Punca ke-n kompleks kompleks. Kuasa dengan eksponen rasional sewenang-wenangnya

nombor dalam bentuk trigonometri.

Formula Moivre

Biarkan z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) dan z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Bentuk trigonometri untuk menulis nombor kompleks adalah mudah digunakan untuk melakukan operasi pendaraban, pembahagian, peningkatan kepada kuasa integer, dan mengekstrak punca darjah n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Apabila mendarab dua nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, modul mereka didarab dan hujah mereka ditambah. Apabila membahagikan modul mereka dibahagikan dan hujah mereka ditolak.

Akibat daripada peraturan untuk mendarab nombor kompleks ialah peraturan untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Nisbah ini dipanggil Formula Moivre.

Contoh 8.1 Cari hasil darab dan hasil bagi nombor:

Dan

Penyelesaian

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Contoh 8.2 Tulis nombor dalam bentuk trigonometri

∙
–i) 7 .

Penyelesaian

Mari kita nyatakan
dan z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arctan
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7§ 9 Mengeluarkan punca nombor kompleksDefinisi. akar n
kuasa ke- bagi nombor kompleks z (menyatakan) dipanggil
= 0.

nombor kompleks

w sehingga w n = z. Jika z = 0, maka

Biarkan z  0, z = r(cos + isin). Mari kita nyatakan w = (cos + sin), kemudian kita tulis persamaan w n = z dalam bentuk berikut

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Oleh itu  n = r,

Oleh itu wk =

Di antara nilai-nilai ini terdapat betul-betul n yang berbeza.
Oleh itu k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Pada satah kompleks, titik-titik ini ialah bucu n-gon sekata yang tertulis dalam bulatan jejari

dengan pusat pada titik O (Rajah 12). Rajah 12
.

Contoh 9.1

Cari semua nilai

Penyelesaian.
Mari kita wakili nombor ini dalam bentuk trigonometri. Mari cari modulus dan hujahnya.

w k =
.

, di mana k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

Pada satah kompleks, titik-titik ini ialah bucu segi empat sama yang ditulis dalam bulatan jejari

dengan pusat di tempat asal (Rajah 13). Rajah 12
.

Contoh 9.1

Rajah 13 Rajah 14

Penyelesaian.
Contoh 9.2

w k =
z = – 64 = 64(kos +isin);
;

w 0 =
, di mana k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

Pada satah kompleks, titik-titik ini ialah bucu bagi heksagon sekata yang ditulis dalam bulatan jejari 2 dengan pusat di titik O (0; 0) - Rajah 14.

§ 10 Bentuk eksponen bagi nombor kompleks.

Formula Euler

Mari kita nyatakan
= cos  + isin  dan
= cos  - isin  . Hubungan ini dipanggil .

Formula Euler
Fungsi

mempunyai sifat biasa fungsi eksponen:

Biarkan nombor kompleks z ditulis dalam bentuk trigonometri z = r(cos + isin).

Menggunakan formula Euler, kita boleh menulis:
.

z = r Entri ini dipanggil bentuk eksponen

nombor kompleks. Menggunakannya, kita memperoleh peraturan untuk pendaraban, pembahagian, eksponen dan pengekstrakan akar.
Jika z 1 = r 1 ·
dan z 2 = r 2 ·

?Itu
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

, di mana k = 0, 1, … , n – 1. Contoh 10.1

Tulis nombor dalam bentuk algebra
.

Contoh 9.1

z = Contoh 10.2

Contoh 9.1

Selesaikan persamaan z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Untuk sebarang pekali kompleks, persamaan ini mempunyai dua punca z 1 dan z 1 (mungkin bertepatan). Akar ini boleh didapati menggunakan formula yang sama seperti dalam kes sebenar. Kerana

mengambil dua nilai yang hanya berbeza dalam tanda, maka formula ini kelihatan seperti:
Oleh kerana –9 = 9 e  i, maka nilainya

akan ada nombor:
Kemudian
.

Contoh 9.1

Selesaikan persamaan z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.
.

Punca-punca persamaan yang diperlukan ialah nilai

Penyelesaian.
Untuk z = –1 kita mempunyai r = 1, arg(–1) = .

, k = 0, 1, 2.

Senaman

G)

d) 7(cos0 + isin0).

11 Tulis nombor dalam bentuk algebra dan geometri:

12 Nombor diberi
.

Membentangkannya dalam bentuk eksponen, cari

13 Menggunakan bentuk eksponen bagi nombor kompleks, lakukan langkah berikut:
A)

b)
V)

d) Dengan Dan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks 2 .

nombor asli Nombor kompleks Z dipanggil§ 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks– akar c Nombor kompleks § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = akar.

, Jika § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks– Mari cari semua nilai akar d) oh kuasa nombor kompleks akar=| akar|·(. biarlah cos akar+ Arg· i cosdosa dengan), Nombor kompleks = | Nombor kompleksA|·(dengan cos Nombor kompleks + Arg· i cos Nombor kompleks) os Nombor kompleks, Di mana § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks- Mari cari semua nilai akar d) akar = akar = | akar|·(. biarlah cos akar+ Arg· i cos. Kemudian ia mesti dengan)
. Ia berikutan itu § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks· cos Nombor kompleks = cosDan
cos Nombor kompleks =
(Dengan=0,1,…) k Nombor kompleks =
(. biarlah
+ Arg· i
), (Dengan=0,1,…) . Oleh itu,
, (Dengan=0,1,…) . Ia adalah mudah untuk melihat bahawa mana-mana nilai
,(Dengan = 0,1,…, § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks-1) berbeza daripada salah satu nilai yang sepadan dengan berbilang 2π (Dengan = 0,1,…, § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks-1) .

. sebab tu,

Contoh..

Mari kita hitung punca (-1) |-1| = 1, , jelas sekali (-1) = π

arg. biarlah π + Arg· i π )

, -1 = 1·(

= Arg

(k = 0, 1).

Kuasa dengan eksponen rasional sewenang-wenangnya d) Mari kita ambil nombor kompleks sewenang-wenangnya § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks. Jika d) § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = | akar| § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks nombor asli, kemudian|·(dengan ·(DengannArgArg· i ·(Dengan. Kemudian ia mesti s + § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = 0 ((6). Formula ini juga benar dalam kes itu)
oh kuasa nombor kompleks § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks < 0 s≠0 § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks Nombor kompleks Dengan Dan s ≠ 0

d) § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks =
, Kemudiand)(cos nArgd)) = , Kemudiand)+i·sin nArgd)) + i·sin nArg § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks.

. Oleh itu, formula (6) adalah sah untuk mana-mana os Mari kita ambil nombor rasional q nombor asli, dan r

adalah keseluruhan. Kemudian di bawah akar ijazah kita akan faham nombornya
.

Kami dapat itu ,

(Dengan = 0, 1, …, Mari kita ambil nombor rasional-1). Nilai-nilai ini Mari kita ambil nombor rasional kepingan, jika pecahan tidak boleh dikurangkan.

Kuliah No. 3 Had bagi urutan nombor kompleks

Fungsi bernilai kompleks bagi hujah semula jadi dipanggil urutan nombor kompleks dan ditetapkan (Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) atau d) 1 , Dengan 2 , ..., Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks . d) § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = a § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks + b § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks · Arg (§ 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = 1,2, ...) nombor kompleks.

d) 1 , Dengan 2 , … - ahli urutan; Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks – ahli biasa

nombor asli d) = a+ b· Arg Z had bagi urutan nombor kompleks (akar § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) os d) § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = a § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks + b § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks · Arg (§ 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = 1, 2, …) , di mana untuk mana-mana

itu di hadapan semua orang § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks > N ketidaksamaan berlaku
. Urutan yang mempunyai had terhingga dipanggil konvergen urutan.

Teorem.

Untuk mendapatkan urutan nombor kompleks (dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) (Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = a § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks + b § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks · Arg) menumpu kepada nombor dengan = a+ b· Arg, adalah perlu dan mencukupi untuk kesaksamaan dipeganglim a § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = a, lim b § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = b.

Bukti.

Kami akan membuktikan teorem berdasarkan ketaksamaan berganda yang jelas berikut

, Di mana Nombor kompleks = x + y· Arg (2)

Keperluan. biarlah lim(Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) = s. Mari kita tunjukkan bahawa persamaan itu benar lim a § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = a Dengan lim b § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks = b (3).

Jelas sekali (4)

Kerana
, Bila § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks → ∞ , maka dari sebelah kiri ketaksamaan (4) ia mengikutinya
. Ia berikutan itu
, Bila § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks → ∞ . oleh itu kesamaan (3) dipenuhi. Keperluan telah terbukti.

Kecukupan. Biarkan sekarang persamaan (3) dipenuhi. Daripada kesamarataan (3) ia mengikutinya
. Ia berikutan itu
, Bila § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks → ∞ , oleh itu, disebabkan bahagian kanan ketaksamaan (4), ia akan menjadi
, Bila § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks→∞ , Bermaksud lim(Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks )=c. Kecukupan telah terbukti.

Jadi, persoalan penumpuan jujukan nombor kompleks adalah bersamaan dengan penumpuan dua jujukan nombor nyata, oleh itu semua sifat asas had jujukan nombor nyata digunakan untuk jujukan nombor kompleks.

Sebagai contoh, untuk jujukan nombor kompleks, kriteria Cauchy adalah sah: untuk urutan nombor kompleks (dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) bertumpu, adalah perlu dan mencukupi untuk mana-mana

, itu untuk mana-mana§ 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks, m > Nketidaksamaan berlaku
.

Teorem.

Biarkan urutan nombor kompleks (dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) Dan (z § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) bertumpu kepada c dan masing-masingz, maka kesamaan adalah benarlim(Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks z § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) = akar z, lim(Dengan § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks · z § 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks ) = akar· z. Jika diketahui dengan pasti bahawaztidak sama dengan 0, maka kesamaan adalah benar
.