Segmen dari sudut segitiga. Segi tiga. Pelajaran lengkap – Pasar Besar Pengetahuan

Segitiga - definisi dan konsep umum

Segitiga ialah poligon ringkas yang terdiri daripada tiga sisi dan mempunyai bilangan sudut yang sama. Pesawatnya dihadkan oleh 3 mata dan 3 segmen yang menghubungkan titik-titik ini secara berpasangan.

Semua bucu mana-mana segi tiga, tanpa mengira jenisnya, ditetapkan dengan huruf Latin besar, dan sisinya digambarkan oleh sebutan sepadan bucu bertentangan, hanya bukan dalam huruf besar, tetapi dalam huruf kecil. Jadi, sebagai contoh, segitiga dengan bucu berlabel A, B dan C mempunyai sisi a, b, c.

Jika kita menganggap segitiga dalam ruang Euclidean, maka ia adalah rajah geometri yang dibentuk menggunakan tiga segmen yang menghubungkan tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama.

Lihat dengan teliti pada gambar yang ditunjukkan di atas. Di atasnya, titik A, B dan C ialah bucu segitiga ini, dan segmennya dipanggil sisi segi tiga. Setiap bucu poligon ini membentuk sudut di dalamnya.

Jenis-jenis segitiga

Mengikut saiz sudut segi tiga, ia dibahagikan kepada jenis seperti: Segi empat tepat;
sudut akut;
Bodoh.

Segitiga segi empat tepat termasuk yang mempunyai satu sudut tegak dan dua lagi mempunyai sudut lancip.

Segitiga akut ialah segitiga yang semua sudutnya adalah akut.

Dan jika segitiga mempunyai satu sudut tumpul dan dua sudut lancip yang lain, maka segitiga tersebut diklasifikasikan sebagai tumpul.

Setiap daripada anda memahami dengan baik bahawa tidak semua segi tiga mempunyai sisi yang sama. Dan mengikut panjang sisinya, segitiga boleh dibahagikan kepada:

Sama kaki;
sama sisi;
serba boleh.

Tugasan: Lukiskan pelbagai jenis segi tiga. Tentukan mereka. Apakah perbezaan yang anda lihat antara mereka?

Sifat asas segi tiga

Walaupun poligon mudah ini mungkin berbeza antara satu sama lain dalam saiz sudut atau sisinya, setiap segi tiga mempunyai sifat asas yang menjadi ciri bagi rajah ini.

Dalam mana-mana segi tiga:

Jumlah keseluruhan semua sudutnya ialah 180º.
Jika ia tergolong dalam segi empat sama, maka setiap sudutnya ialah 60º.
Segi tiga sama mempunyai sudut yang sama dan sama.
Semakin kecil sisi poligon, semakin kecil sudut yang bertentangan dengannya, dan sebaliknya, semakin besar sudut yang bertentangan dengan sisi yang lebih besar.
Jika sisi adalah sama, maka bertentangan dengan mereka adalah sudut yang sama, dan sebaliknya.
Jika kita mengambil segitiga dan memanjangkan sisinya, kita berakhir dengan sudut luaran. Ia sama dengan jumlah sudut dalam.
Dalam mana-mana segi tiga, sisinya, tidak kira yang mana satu yang anda pilih, akan tetap kurang daripada jumlah 2 sisi yang lain, tetapi lebih daripada perbezaannya:

1. a< b + c, a >b–c;
2. b< a + c, b >a–c;
3.c< a + b, c >a–b.

Bersenam

Jadual menunjukkan dua sudut segitiga yang telah diketahui. Mengetahui jumlah jumlah semua sudut, cari sudut ketiga segi tiga itu sama dan masukkannya ke dalam jadual:

1. Berapa darjahkah sudut ketiga itu?
2. Apakah jenis segitiga miliknya?

Ujian untuk kesetaraan segi tiga

saya tandatangan

tanda II

tanda III

Tinggi, pembahagi dua dan median bagi segi tiga

Ketinggian segitiga - serenjang yang dilukis dari puncak rajah ke sisi bertentangannya dipanggil ketinggian segi tiga. Semua ketinggian segi tiga bersilang pada satu titik. Titik persilangan kesemua 3 ketinggian segitiga ialah pusat ortopusatnya.

Segmen yang dilukis daripada bucu tertentu dan menyambungkannya di tengah-tengah sisi bertentangan ialah median. Median, serta ketinggian segi tiga, mempunyai satu titik persilangan yang sama, yang dipanggil pusat graviti segitiga atau centroid.

Pembahagi dua segi tiga ialah segmen yang menghubungkan bucu sudut dan titik pada sisi bertentangan, dan juga membahagikan sudut ini separuh. Semua pembahagi dua segi tiga bersilang pada satu titik, yang dipanggil pusat bulatan yang tertulis dalam segi tiga.

Segmen yang menghubungkan titik tengah 2 sisi segitiga dipanggil garis tengah.

Latar belakang sejarah

Sosok seperti segi tiga dikenali pada zaman dahulu. Angka ini dan sifatnya telah disebutkan pada papirus Mesir empat ribu tahun yang lalu. Tidak lama kemudian, terima kasih kepada teorem Pythagoras dan formula Heron, kajian sifat-sifat segitiga berpindah ke tahap yang lebih tinggi, tetapi masih, ini berlaku lebih daripada dua ribu tahun yang lalu.

Pada abad ke-15 - ke-16, banyak penyelidikan mula dijalankan ke atas sifat-sifat segitiga, dan akibatnya, sains seperti planimetri timbul, yang dipanggil "Geometri Segitiga Baru".

Saintis Rusia N.I. Lobachevsky memberikan sumbangan besar kepada pengetahuan tentang sifat-sifat segitiga. Karya beliau kemudiannya mendapat aplikasi dalam matematik, fizik dan sibernetik.

Terima kasih kepada pengetahuan tentang sifat segitiga, sains seperti trigonometri timbul. Ia ternyata perlu bagi seseorang dalam keperluan praktikalnya, kerana penggunaannya hanya diperlukan semasa membuat peta, mengukur kawasan, dan juga ketika mereka bentuk pelbagai mekanisme.

Apakah segitiga yang paling terkenal yang anda tahu? Ini sudah tentu Segitiga Bermuda! Ia menerima nama ini pada tahun 50-an kerana lokasi geografi titik (bucu segitiga), di mana, menurut teori sedia ada, anomali yang berkaitan dengannya timbul. Bucu Segitiga Bermuda ialah Bermuda, Florida dan Puerto Rico.

Tugasan: Apakah teori tentang Segitiga Bermuda yang pernah anda dengar?

Tahukah anda bahawa dalam teori Lobachevsky, apabila menambah sudut segitiga, jumlahnya sentiasa mempunyai hasil kurang daripada 180º. Dalam geometri Riemann, jumlah semua sudut segitiga adalah lebih besar daripada 180º, dan dalam karya Euclid ia adalah sama dengan 180 darjah.

Kerja rumah

Selesaikan teka silang kata pada topik tertentu

Soalan untuk silang kata:

1. Apakah nama serenjang yang dilukis dari bucu segi tiga ke garis lurus yang terletak di sebelah bertentangan?
2. Bagaimanakah, dalam satu perkataan, anda boleh memanggil jumlah panjang sisi segitiga?
3. Namakan segitiga yang dua sisinya sama?
4. Namakan segitiga yang mempunyai sudut sama dengan 90°?
5. Apakah nama sisi terbesar bagi segi tiga itu?
6. Apakah nama sisi bagi segi tiga sama kaki?
7. Selalu ada tiga daripadanya dalam mana-mana segi tiga.
8. Apakah nama segitiga yang salah satu sudutnya melebihi 90°?
9. Nama segmen yang menghubungkan bahagian atas rajah kita dengan bahagian tengah sisi bertentangan?
10. Dalam poligon mudah ABC, huruf besar A ialah...?
11. Apakah nama ruas yang membahagikan sudut segitiga kepada separuh?

Soalan mengenai topik segitiga:

1. Takrifkannya.
2. Berapakah ketinggian yang dimilikinya?
3. Berapakah bilangan pembahagi dua segi tiga mempunyai?
4. Berapakah jumlah sudutnya?
5. Apakah jenis poligon mudah ini yang anda tahu?
6. Namakan titik bagi segi tiga yang dipanggil luar biasa.
7. Apakah peranti yang boleh anda gunakan untuk mengukur sudut?
8. Jika jarum jam menunjukkan pukul 21. Apakah sudut yang dibuat oleh jarum jam?
9. Pada sudut manakah seseorang itu berpaling jika dia diberi arahan "kiri", "bulatan"?
10. Apakah definisi lain yang anda tahu yang dikaitkan dengan rajah yang mempunyai tiga sudut dan tiga sisi?

Sains geometri memberitahu kita apa itu segitiga, segi empat sama dan kubus. Dalam dunia moden, semua orang tanpa pengecualian mempelajarinya di sekolah. Selain itu, sains yang mengkaji secara langsung apa itu segitiga dan apakah sifatnya ialah trigonometri. Dia meneroka secara terperinci semua fenomena yang berkaitan dengan data Kami akan bercakap tentang segi tiga hari ini dalam artikel kami. Jenis mereka akan diterangkan di bawah, serta beberapa teorem yang berkaitan dengannya.

Apakah segi tiga? Definisi

Ini adalah poligon rata. Ia mempunyai tiga sudut, seperti yang jelas dari namanya. Ia juga mempunyai tiga sisi dan tiga bucu, yang pertama adalah segmen, yang kedua adalah mata. Mengetahui apa yang dua sudut adalah sama, anda boleh mencari yang ketiga dengan menolak jumlah dua yang pertama daripada nombor 180.

Apakah jenis segitiga yang ada?

Mereka boleh dikelaskan mengikut pelbagai kriteria.

Pertama sekali, mereka dibahagikan kepada bersudut akut, bersudut tumpul dan segi empat tepat. Yang pertama mempunyai sudut akut, iaitu, yang sama dengan kurang daripada 90 darjah. Dalam sudut tumpul, satu daripada sudut tumpul, iaitu satu yang sama dengan lebih daripada 90 darjah, dua lagi adalah akut. Segitiga akut juga termasuk segitiga sama sisi. Segitiga sedemikian mempunyai semua sisi dan sudut yang sama. Kesemuanya bersamaan dengan 60 darjah, ini boleh dikira dengan mudah dengan membahagikan hasil tambah semua sudut (180) dengan tiga.

Segitiga kanan

Tidak mustahil untuk tidak bercakap tentang segi tiga tepat.

Angka sedemikian mempunyai satu sudut sama dengan 90 darjah (lurus), iaitu, dua sisinya berserenjang. Baki dua sudut adalah akut. Mereka boleh sama, maka ia akan sama kaki. Teorem Pythagoras berkaitan dengan segi tiga tepat. Menggunakannya, anda boleh mencari bahagian ketiga, mengetahui dua yang pertama. Mengikut teorem ini, jika anda menambah segi empat sama satu kaki ke segi empat sama yang lain, anda boleh mendapatkan kuasa dua hipotenus. Kuasa dua kaki boleh dikira dengan menolak kuasa dua kaki yang diketahui daripada kuasa dua hipotenus. Bercakap tentang apa itu segitiga, kita juga boleh mengingati segi tiga sama kaki. Ini adalah satu di mana dua sisi adalah sama, dan dua sudut juga sama.

Apakah kaki dan hipotenus?

Kaki ialah salah satu sisi segitiga yang membentuk sudut 90 darjah. Hipotenus ialah sisi baki yang bertentangan dengan sudut tegak. Anda boleh menurunkan serenjang daripadanya ke kaki. Nisbah sisi bersebelahan dengan hipotenus dipanggil kosinus, dan sisi bertentangan dipanggil sinus.

- apakah ciri-cirinya?

Ia segi empat tepat. Kakinya adalah tiga dan empat, dan hipotenusnya ialah lima. Jika anda melihat bahawa kaki segitiga yang diberikan adalah sama dengan tiga dan empat, anda boleh yakin bahawa hipotenus akan sama dengan lima. Juga, menggunakan prinsip ini, anda boleh dengan mudah menentukan bahawa kaki akan sama dengan tiga jika yang kedua sama dengan empat, dan hipotenus sama dengan lima. Untuk membuktikan pernyataan ini, anda boleh menggunakan teorem Pythagoras. Jika dua kaki bersamaan dengan 3 dan 4, maka 9 + 16 = 25, punca 25 ialah 5, iaitu hipotenus bersamaan dengan 5. Segitiga Mesir juga merupakan segi tiga tegak yang sisinya ialah 6, 8 dan 10 ; 9, 12 dan 15 dan nombor lain dengan nisbah 3:4:5.

Apa lagi yang boleh menjadi segitiga?

Segi tiga juga boleh ditulis atau dihadkan. Angka di sekeliling bulatan itu diterangkan dipanggil bertulis; semua bucunya adalah titik yang terletak pada bulatan. Segitiga berbatas ialah segitiga yang dituliskan bulatan. Semua sisinya bersentuhan dengannya pada titik-titik tertentu.

Bagaimana ia terletak?

Luas mana-mana rajah diukur dalam unit persegi (meter persegi, milimeter persegi, sentimeter persegi, desimeter persegi, dll.) Nilai ini boleh dikira dalam pelbagai cara, bergantung pada jenis segi tiga. Luas mana-mana rajah dengan sudut boleh didapati dengan mendarab sisinya dengan serenjang yang jatuh ke atasnya dari sudut bertentangan, dan membahagikan angka ini dengan dua. Anda juga boleh mencari nilai ini dengan mendarab kedua-dua belah. Kemudian darabkan nombor ini dengan sinus sudut yang terletak di antara sisi ini, dan bahagikan hasil ini dengan dua. Mengetahui semua sisi segitiga, tetapi tidak mengetahui sudutnya, anda boleh mencari kawasan itu dengan cara lain. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari separuh perimeter. Kemudian tolak sisi yang berbeza secara bergilir-gilir daripada nombor ini dan darabkan empat nilai yang terhasil. Seterusnya, cari dari nombor yang keluar. Luas segi tiga bertulis boleh didapati dengan mendarab semua sisi dan membahagikan nombor yang terhasil dengan yang dihadkan di sekelilingnya, didarab dengan empat.

Luas segi tiga yang dihadkan didapati dengan cara ini: kita mendarab separuh perimeter dengan jejari bulatan yang tertulis di dalamnya. Jika kemudian luasnya boleh didapati seperti berikut: segi empat sama sisi, darabkan angka yang terhasil dengan punca tiga, kemudian bahagikan nombor ini dengan empat. Dengan cara yang sama, anda boleh mengira ketinggian segi tiga di mana semua sisi adalah sama; untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan satu daripadanya dengan punca tiga, dan kemudian membahagikan nombor ini dengan dua.

Teorem yang berkaitan dengan segi tiga

Teorem utama yang dikaitkan dengan angka ini ialah teorem Pythagoras yang diterangkan di atas dan kosinus. Yang kedua (sinus) ialah jika anda membahagi mana-mana sisi dengan sinus sudut yang bertentangan dengannya, anda boleh mendapatkan jejari bulatan yang diterangkan di sekelilingnya, didarab dengan dua. Yang ketiga (kosinus) ialah jika daripada jumlah kuasa dua dua sisi kita menolak hasil darabnya, didarab dengan dua dan kosinus sudut yang terletak di antara mereka, maka kita mendapat kuasa dua sisi ketiga.

Segitiga Dali - apakah itu?

Ramai, apabila berhadapan dengan konsep ini, pada mulanya berfikir bahawa ini adalah beberapa jenis definisi dalam geometri, tetapi ini tidak sama sekali. Segitiga Dali adalah nama biasa untuk tiga tempat yang berkait rapat dengan kehidupan artis terkenal. "Puncak"nya ialah rumah tempat Salvador Dali tinggal, istana yang dia berikan kepada isterinya, serta muzium lukisan surealis. Semasa lawatan ke tempat-tempat ini, anda boleh mempelajari banyak fakta menarik tentang artis kreatif unik ini, yang dikenali di seluruh dunia.

Penamaan standard

Segi tiga dengan bucu A, B Dan C ditetapkan sebagai (lihat rajah). Segitiga mempunyai tiga sisi:

Panjang sisi segitiga ditunjukkan oleh huruf Latin huruf kecil (a, b, c):

Segitiga mempunyai sudut berikut:

Nilai sudut pada bucu yang sepadan secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani (α, β, γ).

Tanda-tanda kesamaan segi tiga

Segitiga pada satah Euclidean boleh ditentukan secara unik (sehingga kongruen) oleh kembar tiga unsur asas berikut:

1. a, b, γ (kesamaan pada dua sisi dan sudut yang terletak di antara mereka);
2. a, β, γ (kesamaan pada sisi dan dua sudut bersebelahan);
3. a, b, c (kesamaan pada tiga pihak).

Tanda-tanda kesamaan segi tiga tepat:

1. sepanjang kaki dan hipotenus;
2. pada dua kaki;
3. sepanjang kaki dan sudut akut;
4. sepanjang hipotenus dan sudut akut.

Beberapa titik dalam segitiga adalah "berpasangan". Sebagai contoh, terdapat dua titik dari mana semua sisi boleh dilihat sama ada pada sudut 60° atau sudut 120°. Mereka dipanggil Titik Torricelli. Terdapat juga dua titik yang unjurannya ke sisi terletak pada bucu segitiga sekata. ini - mata Apollonius. Mata dan sebagainya dipanggil Mata brocard.

Langsung

Dalam mana-mana segi tiga, pusat graviti, pusat ortopusat dan pusat bulatan terletak pada garis lurus yang sama, dipanggil talian Euler.

Garis lurus yang melalui pusat bulatan dan titik Lemoine dipanggil Paksi brokad. Mata Apollonius terletak di atasnya. Mata Torricelli dan mata Lemoine juga terletak pada baris yang sama. Tapak pembahagi dua luar bagi sudut segitiga terletak pada garis lurus yang sama, dipanggil paksi pembahagi dua bahagian luar. Titik persilangan garis yang mengandungi sisi segi tiga orto dengan garis yang mengandungi sisi segi tiga juga terletak pada garis yang sama. Barisan ini dipanggil paksi ortosentrik, ia berserenjang dengan garis lurus Euler.

Jika kita mengambil satu titik pada bulatan segi tiga, maka unjurannya pada sisi segi tiga akan terletak pada garis lurus yang sama, dipanggil Simson lurus titik ini. Garis Simson bagi titik bertentangan diametrik adalah berserenjang.

Segi tiga

• Segitiga dengan bucu pada tapak yang dilukis melalui titik tertentu dipanggil segi tiga cevian titik ini.
• Segitiga dengan bucu dalam unjuran titik tertentu ke sisi dipanggil sod atau segi tiga pedal titik ini.
• Segitiga dengan bucu pada titik kedua persilangan garis yang dilukis melalui bucu dan titik tertentu dengan bulatan berhad dipanggil segi tiga lilitan. Segitiga lilitan adalah serupa dengan segitiga sod.

Kalangan

• Bulatan bertulis- bulatan menyentuh ketiga-tiga sisi segi tiga. Dia seorang sahaja. Pusat bulatan bertulis dipanggil pembakar semangat.
• Bulatan- bulatan yang melalui ketiga-tiga bucu segitiga itu. Bulatan yang dihadkan juga unik.
• Excircle- bulatan menyentuh satu sisi segi tiga dan kesinambungan dua sisi yang lain. Terdapat tiga bulatan sedemikian dalam segitiga. Pusat radikal mereka adalah pusat bulatan bertulis segitiga medial, dipanggil Mata Spiker.

Titik tengah bagi tiga sisi segitiga, tapak tiga altitudnya dan titik tengah tiga segmen yang menghubungkan bucunya dengan pusat ortopusat terletak pada satu bulatan yang dipanggil bulatan sembilan mata atau Bulatan Euler. Pusat bulatan sembilan mata terletak pada garisan Euler. Bulatan sembilan titik menyentuh bulatan bertulis dan tiga bulatan. Titik tangen antara bulatan tersurat dan bulatan sembilan titik dipanggil mata Feuerbach. Jika dari setiap bucu kita meletakkan ke luar segitiga pada garis lurus yang mengandungi sisi, ortosa sama panjang dengan sisi bertentangan, maka enam titik yang terhasil terletak pada bulatan yang sama - Bulatan Conway. Tiga bulatan boleh ditulis dalam mana-mana segi tiga sedemikian rupa sehingga setiap satu daripadanya menyentuh dua sisi segitiga dan dua bulatan lain. Bulatan sedemikian dipanggil Bulatan Malfatti. Pusat-pusat bulatan berhad bagi enam segi tiga di mana segitiga dibahagikan dengan median terletak pada satu bulatan, yang dipanggil lilitan Lamun.

Segitiga mempunyai tiga bulatan yang menyentuh dua sisi segitiga dan bulatan. Bulatan sedemikian dipanggil separuh bertulis atau Bulatan Verrier. Segmen yang menghubungkan titik tangen bagi bulatan Verrier dengan bulatan bersilang pada satu titik yang dipanggil Perkara Verrier. Ia berfungsi sebagai pusat homothety, yang mengubah circumcircle menjadi bulatan bertulis. Titik sentuhan bulatan Verrier dengan sisi terletak pada garis lurus yang melalui pusat bulatan bertulis.

Segmen-segmen yang menghubungkan titik-titik tangen bulatan bertulis dengan bucu bersilang pada satu titik yang dipanggil titik Gergonne, dan segmen yang menghubungkan bucu dengan titik tangen bagi lingkaran berada dalam Titik Nagel.

Elips, parabola dan hiperbola

Tertulis kon (elips) dan sudut pandangnya

Bilangan kon yang tidak terhingga (elips, parabola atau hiperbola) boleh ditulis ke dalam segi tiga. Jika kita menulis kon sewenang-wenang ke dalam segitiga dan menyambungkan titik tangen dengan bucu bertentangan, maka garis lurus yang terhasil akan bersilang pada satu titik yang dipanggil prospek dua tingkat. Untuk mana-mana titik pesawat yang tidak terletak di sisi atau pada sambungannya, terdapat kon yang tertulis dengan perspector pada ketika ini.

Elips Steiner yang diterangkan dan cevian melalui fokusnya

Elips boleh ditulis dalam segi tiga, menyentuh sisi di tengah. Ellips sedemikian dipanggil elips Steiner bertulis(perspektifnya ialah pusat segi tiga). Elips yang dihadkan, yang menyentuh garisan yang melalui bucu selari dengan sisi, dipanggil digambarkan oleh elips Steiner. Jika kita menukar segi tiga kepada segi tiga biasa menggunakan penjelmaan affine ("skew"), maka elips Steiner yang tertera dan berbatas akan berubah menjadi bulatan yang tersurat dan berbatas. Garis Chevian yang dilukis melalui fokus elips Steiner yang diterangkan (titik Scutin) adalah sama (teorem Scutin). Daripada semua elips yang diterangkan, elips Steiner yang diterangkan mempunyai kawasan terkecil, dan daripada semua elips yang diterangkan, elips Steiner yang diterangkan mempunyai keluasan yang terbesar.

Elips brokad dan sudutnya - Titik Lemoine

Elips dengan fokus pada titik Brocard dipanggil elips brokad. Perspektifnya ialah titik Lemoine.

Sifat-sifat parabola bertulis

Parabola Kiepert

Prospek parabola yang tertulis terletak pada elips Steiner yang diterangkan. Tumpuan parabola bertulis terletak pada bulatan, dan directrix melalui orthocenter. Parabola yang ditulis dalam segi tiga dan mempunyai diretriks Euler sebagai diretriksnya dipanggil ... Parabola Kiepert. Pemerspeknya ialah titik keempat persilangan bulatan yang dihadkan dan elips Steiner yang dihadkan, dipanggil Titik Steiner.

Hiperbola Kiepert

Jika hiperbola yang diterangkan melalui titik persilangan ketinggian, maka ia adalah sama sisi (iaitu, asimtotnya adalah serenjang). Titik persilangan asimtot bagi hiperbola sama sisi terletak pada bulatan sembilan titik.

Transformasi

Jika garisan yang melalui bucu dan beberapa titik tidak terletak di sisi dan sambungannya dicerminkan relatif kepada pembahagi dua yang sepadan, maka imejnya juga akan bersilang pada satu titik, yang dipanggil konjugasi isogonal yang asal (jika titik terletak pada bulatan yang dihadkan, maka garisan yang terhasil akan selari). Banyak pasangan mata yang luar biasa adalah konjugasi isogon: pusat lilitan dan ortopusat, titik tengah dan titik Lemoine, titik Brocard. Titik Apollonius adalah konjugasi secara isogon ke titik Torricelli, dan pusat bulatan yang tersurat adalah konjugasi secara isogon kepada dirinya sendiri. Di bawah tindakan konjugasi isogon, garis lurus berubah menjadi kon berbatas, dan kon berbatas menjadi garis lurus. Oleh itu, hiperbola Kiepert dan paksi Brocard, hiperbola Jenzabek dan garis lurus Euler, hiperbola Feuerbach dan garisan pusat bulatan bersurat dan berhad adalah konjugat isogon. Lingkaran bagi segi tiga titik konjugasi isogon bertepatan. Tumpuan elips bertulis adalah konjugasi isogon.

Jika, bukannya cevian simetri, kita mengambil cevian yang tapaknya adalah sama jauh dari bahagian tengah sisi dengan pangkal yang asal, maka cevian tersebut juga akan bersilang pada satu titik. Transformasi yang terhasil dipanggil konjugasi isotomik. Ia juga menukar garis lurus kepada kon yang diterangkan. Titik Gergonne dan Nagel adalah konjugasi isotomi. Di bawah penjelmaan afin, titik konjugat isotomi diubah menjadi titik konjugat isotomi. Dengan konjugasi isotomik, elips Steiner yang diterangkan akan masuk ke garis lurus yang jauh tak terhingga.

Jika dalam segmen yang dipotong oleh sisi segi tiga dari bulatan yang dibatasi, kita tuliskan bulatan yang menyentuh sisi di pangkal cevian yang dilukis melalui titik tertentu, dan kemudian sambungkan titik tangen bulatan ini dengan bulatan yang dibatasi dengan bucu bertentangan, maka garis lurus tersebut akan bersilang pada satu titik. Penjelmaan satah yang sepadan dengan titik asal dengan yang terhasil dipanggil transformasi isocircular. Komposisi konjugat isogonal dan isotomik ialah komposisi transformasi isocircular dengan dirinya sendiri. Komposisi ini ialah penjelmaan unjuran, yang meninggalkan sisi segi tiga di tempatnya, dan mengubah paksi pembahagi dua luaran menjadi garis lurus pada infiniti.

Jika kita memanjangkan sisi segitiga Chevian pada titik tertentu dan mengambil titik persilangannya dengan sisi yang sepadan, maka titik persilangan yang terhasil akan terletak pada satu garis lurus, dipanggil kutub trilinear titik permulaan. Paksi ortosentrik ialah kutub trilinear bagi ortosentrik; kutub tiga linear pusat bulatan bertulis ialah paksi pembahagi dua luar. Kutub trilinear mata yang terletak pada kon yang berbatas pada satu titik (untuk bulatan berbatas ini ialah titik Lemoine, untuk elips Steiner berbatasan itu adalah pusat). Komposisi konjugasi isogonal (atau isotomik) dan kutub trilinear ialah penjelmaan dualiti (jika titik secara isogon (secara isotom) berkonjugat ke titik terletak pada kutub trilinear suatu titik, maka kutub trilinear suatu titik secara isogon (secara isotom) konjugasi ke titik terletak pada kutub trilinear suatu titik).

kiub

Nisbah dalam segi tiga

Nota: dalam bahagian ini, , , ialah panjang tiga sisi segi tiga, dan , , ialah sudut yang terletak masing-masing bertentangan dengan ketiga-tiga sisi ini (sudut bertentangan).

Ketaksamaan segi tiga

Dalam segi tiga tidak merosot, jumlah panjang dua sisinya lebih besar daripada panjang sisi ketiga, dalam segi tiga merosot ia adalah sama. Dengan kata lain, panjang sisi segitiga dikaitkan dengan ketaksamaan berikut:

Ketaksamaan segi tiga ialah salah satu aksiom metrik.

Teorem Jumlah Sudut Segitiga

Teorem sinus

di mana R ialah jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga itu. Ia berikutan daripada teorem bahawa jika a< b < c, то α < β < γ.

Teorem kosinus

Teorem tangen

Nisbah lain

Nisbah metrik dalam segi tiga diberikan untuk:

Menyelesaikan segi tiga

Mengira sisi dan sudut yang tidak diketahui bagi segi tiga berdasarkan yang diketahui secara sejarah telah dipanggil "menyelesaikan segitiga." Teorem trigonometri am di atas digunakan.

Luas segi tiga

Untuk kawasan ketaksamaan berikut adalah sah:

Mengira luas segi tiga dalam ruang menggunakan vektor

Biarkan bucu segi tiga berada pada titik , , .

Mari perkenalkan vektor kawasan . Panjang vektor ini adalah sama dengan luas segi tiga, dan ia diarahkan normal kepada satah segi tiga:

Mari kita tetapkan , di mana , , ialah unjuran segi tiga pada satah koordinat. Pada masa yang sama

dan seumpamanya

Luas segi tiga ialah .

Alternatifnya ialah mengira panjang sisi (menggunakan teorem Pythagoras) dan kemudian menggunakan formula Heron.

Teorem segitiga

Teorem Desargues: jika dua segi tiga adalah perspektif (garisan yang melalui bucu yang sepadan bagi segi tiga bersilang pada satu titik), maka sisi yang sepadan bersilang pada garis yang sama.

Teorem Sonda: jika dua segi tiga adalah perspektif dan ortolog (serenjang dilukis dari bucu satu segi tiga ke sisi bertentangan dengan bucu segitiga yang sepadan, dan sebaliknya), maka kedua-dua pusat ortologi (titik-titik persilangan serenjang ini) dan pusat perspektif terletak pada garis lurus yang sama, berserenjang dengan paksi perspektif (garis lurus dari teorem Desargues).

Poligon termudah yang dipelajari di sekolah ialah segitiga. Ia lebih mudah difahami oleh pelajar dan menghadapi kesukaran yang lebih sedikit. Walaupun fakta bahawa terdapat pelbagai jenis segitiga, yang mempunyai ciri khas.

Apakah bentuk yang dipanggil segitiga?

Dibentuk oleh tiga titik dan segmen. Yang pertama dipanggil bucu, yang kedua dipanggil sisi. Selain itu, ketiga-tiga segmen mesti disambungkan supaya sudut terbentuk di antara mereka. Oleh itu nama angka "segi tiga".

Perbezaan nama di seluruh sudut

Oleh kerana ia boleh menjadi akut, bodoh dan lurus, jenis segitiga ditentukan oleh nama-nama ini. Sehubungan itu, terdapat tiga kumpulan tokoh tersebut.

• Pertama. Jika semua sudut segitiga adalah akut, maka ia akan dipanggil akut. Semuanya logik.

• Kedua. Salah satu sudut adalah tumpul, yang bermaksud segitiga itu tumpul. Ia tidak boleh menjadi lebih mudah.

• Ketiga. Terdapat sudut yang sama dengan 90 darjah, yang dipanggil sudut tegak. Segitiga menjadi segi empat tepat.

Perbezaan nama di sisi

Bergantung pada ciri-ciri sisi, jenis segitiga berikut dibezakan:

kes umum adalah skala, di mana semua sisi adalah panjang sewenang-wenangnya;

isosceles, dua sisi yang mempunyai nilai berangka yang sama;

sama sisi, panjang semua sisinya adalah sama.

Jika masalah tidak menentukan jenis segitiga tertentu, maka anda perlu melukis satu sewenang-wenangnya. Di mana semua sudut tajam, dan sisi mempunyai panjang yang berbeza.

Sifat biasa kepada semua segi tiga

1. Jika anda menjumlahkan semua sudut segitiga, anda mendapat nombor yang sama dengan 180º. Dan tidak kira apa jenisnya. Peraturan ini sentiasa terpakai.
2. Nilai berangka mana-mana sisi segitiga adalah kurang daripada dua yang lain ditambah bersama. Lebih-lebih lagi, ia lebih besar daripada perbezaan mereka.
3. Setiap sudut luar mempunyai nilai yang diperoleh dengan menambah dua sudut dalam yang tidak bersebelahan dengannya. Lebih-lebih lagi, ia sentiasa lebih besar daripada dalaman yang bersebelahan dengannya.
4. Sudut terkecil sentiasa bertentangan dengan sisi segitiga yang lebih kecil. Dan sebaliknya, jika sisinya besar, maka sudutnya akan menjadi yang terbesar.

Sifat ini sentiasa sah, tidak kira jenis segi tiga yang dipertimbangkan dalam masalah. Semua yang lain mengikuti dari ciri-ciri tertentu.

Sifat segi tiga sama kaki

• Sudut yang bersebelahan dengan tapak adalah sama.
• Ketinggian, yang dilukis ke pangkal, juga merupakan median dan pembahagi dua.
• Ketinggian, median dan pembahagi dua, yang dibina pada sisi sisi segi tiga, masing-masing adalah sama antara satu sama lain.

Sifat segi tiga sama sisi

Sekiranya terdapat angka sedemikian, maka semua sifat yang diterangkan sedikit di atas adalah benar. Kerana sama sisi akan sentiasa sama kaki. Tetapi bukan sebaliknya; segitiga sama kaki tidak semestinya sama sisi.

• Semua sudutnya adalah sama antara satu sama lain dan mempunyai nilai 60º.
• Mana-mana median bagi segi tiga sama ialah ketinggian dan pembahagi duanya. Lebih-lebih lagi, mereka semua sama antara satu sama lain. Untuk menentukan nilainya, terdapat formula yang terdiri daripada hasil darab sisi dan punca kuasa dua 3 dibahagikan dengan 2.

Sifat segi tiga tegak

• Dua sudut akut menambah sehingga 90º.
• Panjang hipotenus sentiasa lebih besar daripada mana-mana kaki.
• Nilai berangka median yang dilukis ke hipotenus adalah sama dengan separuhnya.
• Kaki adalah sama dengan nilai yang sama jika ia terletak bertentangan dengan sudut 30º.
• Ketinggian, yang dilukis dari bucu dengan nilai 90º, mempunyai pergantungan matematik tertentu pada kaki: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Di sini: a, b - kaki, n - ketinggian.

Masalah dengan pelbagai jenis segitiga

No 1. Diberi segitiga sama kaki. Perimeternya diketahui dan sama dengan 90 cm Kita perlu mengetahui sisinya. Sebagai syarat tambahan: bahagian sisi adalah 1.2 kali lebih kecil daripada tapak.

Nilai perimeter secara langsung bergantung kepada kuantiti yang perlu dicari. Jumlah ketiga-tiga sisi akan memberikan 90 cm Sekarang anda perlu mengingati tanda segitiga, mengikut mana ia adalah isosceles. Iaitu, kedua-dua pihak adalah sama. Anda boleh mencipta persamaan dengan dua yang tidak diketahui: 2a + b = 90. Di sini a ialah sisi, b ialah tapak.

Kini tiba masanya untuk syarat tambahan. Mengikutinya, persamaan kedua diperolehi: b = 1.2a. Anda boleh menggantikan ungkapan ini kepada yang pertama. Ternyata: 2a + 1.2a = 90. Selepas penjelmaan: 3.2a = 90. Oleh itu a = 28.125 (cm). Kini mudah untuk mengetahui asasnya. Ini paling baik dilakukan dari keadaan kedua: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (cm).

Untuk menyemak, anda boleh menambah tiga nilai: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (cm). betul tu.

Jawapan: Sisi segi tiga ialah 28.125 cm, 28.125 cm, 33.75 cm.

No 2. Sisi segi tiga sama ialah 12 cm Anda perlu mengira ketinggiannya.

Penyelesaian. Untuk mencari jawapannya, sudah cukup untuk kembali ke masa di mana sifat segi tiga diterangkan. Ini ialah formula untuk mencari ketinggian, median dan pembahagi bagi segi tiga sama sisi.

n = a * √3 / 2, dengan n ialah ketinggian dan a ialah sisi.

Penggantian dan pengiraan memberikan keputusan berikut: n = 6 √3 (cm).

Tidak perlu menghafal formula ini. Ia cukup untuk diingat bahawa ketinggian membahagikan segitiga kepada dua segi empat tepat. Lebih-lebih lagi, ia ternyata menjadi kaki, dan hipotenus di dalamnya adalah sisi yang asal, kaki kedua adalah separuh dari sisi yang diketahui. Sekarang anda perlu menulis teorem Pythagoras dan memperoleh formula untuk ketinggian.

Jawapan: tinggi ialah 6 √3 cm.

No 3. Diberi MKR ialah segi tiga, di mana sudut K menjadikan 90 darjah Sisi MR dan KR diketahui, masing-masing sama dengan 30 dan 15 cm. Kita perlu mengetahui nilai sudut P.

Penyelesaian. Jika anda membuat lukisan, ia menjadi jelas bahawa MR ialah hipotenus. Lebih-lebih lagi, ia adalah dua kali lebih besar daripada sisi KR. Sekali lagi anda perlu beralih kepada hartanah. Salah satunya berkaitan dengan sudut. Daripadanya jelas bahawa sudut KMR ialah 30º. Ini bermakna sudut P yang dikehendaki adalah sama dengan 60º. Ini berikutan daripada sifat lain, yang menyatakan bahawa jumlah dua sudut akut mestilah sama dengan 90º.

Jawapan: sudut P ialah 60º.

No 4. Kita perlu mencari semua sudut segi tiga sama kaki. Adalah diketahui bahawa sudut luar dari sudut di pangkalan ialah 110º.

Penyelesaian. Oleh kerana hanya sudut luaran diberikan, inilah yang anda perlu gunakan. Ia membentuk sudut terbentang dengan bahagian dalam. Ini bermakna bahawa secara keseluruhan mereka akan memberikan 180º. Iaitu, sudut di tapak segi tiga akan sama dengan 70º. Oleh kerana ia adalah isosceles, sudut kedua mempunyai nilai yang sama. Ia kekal untuk mengira sudut ketiga. Menurut sifat yang sama dengan semua segi tiga, jumlah sudut ialah 180º. Ini bermakna yang ketiga akan ditakrifkan sebagai 180º - 70º - 70º = 40º.

Jawapan: sudut ialah 70º, 70º, 40º.

No 5. Diketahui bahawa dalam segi tiga sama kaki sudut yang bertentangan dengan tapak ialah 90º. Terdapat satu titik yang ditanda pada pangkalan. Segmen yang menyambungkannya ke sudut tepat membahagikannya dalam nisbah 1 hingga 4. Anda perlu mengetahui semua sudut segitiga yang lebih kecil.

Penyelesaian. Salah satu sudut boleh ditentukan dengan segera. Oleh kerana segi tiga itu bersudut tegak dan sama kaki, yang terletak di tapaknya ialah 45º setiap satu, iaitu 90º/2.

Yang kedua daripada mereka akan membantu anda mencari hubungan yang diketahui dalam keadaan tersebut. Oleh kerana ia bersamaan dengan 1 hingga 4, maka bahagian di mana ia dibahagikan hanya 5. Ini bermakna untuk mengetahui sudut yang lebih kecil bagi segitiga anda memerlukan 90º/5 = 18º. Ia kekal untuk mengetahui yang ketiga. Untuk melakukan ini, anda perlu menolak 45º dan 18º daripada 180º (jumlah semua sudut segitiga). Pengiraan adalah mudah, dan anda mendapat: 117º.

Dua segi tiga dikatakan kongruen jika ia boleh disatukan secara bertindih. Rajah 1 menunjukkan segi tiga sama ABC dan A 1 B 1 C 1. Setiap segi tiga ini boleh ditindih pada satu sama lain supaya ia serasi sepenuhnya, iaitu bucu dan sisinya serasi secara berpasangan. Adalah jelas bahawa sudut segi tiga ini juga akan sepadan secara berpasangan.

Oleh itu, jika dua segi tiga adalah kongruen, maka unsur-unsur (iaitu sisi dan sudut) bagi satu segi tiga masing-masing adalah sama dengan unsur-unsur segitiga yang lain. Perhatikan bahawa dalam segi tiga sama terhadap sisi yang sama sama(iaitu, bertindih apabila ditindih) sudut yang sama terletak dan belakang: Sisi yang sama terletak bertentangan dengan sudut yang sama.

Jadi, sebagai contoh, dalam segi tiga sama ABC dan A 1 B 1 C 1, ditunjukkan dalam Rajah 1, sisi yang sama AB dan A 1 B 1, masing-masing bertentangan, terletak sama sudut C dan C 1. Kami akan menyatakan kesamaan segi tiga ABC dan A 1 B 1 C 1 seperti berikut: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ternyata kesamaan dua segi tiga boleh diwujudkan dengan membandingkan beberapa elemen mereka.

Teorem 1. Tanda pertama kesamaan segi tiga. Jika dua sisi dan sudut di antaranya bagi satu segi tiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut antaranya bagi segi tiga yang lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen (Rajah 2).

Bukti. Pertimbangkan segi tiga ABC dan A 1 B 1 C 1, di mana AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (lihat Rajah 2). Mari kita buktikan bahawa Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Oleh kerana ∠ A = ∠ A 1, maka segi tiga ABC boleh ditindih pada segi tiga A 1 B 1 C 1 supaya bucu A sejajar dengan bucu A 1, dan sisi AB dan AC masing-masing ditindih pada sinar A 1 B 1 dan A 1 C 1. Oleh kerana AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, maka sisi AB akan sejajar dengan sisi A 1 B 1 dan sisi AC akan sejajar dengan sisi A 1 C 1; khususnya, titik B dan B 1, C dan C 1 akan bertepatan. Akibatnya, sisi BC dan B 1 C 1 akan bertepatan. Jadi, segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah serasi sepenuhnya, yang bermaksud ia adalah sama.

Teorem 2 dibuktikan dengan cara yang sama menggunakan kaedah superposisi.

Teorem 2. Tanda kedua kesamaan segi tiga. Jika sisi dan dua sudut bersebelahan bagi satu segi tiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut bersebelahan bagi segitiga lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen (Rajah 34).

Komen. Berdasarkan Teorem 2, Teorem 3 diwujudkan.

Teorem 3. Hasil tambah mana-mana dua sudut pedalaman segitiga adalah kurang daripada 180°.

Teorem 4 mengikuti daripada teorem terakhir.

Teorem 4. Sudut luar bagi segitiga adalah lebih besar daripada mana-mana sudut pedalaman yang tidak bersebelahan dengannya.

Teorem 5. Tanda ketiga kesamaan segi tiga. Jika tiga sisi satu segi tiga masing-masing sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen ().

Contoh 1. Dalam segi tiga ABC dan DEF (Rajah 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Bandingkan segitiga ABC dan DEF. Apakah sudut dalam segi tiga DEF yang sama dengan sudut B?

Penyelesaian. Segitiga ini adalah sama mengikut tanda pertama. Sudut F bagi segi tiga DEF adalah sama dengan sudut B bagi segi tiga ABC, kerana sudut-sudut ini terletak bertentangan dengan sisi DE dan AC yang sama.

Contoh 2. Segmen AB dan CD (Rajah 5) bersilang pada titik O, yang merupakan tengah setiap satu daripadanya. Berapakah panjang ruas BD jika ruas AC ialah 6 m?

Penyelesaian. Segitiga AOC dan BOD adalah sama (mengikut kriteria pertama): ∠ AOC = ∠ BOD (menegak), AO = OB, CO = OD (mengikut keadaan).
Daripada kesamaan segi tiga ini ia menunjukkan bahawa sisi mereka adalah sama, iaitu AC = BD. Tetapi oleh kerana mengikut keadaan AC = 6 m, maka BD = 6 m.