Penyelesaian geometri persamaan dengan modulus. Persamaan dengan modulus. Perlindungan maklumat peribadi
Modulus nombor mudah dicari, dan teori di sebaliknya adalah penting semasa menyelesaikan masalah.
Sifat dan peraturan pendedahan yang digunakan dalam menyelesaikan latihan dan peperiksaan akan berguna untuk pelajar sekolah dan pelajar. Dapatkan wang menggunakan pengetahuan anda di https://teachs.ru!
Apakah itu modul dalam matematik
Modulus nombor menerangkan jarak pada garis nombor dari sifar ke titik, tanpa mengambil kira arah di mana titik itu terletak dari sifar. tatatanda matematik : |x|.
Dalam erti kata lain, ia adalah nilai mutlak sesuatu nombor. Takrifan membuktikan bahawa nilai itu tidak pernah negatif.
Sifat modul
Adalah penting untuk mengingati sifat berikut:
Modulus nombor kompleks
Nilai mutlak nombor kompleks ialah panjang segmen berarah yang dilukis dari permulaan satah kompleks ke titik (a, b).
Segmen terarah ini juga merupakan vektor yang mewakili nombor kompleks a+bi, jadi nilai mutlak nombor kompleks adalah sama dengan magnitud (atau panjang) vektor yang mewakili a+ bi.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus
Persamaan dengan modulus ialah kesamaan yang mengandungi ungkapan nilai mutlak. Jika untuk nombor nyata ia mewakili jaraknya dari asal pada garis nombor, maka ketaksamaan dengan modulus ialah jenis ketaksamaan yang terdiri daripada nilai mutlak.
Persamaan seperti |x| =a
Persamaan |x| = a mempunyai dua jawapan x = a dan x = –a, kerana kedua-dua pilihan berada pada garis koordinat pada jarak a dari 0.
Persamaan dengan nilai mutlak tidak mempunyai penyelesaian jika nilainya negatif.
Jika |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
Persamaan seperti |x| = |y|
Apabila terdapat nilai mutlak pada kedua-dua belah persamaan, kita perlu mempertimbangkan kedua-dua kemungkinan untuk definisi yang boleh diterima—ungkapan positif dan negatif.
Contohnya, untuk kesamaan |x − a| = |x + b| terdapat dua pilihan: (x − a) = − (x + b) atau (x − a) = (x + b).
Persamaan seperti |x| = y
Persamaan jenis ini mengandungi nilai mutlak ungkapan dengan pembolehubah di sebelah kiri sifar dan satu lagi tidak diketahui di sebelah kanan. Pembolehubah y boleh sama ada lebih besar daripada atau kurang daripada sifar.
Untuk mendapatkan jawapan kepada kesamaan sedemikian, anda perlu menyelesaikan sistem beberapa persamaan, di mana anda perlu memastikan bahawa y ialah kuantiti bukan negatif:
Menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus
Untuk lebih memahami cara mengembangkan modul dalam jenis yang berbeza persamaan dan ketidaksamaan, anda perlu menganalisis contoh.
Persamaan dalam bentuk |x| =a
Contoh 1(algebra darjah 6). Selesaikan: |x| + 2 = 4.
Penyelesaian.
Persamaan sedemikian diselesaikan dengan cara yang sama seperti kesamaan tanpa nilai mutlak. Ini bermakna dengan menggerakkan yang tidak diketahui ke kiri dan pemalar ke kanan, ungkapan tidak berubah.
Selepas menggerakkan pemalar ke kanan, kita dapat: |x| = 2.
Oleh kerana yang tidak diketahui berkaitan dengan nilai mutlak, persamaan ini mempunyai dua jawapan: 2 Dan −2 .
Jawapan: 2 Dan −2 .
Contoh 2(algebra darjah 7). Selesaikan ketaksamaan |x + 2| ≥ 1.
Penyelesaian.
Perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mencari titik di mana nilai mutlak akan berubah. Untuk melakukan ini, ungkapan itu disamakan dengan 0 . Diterima: x = –2.
Ini bermakna bahawa –2 – titik perubahan.
Mari bahagikan selang kepada 2 bahagian:
- untuk x + 2 ≥ 0
[−1; + ∞).
- untuk x + 2< 0
Jawapan biasa untuk kedua-dua ketaksamaan ini ialah selang (−∞; –3].
Keputusan muktamad – menggabungkan jawapan bahagian individu:
x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Jawapan: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
Persamaan dalam bentuk |x| = |y|
Contoh 1(algebra gred 8). Selesaikan persamaan dengan dua modul: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.
Penyelesaian:
Jawapan: x 1 = 3; x 2 = − 1.
Contoh 2(algebra gred 8). Selesaikan ketaksamaan:
Penyelesaian:
Persamaan dalam bentuk |x| = y
Contoh 1(algebra gred 10). Cari x:
Penyelesaian:
Adalah sangat penting untuk menyemak sebelah kanan, jika tidak, anda boleh menulis punca yang salah dalam jawapan anda. Jelas dari sistem bahawa ia tidak terletak pada jurang.
Jawapan: x = 0.
Jumlah modul
Modulus perbezaan
Nilai mutlak perbezaan antara dua nombor x dan y adalah sama dengan jarak antara titik dengan koordinat X Dan Y pada garis koordinat.
Contoh 1.
Contoh 2.
Modulus nombor negatif
Untuk mencari nilai mutlak nombor yang kurang daripada sifar, anda perlu mengetahui sejauh mana ia daripada sifar. Oleh kerana jaraknya sentiasa positif (tidak mustahil untuk mengambil langkah "negatif", mereka hanya langkah ke arah lain), hasilnya sentiasa positif. iaitu,
Dengan kata lain, nilai mutlak nombor negatif mempunyai makna yang berlawanan.
Modul sifar
Harta yang diketahui:
Inilah sebabnya mengapa nilai mutlak tidak boleh dikatakan sebagai nombor positif: sifar bukanlah negatif atau positif.
Modul kuasa dua
Modulus kuasa dua sentiasa sama dengan ungkapan kuasa dua:
Contoh graf dengan modul
Selalunya dalam ujian dan peperiksaan terdapat tugasan yang hanya boleh diselesaikan dengan menganalisis graf. Mari kita pertimbangkan tugas sedemikian.
Contoh 1.
Diberi fungsi f(x) = |x|. Ia adalah perlu untuk membina graf dari – 3 hingga 3 dengan langkah 1.
Penyelesaian:
Penjelasan: Rajah menunjukkan bahawa graf adalah simetri tentang paksi Y.
Contoh 2. Ia adalah perlu untuk melukis dan membandingkan graf bagi fungsi f(x) = |x–2| dan g(x) = |x|–2.
Penyelesaian:
Penjelasan: Pemalar di dalam nilai mutlak menggerakkan keseluruhan graf ke kanan jika nilainya negatif, dan ke kiri jika nilainya positif. Tetapi pemalar di luar akan menggerakkan graf ke atas jika nilainya positif dan turun jika ia negatif (seperti - 2 dalam fungsi g(x)).
Koordinat puncak x(titik di mana dua garis bersambung, puncak graf) ialah nombor yang mana graf dialihkan ke kiri atau kanan. Satu koordinat y– ini ialah nilai yang mana graf bergerak ke atas atau ke bawah.
Anda boleh membina graf sedemikian menggunakan aplikasi plot dalam talian. Dengan bantuan mereka, anda boleh melihat dengan jelas cara pemalar mempengaruhi fungsi.
Kaedah selang dalam masalah dengan modulus
Kaedah selang adalah salah satu daripada cara terbaik cari jawapan dalam masalah dengan modul, terutamanya jika terdapat beberapa daripadanya dalam ungkapan.
Untuk menggunakan kaedah, anda perlu melakukan perkara berikut:
- Samakan setiap ungkapan dengan sifar.
- Cari nilai pembolehubah.
- Plotkan titik yang diperoleh dalam langkah 2 pada garis nombor.
- Tentukan tanda ungkapan (nilai negatif atau positif) pada selang dan lukis simbol - atau +, masing-masing. Cara paling mudah untuk menentukan tanda adalah menggunakan kaedah penggantian (menggantikan sebarang nilai dari selang).
- Selesaikan ketaksamaan dengan tanda yang diberikan.
Contoh 1. Selesaikan menggunakan kaedah selang.
Penyelesaian:
Kami tidak memilih matematik profesionnya, dan dia memilih kita.
Ahli matematik Rusia Yu.I. Manin
Persamaan dengan modulus
Masalah yang paling sukar untuk diselesaikan dalam matematik sekolah ialah persamaan yang mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus. Untuk berjaya menyelesaikan persamaan tersebut, anda perlu mengetahui definisi dan sifat asas modul. Sememangnya, pelajar mesti mempunyai kemahiran untuk menyelesaikan persamaan jenis ini.
Konsep dan sifat asas
Modulus (nilai mutlak) nombor nyata dilambangkan dengan dan ditakrifkan seperti berikut:
KEPADA sifat mudah modul termasuk hubungan berikut:
Nota, bahawa dua sifat terakhir adalah sah untuk mana-mana darjah genap.
Lebih-lebih lagi, jika, di mana, kemudian dan
Sifat modul yang lebih kompleks, yang boleh digunakan dengan berkesan apabila menyelesaikan persamaan dengan moduli, dirumuskan melalui teorem berikut:
Teorem 1.Untuk mana-mana fungsi analisis Dan ketidaksamaan adalah benar
Teorem 2. Kesaksamaan adalah bersamaan dengan ketidaksamaan.
Teorem 3. Kesaksamaan sama dengan ketidaksamaan.
Mari kita pertimbangkan contoh tipikal menyelesaikan masalah mengenai topik “Persamaan, mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus."
Menyelesaikan persamaan dengan modulus
Kaedah yang paling biasa dalam matematik sekolah untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus ialah kaedah, berdasarkan pengembangan modul. Kaedah ini adalah universal, namun, dalam kes umum, penggunaannya boleh membawa kepada pengiraan yang sangat menyusahkan. Dalam hal ini, pelajar harus tahu yang lain, lebih kaedah yang berkesan dan teknik untuk menyelesaikan persamaan tersebut. khususnya, perlu mempunyai kemahiran dalam mengaplikasi teorem, diberikan dalam artikel ini.
Contoh 1. Selesaikan persamaan. (1)
Penyelesaian. Kami akan menyelesaikan Persamaan (1) menggunakan kaedah "klasik" - kaedah mendedahkan modul. Untuk melakukan ini, mari bahagikan paksi nombor titik dan ke dalam selang waktu dan pertimbangkan tiga kes.
1. Jika , maka , , , dan persamaan (1) dalam bentuk . Ia berikutan daripada ini. Walau bagaimanapun, di sini, oleh itu nilai yang ditemui bukanlah punca persamaan (1).
2. Jika, maka daripada persamaan (1) kita perolehi atau .
Sejak itu punca persamaan (1).
3. Jika, maka persamaan (1) mengambil bentuk atau . Mari kita ambil perhatian bahawa.
Jawapan: , .
Apabila menyelesaikan persamaan berikutnya dengan modul, kami akan menggunakan sifat modul secara aktif untuk meningkatkan kecekapan menyelesaikan persamaan tersebut.
Contoh 2. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Sejak dan kemudian daripada persamaan ia mengikuti. Sehubungan itu, , , dan persamaan mengambil bentuk. Dari sini kita dapat. Walau bagaimanapun, oleh itu persamaan asal tidak mempunyai punca.
Jawapan: tiada akar.
Contoh 3. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Sejak itu. Jika , maka dan persamaan mengambil bentuk.
Dari sini kita dapat .
Contoh 4. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian.Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk yang setara. (2)
Persamaan yang terhasil tergolong dalam persamaan jenis .
Dengan mengambil kira Teorem 2, boleh dikatakan bahawa persamaan (2) adalah bersamaan dengan ketaksamaan . Dari sini kita dapat .
Jawapan: .
Contoh 5. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Persamaan ini mempunyai bentuk. sebab tu, mengikut Teorem 3, di sini kita mempunyai ketidaksamaan atau .
Contoh 6. Selesaikan persamaan.
Penyelesaian. Mari kita anggap itu. kerana , maka persamaan yang diberi adalah berbentuk persamaan kuadratik, (3)
di mana . Oleh kerana persamaan (3) mempunyai punca positif tunggal dan , kemudian . Dari sini kita mendapat dua punca persamaan asal: Dan .
Contoh 7. Selesaikan persamaan. (4)
Penyelesaian. Sejak persamaanadalah bersamaan dengan gabungan dua persamaan: Dan, maka apabila menyelesaikan persamaan (4) adalah perlu untuk mempertimbangkan dua kes.
1. Jika , maka atau .
Dari sini kita dapat , dan .
2. Jika , maka atau .
Sejak itu.
Jawapan: , , , .
Contoh 8.Selesaikan persamaan . (5)
Penyelesaian. Sejak dan , kemudian . Dari sini dan dari persamaan (5) ia mengikuti bahawa dan , i.e. di sini kita mempunyai sistem persamaan
Walau bagaimanapun, sistem persamaan ini tidak konsisten.
Jawapan: tiada akar.
Contoh 9. Selesaikan persamaan. (6)
Penyelesaian. Jika kita menandakan , maka dan daripada persamaan (6) kita perolehi
Ataupun . (7)
Oleh kerana persamaan (7) mempunyai bentuk , persamaan ini bersamaan dengan ketaksamaan . Dari sini kita dapat . Sejak , kemudian atau .
Jawapan: .
Contoh 10.Selesaikan persamaan. (8)
Penyelesaian.Mengikut Teorem 1, kita boleh menulis
(9)
Dengan mengambil kira persamaan (8), kami membuat kesimpulan bahawa kedua-dua ketaksamaan (9) bertukar menjadi kesamaan, i.e. terdapat sistem persamaan
Walau bagaimanapun, menurut Teorem 3, sistem persamaan di atas adalah bersamaan dengan sistem ketaksamaan
(10)
Menyelesaikan sistem ketaksamaan (10) kita perolehi . Oleh kerana sistem ketaksamaan (10) adalah bersamaan dengan persamaan (8), persamaan asal mempunyai punca tunggal.
Jawapan: .
Contoh 11. Selesaikan persamaan. (11)
Penyelesaian. Biarkan dan , maka kesamaan itu mengikuti daripada persamaan (11).
Ia berikutan itu dan . Oleh itu, di sini kita mempunyai sistem ketidaksamaan
Penyelesaian kepada sistem ketidaksamaan ini ialah Dan .
Jawapan: , .
Contoh 12.Selesaikan persamaan. (12)
Penyelesaian. Persamaan (12) akan diselesaikan dengan kaedah pengembangan berjujukan modul. Untuk melakukan ini, mari kita pertimbangkan beberapa kes.
1. Jika , maka .
1.1. Jika , maka dan , .
1.2. Jika, maka. Walau bagaimanapun, oleh itu dalam dalam kes ini persamaan (12) tidak mempunyai punca.
2. Jika , maka .
2.1. Jika , maka dan , .
2.2. Jika , maka dan .
Jawapan: , , , , .
Contoh 13.Selesaikan persamaan. (13)
Penyelesaian. Oleh kerana bahagian kiri persamaan (13) adalah bukan negatif, maka . Dalam hal ini, dan persamaan (13)
mengambil borang atau .
Adalah diketahui bahawa persamaan adalah bersamaan dengan gabungan dua persamaan Dan, penyelesaian yang kita dapat, . kerana , maka persamaan (13) mempunyai satu punca.
Jawapan: .
Contoh 14. Menyelesaikan sistem persamaan (14)
Penyelesaian. Sejak dan , kemudian dan . Oleh itu, daripada sistem persamaan (14) kita memperoleh empat sistem persamaan:
Punca-punca sistem persamaan di atas ialah punca-punca sistem persamaan (14).
Jawapan: ,, , , , , , .
Contoh 15. Menyelesaikan sistem persamaan (15)
Penyelesaian. Sejak itu. Dalam hal ini, daripada sistem persamaan (15) kita memperoleh dua sistem persamaan
Punca-punca sistem persamaan pertama ialah dan , dan daripada sistem persamaan kedua kita perolehi dan .
Jawapan: , , , .
Contoh 16. Menyelesaikan sistem persamaan (16)
Penyelesaian. Daripada persamaan pertama sistem (16) ia mengikuti bahawa .
Sejak itu . Mari kita pertimbangkan persamaan kedua sistem. Kerana, Itu , dan persamaan mengambil bentuk, , atau .
Jika anda menggantikan nilaike dalam persamaan pertama sistem (16), kemudian , atau .
Jawapan: , .
Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah penyelesaian masalah, berkaitan dengan penyelesaian persamaan, mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus, boleh awak nasihatkan alat bantu mengajar daripada senarai literatur yang disyorkan.
1. Koleksi masalah dalam matematik untuk pemohon ke kolej / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Keamanan dan Pendidikan, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: tugas yang semakin kompleks. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 p.
3. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: kaedah bukan standard untuk menyelesaikan masalah. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.
Masih ada soalan?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.
Modulus ialah nilai mutlak ungkapan. Untuk entah bagaimana menunjukkan modul, adalah kebiasaan untuk menggunakan kurungan lurus. Nilai yang disertakan dalam kurungan genap ialah nilai yang diambil modulo. Proses menyelesaikan mana-mana modul terdiri daripada membuka kurungan yang sangat lurus, yang dalam bahasa matematik dipanggil kurungan modular. Pendedahan mereka berlaku mengikut beberapa peraturan tertentu. Juga, dalam susunan menyelesaikan modul, set nilai ungkapan tersebut yang terdapat dalam kurungan modular ditemui. Dalam kebanyakan kes, modul dikembangkan sedemikian rupa sehingga ungkapan yang submodular menerima kedua-dua nilai positif dan negatif, termasuk nilai sifar. Jika kita bermula dari sifat-sifat modul yang telah ditetapkan, maka dalam prosesnya pelbagai persamaan atau ketidaksamaan dari ungkapan asal disusun, yang kemudiannya perlu diselesaikan. Mari kita fikirkan cara menyelesaikan modul.
Proses penyelesaian
Menyelesaikan modul bermula dengan menulis persamaan asal dengan modul. Untuk menjawab persoalan bagaimana menyelesaikan persamaan dengan modulus, anda perlu membukanya sepenuhnya. Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, modul dikembangkan. Semua ungkapan modular mesti dipertimbangkan. Adalah perlu untuk menentukan nilai kuantiti yang tidak diketahui yang termasuk dalam komposisinya, ungkapan modular dalam kurungan menjadi sifar. Untuk melakukan ini, cukup untuk menyamakan ungkapan dalam kurungan modular kepada sifar, dan kemudian mengira penyelesaian kepada persamaan yang terhasil. Nilai yang ditemui mesti direkodkan. Dengan cara yang sama, anda juga perlu menentukan nilai semua pembolehubah yang tidak diketahui untuk semua modul dalam persamaan ini. Seterusnya, anda perlu mula mentakrifkan dan mempertimbangkan semua kes kewujudan pembolehubah dalam ungkapan apabila ia berbeza daripada nilai sifar. Untuk melakukan ini, anda perlu menulis beberapa sistem ketaksamaan yang sepadan dengan semua modul dalam ketaksamaan asal. Ketaksamaan mesti ditulis supaya ia meliputi semua nilai yang ada dan mungkin untuk pembolehubah yang terdapat pada garis nombor. Kemudian anda perlu melukis garis nombor yang sama ini untuk visualisasi, yang kemudiannya memplot semua nilai yang diperolehi.
Hampir semuanya kini boleh dilakukan di Internet. Modul ini tidak terkecuali daripada peraturan. Anda boleh menyelesaikannya dalam talian pada salah satu daripada banyak sumber moden. Semua nilai pembolehubah yang berada dalam modul sifar akan menjadi kekangan khas yang akan digunakan dalam proses menyelesaikan persamaan modular. Dalam persamaan asal, anda perlu membuka semua kurungan modular yang tersedia, sambil menukar tanda ungkapan supaya nilai pembolehubah yang dikehendaki bertepatan dengan nilai yang boleh dilihat pada garis nombor. Persamaan yang terhasil mesti diselesaikan. Nilai pembolehubah yang akan diperolehi semasa menyelesaikan persamaan mesti disemak terhadap had yang ditentukan oleh modul itu sendiri. Jika nilai pembolehubah memenuhi sepenuhnya keadaan, maka ia adalah betul. Semua punca yang akan diperolehi semasa penyelesaian persamaan, tetapi tidak sesuai dengan sekatan, mesti dibuang.
Salah satu topik yang paling sukar untuk pelajar ialah menyelesaikan persamaan yang mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus. Mari kita fikirkan apa kaitannya? Mengapa, sebagai contoh, kebanyakan kanak-kanak memecahkan persamaan kuadratik seperti kacang, tetapi mempunyai begitu banyak masalah dengan konsep yang jauh daripada kompleks sebagai modul?
Pada pendapat saya, semua kesukaran ini dikaitkan dengan kekurangan peraturan yang dirumus dengan jelas untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Jadi, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, pelajar tahu pasti bahawa dia perlu menggunakan formula diskriminasi dahulu, dan kemudian formula untuk punca persamaan kuadratik. Apa yang perlu dilakukan jika modulus ditemui dalam persamaan? Kami akan cuba menerangkan dengan jelas rancangan yang diperlukan tindakan dalam kes apabila persamaan mengandungi yang tidak diketahui di bawah tanda modulus. Kami akan memberikan beberapa contoh untuk setiap kes.
Tetapi pertama, mari kita ingat definisi modul. Jadi, modulo nombor a nombor ini sendiri dipanggil jika a bukan negatif dan -a, jika nombor a kurang daripada sifar. Anda boleh menulisnya seperti ini:
|a| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0
Bercakap tentang deria geometri modul, perlu diingat bahawa setiap nombor nyata sepadan dengan titik tertentu pada paksi nombor - ke 
menyelaras. Jadi, modul atau nilai mutlak nombor ialah jarak dari titik ini ke asal paksi berangka. Jarak sentiasa dinyatakan sebagai nombor positif. Oleh itu, modulus sebarang nombor negatif ialah nombor positif. By the way, walaupun pada peringkat ini, ramai pelajar mula keliru. Modul boleh mengandungi sebarang nombor, tetapi hasil penggunaan modul sentiasa nombor positif.
Sekarang mari kita bergerak terus untuk menyelesaikan persamaan.
1. Pertimbangkan persamaan bentuk |x| = c, dengan c ialah nombor nyata. Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan definisi modulus.
Kami membahagikan semua nombor nyata kepada tiga kumpulan: yang lebih besar daripada sifar, yang kurang daripada sifar, dan kumpulan ketiga ialah nombor 0. Kami menulis penyelesaian dalam bentuk rajah:
(±c, jika c > 0
Jika |x| = c, maka x = (0, jika c = 0
(tiada akar jika dengan< 0
1) |x| = 5, kerana 5 > 0, maka x = ±5;
2) |x| = -5, kerana -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, maka x = 0.
2. Persamaan bentuk |f(x)| = b, di mana b > 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini adalah perlu untuk menyingkirkan modul. Kami melakukannya dengan cara ini: f(x) = b atau f(x) = -b. Sekarang anda perlu menyelesaikan setiap persamaan yang terhasil secara berasingan. Jika dalam persamaan asal b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, kerana 4 > 0, kemudian
x + 2 = 4 atau x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, kerana 11 > 0, kemudian
x 2 – 5 = 11 atau x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 tiada punca
3) |x 2 – 5x| = -8, kerana -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Persamaan bentuk |f(x)| = g(x). Mengikut maksud modul, persamaan sedemikian akan mempunyai penyelesaian jika sebelah kanannya lebih besar daripada atau sama dengan sifar, i.e. g(x) ≥ 0. Maka kita akan mempunyai:
f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Persamaan ini akan mempunyai punca jika 5x – 10 ≥ 0. Di sinilah penyelesaian bagi persamaan tersebut bermula.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Penyelesaian:
2x – 1 = 5x – 10 atau 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Kami menggabungkan O.D.Z. dan penyelesaiannya, kita dapat:
Punca x = 11/7 tidak sesuai dengan O.D.Z., ia kurang daripada 2, tetapi x = 3 memenuhi syarat ini.
Jawapan: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Mari selesaikan ketaksamaan ini menggunakan kaedah selang:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Penyelesaian:
x – 1 = 1 – x 2 atau x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 atau x = 1 x = 0 atau x = 1
3. Kami menggabungkan penyelesaian dan O.D.Z.:
Hanya punca x = 1 dan x = 0 sahaja yang sesuai.
Jawapan: x = 0, x = 1.
4. Persamaan bentuk |f(x)| = |g(x)|. Persamaan sedemikian adalah bersamaan dengan dua persamaan berikut f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Persamaan ini bersamaan dengan dua berikut:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 atau x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 atau x = 4 x = 2 atau x = 1
Jawapan: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Persamaan diselesaikan dengan kaedah penggantian (penggantian pembolehubah). Kaedah ini penyelesaian paling mudah untuk dijelaskan dalam contoh khusus. Jadi, mari kita diberi persamaan kuadratik dengan modulus:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Dengan sifat modulus x 2 = |x| 2, jadi persamaan boleh ditulis semula seperti berikut:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Mari buat penggantian |x| = t ≥ 0, maka kita akan mempunyai:
t 2 – 6t + 5 = 0. Menyelesaikan persamaan ini, kita dapati bahawa t = 1 atau t = 5. Mari kita kembali kepada penggantian:
|x| = 1 atau |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Jawapan: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Mari lihat contoh lain:
x 2 + |x| – 2 = 0. Dengan sifat modulus x 2 = |x| 2, oleh itu
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Mari buat penggantian |x| = t ≥ 0, maka:
t 2 + t – 2 = 0. Menyelesaikan persamaan ini, kita dapat t = -2 atau t = 1. Mari kita kembali kepada penggantian:
|x| = -2 atau |x| = 1
Tiada punca x = ± 1
Jawapan: x = -1, x = 1.
6. Satu lagi jenis persamaan ialah persamaan dengan modulus "kompleks". Persamaan sedemikian termasuk persamaan yang mempunyai "modul dalam modul." Persamaan jenis ini boleh diselesaikan menggunakan sifat modul.
1) |3 – |x|| = 4. Kami akan bertindak dengan cara yang sama seperti dalam persamaan jenis kedua. Kerana 4 > 0, maka kita mendapat dua persamaan:
3 – |x| = 4 atau 3 – |x| = -4.
Sekarang mari kita nyatakan modulus x dalam setiap persamaan, kemudian |x| = -1 atau |x| = 7.
Kami menyelesaikan setiap persamaan yang terhasil. Tiada punca dalam persamaan pertama, kerana -1< 0, а во втором x = ±7.
Jawapan x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Kami menyelesaikan persamaan ini dengan cara yang sama:
3 + |x + 1| = 5 atau 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 atau x + 1 = -2. Tiada akar.
Jawapan: x = -3, x = 1.
Terdapat juga kaedah universal untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Ini adalah kaedah selang. Tetapi kita akan melihatnya kemudian.
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.