunggal melalui garisan dan satu titik tidak terletak di atasnya. Dan daripada kenyataan ini ia mengikuti bahawa terdapat banyak satah yang tidak terhingga mengandungi garis lurus yang telah ditetapkan. Mari kita mewajarkan ini.

Biarlah kita diberi garis lurus a. Mari kita ambil titik M 1 yang tidak terletak pada garisan a. Kemudian melalui garis lurus a dan titik M 1 kita boleh melukis satah, dan hanya satu. Mari kita nyatakan. Sekarang mari kita ambil titik M 2 yang tidak terletak di dalam pesawat. Terdapat hanya satu satah yang melalui garis lurus a dan titik M2. Jika kita mengambil titik M 3 yang tidak terletak pada satah mahupun dalam satah, maka kita boleh membina satah yang melalui garis a dan titik M 3. Jelas sekali, proses membina satah yang melalui garisan tertentu a boleh diteruskan selama-lamanya.

Beginilah cara kita sampai kepada takrifan sekumpulan pesawat.

Definisi.

Sekumpulan kapal terbang ialah set semua satah dalam ruang tiga dimensi yang melalui satu garisan tertentu.

Garis lurus yang mengandungi semua satah satu berkas dipanggil pusat berkas satah ini. Oleh itu, ungkapan "sekumpulan satah dengan pusat a" berlaku.

Satu berkas satah tertentu boleh ditakrifkan sama ada dengan menunjukkan pusatnya, atau dengan menyatakan mana-mana dua satah bagi satah ini, yang pada asasnya adalah perkara yang sama. Sebaliknya, mana-mana dua satah bersilang mentakrifkan sekumpulan satah tertentu.

Persamaan sekumpulan satah - menyelesaikan masalah.

Untuk tujuan praktikal, bukan sekumpulan satah dalam imej geometrinya yang menarik seperti .

Mari segera menjawab soalan logik: "Apakah persamaan seikat pesawat"?

Untuk melakukan ini, kami akan menganggap bahawa Oxyz diperkenalkan dalam ruang tiga dimensi dan sekumpulan satah ditentukan dengan menyatakan dua satah dan daripadanya. Biarkan satah sepadan dengan persamaan am bagi satah bentuk , dan satah kepada bentuk . Jadi, persamaan berkas satah ialah persamaan yang menentukan persamaan semua satah berkas ini.

Soalan logik berikut timbul: “Apakah bentuk persamaan satu berkas satah sistem segi empat tepat Koordinat Oxyz"?

Bentuk persamaan pensel satah diberikan oleh teorem berikut.

Teorem.

Satah tergolong dalam pensel satah yang ditakrifkan oleh dua satah bersilang dan , diberikan oleh persamaan dan , masing-masing, jika dan hanya jika persamaan amnya mempunyai bentuk , di mana dan adalah nombor nyata arbitrari yang serentak tidak sama dengan sifar (yang terakhir keadaan adalah bersamaan dengan ketaksamaan).

Bukti.

Untuk membuktikan kecukupan anda perlu menunjukkan:

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk . Persamaan yang terhasil ialah persamaan am satah jika ungkapan dan tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.

Mari kita buktikan bahawa mereka benar-benar tidak lenyap serentak dengan percanggahan. Mari kita anggap bahawa. Kemudian, jika , maka , jika , maka . Persamaan yang terhasil bermakna bahawa vektor dan adalah berkaitan dengan perhubungan atau (jika perlu, lihat artikel), oleh itu, dan . Oleh kerana ialah vektor normal pesawat, - vektor normal satah, dan vektor dan adalah kolinear, kemudian satah dan selari atau bertepatan (lihat artikel tentang keadaan selari dua satah). Tetapi ini tidak boleh, kerana pesawat mentakrifkan sekumpulan pesawat, dan, oleh itu, bersilang.

Jadi persamaan itu benar-benar persamaan am satah. Mari kita tunjukkan bahawa satah yang ditakrifkan oleh persamaan ini melalui garis persilangan satah dan .

Jika ini benar, maka sistem persamaan bentuk mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. (Jika sistem persamaan bertulis mempunyai penyelesaian yang unik, maka satah dari mana sistem itu tersusun mempunyai satu titik sepunya, oleh itu, satah memotong garis yang ditakrifkan oleh satah bersilang dan. Jika sistem persamaan bertulis tidak mempunyai penyelesaian , maka tidak ada titik yang pada masa yang sama milik ketiga-tiga satah, oleh itu, satah adalah selari dengan garis yang ditakrifkan oleh satah bersilang dan ).

Memandangkan persamaan pertama sistem persamaan bertulis adalah gabungan linear persamaan kedua dan ketiga, ia adalah berlebihan dan boleh dikecualikan daripada sistem tanpa akibat (kita membincangkan perkara ini dalam artikel). Iaitu, sistem persamaan asal adalah bersamaan dengan sistem persamaan bentuk . Dan sistem ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, kerana pesawat mempunyai banyak yang tidak terhingga perkara biasa disebabkan oleh fakta bahawa mereka bersilang.

Kecukupan telah terbukti.

Mari kita beralih kepada bukti keperluan.

Untuk membuktikan keperluan, adalah perlu untuk menunjukkan bahawa, walau apa pun satah yang telah ditetapkan melalui garis persilangan satah dan , ia ditentukan oleh persamaan untuk nilai tertentu parameter dan .

Ambil satah yang melalui titik itu dan melalui garis persilangan satah dan (M 0 tidak terletak pada garis persilangan satah ini). Mari kita tunjukkan bahawa sentiasa mungkin untuk memilih nilai parameter sedemikian dan yang mana koordinat titik M 0 akan memenuhi persamaan, iaitu, kesamaan akan menjadi benar. Ini akan membuktikan kecukupan.

Mari kita gantikan koordinat titik M 0 ke dalam persamaan: . Oleh kerana satah dan tidak secara serentak melalui titik M 0 (jika tidak satah ini akan bertepatan), maka sekurang-kurangnya satu daripada ungkapan atau berbeza daripada sifar. Jika , maka persamaan boleh diselesaikan berkenaan dengan parameter sebagai dan, memberikan parameter nilai bukan sifar sewenang-wenangnya, kami mengira . Jika , kemudian memberikan parameter nilai bukan sifar sewenang-wenangnya, kami mengira .

Teorem telah terbukti sepenuhnya.

Jadi, ia kelihatan seperti . Ia mentakrifkan semua satah rasuk. Jika kita mengambil beberapa pasangan nilai dan gantikannya ke dalam persamaan sekumpulan satah, maka kita mendapat persamaan am satu satah daripada tandan ini.

Oleh kerana dalam persamaan berkas satah parameter dan tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, ia boleh ditulis dalam bentuk , if , dan dalam bentuk , if .

Walau bagaimanapun, persamaan ini tidak bersamaan dengan persamaan sekumpulan satah bentuk, kerana untuk sebarang nilai persamaan satah bentuk tidak boleh diperolehi daripada persamaan, dan daripada persamaan untuk sebarang nilai persamaan satah dalam bentuk tidak boleh diperolehi.

Mari kita beralih kepada penyelesaian contoh.

Contoh.

Tulis persamaan pensel satah, yang dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxyz ditakrifkan oleh dua satah bersilang Dan .

Penyelesaian.

Persamaan satah yang diberikan dalam segmen adalah bersamaan dengan persamaan satah am bagi bentuk . Sekarang kita boleh menuliskan persamaan yang diperlukan untuk sekumpulan satah: .

Jawapan:

Contoh.

Adakah pesawat itu tergolong dalam kumpulan satah berpusat , ?

Penyelesaian.

Jika satah kepunyaan rasuk, maka garis lurus, yang merupakan pusat rasuk, terletak pada satah ini. Oleh itu, anda boleh mengambil dua titik berbeza pada satu baris dan memeriksa sama ada ia terletak di dalam pesawat. Jika ya, maka pesawat itu tergolong dalam kumpulan pesawat yang ditentukan jika tidak, maka ia tidak tergolong.

Persamaan parametrik garis dalam ruang memudahkan untuk menentukan koordinat titik yang terletak di atasnya. Mari kita ambil dua nilai parameter (contohnya, dan ) dan hitung koordinat dua titik M 1 dan M 2 garis lurus:

Dalam artikel ini kita akan melihat konsep pensel garisan. Mari kita bayangkan persamaan pensel garis lurus. Mari kita berikan contoh mencari persamaan pensel garis yang melalui titik tertentu.

ialah persamaan garis yang melalui suatu titik P. Sebaliknya, sebarang garis lurus yang melalui suatu titik P ditentukan oleh persamaan (3), untuk beberapa nombor λ 1 dan λ 2 .

Bukti. Pertama, kami menunjukkan bahawa persamaan (3) ialah persamaan linear(persamaan tertib pertama), i.e. persamaan di mana pekali pada x atau y tidak sama dengan sifar.

Kami mengumpulkan pekali pada x Dan y:

Kemudian, sebagai contoh, apabila λ 1 ≠0 (mengikut teorem, sekurang-kurangnya satu daripada nombor λ 1 dan λ 2 tidak sama dengan sifar), kita dapat:

Kesamaan yang terhasil ialah syarat untuk keselarian garisan yang ditakrifkan oleh persamaan (1) dan (2), yang bercanggah dengan syarat teorem (garis-garis ini bersilang dan tidak bertepatan). Oleh itu, sekurang-kurangnya satu daripada kesamaan (5) tidak berpuas hati, i.e. sekurang-kurangnya satu pekali untuk x Dan y dalam persamaan (4) tidak sama dengan sifar. Ia berikutan bahawa persamaan (4) ialah persamaan linear (persamaan darjah pertama) dan merupakan persamaan beberapa garis lurus. Mengikut teorem, garis ini melalui titik P(x 0 , y 0), iaitu persilangan garis (1) dan (2), i.e. persamaan berikut dipegang:

mereka. persamaan (3) melalui titik P.

Mari kita buktikan bahagian kedua teorem. Mari kita tunjukkan bahawa mana-mana garis yang melalui titik P ditentukan oleh persamaan (3) untuk beberapa nilai λ 1 dan λ 2 .

Mari kita ambil beberapa baris yang melalui mata P Dan M"(x", y"). Mari kita tunjukkan bahawa garis lurus ini ditentukan oleh persamaan (3) untuk beberapa nilai λ 1 dan λ 2 tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.

Dalam bahagian pertama pembuktian teorem, kami menunjukkan bahawa garis yang melalui titik P ditentukan oleh persamaan (3). Sekarang, jika garisan ini melalui titik lain M"(x", y"), maka koordinat titik ini mesti memenuhi persamaan (3):

Ambil perhatian bahawa ungkapan dalam kurungan tidak boleh sama dengan sifar pada masa yang sama, kerana ini bermakna kedua-dua persamaan melalui titik P Dan M"(x", y") dan oleh itu bertepatan. Biarkan, sebagai contoh, λ 1 (A 1 x" 0 +B 1 y" 0 +C 1)≠0. Kemudian dengan bertanya λ 2 ialah nombor arbitrari berbeza daripada sifar, selesaikan (9) berkenaan dengan λ 1:

Mari kita gantikan koordinat titik tersebut M ke dalam persamaan (12):

Mari kita ringkaskan (13):

Dengan bertanya, sebagai contoh, λ 2 = 4, kita dapat λ 1 =−5.

Mari letakkan nilai λ 1 dan λ 2 dalam (12):

Jawapan:

Contoh 2. Bina persamaan untuk pensel garis dengan pusat M(4,1):

Penyelesaian. Mari kita ambil dua mata berbeza yang tidak bertepatan dengan perkara itu M: M 1 (2,1), M 2 (−1.3). Mari kita bina persamaan yang melalui titik M Dan M 1. Vektor biasa n 1 baris ini mestilah ortogon kepada vektor sama dengan perbezaan dalam koordinat titik M Dan M 1: =(2−4, 1−1)=(−2,0). Itu. anda boleh mengambilnya n 1 =(0,1). Kemudian persamaan garis lurus dengan vektor normal n 1 melalui satu titik M mempunyai bentuk berikut:

Jawapan:

Perhatikan bahawa mengambil mata lain M 1 dan M 2, kita mendapat persamaan pensel garisan yang sama, tetapi dengan dua garisan yang berbeza.

Pensel satah yang betul ialah set semua satah yang melalui satu garisan.

Pensel satah yang tidak betul ialah satu set satah yang semuanya selari antara satu sama lain.

Teorem 1. Agar tiga satah ditakrifkan oleh persamaan am

relatif kepada sistem koordinat Cartesian am, tergolong dalam pensel yang sama, betul atau tidak betul, adalah perlu dan memadai bahawa pangkat matriks

adalah sama dengan dua atau satu.

Bukti Keperluan. Biarkan tiga satah (1) tergolong dalam satu berkas. Ia diperlukan untuk membuktikannya

Mari kita anggap dahulu bahawa ketiga-tiga pesawat yang diberikan adalah kepunyaan berkas mereka sendiri. Kemudian sistem (1) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga (kerana, mengikut takrifan pensel yang betul: tiga satah kepunyaan pensel jika mereka melalui satu garis lurus); ini akan menjadi jika dan hanya jika, kerana jika, maka sistem (1) sama ada mempunyai penyelesaian yang unik atau tidak konsisten, bergantung kepada sama ada penentu, yang terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, berbeza daripada sifar atau sama dengan sifar.

Jika tiga satah yang diberikan tergolong dalam pensel yang tidak betul, maka pangkat matriks itu ialah

adalah sama dengan 1, yang bermaksud pangkat matriks M sama dengan dua atau satu.

Bukti kecukupan. Diberi: Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa tiga satah yang diberikan tergolong dalam satu berkas.

Jika, maka dan. Biarlah. Kemudian sistem (1) adalah konsisten, mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, dan di antara satah ini terdapat yang bersilang (kerana jika tidak ada yang bersilang, maka semuanya akan selari dan pangkat matriks akan sama dengan 1) , oleh itu ketiga-tiga satah yang diberikan adalah milik bundle sendiri.

Jika; , maka semua satah adalah kolinear (dua daripadanya pasti selari, dan yang ketiga mungkin bertepatan dengan salah satu satah selari).

Jika, maka dan, dan semua pesawat bertepatan.

Teorem 2. Biar secara umum Sistem kartesian koordinat diberikan oleh dua satah yang berbeza dan persamaan am: ; .

Untuk satah ketiga, juga ditakrifkan oleh persamaan am

relatif kepada sistem koordinat yang sama, kepunyaan pensel yang ditakrifkan oleh satah dan, adalah perlu dan mencukupi bahawa bahagian kiri persamaan satah adalah gabungan linear bagi sisi kiri persamaan satah itu. dan.

Bukti Keperluan. Diberi: satah itu tergolong dalam berkas satah yang ditakrifkan oleh satah dan. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa terdapat nombor dan sedemikian rupa sehingga identiti dipegang untuk semua nilai X, di, z:

Sebenarnya, jika tiga kapal terbang tergolong dalam satu berkas, maka di mana

Dua baris pertama matriks ini adalah bebas linear (sejak satah dan berbeza), dan kerana baris ketiga ialah gabungan linear dua yang pertama, i.e. ada nombor dan sebagainya

Mendarab kedua-dua belah kesamaan pertama dengan X, kedua-dua bahagian kedua pada di, kedua-dua bahagian ketiga pada z dan menambah kesamaan yang terhasil dan istilah kesamaan demi istilah, kami memperoleh identiti yang dibuktikan.

Bukti kecukupan. Biar identiti

sah untuk semua nilai X, di Dan z. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa satah kepunyaan pensel yang ditakrifkan oleh satah dan.

Daripada identiti ini hubungan berikut berikut:

jadi baris ketiga matriks M terdapat gabungan linear daripada dua yang pertama, dan oleh itu. dll.

Persamaan di mana dan tidak sama dengan sifar pada masa yang sama dipanggil persamaan pensel satah, ditakrifkan oleh dua satah berbeza dan, persamaannya dalam sistem koordinat Cartesan am adalah seperti berikut:

Seperti yang telah dibuktikan, persamaan mana-mana satah rasuk ditakrifkan oleh pelbagai satah dan boleh ditulis dalam bentuk.

Sebaliknya, jika persamaan di mana sekurang-kurangnya satu daripada nombor dan tidak sama dengan sifar ialah persamaan darjah pertama, maka ia adalah persamaan satah kepunyaan pensel yang ditakrifkan oleh satah dan. Sesungguhnya, baris ketiga matriks M, terdiri daripada pekali persamaan dan mempunyai bentuk

mereka. adalah gabungan linear daripada dua yang lain, oleh itu.

Jika satah dan bersilang dan dan tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, maka semua pekali untuk X, di, z dalam persamaan tidak boleh sama dengan sifar, kerana jika hubungan itu berlaku

maka satah itu akan berkolinear bertentangan dengan andaian.

Tetapi jika satah itu selari, maka terdapat nombor dan, di antaranya sekurang-kurangnya satu tidak sama dengan sifar, dan sedemikian rupa sehingga dalam persamaan semua pekali untuk X, di Dan z adalah sama dengan sifar. Tetapi kemudian ia akan menjadi berkas yang tidak betul, dan sama seperti dalam kes berkas garis lurus, di sini anda perlu berhati-hati.

Pertama sekali kita akan mengatakan bahawa pesawat itu

terdapat gabungan linear satah

jika persamaan (1) ialah gabungan linear persamaan (2) dan (3), iaitu jika terdapat dan , maka identiti itu kekal

Daripada identiti (4) ia mengikuti bahawa mana-mana titik yang memenuhi kedua-dua persamaan (2) dan (3) juga memenuhi persamaan (1) - mana-mana titik kepunyaan kedua-dua satah (2) dan (3) juga tergolong dalam satah (1) . Dengan kata lain:

Satah yang merupakan gabungan linear dua satah bersilang yang diberi (2) dan (3) melalui garis persilangan satah ini. Mari kita buktikan bahawa, sebaliknya, setiap satah (1) yang melalui garis persilangan d bagi dua satah tertentu (2) dan (3) ialah gabungan biasa satah ini.

Tanpa kehilangan keluasan, kita boleh menganggap bahawa satah (1) tidak bertepatan dengan mana-mana satah (2) dan (3). Buktinya adalah sama seperti dalam kes garis lurus (Bab V, § 5).

Satah yang melalui garisan d akan ditakrifkan sepenuhnya jika kita menunjukkan beberapa titik daripadanya (Rajah 122) yang tidak terletak pada garisan d.

Mari kita ambil titik sedemikian pada satah kita (1) dan tulis persamaan dengan dua yang tidak diketahui dan:

Oleh kerana, dengan andaian, titik itu tidak terletak pada baris d, maka sekurang-kurangnya satu kurungan di sebelah kiri persamaan (5) adalah berbeza daripada sifar; daripada persamaan ini (5) hubungan

Mari kita sekarang mempunyai beberapa nombor yang memenuhi perkadaran (6). Kemudian kesamaan (5) juga berpuas hati, bermakna titik itu terletak pada satah

Tetapi satah ini, sebagai gabungan linear satah (2) dan (3), melalui garis d dan mengandungi titik kepunyaan satah ( - yang bermaksud bahawa satah (1) bertepatan dengan satah (7) dan merupakan linear gabungan satah (2) dan ( 3). Pernyataan tersebut telah dibuktikan.

Jadi, agar satah (1) melalui garis lurus persilangan dua satah (2) dan (3), adalah perlu dan memadai bahawa persamaan (1) menjadi gabungan linear persamaan (2) dan (3). ).

Biarkan sekarang satah (2) dan (3) selari. Sama persis seperti dalam § 5 Bab V, kami yakin bahawa mana-mana satah yang merupakan gabungan linear satah (2) dan (3) akan selari dengannya dan sebaliknya, mana-mana satah selari dengan dua (selari dengan setiap satah. lain) satah (2) dan (3), ialah gabungan linearnya.

Mari kita panggil set semua pesawat yang melalui garis tertentu d; Akhir sekali, mari kita panggil set semua satah yang merupakan gabungan linear dua satah dan , pancarongga satu dimensi satah yang dihasilkan oleh dua elemennya dan . Kami telah membuktikan bahawa mana-mana pensel satah (betul atau tidak betul) ialah manifold satu dimensi yang dihasilkan oleh mana-mana dua elemennya.

Sebaliknya, setiap pancarongga satu dimensi satah (yang dihasilkan oleh kira-kira dua satah dan 62) ialah seberkas satah - sesuai jika satah dan 62 bersilang, tidak wajar jika ia selari.

Dalam Bab XXIII Kuliah ini kita akan membina ruang unjuran dengan menambah ruang biasa dengan titik jauh tak terhingga (tidak wajar) sedemikian rupa sehingga pengumpulan titik jauh tak terhingga ini membentuk satah jauh tak terhingga (tidak wajar);

Semua garisan yang terletak dalam satah ini juga akan dipanggil jauh tidak terhingga atau tidak wajar. Setiap satah angkasa yang "betul" (iaitu biasa) bersilang dengan satah yang tidak betul di sepanjang garis yang tidak betul - di sepanjang satu-satunya garisan yang tidak wajar bagi satah yang betul. Ternyata dua satah yang betul adalah selari jika dan hanya jika ia bersilang di sepanjang garis lurus (sepunya) pada infiniti. Oleh itu, dalam ruang unjuran perbezaan antara pensel satah yang betul dan tidak betul hilang: pensel yang tidak betul ialah pensel satah yang paksinya adalah salah satu daripada garisan ruang unjuran yang tidak betul.