Siri nombor ialah jujukan yang dianggap bersama dengan jujukan lain (ia juga dipanggil jujukan jumlah separa). Konsep yang sama digunakan dalam analisis matematik dan kompleks.

Jumlah siri nombor boleh dikira dengan mudah dalam Excel menggunakan fungsi ROW.SUM. Mari lihat contoh cara ia berfungsi fungsi ini, dan kemudian kita akan membina graf fungsi. Mari belajar cara menggunakan siri nombor dalam amalan semasa mengira pertumbuhan modal. Tetapi pertama, sedikit teori.

Jumlah siri nombor

Siri nombor boleh dianggap sebagai sistem penghampiran kepada nombor. Untuk menetapkannya, gunakan formula:

Berikut ialah urutan awal nombor dalam siri dan peraturan penjumlahan:

• ∑ - tanda matematik jumlah;
• a i - hujah umum;
• i ialah pembolehubah, peraturan untuk menukar setiap hujah berikutnya;
• ∞ ialah tanda infiniti, "had" sehingga penjumlahan dijalankan.

Entri itu bermaksud: disimpulkan nombor asli dari 1 hingga "tambah infiniti". Oleh kerana i = 1, pengiraan jumlah bermula dari satu. Jika terdapat nombor lain di sini (contohnya, 2, 3), maka kita akan mula menjumlahkan daripadanya (dari 2, 3).

Selaras dengan pembolehubah i, siri boleh ditulis dikembangkan:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (sehingga "tambah infiniti").

Takrif jumlah siri nombor diberikan melalui “jumlah separa”. Dalam matematik mereka dilambangkan Sn. Mari kita tulis siri nombor kita dalam bentuk jumlah separa:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Hasil tambah siri nombor ialah had jumlah separa S n . Jika had adalah terhad, kita bercakap tentang siri "tumpu". Infinite - tentang "berbeza".

Mula-mula, mari kita cari jumlah siri nombor:

Sekarang mari kita bina jadual nilai ahli siri dalam Excel:

Kami mengambil hujah pertama umum daripada formula: i=3.

Kami mencari semua nilai berikut i menggunakan formula: =B4+$B$1. Letakkan kursor di sudut kanan bawah sel B5 dan darabkan formula.

Mari cari nilai. Jadikan sel C4 aktif dan masukkan formula: =SUM(2*B4+1). Salin sel C4 ke julat yang ditentukan.

Nilai jumlah argumen diperoleh menggunakan fungsi: =SUM(C4:C11). Gabungan hotkey ALT+“+” (tambah pada papan kekunci).

Fungsi ROW.SUM dalam Excel

Untuk mencari jumlah siri nombor dalam Excel, gunakan fungsi matematik SERIES.SUM. Program ini menggunakan formula berikut:

Argumen fungsi:

• x – nilai berubah;
• n – ijazah untuk hujah pertama;
• m ialah langkah di mana darjah ditingkatkan untuk setiap penggal berikutnya;
• a ialah pekali bagi kuasa x yang sepadan.

Syarat penting untuk fungsi berfungsi:

• semua hujah diperlukan (iaitu, semua mesti diisi);
• semua argumen adalah nilai NUMERIC;
• vektor pekali mempunyai panjang tetap (had "infiniti" tidak akan berfungsi);
• bilangan “pekali” = bilangan hujah.

Mengira jumlah siri dalam Excel

Fungsi SERIES.SUM yang sama berfungsi dengan siri kuasa (salah satu varian siri berfungsi). Tidak seperti angka, hujah mereka adalah fungsi.

Siri fungsional sering digunakan dalam bidang kewangan dan ekonomi. Anda boleh katakan ini adalah kawasan permohonan mereka.

Contohnya, mereka mendepositkan sejumlah wang (a) ke dalam bank untuk tempoh tertentu (n). Kami mempunyai bayaran tahunan sebanyak x peratus. Untuk mengira jumlah terakru pada akhir tempoh pertama, formula digunakan:

S 1 = a (1 + x).

Pada akhir tempoh kedua dan seterusnya, bentuk ungkapan adalah seperti berikut:

S 2 = a (1 + x) 2 ;

S 3 = a (1 + x) 2, dsb.

Untuk mencari jumlah:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Jumlah separa dalam Excel boleh didapati menggunakan fungsi BS().

Parameter awal untuk tugas latihan:

Menggunakan fungsi matematik piawai, kita dapati jumlah terkumpul pada akhir penggal. Untuk melakukan ini, dalam sel D2 kita menggunakan formula: =B2*DEGREE(1+B3;4)

Sekarang dalam sel D3 kita akan menyelesaikan masalah yang sama menggunakan fungsi Excel terbina dalam: =BS(B3;B1;;-B2)

Hasilnya adalah sama, seperti yang sepatutnya.

1. Bagaimana untuk mengisi hujah fungsi BS(): "Bida" - kadar faedah
2. , di mana deposit didaftarkan. Oleh kerana format peratusan ditetapkan dalam sel B3, kami hanya menentukan pautan ke sel ini dalam medan hujah. Jika suatu nombor dinyatakan, maka ia akan ditulis sebagai seperseratus daripadanya (20/100).
3. “Nper” ialah bilangan tempoh untuk pembayaran faedah. Dalam contoh kami - 4 tahun.
4. "Plt" - pembayaran berkala. Dalam kes kami tidak ada. Oleh itu, kami tidak mengisi ruangan hujah.

“Ps” - “nilai semasa”, jumlah deposit. Oleh kerana kami berpisah dengan wang ini untuk seketika, kami menunjukkan parameter dengan tanda "-".

Excel mempunyai fungsi terbina dalam lain untuk mencari parameter yang berbeza. Biasanya ini adalah fungsi untuk bekerja dengan projek pelaburan, sekuriti dan bayaran susut nilai.

Memplot fungsi hasil tambah siri nombor

Mari bina graf fungsi yang mencerminkan pertumbuhan modal. Untuk melakukan ini, kita perlu membina graf bagi fungsi yang merupakan hasil tambah siri yang dibina. Sebagai contoh, mari kita ambil data yang sama pada deposit:

Baris pertama menunjukkan jumlah terkumpul selepas satu tahun. Dalam kedua - dalam dua. Dan seterusnya.

Mari buat satu lagi lajur di mana kita akan mencerminkan keuntungan:

Seperti yang kita fikirkan - dalam bar formula.

Berdasarkan data yang diperoleh, kita akan membina graf fungsi.

Mari pilih 2 julat: A5:A9 dan C5:C9. Pergi ke tab "Sisipkan" - alat "Rajah". Pilih carta pertama:

Mari jadikan masalah itu lebih "digunakan". Dalam contoh kami menggunakan faedah kompaun. Ia terakru pada amaun terakru dalam tempoh sebelumnya.

Mari ambil minat mudah untuk perbandingan. Formula minat mudah dalam Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Mari tambahkan nilai yang diperoleh pada carta "Pertumbuhan Modal".

Jelas sekali kesimpulan yang akan dibuat oleh pelabur.

Formula matematik untuk jumlah separa siri berfungsi (dengan faedah mudah): S n = a (1 + x*n), dengan a ialah jumlah deposit awal, x ialah faedah, n ialah tempoh.

Biarkan urutan nombor R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… diberi. Ungkapan R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… dipanggil barisan yang tidak berkesudahan, atau hanya dekat, dan nombor R 1, R 2, R 3,… - ahli nombor. Apa yang dimaksudkan di sini ialah pengumpulan jumlah siri bermula dengan sebutan pertamanya. Jumlah S n = dipanggil jumlah separa barisan: untuk n=1 – jumlah separa pertama, untuk n=2 – jumlah separa kedua, dan seterusnya.

Dipanggil siri penumpuan, jika urutan bahagiannya jumlah mempunyai had, dan mencapah- jika tidak. Konsep jumlah siri boleh dikembangkan, dan kemudian beberapa siri mencapah juga akan mempunyai jumlah. Tepat sekali dipanjangkan persefahaman jumlah barisan akan digunakan dalam pembangunan algoritma dengan rumusan masalah berikut: pengumpulan jumlah perlu dijalankan sehingga penggal seterusnya bagi siri dalam nilai mutlak adalah lebih besar daripada nilai yang diberikan ε.

Secara umum, semua atau sebahagian daripada ahli siri boleh ditentukan oleh ungkapan yang bergantung pada bilangan ahli siri dan pembolehubah. Sebagai contoh,

Kemudian timbul persoalan bagaimana untuk meminimumkan jumlah pengiraan - hitung nilai ahli siri seterusnya menggunakan formula am untuk istilah siri(dalam contoh yang diberikan ia diwakili oleh ungkapan di bawah tanda jumlah), menggunakan formula berulang (outputnya dibentangkan di bawah) atau menggunakan formula berulang hanya untuk bahagian ungkapan ahli siri (lihat di bawah).

Terbitan formula berulang untuk mengira sebutan siri

Katakan anda perlu mencari satu siri nombor R 1, R 2, R 3,..., secara berurutan mengiranya menggunakan formula

,
, …,

Untuk mengurangkan pengiraan dalam kes ini, ia adalah mudah untuk digunakan berulang formula baik hati
, yang membolehkan anda mengira nilai R N untuk N>1, mengetahui nilai ahli sebelumnya siri R N-1, di mana
- ungkapan yang boleh diperolehi selepas memudahkan nisbah ungkapan dalam formula (3.1) untuk N kepada ungkapan untuk N-1:

Oleh itu, formula berulang mengambil bentuk
.

Daripada perbandingan formula am bagi istilah siri (3.1) dan formula berulang (3.2), adalah jelas bahawa formula berulang secara signifikan memudahkan pengiraan. Mari kita gunakannya untuk N=2, 3 dan 4, mengetahuinya
:

Kaedah untuk mengira nilai ahli siri

Untuk mengira nilai ahli siri, bergantung pada jenisnya, mungkin lebih baik menggunakan formula umum untuk ahli siri, atau formula berulang, atau kaedah campuran mengira nilai ahli siri, apabila formula berulang digunakan untuk satu atau lebih bahagian ahli siri, dan kemudian nilainya digantikan ke dalam formula umum ahli siri. Sebagai contoh, - untuk siri adalah lebih mudah untuk mengira nilai ahli siri
mengikut formula amnya
(bandingkan dengan
- formula berulang); - untuk satu baris
lebih baik menggunakan formula berulang
; - untuk siri, kaedah campuran harus digunakan, mengira A N =X 3N menggunakan formula berulang
, N=2, 3,… dengan A 1 =1 dan B N =N! - juga mengikut formula berulang
, N=2, 3,… dengan B 1 =1, dan kemudian – ahli siri
- mengikut formula umum, yang akan mengambil bentuk
.

Contoh 3.2.1 pelaksanaan tugas

Kira dengan ketepatan ε untuk 0 o  X  45 o

menggunakan formula berulang untuk mengira istilah siri:

,

nilai tepat bagi fungsi cos X,

ralat mutlak dan relatif bagi nilai anggaran.

program Projek1;

($APPTYPE CONSOLE)

K=Pi/180; //Pekali untuk menukar daripada darjah kepada radian

Eps: Dilanjutkan =1E-8;

X: Dilanjutkan =15;

R, S, Y, D: Dilanjutkan;

($IFNDEF DBG) //Pengendali tidak digunakan untuk nyahpepijat

Write("Masukkan ketepatan yang diperlukan: ");

Write("Masukkan nilai sudut dalam darjah: ");

D:=Sqr(K*X); //Tukar X kepada radian dan kuasa dua

//Menetapkan nilai awal kepada pembolehubah

//Gelung untuk mengira terma siri dan mengumpul jumlahnya.

//Laksanakan selagi modulus ahli siri seterusnya lebih besar daripada Eps.

manakala Abs(R)>Eps lakukan

jika N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Hasil pengiraan output:

WriteLn(N:14," = Bilangan langkah yang dicapai",

"ketepatan yang ditentukan");

WriteLn(S:14:11," = Nilai fungsi anggaran");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Nilai fungsi tepat");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Ralat mutlak");

TulisLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = Ralat relatif");

Masalah menjumlahkan set istilah diselesaikan dalam teori siri.

di mana u 1, u 2, u 3 …., u n...-anggota bagi urutan nombor tak terhingga dipanggil siri nombor.

Nombor u 1, u 2, u 3 …., u n... dipanggil ahli nombor, A u n ialah istilah biasa bagi siri itu.

Hasil tambah nombor terhingga n sebutan pertama suatu siri dipanggil jumlah separa ke-n bagi siri itu.

S n = u 1 + u 2 +… + u n,

mereka. S 1 = u 1 ; S 2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Suatu siri dikatakan menumpu jika terdapat had terhingga bagi jumlah separa S n untuk n, iaitu

Nombor S dipanggil jumlah siri.

Jika tidak:

Kemudian siri itu dipanggil divergen.

Siri rujukan.

1. Siri geometri (janjang geometri)

Contoh.

2. Siri harmonik.

3. Siri harmonik umum.

Contoh.

.

Tanda-tanda penumpuan siri positif

Teorem 1. Tanda penumpuan yang perlu.

Menggunakan ciri ini, anda boleh menentukan perbezaan siri.

Contoh.

Tanda-tanda yang mencukupi

Teorem 1. Ujian untuk membandingkan siri.

Biarkan dua siri tanda positif diberikan:

Selain itu, jika siri (2) menumpu, maka siri (1) juga menumpu.

Jika siri (1) mencapah, maka siri (2) juga mencapah.

Contoh. Periksa siri untuk penumpuan:

Mari bandingkan siri ini dengan siri geometri:

Oleh itu, sebagai perbandingan, siri yang diperlukan menumpu.

Teorem 2. Ujian D'Alembert.

Contoh. Periksa siri untuk penumpuan:

Mengikut ujian d'Alembert, siri itu menumpu.

Teorem 3. Ujian Radikal Cauchy.

3) persoalan penumpuan tetap terbuka.

Contoh: periksa siri nombor untuk penumpuan:

Penyelesaian:

Oleh itu, siri ini adalah konvergen Cauchy.

Teorem 4. Ujian kamiran Cauchy.

Biar ahli siri

adalah positif dan tidak meningkat, iaitu nilai-nilai fungsi tidak meningkat berterusan f(x) pada x= 1, 2, …, n.

Kemudian untuk siri menumpu adalah perlu dan mencukupi bahawa kamiran tak wajar menumpu:

Contoh.

Penyelesaian:

Akibatnya, siri mencapah, kerana kamiran tidak wajar mencapah.

Siri bergantian. Konsep penumpuan mutlak dan bersyarat bagi siri berselang-seli.

Siri itu dipanggil tanda berselang-seli, jika mana-mana ahlinya boleh menjadi positif dan negatif.

Mari kita pertimbangkan baris berselang-seli:

Teorem 1. Ujian Leibniz (ujian mencukupi).

Jika tanda baris berselang seli

istilah berkurangan dalam nilai mutlak, iaitu,

maka siri itu menumpu dan hasil tambahnya tidak melebihi sebutan pertama, iaitu S ≤ .

Contoh.

Penyelesaian:

Mari gunakan ujian Leibniz:

.

Oleh itu, siri ini adalah Leibniz konvergen.

Teorem 2. Kriteria yang mencukupi untuk penumpuan siri berselang-seli.

Jika untuk siri berselang-seli satu siri yang terdiri daripada nilai mutlak istilahnya menumpu, maka siri berselang-seli ini menumpu.

Contoh: periksa siri untuk penumpuan:

Penyelesaian:

daripada nilai mutlak syarat siri asal menumpu sebagai siri harmonik umum untuk .

Oleh itu, siri asal menumpu.

Ciri ini mencukupi, tetapi tidak perlu, iaitu, terdapat siri berselang-seli yang menumpu, walaupun siri yang terdiri daripada nilai mutlak berbeza.

Definisi 1. benar-benar konvergen, jika satu siri yang terdiri daripada nilai mutlak ahlinya menumpu.

Definisi 2. Siri berselang-seli dipanggil konvergen bersyarat, jika siri itu sendiri menumpu, tetapi siri yang terdiri daripada nilai mutlak ahlinya menyimpang.

Perbezaan di antara mereka ialah siri tumpu mutlak bertumpu disebabkan oleh fakta bahawa sebutannya berkurangan dengan cepat, dan siri penumpuan bersyarat menumpu kerana fakta bahawa sebutan positif dan negatif membatalkan satu sama lain.

Contoh.

Penyelesaian:

Mari gunakan ujian Leibniz:

Oleh itu, siri ini adalah Leibniz konvergen. Tetapi satu siri yang terdiri daripada nilai mutlak ahli-ahlinya menyimpang, seperti yang harmoni.

Ini bermakna siri asal menumpu secara bersyarat.

Jumlah siri

laman web membolehkan anda mencari jumlah siri dalam talian urutan nombor. Di samping mencari jumlah siri urutan nombor dalam talian, pelayan berada dalam dalam talian akan jumpa jumlah separa siri itu. Ini berguna untuk pengiraan analitik apabila jumlah siri dalam talian mesti diwakili dan didapati sebagai penyelesaian kepada had jujukan jumlah separa siri. Berbanding dengan laman web lain, laman web mempunyai kelebihan yang tidak dapat dinafikan, kerana ia membolehkan anda mencari jumlah siri dalam talian bukan sahaja berangka, tetapi juga julat berfungsi, yang akan membolehkan kita menentukan kawasan penumpuan yang asal barisan menggunakan kaedah yang paling terkenal. Mengikut teori barisan, syarat yang perlu untuk penumpuan jujukan berangka ialah had bagi sebutan sepunya adalah sama dengan sifar siri nombor kerana pembolehubah cenderung kepada infiniti. Walau bagaimanapun, syarat ini tidak mencukupi untuk menentukan penumpuan siri nombor dalam talian.. Untuk menentukan penumpuan siri dalam talian pelbagai tanda penumpuan atau perbezaan yang mencukupi telah ditemui barisan. Yang paling terkenal dan kerap digunakan ialah tanda-tanda D'Alembert, Cauchy, Raabe, perbandingan siri nombor, serta tanda integral penumpuan siri nombor. Tempat istimewa di kalangan siri nombor menduduki tempat-tempat di mana tanda-tanda istilah itu bersilih ganti, dan nilai mutlak siri nombor menurun secara monoton. Ternyata untuk sedemikian siri nombor tanda penumpuan yang diperlukan bagi siri dalam talian adalah pada masa yang sama mencukupi, iaitu, kesamaan had istilah umum kepada sifar siri nombor kerana pembolehubah cenderung kepada infiniti. Terdapat banyak laman web yang berbeza yang menyediakan pelayan untuk mengira jumlah siri dalam talian, serta pengembangan fungsi dalam barisan dalam talian pada satu ketika dari domain definisi fungsi ini. Jika kita mengembangkan fungsi ke siri dalam talian tidak begitu sukar pada pelayan ini, kemudian mengira jumlah siri berfungsi dalam talian, setiap ahli yang, berbeza dengan berangka barisan, bukan nombor, tetapi fungsi, nampaknya hampir mustahil kerana kekurangan sumber teknikal yang diperlukan. Untuk www.site tiada masalah seperti itu.

AGENSI PERSEKUTUAN UNTUK PENDIDIKAN

Institusi pendidikan negeri

pendidikan profesional yang lebih tinggi

"MATI" - UNIVERSITI TEKNOLOGI NEGERI RUSIA DENGAN NAMA K.E. TSIOLKOVSKY

Jabatan "Pemodelan Sistem dan Teknologi Maklumat"

Siri nombor

Garis panduan untuk latihan amali

dalam disiplin "Matematik Tinggi"

Disusun oleh: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Kornienko L.I.

Pengenalan Moscow 2005

Garis panduan ini bertujuan untuk pelajar sepenuh masa dan petang Fakulti No. 14, kepakaran 071000, 130200, 220200.

1. Konsep asas

biarlah u 1 , u 2 , u 3 , …, u n, … ialah jujukan nombor tak terhingga. Ungkapan
dipanggil siri nombor tak terhingga, nombor u 1 , u 2 , u 3 , …, u n- ahli siri;
dipanggil istilah biasa siri. Siri ini sering ditulis dalam bentuk singkatan (diruntuhkan):

Jumlah yang pertama n ahli siri nombor dilambangkan dengan dan panggil n jumlah separa ke- siri itu:

Siri itu dipanggil konvergen, jika ia n-i jumlah separa dengan peningkatan tanpa had n cenderung kepada had akhir, i.e. Jika
Nombor dipanggil jumlah siri.

Jika n-jumlah separa ke- siri di
tidak cenderung kepada had terhingga, maka siri itu dipanggil mencapah.

Contoh 1. Cari hasil tambah siri itu
.

Penyelesaian. Kami ada
. Kerana:

,

Oleh itu,

Kerana
, maka siri itu menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan
.

2. Teorem asas tentang siri nombor

Teorem 1. Jika siri itu menumpu
maka siri itu menumpu diperoleh daripada siri yang diberikan dengan membuang yang pertama
ahli (baris terakhir ini dipanggil
-baki ke siri asal). Dan sebaliknya, dari penumpuan
Baki ke- siri ini membayangkan penumpuan siri ini.

Teorem 2. Jika siri itu menumpu
dan jumlahnya ialah nombor , maka siri itu menumpu
dan jumlah baris terakhir adalah sama dengan
.

Teorem 3. Jika siri itu menumpu

mempunyai jumlah S dan Q, masing-masing, maka siri itu menumpu dan hasil tambah siri terakhir adalah sama dengan
.

Teorem 4 (Tanda penumpuan siri yang diperlukan). Jika baris
bertumpu, kemudian
, iaitu di
had bagi sebutan sepunya siri penumpu ialah sifar.

Akibat 1. Jika
, maka siri itu menyimpang.

Akibat 2. Jika
, maka adalah mustahil untuk menentukan penumpuan atau pencapahan siri menggunakan kriteria penumpuan yang diperlukan. Satu siri boleh sama ada menumpu atau mencapah.

Contoh 2. Siasat penumpuan siri:

Penyelesaian. Mencari istilah sepunya siri
. Kerana:

mereka.
, maka siri itu menyimpang (syarat yang diperlukan untuk penumpuan tidak dipenuhi).

3. Tanda-tanda penumpuan siri dengan sebutan positif

3.1. Tanda-tanda perbandingan

Kriteria perbandingan adalah berdasarkan membandingkan penumpuan siri tertentu dengan siri yang penumpuan atau perbezaannya diketahui. Siri yang disenaraikan di bawah digunakan untuk perbandingan.

baris
terdiri daripada sebutan sebarang janjang geometri yang menurun, adalah menumpu dan mempunyai hasil tambah

baris
terdiri daripada sebutan janjang geometri yang semakin meningkat, adalah berbeza.

baris
adalah berbeza.

baris
dipanggil siri Dirichlet. Untuk >1 siri Dirichlet menumpu, untuk <1- расходится.

Apabila =1 baris
dipanggil harmonik. Siri harmonik menyimpang.

Teorem. Tanda pertama perbandingan. Biarkan dua siri dengan sebutan positif diberikan:

(2)

Selain itu, setiap ahli siri (1) tidak melebihi ahli siri (2) yang sepadan, i.e.
(n= 1, 2, 3, …). Kemudian jika siri (2) menumpu, maka siri (1) juga menumpu; jika siri (1) mencapah, maka siri (2) juga mencapah.

Komen. Kriteria ini kekal sah jika ketaksamaan
tidak berfungsi untuk semua orang , tetapi hanya bermula dari nombor tertentu n= N, iaitu untuk semua orang n N.

Contoh 3. Siasat penumpuan siri itu

Penyelesaian. Ahli siri tertentu adalah kurang daripada ahli siri yang sepadan
terdiri daripada sebutan janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga. Oleh kerana siri ini menumpu, siri yang diberikan juga menumpu.

Teorem. Tanda perbandingan kedua (bentuk pembatas tanda perbandingan). Sekiranya terdapat had terhingga dan bukan sifar
, kemudian kedua-dua baris Dan menumpu atau mencapah pada masa yang sama.

Contoh 4. Menyiasat penumpuan siri itu

Penyelesaian. Mari bandingkan siri dengan siri harmonik
Mari kita cari had nisbah sebutan sepunya siri:

Oleh kerana siri harmonik mencapah, siri yang diberikan juga mencapah.