Rumah
Fasad kaca
Konsep ruang vektor harta benda. Ruang vektor linear: definisi, sifat. Ruang linear vektor

Konsep ruang vektor harta benda. Ruang vektor linear: definisi, sifat. Ruang linear vektor

Biarkan P menjadi medan. Unsur a, b, ... О R kami akan telefon skalar.

Definisi 1. Kelas V objek (elemen) , , , ... bersifat sewenang-wenang dipanggil ruang vektor di atas medan P, dan unsur-unsur kelas V dipanggil vektor, jika V ditutup di bawah operasi “+” dan operasi pendaraban dengan skalar daripada P (iaitu untuk sebarang , ОV +О V;"aО Р aОV), dan syarat berikut dipenuhi:

A 1: algebra - Kumpulan Abelian;

A 2: untuk mana-mana a, bОР, untuk mana-mana ОV, a(b)=(ab) ialah undang-undang bersekutu umum;

A 3: untuk sebarang a, bОР, untuk sebarang ОV, (a+b)= a+ b;

A 4: untuk sebarang a daripada P, untuk sebarang , daripada V, a(+) = a+a (undang-undang pengedaran umum);

A 5: untuk mana-mana V, 1 = berpuas hati, di mana 1 ialah unit medan P - sifat kesatuan.

Kami akan memanggil unsur-unsur skalar medan P, dan unsur-unsur vektor set V.

Komen. Pendaraban vektor dengan skalar bukanlah operasi binari pada set V, kerana ia adalah pemetaan P´V®V.

Mari lihat contoh ruang vektor.

Contoh 1. Ruang vektor sifar (dimensi sifar) - ruang V 0 =() - terdiri daripada satu vektor sifar.

Dan untuk mana-mana aОР a=. Marilah kita periksa kepuasan aksiom ruang vektor.

Ambil perhatian bahawa ruang vektor sifar pada asasnya bergantung pada medan P. Oleh itu, ruang sifar dimensi di atas medan nombor rasional dan di atas bidang nombor nyata dianggap berbeza, walaupun ia terdiri daripada vektor nol tunggal.

Contoh 2. Medan P itu sendiri adalah ruang vektor di atas medan P. Biarkan V=P. Marilah kita periksa kepuasan aksiom ruang vektor. Oleh kerana P ialah medan, maka P ialah kumpulan Abelian aditif dan A 1 memegang. Oleh kerana kebolehpuasan pendaraban dalam P, A2 berpuas hati. Aksiom A 3 dan A 4 berpuas hati kerana kebolehlaksanaan dalam P bagi pengagihan pendaraban berkenaan dengan penambahan. Oleh kerana terdapat elemen unit 1 dalam medan P, sifat kesatuan A 5 berpuas hati. Oleh itu, medan P ialah ruang vektor di atas medan P.

Contoh 3. Ruang vektor n-dimensi aritmetik.

Biarkan P menjadi medan. Pertimbangkan set V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n). Mari kita perkenalkan pada set V operasi menambah vektor dan mendarab vektor dengan skalar mengikut peraturan berikut:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n +bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Unsur-unsur set V akan dipanggil vektor n-dimensi. Dua vektor n-dimensi dikatakan sama jika komponen (koordinat) yang sepadan adalah sama. Mari kita tunjukkan bahawa V ialah ruang vektor di atas medan P. Daripada takrifan operasi penambahan vektor dan pendaraban vektor dengan skalar ia berikutan bahawa V ditutup di bawah operasi ini. Oleh kerana penambahan unsur V berkurang kepada penambahan unsur medan P, dan P ialah kumpulan Abelian aditif, maka V ialah kumpulan Abelian aditif. Selain itu, =, dengan 0 ialah sifar bagi medan P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Oleh itu, A 1 berpuas hati. Oleh kerana mendarab unsur daripada V dengan unsur daripada P mengurangkan kepada mendarab unsur medan P, maka:


A 2 berpuas hati kerana perkaitan pendaraban dengan P;

A 3 dan A 4 berpuas hati kerana pengagihan pendaraban berkenaan dengan penambahan dengan P;

A 5 berpuas hati, kerana 1 Î P ialah unsur neutral berkenaan dengan pendaraban dengan P.

Definisi 2. Set V= P n dengan operasi yang ditakrifkan oleh formula (1) dan (2) dipanggil ruang vektor n-dimensi aritmetik di atas medan P.

Dalam artikel mengenai vektor n-dimensi, kami sampai kepada konsep ruang linear yang dihasilkan oleh set vektor n-dimensi. Sekarang kita perlu mempertimbangkan konsep yang sama penting, seperti dimensi dan asas ruang vektor. Ia berkaitan secara langsung dengan konsep sistem vektor bebas linear, jadi anda juga disyorkan untuk mengingatkan diri anda tentang asas topik ini.

Mari kita perkenalkan beberapa definisi.

Definisi 1

Dimensi ruang vektor– nombor yang sepadan dengan bilangan maksimum secara linear tidak vektor bergantung dalam ruang ini.

Definisi 2

Asas ruang vektor– satu set vektor bebas linear, tersusun dan sama bilangannya dengan dimensi ruang.

Mari kita pertimbangkan ruang tertentu n -vektor. Dimensinya adalah sama dengan n. Mari kita ambil sistem vektor n-unit:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Kami menggunakan vektor ini sebagai komponen matriks A: ia akan menjadi matriks unit dengan dimensi n dengan n. Kedudukan matriks ini ialah n. Oleh itu, sistem vektor e (1) , e (2) , . . . , e(n) adalah bebas linear. Dalam kes ini, adalah mustahil untuk menambah satu vektor pada sistem tanpa melanggar kebebasan linearnya.

Oleh kerana bilangan vektor dalam sistem ialah n, maka dimensi ruang bagi vektor dimensi n ialah n, dan vektor unit ialah e (1), e (2), . . . , e (n) ialah asas bagi ruang yang ditentukan.

Daripada definisi yang terhasil, kita boleh membuat kesimpulan: mana-mana sistem vektor n-dimensi di mana bilangan vektor kurang daripada n bukanlah asas ruang.

Jika kita menukar vektor pertama dan kedua, kita mendapat sistem vektor e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Ia juga akan menjadi asas ruang vektor n-dimensi. Mari kita cipta matriks dengan mengambil vektor sistem yang terhasil sebagai barisnya. Matriks boleh diperolehi daripada matriks identiti dengan menukar dua baris pertama, pangkatnya akan menjadi n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) adalah bebas linear dan merupakan asas bagi ruang vektor dimensi-n.

Dengan menyusun semula vektor lain dalam sistem asal, kami memperoleh asas lain.

Kita boleh mengambil sistem bebas linear bagi vektor bukan unit, dan ia juga akan mewakili asas ruang vektor n-dimensi.

Definisi 3

Ruang vektor dengan dimensi n mempunyai tapak sebanyak mana terdapat sistem bebas linear bagi vektor n-dimensi nombor n.

Satah ialah ruang dua dimensi - asasnya ialah mana-mana dua vektor bukan kolinear. Asas ruang tiga dimensi ialah mana-mana tiga vektor bukan koplanar.

Mari kita pertimbangkan aplikasi teori ini menggunakan contoh khusus.

Contoh 1

Data awal: vektor

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Ia adalah perlu untuk menentukan sama ada vektor yang ditentukan adalah asas ruang vektor tiga dimensi.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah, kami mengkaji sistem vektor yang diberikan untuk pergantungan linear. Mari kita buat matriks, di mana baris adalah koordinat bagi vektor. Mari kita tentukan pangkat matriks.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Akibatnya, vektor yang ditentukan oleh keadaan masalah adalah bebas linear, dan bilangannya adalah sama dengan dimensi ruang vektor - ia adalah asas ruang vektor.

Jawapan: vektor yang ditunjukkan adalah asas ruang vektor.

Contoh 2

Data awal: vektor

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Adalah perlu untuk menentukan sama ada sistem vektor yang ditentukan boleh menjadi asas ruang tiga dimensi.

Penyelesaian

Sistem vektor yang dinyatakan dalam pernyataan masalah adalah bergantung secara linear, kerana bilangan maksimum vektor bebas linear ialah 3. Oleh itu, sistem vektor yang ditunjukkan tidak boleh berfungsi sebagai asas untuk ruang vektor tiga dimensi. Tetapi perlu diperhatikan bahawa subsistem sistem asal a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) adalah asas.

Jawapan: sistem vektor yang ditunjukkan bukan asas.

Contoh 3

Data awal: vektor

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Bolehkah mereka menjadi asas ruang empat dimensi?

Penyelesaian

Mari buat matriks menggunakan koordinat vektor yang diberikan sebagai baris

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Menggunakan kaedah Gaussian, kami menentukan pangkat matriks:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Akibatnya, sistem vektor yang diberikan adalah bebas secara linear dan bilangannya adalah sama dengan dimensi ruang vektor - ia adalah asas ruang vektor empat dimensi.

Jawapan: vektor yang diberi adalah asas ruang empat dimensi.

Contoh 4

Data awal: vektor

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Adakah ia menjadi asas kepada ruang dimensi 4?

Penyelesaian

Sistem asal vektor adalah bebas secara linear, tetapi bilangan vektor di dalamnya tidak mencukupi untuk menjadi asas ruang empat dimensi.

Jawapan: tidak, mereka tidak.

Penguraian vektor kepada asas

Mari kita andaikan bahawa vektor arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) ialah asas bagi ruang vektor dimensi-n. Mari kita tambahkan kepada mereka vektor n-dimensi tertentu x →: sistem vektor yang terhasil akan menjadi bergantung secara linear. Sifat pergantungan linear menyatakan bahawa sekurang-kurangnya satu daripada vektor sistem sedemikian boleh dinyatakan secara linear melalui yang lain. Merumuskan semula kenyataan ini, kita boleh mengatakan bahawa sekurang-kurangnya satu daripada vektor sistem bersandar linear boleh dikembangkan ke dalam vektor yang tinggal.

Oleh itu, kami sampai kepada perumusan teorem yang paling penting:

Definisi 4

Mana-mana vektor ruang vektor n-dimensi boleh diuraikan secara unik menjadi asas.

Bukti 1

Mari kita buktikan teorem ini:

mari kita takrifkan asas ruang vektor n-dimensi - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Mari jadikan sistem bergantung secara linear dengan menambahkan vektor n-dimensi x → padanya. Vektor ini boleh dinyatakan secara linear dari segi vektor asal e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , dengan x 1 , x 2 , . . . , x n - beberapa nombor.

Sekarang kami membuktikan bahawa penguraian sedemikian adalah unik. Mari kita anggap bahawa ini tidak berlaku dan terdapat satu lagi penguraian yang serupa:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , dengan x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - beberapa nombor.

Mari kita tolak dari sisi kiri dan kanan kesamaan ini, masing-masing, sisi kiri dan kanan kesamaan x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Kami mendapat:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem vektor asas e (1) , e (2) , . . . , e(n) adalah bebas linear; mengikut takrifan bebas linear sistem vektor, kesamaan di atas adalah mungkin hanya apabila semua pekali ialah (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) akan sama dengan sifar. Dari mana ia akan adil: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Dan ini membuktikan satu-satunya pilihan untuk menguraikan vektor menjadi asas.

Dalam kes ini, pekali x 1, x 2, . . . , x n dipanggil koordinat bagi vektor x → dalam asas e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teori terbukti menjelaskan ungkapan "diberikan vektor n-dimensi x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": vektor x → ruang vektor n-dimensi dipertimbangkan, dan koordinatnya dinyatakan dalam a asas tertentu. Ia juga jelas bahawa vektor yang sama dalam asas lain ruang n-dimensi akan mempunyai koordinat yang berbeza.

Pertimbangkan contoh berikut: andaikan bahawa dalam beberapa asas ruang vektor n-dimensi sistem n vektor bebas linear diberikan

dan juga vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) diberikan.

Vektor e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) dalam kes ini juga merupakan asas ruang vektor ini.

Mari kita andaikan bahawa adalah perlu untuk menentukan koordinat bagi vektor x → dalam asas e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , dilambangkan sebagai x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → akan diwakili seperti berikut:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Mari kita tulis ungkapan ini dalam bentuk koordinat:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n), .

Kesamaan yang terhasil adalah bersamaan dengan sistem n linear ungkapan algebra dengan n pembolehubah linear yang tidak diketahui x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matriks sistem ini akan mempunyai bentuk berikut:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Biarkan ini matriks A, dan lajurnya ialah vektor bagi sistem vektor bebas linear e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Kedudukan matriks ialah n, dan penentunya ialah bukan sifar. Ini menunjukkan bahawa sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik, ditentukan oleh mana-mana kaedah mudah: contohnya, kaedah Cramer atau kaedah matriks. Dengan cara ini kita boleh menentukan koordinat x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → dalam asas e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Mari gunakan teori yang dipertimbangkan untuk contoh tertentu.

Contoh 6

Data awal: vektor ditentukan berdasarkan ruang tiga dimensi

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Adalah perlu untuk mengesahkan fakta bahawa sistem vektor e (1), e (2), e (3) juga berfungsi sebagai asas ruang tertentu, dan juga untuk menentukan koordinat vektor x dalam asas tertentu.

Penyelesaian

Sistem vektor e (1), e (2), e (3) akan menjadi asas ruang tiga dimensi jika ia bebas secara linear. Mari kita ketahui kemungkinan ini dengan menentukan pangkat matriks A, yang barisnya adalah vektor yang diberi e (1), e (2), e (3).

Kami menggunakan kaedah Gaussian:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Oleh itu, sistem vektor e (1), e (2), e (3) adalah bebas linear dan merupakan asas.

Biarkan vektor x → mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 dalam asas. Hubungan antara koordinat ini ditentukan oleh persamaan:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Mari gunakan nilai mengikut syarat masalah:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Mari kita selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Oleh itu, vektor x → dalam asas e (1), e (2), e (3) mempunyai koordinat x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Jawapan: x = (1, 1, 1)

Hubungan antara pangkalan

Mari kita anggap bahawa dalam beberapa asas ruang vektor n-dimensi dua sistem vektor bebas linear diberikan:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Sistem ini juga merupakan asas bagi ruang tertentu.

Biarkan c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinat bagi vektor c (1) dalam asas e (1) , e (2) , . . . , e (3) , maka hubungan koordinat akan diberikan oleh sistem persamaan linear:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem ini boleh diwakili dalam bentuk matriks seperti berikut:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Mari kita buat entri yang sama untuk vektor c (2) dengan analogi:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Mari kita gabungkan kesamaan matriks menjadi satu ungkapan:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Ia akan menentukan sambungan antara vektor dua asas yang berbeza.

Menggunakan prinsip yang sama, adalah mungkin untuk menyatakan semua vektor asas e(1), e(2), . . . , e (3) melalui asas c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Mari kita berikan definisi berikut:

Definisi 5

Matriks c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) ialah matriks peralihan daripada asas e (1) , e (2) , . . . , e (3)

kepada asas c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definisi 6

Matriks e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ialah matriks peralihan daripada asas c (1) , c (2) , . . . , c(n)

kepada asas e (1) , e (2) , . . . , e (3).

Daripada persamaan ini jelas bahawa

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

mereka. matriks peralihan adalah timbal balik.

Mari kita lihat teori menggunakan contoh khusus.

Contoh 7

Data awal: adalah perlu untuk mencari matriks peralihan daripada asas

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3 , 1, 4) e (2) = (5 , 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)

Anda juga perlu menunjukkan hubungan antara koordinat vektor arbitrari x → dalam pangkalan yang diberikan.

Penyelesaian

1. Biarkan T ialah matriks peralihan, maka kesamaan akan menjadi benar:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Darabkan kedua-dua belah kesamaan dengan

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dan kita dapat:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Takrifkan matriks peralihan:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Mari kita takrifkan hubungan antara koordinat bagi vektor x → :

Mari kita andaikan bahawa dalam asas c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → mempunyai koordinat x 1 , x 2 , x 3 , maka:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

dan dalam asas e (1) , e (2) , . . . , e (3) mempunyai koordinat x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, maka:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Kerana Jika bahagian kiri kesamaan ini adalah sama, kita boleh samakan bahagian kanan juga:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Darab kedua-dua belah di sebelah kanan dengan

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dan kita dapat:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Di seberang sana

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara koordinat vektor x → dalam kedua-dua tapak.

Jawapan: matriks peralihan

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinat bagi vektor x → dalam pangkalan yang diberikan dikaitkan dengan hubungan:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

vektor(atau linear) angkasa lepas- struktur matematik, iaitu satu set elemen yang dipanggil vektor, yang mana operasi penambahan antara satu sama lain dan pendaraban dengan nombor ditakrifkan - skalar.

1) X+y=y+x ( komutatif penambahan)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( pergaulan tambahan)

3) terdapat unsur 0єV sehingga x+0=x

4) untuk mana-mana x єV terdapat unsur - x єV supaya x+(-x)=0? dipanggil vektor, bertentangan vektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( perkaitan pendaraban dengan skalar)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Vektor bebas dalam ruang R 3

2) Matriks dimensi nxm

3) Set semua polinomial yang darjahnya tidak melebihi n

4) Contoh ruang linear ialah:

5) - ruang nombor nyata.

6) - satu set vektor geometri pada satah.

7) - ruang matriks dimensi tetap.

8) - ruang penyelesaian sistem linear homogen, dsb.

Definisi asas

vektor N-dimensi dipanggil urutan n nombor. Nombor ini dipanggil koordinat vektor. Bilangan koordinat vektor n dipanggil dimensi vektor.

Anda hanya boleh menambah vektor dengan dimensi yang sama

Vektor adalah sama, jika mereka mempunyai dimensi yang sama dan koordinat yang sepadan adalah sama.

Mana-mana vektor n-dimensi A boleh darab dengan sebarang nomborλ, dan semua koordinatnya didarab dengan nombor ini:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Dua vektor dengan dimensi yang sama boleh ditambah, dan koordinat yang sepadan ditambah:

Apa namanya gabungan linear vektor?



Gabungan linear vektor a1,a2,…,an dipanggil ungkapan bentuk:

di mana a1,a2,…,an- nombor sewenang-wenangnya

Apakah vektor yang dipanggil bersandar linear (bebas)?

Vektor bukan sifar a1,a2,…,an dipanggil bergantung secara linear, jika gabungan linear bukan remeh bagi vektor ini adalah sama dengan vektor sifar:

Vektor bukan sifar a1,a2,…,an dipanggil bebas linear, melainkan gabungan linear remeh bagi vektor ini sama dengan vektor nol.

Contoh vektor bebas linear

Bagaimanakah isu pergantungan linear vektor diselesaikan?

Teorem 1. Agar sistem vektor bergantung secara linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa sekurang-kurangnya satu daripadanya diwakili sebagai gabungan linear yang lain.

Teorem 2. Dalam ruang dimensi-n, mana-mana sistem yang mengandungi lebih daripada n vektor adalah bergantung secara linear.

Teorem 3.Jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ialah bukan sifar, maka sistem vektor adalah bebas linear. Jika teorem ini tidak menjawab persoalan pergantungan linear atau kebebasan vektor, maka adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan untuk , atau menentukan pangkat sistem vektor.

Apakah hubungan antara koordinat dua vektor bersandar linear?

Berikan contoh dua vektor bersandar linear

: Vektor dan kolinear apabila nombor sedemikian wujud bahawa persamaan itu dipegang:
.

Definisi asas ruang linear

Koleksi n elemen bebas linear dalam ruang berdimensi n dipanggil asas ruang ini.

Penentuan dimensi ruang linear.

Definisi 3.1. Ruang linear R dipanggil n-dimensi jika ia mengandungi n unsur bebas linear, dan mana-mana ( n+1) elemen sudah bergantung secara linear. Dalam kes ini nombor n dipanggil dimensi ruang R.

Dimensi ruang dilambangkan dengan simbol malap.

Definisi 3.2. Ruang linear R dipanggil dimensi tak terhingga jika ia mengandungi sebarang bilangan unsur bebas linear.

Teorem 3.4. biarlah ruang linear R mempunyai asas yang terdiri daripada n elemen. Kemudian dimensi R sama dengan n(malap R=n).

Konsep ruang n-dimensi

Ruang linear V dipanggil ruang dimensi-n jika ia mengandungi sistem n unsur bebas linear, dan mana-mana unsur n+1 adalah bersandar secara linear.

Formula yang menghubungkan vektor asas lama dan baharu

Ruang vektor (linear) ialah satu set vektor (elemen) dengan komponen nyata, di mana operasi menambah vektor dan mendarab vektor dengan nombor ditakrifkan yang memenuhi aksiom (sifat) tertentu

1)x+di=di+X(kebolehubahan penambahan);

2)(X+di)+z=x+(y+z) (persekutuan penambahan);

3) terdapat vektor sifar 0 (atau vektor nol) yang memenuhi syarat x+ 0 =x: untuk sebarang vektor x;

4) untuk sebarang vektor X terdapat vektor yang bertentangan di sedemikian rupa X+di = 0 ,

5) 1 x=X,

6) a(bx)=(ab)X(persekutuan pendaraban);

7) (a+b)X=ah+bx(sifat taburan relatif kepada faktor berangka);

8) a(X+di)=ah+ay(sifat pengedaran relatif kepada pengganda vektor).

Ruang linear (vektor) V(P) di atas medan P ialah set tidak kosong V. Unsur-unsur set V dipanggil vektor, dan unsur-unsur medan P dipanggil skalar.

Sifat yang paling mudah.

1. Ruang vektor ialah kumpulan Abelian (kumpulan di mana operasi kumpulan adalah komutatif. Operasi kumpulan dalam kumpulan Abelian biasanya dipanggil "tambahan" dan dilambangkan dengan tanda +)

2. Unsur neutral ialah satu-satunya yang mengikuti daripada sifat kumpulan untuk sebarang .

3. Untuk mana-mana, unsur bertentangan adalah satu-satunya yang mengikuti daripada sifat kumpulan.

4.(–1) x = – x untuk sebarang x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) untuk sebarang α є P dan x є V.

Ungkapan a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) dipanggil gabungan linear vektor e 1 , e 2 ,..., e n dengan kemungkinan a 1 , a 2,..., a n . Gabungan linear (1) dipanggil bukan remeh jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali a 1 , a 2 ,..., a n berbeza dengan sifar. vektor e 1 , e 2 ,..., e n dipanggil bersandar linear jika terdapat gabungan bukan remeh (1), iaitu vektor sifar. Jika tidak (iaitu, jika hanya gabungan vektor yang remeh e 1 , e 2 ,..., e n sama dengan vektor sifar) vektor e 1 , e 2 ,..., e n dipanggil bebas linear.

Dimensi ruang ialah bilangan maksimum vektor LZ yang terkandung di dalamnya.

Ruang vektor dipanggil n-dimensi (atau mempunyai "dimensi n"), jika ia wujud n unsur bebas linear e 1 , e 2 ,..., e n , dan mana-mana n+ 1 unsur adalah bersandar secara linear (keadaan umum B). Ruang vektor dipanggil dimensi tak terhingga jika di dalamnya untuk sebarang semula jadi n wujud n vektor bebas linear. mana-mana n vektor n-dimensi bebas linear Ruang vektor membentuk asas ruang ini. Jika e 1 , e 2 ,..., e n- asas Ruang vektor, kemudian sebarang vektor X ruang ini boleh diwakili secara unik sebagai gabungan linear vektor asas: x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
Pada masa yang sama, nombor a 1 , a 2, ..., a n dipanggil koordinat vektor X dalam asas ini.

1. Konsep ruang linear

Definisi 1.1. R banyak elemen x, y, z,

  1. ... dari sebarang sifat dipanggil ruang linear (atau vektor) jika tiga keperluan berikut dipenuhi: x Terdapat peraturan yang mana dua elemen y Dan R elemen ketiga dipadankan z set ini, dipanggil jumlah unsur x Terdapat peraturan yang mana dua elemen y dan ditetapkan z=x+y.
  2. Terdapat peraturan yang mana mana-mana elemen x Dan R dan sesiapa sahaja nombor sebenar α elemen dipadankan w set ini, dipanggil hasil darab unsur x setiap nombor α dan ditetapkan w=αx atau w=xα.
  3. Dua peraturan yang dibentangkan tertakluk kepada lapan aksiom berikut:
    1. x+y=y+x(sifat komutatif jumlah);
    2. (x+y)+z=x+(y+z)(sifat gabungan jumlah);
    3. terdapat unsur sifar 0 sedemikian x+0=x untuk sebarang elemen x.
    4. untuk sebarang elemen x terdapat unsur unsur yang bertentangan x" sedemikian rupa x+x"=0;
    5. 1· x=x untuk sesiapa sahaja x;
    6. λ(μx)=(λμ)x(sifat gabungan mengenai faktor berangka);
    7. (λ+μ )x= λx+μx(sifat pengedaran mengenai faktor berangka);
    8. λ(x+y)=λx+λy(sifat pengagihan relatif kepada jumlah unsur).
Unsur ruang linear (vektor) dipanggil vektor.

2. Asas ruang linear

Definisi 2.1. R Satu set elemen ruang bebas linear x dipanggil asas ruang ini jika bagi setiap elemen angkasa lepas R terdapat nombor nyata

supaya kesaksamaan dipegang x Kesamaan (2.1) dipanggil pengembangan unsur x mengikut asas dan nombor dipanggil koordinat unsur

(berbanding dengan asas). x Mari kita buktikan bahawa mana-mana elemen R

ruang linear x:

Biar ada penguraian lagi

(2.3)

Menolak (2.1) daripada (2.2) kita ada:

Oleh kerana unsur asas adalah bebas secara linear, ia mengikuti daripada hubungan (2.3) bahawa R Oleh itu, setiap elemen ruang linear

boleh dikembangkan atas dasar dengan cara yang unik. R Teorem 2.2. R Apabila menambah sewenang-wenangnya dua elemen ruang linear x koordinat mereka (berbanding dengan sebarang asas ruang α ) tambah, dan apabila mendarab sebarang unsur x kepada sebarang nombor α .

semua koordinat

didarab dengan

Bukti berikut dari aksiom 1-8 Definisi 1.1. R.

3. Dimensi ruang linear R dipanggil n-dimensi jika ia mengandungi n unsur bebas linear, dan mana-mana ( n Pertimbangkan ruang sebenar yang sewenang-wenangnya n Definisi 3.1. R.

Dimensi ruang dilambangkan dengan simbol malap.

Ruang linear R dipanggil dimensi tak terhingga jika ia mengandungi sebarang bilangan unsur bebas linear.

+1) elemen sudah bergantung secara linear. Dalam kes ini nombor R dipanggil dimensi ruang n(malap R=n Definisi 3.2. n Ruang linear

Teorem 3.3. R biarlah n ialah ruang dimensi linear n). Kemudian mana-mana x elemen bebas linear ruang ini membentuk asasnya. R Bukti. Kerana bergantung secara linear, i.e. ada nombor (tidak semua sama dengan sifar) supaya kesamaan

(3.3)

Daripada kesamaan (3.3) ia mengikuti mana-mana vektor dari ruang R boleh dikembangkan menjadi elemen dan, oleh itu, ia membentuk asas ruang R. ■

Teorem 3.4. R mempunyai asas yang terdiri daripada n elemen. Kemudian dimensi R Biarkan ruang linear n(malap R=n).

sama dengan n Bukti. Biarkan set R elemen adalah asas ruang n. Ia cukup untuk membuktikan bahawa mana-mana +1 elemen

ruang ini bergantung secara linear. Memperluas elemen ini mengikut asas, kita dapat: di mana 11 a 12 , a ,...,a n+1,n

nombor nyata. Biarkan unsur-unsur

bebas linear. Mari kita tulis semula (3.4) dalam bentuk matriks: Oleh kerana mereka bebas linear, matriks A mempunyai matriks songsang A -1 .

Setelah menyelesaikan persamaan matriks (3.5), kami memperoleh: Seperti yang dapat dilihat daripada persamaan (3.9), ia boleh diwakili oleh gabungan linear vektor . Oleh itu vektor

bergantung secara linear. ■

4. Penggantian asas dan penjelmaan koordinat R Biarkan di angkasa Bersama asas asal ada asas lain

. Vektor asas ini boleh dinyatakan melalui gabungan linear vektor asas asal seperti berikut: Matriks P dipanggil matriks perubahan asas .

pada

Sebaliknya, vektor asas asal dinyatakan melalui vektor yang baharu dengan hubungan berikut: Daripada (4.6) ia mengikutinya QP=E , Di mana E ialah matriks identiti, dan matriks Q Matriks Dan

matriks saling songsang.

Mari kita pertimbangkan bagaimana koordinat vektor berubah apabila asas diubah. x Biarkan vektor mempunyai koordinat dan koordinat

(4.7)

. Vektor asas ini boleh dinyatakan melalui gabungan linear vektor asas asal seperti berikut: , Kemudian P P T matriks transformasi koordinat . Ia ditukar dengan matriks perubahan asas. Matriks songsang(P T) -1

memberikan ungkapan untuk koordinat baru dari segi yang lama. Matriks songsang kepada transpose beberapa matriks dipanggil kecerunan balas

dengan dia.

5. Isomorfisme ruang linear R Terdapat peraturan yang mana dua elemen Definisi 5.1. Dua ruang linear sebenar sewenang-wenangnya R"∈R dipanggil isomorfik jika korespondensi satu dengan satu boleh diwujudkan antara unsur-unsur ruang ini supaya jika x, y∊Definisi 5.1. jawab x", y"∈R sewajarnya, maka unsur x+y∈Definisi 5.1. elemen bertindak balas α x"+y" α x∈R sewajarnya, maka unsur α x"∈Definisi 5.1..

, dan untuk apa-apa yang sebenar R Terdapat peraturan yang mana dua elemen Definisi 5.1., unsur

Teorem 5.2. R Terdapat peraturan yang mana dua elemen Definisi 5.1. Jika ruang adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama. R Bukti. Biarkan ruang linear adalah isomorfik, dan biarkan unsur-unsur angkasa lepas elemen bertindak balas ruang R" masing-masing. Mari kita andaikan unsur Bukti. Biarkan ruang linear y dalam ruang R, dan jumlahnya sepadan dengan jumlahnya . Tetapi yang terakhir bermaksud pergantungan linear unsur-unsur . Oleh itu bebas linear. Daripada pergantungan linear unsur-unsur mengikuti pergantungan linear unsur-unsur . Oleh itu, bilangan maksimum vektor bebas linear untuk ruang R Terdapat peraturan yang mana dua elemen Definisi 5.1. satu dan sama, i.e. ruang ini mempunyai dimensi yang sama. ■

Teorem 5.3. n Mana-mana dua R Terdapat peraturan yang mana dua elemen Definisi 5.1.-ruang linear sebenar berdimensi

adalah isomorfik. Terdapat peraturan yang mana dua elemen Bukti. Mari kita pilih pangkalan R Terdapat peraturan yang mana dua elemen Definisi 5.1. untuk ruang Definisi 5.1. masing-masing. Kemudian setiap elemen ruang R boleh diwakili oleh gabungan linear unsur asas: . Unsur ini dalam ruang x" adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama. Definisi 5.1. mari padankan elemen dengan koordinat yang sama:. Sebaliknya, unsur x adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama. R unsur sepadan x Terdapat peraturan yang mana dua elemen y adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama. R Bukti. Biarkan ruang linear x" Terdapat peraturan yang mana dua elemen . Perhatikan bahawa jika elemen adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama. Definisi 5.1. y" x", y" adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama. R sewajarnya, maka unsur x+y adalah isomorfik, maka mereka mempunyai dimensi yang sama. Definisi 5.1. sewajarnya, maka, berdasarkan Teorem 2.2, unsur α x sewajarnya, maka unsur α x". ■

Bahagian