Polyhedra. Jenis polyhedra dan sifatnya. Jasad geometri bermuka Jasad geometri yang terdiri daripada 6 muka dipanggil

Rumah

pokok

Bahagian: Teknologi

Objektif pelajaran:

menyatukan pengetahuan tentang badan geometri, kemahiran dalam membina lukisan polyhedra;
membangunkan konsep spatial dan pemikiran spatial;
untuk membentuk budaya grafik.

Jenis pelajaran: digabungkan.

Peralatan pelajaran: papan putih interaktif MIMIO, projektor multimedia, komputer, projek mimo untuk papan putih interaktif, persembahan multimedia, program Compass-3D LT.

KEMAJUAN PELAJARAN

I. Detik organisasi

1. Salam;

2. Menyemak kehadiran pelajar;

3. Menyemak kesediaan untuk pelajaran;

4. Mengisi jurnal kelas (dan elektronik)

II. Pengulangan bahan yang telah dipelajari sebelumnya

Projek mimo dibuka pada papan putih interaktif

Lembaran 1. Dalam pelajaran matematik anda mempelajari jasad geometri. Anda melihat beberapa badan pada skrin. Mari kita ingat nama mereka. Pelajar memberi nama kepada badan geometri jika ada kesukaran, saya bantu. (Gamb. 1).

1 – prisma segi empat
2 – kon terpenggal
3 – prisma segi tiga
4 – silinder
5 – prisma heksagon
6 – kon
7 - kubus
8 – piramid heksagon terpotong

Lembaran 4. Tugasan 2. Diberi jasad geometri dan nama jasad geometri. Kami memanggil pelajar ke papan dan bersama-sama dengannya kami menyeret polyhedra dan badan revolusi di bawah nama, dan kemudian menyeret nama badan geometri (Rajah 2).

Kami membuat kesimpulan bahawa semua badan dibahagikan kepada polyhedra dan badan putaran.

Kami menghidupkan persembahan "Badan geometri" ( Permohonan ). Persembahan mengandungi 17 slaid. Anda boleh menggunakan pembentangan dalam beberapa pelajaran; ia mengandungi bahan tambahan (slaid 14-17). Dari slaid 8 terdapat hiperpautan ke Persembahan 2 (pembangunan kiub). Persembahan 2 mengandungi 1 slaid, yang menunjukkan 11 perkembangan kiub (ia adalah pautan ke video). Pelajaran menggunakan papan interaktif MIMIO, dan pelajar juga bekerja pada komputer (melakukan kerja amali).

Slaid 2. Semua jasad geometri dibahagikan kepada polyhedra dan jasad revolusi. Polyhedra: prisma dan piramid. Badan revolusi: silinder, kon, bola, torus. Pelajar melukis gambar rajah dalam buku kerja mereka.

III. Penjelasan bahan baru

Slaid 3. Pertimbangkan piramid. Mari kita tuliskan definisi piramid. Bahagian atas piramid ialah bahagian atas biasa bagi semua muka, dilambangkan dengan huruf S. Ketinggian piramid ialah serenjang yang dijatuhkan dari bahagian atas piramid (Rajah 3).

Slaid 4. Piramid yang betul. Jika tapak piramid ialah poligon sekata, dan ketinggian jatuh ke tengah tapak, maka piramid itu sekata.
Dalam piramid biasa, semua tepi sisi adalah sama, semua muka sisi adalah sama segitiga sama kaki.
Ketinggian segi tiga muka sisi piramid sekata dipanggil - apotema piramid biasa.

Slaid 5. Animasi pembinaan piramid heksagon biasa dengan penetapan elemen utamanya (Rajah 4).

Slaid 6. Kami menulis definisi prisma dalam buku nota. Prisma ialah polihedron yang mempunyai dua tapak (sama, poligon selari), dan muka sisi ialah segiempat selari. Prisma boleh berbentuk segi empat, pentagonal, heksagon, dll. Sebuah prisma dinamakan sempena bentuk di tapaknya. Animasi pembinaan prisma heksagon biasa dengan penetapan elemen utamanya (Rajah 5).

Slaid 7. Prisma sekata ialah prisma lurus dengan poligon sekata di tapaknya. Parallelepiped ialah prisma segi empat sekata (Rajah 6).

Slaid 8. Kubus ialah selari, semua mukanya adalah segi empat sama (Rajah 7).

(Bahan tambahan: pada slaid terdapat hiperpautan ke persembahan dengan perkembangan kiub, 11 perkembangan berbeza secara keseluruhan).
Slaid 9. Mari kita tuliskan definisi silinder Badan putaran ialah silinder yang dibentuk dengan memutarkan segi empat tepat mengelilingi paksi yang melalui salah satu sisinya. Animasi menerima silinder (Rajah 8).

Slaid 10. Kon ialah badan putaran yang dibentuk oleh putaran segi tiga tepat mengelilingi paksi yang melalui salah satu kakinya (Rajah 9).

Slaid 11. Kon terpenggal ialah badan putaran yang dibentuk oleh putaran trapezoid segi empat tepat mengelilingi paksi yang melalui ketinggiannya (Rajah 10).

Slaid 12. Bola ialah badan revolusi yang dibentuk oleh putaran bulatan mengelilingi paksi yang melalui diameternya (Rajah 11).

Slaid 13. Torus ialah jasad putaran yang dibentuk oleh putaran bulatan mengelilingi paksi yang selari dengan diameter bulatan (Rajah 12).

Pelajar menulis definisi pepejal geometri dalam buku nota mereka.

IV. Kerja amali "Membina lukisan prisma biasa"

Beralih kepada projek mimio

Lembaran 7. Sebuah prisma sekata segi tiga diberi. Tapaknya ialah segi tiga sekata. Tinggi prisma = 70 mm dan sisi tapak = 40 mm. Kami memeriksa prisma (arah pandangan utama ditunjukkan oleh anak panah), tentukan angka rata yang akan kita lihat di pandangan hadapan, atas dan kiri. Kami mengeluarkan imej pandangan dan meletakkannya pada medan lukisan (Gamb. 13).

Pelajar secara bebas melukis prisma heksagon biasa dalam program 3D Kompas. Dimensi prisma: ketinggian – 60 mm, diameter bulatan berhad di sekeliling tapak – 50 mm.
Pembinaan lukisan dari pandangan atas (Gamb. 14).

Kemudian pandangan hadapan dibina (Rajah 15).

Kemudian pandangan kiri dibina dan dimensi digunakan (Rajah 16).

Kerja disemak dan disimpan pada komputer oleh pelajar.

V. Bahan tambahan mengenai topik

Slaid 14. Piramid terpotong biasa (Gamb. 17).

Slaid 15. Piramid yang dipotong oleh satah condong (Rajah 18).

Slaid 16. Pembangunan piramid segi tiga biasa (Rajah 19).

Slaid 17. Pembangunan paip selari (Rajah 20).

BADAN GEOMETRI, PERMUKAAN DAN VOLUMNYA

BADAN GEOMETRI. POLYHEDRON

Definisi: Penyatuan kawasan ruang terhad dan sempadannya dipanggil badan geometri.

Sempadan ialah permukaan jasad geometri.

Kawasan ruang ialah kawasan dalaman badan geometri.

Definisi: Polihedron ialah jasad geometri yang permukaannya ialah bilangan poligon terhingga setiap sisi mana-mana poligon ialah sisi dua dan hanya dua muka yang tidak terletak dalam satah yang sama. Poligon ialah muka polihedron.

Bucu dan sisi muka ialah bucu dan tepi polihedron.

Polyhedra dikelaskan mengikut bilangan muka: tetrahedron(tetrahedron), pentahedron(pentahedron), heksaedron(heksagon), oktahedron(oktahedron), dodecahedron(dodecahedron), ikosahedron(dua puluh segi).

Definisi: pepenjuru polihedron ialah satu ruas yang menyambungkan dua bucu yang tidak mempunyai muka yang sama.

PRISMA. PAIP SELARI

Definisi: Suatu polihedron, dua daripadanya mukanya ialah poligon kepunyaan satah selari, dan muka selebihnya ialah segiempat selari, dipanggil prisma. Poligon kepunyaan satah selari ialah tapak prisma. Paralelogram ialah muka sisi bagi prisma.

Sisi segi empat selari yang menghubungkan bucu yang sepadan bagi tapak prisma ialah tepi sisi prisma itu.

A 1 A 2 ...A p V 1 V 2 ...V p – prisma n-gonal;

A 1 A 2 ...A p; V 1 V 2…V p – tapak prisma n-gonal;

A 1 B 1 B 2 A 2 ; ...; A 1 B 1 B p A p – muka sisi prisma n-gonal;

A 1 B 1; A 2 B 2; ... ; A p B p – tepi sisi prisma n-gonal.

Hartanah:

Tapak prisma adalah sama dan selari.

Tepi sisi prisma adalah sama dan selari.

Definisi: Prisma dipanggil lurus jika tepi sisinya berserenjang dengan tapak (Rajah 1.), jika tidak prisma dipanggil condong (Rajah 2.).

Rajah.1. nasi. 2. Rajah.3.

Prisma dipanggil segi tiga, segi empat, pentagon, ... bergantung pada poligon yang terletak pada tapaknya.

Definisi: Serenjang dilukis daripada mana - atau titik satu tapak ke satah tapak yang lain dipanggil ketinggian prisma (Rajah 3.).

B 1 J^ A 1 A 2 A 3; O 1 O 2^A 1 A 2 A 3;

B 1 M = O 1 O 2 = h – ketinggian prisma.

Komen: Ketinggian prisma lurus adalah sama dengan tepi sisinya .

Definisi: Prisma tegak dipanggil sekata jika tapaknya ialah poligon sekata.

Komen: Muka sisi bagi prisma sekata ialah segi empat sama.

Rujukan:

1. Segi empat biasa ialah segi empat sama;

2. Segitiga biasa - segi tiga sama;

3. Heksagon biasa.

Definisi: Prisma yang tapaknya ialah segi empat selari dipanggil selari (Rajah 1.).

Definisi: Parallelepiped kanan ialah parallelepiped yang tepi sisinya berserenjang dengan tapak (Rajah 2.).

Hartanah:

Muka bertentangan dengan selari adalah sama dan selari.
Pepenjuru bagi sebuah selari bersilang dan dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan.
Dalam paip selari segi empat tepat, kuasa dua mana-mana pepenjuru adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dimensi linearnya. .d 2 = a 2 + b 2 + c 2
Diagonal bagi segiempat selari adalah sama.

Senaman:

Tentukan pepenjuru bagi segiempat selari daripada ukurannya:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

Rujukan: Hasil tambah kuasa dua pepenjuru segi empat selari adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua semua sisinya.

Dalam paip selari kanan, sisi tapak ialah 5 cm dan 3 cm, dan salah satu pepenjuru ialah 4 cm Cari pepenjuru yang lebih besar bagi paip selari, dengan mengetahui bahawa pepenjuru yang lebih kecil membentuk sudut 60° dengan satah. asas.
Dalam prisma segi empat sekata, luas tapak ialah 144 cm 2 dan tingginya ialah 14 cm. Tentukan pepenjuru prisma ini.

PERMUKAAN PRISMA

Definisi: Jumlah luas permukaan prisma ialah jumlah luas semua mukanya.

Definisi: Luas permukaan sisi prisma ialah jumlah luas muka sisinya.

Definisi: Keratan serenjang prisma ialah poligon yang diperoleh dengan memotong prisma dengan satah berserenjang dengan tepinya.

Teorem: Luas permukaan sisi prisma adalah sama dengan hasil darab tepi sisi dan perimeter bahagian serenjang.

Diberi:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – prisma;

A A 1 = l;

l^ KLMNP;

P^= P(KLMNP)

Buktikan:

Akibat: Luas permukaan sisi prisma lurus adalah sama dengan hasil darab perimeter tapaknya dan ketinggiannya.

; ;

Senaman:

Diberi sebuah prisma segi tiga condong, dua muka sisi yang saling berserenjang, tepi sepunya mereka ialah 9.6 cm dan terletak pada jarak 4.8 cm dan 14 cm dari dua tepi yang lain. Cari luas permukaan sisi prisma itu.

6. Dalam paip selari segi empat tepat, dimensinya adalah dalam nisbah 1:2:3 (3:7:8). Jumlah luas permukaan parallelepiped ialah 352 cm 2. Cari ukurannya.

7. Cari jumlah luas permukaan sebuah saluran selari tegak, sisinya ialah 8 inci dan 12 inci dan membentuk sudut 30°, dan tepi sisi ialah 6 inci.

8. Jumlah luas permukaan kubus ialah 36 cm2. Tentukan pepenjurunya.

9. Cari tepi kubus jika jumlah luas permukaannya ialah 24 m2.

Dalam paip selari kanan, sisi tapak adalah 10 cm dan 17 cm, salah satu pepenjuru tapak ialah 21 cm pepenjuru utama bagi paip selari ialah 29 cm.

15. Dalam selari tegak, sisi tapak ialah 3 cm dan 8 cm, sudut di antaranya ialah 60°. Luas permukaan sisi selari ialah 220 cm 2. Tentukan jumlah luas permukaan parallelepiped dan luas bahagian pepenjuru yang lebih kecil.

16. Diagonal prisma segi empat sekata ialah 9 cm Jumlah luas permukaan prisma itu ialah 144 cm 2. Tentukan sisi tapak dan tepi sisi prisma itu.

ISI PADU PRISMA LURUS

SIFAT-SIFAT ASAS JILID

Dua polyhedra yang sama mempunyai isipadu yang sama, tanpa mengira lokasinya di angkasa.
Isipadu polyhedron, iaitu hasil tambah dua polyhedra bersebelahan, adalah sama dengan jumlah isipadu polyhedra ini.
Jika daripada dua polyhedra yang pertama terkandung sepenuhnya dalam kedua, maka isipadu polihedron pertama tidak melebihi isipadu polihedron kedua.

Definisi: Polyhedra yang mempunyai isipadu yang sama dipanggil bersaiz sama.

Definisi: Unit isipadu ialah isipadu kubus yang tepinya sama dengan unit panjang.

ISI PADU PRISMA LURUS

Teorem: Isipadu selari segi empat tepat adalah sama dengan hasil darab dimensi linearnya.

– dimensi linear (ukuran)

Teorem: Isipadu prisma lurus adalah sama dengan hasil darab luas tapak dan tinggi prisma itu.

Diberi:

ABCA 1 B 1 C 1 – prisma lurus;

– tapak prisma;

; ;

ISI PADU PRISMA SERING

Teorem: Isipadu prisma condong adalah sama dengan hasil darab luas keratan rentas serenjang prisma dan tepi sisinya.

Diberi:

- prisma condong;

- rusuk sisi;

- bahagian serenjang;

Buktikan:

Akibat: Isipadu prisma condong adalah sama dengan hasil darab luas tapak dan tinggi prisma itu.

Senaman:

1. Dalam parallelepiped condong, sisi bahagian serenjang, sama dengan 3 cm dan 4 cm, membentuk sudut 30° antara satu sama lain. Tepi sisi parallelepiped ialah 1 dm. Cari isipadu paip selari.

2. Tapak prisma ialah segi tiga sekata dengan sisi 4 cm Tepi sisi prisma ialah 6 cm dan membuat sudut 60° dengan satah tapak. Cari isipadu prisma dan luas keratan rentas serenjang prisma itu.

3. Tapak selari tegak ialah segi empat selari, salah satu sudutnya ialah 30°. Luas tapak parallelepiped ialah 16 dm2. Luas muka sisi paip selari ialah 24 dm 2 dan 48 dm 2. Cari isipadu paip selari.

4. Dalam saluran paip selari segi empat tepat, sisi tapak adalah dalam nisbah 7:24, dan luas keratan rentas pepenjuru ialah 50 cm 2. Cari luas permukaan sisi parallelepiped.

5. Pada tapak prisma lurus terletak sebuah rombus dengan sisi a dan bersudut 60°. Bahagian yang dilukis melalui pepenjuru utama tapak dan bucu sudut tumpul tapak yang satu lagi ialah segi tiga tepat. Cari jumlah luas permukaan prisma itu.

6. Luas muka sisi prisma segi tiga tegak ialah 425 cm 2, 250 cm 2, 225 cm 2, dan luas tapak prisma itu ialah 100 cm 2. Cari isipadu prisma itu.

7. Diberi selari condong, tapaknya ialah segi empat sama dengan sisi 5 dm. Cari isipadu paip selari jika salah satu tepi sisi membentuk sudut 60° dengan setiap sisi bersebelahan tapak dan bersamaan dengan 1 m.

Tapak prisma lurus ialah segi tiga sama kaki, sisinya ialah 1 m, dan tapaknya ialah 1 m 20 cm Tepi sisi prisma adalah sama dengan ketinggian tapak, diturunkan ke sisinya. Cari jumlah luas permukaan prisma itu.

nasi. 1. Rajah. 2.

Senaman:

Tapak piramid ialah segi empat tepat dengan sisi 12 cm dan 16 cm Setiap tepi sisi piramid itu ialah 26 cm.
Tapak piramid ialah segi empat selari dengan sisi 3 cm dan 7 cm dan pepenjuru 6 cm Tinggi piramid ialah 4 cm dan melalui titik persilangan pepenjuru segi empat selari. Cari tepi sisi piramid.
Tinggi piramid segi empat sekata ialah 7 cm, dan sisi tapak ialah 8 cm Cari tepi sisi piramid itu.
Tapak piramid ialah segi tiga sama kaki, tapaknya ialah 6 cm dan tingginya ialah 9 cm Tepi sisi piramid itu adalah sama antara satu sama lain dan setiap satu mengandungi 13 cm.
Tapak piramid ialah segi tiga sama kaki dengan tapak 12 cm dan sisi 10 cm Muka sisi piramid membentuk sudut dihedral yang sama 45° dengan tapak. Cari ketinggian piramid itu.

Titik O adalah sama jauh dari bucu segitiga ABC, oleh itu, ia adalah pusat bulatan yang dihadkan tentang segi tiga ini. Pusat bulatan yang dihadkan pada segi tiga tepat ialah titik tengah hipotenus. Titik O ialah bahagian tengah hipotenus.

; .

; ; ; ; .

; , oleh itu, .

- segi tiga sama sisi, yang bermaksud .

; .

pada tiga pihak, oleh itu, .

;

; ;

;

Jawab: .

Komen: Luas permukaan sisi piramid terpotong tidak sekata dikira mengikut takrifan sebagai jumlah kawasan muka sisinya.

Senaman:

ISIPADU PIRAMID

Teorem: Isipadu piramid adalah sama dengan satu pertiga daripada hasil darab luas tapak piramid dan ketinggiannya.

Diberi:

SABC - piramid;

S(ABC)= S asas

JADI^ ABC; JADI = h.

Buktikan:

9. ISI PADU PIRAMID TERPOTONG

Diberi:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - piramid terpotong;

S(ABCD) = S n.a. ; S (A 1 B 1 C 1 D 1) = S v.o.

h ialah ketinggian piramid terpotong;

takrifkan: V us.pir. - ?

Senaman:

Diagonal tapak segi empat sama piramid biasa ialah 6 cm, tinggi piramid itu ialah 15 cm Cari isipadunya.
Tepi sisi piramid heksagon sekata ialah 14 dm, sisi tapaknya ialah 2 dm. Cari isipadu piramid itu.
Tapak piramid ialah rombus dengan sisi 15 cm Muka sisi piramid itu condong ke satah tapak pada sudut 45°. Diagonal utama tapak ialah 24 cm Cari isipadu piramid itu.
Cari isipadu piramid terpotong jika luas tapaknya ialah 98 cm 2 dan 32 cm 2, dan tinggi piramid penuh yang sepadan ialah 14 cm.
Dalam piramid, sebuah satah dilukis melalui tengah-tengah ketinggian, selari dengan tapaknya. Tentukan isipadu piramid terpotong yang terhasil jika ketinggian piramid ini ialah 18 cm dan luas tapaknya ialah 400 cm 2.
Cari isipadu piramid segi tiga yang tepi sisinya berserenjang berpasangan dan sama dengan 10 cm, 15 cm, 9 cm.
Dalam piramid terpotong segi tiga, tingginya ialah 10 cm, sisi tapak bawah ialah 27 m, 29 m, 52 m, dan perimeter tapak atas ialah 72 m. Cari isipadu piramid terpotong itu.
Sisi tapak piramid terpotong segiempat sama sekata ialah 40 cm dan 10 cm jumlah luas permukaannya ialah 3400 cm 2. Cari isipadu piramid terpotong.

SILINDER. PERMUKAAN DAN ISI PADU SILINDER.

Definisi: Jasad geometri yang diperoleh dengan memutarkan segi empat tepat mengelilingi salah satu sisinya dipanggil silinder bulat tegak.

Definisi: Silinder dipanggil lurus jika penjananya berserenjang dengan satah tapak.

AB– paksi simetri, ketinggian silinder; AB = H ;

AD– jejari tapak silinder; AD = R .

Definisi: Jarak antara satah tapak ialah ketinggian silinder bulat tegak.

Jejari silinder ialah jejari tapaknya. Paksi silinder ialah garis lurus yang melalui pusat tapak. Ia selari dengan penjana.

Dua bulatan itu ialah sebab silinder bulat lurus. Segmen yang menghubungkan titik-titik bulatan tapak dan berserenjang dengan satah tapak dipanggil generatrix silinder bulat lurus.

Definisi: Segi empat tepat, satu sisinya sama dengan lilitan tapak silinder, dan satu lagi dengan ketinggiannya, dipanggil perkembangan permukaan sisi silinder.

Permukaan silinder terdiri daripada tapak dan permukaan sisi. Permukaan sisi terdiri daripada penjanaan.

Dalam perkara berikut, kami akan mempertimbangkan hanya silinder lurus, memanggilnya hanya silinder untuk ringkasnya.

Definisi: Silinder dipanggil sama sisi jika ketinggiannya sama dengan diameter tapak.

Bahagian silinder.

Keratan rentas silinder dengan satah selari dengan paksinya ialah segi empat tepat. Dua sisinya ialah penjana silinder, dan dua lagi adalah kord selari tapak.

Khususnya, segi empat tepat ialah bahagian paksi. Bahagian paksi- bahagian silinder oleh satah yang melalui paksinya.

Keratan rentas silinder dengan satah selari dengan tapak ialah bulatan.

Keratan rentas silinder dengan satah tidak selari dengan tapak dan paksinya ialah bujur.

Teorem: Luas permukaan sisi silinder adalah sama dengan hasil lilitan tapaknya dan ketinggiannya ( S sebelah = 2πRH, Di mana R− jejari tapak silinder, N− ketinggian silinder).

Definisi: Jumlah luas permukaan silinder ialah jumlah luas permukaan sisi dan dua tapak.

S asas = πR 2 S sebelah = 2πRH S penuh = 2πRH + 2πR 2 .

Mari kita pertimbangkan n -prisma lurus gonal. Pada p→∞ perimeter poligon yang terletak di dasar prisma akan cenderung kepada lilitan tapak silinder, luas poligon yang terletak di tapak prisma akan cenderung kepada luas bulatan iaitu asas silinder. Kelantangan n -prisma karbon lurus akan cenderung kepada isipadu silinder bulat tegak.

Definisi: Sebuah prisma dikatakan tersurat dalam silinder jika tapaknya tertera pada tapak silinder itu.

Definisi: Silinder dikatakan tersurat dalam prisma jika tapaknya tertera pada tapak prisma itu.

Senaman:

1. Diagonal bahagian paksi silinder ialah 48 cm Sudut antara pepenjuru ini dan generatrik silinder ialah 60°. Cari: ketinggian, jejari tapak, luas tapak silinder.

2. Luas keratan rentas paksi silinder ialah 10 cm 2, dan luas tapak ialah 5 cm 2. Cari ketinggian silinder itu.

3. Jejari tapak silinder ialah 4 cm, dan luas keratan paksinya ialah 72 cm 2. Cari isipadu silinder itu.

Segi empat sama dengan sisi yang sama dengan a berputar mengelilingi paksi luar yang selari dengan sisinya. Paksi dikeluarkan dari segi empat sama pada jarak yang sama dengan sisi segi empat sama. Cari jumlah luas permukaan dan isipadu badan putaran.

11. Pada tapak prisma lurus terletak sebuah segi empat sama dengan sisi 2. Tepi sisi adalah sama

12. Pada tapak prisma lurus terletak sebuah segi tiga tegak dengan kaki 6 dan 8. Tepi sisi adalah sama . Cari isipadu silinder yang dihadkan di sekeliling prisma ini.

13. Cari isipadu bahagian silinder yang ditunjukkan dalam Rajah 1.

14. Cari isipadu bahagian silinder yang ditunjukkan dalam Rajah 2.

nasi. No 1. nasi. No 2.

KON. PERMUKAAN DAN ISI PADU KON.

Kon (daripada bahasa Yunani "konos")- kon pain.

Kon itu telah diketahui orang sejak zaman dahulu. Pada tahun 1906, buku "On the Method", yang ditulis oleh Archimedes (287-212 SM), telah ditemui; Archimedes mengatakan bahawa penemuan ini adalah milik ahli falsafah Yunani kuno Democritus (470-380 SM), yang, menggunakan prinsip ini, memperoleh formula untuk mengira isipadu piramid dan kon.

Kon bulat dipanggil badan yang terdiri daripada bulatan - pangkal kon, titik tidak terletak pada satah bulatan ini - bucu kon dan semua segmen yang menghubungkan bahagian atas kon dengan titik tapak (Gamb. 1) Segmen yang menghubungkan bahagian atas kon dengan titik bulatan tapak dipanggil membentuk kon.

Kon itu dipanggil langsung, jika garis lurus yang menghubungkan bahagian atas kon dengan pusat tapak adalah berserenjang dengan satah tapak.

Untuk kon lurus, tapak ketinggian bertepatan dengan pusat tapak. Paksi kon kanan ialah garis lurus yang mengandungi ketinggiannya.

Definisi: Jasad geometri yang diperolehi dengan memutarkan segitiga tegak mengelilingi salah satu kakinya dipanggil kon bulat tegak.

Definisi: Ketinggian kon ialah serenjang yang diturunkan dari atasnya ke satah tapak.

Definisi: Perkembangan permukaan sisi kon ialah sektor bulatan, jejarinya sama dengan generatriks kon, dan panjang lengkok ialah lilitan tapak kon.

Bahagian kon.

Satah berserenjang dengan paksi kon memotong kon dalam bulatan, dan permukaan sisi memotong bulatan yang berpusat pada paksi kon.

Satah berserenjang dengan paksi kon memotong kon yang lebih kecil daripadanya. Bahagian selebihnya dipanggil kon terpenggal.

Bahagian kon oleh satah yang melalui bucunya ialah segi tiga sama kaki, yang sisinya membentuk kon.

Definisi: Bahagian paksi kon ialah bahagian yang melalui paksi kon.

Kesimpulan: Bahagian paksi kon ialah segi tiga sama kaki, tapaknya ialah diameter pangkal kon, dan bahagian tepinya ialah bahagian pembentuk kon.

Permukaan kon terdiri daripada tapak dan permukaan sisi.

Luas permukaan sisi kon boleh didapati menggunakan formula:

sebelah S = πRL, di mana R- jejari tapak, L– panjang generatrik.

Jumlah luas permukaan kon didapati dengan formula:

S penuh = πRL + πR 2 , di mana R- jejari tapak, L– panjang generatrik.

Isipadu kon bulat adalah sama dengan V = 1/3 πR 2 H, di mana R- jejari tapak, N– ketinggian kon.

Definisi: Piramid yang ditulis dalam kon ialah piramid yang tapaknya ialah poligon yang ditulis dalam bulatan pangkal kon itu, dan puncaknya ialah bucu kon. Tepi sisi piramid yang tertulis dalam kon membentuk kon.

Definisi: Piramid mengelilingi kon, dipanggil piramid, tapaknya adalah poligon yang dihadkan di sekeliling pangkal kon, dan puncaknya bertepatan dengan bahagian atas kon.

Senaman:

1. Segitiga sama kaki dengan sudut puncak 120° dan sisi 20 cm, ia berputar mengelilingi tapak. Cari isipadu badan putaran.

2. Cari ketinggian kon jika luas permukaan sisinya ialah 427.2 cm 2 dan generatriks ialah 17 cm.

Segitiga kanan, yang kakinya 3 cm dan 4 cm, berputar mengelilingi paksi yang selari dengan hipotenus dan melalui bucu sudut tepat. Cari jumlah luas permukaan dan isipadu badan putaran.

KON POTONG. PERMUKAAN DAN ISI PADU KON TERPELAH

Definisi: Kon terpotong ialah bahagian kon yang tertutup di antara tapaknya dan bahagian yang selari dengan tapak. Bulatan yang terletak dalam satah selari dipanggil tapak kon terpotong.

Definisi: Jasad geometri yang diperolehi dengan memutarkan trapezoid segi empat tepat mengelilingi sisinya berserenjang dengan tapak dipanggil kon terpotong bulat tegak.

Definisi: Generatriks kon terpenggal ialah bahagian generatriks kon lengkap yang tertutup di antara tapak.

Definisi: Ketinggian kon terpotong ialah jarak antara tapaknya.

Tugasan: Biarkan sebuah kon terpenggal diberi, jejari tapak dan ketinggiannya diketahui: r = 5, R = 7, H = Ö60. Cari generatriks kon terpenggal.

Definisi: Garis lurus yang menghubungkan pusat tapak dipanggil paksi kon terpenggal. Bahagian yang melalui paksi dipanggil paksi. Bahagian paksi ialah trapezoid isosceles.

Tugasan: Cari luas keratan rentas paksi jika jejari tapak atas, ketinggian dan generatriks diketahui: R = 6, H = 4, L = 5.

Luas permukaan sisi kon terpotong boleh didapati menggunakan formula:

S sisi = π(R + r)L,

di mana R - jejari tapak bawah, r L – panjang generatrik.

Jumlah luas permukaan kon terpotong boleh didapati menggunakan formula:

S penuh = πR 2 + πr 2 + π(R + r)L,

di mana R - jejari tapak bawah, r - jejari pangkalan atas, L – panjang generatrik.

Isipadu kon terpenggal boleh didapati seperti berikut:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

di mana R - jejari tapak bawah, r - jejari pangkalan atas, N – ketinggian kon.

Senaman:

Dari sejarah asal usulnya.

Bola biasanya dipanggil badan yang dibatasi oleh sfera, i.e. bola dan sfera ialah jasad geometri yang berbeza. Walau bagaimanapun, kedua-dua perkataan bola dan sfera berasal dari perkataan Yunani yang sama sphaira - bola. Selain itu, perkataan "bola" terbentuk daripada peralihan konsonan sf kepada sh. Dalam Buku XI Elemen, Euclid mentakrifkan bola sebagai rajah yang diterangkan oleh separuh bulatan berputar mengelilingi diameter tetap. Pada zaman dahulu, sfera itu dipandang tinggi. Pemerhatian astronomi pada langit sentiasa membangkitkan imej sfera. Sfera sentiasa digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang sains dan teknologi.

Definisi: Jasad geometri yang diperoleh dengan memutarkan separuh bulatan mengelilingi diameternya dipanggil bola.

Definisi: Jejari sfera (bola) ialah segmen yang menghubungkan pusat sfera (bola) dengan mana-mana titik di atasnya.

Definisi: Kord sfera ialah segmen yang menghubungkan mana-mana dua titiknya.

Definisi: Diameter sfera ialah kord yang melalui pusatnya.

Bahagian sfera oleh satah.

Mana-mana bahagian bola dengan satah ialah bulatan. Pusat bulatan ini ialah tapak serenjang yang dijatuhkan dari pusat bola ke atas satah pemotongan. Bahagian yang melalui pusat bola dipanggil bahagian diametrik (bulatan besar).

Satah tangen kepada sfera.

Satah yang hanya mempunyai satu titik sepunya dengan sfera dipanggil satah tangen kepada sfera, dan mereka titik persamaan dipanggil titik sentuhan antara satah dan sfera.

Polyhedra bukan sahaja menduduki tempat yang menonjol dalam geometri, tetapi juga terdapat di kehidupan seharian setiap orang. Apatah lagi barangan rumah yang dibuat secara buatan dalam bentuk pelbagai poligon, bermula dengan kotak mancis dan berakhir elemen seni bina, kristal dalam bentuk kubus (garam), prisma (kristal), piramid (scheelite), oktahedron (berlian), dan lain-lain juga terdapat di alam semula jadi.

Konsep polyhedron, jenis polyhedra dalam geometri

Geometri sebagai sains mengandungi bahagian yang dipanggil stereometri, yang mengkaji ciri-ciri dan sifat-sifat badan volumetrik, yang sisinya berada dalam ruang tiga dimensi dibentuk oleh satah terhad (muka), dipanggil "polyhedra". Terdapat berpuluh-puluh jenis polyhedra, berbeza dalam bilangan dan bentuk muka.

Walau bagaimanapun, semua polyhedra mempunyai sifat yang sama:

Kesemuanya mempunyai 3 komponen penting: muka (permukaan poligon), bucu (sudut yang terbentuk di persimpangan muka), tepi (sisi rajah atau segmen yang terbentuk pada persimpangan dua muka. ).
Setiap tepi poligon menghubungkan dua, dan hanya dua, muka yang bersebelahan antara satu sama lain.
Kecembungan bermaksud badan terletak sepenuhnya pada satu sisi pesawat di mana salah satu muka terletak. Peraturan ini terpakai kepada semua muka polihedron. Dalam stereometri, angka geometri seperti itu dipanggil polyhedra cembung. Pengecualian ialah polyhedra berbintang, yang merupakan terbitan badan geometri polihedral biasa.

Polyhedra boleh dibahagikan kepada:

Jenis polyhedra cembung, terdiri daripada kelas berikut: biasa atau klasik (prisma, piramid, parallelepiped), sekata (juga dipanggil pepejal Platonik), separuh sekata (nama lain ialah pepejal Archimedean).
Polyhedra tidak cembung (stellate).

Prisma dan sifatnya

Stereometri sebagai cabang geometri mengkaji sifat-sifat rajah tiga dimensi, jenis polyhedra (prisma antaranya). Prisma ialah jasad geometri yang semestinya mempunyai dua muka yang sama sepenuhnya (ia juga dipanggil tapak) terletak dalam satah selari, dan nombor ke-n muka sisi dalam bentuk segiempat selari. Sebaliknya, prisma juga mempunyai beberapa jenis, termasuk jenis polyhedra seperti:

Parallelepiped terbentuk jika tapaknya ialah segi empat selari - poligon dengan 2 pasang sudut bertentangan yang sama dan dua pasang sisi bertentangan yang kongruen.
mempunyai tulang rusuk yang berserenjang dengan pangkalnya.
dicirikan oleh kehadiran sudut tidak langsung (selain daripada 90) antara tepi dan tapak.
Prisma sekata dicirikan oleh tapak dalam bentuk muka sisi yang sama.

Sifat asas prisma:

Asas kongruen.
Semua tepi prisma adalah sama dan selari antara satu sama lain.
Semua muka sisi mempunyai bentuk segi empat selari.

Piramid

Piramid ialah badan geometri yang terdiri daripada satu tapak dan nombor ke-n muka segi tiga yang bersambung pada satu titik - puncak. Perlu diingatkan bahawa jika muka sisi piramid semestinya diwakili oleh segi tiga, maka di pangkalan boleh terdapat poligon segi tiga, segi empat, pentagon, dan seterusnya ad infinitum. Dalam kes ini, nama piramid akan sepadan dengan poligon di pangkalan. Sebagai contoh, jika di dasar piramid terdapat segitiga - ini adalah segiempat, dsb.

Piramid ialah polyhedra berbentuk kon. Jenis polyhedra dalam kumpulan ini, sebagai tambahan kepada yang disenaraikan di atas, juga termasuk wakil berikut:

mempunyai poligon sekata di tapaknya, dan ketinggiannya diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak atau dikelilingi di sekelilingnya.
Piramid segi empat tepat terbentuk apabila salah satu tepi sisi memotong tapak pada sudut tepat. Dalam kes ini, kelebihan ini juga boleh dipanggil ketinggian piramid.

Ciri-ciri piramid:

Jika semua tepi sisi piramid adalah kongruen (dengan ketinggian yang sama), maka mereka semua bersilang dengan tapak pada sudut yang sama, dan di sekeliling tapak anda boleh melukis bulatan dengan pusat bertepatan dengan unjuran bahagian atas piramid.
Jika poligon sekata terletak di dasar piramid, maka semua tepi sisi adalah kongruen, dan muka adalah segi tiga sama kaki.

Polyhedron biasa: jenis dan sifat polyhedra

Dalam stereometri, tempat khas diduduki oleh badan geometri dengan muka yang sama, di bucu yang bilangan tepi yang sama disambungkan. Badan ini dipanggil pepejal Platonik, atau polyhedra biasa. Terdapat hanya lima jenis polyhedra dengan sifat-sifat ini:

Tetrahedron.
Hexahedron.
Octahedron.
Dodecahedron.
Icosahedron.

Polyhedra biasa berhutang nama mereka kepada ahli falsafah Yunani kuno Plato, yang menggambarkan badan geometri ini dalam karyanya dan mengaitkannya dengan unsur-unsur semula jadi: tanah, air, api, udara. Angka kelima dianugerahkan persamaan dengan struktur Alam Semesta. Pada pendapatnya, atom unsur semula jadi dalam bentuk mereka menyerupai jenis polyhedra biasa. Terima kasih kepada harta benda mereka yang paling menarik - simetri, badan geometri ini sangat diminati bukan sahaja kepada ahli matematik dan ahli falsafah purba, tetapi juga kepada arkitek, artis dan pengukir sepanjang zaman. Kehadiran hanya 5 jenis polyhedra dengan simetri mutlak dianggap sebagai penemuan asas, malah ia dikaitkan dengan prinsip ketuhanan.

Hexahedron dan sifatnya

Dalam bentuk heksagon, pengganti Plato menganggap persamaan dengan struktur atom-atom bumi. Sudah tentu, pada masa ini hipotesis ini telah disangkal sepenuhnya, yang bagaimanapun, tidak menghalang tokoh-tokoh di zaman moden daripada menarik minda tokoh terkenal dengan estetika mereka.

Dalam geometri, hexahedron, juga dikenali sebagai kubus, dianggap sebagai kes khas bagi parallelepiped, yang seterusnya, adalah sejenis prisma. Sehubungan itu, sifat-sifat kubus adalah berkaitan antara satu sama lain, dengan satu-satunya perbezaan ialah semua muka dan sudut kubus adalah sama antara satu sama lain. Sifat-sifat berikut mengikuti daripada ini:

Semua tepi kubus adalah kongruen dan terletak dalam satah selari antara satu sama lain.
Semua muka adalah segi empat sama kongruen (terdapat 6 daripadanya dalam kubus), mana-mana daripadanya boleh diambil sebagai tapak.
Semua sudut interhedral adalah sama dengan 90.
Setiap bucu mempunyai bilangan tepi yang sama, iaitu 3.
Kubus mempunyai 9 yang kesemuanya bersilang pada titik persilangan pepenjuru heksaedron, dipanggil pusat simetri.

Tetrahedron

Tetrahedron ialah tetrahedron dengan muka yang sama dalam bentuk segi tiga, setiap bucunya ialah titik. sambungan tiga muka.

Sifat-sifat tetrahedron biasa:

Semua muka tetrahedron - ini bermakna semua muka tetrahedron adalah kongruen.
Oleh kerana asas diwakili oleh yang betul angka geometri, iaitu mempunyai sisi yang sama, maka muka tetrahedron itu menumpu pada sudut yang sama, iaitu semua sudut adalah sama.
Jumlah sudut satah pada setiap bucu ialah 180, kerana semua sudut adalah sama, maka mana-mana sudut tetrahedron sekata ialah 60.
Setiap bucu diunjurkan ke titik persilangan ketinggian muka bertentangan (orthocenter).

Octahedron dan sifatnya

Apabila menerangkan jenis polyhedra biasa, seseorang tidak boleh gagal untuk melihat objek seperti oktahedron, yang boleh diwakili secara visual sebagai dua piramid biasa segi empat yang dilekatkan pada tapaknya.

Sifat oktahedron:

Nama badan geometri menunjukkan bilangan mukanya. Oktahedron terdiri daripada 8 segi tiga sama sisi yang kongruen, pada setiap bucu yang mempunyai bilangan muka yang sama menumpu, iaitu 4.
Oleh kerana semua muka oktahedron adalah sama, sudut antara mukanya juga sama, setiap satunya adalah sama dengan 60, dan jumlah sudut satah mana-mana bucu adalah 240.

Dodecahedron

Jika kita membayangkan bahawa semua muka badan geometri adalah pentagon biasa, maka kita mendapat dodekahedron - angka 12 poligon.

Ciri-ciri dodecahedron:

Tiga muka bersilang pada setiap bucu.
Semua muka adalah sama dan mempunyai panjang tepi yang sama, serta luas yang sama.
Dodecahedron mempunyai 15 paksi dan satah simetri, dan mana-mana daripadanya melalui bucu muka dan tengah tepi yang bertentangan dengannya.

Icosahedron

Tidak kurang menarik daripada dodecahedron, angka icosahedron ialah badan geometri tiga dimensi dengan 20 muka yang sama. Antara sifat 20-hedron biasa, perkara berikut boleh diperhatikan:

Semua muka ikosahedron adalah segi tiga sama kaki.
Lima muka bertemu pada setiap bucu polihedron, dan jumlah sudut bersebelahan bucu itu ialah 300.
Ikosahedron, seperti dodekahedron, mempunyai 15 paksi dan satah simetri yang melalui titik tengah muka bertentangan.

Poligon separuh sekata

Sebagai tambahan kepada pepejal Platonik, kumpulan polyhedra cembung juga termasuk pepejal Archimedean, yang merupakan polyhedra sekata terpotong. Jenis polyhedra dalam kumpulan ini mempunyai sifat berikut:

Badan geometri mempunyai beberapa jenis muka yang sama berpasangan, contohnya, tetrahedron terpenggal mempunyai, seperti tetrahedron biasa, 8 muka, tetapi dalam kes badan Archimedean, 4 muka akan berbentuk segi tiga dan 4 akan heksagon.
Semua sudut satu bucu adalah kongruen.

Polihedra bintang

Perwakilan jenis bukan volumetrik badan geometri adalah polyhedra stellate, yang mukanya bersilang antara satu sama lain. Mereka boleh dibentuk dengan menggabungkan dua badan tiga dimensi biasa atau hasil daripada lanjutan muka mereka.

Oleh itu, polyhedra berbintang itu dikenali sebagai: bentuk berbintang octahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.

Mana-mana badan geometri terdiri daripada cangkerang, iaitu, permukaan luar, dan beberapa bahan yang mengisinya (Rajah 42). Setiap badan geometri mempunyai bentuk tersendiri, yang berbeza dari segi komposisi, struktur dan saiz.

Komposisi bentuk badan geometri ialah senarai petak permukaan yang membentuknya (Jadual 4). Oleh itu, bentuk parallelepiped segi empat tepat terdiri daripada enam petak, permukaan (muka): dua daripadanya adalah asas parallelepiped, dan baki empat petak membentuk permukaan pecah cembung tertutup, dipanggil permukaan sisi.

Rajah 42. Badan geometri: 1 - cangkerang; 2 - petak permukaan yang membentuk cangkerang badan

Struktur bentuk badan geometri - ciri bentuk yang menunjukkan hubungan dan lokasi petak permukaan relatif antara satu sama lain (lihat Rajah 44).

Ciri-ciri ini saling berkait dan pada tahap yang paling besar menentukan bentuk badan geometri dan sebarang objek lain.

Berdasarkan bentuknya, jasad geometri ringkas dibahagikan kepada polyhedra dan jasad revolusi.

kapal terbang ialah kes khas permukaan.

Polyhedra - jasad geometri, cangkangnya dibentuk oleh petak satah (Rajah 43, a).

Muka ialah bahagian satah yang membentuk permukaan (cangkang) polihedron; tepi - segmen lurus di mana muka bersilang; bucu ialah hujung rusuk.

Badan revolusi - jasad geometri (Rajah 43, b), cangkangnya adalah permukaan revolusi (contohnya, bola) atau terdiri daripada bahagian permukaan revolusi dan satu (dua) bahagian satah (contohnya, kon, silinder, dll.).

nasi. 43. Polyhedra (a) dan jasad revolusi (b): 1 - cangkerang jasad geometri;
2 - petak pesawat; 3 - petak permukaan putaran

4. Komposisi jasad geometri ringkas

Struktur bentuk mempengaruhi penampilan badan geometri. Mari kita pertimbangkan ini menggunakan contoh silinder lurus dan condong (Rajah 44), petak tapak yang terletak berbeza berbanding satu sama lain.

nasi. 44. Perbezaan struktur dalam bentuk silinder

nasi. 45. Perubahan dalam bentuk silinder

nasi. 46. Piramid empat segi pelbagai bentuk

Membandingkan imej silinder dalam Rajah 45, kita boleh membuat kesimpulan bahawa perubahan kedudukan salah satu tapak membawa kepada perubahan dalam bentuk badan geometri.

Menukar ketinggian, lebar, panjang, diameter tapak, sudut kecondongan paksi, dan kedudukan tapak relatif antara satu sama lain dengan ketara mempengaruhi bentuk jasad geometri. Sebagai contoh, pertimbangkan piramid segi empat tepat pelbagai bentuk (Rajah 46).

nasi. 47. Badan geometri

TEORI POLYhedra

Badan geometri bermuka

Jasad geometri bermuka atau polihedron ialah bahagian ruang yang dibatasi oleh himpunan bilangan terhingga poligon satah yang disambungkan sedemikian rupa sehingga setiap sisi mana-mana poligon ialah sisi poligon tunggal yang lain (dipanggil bersebelahan), dan di sekeliling setiap bucu ada. ialah satu kitaran poligon. Memudahkan definisi di atas, kami memperoleh definisi polihedron, biasa daripada buku teks sekolah.

Polyhedron- jasad geometri yang dibatasi pada semua sisi oleh poligon rata yang dipanggil muka. Sisi muka dipanggil tepi polihedron, dan hujung tepi dipanggil bucu polihedron.

Dari sejarah

Matematik Yunani, di mana teori polyhedra pertama kali muncul, berkembang di bawah pengaruh besar pemikir terkenal Plato.

Plato(427–347 SM) - ahli falsafah Yunani kuno yang hebat, pengasas Akademi dan pengasas tradisi Platonisme. Salah satu ciri penting pengajarannya ialah pertimbangan objek ideal - abstraksi. Matematik, setelah menerima pakai idea Plato, telah mengkaji objek yang abstrak dan ideal sejak zaman Euclid. Walau bagaimanapun, kedua-dua Plato sendiri dan ramai ahli matematik purba meletakkan istilah ideal bukan sahaja makna abstrak, tetapi juga makna terbaik. Selaras dengan tradisi yang datang dari ahli matematik purba, antara semua polyhedra yang terbaik adalah mereka yang mempunyai poligon sekata sebagai muka mereka.

Polyhedra boleh dikelaskan mengikut beberapa kriteria: contohnya, dengan bilangan muka, tetrahedron, pentahedron, dll. dibezakan.

Terdapat polyhedra sekata dan separa sekata. Polihedra sekata ialah semua muka adalah poligon sama sekata dan semua sudut pada bucu adalah sama. Jika muka polihedron adalah pelbagai poligon sekata, maka polihedron diperolehi, yang dipanggil separa sekata (separa sekata sama). Polihedron separuh sekata ialah polihedron cembung yang mukanya adalah poligon sekata (mungkin dengan bilangan sisi yang berbeza), dan semua sudut polihedral adalah sama.

Sebagai tambahan kepada polyhedra biasa dan separuh teratur bentuk yang cantik mempunyai apa yang dipanggil polyhedra stellate biasa. Ia diperoleh daripada polyhedra biasa dengan kesinambungan muka atau tepi dengan cara yang sama seperti poligon berbintang biasa diperolehi dengan kesinambungan sisi poligon sekata.

Daripada banyak polyhedra, kami menyerlahkan yang paling terkenal: prisma dan piramid (Rajah 1).

Prisma ialah polihedron yang mempunyai dua muka selari yang sama - tapak, dan selebihnya - muka sisi - selari.

Piramid ialah polihedron di mana satu muka - poligon sewenang-wenangnya - diambil sebagai tapak, dan baki muka (sisi) adalah segi tiga dengan bucu biasa, dipanggil bahagian atas piramid.

Dalam Rajah. 2 menunjukkan beberapa prisma dan piramid. Piramid yang tapaknya berbentuk segitiga dipanggil piramid segi tiga. Jadi, kita boleh bercakap tentang segi empat sama, pentagonal, dll. piramid ara. 2, A dan 2, b. Asas piramid segi tiga boleh menjadi mana-mana muka.

Dalam Rajah. 2, V, 2, G dan 2, d contoh kelas polyhedra tertentu diberikan, bucunya boleh dibahagikan kepada dua set bilangan mata yang sama; titik setiap set ini ialah bucu p-gon, dan satah kedua-dua p-gon adalah selari. Jika kedua-dua p-gon (tapak) ini adalah kongruen dan disusun supaya bucu satu p-gon disambungkan ke bucu p-gon yang lain dengan segmen lurus selari, maka polihedron sedemikian dipanggil prisma p-gonal. Contoh dua prisma sudut p ialah prisma segi tiga (p = 3) dalam Rajah. 2, V dan prisma pentagonal (p = 5) dalam Rajah. 2, G. Jika tapaknya terletak supaya bucu satu p-gon disambungkan kepada bucu p-gon yang lain dengan garis putus zigzag yang terdiri daripada segmen lurus 2p, seperti dalam Rajah. 2, d, maka polihedron sedemikian dipanggil antiprisma p-gonal.

Sebagai tambahan kepada dua tapak, prisma p-gonal mempunyai muka p - segi empat selari. Jika segiempat selari mempunyai bentuk segi empat tepat, maka prisma itu dipanggil garis lurus. Dalam prisma sedemikian, tepi muka sisi berserenjang dengan tapak. Prisma yang tapaknya tidak selari dipanggil terpotong.

2. Polihedra biasa. Polihedron cembung dipanggil sekata jika ia memenuhi dua syarat berikut:

Semua mukanya ialah poligon sekata kongruen;

Setiap bucu mempunyai bilangan muka yang sama bersebelahan dengannya.

Jika semua muka polihedron sekata ialah poligon sekata, maka dalam polihedral sekata semua sudut satah, polihedral dan dihedral adalah sama.

Jika semua muka ialah p-gon sekata dan q daripadanya bersebelahan dengan setiap bucu, maka polihedron sekata tersebut dilambangkan (p, q). Nombor pertama dalam kurungan menunjukkan bilangan sisi setiap muka, nombor kedua menunjukkan bilangan muka yang bersebelahan dengan setiap bucu. Notasi ini telah dicadangkan oleh L. Schläfli (1814-1895), seorang ahli matematik Switzerland yang bertanggungjawab untuk banyak keputusan yang elegan dalam geometri dan analisis matematik. Terdapat polyhedra bukan cembung yang mukanya bersilang dan yang dipanggil "polyhedra berbintang biasa." Dalam geometri, mengikut konvensyen, polyhedra sekata bermakna polihedra sekata cembung secara eksklusif.

Polyhedra biasa kadang-kadang dipanggil pepejal Platonik, kerana ia menduduki tempat yang menonjol dalam gambaran falsafah dunia yang dibangunkan oleh pemikir yang hebat. Yunani Purba Plato.

Terdapat 5 jenis polyhedra biasa: tetrahedron, kubus, octahedron, dodecahedron, icosahedron.

TETRAHEDRON ialah polihedron sekata yang permukaannya terdiri daripada empat segi tiga sekata.

HEXAHEDRON (CUBE) - polihedron biasa, permukaannya terdiri daripada enam segiempat biasa (segi empat sama)

OCTAHEDRON ialah polihedron sekata yang permukaannya terdiri daripada lapan segi tiga sekata.

DODECAHEDRON ialah polihedron sekata yang permukaannya terdiri daripada dua belas pentagon sekata.

ICOSAHEDRON ialah polihedron sekata yang permukaannya terdiri daripada dua puluh segi tiga sekata.

Nama-nama polyhedra ini berasal dari Yunani Purba, dan mereka menunjukkan bilangan muka:

"edra" - tepi;

"tetra" - 4;

"heksa" - 6;

"okta" - 8;

"Ikosa" - 20;

"dodeka" - 12.

Dalam Rajah. 3 menunjukkan polyhedra biasa

Dari sejarah

Plato percaya bahawa dunia dibina daripada empat "elemen" - api, bumi, udara dan air, dan atom "elemen" ini mempunyai bentuk empat polyhedra biasa. Tetrahedron mempersonifikasikan api, kerana puncaknya menghala ke atas, seperti nyalaan api; icosahedron - sebagai air yang paling diperkemas; kubus adalah yang paling stabil daripada angka - bumi, dan oktahedron ialah udara. Pada zaman kita, sistem ini boleh dibandingkan dengan empat keadaan jirim - pepejal, cecair, gas dan nyalaan. Polihedron kelima, dodecahedron, melambangkan seluruh dunia dan dianggap paling penting. Ini adalah salah satu percubaan pertama untuk memperkenalkan idea sistematisasi ke dalam sains.

Orang Yunani kuno menganggap dodecahedron sebagai bentuk Alam Semesta. Mereka juga mengkaji banyak sifat geometri pepejal Platonik; hasil penyelidikan mereka boleh didapati dalam buku 13th Euclid’s Elements.

Kajian pepejal Platonik dan angka yang berkaitan masih diteruskan hingga ke hari ini. Walaupun kecantikan dan simetri adalah motivasi utama untuk penyelidikan moden, mereka juga mempunyai beberapa kepentingan saintifik, terutamanya dalam kristalografi. Kristal garam meja, natrium thioantimonide, dan tawas kromik masing-masing wujud sebagai kiub, tetrahedron dan oktahedron. Icosahedron dan dodecahedron tidak ditemui di kalangan bentuk kristal, tetapi ia boleh diperhatikan di antara bentuk organisma laut mikroskopik yang dikenali sebagai radiolarians.

Sifat polyhedra biasa. Bucu mana-mana polihedron biasa terletak pada sfera (yang tidak mengejutkan jika kita ingat bahawa bucu mana-mana poligon sekata terletak pada bulatan). Selain sfera ini, yang dipanggil "sfera yang diterangkan", terdapat dua sfera yang lebih penting. Salah satu daripadanya, "sfera median," melalui titik tengah semua tepi, dan satu lagi, "sfera bertulisan," menyentuh semua muka di pusatnya. Ketiga-tiga sfera mempunyai pusat yang sama, yang dipanggil pusat polihedron.

Bilangan polyhedra biasa. Adalah wajar untuk bertanya sama ada, selain pepejal Platonik, terdapat polyhedra biasa yang lain.

Pepejal platonik ialah analog tiga dimensi bagi poligon sekata rata. Walau bagaimanapun, terdapat perbezaan penting antara kes dua dimensi dan tiga dimensi: terdapat banyak tak terhingga poligon sekata berbeza, tetapi hanya lima polyhedra sekata berbeza. Bukti fakta ini telah diketahui selama lebih daripada dua ribu tahun; Dengan bukti ini dan kajian lima pepejal sekata, Elemen Euclid selesai

Seperti yang ditunjukkan oleh pertimbangan mudah berikut, jawapannya mestilah negatif. Biarkan (p, q) menjadi polihedron sekata arbitrari. Memandangkan mukanya ialah p-gon biasa, sudut dalamannya, seperti yang mudah ditunjukkan, adalah sama dengan (180 - 360/p) atau 180 (1 - 2/p) darjah. Oleh kerana polihedron (p, q) ialah cembung, jumlah semua sudut dalam sepanjang muka yang bersebelahan dengan mana-mana bucunya mestilah kurang daripada 360 darjah. Tetapi setiap bucu mempunyai q muka bersebelahan dengannya, jadi ketaksamaan mesti kekal.

mana simbolnya< означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

Adalah mudah untuk melihat bahawa p dan q mestilah lebih besar daripada 2. Menggantikan p = 3 kepada (1), kita dapati bahawa satu-satunya nilai yang sah untuk q dalam kes ini ialah 3, 4 dan 5, i.e. kita memperoleh polyhedra (3, 3), (3, 4) dan (3, 5). Untuk p = 4, satu-satunya nilai yang sah untuk q ialah 3, i.e. polihedron (4, 3), dengan p = 5, juga memenuhi ketaksamaan (1) hanya q = 3, i.e. polihedron (5, 3). Untuk p > 5 tiada nilai sah bagi q. Akibatnya, tiada polihedra sekata lain kecuali pepejal Platonik.

3. Polihedra separuh sekata. Di atas kita melihat polyhedra biasa, i.e. polyhedra cembung sedemikian yang mukanya adalah poligon sekata yang sama, dan pada setiap bucu yang bilangan muka yang sama bertemu. Jika dalam definisi ini kita membenarkan bahawa muka polihedron boleh menjadi poligon sekata yang berbeza, maka kita memperoleh polihedra yang dipanggil separa sekata (separa sekata sama).

Polihedron separuh sekata ialah polihedron cembung yang mukanya adalah poligon sekata (mungkin dengan bilangan sisi yang berbeza), dan semua sudut polihedral adalah sama.

Polihedra separa sekata termasuk prisma n-gonal sekata, semua tepinya adalah sama. Sebagai contoh, prisma pentagonal sekata dalam Rajah 4, A mempunyai dengan mukanya dua pentagon sekata - tapak prisma dan lima segi empat sama membentuk permukaan sisi prisma itu. Polyhedra separuh sekata juga termasuk apa yang dipanggil antiprisma. Dalam Rajah 4, b kita melihat antiprisma pentagon yang diperoleh daripada prisma pentagon dengan memutarkan salah satu tapak berbanding tapak yang lain pada sudut 36. Setiap bucu tapak atas dan bawah disambungkan kepada dua bucu terdekat tapak yang satu lagi.

a b c

Sebagai tambahan kepada dua siri polyhedra separa sekata yang tidak berkesudahan ini, terdapat 13 lagi polyhedra separa sekata yang pertama kali ditemui dan diterangkan oleh Archimedes - ini adalah pepejal Archimedean.

Yang paling mudah daripada mereka diperolehi daripada polyhedra biasa dengan operasi "pemangkasan", yang terdiri daripada memotong sudut polihedron dengan satah. Jika kita memotong sudut tetrahedron dengan satah, setiap satunya memotong satu pertiga daripada tepinya yang muncul dari satu bucu, kita memperoleh tetrahedron yang dipotong dengan lapan muka (Rajah 4, V). Daripada jumlah ini, empat ialah heksagon sekata dan empat adalah segi tiga sekata. Tiga muka bertemu pada setiap bucu polihedron ini.

Jika kita memotong bucu oktahedron dan ikosahedron dengan cara ini, kita memperoleh oktahedron terpotong (Rajah 5, a) dan ikosahedron terpotong (Rajah 5, b), masing-masing. Sila ambil perhatian bahawa permukaan bola sepak dibuat dalam bentuk permukaan ikosahedron yang dipotong. Daripada kubus dan dodekahedron anda juga boleh mendapatkan kubus terpotong (Rajah 5, c) dan dodekahedron terpotong (Rajah 5, d).

a b c d

Kami memeriksa 4 daripada 13 polyhedra semiregular yang diterangkan oleh Archimedes. Yang selebihnya adalah polyhedra daripada jenis yang lebih kompleks.

Dari sejarah

Hipotesis kosmologi Kepler sangat asli, di mana dia cuba menghubungkan beberapa sifat sistem suria dengan sifat polyhedra biasa. Kepler mencadangkan bahawa jarak antara enam planet yang diketahui pada masa itu dinyatakan dari segi saiz lima polyhedra cembung biasa (pepejal Platonik). Di antara setiap pasangan sfera cakerawala di mana, menurut hipotesis ini, planet berputar, Kepler menuliskan salah satu pepejal Platonik. Satu oktahedron digambarkan mengelilingi sfera Mercury, planet yang paling hampir dengan Matahari. Oktahedron ini ditulis dalam sfera Venus, di mana ikosahedron diterangkan. Sfera Bumi diterangkan di sekeliling icosahedron, dan dodekahedron diterangkan di sekitar sfera ini.

Satu langkah serius dalam sains polyhedra telah dibuat pada abad ke-18 oleh Leonhard Euler (1707-1783), yang, tanpa keterlaluan, "meyakini keharmonian dalam algebra." Teorem Euler mengenai hubungan antara bilangan bucu, tepi dan muka polihedron cembung, buktinya Euler diterbitkan pada tahun 1758 dalam Prosiding Akademi Sains St. Petersburg, akhirnya membawa susunan matematik kepada dunia polyhedra yang pelbagai.

Bucu + Muka - Tepi = 2.

Unsur simetri polihedra sekata

Sesetengah badan biasa dan separuh biasa ditemui dalam alam semula jadi dalam bentuk kristal, yang lain - dalam bentuk virus, mikroorganisma mudah

Polihedra bintang

Polyhedra stellate diperoleh daripada polyhedra biasa dengan memanjangkan muka atau tepi dengan cara yang sama seperti poligon stellate biasa diperoleh dengan memanjangkan sisi poligon sekata.

Dua polyhedra stellate biasa pertama ditemui oleh J. Kepler (1571-1630), dan dua lagi dibina hampir 200 tahun kemudian oleh ahli matematik dan mekanik Perancis L. Poinsot (1777-1859). Itulah sebabnya polyhedra stellated biasa dipanggil badan Kepler-Poinsot.

Dalam karyanya "On polygons and polyhedra" (1810), Poinsot menerangkan empat polyhedra stellate biasa, tetapi persoalan tentang kewujudan polyhedra yang lain masih terbuka. Jawapannya diberikan setahun kemudian, pada tahun 1811, oleh ahli matematik Perancis O. Cauchy (1789-1857). Dalam karyanya "A Study on Polyhedra" dia membuktikan bahawa tidak ada polyhedra stellated biasa yang lain.

Mari kita pertimbangkan persoalan tentang polyhedra biasa yang boleh digunakan untuk mendapatkan polyhedra stellated biasa. Polihedra berbintang biasa tidak boleh diperoleh daripada tetrahedron, kubus, atau oktahedron. Mari kita ambil dodecahedron. Kesinambungan tepinya membawa kepada penggantian setiap muka dengan pentagon biasa berbintang (Rajah 30, a), dan akibatnya timbul polihedron, yang dipanggil dodekahedron berbintang kecil (Rajah 30, b).

Apabila memanjangkan muka dodecahedron, dua kemungkinan timbul. Pertama, jika kita menganggap pentagon biasa, kita mendapat apa yang dipanggil dodecahedron hebat (Rajah 31). Jika, kedua, kita menganggap pentagon berbintang sebagai muka, maka kita mendapat dodecahedron berbintang yang besar (Rajah 32).

Icosahedron mempunyai bentuk bintang tunggal. Apabila muka ikosahedron biasa dipanjangkan, ikosahedron besar diperolehi (Rajah 33).

Oleh itu, terdapat 4 jenis polyhedra stellated biasa.

Polyhedra berbentuk bintang sangat hiasan, yang membolehkan mereka digunakan secara meluas dalam industri perhiasan dalam pembuatan semua jenis barang kemas.

Banyak bentuk polyhedra stellate dicadangkan oleh alam semula jadi itu sendiri. Kepingan salji ialah polyhedra berbentuk bintang (Rajah 34). Sejak zaman purba, orang telah cuba menerangkan semua jenis kepingan salji yang mungkin dan menyusun atlas khas. Beberapa ribu kini diketahui pelbagai jenis kepingan salji.

Maklumat berkaitan.

Bahagian