Makna mekanikal terbitan tertib kedua. Makna mekanikal definisi terbitan. Fungsi pembezaan penuh

Makna mekanikal terbitan

Tafsiran mekanikal derivatif pertama kali diberikan oleh I. Newton. Ia adalah seperti berikut: kelajuan pergerakan titik material V pada masa ini masa adalah sama dengan terbitan masa laluan, i.e. Oleh itu, jika hukum pergerakan titik material diberikan oleh persamaan, maka untuk mencari kelajuan serta-merta titik pada bila-bila masa tertentu, anda perlu mencari terbitan dan menggantikan nilai t yang sepadan ke dalamnya.

Derivatif tertib kedua dan makna mekanikalnya

Kami mendapat (persamaan dari apa yang dilakukan dalam buku teks Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. "matematik" ms 240):

Oleh itu, pecutan gerakan rectilinear badan pada momen tertentu adalah sama dengan terbitan kedua laluan berkenaan dengan masa, dikira untuk momen tertentu. Ini adalah makna mekanikal bagi terbitan kedua.

Definisi dan makna geometri bagi pembezaan

Definisi 4. Bahagian utama kenaikan fungsi, linear berkenaan dengan kenaikan fungsi, linear berkenaan dengan kenaikan pembolehubah bebas, dipanggil pembezaan fungsi dan dilambangkan dengan d, i.e. .

Pembezaan fungsi secara geometri diwakili oleh kenaikan ordinat tangen yang dilukis pada titik M (x; y) untuk nilai x dan?x yang diberi.

Pengiraan pembezaan - .

Aplikasi pembezaan dalam pengiraan anggaran - , nilai anggaran kenaikan fungsi bertepatan dengan pembezaannya.

Teorem 1.Jika fungsi yang dibezakan bertambah (menurun) dalam selang tertentu, maka terbitan fungsi ini tidak negatif (tidak positif) dalam selang ini.

Teorem 2.Jika fungsi terbitan adalah positif (negatif) dalam selang tertentu, maka fungsi dalam selang ini meningkat secara monoton (menurun secara monoton).

Sekarang mari kita rumuskan peraturan untuk mencari selang kemonotonan fungsi

1. Kira terbitan bagi fungsi ini.

2. Cari titik di mana ia adalah sifar atau tidak wujud. Titik-titik ini dipanggil kritikal untuk fungsi

3. Menggunakan titik yang ditemui, domain takrifan fungsi dibahagikan kepada selang, di mana setiap satu terbitan mengekalkan tandanya. Selang ini adalah selang monotonisitas.

4. Periksa tanda pada setiap selang yang ditemui. Jika pada selang yang sedang dipertimbangkan, maka pada selang ini ia meningkat; jika, maka ia berkurangan pada selang tersebut.

Bergantung pada keadaan masalah, peraturan untuk mencari selang monotonisitas boleh dipermudahkan.

Definisi 5. Titik dipanggil titik maksimum (minimum) fungsi jika ketaksamaan berlaku untuk sebarang x dalam beberapa kejiranan titik itu.

Jika ialah titik maksimum (minimum) fungsi, maka mereka mengatakan itu (minimum) pada titik. Fungsi maksimum dan minimum menggabungkan nama melampau fungsi, dan titik maksimum dan minimum dipanggil titik melampau (titik melampau).

Teorem 3.(tanda perlu untuk ekstrem). Jika ialah titik ekstrem bagi suatu fungsi dan terbitan wujud pada titik ini, maka ia adalah sama dengan sifar: .

Teorem 4.(tanda yang mencukupi untuk melampau). Jika derivatif berubah tanda apabila x melalui a, maka a ialah titik ekstrem bagi fungsi itu.

Perkara utama dalam penyelidikan derivatif:

1. Cari terbitan.

2. Cari semua titik kritikal daripada domain takrifan fungsi.

3. Tetapkan tanda terbitan fungsi apabila melalui titik kritikal dan tulis titik ekstrem.

4. Kira nilai fungsi pada setiap titik ekstrem.

Biarkan satu mata bahan pada satah diberikan. Hukum pergerakannya di sepanjang paksi koordinat diterangkan oleh undang-undang $ x(t) $, di mana $ t $ menentukan masa. Kemudian dalam masa dari $ t_0 $ hingga $ t_0 + \Delta t $ titik melepasi laluan $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Ternyata begitu kelajuan purata titik sedemikian ditemui oleh formula: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Jika $ \Delta t $ cenderung kepada sifar, maka nilai kelajuan purata akan cenderung kepada nilai yang dipanggil kelajuan serta merta pada titik $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Dengan mentakrifkan terbitan melalui had, kita memperoleh sambungan antara kelajuan dan hukum pergerakan laluan titik material:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Contoh penyelesaian

Sesuatu fungsi adalah kompleks jika ia boleh diwakili sebagai fungsi bagi fungsi y = f[φ(x)], dengan y = f(u), аu = φ(x), dengan u ialah hujah perantaraan. Mana-mana fungsi kompleks boleh diwakili dalam bentuk fungsi asas (mudah), yang merupakan hujah perantaraannya.

Contoh:

Fungsi mudah: Fungsi kompleks:

y= x 2 y = (x+1) 2 ;u= (x+1); y=u 2 ;

y = sinx; y =sin2x;u= 2x; y = sinu;

y = e x y = e 2x; y = e u;

y = lnx y = ln(x+2); y =lnu.

Peraturan am untuk membezakan fungsi kompleks diberikan oleh teorem di atas tanpa bukti.

Jika fungsi u=φ(x) mempunyai terbitan u" x =φ"(x) pada titik x, dan fungsi y =f(u) mempunyai terbitan u" u =f " (u) pada pointu yang sepadan, maka terbitan bagi fungsi kompleks y =f[φ(x)] pada titik x ditemui dengan formula: y" x =f " (u) u"(x).

Rumusan teorem ini yang kurang tepat tetapi lebih pendek sering digunakan : derivatif bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif berkenaan dengan pembolehubah perantaraan dan terbitan bagi pembolehubah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Contoh: y = sin2x 2 ; u= 2x 2 ; y = sinu;

y" x = (sinu)" u · (2x 2)" x =cosu · 4x = 4x · cos2x 2.

3. Derivatif tertib kedua. Makna mekanikal terbitan kedua.

Terbitan bagi fungsi y =f(x) dipanggil terbitan tertib pertama atau ringkasnya terbitan pertama bagi fungsi itu. Derivatif ini ialah fungsi x dan boleh dibezakan untuk kali kedua. Terbitan terbitan dipanggil derivatif tertib kedua atau terbitan kedua. Ia ditetapkan: y" xx - (pemain dua pukulan pada x);f"(x) – ( ef dua lejang pada x);d 2 y/dх 2 – (de two yrek on de x dua kali);d 2 f/dх 2 – (de two ef on de x dua kali).

Berdasarkan definisi terbitan kedua, kita boleh menulis:

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx).

Derivatif kedua pula ialah fungsi bagi x dan boleh dibezakan untuk mendapatkan terbitan tertib ketiga, dsb.

Contoh: y = 2x 3 +x 2;

y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

Makna mekanikal derivatif kedua dijelaskan berdasarkan pecutan serta-merta, yang mencirikan gerakan berselang-seli. Jika S=f(t) ialah persamaan gerakan, maka=S" t ; A

Jika S=f(t) ialah persamaan gerakan, maka=S" t ; Rabu =;
Jika S=f(t) ialah persamaan gerakan, maka=S" t ; segera =
purata = Jika S=f(t) ialah persamaan gerakan, maka=S" t ;=" t ;

segera

Contoh:= " t = (S" t)" t = S" tt . Jika S=f(t) ialah persamaan gerakan, maka=S" t ; Oleh itu, terbitan kedua laluan berkenaan dengan masa adalah sama dengan pecutan serta-merta bagi gerakan berselang-seli. Ini ialah makna fizikal (mekanikal) bagi terbitan ke-2.

Biarkan gerakan rectilinear titik bahan berlaku mengikut hukum S = t 3 /3. Pecutan titik material akan ditentukan sebagai terbitan kedua S" tt:

= S" tt = (t 3/3)" = 2t.

4. Fungsi pembezaan. Berkait rapat dengan konsep derivatif ialah konsep pembezaan fungsi, yang mempunyai aplikasi praktikal yang penting. Fungsi f(
X " ) mempunyai terbitan

=f
(X); X " Menurut teorem (kami tidak menganggap teorem) tentang hubungan antara kuantiti tak terhingga α(∆х)( " α(∆х)=0) dengan terbitan:

(x)+ α (∆x), dari mana ∆f = f

(x) ∆х+α(∆х) · ∆х.

Daripada kesamaan yang terakhir, pertambahan fungsi terdiri daripada jumlah, setiap sebutan yang merupakan nilai paling kecil untuk ∆x→ 0. Mari kita tentukan susunan kekecilan setiap nilai terhingga jumlah ini berkenaan dengan ∆x yang tak terhingga: Akibatnya, f (x) ∆x tak terhingga

dan ∆х " mempunyai susunan kekecilan yang sama.

Akibatnya, nilai infinitesimal α(∆x)∆x mempunyai susunan kekecilan yang lebih tinggi berbanding dengan infinitesimal value ∆x. Ini bermakna bahawa dalam ungkapan untuk ∆f, sebutan kedua α(∆x)∆x cenderung kepada 0 lebih cepat sebagai ∆x→0 daripada sebutan pertama f " (x)∆x. Ini adalah penggal pertama f " (x)∆x dipanggil pembezaan fungsi pada titik x. Ia ditetapkan " dy (de igrek) atau df (de ef). Jadi dy=df= f " (x)∆х ordy= f

(x)dx, kerana dх pembezaan hujah adalah sama dengan kenaikannya ∆х (jika dalam formula df = f (x)dx andaikan bahawa f(x)=x, maka kita dapat df=dx=x" x ∆x, butx" x =1, iaitu dx=∆x). Jadi, pembezaan fungsi adalah sama dengan hasil darab fungsi ini dan pembezaan hujah. Maksud analitikal pembezaan ialah pembezaan fungsi ialah bahagian utama kenaikan fungsi ∆f, linear berkenaan dengan hujah ∆x. Pembezaan fungsi berbeza daripada kenaikan fungsi dengan nilai kecil tak terhingga α(∆х)∆х " tertib kekecilan yang lebih tinggi daripada ∆х.

Contoh: y = 2x 3 +x 2;dу =?dу = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx.

Mengabaikan nilai paling kecil α(∆х)∆х bagi susunan yang lebih tinggi lebih sedikit daripada ∆Berkait rapat dengan konsep derivatif ialah konsep pembezaan fungsi, yang mempunyai aplikasi praktikal yang penting., kita dapat df≈ ∆f≈ f " (x)dх i.e. Pembezaan fungsi boleh digunakan untuk menganggarkan kenaikan fungsi, kerana pembezaan biasanya lebih mudah untuk dikira. Pembezaan juga boleh digunakan untuk pengiraan anggaran nilai fungsi. Beritahu kami fungsi y = f(x) dan terbitannya pada titik x. Adalah perlu untuk mencari nilai fungsi f(x+∆x) pada beberapa titik rapat (x+∆x). Untuk melakukan ini, kami akan menggunakan anggaran kesamaan ∆у ≈dyor ∆у ≈f " (x) ∆x. Memandangkan ∆у=f(х+∆х)-f(х), kita memperolehf(х+∆х)-f (х) ≈f " (x) dх , dari mana (x+∆x) = f(x)+f " (x) dx. Formula yang terhasil menyelesaikan masalah.

Kad arahan No. 20

Takyryby/Subjek: « Derivatif kedua dannya makna fizikal ».

Maksaty/ Tujuan:

Dapat mencari persamaan tangen, serta tangen sudut kecondongan tangen kepada paksi OX. Dapat mencari kadar perubahan fungsi, serta pecutan.

Wujudkan syarat untuk pembentukan kemahiran membanding dan mengklasifikasikan fakta dan konsep yang dikaji.

Memupuk sikap bertanggungjawab terhadap kerja pendidikan, kemahuan dan ketekunan untuk mencapai keputusan akhir dalam mencari persamaan tangen, serta dalam mencari kadar perubahan fungsi dan pecutan.

Bahan teori:

(Makna geometri diperolehi)

Persamaan tangen kepada graf fungsi ialah:

Contoh 1: Mari kita cari persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik dengan kelucahan 2.

Jawapan: y = 4x-7

Pekali sudut k tangen kepada graf fungsi pada titik dengan absis x o adalah sama dengan f / (x o) (k= f / (x o)). Sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan

arctg k = arctg f / (x o), i.e. k= f / (x o)= tg

Contoh 2: Pada sudut manakah gelombang sinus memotong paksi-x pada asalan?

Sudut di mana graf fungsi tertentu bersilang dengan paksi-x ialah sama dengan sudut kecerunan a tangen yang dilukis pada graf fungsi f(x) pada titik ini. Mari kita cari derivatif: Menimbang makna geometri derivatif, kita mempunyai: dan a = 60°. Jawapan: =60 0 .

Jika suatu fungsi mempunyai terbitan pada setiap titik dalam domain takrifnya, maka terbitannya ialah fungsi . Fungsi pula boleh mempunyai derivatif, yang dipanggil terbitan tertib kedua fungsi (atau terbitan kedua) dan ditandakan dengan simbol .

Contoh 3: Cari terbitan kedua bagi fungsi: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Mula-mula, mari kita cari terbitan pertama bagi fungsi ini f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Kemudian, kita dapati terbitan kedua bagi terbitan pertama yang diperolehi

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Jawapan: f""x) = 6x-8.

(Makna mekanikal terbitan kedua)

Jika suatu titik bergerak secara rectilinear dan hukum pergerakannya diberikan, maka pecutan titik tersebut adalah sama dengan derivatif kedua dari jalan tersebut berkenaan dengan masa:

Kelajuan badan material adalah sama dengan terbitan pertama laluan, iaitu:

Pecutan badan bahan adalah sama dengan terbitan pertama kelajuan, iaitu:

Contoh 4: Badan bergerak secara rectilinear mengikut hukum s (t) = 3 + 2t + t 2 (m). Tentukan kelajuan dan pecutannya pada masa t = 3 s. (Jarak diukur dalam meter, masa dalam saat).
Penyelesaian
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Jawapan: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Bahagian praktikal:

Soalan keselamatan:

Apakah yang anda anggap maksud fizikal terbitan - adakah ia kelajuan serta-merta atau kelajuan purata?

Apakah kaitan antara tangen yang dilukis pada graf fungsi melalui sebarang titik dan konsep terbitan?

Apakah takrifan tangen kepada graf fungsi pada titik M(x 0 ;f(x 0))?

Apakah maksud mekanikal bagi terbitan kedua?

Derivatif(berfungsi pada satu titik) - konsep asas kalkulus pembezaan, mencirikan kadar perubahan fungsi (pada titik tertentu). Ia ditakrifkan sebagai had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujahnya kerana kenaikan hujah cenderung kepada sifar, jika had sedemikian wujud. Fungsi yang mempunyai terbitan terhingga (pada satu ketika) dipanggil boleh dibezakan (pada ketika itu).

Derivatif. Mari kita pertimbangkan beberapa fungsi y = f (x ) pada dua titik x 0 dan x 0 + : f (x 0) dan f (x 0 + ). Di sini, melalui menandakan beberapa perubahan kecil dalam hujah, dipanggil pertambahan hujah; oleh itu, perbezaan antara dua nilai fungsi: f (x 0 + )  f (x 0 ) dipanggil kenaikan fungsi.Derivatif fungsi y = f (x ) pada titik x 0 disebut had:

Jika had ini wujud, maka fungsinya f (x ) dipanggil boleh dibezakan pada titik x 0 . Terbitan fungsi f (x ) dilambangkan seperti berikut:

Makna geometri terbitan. Pertimbangkan graf bagi fungsi tersebut y = f (x ):

Daripada Rajah 1 adalah jelas bahawa bagi mana-mana dua titik A dan B graf fungsi:

di manakah sudut kecondongan bagi sekan AB.

Oleh itu, nisbah perbezaan adalah sama dengan kecerunan sekan. Jika anda menetapkan titik A dan menggerakkan titik B ke arahnya, maka ia berkurangan tanpa had dan menghampiri 0, dan sekan AB menghampiri tangen AC. Oleh itu, had nisbah perbezaan adalah sama dengan kecerunan tangen pada titik A. Ia berikut: Terbitan bagi fungsi pada satu titik ialah kecerunan tangen kepada graf fungsi ini pada titik itu. Ini adalah apa makna geometri terbitan.

Persamaan tangen. Mari kita terbitkan persamaan tangen kepada graf fungsi di titik A ( x 0 , f (x 0 )). Secara umum, persamaan garis lurus dengan pekali cerun f ’(x 0 ) mempunyai bentuk:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Untuk mencari b, Mari kita mengambil kesempatan daripada fakta bahawa tangen melalui titik A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

dari sini, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , dan menggantikan ungkapan ini b, kita akan dapat persamaan tangen:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Makna mekanikal derivatif. Mari kita pertimbangkan kes paling mudah: pergerakan titik bahan di sepanjang paksi koordinat, dan hukum gerakan diberi: koordinat x titik bergerak - fungsi yang diketahui x (t) masa t. Semasa selang masa dari t 0 hingga t 0 + titik bergerak jarak: x (t 0 + ) x (t 0) = , dan dia kelajuan purata adalah sama dengan: v a =  . Pada 0, kelajuan purata cenderung kepada nilai tertentu, yang dipanggil kelajuan serta merta v ( t 0 ) titik material pada masa t 0 . Tetapi dengan definisi derivatif kita mempunyai:

dari sini, v (t 0 ) = x' (t 0 ) , iaitu kelajuan ialah terbitan koordinat Oleh masa. Ini adalah apa deria mekanikal terbitan . Begitu juga, pecutan ialah terbitan kelajuan berkenaan dengan masa: a = v' (t).

8. Jadual derivatif dan peraturan pembezaan

Kami bercakap tentang apa itu derivatif dalam artikel "Makna geometri bagi derivatif." Jika suatu fungsi diberikan oleh graf, terbitannya pada setiap titik adalah sama dengan tangen tangen kepada graf fungsi itu. Dan jika fungsi itu diberikan oleh formula, jadual derivatif dan peraturan pembezaan akan membantu anda, iaitu peraturan untuk mencari derivatif.

§ 2. Takrif derivatif.

Biarkan fungsi y= f(x) ditakrifkan pada selang ( a;b). Pertimbangkan nilai hujah

(a;b) . Mari kita beri pertambahan hujah ∆ x 0, supaya keadaan ( x 0 +∆ x)

a;b). Mari kita nyatakan nilai fungsi yang sepadan dengan y 0 dan y 1:

y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 0 +∆ x). Apabila bergerak dari x 0 Kepada x 0 +∆ x fungsi akan ditambah

∆y= y 1 -y 0 = f(x 0 +∆ x) -f(x 0 ). Jika, sambil berusaha ∆ x kepada sifar terdapat had kepada nisbah pertambahan fungsi ∆y kepada kenaikan hujah yang menyebabkannya ∆ x,

mereka. ada hadnya

=

,

maka had ini dipanggil derivatif fungsi y= f(x) pada titik x 0 . Jadi, terbitan bagi fungsi tersebut y= f(x) pada titik x=x 0 ialah had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah apabila kenaikan hujah cenderung kepada sifar. Terbitan fungsi y= f(x) pada titik x ditunjukkan oleh simbol (x) atau (x). Notasi juga digunakan , , ,. DALAM tiga terakhir tatatanda menekankan fakta bahawa terbitan diambil berkenaan dengan pembolehubah x.

Jika fungsi y= f(x) mempunyai terbitan pada setiap titik selang tertentu, maka pada selang ini terbitan ( x) ialah hujah fungsi x.

§ 3. Makna mekanikal dan geometri bagi terbitan.

Persamaan normal dan tangen kepada graf fungsi.

Seperti yang ditunjukkan dalam § 1, kelajuan serta-merta suatu titik ialah

v = .

Tetapi ini bermakna bahawa kelajuan v ialah terbitan bagi jarak yang dilalui S mengikut masa t ,

v =. Oleh itu, jika fungsi y= f(x) menerangkan hukum gerakan rectilinear bagi titik material, di mana y ialah laluan yang dilalui oleh titik material dari saat ia mula bergerak sehingga saat masa x, maka terbitan ( x) menentukan kelajuan serta-merta sesuatu titik pada satu masa x. Ini adalah makna mekanikal terbitan.

Dalam § 1 pekali sudut tangen kepada graf fungsi juga ditemui y= f(x) k= tgα= . Hubungan ini bermakna bahawa kecerunan tangen adalah sama dengan terbitan ( x). Secara lebih tegas, terbitan ( x) fungsi y= f(x) , dikira dengan nilai argumen sama dengan x, adalah sama dengan kecerunan tangen kepada graf fungsi ini pada titik yang absisnya sama dengan x. Ini ialah makna geometri bagi terbitan.

Biar pada x=x 0 fungsi y= f(x) mengambil nilai y 0 =f(x 0 ) , dan graf fungsi ini mempunyai tangen pada titik dengan koordinat ( x 0 ;y 0). Kemudian cerun tangen

k = ( x 0). Menggunakan persamaan garis yang melalui titik tertentu dalam arah tertentu, diketahui dari perjalanan geometri analitik ( y-y 0 =k(x-x 0)), kita tulis persamaan tangen:

Garis lurus yang melalui titik tangen berserenjang dengan tangen dipanggil normal kepada lengkung. Oleh kerana normal adalah berserenjang dengan tangen, maka pekali sudutnya k norma berkaitan dengan kecerunan tangen k diketahui dari geometri analitik dengan hubungan: k norma = ─, i.e. untuk laluan biasa melalui titik dengan koordinat ( x 0 ;y 0),k biasa = ─ . Oleh itu, persamaan normal ini mempunyai bentuk:

(dengan syarat itu

).

§ 4. Contoh pengiraan terbitan.

Untuk mengira terbitan bagi suatu fungsi y= f(x) pada titik x, perlu:

Hujah x berikan kenaikan ∆ x;

Cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi ∆ y=f(x+∆x) -f(x);

Buat hubungan ;

Cari had nisbah ini pada ∆ x→0.

Contoh 4.1. Cari terbitan bagi suatu fungsi y=C=const.

Hujah x berikan kenaikan ∆ x.

walau apa pun x, ∆y=0: ∆y=f(x+∆x) ─f(x)=С─С=0;

Dari sini =0 dan =0, i.e. =0.

Contoh 4.2. Cari terbitan bagi suatu fungsi y=x.

∆ y=f(x+∆x) ─f(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1, i.e. =1.

Contoh 4.3. Cari terbitan bagi suatu fungsi y=x 2.

∆ y= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, iaitu =2 x.

Contoh 4.4. Cari terbitan bagi fungsi y=sin x.

∆ y=dosa( x+∆x) – dosa x= 2 dosa cos( x+);

=

;

=



=cos x, iaitu =cos x.

Contoh 4.5. Cari terbitan bagi suatu fungsi y=

.

=

, iaitu = .

DERIA MEKANIKAL TERBITAN

Dari fizik diketahui bahawa hukum gerakan seragam mempunyai bentuk s = v t, Di mana s– jalan yang dilalui ke saat masa t, v– kelajuan gerakan seragam.

Namun, kerana Kebanyakan pergerakan yang berlaku di alam semula jadi adalah tidak sekata, kemudian secara amnya kelajuan, dan, akibatnya, jarak s akan bergantung pada masa t, iaitu akan menjadi fungsi masa.

Jadi, biarkan titik material bergerak dalam garis lurus ke satu arah mengikut undang-undang s=s(t).

Mari kita tandai titik masa tertentu t 0 . Pada ketika ini titik telah melepasi laluan s=s(t 0 ). Mari kita tentukan kelajuan v titik material pada satu ketika dalam masa t 0 .

Untuk melakukan ini, mari kita pertimbangkan beberapa titik masa yang lain t 0 + Δ t. Ia sepadan dengan laluan yang dilalui s =s(t 0 + Δ t). Kemudian dalam tempoh masa Δ t titik telah melalui laluan Δs =s(t 0 + Δ t)–s(t).

Mari kita pertimbangkan sikap. Ia dipanggil kelajuan purata dalam selang masa Δ t. Kelajuan purata tidak dapat mencirikan dengan tepat kelajuan pergerakan sesuatu titik pada masa ini t 0 (kerana pergerakan tidak sekata). Untuk menyatakan kelajuan sebenar ini dengan lebih tepat menggunakan kelajuan purata, anda perlu mengambil tempoh masa yang lebih singkat Δ t.

Jadi, kelajuan pergerakan pada masa tertentu dalam masa t 0 (kelajuan seketika) ialah had kelajuan purata dalam selang dari t 0 hingga t 0 +Δ t, apabila Δ t→0:

,

mereka. kelajuan tidak sekata ini ialah terbitan bagi jarak yang dilalui berkenaan dengan masa.

MAKSUD GEOMETRI DERIVATIF

Mari kita mula-mula memperkenalkan definisi tangen kepada lengkung pada titik tertentu.

Marilah kita mempunyai lengkung dan titik tetap di atasnya M 0(lihat rajah). M lengkung ini dan lukiskan secan M 0 M. Jika titik M mula bergerak di sepanjang lengkung, dan titik M 0 kekal tidak bergerak, maka sekan berubah kedudukannya. Jika, dengan anggaran titik tanpa had M sepanjang lengkung ke satu titik M 0 di mana-mana bahagian secant cenderung untuk menduduki kedudukan garis lurus tertentu M 0 T, kemudian lurus M 0 T memanggil tangen kepada lengkung pada titik tertentu M 0.

itu., tangen ke lengkung pada titik tertentu M 0 dipanggil kedudukan had bagi sekan M 0 M apabila titik M cenderung di sepanjang lengkung ke satu titik M 0.

Sekarang mari kita pertimbangkan fungsi berterusan y=f(x) dan lengkung yang sepadan dengan fungsi ini. Pada nilai tertentu Berkait rapat dengan konsep derivatif ialah konsep pembezaan fungsi, yang mempunyai aplikasi praktikal yang penting. 0 fungsi mengambil nilai y 0 =f(x 0). Nilai-nilai ini x 0 dan y 0 pada lengkung sepadan dengan titik M 0 (x 0 ; y 0). Mari kita berikan hujah x 0 kenaikan Δ Berkait rapat dengan konsep derivatif ialah konsep pembezaan fungsi, yang mempunyai aplikasi praktikal yang penting.. Nilai baharu argumen sepadan dengan nilai penambahan fungsi y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Kami faham maksudnya M(x 0+Δ x; y 0+Δ y). Mari kita lukiskan secant M 0 M dan nyatakan dengan φ sudut yang dibentuk oleh sekan dengan arah positif paksi lembu. Mari kita buat hubungan dan ambil perhatian bahawa .

Jika sekarang Δ x→0, maka disebabkan oleh kesinambungan fungsi Δ di→0, dan oleh itu titik M, bergerak di sepanjang lengkung, menghampiri titik tanpa had M 0. Kemudian bahagian M 0 M akan cenderung mengambil kedudukan tangen kepada lengkung pada titik tersebut M 0, dan sudut φ→α pada Δ x→0, di mana α menandakan sudut antara tangen dan arah positif paksi lembu. Oleh kerana fungsi tan φ secara berterusan bergantung kepada φ untuk φ≠π/2, maka untuk φ→α tan φ → tan α dan, oleh itu, kecerunan tangen adalah:

mereka. f "(x)= tg α .

Oleh itu, secara geometri y "(x 0) mewakili kecerunan tangen kepada graf fungsi ini pada titik x 0, iaitu untuk nilai hujah yang diberikan x, terbitan adalah sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh tangen kepada graf fungsi f(x) pada titik yang sesuai M 0 (x; y) dengan arah paksi positif lembu.

Contoh. Cari kecerunan tangen kepada lengkung y = x 2 pada titik M(-1; 1).

Kami telah pun melihat sebelum ini bahawa ( x 2)" = 2Berkait rapat dengan konsep derivatif ialah konsep pembezaan fungsi, yang mempunyai aplikasi praktikal yang penting.. Tetapi pekali sudut tangen kepada lengkung ialah tan α = y"| x=-1 = – 2.

Geometri, mekanikal, makna ekonomi terbitan

Definisi derivatif.

Kuliah Bil 7-8

Senarai sastera terpakai

1 Ukhobotov, V. I. Matematik: Tutorial.- Chelyabinsk: Chelyab. negeri univ., 2006.- 251 p.

2 Ermakov, V.I. Pengumpulan masalah dalam matematik yang lebih tinggi. Panduan belajar. –M.: INFRA-M, 2006. – 575 hlm.

3 Ermakov, V.I. Kursus am matematik yang lebih tinggi. Buku teks. –M.: INFRA-M, 2003. – 656 hlm.

Tema "Terbitan"

Sasaran: terangkan konsep terbitan, jejaki hubungan antara kesinambungan dan kebolehbezaan fungsi, tunjukkan kebolehgunaan menggunakan terbitan berserta contoh.

Had dalam ekonomi ini dipanggil kos pengeluaran marginal.

Definisi derivatif. Makna geometri dan mekanikal terbitan, persamaan fungsi tangen kepada graf.

Perlu jawapan ringkas (tanpa air yang tidak perlu)

salji_putih_mati

Derivatif ialah konsep asas kalkulus pembezaan, mencirikan kadar perubahan fungsi.
Geometrik?
Tangen kepada fungsi pada satu titik... .
Keadaan untuk meningkatkan fungsi: f " (x) > 0.
Keadaan untuk fungsi berkurangan: f " (x)< 0.
Titik bengkok ( syarat yang perlu): f " " (x0) = 0.
Convex up: f " " (x) Convex down: f " " (x) >0
Persamaan biasa: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
mekanikal?
halaju ialah terbitan berkenaan dengan jarak, pecutan ialah terbitan berkenaan dengan kelajuan dan terbitan kedua berkenaan dengan jarak...
Persamaan tangen kepada graf fungsi f pada titik x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Pengguna dipadamkan

Jika terdapat had pada nisbah delta y kepada delta x kenaikan fungsi delta y kepada kenaikan argumen delta x yang menyebabkannya, apabila delta x cenderung kepada sifar, maka had ini dipanggil derivatif bagi fungsi y = f(x) pada titik x tertentu dan dilambangkan dengan y" atau f "(x)
Kelajuan v bagi gerakan rectilinear ialah terbitan bagi laluan s berkenaan dengan masa t: v = ds/dt. Ini adalah makna mekanikal terbitan.
Pekali sudut tangen kepada lengkung y = f(x) pada titik dengan absis x ialah sifar ialah terbitan f"(x ialah sifar). Ini ialah makna geometri bagi terbitan.
Lengkung tangen pada titik M sifar ialah garis lurus M sifar T, pekali sudutnya adalah sama dengan had cerun sekan M sifar M satu apabila delta x cenderung kepada sifar.
tg phi = lim tg alpha sebagai delta x cenderung kepada sifar = lim (delta x / delta y) kerana delta x cenderung kepada sifar
Daripada makna geometri terbitan, persamaan tangen mengambil bentuk:
y - y sifar = f"(x sifar)(x - x sifar)