Fungsi harta tak terhingga besar. Fungsi yang sangat kecil dan tidak terhingga besar. Fungsi tak terhingga

Kalkulus infinitesimal dan larges

kalkulus infinitesimal- pengiraan yang dilakukan dengan kuantiti tak terhingga, di mana hasil terbitan dianggap sebagai jumlah tak terhingga bagi infinite. Kalkulus infinitesimal ialah konsep umum untuk kalkulus pembezaan dan kamiran, yang membentuk asas matematik moden yang lebih tinggi. Konsep kuantiti tak terhingga berkait rapat dengan konsep had.

Infinitesimal

Susulan a n dipanggil sangat kecil, Jika . Sebagai contoh, urutan nombor adalah sangat kecil.

Fungsi itu dipanggil sangat kecil di sekitar titik x 0 jika .

Fungsi itu dipanggil infinitesimal at infinitesi, Jika atau .

Juga infinitesimal ialah fungsi yang merupakan perbezaan antara fungsi dan hadnya, iaitu, jika , Itu f(x) − a = α( x) , .

Kuantiti besar yang tidak terhingga

Dalam semua formula di bawah, infiniti di sebelah kanan kesamaan tersirat untuk mempunyai tanda tertentu (sama ada "tambah" atau "tolak"). Iaitu, sebagai contoh, fungsi x dosa x, tidak terhad pada kedua-dua belah, tidak besar terhingga pada .

Susulan a n dipanggil besar tak terhingga, Jika .

Fungsi itu dipanggil besar tidak terhingga di sekitar satu titik x 0 jika .

Fungsi itu dipanggil besar tak terhingga pada tak terhingga, Jika atau .

Sifat-sifat infinitely small and infinitely large

Perbandingan kuantiti tak terhingga

Bagaimana untuk membandingkan kuantiti tak terhingga?
Nisbah kuantiti tak terhingga membentuk apa yang dipanggil ketidakpastian.

Definisi

Katakan kita mempunyai nilai paling kecil α( x) dan β( x) (atau, yang tidak penting untuk definisi, jujukan sangat kecil).

Untuk mengira had tersebut adalah mudah untuk menggunakan peraturan L'Hopital.

Contoh perbandingan

menggunakan TENTANG-simbolisme, keputusan yang diperoleh boleh ditulis dalam bentuk berikut x 5 = o(x 3). DALAM dalam kes ini rekod adalah betul 2x 2 + 6x = O(x) Dan x = O(2x 2 + 6x).

Nilai yang setara

Definisi

Jika , maka kuantiti tak terhingga α dan β dipanggil setara ().
Adalah jelas bahawa kuantiti yang setara adalah kes khas kuantiti tak terhingga dengan susunan kekecilan yang sama.

Apabila hubungan kesetaraan berikut adalah sah (sebagai akibat daripada apa yang dipanggil had luar biasa):

Teorem

Had hasil bagi (nisbah) dua kuantiti tak terhingga tidak akan berubah jika salah satu daripadanya (atau kedua-duanya) digantikan dengan kuantiti yang setara.

Teorem ini mempunyai kepentingan praktikal apabila mencari had (lihat contoh).

Contoh penggunaan

Menggantikan sin 2x nilai setara 2 x, kita dapat

Lakaran sejarah

Konsep "infinitesimal" telah dibincangkan pada zaman dahulu berkaitan dengan konsep atom tidak boleh dibahagikan, tetapi tidak termasuk dalam matematik klasik. Ia dihidupkan semula dengan kemunculan "kaedah tidak boleh dibahagikan" pada abad ke-16 - membahagikan angka yang dikaji kepada bahagian yang sangat kecil.

Pada abad ke-17, algebraisasi kalkulus infinitesimal berlaku. Ia mula ditakrifkan sebagai kuantiti berangka yang kurang daripada mana-mana kuantiti terhingga (bukan sifar) tetapi tidak sama dengan sifar. Seni analisis terdiri daripada merangka hubungan yang mengandungi infinitesimal (pembezaan) dan kemudian mengintegrasikannya.

Ahli matematik sekolah lama menguji konsep itu sangat kecil kritikan pedas. Michel Rolle menulis bahawa kalkulus baharu ialah “ set kesilapan yang bijak"; Voltaire dengan tegas menyatakan bahawa kalkulus ialah seni mengira dan mengukur dengan tepat sesuatu yang kewujudannya tidak dapat dibuktikan. Malah Huygens mengakui bahawa dia tidak memahami maksud pembezaan perintah yang lebih tinggi.

Sebagai ironi nasib, seseorang boleh mempertimbangkan kemunculan analisis tidak standard pada pertengahan abad, yang membuktikan bahawa sudut pandangan asal - infinitesimal sebenar - juga konsisten dan boleh digunakan sebagai asas untuk analisis.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia.

2010.

Lihat apa "Kuantiti Infinitesimal" dalam kamus lain: KUANTITI TAK TERHINGGA KECIL - kuantiti berubah dalam proses tertentu, jika dalam proses ini ia menghampiri (cenderung) kepada sifar secara tak terhingga...

Ensiklopedia Politeknik Besar Infinitesimal - ■ Sesuatu yang tidak diketahui, tetapi berkaitan dengan homeopati...

Leksikon kebenaran umum Fungsi y=f(x) sangat kecil dipanggil di x→a x atau bila

→∞, jika atau , i.e. Fungsi infinitesimal ialah fungsi yang hadnya pada titik tertentu ialah sifar.

Contoh. 1. Fungsi=(x f(x) x-1) 2 adalah sangat kecil pada

→1, sejak (lihat rajah). 1. Fungsi 2. Fungsi x= tg x→0.

3. 1. Fungsi– sangat kecil pada x= log(1+ x→0.

4. 1. Fungsi = 1/x) – sangat kecil pada x→∞.

– sangat kecil pada

Marilah kita mewujudkan hubungan penting berikut: Teorem. Fungsi Jika fungsi di boleh diwakili dengan sebagai hasil tambah nombor tetap b dan magnitud tak terhinggaα(x): f (x)=b+ α(x)

itu. Sebaliknya, jika , maka f (x)=b+α(x) , Di mana= tg a(x)

x→a..

1. Mari kita buktikan bahagian pertama pernyataan itu. Daripada kesamarataan f(x)=b+α(x) sepatutnya |f(x) – b|=| α|. Tetapi sejak , Di mana adalah sangat kecil, maka untuk ε sewenang-wenangnya terdapat δ – kejiranan titik a, di hadapan semua orang x daripada mana, nilai , Di mana memuaskan perhubungan |α(x)|< ε. Kemudian |f(x) – b|< ε. Dan ini bermakna bahawa .

2. Jika , maka untuk sebarang ε >0 untuk semua orang X dari beberapa δ – kejiranan suatu titik a kehendak |f(x) – b|< ε. Tetapi jika kita nyatakan f(x) – b= α, Itu |α(x)|< ε, yang bermaksud itu a– sangat kecil.

Mari kita pertimbangkan sifat asas fungsi infinitesimal.

Teorem 1. Jumlah algebra bagi dua, tiga, dan secara amnya sebarang nombor terhingga bagi infinitesimal ialah fungsi infinitesimal.

x→a.. Mari kita berikan bukti untuk dua penggal. biarlah f(x)=α(x)+β(x), di mana dan . Kita perlu membuktikan bahawa untuk mana-mana ε kecil sewenang-wenangnya > 0 ditemui δ> 0, supaya untuk x, memuaskan ketidaksamaan |x – a|<δ , dilaksanakan |f(x)|< ε.

Jadi, mari betulkan nombor arbitrari ε > 0. Oleh kerana mengikut syarat teorem α(x) ialah fungsi yang sangat kecil, maka terdapat δ 1 > 0, iaitu |x – a|< δ 1 kita ada |α(x)|< ε / 2. Begitu juga, sejak β(x) adalah sangat kecil, maka terdapat δ 2 > 0, iaitu |x – a|< δ 2 kita ada | β(x)|< ε / 2.

Mari ambil δ=min(δ 1 , δ2 } .Kemudian di sekitar titik a jejari δ setiap ketidaksamaan akan dipenuhi |α(x)|< ε / 2 dan | β(x)|< ε / 2. Oleh itu, dalam kejiranan ini akan ada

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

mereka. |f(x)|< ε, itulah yang perlu dibuktikan.

Teorem 2. Hasil darab fungsi yang sangat kecil , Di mana untuk fungsi terhad 1. Fungsi dipanggil di(atau bila x→∞) ialah fungsi yang sangat kecil.

x→a.. Sejak fungsi 1. Fungsi adalah terhad, maka ada nombor M supaya untuk semua nilai x dari beberapa kawasan kejiranan a|f(x)|≤M. Lebih-lebih lagi, sejak , Di mana ialah fungsi infinitesimal di di, kemudian untuk ε sewenang-wenangnya > 0 terdapat kejiranan titik a, di mana ketidaksamaan akan berlaku |α(x)|< ε /M. Kemudian di kawasan kejiranan yang lebih kecil ini kita ada | αf|< ε /M= ε. Dan ini bermakna af– sangat kecil. Untuk majlis itu x→∞ pembuktian dijalankan sama.

Daripada teorem terbukti ia berikut:

Akibat 1. Jika dan, maka.

Akibat 2. Jika dan c= const, kemudian .

Teorem 3. Nisbah fungsi infinitesimal α(x) setiap fungsi 1. Fungsi, yang hadnya berbeza daripada sifar, ialah fungsi yang sangat kecil.

x→a.. biarlah . Kemudian 1 /f(x) terdapat fungsi terhad. Oleh itu, pecahan ialah hasil darab bagi fungsi tak terhingga dan fungsi terhad, i.e. fungsi adalah sangat kecil.

Def: Fungsi itu dipanggil sangat kecil pada , jika .

Dalam tatatanda “ ” kita akan menganggapnya x 0 boleh diambil sebagai nilai akhir: x 0= Сonst, dan tak terhingga: x 0= ∞.

Sifat-sifat fungsi infinitesimal:

1) Jumlah algebra bagi bilangan terhingga bagi fungsi terhingga adalah jumlah terhingga bagi fungsi.

2) Hasil darab bagi bilangan terhingga bagi fungsi terhingga adalah fungsi terhingga.

3) Hasil darab bagi fungsi terhad dan fungsi terhingga ialah fungsi terhingga.

4) Hasil bagi membahagikan fungsi infinitesimal dengan fungsi yang hadnya bukan sifar ialah fungsi infinitesimal.

Contoh: Fungsi y = 2 + x adalah sangat kecil pada , kerana .

Def: Fungsi itu dipanggil besar tak terhingga pada , jika .

Sifat-sifat fungsi yang sangat besar:

1) Jumlah fungsi besar tak terhingga ialah fungsi besar tak terhingga.

2) Hasil darab bagi fungsi besar tak terhingga dan fungsi yang hadnya bukan sifar ialah fungsi besar tak terhingga.

3) Jumlah bagi fungsi besar tak terhingga dan fungsi terhad ialah fungsi besar tak terhingga.

4) Hasil bagi membahagikan fungsi besar tak terhingga dengan fungsi yang mempunyai had terhingga ialah fungsi besar tak terhingga.

Contoh: Fungsi y= besar tak terhingga pada , kerana .

Marilah kita mewujudkan hubungan penting berikut:Hubungan antara kuantiti tak terhingga kecil dan kuantiti tak terhingga besar. Jika suatu fungsi adalah sangat kecil pada , maka fungsi itu adalah besar tak terhingga pada . Dan sebaliknya, jika suatu fungsi adalah besar tak terhingga pada , maka fungsi itu adalah sangat kecil pada .

Nisbah dua infinitesimal biasanya dilambangkan dengan simbol, dan nisbah dua infinitesimal dengan simbol. Kedua-dua hubungan adalah tidak tentu dalam erti kata bahawa hadnya mungkin atau mungkin tidak wujud, sama dengan nombor tertentu atau tidak terhingga, bergantung pada jenis fungsi khusus yang termasuk dalam ungkapan tidak tentu.

Selain ketidakpastian jenis dan ketidakpastian, ungkapan berikut ialah:

Perbezaan yang tidak terhingga besar tanda yang sama;

Hasil darab infinitesimal dengan infinitesi large;

Fungsi eksponen yang asasnya cenderung kepada 1 dan eksponen cenderung kepada ;

Fungsi eksponen yang asasnya sangat kecil dan eksponennya tidak terhingga besar;

Fungsi eksponen yang asas dan eksponennya adalah sangat kecil;

Fungsi eksponen yang tapaknya besar tak terhingga dan eksponennya sangat kecil.

Dikatakan bahawa terdapat ketidakpastian jenis yang sepadan. Pengiraan had dipanggil dalam kes ini mendedahkan ketidakpastian. Untuk mendedahkan ketidakpastian, ungkapan di bawah tanda had ditukar kepada bentuk yang tidak mengandungi ketidakpastian.

Apabila mengira had, sifat had digunakan, serta sifat fungsi tak terhingga dan besar tak terhingga.

Mari kita lihat contoh pengiraan pelbagai had.

1) . 2) .

4) , kerana hasil darab fungsi terhingga pada dan fungsi terhad adalah sangat kecil.

5) . 6) .

7) = =

. Dalam kes ini, terdapat ketidakpastian jenis, yang telah diselesaikan dengan memfaktorkan polinomial dan mengurangkannya kepada faktor sepunya.

= .

Dalam kes ini, terdapat ketidakpastian jenis , yang telah diselesaikan dengan mendarabkan pengangka dan penyebut dengan ungkapan, menggunakan formula, dan kemudian mengurangkan pecahan dengan (+1).

9)
. Dalam contoh ini, ketidakpastian jenis telah didedahkan dengan membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan kuasa utama.

Had Luar Biasa

Had indah pertama : .

Bukti. Mari kita pertimbangkan bulatan unit (Gamb. 3).

Rajah.3. Bulatan unit

biarlah X– ukuran radian sudut pusat MOA(), Kemudian OA = R= 1, MK= dosa x, AT= tg x. Membandingkan luas segi tiga OMA, OTA dan sektor OMA, kita dapat:

,

.

Bahagikan ketidaksamaan terakhir dengan dosa x, kita dapat:

.

Sejak pada , maka oleh harta 5) had

Di sinilah datangnya nilai songsang, itulah yang perlu dibuktikan.

Ulasan: Jika fungsi adalah sangat kecil pada , i.e. , maka had pertama yang luar biasa mempunyai bentuk:

.

Mari lihat contoh pengiraan had menggunakan had pertama yang luar biasa.

Apabila mengira had ini, kami menggunakan formula trigonometri: .

.

Mari kita lihat contoh pengiraan had menggunakan had luar biasa kedua.

2) .

3) . Terdapat jenis ketidakpastian. Mari kita buat pengganti, kemudian; di .

Takrif jujukan yang tidak terhingga besar diberikan. Konsep kejiranan titik pada infiniti dipertimbangkan. Takrif sejagat bagi had jujukan diberikan, yang digunakan untuk kedua-dua had terhingga dan tak terhingga. Contoh penggunaan takrifan jujukan yang tidak terhingga besar dipertimbangkan.

kandungan

Lihat juga: Menentukan Had Urutan

Definisi

Susulan (βn) dipanggil urutan besar tak terhingga, jika untuk sebarang nombor M, tidak kira berapa besar, terdapat nombor asli N M bergantung kepada M supaya untuk semua nombor asli n > N M ketaksamaan
|β n | >M.
Dalam kes ini mereka menulis
.
Atau di .
Mereka mengatakan bahawa ia cenderung kepada infiniti, atau menumpu kepada infiniti.

Jika, bermula dari beberapa nombor N 0 , Itu
( menumpu kepada tambah infiniti).
Jika kemudian
( menumpu kepada tolak infiniti).

Marilah kita menulis definisi ini menggunakan simbol logik kewujudan dan kesejagatan:
(1) .
(2) .
(3) .

Jujukan dengan had (2) dan (3) ialah kes khas bagi jujukan yang tidak terhingga besar (1). Daripada takrifan ini, ia mengikuti bahawa jika had jujukan adalah sama dengan tambah atau tolak infiniti, maka ia juga sama dengan infiniti:
.
Sebaliknya, tentu saja, tidak benar. Ahli-ahli jujukan mungkin mempunyai tanda berselang-seli. Dalam kes ini, had boleh sama dengan infiniti, tetapi tanpa tanda tertentu.

Ambil perhatian juga bahawa jika sesetengah sifat memegang untuk jujukan arbitrari dengan had bersamaan dengan infiniti, maka sifat yang sama memegang untuk jujukan yang hadnya sama dengan tambah atau tolak infiniti.

Dalam banyak buku teks kalkulus, takrifan jujukan yang tidak terhingga besar menyatakan bahawa nombor M adalah positif: M > 0 .

Walau bagaimanapun, keperluan ini tidak diperlukan. Jika ia dibatalkan, maka tiada percanggahan yang timbul. Cuma nilai kecil atau negatif tidak menarik minat kita. Kami berminat dengan kelakuan urutan untuk nilai positif M yang besar secara sewenang-wenangnya. > 0 Oleh itu, jika keperluan timbul, maka M boleh dihadkan dari bawah oleh mana-mana nombor yang telah ditetapkan a, iaitu, kita boleh menganggap bahawa M > a.

Apabila kita menentukan ε - kejiranan titik akhir, maka keperluan ε

adalah penting. Untuk nilai negatif, ketidaksamaan tidak boleh dipenuhi sama sekali.

Kejiranan titik di infiniti
Apabila kami mempertimbangkan had terhingga, kami memperkenalkan konsep kejiranan titik. Ingat bahawa kejiranan titik akhir ialah selang terbuka yang mengandungi titik ini. Kita juga boleh memperkenalkan konsep kejiranan titik di infiniti. Biarkan M ialah nombor arbitrari.
Kejiranan titik "infiniti" Biarkan M ialah nombor arbitrari.
, , dipanggil set. Biarkan M ialah nombor arbitrari.

Kejiranan titik "tambah infiniti"
(4) ,
Di sekitar titik "tolak infiniti" 1 Tegasnya, kejiranan titik "infiniti" adalah set 2 di mana M

dan M

- nombor positif sewenang-wenangnya. Kami akan menggunakan definisi pertama, kerana ia lebih mudah. Walaupun, semua yang dinyatakan di bawah juga benar apabila menggunakan definisi (4)..
Titik a (terhingga atau pada infiniti) ialah had jujukan jika bagi mana-mana kejiranan titik ini terdapat nombor asli N supaya semua unsur jujukan dengan nombor tergolong dalam kejiranan ini.

Oleh itu, jika had wujud, maka di luar kejiranan titik a hanya terdapat bilangan ahli terhingga bagi jujukan, atau set kosong. Syarat ini perlu dan mencukupi. Bukti harta ini adalah sama seperti untuk had terhingga.

Harta kejiranan bagi jujukan menumpu
Agar titik a (terhingga atau pada infiniti) menjadi had jujukan, adalah perlu dan memadai bahawa di luar mana-mana kejiranan titik ini terdapat bilangan sebutan terhingga bagi jujukan atau set kosong.
Bukti .

Juga kadangkala konsep ε - kejiranan titik pada infiniti diperkenalkan.
Ingat bahawa kejiranan ε bagi titik terhingga a ialah set .
Mari kita perkenalkan jawatan seterusnya. Biarkan ε menyatakan kejiranan titik a.
.
Kemudian untuk titik akhir,
;
;
.
Untuk mata di infiniti:

Menggunakan konsep ε-kejiranan, kita boleh memberikan satu lagi definisi universal tentang had jujukan: Titik a (terminal atau pada infiniti) ialah had jujukan jika ada ε > 0 nombor positif
.

terdapat nombor asli N ε bergantung pada ε supaya untuk semua nombor n > N ε sebutan x n tergolong dalam kejiranan ε titik a:
.

Menggunakan simbol logik kewujudan dan kesejagatan, definisi ini boleh ditulis seperti berikut:

Contoh jujukan tak terhingga besar

.

.
Contoh 1
(1) .
Mari kita tuliskan takrif bagi jujukan yang tidak terhingga besar:
.

Dalam kes kita
.
Kami memperkenalkan nombor dan , menghubungkannya dengan ketaksamaan:
.
Mengikut sifat ketaksamaan, jika dan , maka
Ambil perhatian bahawa ketidaksamaan ini berlaku untuk sebarang n.
Oleh itu, anda boleh memilih seperti ini:

pada ;
.
di .

Jadi, untuk mana-mana satu kita boleh mencari nombor asli yang memenuhi ketaksamaan.

Kemudian untuk semua orang,
.

(2) .
Ini bermakna bahawa .
.

Iaitu, jujukannya tidak terhingga besar.
.
.

Contoh 2
.
Menggunakan takrifan jujukan yang tidak terhingga besar, tunjukkan bahawa

.

Istilah umum bagi urutan yang diberikan mempunyai bentuk:

Kemudian untuk semua orang,
.

Masukkan nombor dan:
(3) .
Ini bermakna bahawa .
.

Iaitu, jujukannya tidak terhingga besar.
.
Kemudian bagi sesiapa sahaja boleh mencari nombor asli yang memenuhi ketaksamaan, jadi untuk semua ,
.

Oleh kerana bagi mana-mana satu adalah mungkin untuk mencari nombor asli yang memenuhi ketaksamaan, maka
.

Diberi , sebagai N kita boleh mengambil sebarang nombor asli yang memenuhi ketaksamaan berikut:
.

Contoh 4

Kemudian untuk semua orang,
.

Mari kita tuliskan istilah umum bagi urutan tersebut:
.
Mari kita tulis takrifan had jujukan bersamaan dengan tambah infiniti:
(2) .

Oleh kerana n ialah nombor asli, n = 1, 2, 3, ... , Itu
;
;
.

Kami memperkenalkan nombor dan M, menghubungkannya dengan ketaksamaan:
.
Kemudian bagi sesiapa sahaja boleh mencari nombor asli yang memenuhi ketaksamaan, jadi untuk semua ,
.

Jadi, untuk sebarang nombor M kita boleh mencari nombor asli yang memenuhi ketaksamaan.
.
Menggunakan takrifan jujukan yang tidak terhingga besar, tunjukkan bahawa

Kemudian untuk semua orang,
Sastera terpakai: L.D. Kudryavtsev. Baiklah analisis matematik
. Jilid 1. Moscow, 2003.

CM. Nikolsky. Kursus analisis matematik. Jilid 1. Moscow, 1983.

Lihat juga:

Fungsi tak terhingga sangat kecil Fungsi %%f(x)%% dipanggil

(b.m.) dengan %%x \ke \in \overline(\mathbb(R))%%, jika dengan kecenderungan hujah ini had fungsi adalah sama dengan sifar.

Konsep b.m. fungsi berkait rapat dengan arahan untuk menukar hujahnya. Kita boleh bercakap tentang b.m. berfungsi pada %%a \kepada + 0%% dan pada %%a \kepada a - 0%%. Biasanya b.m. fungsi dilambangkan dengan huruf pertama abjad Yunani %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

1. Contoh
2. Fungsi %%f(x) = x%% ialah b.m. pada %%x \hingga 0%%, kerana hadnya pada titik %%a = 0%% ialah sifar. Menurut teorem tentang hubungan antara had dua belah dan had satu sisi, fungsi ini ialah b.m. kedua-duanya dengan %%x \hingga +0%% dan dengan %%x \hingga -0%%.

Fungsi %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. pada %%x \to \infty%% (serta pada %%x \to +\infty%% dan pada %%x \to -\infty%%). Nombor tetap bukan sifar, tidak kira betapa kecilnya nilai mutlak

, bukan b.m. fungsi.

Untuk nombor tetap, satu-satunya pengecualian ialah sifar, kerana fungsi %%f(x) \equiv 0%% mempunyai had sifar.

Teorem

Fungsi %%f(x)%% mempunyai pada titik %%a \in \overline(\mathbb(R))%% daripada garis nombor lanjutan had akhir yang sama dengan nombor %%b%% jika dan hanya jika fungsi ini sama dengan hasil tambah nombor ini %%b%% dan b.m. berfungsi %%\alpha(x)%% dengan %%x \kepada a%%, atau $$ \wujud~\lim\limits_(x \kepada a)(f(x)) = b \dalam \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

1. Sifat-sifat fungsi infinitesimal
2. Mengikut peraturan laluan ke had dengan %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, pernyataan berikut berikut:

Produk b.m. berfungsi pada %%x \kepada a%% dan fungsi yang dibatasi dalam beberapa kejiranan tertusuk %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% daripada titik a, terdapat b.m. pada %%x \hingga a%% fungsi.

Adalah jelas bahawa hasil darab fungsi malar dan b.m. pada %%x \hingga a%% terdapat b.m. berfungsi pada %%x \hingga a%%.

Fungsi infinitesimal setara

Fungsi tak terhingga %%\alpha(x), \beta(x)%% untuk %%x \hingga a%% dipanggil setara dan tulis %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, jika

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorem penggantian b.m. fungsi yang setara

Biarkan %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% ialah b.m. berfungsi untuk %%x \hingga a%%, dengan %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, kemudian $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ had_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Setara b.m. fungsi.

Biarkan %%\alpha(x)%% menjadi b.m. berfungsi pada %%x \kepada a%%, kemudian

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\gaya paparan 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\gaya paparan a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Contoh

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(array) $$

Fungsi besar yang tidak terhingga

Fungsi tak terhingga besar tak terhingga(b.b.) dengan %%x \ke \in \overline(\mathbb(R))%%, jika dengan kecenderungan hujah ini fungsi mempunyai had tak terhingga.

Sama seperti b.m. konsep fungsi b.b. fungsi berkait rapat dengan arahan untuk menukar hujahnya. Kita boleh bercakap tentang b.b. berfungsi dengan %%x \kepada a + 0%% dan %%x \kepada a - 0%%. Istilah "besar tak terhingga" tidak bercakap tentang nilai mutlak fungsi, tetapi tentang sifat perubahannya di sekitar titik yang dipersoalkan. Tiada nombor tetap, tidak kira betapa besar nilai mutlaknya, adalah besar tak terhingga.

Konsep b.m. fungsi berkait rapat dengan arahan untuk menukar hujahnya. Kita boleh bercakap tentang b.m. berfungsi pada %%a \kepada + 0%% dan pada %%a \kepada a - 0%%. Biasanya b.m. fungsi dilambangkan dengan huruf pertama abjad Yunani %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

1. Fungsi %%f(x) = 1/x%% - b.b. pada %%x \hingga 0%%.
2. Fungsi %%f(x) = x%% - b.b. pada %%x \hingga \infty%%.

Jika definisi syarat $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(array) $$

kemudian mereka bercakap tentang positif atau negatif b.b. pada fungsi %%a%%.

Contoh

Fungsi %%1/(x^2)%% - positif b.b. pada %%x \hingga 0%%.

Perkaitan antara b.b. dan b.m. fungsi

Jika %%f(x)%% ialah b.b. dengan fungsi %%x \kepada a%%, kemudian %%1/f(x)%% - b.m.

pada %%x \hingga a%%. Jika %%\alpha(x)%% - b.m. untuk %%x \hingga a%% ialah fungsi bukan sifar dalam sesetengah kejiranan tertusuk titik %%a%%, maka %%1/\alpha(x)%% ialah b.b. pada %%x \hingga a%%.

Sifat-sifat fungsi yang tidak terhingga besar

Mari kita kemukakan beberapa sifat b.b. fungsi. Sifat-sifat ini mengikuti terus dari definisi b.b. fungsi dan sifat bagi fungsi yang mempunyai had terhingga, serta daripada teorem mengenai hubungan antara b.b. dan b.m. fungsi.

1. Hasil darab bagi nombor terhingga b.b. fungsi untuk %%x \hingga a%% ialah b.b. berfungsi pada %%x \hingga a%%. Sesungguhnya, jika %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. berfungsi pada %%x \hingga a%%, kemudian dalam beberapa kejiranan tertusuk titik %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, dan dengan teorem sambungan b.b. dan b.m. fungsi %%1/f_k(x)%% - b.m. berfungsi pada %%x \hingga a%%. Ternyata %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m fungsi untuk %%x \to a%% dan %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. berfungsi pada %%x \hingga a%%.
2. Produk b.b. berfungsi untuk %%x \hingga a%% dan fungsi yang dalam beberapa kejiranan tertusuk titik %%a%% dalam nilai mutlak adalah lebih besar daripada pemalar positif ialah b.b. berfungsi pada %%x \hingga a%%. Khususnya, produk b.b. fungsi dengan %%x \hingga a%% dan fungsi yang mempunyai had bukan sifar terhingga pada titik %%a%% akan menjadi b.b. berfungsi pada %%x \hingga a%%.

Jumlah bagi fungsi yang disempadani dalam beberapa kejiranan tebuk titik %%a%% dan b.b. fungsi dengan %%x \hingga a%% ialah b.b. berfungsi pada %%x \hingga a%%.

Contohnya, fungsi %%x - \sin x%% dan %%x + \cos x%% ialah b.b. pada %%x \hingga \infty%%.

3. Jumlah dua b.b. berfungsi pada %%x \hingga a%% terdapat ketidakpastian. Bergantung pada tanda terma, sifat perubahan dalam jumlah sedemikian boleh menjadi sangat berbeza.

   Contoh

   Biarkan fungsi %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% diberikan. berfungsi pada %%x \hingga \infty%%. Kemudian:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. berfungsi pada %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. berfungsi pada %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% tidak mempunyai had pada %%x \hingga \infty%%.