Formula untuk terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Bukti dan contoh penggunaan formula ini. Contoh pengiraan terbitan tertib pertama, kedua dan ketiga.

Derivatif pesanan pertama

Biarkan fungsi dinyatakan secara tersirat menggunakan persamaan
(1) .
Dan biarkan persamaan ini, untuk nilai tertentu, mempunyai penyelesaian yang unik.
.
Biarkan fungsi itu menjadi fungsi boleh beza pada titik , dan
(2) .

Kemudian, pada nilai ini, terdapat derivatif, yang ditentukan oleh formula:

Bukti
.
Untuk membuktikannya, pertimbangkan fungsi sebagai fungsi kompleks pembolehubah:
(3) :
.
Mari kita gunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks dan cari terbitan berkenaan dengan pembolehubah dari sisi kiri dan kanan persamaan
(4) ;
.

Oleh kerana terbitan pemalar ialah sifar dan , maka

Formulanya terbukti.

Derivatif peringkat tinggi
(4) .
Mari kita tulis semula persamaan (4) menggunakan tatatanda yang berbeza:
;
.
Pada masa yang sama, dan merupakan fungsi kompleks pembolehubah:
(1) .

Kebergantungan ditentukan oleh persamaan (1):
Kami mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah dari sisi kiri dan kanan persamaan (4).
;
.
Menurut formula untuk derivatif fungsi kompleks, kita mempunyai:

.
Mengikut formula derivatif produk:


.

Menggunakan formula jumlah terbitan:
(5) .
Oleh kerana terbitan sebelah kanan persamaan (4) adalah sama dengan sifar, maka

Menggantikan terbitan di sini, kita memperoleh nilai terbitan tertib kedua dalam bentuk tersirat.
.
Membezakan persamaan (5) dengan cara yang sama, kita memperoleh persamaan yang mengandungi terbitan tertib ketiga:

Menggantikan di sini nilai yang ditemui bagi derivatif tertib pertama dan kedua, kita dapati nilai derivatif tertib ketiga.

Meneruskan pembezaan, seseorang boleh mencari terbitan mana-mana susunan.

Contoh

Contoh 1
Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi yang diberikan secara tersirat oleh persamaan: .

(P1)

Penyelesaian dengan formula 2
(2) .

Kami mencari derivatif menggunakan formula (2):
.
Mari kita alihkan semua pembolehubah ke sebelah kiri supaya persamaan itu mengambil bentuk .

Dari sini.
;
;
;
.

Kami mendapati terbitan berkenaan dengan , menganggapnya tetap.
;
;
;
.

Kami mencari derivatif berkenaan dengan pembolehubah, dengan mengambil kira pemalar pembolehubah.
.

Menggunakan formula (2) kita dapati:
.
Darabkan pengangka dan penyebut dengan:
.

Penyelesaian cara kedua

Mari kita selesaikan contoh ini dengan cara kedua. Untuk melakukan ini, kita akan mencari terbitan berkenaan dengan pembolehubah sisi kiri dan kanan persamaan asal (A1).

Kami memohon:
.
Kami menggunakan formula pecahan terbitan:
;
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks:
.
Mari kita bezakan persamaan asal (A1).
Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi yang diberikan secara tersirat oleh persamaan: ;
;
.
Kami mendarab dengan dan mengumpulkan istilah.
;
.

Mari kita gantikan (dari persamaan (A1)):
.
Darab dengan:
.

Contoh 2

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi yang diberikan secara tersirat menggunakan persamaan:
(A2.1) .

Kami membezakan persamaan asal berkenaan dengan pembolehubah, memandangkan ia adalah fungsi bagi:
;
.
Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi kompleks.
.

Mari bezakan persamaan asal (A2.1):
;
.
Daripada persamaan asal (A2.1) ia mengikuti bahawa .
.
Mari kita gantikan:
;
Buka kurungan dan kumpulkan ahli: .
(A2.2)
Kami mendapati derivatif tertib pertama: .

(A2.3)
;
;
;
.
Untuk mencari terbitan tertib kedua, kita bezakan persamaan (A2.2).
.
Darab dengan:

;
.
Mari kita gantikan ungkapan untuk terbitan tertib pertama (A2.3):

Dari sini kita dapati derivatif tertib kedua.

Contoh 3
Cari terbitan tertib ketiga bagi fungsi yang diberikan secara tersirat menggunakan persamaan: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Kami membezakan persamaan asal berkenaan dengan pembolehubah, dengan mengandaikan bahawa ia adalah fungsi . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Mari kita bezakan persamaan (A3.2) berkenaan dengan pembolehubah . .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Mari kita bezakan persamaan (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

Daripada persamaan (A3.2), (A3.3) dan (A3.4) kita dapati nilai terbitan pada .
Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat.

Terbitan bagi fungsi yang ditentukan secara parametrik Dalam artikel ini kita akan melihat dua lagi tugas biasa yang sering dijumpai ujian Oleh matematik yang lebih tinggi . Untuk berjaya menguasai bahan, anda mesti dapat mencari derivatif sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Anda boleh belajar mencari derivatif secara praktikal dari awal dalam dua pelajaran asas dan Terbitan fungsi kompleks

. Jika kemahiran pembezaan anda okey, maka mari pergi.

Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat

Atau, secara ringkasnya, terbitan bagi fungsi tersirat. Apakah fungsi tersirat? Mari kita ingat dahulu definisi fungsi satu pembolehubah: Fungsi pembolehubah tunggal

ialah peraturan mengikut mana setiap nilai pembolehubah bebas sepadan dengan satu dan hanya satu nilai fungsi. Pembolehubah dipanggil pembolehubah bebas atau.
hujah Pembolehubah dipanggil pembolehubah bebas pembolehubah bersandar .

fungsi Setakat ini kita telah melihat fungsi yang ditakrifkan dalam eksplisit

bentuk. Apakah maksudnya? Mari kita jalankan taklimat menggunakan contoh khusus.

Pertimbangkan fungsinya Kami melihat bahawa di sebelah kiri kami mempunyai "pemain" tunggal, dan di sebelah kanan -. Iaitu, fungsi secara eksplisit dinyatakan melalui pembolehubah bebas.

Mari lihat fungsi lain:

Di sinilah pembolehubah bercampur-campur. Lebih-lebih lagi mustahil dengan apa cara sekalipun nyatakan "Y" hanya melalui "X". Apakah kaedah ini? Memindahkan istilah dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda, mengalihkannya keluar dari kurungan, membaling faktor mengikut peraturan perkadaran, dsb. Tulis semula kesamaan dan cuba nyatakan "y" secara eksplisit: . Anda boleh memutar dan memutar persamaan selama berjam-jam, tetapi anda tidak akan berjaya.

Izinkan saya memperkenalkan anda: – contoh fungsi tersirat.

Dalam perjalanan analisis matematik terbukti bahawa fungsi tersirat wujud(namun, tidak selalu), ia mempunyai graf (sama seperti fungsi "biasa"). Fungsi tersirat adalah sama wujud terbitan pertama, terbitan kedua, dsb. Seperti yang mereka katakan, semua hak minoriti seksual dihormati.

Dan dalam pelajaran ini kita akan belajar cara mencari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Ia tidak begitu sukar! Semua peraturan pembezaan, jadual terbitan fungsi asas kekal berkuat kuasa. Perbezaannya adalah dalam satu titik pelik, yang akan kita lihat sekarang.

Ya, dan saya akan memberitahu anda berita baik - tugas yang dibincangkan di bawah dilakukan mengikut algoritma yang agak ketat dan jelas tanpa batu di hadapan tiga trek.

Contoh 1

1) Pada peringkat pertama, kami melampirkan strok pada kedua-dua bahagian:

2) Kami menggunakan peraturan lineariti terbitan (dua peraturan pertama pelajaran Bagaimana untuk mencari derivatif? Contoh penyelesaian):

3) Pembezaan langsung.
Cara membezakan adalah jelas. Apa yang perlu dilakukan jika terdapat "permainan" di bawah pukulan?

- hanya ke tahap yang memalukan, terbitan bagi suatu fungsi adalah sama dengan terbitannya: .

Bagaimana untuk membezakan
Di sini kita ada fungsi kompleks. kenapa? Nampaknya di bawah sinus hanya terdapat satu huruf "Y". Tetapi hakikatnya hanya ada satu huruf "y" - ADAKAH SENDIRI SATU FUNGSI(lihat definisi pada permulaan pelajaran). Oleh itu, sinus ialah fungsi luaran dan merupakan fungsi dalaman. Kami menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks :

Kami membezakan produk mengikut peraturan biasa :

Sila ambil perhatian bahawa – juga merupakan fungsi yang kompleks, sebarang "permainan dengan loceng dan wisel" adalah fungsi yang kompleks:

Penyelesaian itu sendiri sepatutnya kelihatan seperti ini:


Jika terdapat kurungan, kemudian kembangkannya:

4) Di sebelah kiri kami mengumpul istilah yang mengandungi "Y" dengan perdana. Pindahkan semua yang lain ke sebelah kanan:

5) Di sebelah kiri kita mengambil terbitan daripada kurungan:

6) Dan mengikut peraturan perkadaran, kami menjatuhkan kurungan ini ke dalam penyebut di sebelah kanan:

Derivatif telah dijumpai. sedia.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa mana-mana fungsi boleh ditulis semula secara tersirat. Sebagai contoh, fungsi boleh ditulis semula seperti ini: . Dan membezakannya menggunakan algoritma yang baru dibincangkan. Malah, frasa "fungsi tersirat" dan "fungsi tersirat" berbeza dalam satu nuansa semantik. Frasa "fungsi yang dinyatakan secara tersirat" adalah lebih umum dan betul, – fungsi ini dinyatakan secara tersirat, tetapi di sini anda boleh menyatakan "permainan" dan mempersembahkan fungsi secara eksplisit. Perkataan "fungsi tersirat" lebih kerap bermaksud fungsi tersirat "klasik", apabila "permainan" tidak dapat dinyatakan.

Perlu diingatkan juga bahawa "persamaan tersirat" boleh menentukan secara tersirat dua atau lebih fungsi sekali gus, contohnya, persamaan bulatan secara tersirat mentakrifkan fungsi , , yang mentakrifkan separuh bulatan Tetapi, dalam rangka artikel ini, kita tidak akan membuat perbezaan khas antara istilah dan nuansa, ia hanya maklumat untuk pembangunan umum.

Penyelesaian kedua

Perhatian! Anda boleh membiasakan diri dengan kaedah kedua hanya jika anda tahu cara mencari dengan yakin terbitan separa. Pemula untuk belajar analisis matematik dan teko tolong jangan baca dan langkau perkara ini, jika tidak, kepala anda akan menjadi kucar-kacir.

Mari cari terbitan bagi fungsi tersirat menggunakan kaedah kedua.

Kami memindahkan semua istilah ke sebelah kiri:

Dan pertimbangkan fungsi dua pembolehubah:

Kemudian derivatif kami boleh didapati menggunakan formula
Mari cari derivatif separa:

Oleh itu:

Penyelesaian kedua membolehkan anda melakukan pemeriksaan. Tetapi adalah tidak digalakkan bagi mereka untuk menulis versi akhir tugasan, kerana terbitan separa dikuasai kemudian, dan pelajar yang mempelajari topik "Terbitan fungsi satu pembolehubah" seharusnya belum mengetahui terbitan separa.

Mari lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Tambahkan pukulan pada kedua-dua bahagian:

Kami menggunakan peraturan lineariti:

Mencari derivatif:

Membuka semua kurungan:

Kami memindahkan semua istilah dengan ke sebelah kiri, selebihnya ke sebelah kanan:

Jawapan akhir:

Contoh 3

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran.

Tidak jarang pecahan timbul selepas pembezaan. Dalam kes sedemikian, anda perlu menyingkirkan pecahan. Mari kita lihat dua lagi contoh.

Contoh 4

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Kami melampirkan kedua-dua bahagian di bawah pukulan dan menggunakan peraturan kelinearan:

Bezakan menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks dan peraturan pembezaan hasil bagi :

Memperluas kurungan:

Sekarang kita perlu menyingkirkan pecahan itu. Ini boleh dilakukan kemudian, tetapi adalah lebih rasional untuk melakukannya dengan segera. Penyebut pecahan itu mengandungi . gandakan pada . Secara terperinci, ia akan kelihatan seperti ini:

Kadang-kadang selepas pembezaan 2-3 pecahan muncul. Jika kita mempunyai pecahan lain, sebagai contoh, maka operasi itu perlu diulang - darab setiap sebutan bagi setiap bahagian pada

Di sebelah kiri kami meletakkannya daripada kurungan:

Jawapan akhir:

Contoh 5

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Satu-satunya perkara ialah sebelum anda menyingkirkan pecahan itu, anda perlu terlebih dahulu menyingkirkan struktur tiga tingkat pecahan itu sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

Jangan tekankan, segala-galanya dalam perenggan ini juga agak mudah. Anda boleh menulis formula umum fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, tetapi, untuk menjelaskannya, saya akan segera menulis contoh konkrit. Dalam bentuk parametrik, fungsi diberikan oleh dua persamaan: . Selalunya persamaan ditulis bukan di bawah kurungan kerinting, tetapi secara berurutan: , .

Pembolehubah dipanggil parameter dan boleh mengambil nilai daripada "tolak infiniti" kepada "tambah infiniti". Pertimbangkan, sebagai contoh, nilai dan gantikannya ke dalam kedua-dua persamaan: . Atau dalam istilah manusia: "jika x sama dengan empat, maka y sama dengan satu." Anda boleh menandakan titik pada satah koordinat, dan titik ini akan sepadan dengan nilai parameter. Begitu juga, anda boleh mencari titik untuk sebarang nilai parameter "te". Bagi fungsi "biasa", bagi orang India Amerika bagi fungsi yang ditentukan secara parametrik, semua hak juga dihormati: anda boleh membina graf, mencari derivatif, dsb. Dengan cara ini, jika anda perlu memplot graf fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, anda boleh menggunakan program saya.

Dalam kes yang paling mudah, adalah mungkin untuk mewakili fungsi secara eksplisit. Mari kita nyatakan parameter: – daripada persamaan pertama dan gantikannya ke persamaan kedua: . Hasilnya ialah fungsi padu biasa.

Dalam kes yang lebih "teruk", helah ini tidak berfungsi. Tetapi tidak mengapa, kerana terdapat formula untuk mencari derivatif fungsi parametrik:

Kami mencari terbitan "permainan berkenaan dengan pembolehubah te":

Semua peraturan pembezaan dan jadual terbitan adalah sah, secara semula jadi, untuk huruf , oleh itu, tiada kebaharuan dalam proses mencari derivatif. Hanya gantikan semua "X" dalam jadual dengan huruf "Te".

Kami mencari terbitan "x berkenaan dengan pembolehubah te":

Sekarang yang tinggal hanyalah untuk menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam formula kami:

sedia. Derivatif, seperti fungsi itu sendiri, juga bergantung pada parameter.

Bagi tatatanda, bukannya menulisnya dalam formula, seseorang hanya boleh menulisnya tanpa subskrip, kerana ini adalah terbitan "biasa" "berkenaan dengan X". Tetapi dalam kesusasteraan sentiasa ada pilihan, jadi saya tidak akan menyimpang dari standard.

Contoh 6

Kami menggunakan formula

DALAM dalam kes ini:

Oleh itu:

Satu ciri khas mencari terbitan bagi fungsi parametrik ialah hakikat bahawa pada setiap langkah adalah berfaedah untuk memudahkan hasilnya sebanyak mungkin. Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, apabila saya menemuinya, saya membuka kurungan di bawah akar (walaupun saya mungkin tidak melakukan ini). Terdapat kemungkinan besar apabila menggantikan formula, banyak perkara akan dikurangkan dengan baik. Walaupun, sudah tentu, terdapat contoh dengan jawapan yang kekok.

Contoh 7

Cari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara parametrik

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Dalam artikel Masalah biasa yang paling mudah dengan derivatif kami melihat contoh di mana kami perlu mencari terbitan kedua bagi sesuatu fungsi. Untuk fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, anda juga boleh mencari terbitan kedua, dan ia didapati menggunakan formula berikut: . Agak jelas bahawa untuk mencari derivatif kedua, anda mesti mencari derivatif pertama dahulu.

Contoh 8

Cari terbitan pertama dan kedua bagi fungsi yang diberi secara parametrik

Mula-mula, mari cari derivatif pertama.
Kami menggunakan formula

Dalam kes ini:

Fungsi Z= f(x; y) dipanggil tersirat jika ia diberikan oleh persamaan F(x,y,z)=0 tidak diselesaikan berkenaan dengan Z. Mari kita cari terbitan separa bagi fungsi Z yang diberikan secara tersirat. Untuk melakukan ini, menggantikan fungsi f(x;y) ke dalam persamaan dan bukannya Z, kita memperoleh identiti F(x,y, f(x,y))=0. Terbitan separa fungsi yang sama dengan sifar berkenaan dengan x dan y juga sama dengan sifar.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (dianggap malar)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xdianggap pemalar)

di mana
Dan

Contoh: Cari terbitan separa bagi fungsi Z yang diberikan oleh persamaan
.

Di sini F(x,y,z)=
;
;
;
. Menurut formula yang diberikan di atas kita mempunyai:

Dan

1. Terbitan arah

Biarkan fungsi dua pembolehubah Z= f(x; y) diberikan dalam kejiranan tertentu titik M (x,y). Pertimbangkan beberapa arah yang ditakrifkan oleh vektor unit
, Di mana
(lihat gambar).

Pada garis lurus yang melalui arah ini melalui titik M, kita ambil titik M 1 (
) supaya panjang
segmenMM 1 adalah sama dengan
. Kenaikan fungsi f(M) ditentukan oleh hubungan, di mana
dihubungkan oleh perhubungan. Had nisbah di
akan dipanggil terbitan bagi fungsi tersebut
pada titik
dalam arah dan ditetapkan .

=

Jika fungsi Z boleh dibezakan pada titik
, maka kenaikannya pada ketika ini dengan mengambil kira hubungan untuk
boleh ditulis dalam bentuk berikut.

membahagikan kedua-dua bahagian dengan

dan melepasi had di
kita memperoleh formula untuk terbitan fungsi Z= f(x; y) dalam arah:

1. Kecerunan

Pertimbangkan fungsi tiga pembolehubah
boleh dibezakan pada satu ketika
.

Kecerunan fungsi ini
pada titik M ialah vektor yang koordinatnya masing-masing sama dengan terbitan separa
pada ketika ini. Untuk menunjukkan kecerunan, gunakan simbol
.
=
.

.Kecerunan menunjukkan arah pertumbuhan terpantas fungsi pada titik tertentu.

Sejak vektor unit mempunyai koordinat (
), maka terbitan arah bagi kes fungsi tiga pembolehubah ditulis dalam bentuk, i.e. mempunyai formula hasil darab skalar bagi vektor Dan
. Mari kita tulis semula formula terakhir seperti berikut:

, Di mana - sudut antara vektor Dan
. Kerana
, maka ia berikutan bahawa terbitan fungsi dalam arah mengambil nilai maks pada =0, i.e. apabila arah vektor Dan
perlawanan. Pada masa yang sama
Iaitu, sebenarnya, kecerunan fungsi mencirikan arah dan magnitud kadar maksimum peningkatan fungsi ini pada satu titik.

1. Ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah

Konsep maks, min, ekstrem bagi fungsi dua pembolehubah adalah serupa dengan konsep yang sepadan bagi fungsi satu pembolehubah. Biarkan fungsi Z= f(x; y) ditakrifkan dalam beberapa domain D, dsb. M
tergolong dalam kawasan ini. Titik M
dipanggil titik maks bagi fungsi Z= f(x; y) jika terdapat δ-kejiranan titik tersebut
, bahawa untuk setiap titik dari kejiranan ini ketidaksamaan
. Titik min ditentukan dengan cara yang sama, hanya tanda ketaksamaan akan berubah
. Nilai fungsi pada titik max(min) dipanggil maksimum (minimum). Maksimum dan minimum fungsi dipanggil extrema.

1. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ekstrem

Teorem:(Syarat yang diperlukan untuk ekstrem). Jika pada titik M
fungsi boleh beza Z= f(x; y) mempunyai ekstrem, maka terbitan separanya pada titik ini adalah sama dengan sifar:
,
.

Bukti: Setelah membetulkan salah satu pembolehubah x atau y, kita menukar Z = f(x; y) menjadi fungsi satu pembolehubah, yang ekstremnya syarat di atas mesti dipenuhi. Kesamaan geometri
Dan
bermakna pada titik ekstrem fungsi Z= f(x; y), satah tangen ke permukaan yang mewakili fungsi f(x,y)=Z adalah selari dengan satah OXY, kerana persamaan satah tangen ialah Z = Z 0. Titik di mana terbitan separa tertib pertama bagi fungsi Z = f (x; y) adalah sama dengan sifar, i.e.
,
, dipanggil titik pegun fungsi. Fungsi boleh mempunyai ekstrem pada titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud. ContohnyaZ=|-
| mempunyai maks pada titik O(0,0), tetapi tidak mempunyai derivatif pada ketika ini.

Titik pegun dan titik di mana sekurang-kurangnya satu terbitan separa tidak wujud dipanggil titik kritikal. Pada titik kritikal, fungsi mungkin mempunyai ekstrem atau tidak. Kesamaan derivatif separa kepada sifar adalah syarat yang perlu tetapi tidak mencukupi untuk kewujudan ekstrem. Contohnya, apabila Z=xy, titik O(0,0) adalah kritikal. Walau bagaimanapun, fungsi Z=xy tidak mempunyai ekstrem di dalamnya. (Kerana dalam suku I dan III Z>0, dan dalam suku II dan IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorem: (Keadaan yang mencukupi untuk extrema). Biarkan pada titik pegun
dan dalam kejiranan tertentu fungsi f(x; y) mempunyai terbitan separa berterusan sehingga termasuk urutan ke-2. Mari kita mengira pada titik
nilai
,
Dan
. Mari kita nyatakan

Dalam kes
, melampau pada titik
boleh jadi atau tidak. Lebih banyak penyelidikan diperlukan.

Atau secara ringkasnya - terbitan bagi fungsi tersirat. Apakah fungsi tersirat? Memandangkan pelajaran saya praktikal, saya cuba mengelakkan definisi dan teorem, tetapi adalah sesuai untuk melakukannya di sini. Apakah fungsi itu?

Fungsi pembolehubah tunggal ialah peraturan yang menyatakan bahawa bagi setiap nilai pembolehubah bebas terdapat satu dan hanya satu nilai fungsi.

ialah peraturan mengikut mana setiap nilai pembolehubah bebas sepadan dengan satu dan hanya satu nilai fungsi. Pembolehubah dipanggil pembolehubah bebas atau.
Pembolehubah dipanggil Pembolehubah dipanggil pembolehubah bebas pembolehubah bersandar.

Secara kasarnya, huruf "Y" dalam kes ini adalah fungsi.

fungsi Setakat ini kita telah melihat fungsi yang ditakrifkan dalam eksplisit

bentuk. Apakah maksudnya? Mari kita jalankan taklimat menggunakan contoh khusus.

Kami melihat bahawa di sebelah kiri kami mempunyai "permainan" tunggal (fungsi), dan di sebelah kanan - Kami melihat bahawa di sebelah kiri kami mempunyai "pemain" tunggal, dan di sebelah kanan -. Iaitu, fungsi secara eksplisit dinyatakan melalui pembolehubah bebas.

Mari lihat fungsi lain:

Di sinilah pembolehubah bercampur-campur. Lebih-lebih lagi mustahil dengan apa cara sekalipun nyatakan "Y" hanya melalui "X". Apakah kaedah ini? Memindahkan istilah dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda, mengalihkannya keluar dari kurungan, membaling faktor mengikut peraturan perkadaran, dsb. Tulis semula kesamaan dan cuba nyatakan "y" secara eksplisit: . Anda boleh memutar dan memutar persamaan selama berjam-jam, tetapi anda tidak akan berjaya.

Izinkan saya memperkenalkan anda: - contoh fungsi tersirat.

Dalam perjalanan analisis matematik terbukti bahawa fungsi tersirat wujud(namun, tidak selalu), ia mempunyai graf (sama seperti fungsi "biasa"). Fungsi tersirat adalah sama wujud terbitan pertama, terbitan kedua, dsb. Seperti yang mereka katakan, semua hak minoriti seksual dihormati.

Dan dalam pelajaran ini kita akan belajar cara mencari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Ia tidak begitu sukar! Semua peraturan pembezaan dan jadual terbitan bagi fungsi asas kekal berkuat kuasa. Perbezaannya adalah dalam satu titik pelik, yang akan kita lihat sekarang.

Ya, dan saya akan memberitahu anda berita baik - tugas yang dibincangkan di bawah dilakukan mengikut algoritma yang agak ketat dan jelas tanpa batu di hadapan tiga trek.

Contoh 1

1) Pada peringkat pertama, kami melampirkan strok pada kedua-dua bahagian:

2) Kami menggunakan peraturan lineariti terbitan (dua peraturan pertama pelajaran Bagaimana untuk mencari derivatif? Contoh penyelesaian):

3) Pembezaan langsung.
Cara membezakan adalah jelas. Apa yang perlu dilakukan jika terdapat "permainan" di bawah pukulan?

Sampai ke tahap mengaibkan sahaja terbitan bagi suatu fungsi adalah sama dengan terbitannya: .

Bagaimana untuk membezakan

Di sini kita ada fungsi kompleks. kenapa? Nampaknya di bawah sinus hanya terdapat satu huruf "Y". Tetapi hakikatnya hanya ada satu huruf "y" - ADAKAH SENDIRI SATU FUNGSI(lihat definisi pada permulaan pelajaran). Oleh itu, sinus ialah fungsi luaran dan merupakan fungsi dalaman. Kami menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks:

Kami membezakan produk mengikut peraturan biasa:

Sila ambil perhatian bahawa - juga merupakan fungsi yang kompleks, sebarang "permainan dengan loceng dan wisel" adalah fungsi yang kompleks:

Penyelesaian itu sendiri sepatutnya kelihatan seperti ini:

Jika terdapat kurungan, kemudian kembangkannya:

4) Di sebelah kiri kami mengumpul istilah yang mengandungi "Y" dengan perdana. Pindahkan semua yang lain ke sebelah kanan:

5) Di sebelah kiri kita mengambil terbitan daripada kurungan:

6) Dan mengikut peraturan perkadaran, kami menjatuhkan kurungan ini ke dalam penyebut di sebelah kanan:

Derivatif telah dijumpai. sedia.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa mana-mana fungsi boleh ditulis semula secara tersirat. Sebagai contoh, fungsi boleh ditulis semula seperti ini: . Dan membezakannya menggunakan algoritma yang baru dibincangkan. Malah, frasa "fungsi tersirat" dan "fungsi tersirat" berbeza dalam satu nuansa semantik. Frasa "fungsi yang dinyatakan dalam bentuk tersirat" adalah lebih umum dan betul - fungsi ini dinyatakan dalam bentuk tersirat, tetapi di sini anda boleh menyatakan "permainan" dan mewakili fungsi secara eksplisit. Frasa "fungsi tersirat" merujuk kepada fungsi tersirat "klasik" apabila "y" tidak dapat dinyatakan.

Penyelesaian kedua

Perhatian! Anda boleh membiasakan diri dengan kaedah kedua hanya jika anda tahu cara mencari derivatif separa dengan yakin. Pemula dan pemula dalam mengkaji analisis matematik, sila jangan baca dan langkau perkara ini, jika tidak, kepala anda akan menjadi kucar-kacir.

Mari cari terbitan bagi fungsi tersirat menggunakan kaedah kedua.

Kami memindahkan semua istilah ke sebelah kiri:

Dan pertimbangkan fungsi dua pembolehubah:

Kemudian derivatif kami boleh didapati menggunakan formula

Mari cari derivatif separa:

Oleh itu:

Penyelesaian kedua membolehkan anda melakukan pemeriksaan. Tetapi adalah tidak digalakkan bagi mereka untuk menulis versi akhir tugasan, kerana terbitan separa dikuasai kemudian, dan pelajar yang mempelajari topik "Terbitan fungsi satu pembolehubah" seharusnya belum mengetahui terbitan separa.

Mari lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Tambahkan pukulan pada kedua-dua bahagian:

Kami menggunakan peraturan lineariti:

Mencari derivatif:

Membuka semua kurungan:

Kami memindahkan semua istilah dengan ke sebelah kiri, selebihnya - ke sebelah kanan:

Di sebelah kiri kami meletakkannya daripada kurungan:

Jawapan akhir:

Contoh 3

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran.

Tidak jarang pecahan timbul selepas pembezaan. Dalam kes sedemikian, anda perlu menyingkirkan pecahan. Mari kita lihat dua lagi contoh: setiap istilah bagi setiap bahagian

Contoh 5

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Satu-satunya perkara ialah sebelum anda menyingkirkan pecahan itu, anda perlu terlebih dahulu menyingkirkan struktur tiga tingkat pecahan itu sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.