Menukar Ungkapan. Teori terperinci (2019). Cara Memudahkan Ungkapan Algebra Mengkaji Sifat Punca Kuasa Dua

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Ungkapan algebra di mana, bersama-sama dengan operasi penambahan, penolakan dan pendaraban, juga menggunakan pembahagian kepada ungkapan huruf, dipanggil ungkapan algebra pecahan. Ini, sebagai contoh, ungkapan

Kami memanggil pecahan algebra sebagai ungkapan algebra yang mempunyai bentuk hasil bagi pembahagian dua ungkapan algebra integer (contohnya, monomial atau polinomial). Ini, sebagai contoh, ungkapan

Ungkapan ketiga).

Transformasi yang sama bagi ungkapan algebra pecahan kebanyakannya bertujuan untuk mewakilinya dalam bentuk pecahan algebra. Untuk mencari penyebut sepunya, pemfaktoran penyebut pecahan digunakan - sebutan untuk mencari gandaan sepunya terkecilnya. Apabila mengurangkan pecahan algebra, identiti ketat ungkapan mungkin dilanggar: adalah perlu untuk mengecualikan nilai kuantiti di mana faktor pengurangan dibuat menjadi sifar.

Mari kita berikan contoh transformasi yang sama bagi ungkapan algebra pecahan.

Contoh 1: Permudahkan ungkapan

Semua istilah boleh dikurangkan kepada penyebut biasa (adalah mudah untuk menukar tanda dalam penyebut sebutan terakhir dan tanda di hadapannya):

Ungkapan kami adalah sama dengan satu untuk semua nilai kecuali nilai ini tidak ditentukan dan mengurangkan pecahan adalah haram).

Contoh 2. Wakilkan ungkapan sebagai pecahan algebra

Penyelesaian. Ungkapan itu boleh diambil sebagai penyebut biasa. Kami dapati secara berurutan:

Senaman

1. Cari nilai ungkapan algebra untuk nilai parameter yang ditentukan:

2. Memfaktorkan.

§ 1 Konsep memudahkan ungkapan literal

Dalam pelajaran ini, kita akan membiasakan diri dengan konsep "istilah serupa" dan, menggunakan contoh, kita akan belajar cara melakukan pengurangan istilah yang serupa, dengan itu memudahkan ungkapan literal.

Mari kita ketahui maksud konsep "pemudahan". Perkataan “permudah” berasal daripada perkataan “permudahkan”. Memudahkan bermaksud membuat mudah, lebih ringkas. Oleh itu, untuk memudahkan ungkapan huruf adalah menjadikannya lebih pendek, dengan bilangan tindakan minimum.

Pertimbangkan ungkapan 9x + 4x. Ini adalah ungkapan literal yang merupakan jumlah. Istilah di sini dibentangkan sebagai hasil darab nombor dan huruf. Faktor berangka istilah tersebut dipanggil pekali. Dalam ungkapan ini, pekali ialah nombor 9 dan 4. Sila ambil perhatian bahawa faktor yang diwakili oleh huruf adalah sama dalam kedua-dua sebutan jumlah ini.

Mari kita ingat hukum pengagihan pendaraban:

Untuk mendarab jumlah dengan nombor, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor itu dan menambah produk yang terhasil.

Secara umum ia ditulis seperti berikut: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Hukum ini adalah benar dalam kedua-dua arah ac + bc = (a + b) ∙ c

Mari kita gunakannya pada ungkapan literal kita: jumlah hasil darab 9x dan 4x adalah sama dengan hasil darab yang faktor pertamanya bersamaan dengan hasil tambah 9 dan 4, faktor kedua ialah x.

9 + 4 = 13, itu 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Daripada tiga tindakan dalam ungkapan, hanya tinggal satu tindakan - pendaraban. Ini bermakna bahawa kami telah menjadikan ungkapan literal kami lebih mudah, i.e. dipermudahkannya.

§ 2 Pengurangan istilah yang serupa

Istilah 9x dan 4x berbeza hanya dalam pekalinya - istilah sedemikian dipanggil serupa. Bahagian huruf bagi istilah yang serupa adalah sama. Istilah yang sama juga termasuk nombor dan sebutan yang sama.

Sebagai contoh, dalam ungkapan 9a + 12 - 15 sebutan yang serupa ialah nombor 12 dan -15, dan dalam jumlah hasil darab 12 dan 6a, nombor 14 dan hasil darab 12 dan 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) sebutan sama yang diwakili oleh hasil darab 12 dan 6a.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa istilah yang pekalinya sama, tetapi faktor hurufnya berbeza, tidak serupa, walaupun kadangkala berguna untuk menggunakan hukum darab taburan kepadanya, sebagai contoh, jumlah hasil darab 5x dan 5y ialah sama dengan hasil darab nombor 5 dan hasil tambah x dan y

5x + 5y = 5(x + y).

Mari kita ringkaskan ungkapan -9a + 15a - 4 + 10.

Istilah yang sama dalam kes ini ialah sebutan -9a dan 15a, kerana ia hanya berbeza dalam pekalinya. Pengganda huruf mereka adalah sama, dan istilah -4 dan 10 juga serupa, kerana ia adalah nombor. Tambahkan istilah serupa:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Kami mendapat: 6a + 6.

Dengan mempermudahkan ungkapan, kami mendapati jumlah istilah yang serupa dalam matematik ini dipanggil pengurangan istilah yang serupa.

Jika menambah istilah sedemikian sukar, anda boleh membuat perkataan untuknya dan menambah objek.

Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan:

Untuk setiap huruf kita mengambil objek kita sendiri: b-apple, c-pear, maka kita mendapat: 2 epal tolak 5 pear ditambah 8 pear.

Bolehkah kita menolak pear daripada epal? Sudah tentu tidak. Tetapi kita boleh menambah 8 pear kepada tolak 5 pear.

Mari kita kemukakan istilah serupa -5 pear + 8 pear. Istilah yang sama mempunyai bahagian huruf yang sama, jadi apabila membawa istilah yang sama, cukup untuk menambah pekali dan menambah bahagian huruf kepada hasilnya:

(-5 + 8) pear - anda mendapat 3 pear.

Kembali kepada ungkapan literal kami, kami mempunyai -5 s + 8 s = 3 s. Oleh itu, selepas membawa istilah yang serupa, kita memperoleh ungkapan 2b + 3c.

Oleh itu, dalam pelajaran ini anda membiasakan diri dengan konsep "istilah serupa" dan belajar cara memudahkan ungkapan huruf dengan mengurangkan istilah yang serupa.

Senarai kesusasteraan yang digunakan:

1. Matematik. Darjah 6: rancangan pengajaran untuk buku teks I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // pengarang-penyusun L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematik. Darjah 6: buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematik. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dan lain-lain/disunting oleh G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademi Sains Rusia, Akademi Pendidikan Rusia. M.: "Pencerahan", 2010.
4. Matematik. Darjah 6: pengajian untuk institusi pendidikan am/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Matematik. darjah 6: buku teks/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Imej yang digunakan:

Anda akan perlukan

• - konsep monomial polinomial;
• - formula pendaraban yang disingkatkan;
• - operasi dengan pecahan;
• - identiti asas trigonometri.

Arahan

Jika ungkapan mengandungi monomial dengan , cari jumlah pekalinya dan darab dengan faktor yang sama untuknya. Sebagai contoh, jika terdapat ungkapan 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a.

Jika ungkapan itu ialah pecahan semula jadi, pilih faktor sepunya daripada pengangka dan penyebut dan kurangkan pecahan itu dengannya. Sebagai contoh, jika anda perlu mengurangkan pecahan (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²), keluarkan faktor sepunya daripada pengangka dan penyebut dalam pengangka ia akan menjadi 3, dalam penyebut 6. Dapatkan ungkapan (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Kurangkan pengangka dan penyebut dengan 3 dan gunakan rumus pendaraban yang disingkatkan pada ungkapan yang tinggal. Untuk pengangka ia adalah kuasa dua perbezaan, dan untuk penyebut ia adalah perbezaan kuasa dua. Dapatkan ungkapan (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) dengan mengurangkannya dengan faktor sepunya a-b, anda mendapat ungkapan (a-b)/(2∙ (a+b)), iaitu lebih mudah untuk nilai tertentu kiraan pembolehubah.

Jika monomial mempunyai faktor yang sama yang dinaikkan kepada kuasa, maka apabila menjumlahkannya, pastikan bahawa kuasa adalah sama, jika tidak, mustahil untuk mengurangkan yang serupa. Sebagai contoh, jika terdapat ungkapan 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7, maka apabila yang serupa digabungkan, hasilnya akan menjadi m²+2 m³+7.

Apabila memudahkan identiti trigonometri, gunakan formula untuk mengubahnya. Identiti trigonometri asas sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), formula untuk jumlah dan perbezaan hujah , hujah berganda, tiga kali ganda dan lain-lain. Contohnya, (sin(2∙x)- cos(x))/ ctg(x). Tulis formula untuk hujah berganda dan kotangen sebagai nisbah kosinus kepada sinus. Dapatkan (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Keluarkan faktor sepunya, cos(x) dan batalkan pecahan cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( x).

Video mengenai topik

Sumber:

• formula penyederhanaan ungkapan

Ringkas, seperti yang mereka katakan, adalah kakak kepada bakat. Semua orang mahu menunjukkan bakat mereka, tetapi kakaknya adalah perkara yang rumit. Atas sebab tertentu, pemikiran cemerlang secara semula jadi berbentuk ayat kompleks dengan banyak frasa adverba. Walau bagaimanapun, terpulang kepada anda untuk memudahkan ayat anda dan menjadikannya mudah difahami dan boleh diakses oleh semua orang.

Arahan

Untuk memudahkan penerima (sama ada pendengar atau pembaca), cuba gantikan frasa participial dan participial dengan klausa bawahan pendek, terutamanya jika terdapat terlalu banyak frasa di atas dalam satu ayat. "Seekor kucing yang pulang ke rumah, baru saja memakan tikus, mendengkur dengan kuat, membelai pemiliknya, cuba melihat ke matanya, berharap untuk meminta ikan yang dibawa dari kedai" - ini tidak akan berfungsi. Pecahkan struktur sedemikian kepada beberapa bahagian, luangkan masa anda dan jangan cuba untuk mengatakan segala-galanya dalam satu ayat, anda akan gembira.

Sekiranya anda telah mencipta pernyataan yang cemerlang, tetapi ternyata mempunyai terlalu banyak klausa bawahan (terutama dengan satu), maka lebih baik untuk memecahkan pernyataan itu kepada beberapa ayat yang berasingan atau meninggalkan beberapa unsur. "Kami memutuskan bahawa dia akan memberitahu Marina Vasilievna, bahawa Katya akan memberitahu Vita bahawa ..." - kami boleh meneruskan tanpa henti. Berhenti tepat pada masanya dan ingat siapa yang akan membaca atau mendengar ini.

Walau bagaimanapun, perangkap bukan sahaja terletak pada struktur ayat. Beri perhatian kepada perbendaharaan kata. Perkataan asing, jangka panjang, perkataan yang diambil dari fiksyen abad ke-19 - semua ini hanya akan merumitkan persepsi. Adalah perlu untuk menjelaskan sendiri untuk khalayak mana yang anda karang teks: juruteknik, sudah tentu, akan memahami kedua-dua istilah kompleks dan perkataan khusus; tetapi jika anda menawarkan perkataan yang sama kepada guru sastera, dia tidak mungkin memahami anda.

Bakat adalah sesuatu yang hebat. Jika anda berbakat (dan tidak ada orang yang tidak berkebolehan), banyak jalan terbuka di hadapan anda. Tetapi bakat bukan terletak pada kerumitan, tetapi pada kesederhanaan, cukup aneh. Pastikan ia mudah, dan bakat anda akan jelas dan boleh diakses oleh semua orang.

Video mengenai topik

Belajar untuk memudahkan ungkapan dalam matematik hanya perlu untuk menyelesaikan masalah dan pelbagai persamaan dengan betul dan cepat. Memudahkan ungkapan melibatkan pengurangan bilangan langkah, yang menjadikan pengiraan lebih mudah dan menjimatkan masa.

Arahan

Belajar mengira kuasa c. Apabila mendarab kuasa c, nombor diperoleh yang asasnya sama, dan eksponen ditambah b^m+b^n=b^(m+n). Apabila membahagi kuasa dengan asas yang sama, kuasa nombor diperoleh, asasnya tetap sama, dan eksponen ditolak, dan eksponen pembahagi b^m ditolak daripada eksponen dividen: b^ n=b^(m-n). Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, kuasa nombor diperolehi, asasnya kekal sama, dan eksponen didarabkan (b^m)^n=b^(mn) Apabila dinaikkan kepada kuasa, setiap faktor dinaikkan kepada kuasa ini (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Polinomial faktor, i.e. bayangkan mereka sebagai hasil daripada beberapa faktor - polinomial dan monomial. Keluarkan faktor sepunya daripada kurungan. Pelajari formula pendaraban ringkasan asas: perbezaan kuasa dua, jumlah kuasa dua, perbezaan kuasa dua, jumlah kubus, perbezaan kubus, kubus hasil tambah dan perbezaan. Contohnya, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Formula ini adalah yang utama dalam memudahkan ungkapan. Gunakan kaedah mengasingkan kuasa dua sempurna dalam trinomial bentuk ax^2+bx+c.

Ringkaskan pecahan sekerap mungkin. Contohnya, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Tetapi ingat bahawa anda hanya boleh mengurangkan pengganda. Jika pengangka dan penyebut pecahan algebra didarab dengan nombor yang sama selain sifar, maka nilai pecahan itu tidak akan berubah. Terdapat dua cara untuk mengubah ungkapan rasional: dengan rantaian dan dengan tindakan. Kaedah kedua adalah lebih baik, kerana lebih mudah untuk menyemak keputusan tindakan perantaraan.

Selalunya perlu untuk mengekstrak akar dalam ungkapan. Malah akar diekstrak hanya daripada ungkapan atau nombor bukan negatif. Akar ganjil boleh diekstrak daripada sebarang ungkapan.

Sumber:

• penyederhanaan ungkapan dengan kuasa

"Ungkapan" dalam matematik biasanya merujuk kepada satu set operasi aritmetik dan algebra yang melibatkan nombor dan nilai pembolehubah. Dengan analogi dengan format penulisan nombor, set sedemikian dipanggil "pecahan" dalam kes apabila ia mengandungi operasi bahagi. Operasi penyederhanaan digunakan pada ungkapan pecahan, serta nombor dalam format pecahan.

Arahan

Mulakan dengan mencari faktor sepunya untuk , berdiri dalam pengangka dan - ini adalah sama untuk kedua-dua nisbah berangka dan yang mengandungi pembolehubah tidak diketahui. Sebagai contoh, jika pengangka ialah 45*X dan penyebutnya ialah 18*Y, maka faktor sepunya terbesar ialah 9. Selepas melengkapkan langkah ini, pengangka boleh ditulis sebagai 9*5*X dan penyebutnya sebagai 9*2* Y.

Jika ungkapan dalam pengangka dan penyebut mengandungi gabungan operasi asas matematik (, ​​bahagi, tambah dan tolak), maka anda perlu memfaktorkan faktor sepunya untuk setiap satu secara berasingan, dan kemudian mengasingkan faktor sepunya terbesar daripada ini. nombor. Sebagai contoh, untuk ungkapan 45*X+180, yang terdapat dalam pengangka, faktor 45 hendaklah dikeluarkan daripada kurungan: 45*X+180 = 45*(X+4). Dan ungkapan 18+54*Y dalam penyebut mesti dikurangkan kepada bentuk 18*(1+3*Y). Kemudian, seperti dalam langkah sebelumnya, cari pembahagi sepunya terbesar bagi faktor yang dikeluarkan daripada kurungan: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). Dalam contoh ini ia juga bersamaan dengan sembilan.

Kurangkan faktor sepunya bagi ungkapan dalam pengangka dan penyebut pecahan yang terdapat dalam langkah sebelumnya. Untuk contoh dari langkah pertama, keseluruhan operasi pemudahan boleh ditulis seperti berikut: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Apabila dipermudahkan, pembahagi biasa yang dikurangkan tidak semestinya nombor; ia juga boleh menjadi ungkapan yang mengandungi pembolehubah. Sebagai contoh, jika pengangka pecahan ialah (4*X + X*Y + 12 + 3*Y), dan penyebutnya ialah (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), maka sepunya terbesar pembahagi akan menjadi ungkapan X+ 3, yang harus dikurangkan untuk memudahkan ungkapan: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

Pada permulaan pelajaran, kami akan menyemak sifat asas punca kuasa dua, dan kemudian melihat beberapa contoh kompleks bagi meringkaskan ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua.

Subjek:Fungsi. Sifat punca kuasa dua

Pelajaran:Menukar dan memudahkan ungkapan yang lebih kompleks dengan akar

1. Semakan sifat punca kuasa dua

Mari kita ulangi secara ringkas teori dan ingat sifat asas punca kuasa dua.

Sifat punca kuasa dua:

1. oleh itu, ;

3. ;

4. .

2. Contoh untuk memudahkan ungkapan dengan akar

Mari kita beralih kepada contoh menggunakan sifat ini.

Contoh 1: Permudahkan ungkapan .

Penyelesaian. Untuk memudahkan, nombor 120 mesti difaktorkan ke dalam faktor perdana:

Kami akan mendedahkan kuasa dua jumlah menggunakan formula yang sesuai:

Contoh 2: Permudahkan ungkapan .

Penyelesaian. Mari kita ambil kira bahawa ungkapan ini tidak masuk akal untuk semua kemungkinan nilai pembolehubah, kerana ungkapan ini mengandungi punca kuasa dua dan pecahan, yang membawa kepada "penyempitan" julat nilai yang dibenarkan. ODZ: ().

Mari kita bawa ungkapan dalam kurungan kepada penyebut biasa dan tulis pengangka pecahan terakhir sebagai perbezaan kuasa dua:

Jawab. di.

Contoh 3: Permudahkan ungkapan .

Penyelesaian. Dapat dilihat bahawa kurungan pengangka kedua mempunyai penampilan yang menyusahkan dan perlu dipermudahkan; mari kita cuba memfaktorkannya menggunakan kaedah pengelompokan.

Untuk dapat memperoleh faktor sepunya, kami mempermudahkan punca dengan memfaktorkannya. Mari kita gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam pecahan asal:

Selepas mengurangkan pecahan, kami menggunakan formula perbezaan kuasa dua.

3. Contoh menghilangkan sifat tidak rasional

Contoh 4. Bebaskan diri anda daripada ketidakrasionalan (akar) dalam penyebut: a) ; b) .

Penyelesaian. a) Untuk menghilangkan ketidakrasionalan dalam penyebut, kaedah piawai untuk mendarab kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan dengan faktor konjugat kepada penyebut digunakan (ungkapan yang sama, tetapi dengan tanda yang bertentangan). Ini dilakukan untuk melengkapkan penyebut pecahan kepada perbezaan kuasa dua, yang membolehkan anda menyingkirkan akar dalam penyebut. Mari kita lakukan ini dalam kes kita:

b) melakukan tindakan yang serupa:

4. Contoh untuk pembuktian dan untuk mengasingkan petak lengkap dalam radikal kompleks

Contoh 5. Buktikan kesaksamaan .

Bukti. Mari kita gunakan takrif punca kuasa dua, dari mana ia mengikuti bahawa kuasa dua ungkapan sebelah kanan mestilah sama dengan ungkapan radikal:

. Mari kita buka kurungan menggunakan formula untuk kuasa dua jumlah:

, kami mendapat kesaksamaan yang betul.

Terbukti.

Contoh 6. Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian. Ungkapan ini biasanya dipanggil radikal kompleks (akar di bawah akar). Dalam contoh ini, anda perlu meneka untuk mengasingkan segi empat sama lengkap daripada ungkapan radikal. Untuk melakukan ini, ambil perhatian bahawa daripada dua istilah, ia adalah calon untuk peranan menggandakan produk dalam formula untuk perbezaan kuasa dua (perbezaan, kerana terdapat tolak). Marilah kita menulisnya dalam bentuk produk berikut: , kemudian 1 mendakwa sebagai salah satu sebutan bagi segi empat sama lengkap dan 1 mendakwa sebagai yang kedua.

Mari kita gantikan ungkapan ini di bawah akar.