Transformasi asas sistem la u. Sistem persamaan linear. §8. Ruang vektor

Dua sistem persamaan linear daripada satu set x 1 ,..., x n tidak diketahui dan, masing-masing, daripada persamaan m dan p

Mereka dipanggil setara jika set penyelesaiannya dan bertepatan (iaitu, subset dan dalam K n bertepatan, ). Ini bermakna: sama ada subset kosong secara serentak (iaitu, kedua-dua sistem (I) dan (II) tidak konsisten), atau secara serentak tidak kosong, dan (iaitu, setiap penyelesaian kepada sistem I ialah penyelesaian kepada sistem II, dan setiap sistem penyelesaian II ialah penyelesaian kepada sistem I).

Contoh 3.2.1.

Kaedah Gauss

Pelan algoritma yang dicadangkan oleh Gauss agak mudah:

1. gunakan transformasi berjujukan pada sistem persamaan linear yang tidak mengubah set penyelesaian (oleh itu kita mengekalkan set penyelesaian sistem asal), dan pergi ke sistem setara yang mempunyai "bentuk mudah" (yang dipanggil langkah borang);
2. untuk " jenis mudah" sistem (dengan matriks langkah) menerangkan set penyelesaian yang bertepatan dengan set penyelesaian sistem asal.

Ambil perhatian bahawa kaedah yang sama, "fan-chen," telah pun diketahui dalam matematik Cina purba.

Transformasi asas sistem persamaan linear (baris matriks)

Definisi 3.4.1 (transformasi asas jenis 1). Apabila persamaan ke-i sistem ditambah kepada persamaan ke-k, didarab dengan nombor (notasi: (i)"=(i)+c(k); iaitu, hanya satu persamaan ke-i (i) digantikan dengan persamaan baru (i)"=(i)+c(k) ). Persamaan ith baharu mempunyai bentuk (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a dalam +ca kn)x n =b i +cb k, atau, secara ringkas,

Iaitu, dalam persamaan ke-i yang baharu a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.

Definisi 3.4.2 (transformasi asas jenis 2). Apabila persamaan i -th dan k -th ditukar, persamaan yang tinggal tidak berubah (notasi: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; untuk pekali ini bermakna yang berikut: untuk j= 1,.. .,n

Nota 3.4.3. Untuk kemudahan, dalam pengiraan khusus anda boleh menggunakan transformasi asas jenis ke-3: persamaan ke-i didarab dengan nombor bukan sifar , (i)"=c(i) .

Usul 3.4.4. Jika kita berpindah dari sistem I ke sistem II menggunakan bilangan terhingga transformasi asas jenis 1 dan 2, maka dari sistem II kita boleh kembali ke sistem I juga menggunakan transformasi asas jenis 1 dan 2.

Bukti.

Nota 3.4.5. Pernyataan itu juga benar dengan kemasukan transformasi asas jenis ke-3 dalam bilangan transformasi asas. Jika dan (i)"=c(i) , maka dan (i)=c -1 (i)" .

Teorem 3.4.6.Selepas aplikasi yang konsisten bilangan terhingga penjelmaan asas jenis pertama atau kedua kepada sistem persamaan linear menghasilkan sistem persamaan linear yang setara dengan yang asal.

Bukti. Ambil perhatian bahawa adalah mencukupi untuk mempertimbangkan kes peralihan daripada sistem I ke sistem II menggunakan satu transformasi asas dan membuktikan kemasukan untuk set penyelesaian (kerana, berdasarkan proposisi yang terbukti, dari sistem II kita boleh kembali ke sistem I dan oleh itu kita akan mempunyai kemasukan, iaitu ia akan terbukti kesaksamaan).

biarlah – sistem vektor m daripada . Transformasi asas sistem vektor adalah

1. - menambah kepada salah satu vektor (vektor) gabungan linear yang lain.

2. - pendaraban salah satu vektor (vektor) dengan nombor yang tidak sama dengan sifar.

3. penyusunan semula dua vektor () di tempat. Sistem vektor akan dipanggil setara (penetapan) jika terdapat rantaian transformasi asas yang mengubah sistem pertama menjadi yang kedua.

Mari kita perhatikan sifat-sifat konsep kesetaraan vektor yang diperkenalkan

(refleksitiviti)

Ia berikutan itu (simetri)

Jika dan , maka (transitiviti) Teorem. Jika sistem vektor adalah bebas linear, dan ia adalah setara, maka sistem itu bebas linear. Bukti. Jelas sekali, sudah cukup untuk membuktikan teorem untuk sistem yang diperoleh daripada menggunakan satu penjelmaan asas Mari kita andaikan bahawa sistem vektor adalah bebas secara linear. Kemudian ia mengikuti itu. Biarkan sistem diperoleh daripada menggunakan satu penjelmaan asas. Jelas sekali, menyusun semula vektor atau mendarab salah satu vektor dengan nombor yang tidak sama dengan sifar tidak mengubah kebebasan linear sistem vektor. Sekarang mari kita anggap bahawa sistem vektor diperoleh daripada sistem dengan menambah vektor gabungan linear yang lain, . Adalah perlu untuk menetapkan bahawa (1) ia mengikuti bahawa Sejak , maka daripada (1) kita memperoleh . (2)

Kerana sistem adalah bebas linear, maka dari (2) ia mengikuti bahawa untuk semua .

Dari sini kita dapat . Q.E.D.

57. Matriks. penambahan matriks, pendaraban matriks dengan skalar matriks sebagai ruang vektor dimensinya.

Jenis matriks: persegi

Penambahan matriks

Sifat penambahan matriks:

1.komutatif: A+B = B+A;

Mendarab matriks dengan nombor

Mendarab matriks A dengan nombor ¥ (nama: ¥A) terdiri daripada membina matriks B, unsur-unsurnya diperolehi dengan mendarab setiap elemen matriks A dengan nombor ini, iaitu setiap unsur matriks B adalah sama dengan: Bij= ¥Aij

Sifat mendarab matriks dengan nombor:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Vektor baris dan vektor lajur

Matriks bersaiz m x 1 dan 1 x n ialah unsur bagi ruang K^n dan K^m, masing-masing:

matriks bersaiz m x1 dipanggil vektor lajur dan mempunyai tatatanda khas:

Matriks bersaiz 1 x n dipanggil vektor baris dan mempunyai tatatanda khas:

58. Matriks. Penambahan dan pendaraban matriks. Matriks sebagai cincin, sifat cincin matriks.

Matriks ialah jadual nombor segi empat tepat yang terdiri daripada m baris yang sama panjang atau n strob yang sama panjang.

aij ialah elemen matriks yang terletak di baris ke-i dan lajur ke-j.

Jenis matriks: persegi

Matriks segi empat sama ialah matriks dengan bilangan lajur dan baris yang sama.

Penambahan matriks

Penambahan matriks A + B ialah operasi mencari matriks C, semua unsurnya adalah sama dengan jumlah berpasangan semua unsur sepadan matriks A dan B, iaitu, setiap elemen matriks adalah sama dengan Cij = Aij + Bij

Sifat penambahan matriks:

1.komutatif: A+B = B+A;

2.persekutuan: (A+B)+C =A+(B+C);

3.tambahan dengan matriks sifar: A + Θ = A;

4.kewujudan matriks bertentangan: A + (-A) = Θ;

Semua sifat operasi linear mengulangi aksiom ruang linear dan oleh itu teorem adalah sah:

Set semua matriks yang sama saiz mxn dengan unsur dari medan P (medan semua nyata atau nombor kompleks) membentuk ruang linear di atas medan P (setiap matriks tersebut ialah vektor bagi ruang ini).

Pendaraban matriks

Pendaraban matriks (nama: AB, kurang kerap dengan tanda pendaraban A x B) ialah operasi pengiraan matriks C, setiap elemen adalah sama dengan hasil tambah unsur dalam baris yang sepadan bagi faktor dan lajur pertama bagi yang kedua.

Bilangan lajur dalam matriks A mesti sepadan dengan bilangan baris dalam matriks B, dengan kata lain, matriks A mesti konsisten dengan matriks B. Jika matriks A mempunyai dimensi m x n, B - n x k, maka dimensi hasil darabnya AB=C ialah m x k.

Sifat pendaraban matriks:

1.persekutuan (AB)C = A(BC);

2.tidak komutatif (dalam kes umum): AB BA;

3. hasil darab adalah komutatif dalam kes pendaraban dengan matriks identiti: AI = IA;

4.keagihan: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5. asosiativiti dan komutatif berkenaan dengan pendaraban dengan nombor: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Matriks boleh terbalik. Transformasi asas tunggal dan bukan tunggal bagi baris matriks. Matriks asas. Pendaraban dengan matriks asas.

Matriks songsang - matriks sedemikian A−1, apabila didarab dengan mana, matriks asal A menghasilkan matriks identiti E:

Penukaran rentetan asas dipanggil:

Ditakrifkan sama transformasi lajur asas.

Transformasi asas boleh balik.

Notasi menunjukkan bahawa matriks boleh diperolehi daripada transformasi asas (atau sebaliknya).

§7. Sistem persamaan linear

Sistem yang setara. Transformasi asas sistem persamaan linear.

biarlah DENGAN– medan nombor kompleks. Persamaan bentuk

di mana
, dipanggil persamaan linear dengan n tidak diketahui
. Set yang dipesan
,
dipanggil penyelesaian kepada persamaan (1) jika .

Sistem m persamaan linear dengan n tidak diketahui ialah sistem persamaan dalam bentuk:

- pekali sistem persamaan linear, - ahli percuma.

Meja segi empat tepat

,

dipanggil matriks saiz
. Mari kita perkenalkan notasi berikut: - i-baris ke- matriks,
- k-lajur ke- matriks. Matriks A juga menetapkan
atau
.

Penjelmaan baris matriks berikut A dipanggil asas:
) pengecualian baris nol; ) mendarab semua unsur sebarang rentetan dengan nombor
; ) menambah pada mana-mana rentetan mana-mana rentetan lain didarab dengan
. Transformasi lajur matriks yang serupa A dipanggil transformasi matriks asas A.

Unsur bukan sifar pertama (mengira dari kiri ke kanan) mana-mana baris matriks A dipanggil elemen utama barisan itu.

Definisi. Matriks
dipanggil secara berperingkat jika syarat berikut dipenuhi:

1) baris sifar matriks (jika ada) terletak di bawah baris bukan sifar;

2) jika
elemen utama baris matriks, kemudian

Mana-mana matriks bukan sifar A boleh dikurangkan kepada matriks eselon menggunakan transformasi asas baris.

Contoh. Mari kita bentangkan matriks
kepada matriks langkah:
~
~
.

Matriks yang terdiri daripada pekali sistem persamaan linear (2) dipanggil matriks utama sistem. Matriks
yang diperoleh daripada menambah lajur sebutan bebas dipanggil matriks lanjutan sistem.

Set tertib dipanggil penyelesaian kepada sistem persamaan linear (2) jika ia merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan linear sistem ini.

Sistem persamaan linear dipanggil konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, dan tidak konsisten jika ia tidak mempunyai penyelesaian.

Sistem persamaan linear dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian unik, dan tidak tentu jika ia mempunyai lebih daripada satu penyelesaian.

Transformasi berikut bagi sistem persamaan linear dipanggil asas:

) pengecualian daripada sistem persamaan bentuk ;

) mendarab kedua-dua belah mana-mana persamaan dengan
,
;

) menambah kepada mana-mana persamaan mana-mana persamaan lain yang didarab dengan,.

Dua sistem persamaan linear daripada n tidak diketahui dipanggil setara jika ia tidak serasi atau set penyelesaiannya bertepatan.

Teorem. Jika satu sistem persamaan linear diperoleh daripada yang lain melalui transformasi asas seperti ), ), maka ia adalah bersamaan dengan yang asal.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghapuskan yang tidak diketahui (kaedah Gauss).

Biar sistem diberikan m persamaan linear dengan n tidak diketahui:

Jika sistem (1) mengandungi persamaan bentuk

maka sistem ini tidak serasi.

Mari kita andaikan bahawa sistem (1) tidak mengandungi persamaan bentuk (2). Biarkan dalam sistem (1) pekali pembolehubah x 1 dalam persamaan pertama
(jika ini tidak begitu, maka dengan menyusun semula persamaan kita akan mencapainya, kerana tidak semua pekali untuk x 1 sama dengan sifar). Mari kita gunakan rantaian transformasi asas berikut pada sistem persamaan linear (1):

, tambah pada persamaan kedua;

Persamaan pertama didarab dengan
, tambah kepada persamaan ketiga dan seterusnya;

Persamaan pertama didarab dengan
, tambah pada persamaan terakhir sistem.

Akibatnya, kita memperoleh sistem persamaan linear (dalam perkara berikut kita akan menggunakan singkatan CLU untuk sistem persamaan linear) bersamaan dengan sistem (1). Ia mungkin ternyata bahawa dalam sistem yang terhasil tidak satu persamaan dengan nombor i, i 2, tidak mengandungi tidak diketahui x 2. biarlah k ini adalah yang paling sedikit nombor asli itu tidak diketahui x k terkandung dalam sekurang-kurangnya satu persamaan dengan nombor i, i 2. Kemudian sistem persamaan yang terhasil mempunyai bentuk:

Sistem (3) adalah bersamaan dengan sistem (1). Sekarang mari kita gunakan untuk subsistem
sistem persamaan linear (3) penaakulan yang digunakan untuk SLE (1). Dan seterusnya. Hasil daripada proses ini, kami sampai pada satu daripada dua hasil.

1. Mari kita dapatkan SLE yang mengandungi persamaan bentuk (2). Dalam kes ini, SLU (1) adalah tidak konsisten.

2. Transformasi asas yang digunakan untuk SLE (1) tidak membawa kepada sistem yang mengandungi persamaan bentuk (2). Dalam kes ini, SLE (1) dengan transformasi asas
dikurangkan kepada sistem persamaan dalam bentuk:

(4)

di mana, 1< k < l < . . .< s,

Sistem persamaan linear dalam bentuk (4) dipanggil secara berperingkat. Dua kes berikut adalah mungkin di sini.

A) r= n, maka sistem (4) mempunyai bentuk

(5)

Sistem (5) mempunyai penyelesaian yang unik. Akibatnya, sistem (1) juga mempunyai penyelesaian yang unik.

B) r< n. Dalam kes ini, yang tidak diketahui
dalam sistem (4) dipanggil tidak diketahui utama, dan baki tidak diketahui dalam sistem ini dipanggil percuma (nombor mereka adalah sama dengan n- r). Mari kita berikan nilai berangka sewenang-wenangnya kepada yang tidak diketahui percuma, maka SLE (4) akan mempunyai bentuk yang sama seperti sistem (5). Daripadanya, perkara yang tidak diketahui utama ditentukan secara unik. Oleh itu, sistem mempunyai penyelesaian, iaitu, ia konsisten. Oleh kerana yang tidak diketahui percuma diberi nilai berangka sewenang-wenangnya daripada DENGAN, maka sistem (4) tidak pasti. Akibatnya, sistem (1) juga tidak pasti. Dengan menyatakan yang tidak diketahui utama dalam SLE (4) dari segi tidak diketahui bebas, kami memperoleh sistem yang dipanggil penyelesaian umum sistem (1).

Contoh. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah G aussa

Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem persamaan linear dan, menggunakan transformasi baris demi baris asas, kurangkan kepada matriks langkah:

~

~
~
~

~ . Menggunakan matriks yang terhasil, kami memulihkan sistem persamaan linear:
Sistem ini setara dengan sistem asal. Marilah kita ambil sebagai perkara yang tidak diketahui utama
percuma tidak diketahui. Mari kita nyatakan perkara yang tidak diketahui utama hanya dari segi yang tidak diketahui percuma:

Diterima penyelesaian umum SLU. Biarlah

(5, 0, -5, 0, 1) – penyelesaian tertentu SNL.

Tugasan untuk keputusan bebas

1. Cari penyelesaian umum dan satu penyelesaian khusus kepada sistem persamaan dengan menghapuskan yang tidak diketahui:

1)
2)

4)
6)

2. Cari di makna yang berbeza parameter A penyelesaian umum kepada sistem persamaan:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Ruang vektor

Konsep ruang vektor. Sifat yang paling mudah.

biarlah V ≠ Ø, ( F, +,∙) – medan. Kami akan memanggil elemen skalar medan.

Paparan φ : F× V –> V dipanggil operasi mendarab unsur-unsur set V kepada skalar dari medan F. Mari kita nyatakan φ (λ,a) melalui λa hasil darab sesuatu unsur A kepada skalar λ .

Definisi. banyak V dengan operasi algebra yang diberikan untuk menambah unsur bagi suatu set V dan pendaraban unsur set V kepada skalar dari medan F dipanggil ruang vektor di atas medan F jika aksiom berikut dipegang:

Contoh. biarlah F padang, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Setiap elemen set F n dipanggil n-vektor aritmetik dimensi. Mari kita perkenalkan operasi tambah n-vektor dimensi dan pendaraban n-vektor dimensi pada skalar dari medan F. biarlah
. Mari letak = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). banyak F n berkenaan dengan operasi yang diperkenalkan ialah ruang vektor, dan ia dipanggil n-ruang vektor aritmetik dimensi di atas medan F.

biarlah V- ruang vektor di atas padang F, ,
. Sifat berikut berlaku:

1)
;

3)
;

4)
;

Bukti harta 3.

Daripada kesamarataan mengikut undang-undang pengurangan dalam kumpulan ( V+) kami ada
.

Kebergantungan linear, kebebasan sistem vektor.

biarlah V– ruang vektor di atas padang F,

. Vektor dipanggil gabungan linear sistem vektor
. Set semua kombinasi linear sistem vektor dipanggil rentang linear sistem vektor ini dan dilambangkan dengan .

Definisi. Sistem vektor dipanggil bersandar linear jika skalar tersebut wujud
tidak semua sama dengan sifar, itu

Jika kesaksamaan (1) berpuas hati jika dan hanya jika λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, maka sistem vektor dipanggil bebas linear.

Contoh. Ketahui sama ada sistem vektor adalah = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) ruang R 3 bersandar linear atau bebas.

Penyelesaian. Biarkan λ 1, λ 2, λ 3
Dan

 |=> (0,0,0) – penyelesaian sistem. Oleh itu, sistem vektor adalah bebas linear.

Sifat pergantungan linear dan kebebasan sistem vektor.

1. Sistem vektor yang mengandungi sekurang-kurangnya satu vektor sifar adalah bersandar secara linear.

2. Sistem vektor yang mengandungi subsistem bersandar linear adalah bersandar secara linear.

3. Sistem vektor, di mana
adalah bergantung secara linear jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu vektor sistem ini berbeza daripada vektor adalah gabungan linear vektor yang mendahuluinya.

4. Jika sistem vektor adalah bebas linear, dan sistem vektor
bersandar secara linear, kemudian vektor boleh diwakili sebagai gabungan linear vektor dan, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik.

Bukti. Oleh kerana sistem vektor bergantung secara linear, maka
tidak semua sama dengan sifar, itu

Dalam kesamaan vektor (2) λ m+1 ≠ 0. Dengan mengandaikan bahawa λ m+1 =0, kemudian dari (2) => Ia berikutan bahawa sistem vektor adalah bergantung secara linear, kerana λ 1 , λ 2 , … , λ m bukan semua sama dengan sifar. Kami sampai kepada percanggahan dengan syarat itu. Dari (1) => di mana
.

Biarkan vektor juga diwakili dalam bentuk: Kemudian dari kesamaan vektor
disebabkan oleh kebebasan linear sistem vektor ia mengikutinya
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Biarkan dua sistem vektor diberi dan
, m>k. Jika setiap vektor sistem vektor boleh diwakili sebagai gabungan linear sistem vektor, maka sistem vektor adalah bergantung secara linear.

Asas, pangkat sistem vektor.

Sistem terhingga bagi vektor angkasa V atas padang F menandakan dengan S.

Definisi. Mana-mana subsistem bebas linear bagi sistem vektor S dipanggil asas sistem vektor S, jika ada vektor sistem S boleh diwakili sebagai gabungan linear sistem vektor.

Contoh. Cari asas sistem vektor = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . Sistem vektor adalah bebas linear, kerana, menurut sifat 5, sistem vektor diperoleh daripada sistem vektor Sejak pendidikan elaun asas elektromekanotronik: pendidikanelaun asas kejuruteraan elektrik";...

Transformasi asas termasuk:

1) Menambah pada kedua-dua belah satu persamaan bahagian yang sepadan dengan yang lain, didarab dengan nombor yang sama, tidak sama dengan sifar.

2) Menyusun semula persamaan.

3) Mengalih keluar daripada persamaan sistem yang merupakan identiti untuk semua x.

TEOREM KRONECKER–CAPELLI

(keadaan keserasian sistem)

(Leopold Kronecker (1823-1891) ahli matematik Jerman)

Teorem: Sistem adalah konsisten (mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian) jika dan hanya jika pangkat matriks sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan.

Jelas sekali, sistem (1) boleh ditulis sebagai:

x 1 + x 2 + … + x n

Bukti.

1) Jika penyelesaian wujud, maka lajur sebutan bebas ialah gabungan linear lajur matriks A, yang bermaksud menambah lajur ini pada matriks, i.e. peralihan А®А * jangan tukar pangkat.

2) Jika RgA = RgA *, ini bermakna mereka mempunyai minor asas yang sama. Lajur sebutan bebas ialah gabungan linear lajur asas kecil, jadi tatatanda di atas adalah betul.

Contoh. Tentukan keserasian sistem persamaan linear:

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Sistem ini tidak konsisten.

Contoh. Tentukan keserasian sistem persamaan linear.

A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Sistem ini adalah kolaboratif. Penyelesaian: x 1 = 1; x 2 =1/2.

2.6 KAEDAH GAUSS

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ahli matematik Jerman)

Tidak seperti kaedah matriks dan kaedah Cramer, kaedah Gaussian boleh digunakan untuk sistem persamaan linear dengan bilangan persamaan yang sewenang-wenangnya dan tidak diketahui. Intipati kaedah adalah penghapusan berurutan yang tidak diketahui.

Pertimbangkan sistem persamaan linear:

Bahagikan kedua-dua ruas persamaan pertama dengan 11 ¹ 0, kemudian:

1) darab dengan 21 dan tolak daripada persamaan kedua

2) darab dengan 31 dan tolak daripada persamaan ketiga

, Di mana d 1 j = a 1 j /a 11, j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss.

, dari mana kita dapat: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Contoh. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian.

Mari kita buat matriks lanjutan sistem.

Oleh itu, sistem asal boleh diwakili sebagai:

, dari mana kita dapat: z = 3; y = 2; x = 1.

Jawapan yang diperolehi bertepatan dengan jawapan yang diperoleh untuk sistem ini dengan kaedah Cramer dan kaedah matriks.

Untuk menyelesaikannya sendiri:

Jawapan: (1, 2, 3, 4).

TOPIK 3. UNSUR ALGEBRA VEKTOR

DEFINISI ASAS

Definisi. vektor dipanggil segmen terarah (sepasang mata tertib). Vektor juga termasuk null vektor yang permulaan dan penghujungnya bertepatan.

Definisi. Panjang (modul) vektor ialah jarak antara permulaan dan penghujung vektor.

Definisi. Vektor dipanggil kolinear, jika ia terletak pada garisan yang sama atau selari. Vektor nol adalah kolinear kepada mana-mana vektor.

Definisi. Vektor dipanggil coplanar, jika terdapat satah yang selari dengannya.

Vektor kolinear sentiasa coplanar, tetapi tidak semua vektor koplanar adalah kolinear.

Definisi. Vektor dipanggil sama rata, jika ia adalah kolinear, terarah sama dan mempunyai modul yang sama.

Semua vektor boleh dibawa ke asal yang sama, i.e. bina vektor yang masing-masing sama dengan data dan mempunyai asal yang sama. Daripada definisi kesamaan vektor, mana-mana vektor mempunyai banyak vektor yang tidak terhingga bersamaan dengannya.

Definisi. Operasi linear atas vektor dipanggil penambahan dan pendaraban dengan nombor.

Jumlah vektor ialah vektor -

kerja - , dan adalah kolinear.

Vektor adalah searah dengan vektor ( ) jika a > 0.

Vektor diarahkan bertentangan dengan vektor ( ¯ ), jika a< 0.

SIFAT-SIFAT VEKTOR

1) + = + - komutatif.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – pergaulan

6) (a+b) = a + b - pengagihan

7) a( + ) = a + a

Definisi.

1) Asas dalam ruang mana-mana 3 vektor bukan koplanar yang diambil dalam susunan tertentu dipanggil.

2) Asas pada satah mana-mana 2 vektor bukan kolinear yang diambil dalam susunan tertentu dipanggil.

3)Asas Sebarang vektor bukan sifar pada garis dipanggil.

Di bawah ini kita mempertimbangkan sistem persamaan linear atas bidang pembolehubah DEFINISI TAMBAHAN. Dua sistem persamaan linear dikatakan setara jika setiap penyelesaian salah satu sistem adalah penyelesaian sistem yang lain.

Ayat berikut menyatakan sifat kesetaraan yang mengikuti dari takrif kesetaraan dan sifat ketekalan sistem yang disebutkan di atas.

CADANGAN 2.2. Dua sistem persamaan linear adalah setara jika dan hanya jika setiap sistem ini adalah akibat daripada sistem yang lain.

CADANGAN 2.3. Dua sistem persamaan linear adalah setara jika dan hanya jika set semua penyelesaian satu sistem bertepatan dengan set semua penyelesaian sistem lain.

CADANGAN 2.4. Dua sistem persamaan linear adalah setara jika dan hanya jika predikat yang ditakrifkan oleh sistem ini adalah setara.

DEFINISI. Penjelmaan berikut dipanggil penjelmaan asas bagi sistem persamaan linear:

(a) mendarab kedua-dua belah beberapa persamaan sistem dengan skalar bukan sifar;

(P) menambah (menolak) kepada kedua-dua belah mana-mana persamaan sistem bahagian sepadan persamaan lain sistem itu, didarab dengan skalar;

Pengecualian daripada sistem atau penambahan kepada sistem persamaan linear dengan pekali sifar dan sebutan bebas sifar.

TEOREM 2.5. Jika satu sistem persamaan linear diperoleh daripada sistem persamaan linear yang lain hasil daripada rantaian transformasi asas, maka kedua-dua sistem ini adalah setara.

Bukti. Biar sistem diberikan

Jika kita mendarabkan satu daripada persamaannya, contohnya yang pertama, dengan skalar bukan sifar X, kita memperoleh sistem

Setiap penyelesaian kepada sistem (1) juga merupakan penyelesaian kepada sistem (2).

Sebaliknya: jika - sebarang penyelesaian sistem (2),

kemudian, mendarabkan kesamaan pertama dengan dan tanpa mengubah kesamaan berikutnya, kita memperoleh kesamaan yang menunjukkan bahawa vektor ialah penyelesaian kepada sistem (1). Akibatnya, sistem (2) adalah bersamaan dengan sistem asal (1). Ia juga mudah untuk mengesahkan bahawa aplikasi tunggal transformasi asas (P) kepada sistem (1) membawa kepada sistem yang setara dengan sistem asal (1). Oleh kerana hubungan kesetaraan adalah transitif, aplikasi berulang transformasi asas membawa kepada sistem persamaan yang setara dengan sistem asal (1).

KOROLI 2.6. Jika anda menambah gabungan linear persamaan lain sistem kepada salah satu persamaan sistem persamaan linear, anda mendapat sistem persamaan yang setara dengan yang asal.

KOROLI 2.7. Jika anda mengecualikan daripada sistem persamaan linear atau menambah padanya persamaan yang merupakan gabungan linear persamaan lain sistem, anda mendapat sistem persamaan yang setara dengan sistem asal.