Penjelmaan kamiran berganda bagi koordinat segi empat tepat, kepada koordinat kutub
, berkaitan dengan koordinat segi empat tepat oleh hubungan
,
, dijalankan mengikut formula

Jika kawasan integrasi
terhad kepada dua rasuk
,
(
) yang muncul dari tiang, dan dua lengkung
dan
, maka kamiran berganda dikira dengan formula

.

Contoh 1.3. Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis-garis ini:
,
,
,
.

Penyelesaian. Untuk mengira luas sesuatu kawasan
mari kita gunakan formula:
.

Lukiskan satu kawasan (Gamb. 1.5). Untuk melakukan ini, kami mengubah lengkung: , , , . Mari kita beralih ke koordinat kutub: , . . Dalam sistem koordinat kutub, kawasan diterangkan oleh persamaan:

.

1.2. Kamiran Bertiga

Sifat utama kamiran rangkap tiga adalah serupa dengan kamiran berganda.

Dalam koordinat Cartesan, kamiran rangkap tiga biasanya ditulis seperti ini:

.

Jika
, kemudian kamiran rangkap tiga di atas kawasan itu secara berangka sama dengan isipadu badan :

.

Mengira Kamiran Tiga Tiga

Biarkan kawasan integrasi dibatasi dari atas dan bawah, masing-masing, oleh permukaan berterusan bernilai tunggal
,
, dan unjuran kawasan ke satah koordinat
ada kawasan rata
(Gamb. 1.6).

Kemudian untuk nilai tetap aplikasi yang sepadan titik kawasan berubah dalam. Kemudian kita dapat: . Jika, sebagai tambahan, unjuran ditentukan oleh ketidaksamaan , , di mana ialah fungsi berterusan bernilai tunggal pada , kemudian

.

Contoh 1.4. Kira
, di mana - badan yang dibatasi oleh pesawat:

	, , , ( , , ). Penyelesaian. Kawasan integrasi ialah piramid (Rajah 1.7). Unjuran kawasan terdapat segitiga , dibatasi oleh garis lurus , , (Gamb. 1.8). Pada appliques mata memuaskan ketidaksamaan , Itulah sebabnya .
	Menetapkan had penyepaduan bagi segi tiga , kita mendapatkan

Kamiran tiga dalam koordinat silinder

Apabila bergerak dari koordinat Cartesan
kepada koordinat silinder
(Gamb. 1.9) yang berkaitan dengan
nisbah
,
,
, dan

	, ,, kamiran rangkap tiga berubah: Contoh 1.5. Hitung isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan: , , . Penyelesaian. Isipadu badan yang dikehendaki sama .
	Kawasan pengamiran ialah bahagian silinder yang dibatasi dari bawah oleh satah , dan di atas kapal terbang (Gamb. 1.10). Unjuran kawasan terdapat bulatan berpusat pada asal dan dengan jejari unit. Mari kita beralih kepada koordinat silinder. , , . Pada appliques mata , memuaskan ketidaksamaan atau dalam koordinat silinder:

Wilayah
, dibatasi oleh lengkung
, mengambil borang, atau
, manakala sudut kutub
. Akibatnya, kita ada

.

2. Elemen teori lapangan

Mari kita ingat dahulu kaedah untuk mengira kamiran lengkung dan permukaan.

Pengiraan kamiran lengkung ke atas koordinat fungsi yang ditakrifkan pada lengkung , berkurang kepada pengiraan kamiran pasti bagi bentuk

jika lengkung parametrik
sepadan dengan titik permulaan lengkung , a
- titik penghujungnya.

Pengiraan kamiran permukaan bagi suatu fungsi
ditakrifkan pada permukaan dua muka , berkurang kepada pengiraan kamiran berganda, sebagai contoh, bentuk

,

jika permukaan , diberikan oleh persamaan
, diunjurkan secara unik ke dalam pesawat
ke rantau ini
. Di sini - sudut antara vektor normal unit ke permukaan dan paksi
:

.

Sisi permukaan yang diperlukan oleh keadaan masalah ditentukan dengan memilih formula tanda yang sesuai (2.3).

Definisi 2.1. Medan vektor
dipanggil fungsi vektor titik
bersama skopnya:

medan vektor
dicirikan oleh nilai skalar - perbezaan:

Definisi 2.2. aliran medan vektor
melalui permukaan dipanggil integral permukaan:

,

di mana - unit vektor normal ke bahagian permukaan yang dipilih , a
- hasil darab titik bagi vektor dan .

Definisi 2.3. peredaran medan vektor

pada lengkung tertutup dipanggil kamiran lengkung

,

di mana
.

Formula Ostrogradsky-Gauss mewujudkan hubungan antara aliran medan vektor melalui permukaan tertutup dan perbezaan medan:

di mana - permukaan yang dibatasi oleh kontur tertutup , a ialah unit vektor normal ke permukaan ini. Arah normal mesti sepadan dengan arah kontur .

Contoh 2.1. Kira kamiran permukaan

,

di mana - bahagian luar kon
(
) terputus oleh kapal terbang
(Rajah 2.1).

Penyelesaian. Permukaan diunjurkan secara unik ke kawasan itu
kapal terbang
, dan kamiran dikira dengan formula (2.2).

Vektor normal permukaan unit kita dapati dengan formula (2.3): . Di sini, dalam ungkapan untuk normal, tanda tambah dipilih, sejak sudut antara gandar dan biasa adalah bodoh dan oleh itu mesti negatif. Memandangkan itu , atas permukaan kita mendapatkan

Wilayah
terdapat bulatan
. Oleh itu, dalam kamiran terakhir kita lulus ke koordinat kutub, manakala
,
:

Contoh 2.2. Cari divergence dan curl medan vektor
.

Penyelesaian. Dengan formula (2.4) kita perolehi

Pemutar medan vektor ini ditemui dengan formula (2.5)

Contoh 2.3. Cari aliran medan vektor
merentasi bahagian pesawat :
terletak pada oktan pertama (normal membentuk sudut akut dengan paksi
).

	Penyelesaian. Mengikut formula (2.6) . Lukiskan sebahagian daripada pesawat itu : terletak di oktan pertama. Persamaan satah ini dalam segmen mempunyai bentuk (Gamb. 2.3). Vektor normal ke satah mempunyai koordinat: , vektor normal unit
	. . , , di mana , oleh itu,

di mana
- unjuran kapal terbang pada
(Gamb. 2.4).

Contoh 2.4. Kira aliran medan vektor melalui permukaan tertutup dibentuk oleh kapal terbang
dan sebahagian daripada kon
(
) (Rajah 2.2).

Penyelesaian. Kami menggunakan formula Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Cari perbezaan medan vektor mengikut formula (2.4):

di mana
ialah isipadu kon di mana pengamiran dilakukan. Kami menggunakan formula yang terkenal untuk mengira isipadu kon
(ialah jejari tapak kon, - tingginya). Dalam kes kita, kita dapat
. Akhirnya kita dapat

.

Contoh 2.5. Kira peredaran medan vektor
sepanjang kontur dibentuk oleh persilangan permukaan
dan
(
). Semak keputusan menggunakan formula Stokes.

Penyelesaian. Persilangan permukaan ini ialah bulatan
,
(Gamb. 2.1). Arah pintasan biasanya dipilih supaya kawasan yang bersempadan dengannya kekal di sebelah kiri. Kami menulis persamaan parametrik kontur :

di mana

di mana parameter perubahan daripada sebelum ini
. Dengan formula (2.7), dengan mengambil kira (2.1) dan (2.10), kami memperoleh

.

Kami kini menggunakan formula Stokes (2.9). Sebagai permukaan , direntangi oleh kontur , anda boleh mengambil sebahagian daripada kapal terbang
. Arah biasa
ke permukaan ini adalah konsisten dengan arah lintasan kontur . Keriting medan vektor ini dikira dalam contoh 2.2:
. Oleh itu, peredaran yang diingini

di mana
- kawasan wilayah
.
- bulatan jejari
, di mana

Marilah kita mempunyai dua sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang dan
, dan sistem fungsi

(1)

yang mewujudkan surat-menyurat satu-dengan-satu antara titik beberapa kawasan
dan
dalam sistem koordinat ini. Mari kita andaikan bahawa fungsi sistem (1) mempunyai dalam
terbitan separa berterusan. Penentu yang terdiri daripada terbitan separa ini

,

dipanggil Jacobian (atau penentu Jacobi) bagi sistem fungsi (1). Kami akan menganggap itu
v
.

Di bawah andaian yang dibuat di atas, formula umum berikut untuk perubahan pembolehubah dalam kamiran rangkap tiga dipegang:

Seperti dalam kes kamiran berganda, satu-dengan-kesatuan sistem (1) dan keadaan
boleh dilanggar pada titik individu, pada garisan individu dan pada permukaan individu.

Sistem fungsi (1) untuk setiap titik
sepadan dengan satu mata
. Tiga nombor ini
dipanggil koordinat lengkung titik . Titik ruang
, yang mana salah satu koordinat ini kekal malar, membentuk apa yang dipanggil. permukaan koordinat.

II Kamiran rangkap tiga dalam koordinat silinder

Sistem koordinat silinder (CCS) ditakrifkan oleh satah
, di mana sistem koordinat kutub dan paksi
berserenjang dengan satah ini. Koordinat titik silinder
, di mana
– koordinat kutub titik – unjuran t cermin mata ke kapal terbang
, a ialah koordinat unjuran titik setiap gandar
atau
.

Dalam kapal terbang
kami memperkenalkan koordinat Cartesian dengan cara biasa, kami mengarahkan paksi terpakai di sepanjang paksi
CSK. Sekarang tidak sukar untuk mendapatkan formula yang berkaitan dengan koordinat silinder dengan koordinat Cartes:

(3)

Formula ini memetakan kawasan ke seluruh ruang
.

Permukaan koordinat dalam kes ini ialah:

1)
- permukaan silinder dengan penjana selari dengan paksi
, yang pemandunya adalah bulatan di dalam pesawat
, berpusat pada satu titik ;

2)

;

3)
- satah selari dengan satah
.

Sistem Jacobian (3):

.

Formula umum dalam kes CSC mengambil bentuk:

Catatan 1 . Peralihan kepada koordinat silinder disyorkan apabila kawasan penyepaduan ialah silinder bulat atau kon, atau paraboloid revolusi (atau bahagiannya), dan paksi badan ini bertepatan dengan paksi aplikasi.
.

Catatan 2. Koordinat silinder boleh digeneralisasikan dengan cara yang sama seperti koordinat kutub dalam satah.

Contoh 1 Hitung kamiran tiga bagi suatu fungsi

mengikut wilayah
, iaitu bahagian dalam silinder
, dibatasi oleh kon
dan paraboloid
.

Penyelesaian. Kami telah mempertimbangkan kawasan ini dalam §2, contoh 6, dan telah memperoleh tatatanda standard dalam DPSC. Walau bagaimanapun, pengiraan kamiran di rantau ini adalah sukar. Jom ke CSK:

.

Unjuran
badan
ke kapal terbang
ialah bulatan
. Oleh itu, koordinat berubah dari 0 kepada
, a – dari 0 hingga R. Melalui titik sewenang-wenangnya
lukis garis selari dengan paksi
. Terus masuk ke
pada kon, tetapi akan keluar pada paraboloid. Tetapi kon
mempunyai persamaan dalam CSK
, dan paraboloid
- persamaan
. Jadi kita ada

III Kamiran tiga kali ganda dalam koordinat sfera

Sistem koordinat sfera (SCS) ditakrifkan oleh satah
, di mana UCS ditentukan, dan paksi
, berserenjang dengan satah
.

Koordinat titik sfera ruang dipanggil tiga nombor
, di mana ialah sudut kutub unjuran titik ke atas satah
,- sudut antara paksi
dan vektor
dan
.

Dalam kapal terbang
memperkenalkan paksi koordinat Cartesan
dan
dengan cara biasa, dan paksi terpakai adalah serasi dengan paksi
. Rumus yang berkaitan dengan koordinat sfera dengan Cartesian ialah:

(4)

Formula ini memetakan kawasan ke seluruh ruang
.

Jacobian sistem fungsi (4):

.

Permukaan koordinat membentuk tiga keluarga:

1)
– sfera sepusat berpusat pada asal;

2)
- separuh satah melalui paksi
;

3)
ialah kon bulat dengan bucu pada asalan, yang paksinya ialah paksi
.

Formula untuk peralihan kepada SSC dalam kamiran rangkap tiga:

Catatan 3. Peralihan kepada SSC disyorkan apabila kawasan integrasi adalah bola atau sebahagian daripadanya. Dalam kes ini, persamaan sfera
masuk ke dalam. Seperti CSC yang dibincangkan sebelum ini, CSC "terikat" pada paksi
. Jika pusat sfera disesarkan oleh jejari sepanjang paksi koordinat, maka persamaan sfera termudah akan diperolehi dengan sesaran sepanjang paksi
:

Catatan 4. SSC boleh digeneralisasikan:

dengan Jacobian
. Sistem fungsi ini akan menterjemah ellipsoid

ke dalam saluran paip selari

Contoh 2 Cari jarak purata bagi titik-titik bola jejari itu dari pusatnya.

Penyelesaian. Ingat bahawa nilai min bagi fungsi
di kawasan
ialah kamiran tiga bagi fungsi di atas luas dibahagikan dengan isipadu luas. Dalam kes kita

Jadi kita ada

Prosedur untuk mengira kamiran tiga adalah serupa dengan operasi yang sepadan untuk kamiran berganda. Untuk menerangkannya, kami memperkenalkan konsep domain tiga dimensi biasa:

Definisi 9.1. Kawasan tiga dimensi V yang dibatasi oleh permukaan tertutup S dipanggil sekata jika:

1. sebarang garis lurus paksi selari Oz dan dilukis melalui titik pedalaman rantau itu, bersilang S pada dua titik;
2. seluruh rantau V diunjurkan ke satah Oxy ke dalam kawasan dua dimensi biasa D;
3. mana-mana bahagian domain V, dipotong daripadanya oleh satah selari dengan mana-mana satah koordinat, mempunyai sifat 1) dan 2).

Pertimbangkan kawasan sekata V yang disempadani dari atas dan bawah oleh permukaan z=χ(x, y) dan z=ψ(x, y) dan diunjurkan ke satah Oxy ke kawasan sekata D, di dalamnya x berbeza dari a hingga b, dibatasi oleh lengkung y=φ1(x) dan y=φ2(x) (Rajah 1). Mari kita takrifkan fungsi selanjar f(x, y, z) dalam domain V.

Definisi 9.2. Kami memanggil kamiran tiga bagi fungsi f(x, y, z) di atas domain V sebagai ungkapan bentuk:

Kamiran rangkap tiga mempunyai sifat yang sama dengan kamiran berganda. Kami menyenaraikannya tanpa bukti, kerana ia dibuktikan sama dengan kes kamiran berganda.

Pengiraan kamiran rangkap tiga.

Teorem 9.1. Kamiran tiga bagi fungsi f(x,y,z) pada domain yang betul V adalah sama dengan kamiran tiga bagi domain yang sama:

. (9.3)

Bukti.

Kami membahagikan rantau V dengan satah selari dengan satah koordinat kepada n kawasan sekata. Kemudian ia mengikuti dari harta 1 itu

di manakah kamiran tiga bagi fungsi f(x,y,z) di atas domain .

Menggunakan formula (9.2), kesamaan sebelumnya boleh ditulis semula sebagai:

Ia berikutan daripada syarat kesinambungan bagi fungsi f(x,y,z) bahawa had jumlah kamiran di sebelah kanan kesamaan ini wujud dan sama dengan kamiran tiga. Kemudian, melepasi had pada , kita memperoleh:

Q.E.D.

Komen.

Begitu juga dengan kes kamiran berganda, seseorang boleh membuktikan bahawa mengubah susunan kamiran tidak mengubah nilai kamiran rangkap tiga.

Contoh. Mari kita hitung kamiran di mana V ialah piramid segi tiga dengan bucu pada titik (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) dan (0, 0, 1). Unjurannya pada satah Oxy ialah segi tiga dengan bucu (0, 0), (1, 0) dan (0, 1). Dari bawah, rantau ini dibatasi oleh satah z = 0, dan dari atas - oleh satah x + y + z = 1. Mari kita beralih kepada kamiran tiga:

Faktor yang tidak bergantung pada pembolehubah kamiran boleh diambil daripada tanda kamiran yang sepadan:

Sistem koordinat lengkung dalam ruang tiga dimensi.

1. Sistem koordinat silinder.

Koordinat silinder bagi titik Р(ρ,φ,z) ialah koordinat kutub ρ, φ bagi unjuran titik ini pada satah Oksi dan aplikasi bagi titik z ini (Rajah 2).

Formula penukaran daripada silinder kepada koordinat Cartesian boleh ditentukan seperti berikut:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sistem koordinat sfera.

V koordinat sfera kedudukan titik dalam ruang ditentukan oleh koordinat linear ρ - jarak dari titik ke permulaan Sistem kartesian koordinat (atau kutub sistem sfera), φ - sudut kutub antara lembu separuh paksi positif dan unjuran titik ke satah Oksi, dan θ - sudut antara paksi separuh positif paksi Oz dan segmen OP (Rajah 3). di mana

Mari kita tetapkan formula untuk peralihan daripada koordinat sfera ke Cartes:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobian dan makna geometrinya.

Pertimbangkan kes umum perubahan pembolehubah dalam kamiran berganda. Biarkan domain D yang dibatasi oleh garis L diberikan dalam satah Oxy. Katakan bahawa x dan y ialah fungsi bernilai tunggal dan boleh dibezakan secara berterusan bagi pembolehubah baru u dan v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Pertimbangkan sistem segi empat tepat koordinat Оuv, titik Р΄(u, v) yang sepadan dengan titik Р(х, y) dari rantau D. Semua titik tersebut membentuk rantau D΄ dalam satah Оuv yang dibatasi oleh garis L΄. Kita boleh mengatakan bahawa formula (9.6) mewujudkan korespondensi satu dengan satu antara titik domain D dan D΄. Dalam kes ini, garisan u = const dan

v = const dalam satah Ouv akan sepadan dengan beberapa garisan dalam satah Oxy.

Mari kita pertimbangkan kawasan segi empat tepat ΔS΄ dalam satah Оuv yang dibatasi oleh garis u = const, u+Δu = const, v = const dan v+Δv = const. Ia akan sepadan dengan kawasan lengkung ΔS dalam satah Oxy (Rajah 4). Kawasan tapak yang sedang dipertimbangkan juga akan dilambangkan dengan ΔS΄ dan ΔS. Dalam kes ini, ΔS΄ = Δu Δv. Mari cari kawasan ∆S. Mari kita nyatakan bucu bagi segi empat lengkung P1, P2, P3, P4 ini, di mana

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Mari kita gantikan kenaikan kecil Δu dan Δv dengan pembezaan yang sepadan. Kemudian

Dalam kes ini, segiempat P1 P2 P3 P4 boleh dianggap segi empat selari dan luasnya boleh ditentukan menggunakan formula daripada geometri analitik:

(9.7)

Definisi 9.3. Penentu dipanggil penentu fungsi atau Jacobian bagi fungsi φ(x, y) dan ψ(x, y).

Melepasi kepada had pada dalam kesamaan (9.7), kita memperoleh makna geometri Jacobian:

iaitu, modulus Jacobian ialah had nisbah bagi luas kawasan terhingga kecil ΔS dan ΔS΄.

Komen. Konsep Jacobian dan makna geometrinya untuk ruang dimensi-n boleh ditakrifkan sama: jika x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1 , u2,…, un), kemudian

(9.8)

Dalam kes ini, modulus Jacobian memberikan had nisbah "isipadu" kawasan kecil bagi ruang x1, x2,…, xn dan u1, u2,…, un.

Perubahan pembolehubah dalam berbilang kamiran.

Mari kita kaji kes umum perubahan pembolehubah menggunakan kamiran berganda sebagai contoh.

Biarkan domain D diberikan fungsi berterusan z = f(x, y), setiap nilai yang sepadan dengan nilai yang sama bagi fungsi z = F(u, v) dalam domain D΄, di mana

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Pertimbangkan jumlah kamiran

di mana jumlah kamiran di sebelah kanan diambil alih domain D΄. Melepasi kepada had pada , kita memperoleh formula penjelmaan koordinat dalam kamiran berganda.

Kamiran rangkap tiga. Pengiraan isipadu badan.
Kamiran tiga dalam koordinat silinder

Selama tiga hari lelaki mati itu berbaring di pejabat dekan, berpakaian seluar Pythagoras,
Di tangan Fikhtengoltz, dia memegang buku yang telah menyelamatkannya dari dunia putih,
Kamiran tiga diikat pada kaki, dan mayat dibungkus dalam matriks,
Dan bukannya berdoa, ada orang kurang ajar membaca teorem Bernoulli.

Kamiran tiga adalah sesuatu yang anda tidak boleh takut lagi =) Kerana jika anda membaca teks ini, kemungkinan besar anda mempunyai pemahaman yang baik tentang teori dan amalan kamiran "biasa"., serta kamiran berganda. Dan di mana terdapat dua kali ganda, berdekatan adalah tiga kali ganda:

Dan sebenarnya, apa yang perlu ditakuti? Kamiran kurang, kamiran lebih ....

Memahami rekod:

– ikon kamiran tiga;
– integrand fungsi tiga pembolehubah;
ialah hasil daripada pembezaan.
ialah wilayah integrasi.

Mari fokus khususnya pada bidang integrasi. Jika dalam kamiran berganda dia mewakili angka rata, kemudian di sini - badan spatial, yang diketahui terhad oleh set permukaan. Oleh itu, sebagai tambahan kepada perkara di atas, anda mesti menavigasi masuk permukaan utama ruang dan boleh melakukan lukisan tiga dimensi yang mudah.

Ada yang kecewa, saya faham…. Malangnya, artikel itu tidak boleh bertajuk "kamiran tiga untuk boneka", dan anda perlu tahu / boleh melakukan sesuatu. Tetapi tidak mengapa - semua bahan dibentangkan dalam bentuk yang sangat mudah diakses dan dikuasai dalam masa yang sesingkat mungkin!

Apakah yang dimaksudkan untuk mengira kamiran tiga kali ganda dan apakah maksudnya?

Mengira kamiran tiga kali ganda cari NUMBER:

Dalam kes paling mudah, apabila kamiran rangkap tiga secara berangka sama dengan isipadu jasad. Dan sesungguhnya, menurut pengertian umum integrasi, produknya ialah kecil tak terhingga isipadu "bata" asas badan. Dan kamiran rangkap tiga adalah adil membawa bersama semua ini zarah tak terhingga atas kawasan itu, menghasilkan nilai integral (jumlah) isipadu badan: .

Selain itu, kamiran rangkap tiga mempunyai kepentingan aplikasi fizikal. Tetapi lebih lanjut mengenai itu kemudian - dalam bahagian ke-2 pelajaran, khusus untuk mengira kamiran tiga sewenang-wenangnya, yang fungsinya secara amnya berbeza daripada pemalar dan berterusan dalam domain . Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan secara terperinci masalah mencari volum, yang, pada pendapat saya, penilaian subjektif berlaku 6-7 kali lebih kerap.

Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran rangkap tiga?

Jawapannya mengikut logik dari perenggan sebelumnya. Perlu mentakrifkan perintah berjalan badan dan pergi ke kamiran berulang. Kemudian secara berurutan berurusan dengan tiga kamiran tunggal.

Seperti yang anda boleh lihat, seluruh dapur sangat, sangat mengingatkan kamiran berganda, dengan perbezaan yang kini kami telah menambah dimensi tambahan (secara kasarnya, ketinggian). Dan, mungkin, ramai di antara anda telah meneka bagaimana kamiran rangkap tiga diselesaikan.

Mari kita hapuskan sebarang keraguan yang masih ada:

Contoh 1

Sila tulis dalam ruangan di atas kertas:

Dan jawab soalan berikut. Adakah anda tahu apakah permukaan yang ditakrifkan oleh persamaan ini? Adakah anda memahami maksud tidak formal persamaan ini? Bolehkah anda bayangkan bagaimana permukaan ini terletak di angkasa?

Jika anda cenderung kepada jawapan umum "bukannya tidak daripada ya", maka pastikan anda menyelesaikan pelajaran, jika tidak, anda tidak akan bergerak lebih jauh!

Penyelesaian: gunakan formula .

Untuk mengetahui perintah berjalan badan dan pergi ke kamiran berulang anda perlukan (semua yang bijak adalah mudah) untuk memahami jenis badan itu. Dan pemahaman sedemikian dalam banyak kes sangat difasilitasi oleh lukisan.

Dengan keadaan, badan dibatasi oleh beberapa permukaan. Di mana untuk mula membina? Saya mencadangkan tindakan berikut:

Jom lukis dulu ortogonal selari unjuran badan ke satah koordinat. Kali pertama saya katakan apa yang dipanggil unjuran ini, lol =)

Oleh kerana unjuran dijalankan di sepanjang paksi, pertama sekali adalah dinasihatkan untuk menanganinya permukaan yang selari dengan paksi yang diberikan. Saya mengingatkan anda bahawa persamaan permukaan tersebut tidak mengandungi huruf "z". Terdapat tiga daripada mereka dalam masalah ini:

– persamaan mentakrifkan satah koordinat , yang melalui paksi ;
– persamaan mentakrifkan satah koordinat , yang melalui paksi ;
- set persamaan kapal terbang garisan "rata". selari dengan paksi.

Kemungkinan besar, unjuran yang dikehendaki ialah segi tiga berikut:

Mungkin tidak semua orang memahami sepenuhnya tentang perkara itu. Bayangkan bahawa paksi keluar dari skrin monitor dan melekat terus ke batang hidung anda ( mereka. ternyata anda sedang melihat lukisan 3 dimensi dari atas). Badan spatial yang dikaji terletak dalam "koridor" trihedral tak terhingga dan unjurannya pada satah kemungkinan besar adalah segi tiga berlorek.

Saya menarik perhatian khusus kepada fakta bahawa setakat ini kami telah menyatakan hanya unjuran dan klausa "kemungkinan besar", "kemungkinan besar" tidak disengajakan. Hakikatnya ialah tidak semua permukaan telah dianalisis lagi, dan mungkin salah satu daripadanya "memotong" bahagian segitiga. Sebagai contoh ilustrasi, sfera berpusat pada asal dengan jejari kurang daripada satu, sebagai contoh, sfera ialah unjurannya ke atas satah (bulatan ) tidak akan "menutup" sepenuhnya kawasan berlorek, dan unjuran akhir badan tidak akan menjadi segitiga sama sekali (bulatan akan "memotong" sudut tajamnya).

Pada peringkat kedua, kita mengetahui bagaimana badan terhad dari atas, daripada dari bawah, dan melakukan lukisan spatial. Kami kembali kepada keadaan masalah dan melihat permukaan yang tersisa. Persamaan mentakrifkan satah koordinat itu sendiri, dan persamaan - silinder parabola, terletak atas satah dan melalui paksi. Oleh itu, unjuran badan sememangnya segitiga.

By the way, saya jumpa di sini redundansi syarat - ia tidak perlu untuk memasukkan persamaan satah, kerana permukaan, menyentuh paksi absis, dan seterusnya menutup badan. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa dalam kes ini kita tidak akan dapat melukis unjuran dengan segera - segitiga akan "melukis" hanya selepas menganalisis persamaan.

Mari kita lukis dengan teliti serpihan silinder parabola:

Selepas menyiapkan lukisan dengan susunan badan tiada masalah!

Mula-mula, kita tentukan susunan traversal unjuran (pada masa yang sama, ia adalah LEBIH MUDAH untuk menavigasi mengikut lukisan dua dimensi). Sudah siap SAMA SAMA, Seperti dalam kamiran berganda! Ingat penuding laser dan imbas kawasan rata. Mari pilih penyelesaian pertama "tradisional":

Seterusnya, kami mengambil lampu suluh ajaib, melihat lukisan tiga dimensi dan dengan ketat dari bawah ke atas menerangi pesakit. Sinaran memasuki badan melalui satah dan meninggalkannya melalui permukaan. Jadi susunan lintasan badan ialah:

Mari kita beralih kepada kamiran berulang:

1) Anda harus bermula dengan integral "Z". Kami guna Formula Newton-Leibniz:

Gantikan keputusan dalam integral "permainan":

Apa yang berlaku? Pada asasnya, penyelesaian telah dikurangkan kepada kamiran berganda, iaitu, kepada formula isipadu bar silinder! Perkara berikut diketahui umum:

2)

Beri perhatian kepada teknik rasional untuk menyelesaikan kamiran ke-3.

Jawab:

Pengiraan sentiasa boleh ditulis dalam "satu baris":


Tetapi berhati-hati dengan kaedah ini - keuntungan dalam kelajuan penuh dengan kehilangan kualiti, dan semakin sukar contoh, semakin besar kemungkinannya untuk membuat kesilapan.

Mari jawab soalan penting:

Adakah perlu membuat lukisan jika keadaan tugas tidak memerlukan pelaksanaannya?

Anda boleh pergi empat cara:

1) Gambarkan unjuran dan badan itu sendiri. Ini adalah pilihan yang paling berfaedah - jika mungkin untuk menyelesaikan dua lukisan yang baik, jangan malas, lakukan kedua-dua lukisan. Saya cadangkan dahulu.

2) Lukiskan badan sahaja. Sesuai apabila badan mempunyai unjuran yang mudah dan jelas. Jadi, sebagai contoh, dalam contoh yang dianalisis, lukisan tiga dimensi sudah cukup. Walau bagaimanapun, terdapat juga tolak di sini - adalah menyusahkan untuk menentukan susunan memintas unjuran daripada imej 3D, dan saya akan mengesyorkan kaedah ini hanya kepada orang yang mempunyai tahap latihan yang baik.

3) Tunjukkan unjuran sahaja. Juga tidak buruk, tetapi komen bertulis tambahan diperlukan, yang mengehadkan kawasan dari pelbagai pihak. Malangnya, pilihan ketiga sering dipaksa - apabila badan terlalu besar atau pembinaannya penuh dengan kesulitan lain. Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.

4) Lakukan tanpa lukisan sama sekali. Dalam kes ini, anda perlu membayangkan badan secara mental dan mengulas bentuk / lokasinya secara bertulis. Sesuai untuk badan atau tugas yang sangat mudah di mana pelaksanaan kedua-dua lukisan adalah sukar. Namun begitu, adalah lebih baik untuk membuat sekurang-kurangnya lukisan skematik, kerana penyelesaian "telanjang" boleh ditolak.

Badan berikut untuk kes bebas:

Contoh 2

Dengan menggunakan kamiran tiga, hitung isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan

V kes ini wilayah integrasi diberikan terutamanya oleh ketidaksamaan, dan ia lebih baik - set ketidaksamaan mentakrifkan oktan pertama, termasuk satah koordinat, dan ketaksamaan - separuh ruang, mengandungi asal usul (semak)+ kapal terbang itu sendiri. Satah "menegak" memotong paraboloid di sepanjang parabola dan adalah wajar untuk membina bahagian ini pada lukisan. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari titik rujukan tambahan, cara paling mudah ialah bahagian atas parabola (kami mempertimbangkan nilai dan hitung Z yang sepadan).

Kami terus meregangkan:

Contoh 3

Gunakan kamiran tiga untuk mengira isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan yang ditentukan. Laksanakan lukisan itu.

Penyelesaian: perkataan "melaksanakan lukisan" memberi kita sedikit kebebasan, tetapi kemungkinan besar membayangkan pelaksanaan lukisan spatial. Walau bagaimanapun, unjuran juga tidak menyakitkan, terutamanya kerana ia bukan yang paling mudah di sini.

Kami mematuhi taktik yang telah dibuat sebelum ini - mula-mula kami akan berurusan permukaan yang selari dengan paksi terpakai. Persamaan permukaan tersebut tidak mengandungi pembolehubah "z" secara eksplisit:

– persamaan mentakrifkan satah koordinat yang melalui paksi ( yang pada satah ditentukan oleh persamaan "homonim" );
- set persamaan kapal terbang melalui "homonim" garisan "rata". selari dengan paksi.

Badan yang dikehendaki dibatasi oleh satah dari bawah dan silinder parabola atas:

Mari kita buat susunan memintas badan, manakala had penyepaduan "x" dan "y", saya ingatkan anda, lebih mudah untuk mengetahui dari lukisan dua dimensi:

Dengan cara ini:

1)

Apabila menyepadukan lebih "y" - "x" dianggap pemalar, oleh itu adalah dinasihatkan untuk segera mengeluarkan pemalar daripada tanda kamiran.

3)

Jawab:

Ya, saya hampir terlupa, dalam kebanyakan kes ia tidak banyak digunakan (dan malah berbahaya) untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengan lukisan tiga dimensi, kerana kemungkinan besar ilusi kelantangan yang saya bincangkan di dalam kelas Isipadu badan revolusi. Oleh itu, menilai badan tugas yang dipertimbangkan, nampaknya saya secara peribadi mempunyai lebih daripada 4 "kiub".

Contoh berikut adalah untuk penyelesaian kendiri:

Contoh 4

Gunakan kamiran tiga untuk mengira isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan yang ditentukan. Buat lukisan badan yang diberi dan unjurannya pada satah.

Contoh tugasan di akhir pelajaran.

Ia bukan sesuatu yang luar biasa apabila pelaksanaan lukisan tiga dimensi adalah sukar:

Contoh 5

Dengan menggunakan kamiran rangkap tiga, cari isipadu jasad yang diberi oleh permukaan yang mengikatnya

Penyelesaian: unjuran di sini adalah mudah, tetapi anda perlu memikirkan susunan pintasannya. Jika anda memilih kaedah pertama, maka angka itu perlu dibahagikan kepada 2 bahagian, yang bukan khayalan mengancam untuk mengira jumlah dua kamiran rangkap tiga. Dalam hal ini, cara ke-2 kelihatan lebih menjanjikan. Mari nyatakan dan gambarkan unjuran badan ini dalam lukisan:

Saya minta maaf atas kualiti beberapa gambar, saya potong terus dari manuskrip saya sendiri.

Kami memilih susunan yang lebih baik untuk memintas angka:

Sekarang terpulang pada badan. Dari bawah ia dibatasi oleh satah, dari atas - oleh satah yang melalui paksi-y. Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi pesawat terakhir terlalu curam dan tidak begitu mudah untuk membina kawasan. Pilihan di sini tidak dicemburui: sama ada barang kemas berfungsi secara kecil-kecilan (kerana badannya agak kurus), atau lukisan setinggi kira-kira 20 sentimeter (dan itupun, jika sesuai).

Tetapi terdapat kaedah ketiga, terutamanya Rusia untuk menyelesaikan masalah - untuk menjaringkan =) Dan bukannya lukisan tiga dimensi, dapatkan dengan penerangan lisan: "Badan ini dihadkan oleh silinder dan satah di sisi, satah di bawah, dan satah di atas.

Had penyepaduan "menegak" jelas seperti berikut:

Mari kita hitung isipadu badan, jangan lupa bahawa kita memintas unjuran dengan cara yang kurang biasa:

1)

Jawab:

Seperti yang anda perhatikan, badan yang ditawarkan dalam tugasan untuk tidak lebih daripada seratus dolar selalunya terhad kepada pesawat dari bawah. Tetapi ini bukan sejenis peraturan, jadi anda perlu sentiasa berjaga-jaga - tugas mungkin terjumpa di mana badan itu berada dan bawah kapal terbang. Jadi, sebagai contoh, jika dalam masalah yang dianalisis dan bukannya mempertimbangkan pesawat , maka badan yang disiasat akan dipaparkan secara simetri di bahagian bawah ruang dan akan dihadkan oleh satah dari bawah, dan oleh pesawat - sudah dari atas!

Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa hasil yang sama akan diperoleh:

(ingat bahawa badan mesti dipintas betul-betul dari bawah ke atas!)

Di samping itu, pesawat "kegemaran" mungkin menjadi tidak berfungsi sepenuhnya, contoh paling mudah: bola yang terletak di atas pesawat - apabila mengira isipadunya, persamaan tidak diperlukan sama sekali.

Kami akan mempertimbangkan semua kes ini, tetapi buat masa ini, tugas yang sama untuk penyelesaian bebas:

Contoh 6

Dengan menggunakan kamiran rangkap tiga, cari isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita beralih ke perenggan kedua dengan bahan yang tidak kurang popular:

Kamiran tiga dalam koordinat silinder

Koordinat silinder sebenarnya, koordinat kutub di angkasa lepas.
V sistem silinder koordinat, kedudukan titik dalam ruang ditentukan oleh koordinat kutub dan titik adalah unjuran titik ke atas satah dan aplikasi titik itu sendiri.

Peralihan daripada sistem Cartesian tiga dimensi kepada sistem koordinat silinder dijalankan mengikut formula berikut:

Untuk tema kami, transformasi kelihatan seperti ini:

Dan, dengan itu, dalam kes yang dipermudahkan, yang kami pertimbangkan dalam artikel ini:

Perkara utama adalah jangan lupa tentang pengganda tambahan "er" dan letakkan dengan betul had kutub integrasi apabila memintas unjuran:

Contoh 7

Penyelesaian: kami mengikuti prosedur yang sama: pertama sekali, kami mempertimbangkan persamaan di mana tidak ada pembolehubah "z". Di sini sahaja. Unjuran permukaan silinder di dalam pesawat adalah "homonim" bulatan .

kapal terbang hadkan badan yang dikehendaki dari bawah dan atas ("ukirkan" dari silinder) dan unjurkan ke dalam bulatan:

Seterusnya ialah lukisan 3D. Kesukaran utama terletak pada membina satah yang bersilang dengan silinder pada sudut "serong", mengakibatkan elips. Mari kita perhalusi bahagian ini secara analitikal: untuk ini, kita tulis semula persamaan satah dalam bentuk berfungsi dan hitung nilai fungsi (“ketinggian”) pada titik jelas yang terletak pada sempadan unjuran:

Kami menandakan titik yang dijumpai pada lukisan dan berhati-hati (bukan macam saya =)) sambungkan mereka dengan satu baris:

Unjuran badan ke satah ialah bulatan, dan ini adalah hujah yang berat yang memihak kepada beralih kepada sistem koordinat silinder:

Mari kita cari persamaan permukaan dalam koordinat silinder:

Sekarang adalah perlu untuk mengetahui perintah memintas badan.

Mari kita berurusan dengan unjuran dahulu. Bagaimana untuk menentukan susunan laluannya? BETUL-BETUL SAMA DENGAN pengiraan kamiran berganda dalam koordinat kutub. Ini adalah asas:

Had integrasi "menegak" juga jelas - kita memasuki badan melalui pesawat dan keluar melalui pesawat:

Mari kita beralih kepada kamiran berulang:

Pada masa yang sama, kami segera meletakkan pengganda "er" ke dalam kamiran "kami".

Penyapu, seperti biasa, lebih mudah dipatahkan di sepanjang ranting:

1)

Kami membawa hasilnya ke dalam integral berikut:

Dan di sini kita tidak lupa bahawa "phi" dianggap sebagai pemalar. Tetapi ini buat sementara waktu:

Jawab:

Tugas yang sama untuk penyelesaian bebas:

Contoh 8

Gunakan kamiran tiga untuk mengira isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan. Buat lukisan badan yang diberi dan unjurannya pada satah.

Contoh anggaran penamat pada akhir pelajaran.

Sila ambil perhatian bahawa dalam keadaan masalah tidak ada perkataan yang dikatakan tentang peralihan kepada sistem koordinat silinder, dan orang yang jahil akan memukul kepala dengan kamiran yang sukar dalam koordinat Cartes. ... Atau mungkin tidak - lagipun, terdapat cara ketiga, terutamanya Rusia untuk menyelesaikan masalah =)

Ia baru bermula! …dengan cara yang baik: =)

Contoh 9

Dengan menggunakan kamiran rangkap tiga, cari isipadu jasad yang dibatasi oleh permukaan

Sederhana dan berselera.

Penyelesaian: badan ini terhad permukaan kon dan paraboloid elips. Pembaca yang telah membaca dengan teliti bahan-bahan artikel Permukaan utama ruang, telah membentangkan rupa badan, tetapi dalam praktiknya kes yang lebih kompleks sering berlaku, jadi saya akan menjalankan penaakulan analisis terperinci.

Mula-mula, cari garis di sepanjang permukaan yang bersilang. Mari buat dan selesaikan sistem berikut:

Daripada persamaan 1, kita tolak sebutan kedua dengan sebutan:

Hasilnya ialah dua akar:

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan sistem:
, dari mana ia mengikutinya
Oleh itu, akar sepadan dengan satu titik - asal. Sememangnya, bucu permukaan yang dipertimbangkan bertepatan.

Sekarang mari kita gantikan punca kedua - juga dalam mana-mana persamaan sistem:

Apakah maksud geometri hasil yang diperolehi? "Di ketinggian" (dalam pesawat) paraboloid dan kon bersilang sepanjang bulatan– jejari unit berpusat pada titik .

Dalam kes ini, "cawan" paraboloid mengandungi "corong" kon, oleh itu penjana permukaan kon harus dilukis dengan garis putus-putus (dengan pengecualian segmen penjana yang paling jauh dari kami, yang boleh dilihat dari sudut ini):

Unjuran badan ke atas kapal terbang ialah bulat berpusat pada asal jejari 1, yang saya tidak peduli untuk lukis kerana fakta ini jelas (namun, kami membuat ulasan bertulis!). Ngomong-ngomong, dalam dua tugas sebelumnya, lukisan unjuran juga boleh dijaringkan, jika bukan untuk syarat itu.

Apabila lulus ke koordinat silinder mengikut formula standard, ketaksamaan akan ditulis dalam bentuk paling mudah dan tidak ada masalah dengan susunan memintas unjuran:

Mari kita cari persamaan permukaan dalam sistem koordinat silinder:

Oleh kerana masalah mempertimbangkan bahagian atas kon, kami nyatakan daripada persamaan:

"Mengimbas badan" dari bawah ke atas. Sinar cahaya masuk melalui paraboloid elips dan keluar melalui permukaan kon. Oleh itu, susunan "menegak" perjalanan badan ialah:

Selebihnya teknik:

Jawab:

Ia bukan sesuatu yang luar biasa bagi jasad untuk ditakrifkan bukan oleh permukaan sempadannya, tetapi oleh satu set ketaksamaan:

Contoh 10

deria geometri ketidaksamaan spatial saya jelaskan dengan terperinci yang mencukupi dalam artikel rujukan yang sama - Permukaan utama ruang dan pembinaannya.

Walaupun tugas ini mengandungi parameter, ia membenarkan pelaksanaan lukisan tepat yang mencerminkan pandangan asas badan. Pertimbangkan cara membina. Penyelesaian ringkas dan jawapan ada di akhir pelajaran.

... baik, beberapa tugas lagi? Saya berfikir untuk menghabiskan pelajaran, tetapi saya hanya rasa seperti anda mahu lebih =)

Contoh 11

Dengan menggunakan kamiran rangkap tiga, hitung isipadu badan tertentu:
, di mana ialah nombor positif arbitrari.

Penyelesaian: ketidaksamaan mentakrifkan bola berpusat pada asal koordinat jejari, dan ketaksamaan - "dalam" silinder bulat dengan paksi simetri jejari . Oleh itu, badan yang dikehendaki dihadkan oleh silinder bulat di sisi dan segmen sfera simetri berkenaan dengan satah dari atas dan bawah.

Mengambil untuk unit asas ukuran, kami akan melaksanakan lukisan:

Lebih tepat lagi, ia harus dipanggil lukisan, kerana saya tidak mengekalkan perkadaran sepanjang paksi dengan baik. Walau bagaimanapun, dalam keadilan, mengikut syarat, ia tidak perlu melukis apa-apa sama sekali, dan ilustrasi sedemikian ternyata cukup.

Sila ambil perhatian bahawa di sini adalah tidak perlu untuk mengetahui ketinggian di mana silinder memotong "topi" dari bola - jika anda mengambil kompas dan menandakan bulatan dengan pusat di tempat asal koordinat dengan jejari 2 cm, maka titik persilangan dengan silinder akan keluar dengan sendirinya.

Contoh penyelesaian kepada kamiran rangkap tiga arbitrari.
Aplikasi fizikal kamiran rangkap tiga

Dalam bahagian ke-2 pelajaran, kita akan mengusahakan teknik untuk menyelesaikan kamiran tiga sewenang-wenangnya , yang integrand fungsi tiga pembolehubah dalam kes umum, ia berbeza daripada pemalar dan berterusan di rantau ini; dan juga berkenalan dengan aplikasi fizikal kamiran tiga

Saya mengesyorkan kepada pelawat yang baru tiba untuk bermula dengan bahagian 1, di mana kami menyemak konsep asas dan masalah mencari isipadu jasad menggunakan kamiran tiga. Selebihnya, saya cadangkan ulang sedikit fungsi terbitan bagi tiga pembolehubah, kerana dalam contoh artikel ini kita akan menggunakan operasi songsang - penyepaduan separa fungsi .

Di samping itu, terdapat satu lagi perkara penting: jika anda tidak sihat, maka lebih baik untuk menangguhkan membaca halaman ini jika boleh. Dan intinya bukan sahaja kerumitan pengiraan kini akan meningkat - kebanyakan kamiran tiga tidak mempunyai kaedah yang boleh dipercayai untuk pengesahan manual, oleh itu adalah sangat tidak diingini untuk mula menyelesaikannya dalam keadaan letih. Sesuai untuk nada rendah menyelesaikan sesuatu dengan lebih cepat atau hanya berehat (saya sabar, saya akan menunggu =)), supaya lain masa dengan kepala segar untuk meneruskan pembunuhan beramai-ramai kamiran tiga:

Contoh 13

Kira Kamiran Bertiga

Dalam amalan, badan juga dilambangkan dengan huruf , tetapi ini bukan pilihan yang sangat baik, kerana "ve" "terpelihara" untuk penetapan volum.

Biar saya beritahu anda apa yang TIDAK perlu dilakukan. Tak perlu pakai sifat lineariti dan mewakili kamiran sebagai . Walaupun jika anda benar-benar mahu, anda boleh. Pada akhirnya, terdapat tambahan kecil - rakaman akan panjang, tetapi kurang berantakan. Tetapi pendekatan ini masih tidak standard.

Dalam algoritma penyelesaian akan ada sedikit kebaharuan. Mula-mula anda perlu berurusan dengan bidang integrasi. Unjuran badan ke atas satah adalah segi tiga yang sangat biasa:

Badan terhad dari atas kapal terbang, yang melalui asal. Sebelum ini, dengan cara itu, anda perlukan pastikan anda menyemak(secara mental atau pada draf) sama ada satah ini "memotong" bahagian segi tiga. Untuk melakukan ini, kita mencari garis persilangannya dengan satah koordinat, i.e. menyelesaikan sistem yang paling mudah: - tidak, diberikan lurus (bukan pada lukisan)"melewati", dan unjuran badan ke atas pesawat sememangnya segitiga.

Lukisan spatial tidak rumit di sini sama ada:

Malah, seseorang boleh mengehadkan diri kepada mereka sahaja, kerana unjuran itu sangat mudah. …Nah, atau hanya melukis unjuran, kerana badannya juga mudah =) Namun, tidak melukis apa-apa, saya ingatkan anda, adalah pilihan yang tidak baik.

Dan, sudah tentu, saya tidak dapat membantu tetapi menggembirakan anda dengan tugas akhir:

Contoh 19

Cari pusat graviti jasad homogen yang dibatasi oleh permukaan , . Buat lukisan badan yang diberi dan unjurannya pada satah.

Penyelesaian: badan yang dikehendaki dihadkan oleh satah koordinat dan satah , yang sesuai untuk pembinaan seterusnya hadir dalam segmen: . Mari pilih "a" sebagai unit skala dan buat lukisan tiga dimensi:

Lukisan itu telah menetapkan titik siap pusat graviti, namun, setakat ini kita tidak mengetahuinya.

Unjuran badan ke pesawat adalah jelas, tetapi, bagaimanapun, izinkan saya mengingatkan anda cara mencarinya secara analitik - selepas semua, seperti kes mudah tidak selalu dijumpai. Untuk mencari garis di mana satah bersilang, anda perlu menyelesaikan sistem:

Kami menggantikan nilai dalam persamaan 1: dan kami mendapat persamaan "rata" lurus:

Kira koordinat pusat graviti jasad dengan formula
, di manakah isipadu badan.