Nombor kompleks mengekstrak akar darjah 3. Kuasa dengan eksponen rasional sewenang-wenangnya

Dengan Dan nombor asli n 2 .

Nombor kompleks Z dipanggil akarn– c, Jika Z n = c.

Mari cari semua nilai akar n– oh kuasa nombor kompleks Dengan. biarlah c=| c|·(cos Arg c+ i· dosa Argdengan), A Z = | Z|·(denganos Arg Z + i· dosa Arg Z) , Di mana Z akar n- oh kuasa nombor kompleks Dengan. Kemudian ia mesti = c = | c|·(cos Arg c+ i· dosa Argdengan). Ia berikutan itu
Dan n· Arg Z = ArgDengan
Arg Z =
(k=0,1,…) . Oleh itu, Z =
(cos
+ i· dosa
), (k=0,1,…) . Ia adalah mudah untuk melihat bahawa mana-mana nilai
, (k=0,1,…) berbeza daripada salah satu nilai yang sepadan
,(k = 0,1,…, n-1) dengan berbilang 2π. sebab tu, (k = 0,1,…, n-1) .

Contoh.

Mari kita hitung punca (-1).

, jelas sekali |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + i· dosa π )

, (k = 0, 1).

= i

Kuasa dengan eksponen rasional sewenang-wenangnya

Mari kita ambil nombor kompleks sewenang-wenangnya Dengan. Jika n nombor asli, kemudian Dengan n = | c| n ·(Denganos nArgs +i· dosa nArgdengan)(6). Formula ini juga benar dalam kes itu n = 0 (s≠0)
. biarlah n < 0 Dan n Z Dan s ≠ 0, Kemudian

Dengan n =
(cos nArgDengan+i·sin nArgDengan) = (cos nArgDengan+ i·sin nArgDengan) . Oleh itu, formula (6) adalah sah untuk mana-mana n.

Mari kita ambil nombor rasional , Di mana q nombor asli, dan r adalah keseluruhan.

Kemudian di bawah ijazah c r kita akan faham nombornya
.

Kami dapat itu ,

(k = 0, 1, …, q-1). Nilai-nilai ini q kepingan, jika pecahan tidak boleh dikurangkan.

Kuliah No. 3 Had bagi urutan nombor kompleks

Fungsi bernilai kompleks bagi hujah semula jadi dipanggil urutan nombor kompleks dan ditetapkan (Dengan n ) atau Dengan 1 , Dengan 2 , ..., Dengan n . Dengan n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) nombor kompleks.

Dengan 1 , Dengan 2 , … - ahli urutan; Dengan n – ahli biasa

Nombor kompleks Dengan = a+ b· i dipanggil had bagi urutan nombor kompleks (c n ) , Di mana Dengan n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , di mana untuk mana-mana

itu di hadapan semua orang n > N ketidaksamaan berlaku
. Urutan yang mempunyai had terhingga dipanggil konvergen urutan.

Teorem.

Untuk mendapatkan urutan nombor kompleks (dengan n ) (Dengan n = a n + b n · i) menumpu kepada nombor dengan = a+ b· i, adalah perlu dan mencukupi untuk kesaksamaan dipeganglim a n = a, lim b n = b.

Bukti.

Kami akan membuktikan teorem berdasarkan ketaksamaan berganda yang jelas berikut

, Di mana Z = x + y· i (2)

Keperluan. biarlah lim(Dengan n ) = s. Mari kita tunjukkan bahawa persamaan itu benar lim a n = a Dan lim b n = b (3).

Jelas sekali (4)

Kerana
, Bila n → ∞ , maka dari sebelah kiri ketaksamaan (4) ia mengikutinya
Dan
, Bila n → ∞ . oleh itu kesamaan (3) dipenuhi. Keperluan telah terbukti.

Kecukupan. Biarkan sekarang persamaan (3) dipenuhi. Daripada kesamarataan (3) ia mengikutinya
Dan
, Bila n → ∞ , oleh itu, disebabkan bahagian kanan ketaksamaan (4), ia akan menjadi
, Bila n→∞ , Bermaksud lim(Dengan n )=c. Kecukupan telah terbukti.

Jadi, persoalan penumpuan jujukan nombor kompleks adalah bersamaan dengan penumpuan dua jujukan nombor nyata, oleh itu semua sifat asas had jujukan nombor nyata digunakan untuk jujukan nombor kompleks.

Sebagai contoh, untuk jujukan nombor kompleks, kriteria Cauchy adalah sah: untuk urutan nombor kompleks (dengan n ) bertumpu, adalah perlu dan mencukupi untuk mana-mana

, itu untuk mana-manan, m > Nketidaksamaan berlaku
.

Teorem.

Biarkan urutan nombor kompleks (dengan n ) Dan (z n ) bertumpu kepada c dan masing-masingz, maka kesamaan adalah benarlim(Dengan n z n ) = c z, lim(Dengan n · z n ) = c· z. Jika diketahui dengan pasti bahawaztidak sama dengan 0, maka kesamaan adalah benar
.

nombor dalam bentuk trigonometri.

Formula Moivre

Biarkan z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) dan z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Bentuk trigonometri untuk menulis nombor kompleks adalah mudah digunakan untuk melakukan operasi pendaraban, pembahagian, peningkatan kepada kuasa integer, dan mengekstrak punca darjah n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Apabila mendarab dua nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, modul mereka didarab dan hujah mereka ditambah. Apabila membahagikan modul mereka dibahagikan dan hujah mereka ditolak.

Akibat daripada peraturan untuk mendarab nombor kompleks ialah peraturan untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Nisbah ini dipanggil Formula Moivre.

Contoh 8.1 Cari hasil darab dan hasil bagi nombor:

Dan

Penyelesaian

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Contoh 8.2 Tulis nombor dalam bentuk trigonometri

∙
–i) 7 .

Penyelesaian

Mari kita nyatakan
dan z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arctan
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7n§ 9 Mengeluarkan punca nombor kompleks Definisi. akar
kuasa ke- bagi nombor kompleks
= 0.

z (menyatakan

) ialah nombor kompleks w sehingga w n = z. Jika z = 0, maka

Biarkan z  0, z = r(cos + isin). Mari kita nyatakan w = (cos + sin), kemudian kita tulis persamaan w n = z dalam bentuk berikut

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Oleh itu  n = r,

Oleh itu wk =

Di antara nilai-nilai ini terdapat betul-betul n yang berbeza.
Oleh itu k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Pada satah kompleks, titik-titik ini ialah bucu n-gon sekata yang tertulis dalam bulatan jejari

dengan pusat pada titik O (Rajah 12). Rajah 12
.

Contoh 9.1

Cari semua nilai

Penyelesaian.
Mari kita wakili nombor ini dalam bentuk trigonometri. Mari cari modulus dan hujahnya.

w k =
.

, di mana k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

Pada satah kompleks, titik-titik ini ialah bucu segi empat sama yang ditulis dalam bulatan jejari
dengan pusat di tempat asal (Rajah 13).

Rajah 13 Rajah 14

Contoh 9.2 Rajah 12
.

Contoh 9.1

z = – 64 = 64(kos +isin);

Penyelesaian.
, di mana k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w k =
;
;

w 0 =
w 1 =

w 3 =
w 4 =
.

;

w 5 =

Pada satah kompleks, titik-titik ini ialah bucu bagi heksagon sekata yang ditulis dalam bulatan jejari 2 dengan pusat di titik O (0; 0) - Rajah 14.

Mari kita nyatakan
§ 10 Bentuk eksponen bagi nombor kompleks.
Formula Euler = cos  + isin  dan .

= cos  - isin  .
Hubungan ini dipanggil

Formula Euler

Fungsi

mempunyai sifat biasa fungsi eksponen:
.

Biarkan nombor kompleks z ditulis dalam bentuk trigonometri z = r(cos + isin). Menggunakan formula Euler, kita boleh menulis: z = r

Entri ini dipanggil
bentuk eksponen
nombor kompleks. Menggunakannya, kita memperoleh peraturan untuk pendaraban, pembahagian, eksponen dan pengekstrakan akar.

Jika z 1 = r 1 ·
;

·

dan z 2 = r 2 ·

?Itu

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · z n = r n ·

, di mana k = 0, 1, … , n – 1.
.

Contoh 9.1

Contoh 10.1 Tulis nombor dalam bentuk algebra

Contoh 9.1

z =
Contoh 10.2

Selesaikan persamaan z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Untuk sebarang pekali kompleks, persamaan ini mempunyai dua punca z 1 dan z 1 (mungkin bertepatan). Akar ini boleh didapati menggunakan formula yang sama seperti dalam kes sebenar. Kerana

mengambil dua nilai yang hanya berbeza dalam tanda, maka formula ini kelihatan seperti:
Oleh kerana –9 = 9 e  i, maka nilainya
.

Contoh 9.1

Dan
.

Contoh 10.3

Penyelesaian.
Selesaikan persamaan z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.

Punca-punca persamaan yang diperlukan ialah nilai

Untuk z = –1 kita mempunyai r = 1, arg(–1) = .

b)

A)

V)

d) 7(cos0 + isin0).
.

11 Tulis nombor dalam bentuk algebra dan geometri:

12 Nombor diberi
Membentangkannya dalam bentuk eksponen, cari

13 Menggunakan bentuk eksponen bagi nombor kompleks, lakukan langkah berikut:
A)