Persamaan ciri. Punca-punca persamaan ciri. Pemalar masa. Masa peralihan. Kaedah untuk menyusun persamaan ciri Mengapa anda memerlukan persamaan ciri

Rumah

Vinyl

Persamaan ciri disusun untuk litar selepas bertukar. Ia boleh diperolehi dengan cara berikut:

secara langsung berdasarkan persamaan pembezaan bentuk (2) (lihat syarahan No. 24), i.e. dengan mengecualikan daripada sistem persamaan yang menerangkan keadaan elektromagnet litar berdasarkan hukum pertama dan kedua Kirchhoff, semua kuantiti yang tidak diketahui kecuali satu, yang berkaitan dengan persamaan (2) yang ditulis;
dengan menggunakan ungkapan untuk galangan input litar arus sinusoidal;
berdasarkan ungkapan penentu utama.

Mengikut kaedah pertama, dalam kuliah sebelumnya, persamaan pembezaan diperolehi mengenai voltan pada kapasitor untuk litar R-L-C siri, berdasarkan persamaan ciri ditulis.

Perlu diingatkan bahawa, oleh kerana litar linear diliputi oleh satu proses sementara, punca persamaan ciri adalah biasa kepada semua komponen bebas voltan dan arus cawangan litar, parameter yang termasuk dalam persamaan ciri. Oleh itu, mengikut kaedah pertama untuk mengarang persamaan ciri, mana-mana pembolehubah boleh dipilih sebagai pembolehubah berkenaan dengan mana ia ditulis.

Mari kita pertimbangkan penggunaan kaedah kedua dan ketiga untuk mengarang persamaan ciri menggunakan contoh litar dalam Rajah. 1.

Komposisi persamaan ciri menggunakan kaedah rintangan masukan adalah seperti berikut:

direkodkan impedans masukan litar AC;

jw digantikan oleh operator p;

ungkapan yang terhasil adalah sama dengan sifar.

Persamaan

bertepatan dengan ciri.

Perlu ditekankan bahawa rintangan input boleh ditulis secara relatif kepada titik putus mana-mana cawangan litar. Dalam kes ini, rangkaian dua terminal aktif digantikan oleh rangkaian pasif dengan analogi dengan kaedah penjana setara. Kaedah mengarang persamaan ciri ini menganggap ketiadaan cawangan berganding magnet dalam litar; jika ada, adalah perlu untuk menjalankan pembongkaran awal mereka.

Untuk litar dalam Rajah. 1 relatif kepada terminal sumber

Menggantikan jw dengan p dan menyamakan ungkapan yang terhasil kepada sifar, kita tulis

(1)

Apabila menyusun persamaan ciri berdasarkan ungkapan penentu utama, nombor persamaan algebra, berdasarkan mana ia ditulis, adalah sama dengan bilangan komponen semasa bebas yang tidak diketahui. Algebra bagi sistem asal integro- persamaan pembezaan, disusun, sebagai contoh, berdasarkan undang-undang Kirchhoff atau menggunakan kaedah arus gelung, dijalankan dengan menggantikan simbol pembezaan dan penyepaduan, masing-masing, dengan pendaraban dan pembahagian oleh operator p. Persamaan ciri diperoleh dengan menyamakan penentu bertulis kepada sifar. Oleh kerana ungkapan untuk penentu utama tidak bergantung pada bahagian kanan sistem persamaan tak homogen, ia boleh disusun berdasarkan sistem persamaan yang ditulis untuk jumlah arus.

Untuk litar dalam Rajah. 1 sistem persamaan algebra berdasarkan kaedah arus gelung mempunyai bentuk

Oleh itu ungkapan untuk penentu utama sistem ini

Menyamakan D kepada sifar, kita memperoleh hasil yang serupa dengan (1).

Metodologi umum untuk mengira proses sementara menggunakan kaedah klasik

Secara umum, metodologi untuk mengira proses sementara menggunakan kaedah klasik termasuk langkah-langkah berikut:

Contoh pengiraan proses sementara menggunakan kaedah klasik

1. Proses sementara dalam rantai R-L apabila disambungkan kepada sumber voltan

Proses sedemikian berlaku, contohnya, apabila menyambungkan elektromagnet, transformer, motor elektrik, dll. kepada sumber kuasa.

Mari kita pertimbangkan dua kes:

Mengikut kaedah yang dipertimbangkan untuk arus dalam litar dalam Rajah. 2 boleh ditulis

Persamaan ciri

maka pemalar masa .

Oleh itu,

(5)

Menggantikan (4) dan (5) ke dalam hubungan (3), kita tulis

Mengikut undang-undang pertama pertukaran. Kemudian

Oleh itu, arus dalam litar semasa proses sementara diterangkan oleh persamaan

dan voltan merentasi induktor diberikan oleh

Penampilan kualitatif lengkung dan sepadan dengan penyelesaian yang diperolehi dibentangkan dalam Rajah. 3.

Untuk jenis sumber kedua, komponen paksa dikira menggunakan kaedah simbolik:

Ekspresi komponen bebas tidak bergantung pada jenis sumber voltan. Oleh itu,

Sejak itu

Oleh itu, kita akhirnya mendapat

(6)

Analisis ungkapan yang terhasil (6) menunjukkan:

Jika ia adalah ketara dalam magnitud, maka lebih separuh tempoh komponen bebas tidak berkurangan dengan ketara. Dalam kes ini, nilai maksimum arus sementara boleh dengan ketara melebihi amplitud arus keadaan mantap. Seperti yang dapat dilihat dari Rajah. 4, di mana

, arus maksimum berlaku selepas lebih kurang . Dalam had pada .

Oleh itu, untuk litar linear, nilai maksimum arus sementara tidak boleh melebihi dua kali ganda amplitud arus paksa: .

Begitu juga untuk litar linear dengan kapasitor: jika pada masa menukar voltan paksa adalah sama dengan nilai amplitudnya dan pemalar masa litar cukup besar, maka selepas kira-kira setengah tempoh voltan pada kapasitor mencapai nilai maksimumnya , yang tidak boleh melebihi dua kali ganda amplitud voltan paksa: .

2. Proses sementara apabila memutuskan sambungan induktor daripada sumber kuasa

Apabila kunci dibuka dalam litar dalam Rajah. 5 komponen paksa arus melalui induktor.

Persamaan ciri

di mana Dan .

Mengikut undang-undang pertama pertukaran

Oleh itu, ungkapan untuk arus sementara ialah

dan voltan merentasi induktor

(7)

Analisis (7) menunjukkan bahawa apabila litar yang mengandungi unsur induktif dibuka, voltan lampau yang besar boleh berlaku, yang, tanpa mengambil langkah khas, boleh merosakkan peralatan. Memang bila Modul voltan pada induktor pada saat pensuisan akan berkali ganda lebih tinggi daripada voltan sumber: . Dengan ketiadaan perintang pelindapkejutan R, voltan yang ditentukan digunakan pada kenalan pembukaan kunci, akibatnya arka berlaku di antara mereka.

3. Mengecas dan menyahcas kapasitor

Apabila kekunci dialihkan ke kedudukan 1 (lihat Rajah 6), proses mengecas kapasitor bermula:

Komponen voltan paksa pada kapasitor.

Daripada persamaan ciri

akar ditentukan . Oleh itu pemalar masa.

Mod bebas litar tidak bergantung pada sumber tenaga, ia hanya ditentukan oleh struktur litar dan parameter elemennya. Ia berikutan daripada ini bahawa punca-punca persamaan ciri p1, p2,…, pn akan sama untuk semua fungsi berubah-ubah(arus dan voltan).

Persamaan ciri boleh dibina menggunakan pelbagai kaedah. Kaedah pertama adalah klasik, apabila persamaan ciri disusun dengan ketat mengikut persamaan pembezaan mengikut skema klasik. Apabila mengira proses sementara dalam skim kompleks satu sistem persamaan pembezaan "m" disusun mengikut hukum Kirchhoff untuk rajah litar selepas bertukar. Oleh kerana punca persamaan ciri adalah biasa kepada semua pembolehubah, penyelesaian sistem persamaan pembezaan dilakukan berkenaan dengan sebarang pembolehubah (pilihan). Hasil daripada penyelesaian, persamaan pembezaan tak homogen dengan satu pembolehubah diperolehi. Susun persamaan ciri mengikut persamaan pembezaan yang terhasil dan tentukan puncanya.

Contoh. Lukiskan persamaan ciri dan tentukan puncanya bagi pembolehubah dalam rajah dalam Rajah. 59.1. Parameter elemen dinyatakan dalam bentuk umum.

Sistem persamaan pembezaan mengikut hukum Kirchhoff:

Mari kita selesaikan sistem persamaan untuk pembolehubah i3, sebagai hasilnya kita memperoleh persamaan pembezaan tidak homogen:

Cara kedua untuk menyusun persamaan ciri ialah menyamakan dengan sifar penentu utama persamaan sistem Kirchhoff bagi pembolehubah komponen bebas.

Biarkan komponen bebas arus arbitrari mempunyai bentuk iksv = Аkept, kemudian:

Sistem persamaan bagi komponen bebas diperoleh daripada sistem persamaan pembezaan Kirchhoff dengan menggantikan terbitan pembolehubah dengan faktor p, dan kamiran dengan 1/p. Untuk contoh yang sedang dipertimbangkan, sistem persamaan untuk komponen bebas mempunyai bentuk:

Persamaan ciri dan puncanya:

Cara ketiga untuk menyusun persamaan ciri (kejuruteraan) ialah menyamakan rintangan operator input litar kepada sifar berbanding mana-mana cawangannya.

Rintangan pengendali sesuatu unsur diperoleh daripada rintangan kompleksnya dengan hanya menggantikan faktor jω dengan p, oleh itu

Untuk contoh yang dimaksudkan:

Kaedah ketiga adalah yang paling mudah dan paling menjimatkan, oleh itu ia paling kerap digunakan apabila mengira proses sementara dalam litar elektrik.

Punca-punca persamaan ciri mencirikan proses sementara bebas dalam litar tanpa sumber tenaga. Proses ini berlaku dengan kehilangan tenaga dan oleh itu mereput dari semasa ke semasa.

Dalam kes umum, susunan persamaan pembezaan yang menerangkan proses sementara dalam litar, dan, akibatnya, tahap persamaan ciri dan bilangan puncanya adalah sama dengan bilangan bebas. syarat awal, atau bilangan peranti storan tenaga bebas (gegelung L dan kapasitor C).

Jika gambarajah litar mengandungi kapasitor bersambung selari C1, C2,... atau gegelung bersambung siri L1, L2,..., maka apabila mengira proses sementara ia mesti digantikan dengan satu elemen setara SE = C1 + C2+... atau LE = L1 + L2+... Oleh itu, pandangan umum

penyelesaian untuk sebarang pembolehubah apabila mengira proses sementara boleh disusun hanya daripada analisis rajah litar, tanpa menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan pembezaan.

) Untuk contoh yang dibincangkan di atas. = ||A||a ik n

1 dengan menolak nilai λ daripada unsur pepenjuru. Penentu ini ialah polinomial berkenaan dengan X - polinomial ciri. Apabila dibuka, X. u. ditulis begini: di mana = S 1 + a 11 +... a 22 ann - kononnya jejak matriks, S 2 a ik- jumlah semua kanak-kanak bawah umur utama bagi urutan ke-2, iaitu anak bawah umur dalam bentuk i k), dsb., dan S Untuk contoh yang dibincangkan di atas.- penentu matriks a ik. Akar-akar H. u. λ 1 , λ 2 ,..., λ Untuk contoh yang dibincangkan di atas. dipanggil nilai eigen matriks . Untuk matriks simetri sebenar, dan juga untuk matriks Hermitian, semua λ k . Untuk matriks simetri sebenar, dan juga untuk matriks Hermitian, semua λ adalah nyata, matriks condong-simetri sebenar mempunyai semua λ . Untuk matriks simetri sebenar, dan juga untuk matriks Hermitian, semua λ| = 1.

nombor khayalan semata-mata; dalam kes matriks ortogonal sebenar, serta matriks unitari, semua |λ

H.u. ditemui dalam pelbagai bidang matematik, mekanik, fizik dan teknologi. Dalam astronomi, apabila menentukan gangguan sekular planet, mereka juga datang kepada persamaan kimia; maka nama kedua bagi X. u. - persamaan lama.

2) H. u. persamaan pembezaan linear dengan pekali malarλ a 0 (y) + n (a 1 y) +... + n-1 + a n-1 y" = 0

a n y Persamaan algebra yang diperoleh daripada persamaan pembezaan yang diberikan selepas menukar fungsi di

2) H. u. persamaan pembezaan linear dengan pekali malarλ a ik + dan derivatifnya dengan kuasa sepadan λ, iaitu persamaanλ a 1 + ... + n-1 a n-1 + a n-1 y" = 0.

y" Persamaan algebra yang diperoleh daripada persamaan pembezaan yang diberikan selepas menukar fungsi = Persamaan ini dicapai dengan mencari penyelesaian tertentu bagi bentuk tersebut λ se X

untuk persamaan pembezaan tertentu. Untuk sistem persamaan pembezaan linear

H.u. ditulis menggunakan penentu H.u. matriks =

A besar Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

. - M.: Ensiklopedia Soviet

Lihat apa "Persamaan Ciri" dalam kamus lain: Dalam banyak kes, yang berlaku dalam sistem, diterangkan oleh sistem persamaan pembezaan linear biasa dengan pekali malar, yang dalam kes yang agak umum boleh dikurangkan kepada persamaan pembezaan ... Ensiklopedia teknologi

Persamaan algebra dalam bentuk: Penentu dalam formula ini diperoleh daripada penentu matriks dengan menolak nilai x daripada unsur pepenjuru; ia mewakili polinomial dalam x dan dipanggil polinomial ciri... Kamus Ensiklopedia Besar

persamaan ciri- - [V.A. Semenov. Kamus perlindungan geganti bahasa Inggeris-Rusia] Perlindungan geganti topik EN persamaan ciri ... Panduan Penterjemah Teknikal

Persamaan algebra bagi bentuk. Penentu dalam formula ini diperoleh daripada penentu matriks x unsur pepenjuru; ia adalah polinomial dalam x dan dipanggil polinomial ciri. * * * CIRI-CIRI… … Kamus Ensiklopedia

persamaan ciri- Būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. persamaan ciri; persamaan prestasi vok. charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. persamaan ciri, n pranc. ciri persamaan, f … Automatik terminų žodynas

persamaan ciri- Būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. persamaan ciri; persamaan prestasi vok. Charakteristische Gleichung, f rus. persamaan ciri, n pranc. ciri persamaan, f … Fizikos terminų žodynas

persamaan ciri Ensiklopedia "Penerbangan"

persamaan ciri- persamaan ciri. Dalam banyak kes, proses fizikal yang berlaku dalam sistem diterangkan oleh sistem persamaan pembezaan linear biasa dengan pekali malar, yang dalam kes yang agak umum boleh dikurangkan... Ensiklopedia "Penerbangan"

Persamaan sekular, lihat Seni. Polinomial ciri... Ensiklopedia Matematik

Polinomial ciri ialah polinomial yang menentukan nilai eigen bagi sesuatu matriks. Makna lain: Polinomial ciri berulang linear ialah polinomial. Kandungan 1 Definisi ... Wikipedia

Buku

Ciri cincin Lie dan persamaan tak linear boleh integrasi, Zhiber A.V.. Buku ini ditumpukan kepada pembentangan sistematik pendekatan algebra kepada kajian persamaan pembezaan separa boleh integrasi tak linear dan analog diskretnya, berdasarkan konsep...

Persamaan ciri mempunyai bentuk:

Untuk menentukan jenis komponen bebas, adalah perlu untuk mengarang dan menyelesaikan persamaan ciri: z(p) = 0. Untuk menulis persamaan ciri, adalah perlu untuk melukis gambar rajah di mana semua sumber emf dan arus harus diganti oleh dalaman mereka sendiri rintangan, dan rintangan ambil kearuhan dan kemuatan masing-masing sama dengan Pl dan , maka adalah perlu untuk memecahkan mana-mana cawangan litar ini, tuliskan rintangan awalnya berbanding dengan titik putus, samakannya dengan sifar, selesaikan dan tentukan punca p, jika punca ternyata negatif sebenar, maka komponen bebas fungsi yang diingini:

, dengan m ialah bilangan punca persamaan;

Akar; - bersepadu secara kekal.

Jika akar persamaan aksara berubah menjadi konjugat kompleks, maka keadaan bebas akan mempunyai bentuk:

di manakah kekerapan getaran bebas;

Fasa awal ayunan bebas.

8. Masa peralihan. Penentuan secara praktikal t pp. Pengiraan masa proses peralihan.

Masa proses sementara bergantung kepada pekali pengecilan Nilai songsang dipanggil pemalar masa dan adalah masa, semasa yang mana nilai komponen bebas proses sementara akan berkurangan sebanyak e=2.72 kali. Nilai bergantung pada litar dan parameter Jadi untuk litar dengan sambungan bersiri r dan L = , dan dalam sambungan bersiri

95% selesai proses peralihan 3.

Cara paling mudah untuk membina lengkung bagi komponen bebas proses sementara ialah dengan menetapkan nilai masa t kepada 0, ,2.....Jika terdapat beberapa punca nyata, maka lengkung yang terhasil diperoleh dengan menjumlahkan ordinat bagi istilah individu (Rajah 1.)

Rajah 1:

9.10, Proses sementara dalam r, C – litar apabila disambungkan kepada sumber Voltan DC. Lakukan analisis menggunakan kaedah klasik; berikan ungkapan analitikal untuk U C (t); iC(t); grafik. (Kaedah klasik).

Persamaan keadaan litar rC selepas bertukar adalah seperti berikut:

(1) atau rC (2)

Penyelesaiannya:

Kapasiti C selepas menutup kunci pada t akan dicaj kepada nilai yang stabil

Oleh kerana syarat awal adalah sifar, mengikut undang-undang pertukaran pada t=0, atau 0=A, dari mana A=-E.

Penyelesaian kepada persamaan (2) akan berbentuk:

Arus litar i(t)=C

Rajah 1.

Rajah 2.

Graf perubahan voltan dan arus i(t) ditunjukkan dalam Rajah 1 dan 2. Daripada rajah tersebut dapat dilihat bahawa voltan pada kapasitor meningkat secara eksponen dari 0 ke E, manakala kekuatan arus pada saat pensuisan tiba-tiba mencapai nilai E/r, dan kemudian menurun kepada sifar.

11.12.Proses sementara dalam r, C – litar apabila disambungkan kepada sumber voltan sinusoidal. Lakukan analisis menggunakan kaedah klasik; berikan ungkapan analitikal untuk U C (t); iC(t); grafik. (Kaedah klasik).

Persamaan keadaan litar rC dalam mod sementara adalah seperti berikut

rC .

Penyelesaian kepada persamaan ini:

Komponen percuma

di mana = rC

Oleh kerana litar adalah linear, maka dengan kesan sinusoidal dan dalam keadaan mantap, voltan pada kapasitor juga akan berubah mengikut hukum sinusoidal dengan kekerapan kesan input Oleh itu, untuk menentukan = kita akan menggunakan kaedah amplitud kompleks :

;

Memandangkan j= , kita dapat:

Pemalar penyepaduan A bagi komponen bebas

Mari kita cari daripada keadaan awal dalam litar dengan mengambil kira undang-undang komutasi:

.Pada t=0 ungkapan terakhir mempunyai bentuk

Di manakah A=-

Menambah komponen dan , kami memperoleh ungkapan akhir untuk voltan merentasi kapasitor dalam mod sementara:

= + = - (1)

Analisis ungkapan (1) menunjukkan bahawa proses sementara dalam litar rC di bawah pengaruh sinusoidal bergantung pada fasa awal emf punca pada saat pensuisan dan pada pemalar masa litar rC.

Jika , maka =0 dan keadaan mantap akan berlaku dalam litar sejurus selepas bertukar, i.e.

Apabila voltan = - , i.e. Voltan merentasi kapasitor sejurus selepas bertukar boleh mencapai hampir dua kali ganda nilai tanda positif, dan kemudian secara beransur-ansur mendekati =.

Perbezaan fasa akan membawa persamaan (1) kepada bentuk:

Perbezaan antara mod ini dan yang sebelumnya ialah voltan merentasi kapasitor serta-merta selepas pensuisan boleh mencapai hampir dua kali ganda nilai negatif.

Untuk litar Rc yang dipertimbangkan dengan sumber arus sinusoidal dalam keadaan mantap, fasa awal voltan masukan tidak memainkan apa-apa peranan, tetapi dalam proses peralihan pengaruhnya adalah penting.

13. Proses sementara dalam r, L, C – litar apabila disambungkan kepada sumber voltan malar. Proses batch. Ungkapan analisis untuk i(t), grafik. (Kaedah klasik).

Akarnya adalah nyata, negatif, berbeza.

I(t)=I mulut +A1e p 1 t +A2e p 2 t

Prosesnya berkala:

t=0 (i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 i l (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()

i l (t)= ( )

14. Proses sementara dalam r, L, C – litar apabila disambungkan kepada sumber voltan malar. Proses kritikal. Ungkapan analisis untuk i(t), grafik. (Kaedah klasik).

i l (t)=i mulut +(B1+B2*t)*

t=0: i l (0)=β1=0

Sekiranya akarnya menjadi nyata, negatif, sama, maka prosesnya adalah kritikal.

15. Proses sementara dalam r, L, C – litar apabila disambungkan kepada sumber voltan malar. Proses berayun. Ungkapan analitikal untuk i(t), grafik. (Kaedah klasik).

P t = -δ±j*ω St ω St =

Akar adalah nyata negatif, beberapa konjugat kompleks.

i l (t)=i mulut A1e - δt *sin(ω St t+ψ)

i l (t)=i mulut +(M*cos ω cahaya t+N*sin ω cahaya t)*

i l (t)= * = *

16. Proses sementara dalam r, L, C – litar apabila disambungkan kepada sumber voltan sinusoidal. Proses aperiodik. Ungkapan analitikal untuk i(t), grafik. (Kaedah klasik).

R(t)=E maks *sin(ωt+ψ)

Dalam bilangan klasik persamaan dalam kes ini adalah sama dengan bilangan cawangan litar

Kaedah mencari penyelesaian dalam bentuk hasil tambah penyelesaian am dan tertentu. Pengiraan proses sementara diterangkan oleh sistem persamaan pembezaan biasa yang disusun oleh salah satu kaedah pengiraan untuk nilai serta-merta fungsi masa. Penyelesaian bagi setiap pembolehubah sistem ini didapati dalam bentuk hasil tambah penyelesaian am dan khusus. Untuk menyusun persamaan, perkara berikut boleh digunakan: kaedah berdasarkan aplikasi hukum Kirchhoff, kaedah potensi nod, kaedah arus gelung, dsb. Sebagai contoh, sistem persamaan pembezaan yang disusun selepas penyimpangan mengikut hukum pertama dan kedua Kirchhoff mempunyai bentuk:

Sebagai contoh,

Bilangan persamaan dalam kes ini adalah sama dengan bilangan cawangan litar. Biarlah perlu untuk mencari arus i k dalam cawangan dengan nombor K. Menghapuskan arus cawangan mengikut urutan, akibatnya kita memperoleh arus i k dan terbitannya sehingga tertib n:

Susunan persamaan pembezaan n ditentukan oleh bilangan unsur reaktif bebas litar (m). Biasanya n=m, tetapi bergantung kepada kaedah sambungan mungkin n

Elemen kapasitif bersambung siri boleh digantikan dengan satu elemen, sama seperti elemen induktif bersambung selari boleh digantikan dengan satu elemen yang setara. Rajah 9.5 menunjukkan penggantian 2 kapasitor yang disambung secara bersiri dengan satu yang setara.

Secara umum, susunan persamaan pembezaan n adalah sama dengan: n=n lc -n ce -n lj, di mana n lc ialah bilangan unsur reaktif (L dan C) dalam litar, n ce ialah bilangan kapasitif litar, n lj ialah bilangan nod atau bahagian induktif.

Dengan kapasitif bermaksud litar yang terdiri daripada unsur kapasitif atau unsur kapasitif dan sumber emf ideal, Rajah 9.6.a Dengan induktif bermaksud nod di mana cawangan induktif atau cawangan induktif dan sumber arus bertumpu (Rajah 9.6.b), atau. bahagian yang hanya cabang induktif atau cabang induktif dan sumber semasa bersilang.

Ambil perhatian bahawa peringkat membuat persamaan pembezaan tidak wajib dan arus atau voltan peralihan boleh didapati tanpa membuat persamaan. Seperti yang ditunjukkan, dalam kaedah klasik mengira proses sementara menyelesaikan persamaan diwakili sebagai jumlah penyelesaian am dan khusus.

Penyelesaian tertentu menerangkan rejim yang dipanggil terpaksa. Penyelesaian persamaan homogen (sebelah kanan ialah sifar) menerangkan proses tanpa adanya EMF luaran dan sumber semasa dan dipanggil bebas. Arus bebas dan paksa, voltan dan cas dianggap sewajarnya.

Oleh itu, arus dalam cawangan dengan nombor K diwakili sebagai jumlah.

Definisi. Persamaan ciri pengendali linear f ialah persamaan bentuk , di mana λ ialah sebarang nombor nyata, A ialah matriks pengendali linear, E ialah matriks identiti susunan yang sama.

Polinomial dipanggil polinomial ciri matriks A (operator linear f). Dalam bentuk matriks, persamaan ciri mempunyai bentuk berikut:

atau

Akibatnya, menyamakan polinomial ciri kepada sifar, kita memperoleh persamaan darjah y, di mana λ adalah tidak diketahui, kita memperoleh nilai akarnya - nombor ciri matriks ini. Akar ciri memainkan peranan penting dalam banyak bidang matematik. Mari kita pertimbangkan salah satu aplikasi akar ciri - alat yang sangat penting dalam kajian ruang linear, serta dalam menyelesaikan banyak masalah gunaan algebra linear.

Set semua punca persamaan ciri dipanggil spektrum operator f(setiap punca dianggap dengan kepelbagaian yang ada dalam persamaan ciri).

Contoh. Cari punca ciri matriks.

Mari buat matriks

Menyamakan polinomial ciri kepada sifar, kita memperoleh persamaan kuadratik

Maka punca-punca persamaan adalah sama .

Definisi. Biarkan f sebagai pengendali linear ruang dan jadikan beberapa vektor bukan sifar yang kesamaannya

di manakah nombor sebenar. Kemudian vektor dipanggil vektor eigen pengendali dan matriks pengendalinya, nilai eigen, atau nilai eigen bagi penjelmaan. Dalam kes ini, vektor eigen dikatakan merujuk kepada nilai eigen.

Eigenvectors memainkan peranan penting dalam matematik itu sendiri dan dalam aplikasinya. Sebagai contoh, resonans, di mana frekuensi semula jadi getaran sistem bertepatan dengan frekuensi getaran daya luaran. Dalam matematik, vektor eigen berguna dalam menyelesaikan sistem persamaan pembezaan.

Teorem. Jika pengendali linear f mempunyai matriks A dalam asasnya (asas pertama) dan matriks B dalam asasnya (asas kedua), maka kesamaan itu memegang: .

Akibatnya, apabila beralih kepada asas baru, polinomial ciri pengendali linear tidak berubah.

◌ Jika T ialah matriks peralihan daripada asas pertama kepada asas kedua, maka . Kemudian kita mengubah bahagian kanan kesaksamaan ●

Teorem. Agar nombor λ 0 dari medan P menjadi nilai eigen bagi vektor ruang L n atas P, adalah perlu dan mencukupi bahawa nombor λ 0 menjadi punca ciri pengendali f.

Doc. saya. Keperluan. biarlah λ 0 nilai eigen pengendali f, kemudian masuk Ln terdapat vektor eigen seperti itu.

biarlah ialah garis koordinatnya dalam beberapa asas, maka

Sebaliknya, kerana , di manakah matriks pengendali linear dalam asas tertentu, maka

Menyamakan sisi kanan (1) dan (2) kita dapat:

(3)

Kesamaan (3) bermaksud vektor berangka dengan koordinat ialah penyelesaian kepada sistem persamaan berikut (4).

(4)

Vektor adalah berbeza daripada sifar (kerana ia sendiri), oleh itu sistem (4) mempunyai penyelesaian bukan sifar, oleh itu penentunya ialah 0.

(5)

dan oleh itu penentu boleh alih adalah sama dengan 0.

(6)

II. Kecukupan. biarlah λ 0 – akar ciri pengendali dalam beberapa asas . Mari kita buktikan λ 0 ialah nilai eigen bagi operator A.

Sesungguhnya, jika λ 0 ialah punca ciri, maka kesamaan (6) akan dipenuhi, dan oleh itu kesamaan (5), dan ini bermakna sistem (4) mempunyai penyelesaian bukan sifar.

Marilah kita memilih beberapa penyelesaian bukan sifar sistem (4): vektor berangka . Kemudian kesamaan (3) dipenuhi.

Mari kita pertimbangkan vektor, dan untuk itu kesamaan (2) akan berpuas hati dan, berdasarkan formula, kesamaan (1) adalah sah, di manakah matriks pengendali dalam asas DALAM. Ini membayangkan kesamaan, yang bermaksud bahawa vektor ialah vektor eigen pengendali yang mana nilai eigen sepadan λ 0 . Inilah yang perlu dibuktikan. Teorem telah terbukti.

Komen. Untuk mencari nilai eigen pengendali, adalah perlu untuk mengarang dan menyelesaikan persamaan (5). Untuk mencari vektor eigen pengendali, anda perlu mencipta sistem persamaan (4) dan mencari satu set penyelesaian asas kepada sistem ini.

Untuk mengawal ketepatan pengiraan nilai eigen (ia boleh bertepatan atau kompleks), dua fakta digunakan:

1) , di mana jumlah terakhir matriks surih ialah jumlah unsur pepenjuru.

2) .

Contoh. Cari nilai eigen dan vektor eigen .

Menyamakan dengan sifar kita dapat . .

3) . , .

Biarkan menjadi pembolehubah bebas, kemudian kita mendapat vektor .

Bersenam. Semak vektor.

Bahagian