Syarat sempadan dan awal bagi persamaan pembezaan. I. Syarat sempadan jenis pertama. Ketepatan menetapkan syarat sempadan

Seperti yang dinyatakan dalam pengenalan, persamaan pembezaan separa tertib kedua mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga bergantung pada dua fungsi arbitrari. Untuk menentukan fungsi sewenang-wenang ini, atau, dengan kata lain, untuk mengasingkan penyelesaian tertentu yang kita perlukan, kita perlu mengenakan syarat tambahan pada fungsi yang dikehendaki. Pembaca telah pun menemui fenomena yang sama apabila menyelesaikan persamaan pembezaan biasa, apabila mengasingkan penyelesaian biasa daripada penyelesaian umum melibatkan proses mencari pemalar arbitrari berdasarkan keadaan awal yang diberikan.

Apabila mempertimbangkan masalah ayunan rentetan, syarat tambahan boleh terdiri daripada dua jenis: awal dan sempadan (atau sempadan).

Keadaan awal menunjukkan keadaan rentetan semasa getaran bermula. Adalah paling mudah untuk mengandaikan bahawa rentetan mula bergetar pada masa itu. Kedudukan awal mata rentetan diberikan oleh syarat

dan kelajuan awal

di manakah fungsi yang diberikan.

Notasi dan bermakna bahawa fungsi diambil untuk nilai arbitrari dan untuk , iaitu, sama dengan . Bentuk rakaman ini sentiasa digunakan pada masa hadapan; jadi, contohnya, dsb.

Keadaan (1.13) dan (1.14) adalah serupa dengan keadaan awal dalam masalah dinamik termudah titik material. Terdapat untuk menentukan hukum gerakan titik, sebagai tambahan kepada persamaan pembezaan, anda perlu mengetahui kedudukan awal titik dan kelajuan awalnya.

Keadaan sempadan mempunyai watak yang berbeza. Mereka menunjukkan apa yang berlaku pada hujung rentetan semasa keseluruhan getaran. Dalam kes paling mudah, apabila hujung rentetan ditetapkan (permulaan rentetan berada pada asal koordinat, dan penghujungnya pada titik, fungsi akan mematuhi syarat

Pembaca menghadapi keadaan yang sama dalam kursus tentang kekuatan bahan apabila mengkaji lenturan rasuk yang terletak pada dua sokongan di bawah pengaruh beban statik.

Makna fizikal fakta bahawa spesifikasi keadaan awal dan sempadan menentukan sepenuhnya proses boleh dikesan dengan paling mudah untuk kes ayunan bebas rentetan.

Biarkan, sebagai contoh, rentetan yang dipasang pada hujungnya ditarik balik, iaitu, fungsi - persamaan bentuk awal rentetan - telah ditetapkan, dan dilepaskan tanpa kelajuan awal (ini bermakna) Jelas bahawa dengan ini sifat ayunan selanjutnya akan ditentukan sepenuhnya dan kita akan mencari fungsi unik dengan menyelesaikan persamaan homogen di bawah keadaan yang sesuai. Anda boleh membuat rentetan bergetar dengan cara lain, iaitu dengan memberikan titik rentetan kelajuan awal tertentu. Secara fizikalnya jelas bahawa dalam kes ini proses ayunan selanjutnya akan ditentukan sepenuhnya. Kelajuan awal boleh diberikan kepada titik rentetan dengan memukul rentetan (seperti yang berlaku semasa bermain piano); Kaedah pertama untuk mengujakan rentetan digunakan semasa memainkan alat yang dipetik (contohnya, gitar).

Sekarang marilah kita akhirnya merumuskan masalah matematik yang mana kajian tentang getaran bebas rentetan yang dipasang pada kedua-dua hujung membawa.

Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan separa linear homogen tertib kedua dengan pekali malar

Menentukan suhu pada permukaan badan pada bila-bila masa, iaitu

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

nasi. 2.4 – Keadaan sempadan isoterma.

Tidak kira bagaimana suhu di dalam badan berubah, suhu titik pada permukaan mematuhi persamaan (2.15).

Lengkung taburan suhu dalam badan (Rajah 2.4) pada sempadan badan mempunyai ordinat tertentu T s , yang mungkin berubah dari semasa ke semasa. Kes khas keadaan sempadan jenis pertama ialah isoterma keadaan sempadan di mana suhu permukaan badan kekal malar sepanjang keseluruhan proses pemindahan haba:

T s = const.

nasi. 2.5 – Keadaan jenis pertama

Untuk membayangkan keadaan badan sedemikian, adalah perlu untuk menganggap bahawa secara simetri kepada sumber haba yang bertindak di dalam badan, terdapat satu lagi sumber haba rekaan di luarnya dengan tanda negatif (apa yang dipanggil sink haba). Selain itu, sifat sink haba ini betul-betul bertepatan dengan sifat sumber haba sebenar, dan taburan suhu diterangkan oleh ungkapan matematik yang sama. Kesan keseluruhan sumber ini akan membawa kepada suhu malar yang ditubuhkan pada permukaan badan, dalam kes tertentu T = 0 8C , manakala dalam badan suhu mata sentiasa berubah.

Keadaan sempadan jenis kedua

Mentakrifkan kepadatan aliran haba pada mana-mana titik pada permukaan badan pada bila-bila masa, i.e.

Menurut hukum Fourier, ketumpatan fluks haba adalah berkadar terus dengan kecerunan suhu. Oleh itu, medan suhu di sempadan mempunyai kecerunan tertentu (Rajah b), dalam kes tertentu pemalar, apabila

Kes khas keadaan sempadan jenis kedua ialah keadaan sempadan adiabatik, apabila aliran haba melalui permukaan badan adalah sifar (Rajah 2.6), i.e.

nasi. 2.6 - Keadaan sempadan jenis kedua

Dalam pengiraan teknikal, selalunya terdapat kes apabila aliran haba dari permukaan badan adalah kecil berbanding dengan aliran di dalam badan. Kemudian kita boleh menerima sempadan ini sebagai adiabatik. Apabila mengimpal, kes sedemikian boleh diwakili oleh rajah berikut (Rajah 2.7).

nasi. 2.7 – Keadaan jenis kedua

Pada titik itu TENTANG sumber haba aktif. Untuk memenuhi syarat bahawa sempadan tidak membenarkan haba melaluinya, adalah perlu untuk meletakkan sumber yang sama di luar badan, secara simetri kepada sumber ini, pada titik O 1 , dan aliran haba daripadanya diarahkan melawan aliran sumber utama. Mereka membatalkan satu sama lain, iaitu, sempadan tidak membenarkan haba melalui. Walau bagaimanapun, suhu tepi badan akan menjadi dua kali lebih tinggi jika badan ini tidak terhingga. Kaedah pampasan aliran haba ini dipanggil kaedah pantulan, kerana dalam kes ini sempadan tak telap haba boleh dianggap sebagai sempadan yang mencerminkan aliran haba yang datang dari logam.

Keadaan sempadan jenis ketiga.

Menentukan suhu persekitaran dan hukum pertukaran haba antara permukaan badan dan persekitaran. Bentuk termudah bagi keadaan sempadan jenis ketiga diperoleh jika pemindahan haba pada sempadan ditentukan oleh persamaan Newton, yang menyatakan bahawa ketumpatan fluks haba pemindahan haba melalui permukaan sempadan adalah berkadar terus dengan perbezaan suhu antara permukaan sempadan dan persekitaran

Ketumpatan fluks haba yang mengalir ke permukaan sempadan dari sisi badan adalah, mengikut hukum Fourier, berkadar terus dengan kecerunan suhu pada permukaan sempadan:

Menyamakan aliran haba yang datang dari badan dengan aliran pemindahan haba, kita memperoleh keadaan sempadan jenis ke-3:

,

menyatakan bahawa kecerunan suhu pada permukaan sempadan adalah berkadar terus dengan perbezaan suhu antara permukaan badan dan persekitaran. Keadaan ini memerlukan tangen kepada lengkung taburan suhu pada titik sempadan melalui titik panduan TENTANG dengan suhu yang terletak di luar badan pada jarak dari permukaan sempadan (Rajah 2.8).

Rajah 2.8 – Keadaan sempadan jenis ke-3

Daripada keadaan sempadan jenis ke-3 seseorang boleh memperoleh sebagai kes khas keadaan sempadan isoterma. Jika, yang berlaku dengan pekali pemindahan haba yang sangat besar atau pekali kekonduksian haba yang sangat rendah, maka:

dan , i.e. suhu permukaan badan adalah malar sepanjang keseluruhan proses pemindahan haba dan sama dengan suhu persekitaran.

Satu persamaan gerakan (1.116) tidak mencukupi untuk penerangan matematik proses fizikal. Ia adalah perlu untuk merumuskan syarat yang mencukupi untuk definisi proses yang tidak jelas. Apabila mempertimbangkan masalah getaran tali, syarat tambahan boleh terdiri daripada dua jenis: awal dan sempadan (tepi).

Mari kita rumuskan syarat tambahan untuk rentetan dengan hujung tetap. Oleh kerana hujung rentetan panjang adalah tetap, sisihan mereka pada titik dan mestilah sama dengan sifar untuk mana-mana:

Syarat (1.119) dipanggil sempadan syarat; mereka menunjukkan apa yang berlaku pada hujung rentetan semasa proses getaran.

Jelas sekali, proses ayunan akan bergantung pada bagaimana rentetan dibawa keluar dari keseimbangan. Adalah lebih mudah untuk menganggap bahawa rentetan mula bergetar pada masanya. Pada saat permulaan masa, semua titik rentetan diberi beberapa anjakan dan halaju:

,

, ,

(1.120)

di mana dan diberi fungsi.

Syarat (1.120) dipanggil permulaan syarat.

Jadi, masalah fizikal ayunan rentetan telah dikurangkan kepada masalah matematik berikut: untuk mencari penyelesaian kepada persamaan (1.116) (atau (1.117) atau (1.118)) yang akan memenuhi syarat sempadan (1.119) dan keadaan awal ( 1.120). Masalah ini dipanggil masalah nilai sempadan campuran, kerana ia merangkumi kedua-dua syarat sempadan dan awal. Terbukti bahawa di bawah sekatan tertentu yang dikenakan ke atas fungsi dan , masalah bercampur mempunyai penyelesaian yang unik.

Ternyata sebagai tambahan kepada masalah ayunan rentetan, banyak masalah fizikal lain boleh dikurangkan kepada masalah (1.116), (1.119), (1.120): getaran membujur rod elastik, getaran kilasan aci, getaran cecair dan gas dalam paip, dsb.

Selain itu syarat sempadan(1.119) syarat sempadan jenis lain adalah mungkin. Yang paling biasa adalah yang berikut:

saya. , ;

II. , ;

III. , ,

di mana , adalah fungsi yang diketahui, dan , adalah pemalar yang diketahui.

Syarat sempadan yang diberikan masing-masing dipanggil syarat sempadan jenis pertama, kedua dan ketiga. Keadaan I berlaku jika hujung objek (tali, rod, dll.) bergerak mengikut undang-undang yang diberikan; syarat II – sekiranya daya tertentu dikenakan pada hujung; Syarat III – dalam hal pengikat anjal pada hujungnya.

Jika fungsi yang dinyatakan di sebelah kanan kesamaan adalah sama dengan sifar, maka syarat sempadan dipanggil homogen. Oleh itu, syarat sempadan (1.119) adalah homogen.

Menggabungkan pelbagai jenis syarat sempadan yang disenaraikan, kami memperoleh enam jenis masalah nilai sempadan yang paling mudah.

Masalah lain boleh dikemukakan untuk persamaan (1.116). Biarkan rentetan itu cukup panjang dan kami berminat dengan getaran matanya yang cukup jauh dari hujungnya, dan dalam tempoh yang singkat. Dalam kes ini, mod di hujung tidak akan mempunyai kesan yang ketara dan oleh itu tidak diambil kira; rentetan dianggap tidak terhingga. Sebaliknya masalah lengkap menimbulkan masalah had dengan syarat awal untuk domain tanpa had: cari penyelesaian kepada persamaan (1.116) untuk untuk , memenuhi syarat awal:

, .

kawasan yang sedang dipertimbangkan, masing-masing.

Biasanya persamaan pembezaan tidak mempunyai satu penyelesaian, tetapi seluruh keluarga mereka. Keadaan awal dan sempadan membolehkan anda memilih satu daripadanya yang sepadan dengan proses atau fenomena fizikal sebenar. Dalam teori persamaan pembezaan biasa, teorem tentang kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada masalah dengan keadaan awal (yang dipanggil masalah Cauchy) telah dibuktikan. Untuk persamaan pembezaan separa, beberapa teorem tentang kewujudan dan keunikan penyelesaian untuk kelas masalah nilai awal dan sempadan diperolehi.

Terminologi

Kadangkala keadaan awal dalam masalah tidak pegun, seperti menyelesaikan persamaan hiperbolik atau parabola, juga dianggap sebagai syarat sempadan.

Untuk masalah pegun, terdapat pembahagian keadaan sempadan kepada utama Dan semula jadi.

Keadaan utama biasanya mempunyai bentuk di mana sempadan wilayah.

Keadaan semula jadi juga mengandungi terbitan larutan sepanjang batas normal.

Contoh

Persamaan menerangkan pergerakan jasad dalam medan graviti. Ia dipenuhi oleh mana-mana fungsi kuadratik bentuk , di mana nombor arbitrari. Untuk mengenal pasti undang-undang gerakan tertentu, adalah perlu untuk menunjukkan koordinat awal badan dan kelajuannya, iaitu keadaan awal.

Ketepatan menetapkan syarat sempadan

Tugasan fizik matematik menggambarkan sebenar proses fizikal, dan oleh itu perumusannya mesti memenuhi keperluan semula jadi berikut:

1. Penyelesaiannya mestilah wujud dalam beberapa kelas fungsi;
2. Penyelesaiannya mestilah satu-satunya dalam beberapa kelas fungsi;
3. Penyelesaiannya mestilah bergantung kepada data secara berterusan(syarat awal dan sempadan, jangka bebas, pekali, dsb.).

Keperluan untuk pergantungan berterusan penyelesaian ditentukan oleh fakta bahawa data fizikal, sebagai peraturan, ditentukan kira-kira dari percubaan, dan oleh itu seseorang mesti memastikan bahawa penyelesaian kepada masalah dalam rangka kerja yang dipilih model matematik tidak akan banyak bergantung pada ralat pengukuran. Secara matematik, keperluan ini boleh ditulis, contohnya, seperti ini (untuk kebebasan daripada istilah bebas):

Biarkan dua persamaan pembezaan diberikan: dengan pengendali pembezaan yang sama dan keadaan sempadan yang sama, maka penyelesaiannya akan terus bergantung pada jangka bebas jika:

Set fungsi yang memenuhi keperluan yang disenaraikan dipanggil kelas ketepatan. Penetapan syarat sempadan yang salah digambarkan dengan baik oleh contoh Hadamard.

Lihat juga

• Syarat sempadan jenis pertama (masalah Dirichlet), en:Keadaan sempadan Dirichlet
• Keadaan sempadan jenis ke-2 (masalah Neumann), en:Keadaan sempadan Neumann
• Syarat sempadan jenis ke-3 (masalah Robin), en:Keadaan sempadan Robin
• Keadaan untuk sentuhan haba yang ideal, en: Sentuhan haba sempurna

kesusasteraan

Yayasan Wikimedia.

2010.

Lihat apakah "Keadaan awal dan sempadan" dalam kamus lain:

Dalam teori persamaan pembezaan, keadaan awal dan sempadan ialah penambahan kepada persamaan pembezaan utama (pembezaan biasa atau separa), yang menyatakan kelakuannya pada masa awal atau pada sempadan yang dipertimbangkan... ... Wikipedia Masalah Neumann dalam persamaan pembezaan masalah nilai sempadan

dengan syarat sempadan yang diberikan untuk terbitan fungsi yang diingini di sempadan rantau, apa yang dipanggil syarat sempadan jenis kedua. Berdasarkan jenis domain, masalah Neumann boleh dibahagikan kepada dua... Wikipedia syarat sempadan

Lihat apakah "Keadaan awal dan sempadan" dalam kamus lain:

- keadaan fizikal yang diformalkan di sempadan zon ubah bentuk atau model matematik mereka, yang, bersama-sama dengan yang lain, memungkinkan untuk mendapatkan penyelesaian unik untuk masalah rawatan tekanan. Syarat sempadan dibahagikan kepada... syarat awal - perihalan keadaan badan sebelum ubah bentuk. Biasanya, pada saat awal, koordinat Euler bagi titik xi0 permukaan badan, tegasan, kelajuan, ketumpatan, suhu pada mana-mana titik M badan diberikan. Wilayah ruang angkasa Diya,... ... Kamus Ensiklopedia

dalam metalurgi- nisbah tertentu semasa bergolek, menyambungkan sudut cengkaman dan pekali atau sudut geseran di mana penangkapan utama logam oleh gulungan dan pengisian zon ubah bentuk dipastikan; Lihat juga: Keadaan kerja... Kamus Ensiklopedia Metalurgi

Syarat- : Lihat juga: keadaan kerja keadaan keseimbangan pembezaan spesifikasi teknikal(TU) syarat awal... Kamus Ensiklopedia Metalurgi

keadaan kerja- satu set ciri kebersihan dan kebersihan persekitaran luaran(suhu dan kelembapan, habuk, bunyi, dsb.) di mana proses teknologi dijalankan; dikawal di Rusia oleh buruh... ... Kamus Ensiklopedia Metalurgi

Lihat apakah "Keadaan awal dan sempadan" dalam kamus lain:

Buku

• Kaedah berangka untuk menyelesaikan masalah songsang fizik matematik, Samarsky A.A. Dalam kursus tradisional mengenai kaedah untuk menyelesaikan masalah fizik matematik, masalah langsung dipertimbangkan. Dalam kes ini, penyelesaian ditentukan daripada persamaan pembezaan separa, yang dilengkapkan...

Syarat awal

Untuk dapat mengira perubahan suhu pada titik-titik badan dalam satu arah atau yang lain pada saat-saat berikutnya, keadaan terma awal mesti ditentukan untuk setiap titik badan. Dalam erti kata lain, fungsi koordinat berterusan atau tak selanjar T0 (x, y, z) mesti ditentukan, menerangkan sepenuhnya keadaan suhu di semua titik badan pada masa awal t = 0, dan fungsi yang dikehendaki T (x, y). , z, t), yang merupakan penyelesaian kepada persamaan pembezaan (1.8), mesti memenuhi syarat awal

T (x, y, z, 0i=o = T0 (x, y, z). (1.11)

Syarat sempadan

Badan pengalir haba boleh tertakluk kepada pelbagai keadaan pengaruh haba luaran melalui permukaannya. Oleh itu, daripada semua penyelesaian persamaan pembezaan (1.8), anda perlu memilih satu yang memenuhi syarat yang diberikan pada permukaan S, iaitu, syarat sempadan khusus ini. Bentuk spesifikasi matematik keadaan sempadan berikut digunakan.

1. Suhu pada setiap titik di permukaan badan boleh berubah mengikut masa mengikut undang-undang tertentu yang diberikan, iaitu suhu permukaan badan akan mewakili fungsi koordinat dan masa Ts (x, y, y, y, y, x, y ). z, i). Dalam kes ini, fungsi yang dikehendaki T (x, y, z, t), yang merupakan penyelesaian kepada persamaan (1.8), mesti memenuhi syarat sempadan

T (x, y, z, 0 Is = Ts (x, y, z, i). (1.12)

Dalam kes yang paling mudah, suhu pada permukaan badan 7 (x, y, z, t) boleh fungsi berkala masa atau ia boleh tetap.

2. Aliran haba melalui permukaan jasad dikenali sebagai fungsi selanjar (atau tak selanjar) koordinat titik permukaan dan masa qs (x, y, z, I). Kemudian fungsi T (x, y, z, I) mesti memenuhi syarat sempadan:

X grad T (x, y, z, 0U = Qs (*. Y> z> 0- (1 -13)

3. Suhu persekitaran Ta dan hukum pertukaran haba antara persekitaran dan permukaan badan diberikan, yang mana hukum Newton digunakan untuk kesederhanaan. Selaras dengan undang-undang ini, jumlah haba dQ yang dilepaskan

semasa dt elemen permukaan dS dengan suhu

Ts (x, y, z, t) ke dalam persekitaran ditentukan oleh formula

dQ = k (Ts - Ta) dS dt, (1.14)

dengan k ialah pekali pemindahan haba dalam cal/cm2 - sec-°C. Sebaliknya, mengikut formula (1.6), jumlah haba yang sama dibekalkan kepada elemen permukaan dari dalam dan ditentukan oleh kesamaan

dQ = - x (grad„ 7")s dS dt. (1.15)

Menyamakan (1.14) dan (1.15), kita memperoleh bahawa fungsi yang dikehendaki T (x, y, z, t) mesti memenuhi syarat sempadan

(gradnr)s = -±-(Ts-Ta). (1.16)

Seperti yang dinyatakan di atas, apabila menyambung dua bahagian struktur semasa pemasangan, syarat untuk kimpalan adalah yang paling sukar. Mengimpal keseluruhan bahagian pada masa yang sama adalah mustahil sepenuhnya, dan oleh itu selepas menggunakan sebahagian daripada jahitan...

Jika ubah bentuk umum struktur yang dikimpal sangat dipengaruhi oleh urutan penggunaan jahitan individu, maka ubah bentuk dan ubah bentuk tempatan dari satah kepingan yang dikimpal sangat dipengaruhi oleh kaedah membuat setiap jahitan. ...

Seperti yang dinyatakan di atas, apabila mengimpal bahagian dan struktur komposit yang kompleks, sifat ubah bentuk yang terhasil bergantung pada susunan jahitan digunakan. Oleh itu, salah satu cara utama untuk memerangi ubah bentuk dalam pembuatan struktur dikimpal...