Bagaimana untuk menetapkan fungsi. Kaedah untuk menentukan fungsi. Contoh. Kaedah analisis untuk menentukan fungsi

Apakah maksud perkataan tersebut? "menetapkan fungsi"? Maksudnya: terangkan kepada semua orang yang ingin tahu apa fungsi tertentu kita bercakap. Selain itu, terangkan dengan jelas dan jelas!

Bagaimana ini boleh dilakukan? Bagaimana tetapkan fungsi?

Anda boleh menulis formula. Anda boleh melukis graf. Anda boleh membuat meja. Apa-apa cara pun beberapa peraturan yang mana kita boleh mengetahui nilai i untuk nilai x yang telah kita pilih. Itu. "fungsi tetapkan", ini bermaksud untuk menunjukkan undang-undang, peraturan yang mana x berubah menjadi y.

Biasanya, dalam pelbagai tugas ada sudah sedia fungsi. Mereka memberi kita telah pun ditetapkan. Tentukan sendiri, ya, buat keputusan.) Tetapi... Selalunya, pelajar sekolah (dan juga pelajar) bekerja dengan formula. Mereka terbiasa dengannya, anda tahu... Mereka sudah terbiasa dengannya sehinggakan sebarang soalan asas yang berkaitan dengan cara berbeza untuk menentukan fungsi serta-merta mengganggu orang itu...)

Untuk mengelakkan kes sedemikian, masuk akal untuk ditangani dengan cara yang berbeza tugasan fungsi. Dan, sudah tentu, gunakan pengetahuan ini untuk soalan "licik". Ia agak mudah. Jika anda tahu apa itu fungsi...)

Jom pergi?)

Kaedah analisis untuk menentukan fungsi.

Cara yang paling universal dan berkuasa. Fungsi yang ditakrifkan secara analitik inilah fungsi yang diberikan formula. Sebenarnya, ini adalah penjelasan keseluruhannya.) Fungsi yang biasa kepada semua orang (saya mahu percaya!), contohnya: y = 2x, atau y = x 2 dll. dll. dinyatakan secara analitikal.

By the way, tidak setiap formula boleh menentukan fungsi. Tidak setiap formula memenuhi syarat ketat daripada definisi fungsi. Iaitu - untuk setiap X hanya boleh ada satu igrek. Sebagai contoh, dalam formula y = ±x, Untuk satu nilai x=2, ternyata dua nilai y: +2 dan -2. Adalah mustahil untuk menentukan fungsi nilai tunggal dengan formula ini. Sebagai peraturan, mereka tidak berfungsi dengan fungsi berbilang nilai dalam cabang matematik ini, dalam kalkulus.

Apakah yang baik tentang cara analisis untuk menentukan fungsi? Kerana jika anda mempunyai formula, anda tahu tentang fungsi Semua! Anda boleh membuat tanda. Bina graf. Terokai ciri ini dengan program penuh. Ramalkan dengan tepat di mana dan bagaimana fungsi ini akan berfungsi. Semua analisis matematik adalah berdasarkan kaedah menentukan fungsi ini. Katakan, mengambil terbitan jadual adalah amat sukar...)

Kaedah analisis agak biasa dan tidak menimbulkan masalah. Mungkin terdapat beberapa variasi kaedah ini yang dihadapi oleh pelajar. Saya bercakap tentang fungsi parametrik dan tersirat.) Tetapi fungsi tersebut adalah dalam pelajaran khas.

Mari kita beralih kepada kurang dengan cara biasa tugasan fungsi.

Kaedah jadual untuk menentukan fungsi.

Seperti namanya, kaedah ini adalah tanda mudah. Dalam jadual ini, setiap x sepadan dengan ( diletakkan mengikut) beberapa maksud permainan. Baris pertama mengandungi nilai hujah. Baris kedua mengandungi nilai fungsi yang sepadan, contohnya:

Jadual 1.

Sila ambil perhatian! Dalam contoh ini, permainan bergantung pada X bagaimanapun. Saya datang dengan ini dengan sengaja.) Tiada corak. Tidak mengapa, ia berlaku. Bermaksud, betul-betul seperti itu Saya telah menyatakan fungsi khusus ini. betul tu Saya telah menetapkan peraturan yang mana X bertukar menjadi Y.

Anda boleh mekap yang lain pinggan yang mengandungi corak. Tanda ini akan menunjukkan lain fungsi, contohnya:

Jadual 2.

Adakah anda menangkap coraknya? Di sini semua nilai permainan diperoleh dengan mendarab x dengan dua. Berikut ialah soalan "licik" pertama: bolehkah fungsi yang ditakrifkan menggunakan Jadual 2 dianggap sebagai fungsi y = 2x? Fikirkan buat masa ini, jawapannya akan berada di bawah, secara grafik. Semuanya sangat jelas di sana.)

Apa yang bagus kaedah jadual untuk menentukan fungsi? Ya, kerana anda tidak perlu mengira apa-apa. Semuanya telah dikira dan ditulis dalam jadual.) Tetapi tidak ada yang lebih baik. Kami tidak tahu nilai fungsi untuk X, yang tiada dalam jadual. Dalam kaedah ini, nilai x tersebut adalah mudah tidak wujud. Ngomong-ngomong, ini adalah petunjuk kepada soalan yang rumit.) Kami tidak dapat mengetahui bagaimana fungsi itu bertindak di luar jadual. Kami tidak boleh berbuat apa-apa. Dan kejelasan kaedah ini meninggalkan banyak yang diingini... Kaedah grafik adalah baik untuk kejelasan.

Cara grafik untuk menentukan fungsi.

Dalam kaedah ini, fungsi diwakili oleh graf. Hujah (x) diplot di sepanjang paksi absis, dan nilai fungsi (y) diplot di sepanjang paksi ordinat. Mengikut jadual, anda juga boleh memilih mana-mana X dan cari nilai yang sepadan di. Graf boleh menjadi apa-apa, tetapi... bukan sebarangan.) Kami hanya berfungsi dengan fungsi yang tidak jelas. Takrifan fungsi tersebut dengan jelas menyatakan: setiap X diletakkan mengikut satu-satunya di. satu satu permainan, bukan dua atau tiga... Contohnya, mari lihat graf bulatan:

Bulatan adalah seperti bulatan... Mengapa ia tidak sepatutnya menjadi graf fungsi? Mari cari permainan yang manakah sepadan dengan nilai X, contohnya, 6? Kami menggerakkan kursor ke atas graf (atau menyentuh lukisan pada tablet), dan... kami melihat bahawa x ini sepadan dua maksud permainan: y=2 dan y=6.

Dua dan enam! Oleh itu, graf sedemikian tidak akan menjadi tugasan grafik bagi fungsi tersebut. hidup satu x mengambil kira dua permainan. Graf ini tidak sepadan dengan definisi fungsi.

Tetapi jika syarat yang tidak jelas dipenuhi, jadual boleh menjadi apa-apa sahaja. Contohnya:

Kebengkokan yang sama ini adalah undang-undang yang mana X boleh ditukar menjadi Y. Tidak jelas. Kami ingin mengetahui maksud fungsi untuk x = 4, Contohnya. Kita perlu mencari empat pada paksi-x dan melihat permainan yang sepadan dengan x ini. Kami menggerakkan tetikus ke atas angka dan melihat bahawa nilai fungsi di Untuk x=4 sama dengan lima. Kami tidak tahu formula apa yang menentukan transformasi X kepada Y ini. Dan jangan. Semuanya ditetapkan mengikut jadual.

Sekarang kita boleh kembali kepada soalan "licik" tentang y=2x. Mari kita plot fungsi ini. Inilah dia:

Sudah tentu, semasa melukis graf ini kami tidak mengambil bilangan nilai yang tidak terhingga X. Kami mengambil beberapa nilai dan mengira y, membuat tanda - dan semuanya sudah sedia! Orang yang paling celik huruf hanya mengambil dua nilai X! Dan memang betul. Untuk garis lurus anda tidak memerlukan lebih banyak lagi. Mengapa kerja tambahan?

Tetapi kita tahu pasti apa x boleh jadi sesiapa sahaja. Integer, pecahan, negatif... Mana-mana. Ini mengikut formula y=2x nampak. Oleh itu, kami dengan berani menyambungkan titik-titik pada graf dengan garis pepejal.

Jika fungsi itu diberikan kepada kita oleh Jadual 2, maka kita perlu mengambil nilai x hanya dari meja. Kerana X lain (dan Y) tidak diberikan kepada kami, dan tiada tempat untuk membawanya. Nilai ini tidak terdapat dalam fungsi ini. Jadual akan berjaya daripada mata. Kami menggerakkan tetikus ke atas rajah dan melihat graf fungsi yang dinyatakan dalam Jadual 2. Saya tidak menulis nilai x-y pada paksi, anda akan memikirkannya, sel demi sel?)

Berikut adalah jawapan kepada soalan "menukar". Fungsi yang dinyatakan oleh Jadual 2 dan fungsi y=2x - berbeza.

Kaedah grafik bagus untuk kejelasannya. Anda boleh melihat dengan serta-merta bagaimana fungsi berfungsi, di mana ia meningkat. di mana ia berkurangan. Daripada graf anda boleh mengecam beberapa dengan serta-merta ciri-ciri penting fungsi. Dan dalam topik dengan derivatif, tugasan dengan graf ada di mana-mana!

Secara umum, kaedah analisis dan grafik untuk mentakrifkan fungsi berjalan seiring. Bekerja dengan formula membantu membina graf. Dan graf sering mencadangkan penyelesaian yang anda tidak akan perasan dalam formula... Kami akan berkawan dengan graf.)

Hampir mana-mana pelajar mengetahui tiga cara untuk mentakrifkan fungsi yang baru kita lihat. Tetapi kepada soalan: "Dan yang keempat!?" - membeku dengan sempurna.)

Ada cara sedemikian.

Penerangan lisan tentang fungsi.

Ya, ya! Fungsi ini boleh dinyatakan dengan jelas dalam perkataan. Bahasa Rusia yang hebat dan hebat mampu melakukan banyak perkara!) Katakan fungsinya y=2x boleh ditentukan dengan penerangan lisan berikut: Setiap nilai sebenar argumen x dikaitkan dengan nilai bergandanya. Macam ni! Peraturan ditetapkan, fungsi ditentukan.

Selain itu, anda boleh menentukan secara lisan fungsi yang amat sukar, jika tidak mustahil, untuk ditakrifkan menggunakan formula. Contohnya: Setiap nilai hujah asli x dikaitkan dengan jumlah digit yang membentuk nilai x. Sebagai contoh, jika x=3, Itu y=3. Jika x=257, Itu y=2+5+7=14. Dan seterusnya. Adalah bermasalah untuk menulis ini dalam formula. Tetapi tanda itu mudah dibuat. Dan bina jadual. By the way, graf nampak kelakar...) Cubalah.

Kaedah penerangan lisan agak eksotik. Tetapi kadang-kadang ia berlaku. Saya membawanya ke sini untuk memberi anda keyakinan terhadap perkara yang tidak dijangka dan situasi luar biasa. Anda hanya perlu memahami maksud perkataan "fungsi ditentukan..." Ini dia, maksudnya:

Sekiranya terdapat undang-undang surat menyurat satu dengan satu antara X Dan di- maksudnya ada fungsi. Undang-undang apa, dalam bentuk apa ia dinyatakan - formula, tablet, graf, perkataan, lagu, tarian - tidak mengubah intipati perkara itu. Undang-undang ini membolehkan anda menentukan nilai Y yang sepadan daripada nilai X. Semua.

Sekarang kita akan menggunakan pengetahuan yang mendalam ini untuk beberapa tugas yang tidak standard.) Seperti yang dijanjikan pada permulaan pelajaran.

Tugasan 1:

Fungsi y = f(x) diberikan oleh Jadual 1:

Jadual 1.

Cari nilai fungsi p(4), jika p(x)= f(x) - g(x)

Jika anda tidak dapat memahami apa itu sama sekali, baca pelajaran sebelumnya "Apakah itu fungsi?" Ia ditulis dengan sangat jelas tentang huruf dan kurungan sedemikian.) Dan jika hanya bentuk jadual yang mengelirukan anda, maka kami akan menyelesaikannya di sini.

Daripada pelajaran lepas jelas bahawa jika, p(x) = f(x) - g(x), Itu p(4) = f(4) - g(4). surat f Dan g bermaksud peraturan mengikut mana setiap X diberikan permainannya sendiri. Bagi setiap huruf ( f Dan g) - milik anda peraturan. Yang diberikan oleh jadual yang sepadan.

Nilai fungsi f(4) ditentukan daripada Jadual 1. Ini akan menjadi 5. Nilai fungsi g(4) ditentukan mengikut Jadual 2. Ini akan menjadi 8. Perkara yang paling sukar kekal.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Ini adalah jawapan yang betul.

Selesaikan ketaksamaan f(x) > 2

Itu sahaja! Ia adalah perlu untuk menyelesaikan ketidaksamaan, yang (dalam bentuk biasa) tidak hadir dengan cemerlang! Apa yang tinggal ialah sama ada melepaskan tugas atau menghidupkan kepala anda. Kami memilih yang kedua dan berbincang.)

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan ketidaksamaan? Ini bermakna mencari semua nilai x di mana syarat yang diberikan kepada kita dipenuhi f(x) > 2. Itu. semua nilai fungsi ( di) mestilah lebih besar daripada dua. Dan pada carta kami, kami mempunyai setiap permainan... Dan terdapat lebih banyak dua, dan kurang... Dan mari, untuk kejelasan, lukiskan sempadan di sepanjang dua ini! Kami menggerakkan kursor ke atas lukisan dan melihat sempadan ini.

Tegasnya, sempadan ini ialah graf fungsi y=2, tetapi bukan itu maksudnya. Yang penting ialah sekarang graf menunjukkan dengan jelas di mana, pada apa X, nilai fungsi, i.e. y, lebih daripada dua. Mereka lebih X > 3. Pada X > 3 keseluruhan fungsi kami berlalu lebih tinggi sempadan y=2. Itulah penyelesaiannya. Tetapi masih terlalu awal untuk menutup kepala anda!) Saya masih perlu menulis jawapannya...

Graf menunjukkan bahawa fungsi kami tidak memanjang ke kiri dan kanan ke infiniti. Titik di hujung graf menunjukkan ini. Fungsi itu berakhir di sana. Oleh itu, dalam ketaksamaan kita, semua X yang melangkaui sempadan fungsi tidak mempunyai makna. Untuk fungsi X ini tidak wujud. Dan kami, sebenarnya, menyelesaikan ketaksamaan untuk fungsi...

Jawapan yang betul ialah:

3 < X ≤ 6

Atau, dalam bentuk lain:

X ∈ (3; 6]

Sekarang semuanya seperti yang sepatutnya. Tiga tidak termasuk dalam jawapan, kerana ketidaksamaan asal adalah ketat. Dan enam bertukar, kerana dan fungsi pada enam wujud, dan keadaan ketaksamaan dipenuhi. Kami telah berjaya menyelesaikan ketidaksamaan yang (dalam bentuk biasa) tidak wujud...

Beginilah cara sesetengah pengetahuan dan logik asas menyelamatkan anda dalam kes bukan standard.)

diberikan, dengan kata lain, diketahui, jika untuk setiap nilai bilangan argumen yang mungkin seseorang dapat mengetahui nilai fungsi yang sepadan. Tiga yang paling biasa cara untuk menentukan fungsi: jadual, grafik, analitikal, terdapat juga kaedah lisan dan rekursif.

1. Kaedah jadual yang paling banyak digunakan (jadual logaritma, punca kuasa dua), kelebihan utamanya ialah keupayaan untuk mendapatkan nilai berangka sesuatu fungsi, kelemahannya ialah jadual itu sukar dibaca dan kadangkala tidak mengandungi nilai perantaraan bagi hujah.

Contohnya:

Hujah X mengambil nilai yang dinyatakan dalam jadual, dan di ditentukan mengikut hujah ini X.

2. Kaedah grafik terdiri daripada melukis garis (graf) di mana abscissas mewakili nilai hujah, dan ordinat mewakili nilai fungsi yang sepadan. Selalunya, untuk kejelasan, skala pada paksi dianggap berbeza.

Contohnya: untuk mencari mengikut jadual di, yang sepadan dengan x = 2.5 adalah perlu untuk melukis serenjang dengan paksi X pada tanda 2,5 . Tanda boleh dibuat dengan agak tepat menggunakan pembaris. Kemudian kita dapati bahawa di X = 2,5 di sama 7,5 , bagaimanapun, jika kita perlu mencari nilai di di X sama rata 2,76 , maka kaedah grafik untuk menentukan fungsi tidak akan cukup tepat, kerana Pembaris tidak membenarkan ukuran tepat sedemikian.

Kelebihan kaedah menentukan fungsi ini ialah kemudahan dan integriti persepsi, kesinambungan perubahan dalam hujah; Kelemahannya ialah tahap ketepatan yang berkurangan dan kesukaran untuk mendapatkan nilai yang tepat.

3. Kaedah analisis terdiri daripada menentukan fungsi dengan satu atau lebih formula. Kelebihan utama kaedah ini ialah ketepatan yang tinggi dalam menentukan fungsi hujah kepentingan, tetapi kelemahannya ialah masa yang diperlukan untuk menjalankan operasi matematik tambahan.

Contohnya:

Fungsi boleh ditentukan menggunakan formula matematik y=x2, maka jika X sama 2 , Itu di sama 4, kami sedang membina X ke dalam segi empat sama.

4. Kaedah lisan terdiri daripada menentukan fungsi dalam bahasa biasa, i.e. perkataan. Dalam kes ini, adalah perlu untuk memberikan nilai input dan output dan korespondensi di antara mereka.

Contohnya:

Anda boleh menentukan secara lisan fungsi (tugas) yang diterima sebagai hujah semula jadi X dengan nilai yang sepadan bagi jumlah digit yang membentuk nilai di. Mari kita jelaskan: jika X sama 4 , Itu di sama 4 , dan jika X sama 358 , Itu di sama dengan jumlah 3 + 5 + 8 , iaitu 16 . Lebih serupa.

5. Cara rekursif terdiri dalam menentukan fungsi melalui dirinya sendiri, manakala nilai fungsi ditentukan melalui nilai-nilainya yang lain. Kaedah menentukan fungsi ini digunakan dalam menentukan set dan siri.

Contohnya:

Semasa penguraian Nombor Euler diberikan oleh fungsi:

Singkatannya diberikan di bawah:

Pada pengiraan langsung rekursi tak terhingga berlaku, tetapi ia boleh dibuktikan bahawa nilai f(n) dengan peningkatan n cenderung kepada perpaduan (oleh itu, walaupun siri infiniti, nilai Nombor Euler Sudah tentu). Untuk pengiraan anggaran nilai e ia cukup untuk mengehadkan kedalaman rekursi secara buatan kepada nombor tertentu yang diberikan terlebih dahulu dan, apabila mencapainya, gunakannya sebaliknya f(n) unit.

Syarahan: Konsep fungsi. Sifat asas fungsi.

Guru: Goryacheva A.O.

TENTANG. : Peraturan (undang-undang) korespondensi antara set X dan Y, mengikut mana bagi setiap elemen daripada set X satu dan hanya satu elemen daripada set Y boleh ditemui, dipanggilfungsi .

Sesuatu fungsi dianggap ditakrifkan jika:

Domain takrifan fungsi X diberikan;

Julat nilai fungsi Y ditentukan;

Peraturan (undang-undang) surat-menyurat diketahui, dan untuk setiap nilai hujah hanya satu nilai fungsi boleh ditemui. Keperluan keunikan fungsi ini adalah wajib.

TENTANG. : Set X semua nilai sebenar yang sah bagi argumen x yang mana fungsi y = f (x) ditakrifkan dipanggildomain fungsi .

Set Y semua nilai sebenar y yang diambil oleh fungsi dipanggiljulat fungsi .

Mari lihat beberapa cara untuk menentukan fungsi.

Kaedah jadual . Satu yang agak biasa adalah untuk menentukan jadual nilai hujah individu dan nilai fungsi yang sepadan. Kaedah mentakrifkan fungsi ini digunakan apabila domain takrifan fungsi ialah set terhingga diskret.

Kaedah grafik . Graf fungsi y = f(x) ialah set semua titik pada satah yang koordinatnya memenuhi persamaan yang diberikan.

Kaedah grafik untuk menentukan fungsi tidak selalu memungkinkan untuk menentukan nilai berangka hujah dengan tepat. Walau bagaimanapun, ia mempunyai kelebihan besar berbanding kaedah lain - keterlihatan. Dalam kejuruteraan dan fizik, kaedah grafik untuk menentukan fungsi sering digunakan, dan graf adalah satu-satunya cara yang tersedia untuk ini.

Kaedah analisis . Selalunya, undang-undang yang mewujudkan hubungan antara hujah dan fungsi ditentukan melalui formula. Kaedah untuk menentukan fungsi ini dipanggil analitikal.

Kaedah ini membolehkan setiap nilai berangka hujah x mencari nilai berangka yang sepadan bagi fungsi y dengan tepat atau dengan sedikit ketepatan.

Kaedah lisan . Kaedah ini ialah pergantungan fungsi diungkapkan dengan kata-kata.

Contoh 1: fungsi E(x) ialah bahagian integer bagi x. Secara umum, E(x) = [x] menandakan integer terbesar yang tidak melebihi x. Dalam erti kata lain, jika x = r + q, di mana r ialah integer (boleh negatif) dan q tergolong dalam selang = r. Fungsi E(x) = [x] adalah malar pada selang = r.

Contoh 2: fungsi y = (x) ialah bahagian pecahan suatu nombor. Lebih tepat lagi, y =(x) = x - [x], dengan [x] ialah bahagian integer bagi nombor x. Fungsi ini ditakrifkan untuk semua x. Jika x ialah nombor arbitrari, maka wakilkannya dalam bentuk x = r + q (r = [x]), dengan r ialah integer dan q terletak dalam selang ; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. Cari semua nilai x di mana fungsi mengambil nilai negatif (Gamb. e):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f) g)

6. Cari semua nilai x yang mana fungsi mengambil nilai bukan negatif (Gamb. e):

1) (Gamb. i).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

h) i)

9. Apakah nilai hujah y<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

j) l)

10. Pada nilai x berapakah nilai fungsi positif (Rajah l)?

Fungsi ialah undang-undang yang mengikutnya nombor x daripada set X tertentu dikaitkan dengan hanya satu nombor y, ditulis , manakala x dipanggil hujah fungsi, y dipanggil nilai fungsi.
Terdapat pelbagai cara untuk menentukan fungsi.

1. Kaedah analisis.
Kaedah analisis - Ini adalah cara yang paling biasa untuk menentukan fungsi.
Ia terdiri daripada fakta bahawa fungsi diberikan oleh formula yang menetapkan operasi yang perlu dilakukan pada x untuk mencari y. Contohnya .
Mari kita lihat contoh pertama - . Di sini nilai x = 1 sepadan dengan , nilai x = 3 sepadan, dsb.
Sesuatu fungsi boleh ditakrifkan pada bahagian berlainan set X dengan fungsi yang berbeza.
Contohnya:

Dalam semua contoh kaedah analitik tetapan yang diberikan sebelum ini, fungsi itu dinyatakan secara eksplisit. Iaitu, di sebelah kanan adalah pembolehubah y, dan di sebelah kanan adalah formula untuk pembolehubah x. Walau bagaimanapun, dengan kaedah analisis tetapan, fungsi itu juga boleh ditentukan secara tersirat.
Contohnya . Di sini, jika kita memberikan pembolehubah x nilai, maka untuk mencari nilai pembolehubah y (nilai fungsi), kita perlu menyelesaikan persamaan. Sebagai contoh, untuk fungsi pertama yang diberikan pada x = 3, kita akan menyelesaikan persamaan:
. Iaitu, nilai fungsi pada x = 3 ialah -4/3.
Dengan kaedah penetapan kaedah analisis, fungsi boleh ditentukan secara parametrik - ini adalah apabila x dan y dinyatakan melalui beberapa parameter t. Sebagai contoh,

Di sini pada t = 2, x = 2, y = 4. Iaitu, nilai fungsi pada x = 2 ialah 4.
2. Kaedah grafik.
Dengan kaedah grafik, sistem koordinat segi empat tepat diperkenalkan dan satu set titik dengan koordinat (x,y) digambarkan dalam sistem koordinat ini. Pada masa yang sama. Contoh:
3. Kaedah lisan.
Fungsi ditentukan menggunakan rumusan lisan. Contoh klasik ialah fungsi Dirichlet.
“Fungsi adalah sama dengan 1 jika x ialah nombor rasional; fungsi sama dengan 0 jika x ialah nombor tak rasional.”
4. Kaedah jadual.
Kaedah jadual adalah paling mudah apabila set X adalah terhingga. Dengan kaedah ini, jadual disusun di mana setiap elemen daripada set X diberikan nombor Y.
Contoh.

Konsep fungsi Kaedah menentukan fungsi Contoh fungsi Takrifan analitik fungsi Kaedah grafik untuk menentukan fungsi Had fungsi pada titik Kaedah jadual menentukan teorem fungsi pada had keunikan had had had fungsi yang mempunyai had peralihan kepada had dalam ketaksamaan Had fungsi pada infinitesimal functions Sifat-sifat infinitesimal functions

Konsep fungsi adalah asas dan awal, seperti konsep set. Biarkan X ialah beberapa set nombor nyata x. Jika setiap x € X, mengikut beberapa undang-undang, dikaitkan dengan nombor nyata y tertentu, maka mereka mengatakan bahawa fungsi diberikan pada set X dan menulis Fungsi yang diperkenalkan dengan cara ini dipanggil berangka. Dalam kes ini, set X dipanggil domain definisi fungsi, dan pembolehubah bebas x dipanggil argumen. Untuk menunjukkan fungsi, kadangkala mereka hanya menggunakan simbol yang menunjukkan undang-undang surat-menyurat, iaitu, bukannya f(x) n dan jester semata-mata /. Oleh itu, fungsi ditentukan jika 1) domain definisi 2) peraturan / ditentukan, yang memberikan kepada setiap nilai a: € X nombor tertentu y = /(x) - nilai fungsi yang sepadan dengan nilai ini hujah x. Fungsi / dan g dipanggil sama jika domainnya bertepatan dan kesamaan f(x) = g(x) adalah benar untuk sebarang nilai hujah x daripada domain takrifan sepunya mereka. Oleh itu, fungsi y, adalah tidak sama; ia adalah sama hanya pada selang [O, I]. Contoh fungsi. 1. Urutan (o„) ialah fungsi bagi hujah integer, ditakrifkan pada set nombor asli, supaya /(n) = an (n = 1,2,...). 2. Fungsi y = n? (baca "en-faktorial"). Diberi pada set nombor asli: setiap nombor asli n dikaitkan dengan hasil darab semua nombor asli dari 1 hingga n termasuk: dan mengikut konvensyen kita andaikan 0! = 1. Tanda sebutan berasal daripada perkataan Latin signum - tanda. Fungsi ini ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor; set nilainya terdiri daripada tiga nombor -1,0, I (Rajah 1). Untuk fungsi, domain definisi ialah segmen Untuk fungsi y - sin x, domain definisi ialah keseluruhan paksi berangka. Ambil perhatian bahawa tidak setiap formula mentakrifkan fungsi. Sebagai contoh, formula tidak mentakrifkan sebarang fungsi, kerana tidak ada satu nilai sebenar x yang mana kedua-dua punca yang ditulis di atas akan mempunyai nilai sebenar. Tugas analisis fungsi boleh kelihatan agak rumit. Khususnya, fungsi boleh ditakrifkan oleh formula yang berbeza pada bahagian berlainan domain definisinya. Sebagai contoh, fungsi boleh ditakrifkan seperti ini: 1.2. Kaedah grafik untuk menentukan fungsi Fungsi y = f(x) dikatakan dinyatakan secara grafik jika grafnya diberikan, i.e. satu set titik (xy/(x)) pada satah xOy, abscissasnya tergolong dalam domain takrif fungsi, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan (Rajah 4). Bukan untuk setiap fungsi grafnya boleh digambarkan dalam angka. Contohnya, fungsi Dirichlet jika x adalah rasional, jika x tidak rasional, ZX \o, tidak membenarkan imej sedemikian. Fungsi R(x) ditentukan pada keseluruhan garis nombor, dan set nilainya terdiri daripada dua nombor 0 dan 1. 1.3. Kaedah jadual untuk menentukan fungsi Fungsi dipanggil jadual jika jadual disediakan di mana nilai berangka fungsi ditunjukkan untuk beberapa nilai argumen. Apabila menentukan fungsi dalam jadual, domain definisinya hanya terdiri daripada nilai x\t x2i..., xn yang disenaraikan dalam jadual. §2. Had fungsi pada titik Konsep had fungsi adalah penting kepada analisis matematik. Biarkan fungsi f(x) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan Q bagi titik xq, kecuali, mungkin, pada titik takrifan semula (Cauchy). Nombor A dipanggil had fungsi f(x) pada titik xo jika untuk sebarang nombor e > 0, yang boleh sewenang-wenangnya kecil, wujud nombor.<5 > 0, supaya untuk semua iGH.i^ x0 memenuhi syarat ketaksamaan adalah benar Konsep fungsi Kaedah menentukan fungsi Contoh fungsi Penetapan analitik fungsi Kaedah grafik untuk menentukan fungsi Had fungsi pada titik Kaedah jadual untuk menentukan teorem fungsi pada had keunikan had had had bagi fungsi yang mempunyai had peralihan kepada had dalam ketaksamaan Had fungsi pada infinitesimal Fungsi infinitesimal Sifat-sifat fungsi infinitesimal Notasi: Menggunakan simbol logik, takrifan ini dinyatakan seperti berikut Contoh . 1. Menggunakan takrifan had fungsi pada satu titik, tunjukkan bahawa Fungsi ditakrifkan di mana-mana, termasuk titik zo = 1: /(1) = 5. Ambil sebarang. Untuk ketaksamaan |(2x + 3) - 5| berlaku, ketidaksamaan berikut mesti dipenuhi Oleh itu, jika kita mengambil, kita mempunyai. Ini bermakna nombor 5 ialah had fungsi: pada titik 2. Menggunakan takrifan had fungsi, tunjukkan bahawa Fungsi tidak ditakrifkan pada titik xo = 2. Pertimbangkan /(x) dalam beberapa kejiranan titik Xq = 2, sebagai contoh, pada selang ( 1, 5), tidak mengandungi titik x = 0, di mana fungsi /(x) juga tidak ditentukan. Mari kita ambil nombor arbitrari dengan > 0 dan ubah ungkapan |/(x) - 2| untuk x φ 2 seperti berikut Untuk x b (1, 5) kita memperoleh ketaksamaan Adalah jelas bahawa jika kita mengambil 6 = c, maka untuk semua x € (1.5) tertakluk kepada syarat ketaksamaan ini akan menjadi benar nombor A - 2 ialah had fungsi yang diberikan pada satu titik Mari kita berikan penjelasan geometri tentang konsep had fungsi pada satu titik dengan merujuk kepada grafnya (Rajah 5). Untuk x, nilai fungsi /(x) ditentukan oleh ordinat titik lengkung M\M, dan untuk x > xo - oleh ordinat titik lengkung MM2. Nilai /(x0) ditentukan oleh ordinat titik N. Graf fungsi ini diperoleh jika kita mengambil lengkung “baik” M\MMg dan menggantikan titik M(x0, A) pada lengkung dengan titik jV. Mari kita tunjukkan bahawa pada titik xo fungsi f(x) mempunyai had yang sama dengan nombor A (ordinat bagi titik M). Ambil sebarang (sekecil yang dikehendaki) nombor e > 0. Tandakan pada paksi Oy titik dengan ordinat A, A - e, A + e Mari kita nyatakan dengan P dan Q titik persilangan graf fungsi y = /(x) dengan garis lurus y = A- epy = A + e Biarkan absis bagi titik-titik ini masing-masing ialah x0 - Al x0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Jelas daripada rajah bahawa bagi mana-mana x Ф x0 daripada selang (x0 - h\, x0 + hi) nilai fungsi /(x) terkandung di antara. untuk semua x ^ xo memenuhi syarat, ketaksamaan adalah benar Kami meletakkan Kemudian selang akan terkandung dalam selang dan, oleh itu, ketaksamaan atau, yang sama, akan dipenuhi untuk semua x memuaskan syarat ini Oleh itu, fungsi y = /(x) mempunyai had A pada titik x0 jika, tidak kira betapa sempit jalur-e antara garis lurus y = A - eny = A + e, terdapat 5 > 0 sehingga untuk semua x daripada kejiranan tertusuk titik x0 titik graf fungsi y = /(x) mendapati diri mereka berada di dalam jalur-e yang ditentukan. Catatan 1. Nilai b bergantung kepada e: 6 = 6(e). Catatan 2. Dalam menentukan had fungsi pada titik Xq, titik xo itu sendiri dikecualikan daripada pertimbangan. Oleh itu, nilai fungsi pada titik Ho ns mempengaruhi had fungsi pada titik ini. Selain itu, fungsi itu mungkin tidak ditakrifkan pada titik Xq. Oleh itu, dua fungsi yang sama dalam kejiranan titik Xq, tidak termasuk, mungkin, titik xo itu sendiri (di mana mereka boleh mempunyai makna yang berbeza , salah satu daripadanya atau kedua-duanya bersama-sama mungkin tidak ditentukan), mempunyai had yang sama untuk x - Xq atau kedua-duanya tiada had. Dari sini, khususnya, ia mengikuti bahawa untuk mencari had pecahan pada titik xo, adalah sah untuk mengurangkan pecahan ini kepada ungkapan yang sama yang lenyap pada x = Xq. Contoh 1. Cari Fungsi /(x) = j untuk semua x Ф 0 adalah sama dengan satu, tetapi pada titik x = 0 ia tidak ditakrifkan. Menggantikan /(x) dengan fungsi d(x) = 1 sama dengannya pada x 0, kita memperoleh Konsep fungsi Kaedah-kaedah menentukan fungsi Contoh-contoh fungsi Tetapan analisis fungsi Kaedah grafik untuk menentukan fungsi Had fungsi pada titik Kaedah jadual untuk menentukan teorem fungsi pada menghadkan keunikan had keterbatasan fungsi, mempunyai had, peralihan kepada had dalam ketaksamaan Had fungsi pada ketakterhinggaan Fungsi ketakterhinggaan Sifat ketakterhinggaan fungsi Contoh 2 . Cari lim /(x), di mana Fungsi bertepatan dengan fungsi /(x) di mana-mana, tidak termasuk titik x = 0, dan mempunyai pada titik x = 0 had bersamaan dengan sifar: lim d(x) = 0 (tunjukkannya! ). Oleh itu lim /(x) = 0. Masalah. Formulasikan menggunakan ketaksamaan (dalam bahasa e -6), yang bermaksud Biarkan fungsi /(i) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan Π bagi titik x0, kecuali, mungkin, titik x0 itu sendiri. Definisi (Heine). Nombor A dipanggil had fungsi /(x) pada titik x0 jika bagi sebarang jujukan (xn) nilai argumen x 6 P, z„ / x0) menumpu ke titik x0, jujukan yang sepadan nilai-nilai fungsi (f(x„)) menumpu kepada nombor A. Takrifan di atas mudah digunakan apabila perlu untuk menentukan bahawa fungsi /(x) tidak mempunyai had pada titik x0. Untuk melakukan ini, cukup untuk mencari beberapa jujukan (f(xn)) yang tidak mempunyai had, atau untuk menunjukkan dua jujukan (f(xn)) dan (f(xn)) yang mempunyai had yang berbeza Mari kita tunjukkan, sebagai contoh , bahawa fungsi ii /(x) = sin j (Rajah 7), ditakrifkan DI MANA-MANA, kecuali TITIK X = O, Rajah 7 tidak mempunyai had pada titik x = 0. Pertimbangkan dua jujukan (menumpu kepada titik x = 0. Nilai jujukan yang sepadan bagi fungsi /(x) menumpu kepada had yang berbeza: jujukan (sinnTr) menumpu kepada sifar, dan jujukan (sin(5 + - kepada satu. Ini bermakna fungsi /( x) = sin j pada titik x = 0 tidak mempunyai had Nota: Kedua-dua takrifan had fungsi pada satu titik (takrif Cauchy dan takrifan Heine) adalah setara Teorem pada had Teorem 1 (keunikan had). fungsi f(x) mempunyai had pada titik xo, maka had ini adalah unik Biarkan lim /(x) = A. Mari kita tunjukkan bahawa tiada nombor B φ A boleh menjadi had x-x0 bagi fungsi /(. x) pada titik x0. Fakta bahawa lim /(x) φ Menggunakan simbol logik XO dirumuskan seperti berikut: Menggunakan ketaksamaan yang kita perolehi, Ambil e = > 0. Oleh kerana lim /(x) = A, untuk e yang dipilih > 0 terdapat 6 > 0 supaya Daripada perhubungan (1) untuk nilai x yang ditunjukkan kita ada Oleh itu, didapati bahawa tidak kira betapa kecilnya terdapat x Φ xQ sedemikian dan pada masa yang sama ^ e. Suatu fungsi /(x) dikatakan terikat dalam kejiranan titik x0> jika terdapat nombor M > 0 dan 6 > 0 sehingga Teorem 2 (batasan fungsi yang mempunyai had). Jika fungsi f(x) ditakrifkan dalam kejiranan titik x0 dan mempunyai had terhingga pada titik x0, maka ia disempadani dalam kejiranan tertentu titik ini. m Biarkan Kemudian untuk mana-mana contoh, untuk e = 1, terdapat 6 > O supaya untuk semua x Φ x0 memenuhi syarat ketaksamaan akan menjadi benar dengan mengambil perhatian bahawa kita sentiasa mendapat Put. Kemudian pada setiap titik x selang kita akan mempunyai Ini bermakna, mengikut definisi, bahawa fungsi /(x) adalah bersempadan dalam kejiranan Sebaliknya, daripada sempadan fungsi /(x) dalam kejiranan titik x0, kewujudan had fungsi /(x) pada titik x0 tidak mengikut. Sebagai contoh, fungsi /(x) = sin adalah terhad dalam kejiranan titik tetapi tidak mempunyai had pada titik x = 0. Mari kita rumuskan dua lagi teorem, makna geometri yang cukup jelas. Teorem 3 (melepasi kepada had dalam ketaksamaan). Jika /(x) ^ ip(x) untuk semua x dari beberapa kejiranan titik x0, kecuali, mungkin, titik x0 itu sendiri, dan setiap fungsi /(x) dan ip(x) pada titik x0 mempunyai had, kemudian Perhatikan, bahawa ketidaksamaan yang ketat untuk fungsi tidak semestinya membayangkan ketidaksamaan yang ketat untuk hadnya. Jika had ini wujud, maka kita hanya boleh menegaskan bahawa Jadi, sebagai contoh, ketaksamaan sementara dipenuhi untuk fungsi Teorem 4 (had fungsi perantaraan). Jika untuk semua x dalam beberapa kejiranan titik Xq, kecuali, mungkin, titik x0 itu sendiri (Rajah 9), dan fungsi f(x) dan ip(x) pada titik xo mempunyai had yang sama A, maka fungsi f (x) pada titik x0 mempunyai had yang sama dengan nilai yang sama A. § ​​​​4 Had fungsi pada infiniti Biarkan fungsi f(x) ditakrifkan sama ada pada keseluruhan garis nombor, atau sekurang-kurangnya untuk. semua x memuaskan syarat jx| > K untuk beberapa K > 0. Definisi. Nombor A dipanggil had bagi fungsi f(x) kerana x cenderung kepada infiniti, dan ia ditulis jika bagi mana-mana e > 0 terdapat nombor jV > 0 supaya untuk semua x memenuhi syarat |x| > lg, ketaksamaan adalah benar Menggantikan keadaan dalam takrifan ini dengan sewajarnya, kami memperoleh takrifan daripada takrifan ini, ia berikutan jika dan hanya jika serentak Fakta itu secara geometri bermaksud yang berikut: tidak kira betapa sempit e-jalur di antara lurus. garisan y = A-eyu = A + e, terdapat garis lurus x = N >0 supaya di sebelah kanan graf fungsi y = /(x) terkandung sepenuhnya dalam jalur-e yang ditunjukkan (Rajah 10). ). Dalam kes ini, mereka mengatakan bahawa pada x +oo graf fungsi y = /(x) secara asimptotik menghampiri garis lurus y = A. Contoh, Fungsi /(x) = jtjj- ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor dan ialah pecahan di mana pengangkanya tetap , dan penyebutnya bertambah tanpa had sebagai |x| +oo. Adalah wajar untuk menjangkakan bahawa lim /(x)=0. Jom tunjuk. M Mari kita ambil mana-mana e > 0, tertakluk kepada syarat Untuk perhubungan itu berlaku, ketaksamaan dengan atau, yang sama, dari mana Oleh itu, mesti dipenuhi. jika kita mengambilnya kita akan memilikinya. Ini bermakna nombor itu ialah had bagi fungsi yang diberikan pada Ambil perhatian bahawa ungkapan radikal hanya untuk t ^ 1. Dalam kes apabila ketaksamaan c dipenuhi secara automatik untuk semua Graf fungsi genap y = - secara asymptotically menghampiri lurus Masalah baris. Rumus menggunakan ketaksamaan maksud §5. Fungsi infinitesimal Biarkan fungsi a(x) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik xo, kecuali, mungkin, titik x0 itu sendiri. Definisi. Fungsi a(x) dipanggil tak terhingga fungsi kecil (disingkatkan sebagai b.m.f.) dengan x cenderung kepada xo, jika Konsep fungsi Kaedah menentukan fungsi Contoh fungsi Penetapan analitik fungsi Kaedah grafik untuk menentukan fungsi Had fungsi pada titik Kaedah jadual menentukan teorem fungsi pada menghadkan keunikan had had bagi fungsi yang mempunyai peralihan had kepada had dalam ketaksamaan Had fungsi pada ketakterhinggaan Fungsi ketakterhinggaan Sifat ketakterhinggaan fungsi Sebagai contoh, fungsi a(x) = x - 1 ialah b. m.f. pada x 1, kerana lim(x-l) = 0. Graf bagi fungsi y = x-1 1-1 ditunjukkan dalam Rajah. II. Secara umum, fungsi a(x) = x-x0 ialah contoh paling mudah bagi b. m.f. pada x-»ho. Mengambil kira takrifan had fungsi pada satu titik, takrifan b. m.f. boleh dirumuskan begini. m.f. untuk x -» x0.