Стохастик эмпирик хамаарал

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг стохастик хамаарал гэнэ. Энэ нь бусад (аргументууд) өөрчлөгдөхөд тэдгээрийн аль нэгнийх нь (хамааралтай хувьсагч) тархалтын хуулийн өөрчлөлтөөр илэрдэг.

Координатын систем дэх график стохастик эмпирик хамаарал хамааралтай хувьсагч - аргументууд, нь аргументууд өөрчлөгдөх үед хамааралтай хувьсагчийн зан төлөвийн ерөнхий хандлагыг тусгасан санамсаргүй байрлалтай цэгүүдийн багц юм.

Нэг аргументаас стохастик эмпирик хамаарлыг хос хамаарал, хэрэв нэгээс олон аргумент байвал олон хэмжээст хамаарал гэнэ. Уурын өрөөний жишээ шугаман хамааралЗурагт үзүүлэв. 1.()

Цагаан будаа. 1.

Аргументийн (эсвэл хэд хэдэн аргумент) утгын өөрчлөлт нь детерминист хамааралтай хувьсагчийн өөрчлөлттэй тохирдог ердийн функциональ хамаарлаас ялгаатай нь стохастик хамааралд санамсаргүй хамааралтай хувьсагчийн статистик тархалт өөрчлөгддөг. , математикийн хүлээлт.

Математик загварчлал (ойролцоо) бодлого

Стохастик хамаарлыг бий болгохыг өөрөөр нэрлэдэг математик загварчлал(ойролцоо) эсвэл ойролцоолсон бөгөөд түүний математик илэрхийлэл (томьёо) олохоос бүрдэнэ.

Үргэлж мэдэгддэггүй, гэхдээ бодитой байдаг үнэн харилцааг тусгасан, объект, үзэгдэл, тэдгээрийн шинж чанаруудын хоорондын үндсэн, тогтвортой, давтагдах харилцаанд тохирсон эмпирик байдлаар тогтоосон томъёо (функц) нь математик загвар гэж тооцогддог.

Юмсын тогтвортой харилцаа, тэдгээрийн жинхэнэ хамаарал. загварчлагдсан эсэхээс үл хамааран объектив оршин тогтнож, математик илэрхийлэлтэй, хууль буюу түүний үр дагавар гэж үздэг.

Хэрэв үүнээс тохирох хууль, үр дагавар нь мэдэгдэж байгаа бол тэдгээрийг аналитик хамааралтай гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм. Жишээлбэл, одоогийн хүч чадлын эмпирик хамаарал Iхүчдэлийн хэлхээнд Уба ачааллын эсэргүүцэл РОм-ын хуулиас дараахь зүйлийг хийдэг.

Харамсалтай нь ихэнх тохиолдлуудад хувьсагчдын жинхэнэ хамаарал нь априори тодорхойгүй байдаг тул ерөнхий ойлголт, онолын үзэл баримтлалд үндэслэн үүнийг илрүүлэх, өөрөөр хэлбэл тухайн загварын математик загварыг бий болгох шаардлагатай байна. Өгөгдсөн хувьсагч ба тэдгээрийн өсөлт нь санамсаргүй хэлбэлзлийн дэвсгэр дээр тусгагдсан болохыг харгалзан үздэг математик шинж чанаруудХүссэн бодит хамаарал (шүргээ, экстремум, үндэс, асимптот гэх мэт)

Ямар нэг байдлаар сонгосон ойролцоолсон функц нь хамааралтай хувьсагчийн анхны эмпирик утгуудын санамсаргүй хэлбэлзлийг жигдрүүлдэг (дундаж) ба ингэснээр санамсаргүй бүрэлдэхүүн хэсгийг дарж, ердийн бүрэлдэхүүн хэсэгтэй ойролцоо утгатай бөгөөд иймээс хүссэн жинхэнэ хараат байдал.

Эмпирик хамаарлын математик загвар нь онолын болон практик ач холбогдол:

· Туршилтын өгөгдлийн нэг буюу өөр мэдэгдэж буй хуульд нийцэж байгаа эсэхийг тогтоох, шинэ хэв маягийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно;

· хамааралтай хувьсагчийн хувьд аргументуудын утгын өгөгдсөн интерполяци, интервалаас гадуур таамаглах (экстраполяци) асуудлыг шийддэг.

Гэсэн хэдий ч хэмжигдэхүүний хамаарлын математикийн томьёог олох онолын сонирхол их байгаа хэдий ч практик дээр тэдгээрийн хооронд холбоо байгаа эсэх, түүний хүч чадал юу болохыг тодорхойлоход л хангалттай байдаг.

Корреляцийн шинжилгээний даалгавар

Өөрчлөгдөж буй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг судлах арга бол корреляцийн шинжилгээ юм.

Хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог корреляцийн шинжилгээний гол ойлголт бол корреляци (англи хэлнээс корреляци - зохицуулалт, холболт, харилцаа холбоо, харилцаа холбоо, харилцан хамаарал).

Корреляцийн шинжилгээ нь стохастик хамаарлыг илрүүлэх, түүний хүчийг (ач холбогдол) корреляцийн коэффициент ба корреляцийн харьцаагаар үнэлэхэд ашиглагддаг.

Хэрэв хувьсагчдын хооронд хамаарал олдвол корреляци байгаа буюу хувьсагчид харилцан хамааралтай гэж хэлнэ.

Холболтын ойрын үзүүлэлтүүд (корреляцийн коэффициент, корреляцийн харьцаа) модуль нь 0-ээс (холболт байхгүй тохиолдолд) 1 хүртэл (стохастик хамаарлыг функциональ болгон бууруулсан тохиолдолд) хооронд хэлбэлздэг.

Корреляцийн коэффициент (корреляцийн харьцаа)-ын үнэмлэхүй үнэлгээ нь чухал, өөрөөр хэлбэл коэффициентийн үнэлгээний стандарт хазайлтаас 2-3-аар их байвал стохастик хамаарлыг чухал (бодит) гэж үзнэ.

Зарим тохиолдолд тодорхой шалтгаан-үр дагаврын холбоогүй үзэгдлүүдийн хооронд холбоо байж болохыг анхаарна уу.

Жишээлбэл, зарим хөдөө орон нутгийн хувьд өрөвтас үүрлэх тоо болон төрсөн хүүхдүүдийн хооронд шууд стохастик хамаарлыг тогтоосон. Өрөвтасны хаврын тоолол нь энэ жил хэдэн хүүхэд төрөхийг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог боловч энэ хамаарал нь мэдээжийн хэрэг сайн мэддэг итгэл үнэмшлийг нотлохгүй бөгөөд зэрэгцээ үйл явцаар тайлбарлагддаг.

· Хүүхэд төрөхөөс өмнө ихэвчлэн шинэ гэр бүл бий болж, бий болдог хөдөөгийн байшингуудболон тариалангийн талбай;

· үүрлэх боломжийг өргөжүүлэх нь шувуудыг татаж, тоо толгойг нь нэмэгдүүлдэг.

Шинж чанаруудын хоорондын ийм хамаарлыг практик ач холбогдолтой байж болох ч худал (төсөөлөл) хамаарал гэж нэрлэдэг.

Онцлог шинж чанаруудын хамаарлыг харгалзан хүчин зүйлийн шинж чанарын маш тодорхой утга нь үр дүнтэй шинж чанарын олон боломжит утгатай тохирч байвал хүчин зүйлийн өөрчлөлт ба үр дүнгийн шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг тодруулъя. Өөрөөр хэлбэл, нэг хувьсагчийн утга бүр нь өөр нэг хувьсагчийн тодорхой (нөхцөлт) тархалттай тохирч байна. Энэ хамаарлыг нэрлэдэг стохастик.Стохастик хамаарлын тухай ойлголт бий болсон нь хамааралтай хувьсагч нь хяналтгүй эсвэл тооцоолоогүй олон хүчин зүйлээс хамаардаг, мөн хувьсагчдын утгын өөрчлөлт нь зарим санамсаргүй алдаа дагалддагтай холбоотой юм. Стохастик харилцааны жишээ бол газар тариалангийн ургацын хамаарал юм Юхэрэглэсэн бордооны массаас X.Энэ нь олон хүчин зүйл (хур тунадас, хөрсний найрлага гэх мэт) нөлөөлдөг тул бид ургацыг нарийн таамаглаж чадахгүй. Гэсэн хэдий ч бордооны масс өөрчлөгдөхөд ургац нь бас өөрчлөгдөх нь ойлгомжтой.

Статистикийн хувьд шинж чанарын ажиглагдсан утгыг судалдаг тул стохастик хамаарлыг ихэвчлэн нэрлэдэг статистикийн хамаарал.

Үр дүнгийн шинж чанар Y ба X хүчин зүйлийн шинж чанарын утгуудын хоорондын статистик хамаарлын хоёрдмол байдлаас шалтгаалан X-ээс дунджаар авсан хамаарлын схемийг сонирхож байна, жишээлбэл. нөхцөлт математик хүлээлтээр илэрхийлсэн загвар М(Y/X = x)(хүчин зүйлийн шинж чанарын тогтмол утгаар тооцоолно X = x). Энэ төрлийн хамаарлыг нэрлэдэг регресс, мөн ср(х) = функц байна M(Y/X = x) - Y регрессийн функцдээр Xэсвэл таамаглал Y By X(тэмдэглэл у х= f(l)). Үүний зэрэгцээ үр дүнтэй тэмдэг Юбас дууддаг хариу үйлдэл үзүүлэх функцэсвэл тайлбарласан, гаралт, үр дүн, эндоген хувьсагч, хүчин зүйлийн тэмдэг X - регрессорэсвэл тайлбарлагч, оролт, таамаглах, урьдчилан таамаглах, экзоген хувьсагч.

4.7-р хэсэгт нөхцөлт математикийн хүлээлт нотлогдсон M(Y/X) =ср(х) нь язгуур дундаж квадрат утгаараа X-ээс Y-ийн хамгийн сайн таамаглалыг өгдөг, i.e. М(Y- f(x)) 2 M(Y-g(x)) 2, энд g(x) -бусад UPOH урьдчилсан мэдээ.

Тиймээс регресс нь шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоог тогтоодог нэг талын статистик харилцаа юм. Тухайн үзэгдлийг тодорхойлсон хүчин зүйлийн шинж чанаруудын тооноос хамааран байдаг уурын өрөөТэгээд олонрегресс. Жишээлбэл, хос регресс нь үйлдвэрлэлийн зардал (хүчин зүйлийн шинж чанар) ба аж ахуйн нэгжийн үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний хэмжээ (үр дүнгийн шинж чанар Y) хоорондын регресс юм. Олон тооны регресс нь хөдөлмөрийн бүтээмж (үр дүнгийн шинж чанар Y) ба үйлдвэрлэлийн процессын механикжуулалтын түвшин, ажлын цаг, материалын эрч хүч, ажилчдын мэргэшлийн (хүчин зүйлийн шинж чанар X t, X 2, X 3, X 4) хоорондын регресс юм.

Тэд хэлбэр дүрсээрээ ялгагдана шугаманТэгээд шугаман бусрегресс, өөрөөр хэлбэл. шугаман ба шугаман бус функцээр илэрхийлэгдэх регресс.

Жишээлбэл, f(X) = Өө + Коммерсант -хосолсон шугаман регресс; f(X) = aX 2 + + bx + -тайквадрат регресс; f(X 1? X 2,..., X х) = p 0 4- fi(X(+ p 2 X 2 + ... + p„X w - олон шугаман регресс.

Статистикийн хамаарлыг тодорхойлох асуудал нь тогтоох гэсэн хоёр талтай холболтын битүүмжлэл (хүч чадал).ба тодорхойлолт харилцааны хэлбэрүүд.

Харилцааны ойр дотно (хүч чадал) бий болгоход зориулагдсан корреляцийн шинжилгээ, зорилго нь байгаа статистик мэдээлэлд үндэслэн дараах үндсэн асуултуудын хариултыг олж авах явдал юм.

• тохиромжтой статистик холболтын тоолуурыг хэрхэн сонгох (корреляцийн коэффициент, корреляцийн харьцаа, зэрэглэлийн корреляцийн коэффициент гэх мэт);
• хамаарлын тоолуурын үр дүнд бий болсон тоон утга нь статистик хамаарал байгааг харуулж байна гэсэн таамаглалыг хэрхэн шалгах вэ.

Харилцааны хэлбэрийг тодорхойлдог регрессийн шинжилгээ.Энэ тохиолдолд регрессийн шинжилгээний зорилго нь бэлэн байгаа статистик мэдээлэлд үндэслэн дараахь асуудлыг шийдвэрлэхэд оршино.

• регрессийн функцийн төрлийг сонгох (загвар сонгох);
• сонгосон регрессийн функцийн үл мэдэгдэх параметрүүдийг олох;
• регрессийн функцийн чанарт дүн шинжилгээ хийх, эмпирик өгөгдөлд тэгшитгэлийн зохистой байдлыг шалгах;
• хүчин зүйлийн шинж чанарын өгөгдсөн утгууд дээр үндэслэн үр дүнгийн шинж чанарын үл мэдэгдэх утгыг урьдчилан таамаглах.

Өнгөц харахад регрессийн тухай ойлголт нь корреляцийн тухай ойлголттой төстэй юм шиг санагдаж магадгүй, учир нь энэ хоёр тохиолдолд бид судалж буй шинж чанаруудын хоорондын статистик хамаарлын тухай ярьж байна. Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр тэдний хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байдаг. Регресс гэдэг нь хүчин зүйлийн шинж чанар өөрчлөгдсөний улмаас үр дүнтэй шинж чанарын нөхцөлт дундаж утгын өөрчлөлт гарсан тохиолдолд учир шалтгааны хамаарлыг хэлнэ. Корреляци нь шинж чанаруудын хоорондын учир шалтгааны хамаарлын талаар юу ч хэлдэггүй, өөрөөр хэлбэл. хоорондын хамаарал байгаа бол Xболон Y, тэгвэл энэ баримт нь утгын өөрчлөлт гэсэн үг биш юм X Y-ийн нөхцөлт дундаж утгын өөрчлөлтийг тодорхойлох. Корреляци нь нэг утгын өөрчлөлт нь нөгөө утгын өөрчлөлттэй дунджаар хамааралтай болохыг энгийнээр илэрхийлдэг.

Магадлалын онолыг ихэвчлэн "магадлалын тооцоолол"-той холбоотой математикийн салбар гэж ойлгодог.

Энэ бүх тооцоо нь үнэндээ энгийн томъёогоор бууж байна:

« Аливаа үйл явдлын магадлал нь түүнд багтсан энгийн үйл явдлуудын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна" Практикт энэ томъёо нь бага наснаасаа бидний мэддэг "шид" -ийг давтдаг.

« Аливаа объектын масс нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн массын нийлбэртэй тэнцүү байна».

Энд бид магадлалын онолын тийм ч өчүүхэн баримтуудыг авч үзэх болно. Юуны өмнө бид ярилцах болно хамааралтайТэгээд бие даасанүйл явдал.

Математикийн өөр өөр салбар дахь ижил нэр томъёо нь огт өөр утгатай болохыг ойлгох нь чухал юм.

Жишээлбэл, тэд тойргийн талбай гэж хэлэх үед Стүүний радиусаас хамаарна Р, тэгвэл бид функциональ хамаарал гэсэн үг

Магадлалын онолд хамаарал, бие даасан байдал гэсэн ойлголтууд огт өөр утгатай.

Энгийн жишээгээр эдгээр ойлголтуудтай танилцаж эхэлцгээе.

Та энэ өрөөнд шоо шидэх туршилт хийж байна гэж төсөөлөөд үз дээ, хажуу өрөөнд тань хамт ажилладаг хүн чинь бас зоос шидэж байна. Та А үйл явдлыг сонирхож байна гэж бодъё - танай хамт олон "хоёр" авсан бол Б үйл явдал - танай хамт олон "сүүл" авсан. Эрүүл ухаанСануулга: эдгээр үйл явдлууд бие даасан байна!

Хэдийгээр бид хараат байдал/бие даасан байдлын тухай ойлголтыг хараахан нэвтрүүлээгүй байгаа ч хараат бус байдлын аливаа үндэслэлтэй тодорхойлолтыг эдгээр үйл явдлуудыг бие даасан гэж тодорхойлсон байхаар төлөвлөх ёстой гэдэг нь ойлгомжтой юм.

Одоо өөр туршилт руу орцгооё. Шоо шидсэн, А үйл явдал хоёр, В үйл явдал сондгой тооны оноо юм. Ясыг тэгш хэмтэй гэж үзвэл P(A) = 1/6 гэж шууд хэлж болно. Одоо тэд танд: "Туршилтын үр дүнд В үйл явдал тохиолдож, сондгой тооны оноо унасан" гэж төсөөлөөд үз дээ. Одоо бид А үйл явдлын магадлалын талаар юу хэлж чадах вэ? Одоо энэ магадлал тэг болсон нь тодорхой байна.

Бидний хувьд хамгийн чухал зүйл бол тэр өөрчлөгдсөн.

Эхний жишээ рүү буцаж очоод бид хэлж чадна мэдээлэлДараагийн өрөөнд В үйл явдал болсон нь А үйл явдлын магадлалын талаарх таны төсөөлөлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. өөрчлөгдөхгүйБ үйл явдлын талаар ямар нэг зүйл сурсан гэдгээс.

Бид байгалийн бөгөөд туйлын чухал дүгнэлтэд хүрсэн -

үйл явдал болсон тухай мэдээлэл бол IN болсон нь үйл явдлын магадлалыг өөрчилдөгА , дараа нь үйл явдлуудА Тэгээд IN хамааралтай гэж үзэх ёстой бөгөөд хэрэв өөрчлөгдөхгүй бол бие даасан.

Эдгээр санааг математик хэлбэрээр өгч, үйл явдлын хамаарал, бие даасан байдлыг томъёогоор тодорхойлно.

"Хэрэв А ба В хамааралтай үйл явдлууд бол А үйл явдал нь В үйл явдлын талаарх мэдээллийг агуулж, В үйл явдал нь А үйл явдлын талаарх мэдээллийг агуулна." Энэ нь агуулагдаж байгаа эсэхийг яаж мэдэх вэ? Энэ асуултын хариултыг өгсөн болно онол мэдээлэл.

Мэдээллийн онолоос бидэнд А ба В үйл явдлуудын харилцан мэдээллийн I(A, B) хэмжээг тооцоолох нэг л томъёо хэрэгтэй.

Бид янз бүрийн үйл явдлын мэдээллийн хэмжээг тооцоолохгүй, энэ томъёог нарийвчлан авч үзэхгүй.

Энэ нь бидний хувьд чухал юм

дараа нь А ба В үйл явдлуудын хоорондох харилцан мэдээллийн хэмжээ тэгтэй тэнцүү байна - А ба В үйл явдлууд бие даасан. Хэрэв

тэгвэл харилцан мэдээллийн хэмжээ нь А ба В үйл явдлууд болно хамааралтай.

Мэдээллийн тухай ойлголтыг уриалах нь энд туслах шинж чанартай бөгөөд бидний үзэж байгаагаар үйл явдлын хамаарал, бие даасан байдлын тухай ойлголтыг илүү бодитой болгох боломжийг бидэнд олгодог.

Магадлалын онолд үйл явдлын хамаарал, бие даасан байдлыг илүү албан ёсоор дүрсэлсэн байдаг.

Юуны өмнө бидэнд ойлголт хэрэгтэй нөхцөлт магадлал.

В үйл явдал болсон тохиолдолд (P(B) ≠0) А үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг томъёогоор тооцсон P(A|B) утга гэнэ.

.

Үйл явдлын хамаарал, бие даасан байдлыг ойлгох бидний хандлагын сүнсийг дагаж, нөхцөлт магадлал нь дараах шинж чанартай байх болно: хэрэв А ба В үйл явдал бол бие даасан , Тэр

Энэ нь В үйл явдал болсон гэсэн мэдээлэл А үйл явдлын магадлалд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй гэсэн үг юм.

Ийм л байна!

Хэрэв А ба В үйл явдлууд бие даасан байвал

А ба В бие даасан үйл явдлуудын хувьд бидэнд байна

Тэгээд

Нийгэм-эдийн засгийн үйл явц, үзэгдлийн судлаачид тулгардаг үндсэн санаа бол эдийн засгийн хувьсагчдын хоорондын харилцааны мөн чанарыг ойлгох явдал юм. Зах зээл дээр гарч буй тодорхой бүтээгдэхүүний эрэлтийг үнийн функц гэж үздэг, хөрөнгийн өгөөж нь хөрөнгө оруулалтын эрсдлийн түвшингээс хамаардаг, хэрэглээний зардал нь орлогын функц байж болно.
Нийгэм, эдийн засгийн үзэгдлийн статистик дүн шинжилгээ хийх, урьдчилан таамаглах явцад хамгийн чухал харилцааг тоон хэлбэрээр дүрслэх шаардлагатай байдаг. Үзэгдэл, үйл явцын мөн чанар, мөн чанарыг найдвартай тусгахын тулд шалтгаан-үр дагаврын холбоог тодорхойлох шаардлагатай. Шалтгаан холбоо нь шалтгаан ба үр дагаврын цаг хугацааны дарааллаар тодорхойлогддог: шалтгаан нь үр дагаврын өмнө байдаг. Гэсэн хэдий ч зөв ойлголттой болохын тулд учир шалтгааны холбоогүй үйл явдлын давхцлыг хасах хэрэгтэй.
Нийгэм-эдийн засгийн олон үзэгдлүүд үр дүнг нэгэн зэрэг, хуримтлагдан харуулдаг идэвхтэй шалтгаанууд. Ийм тохиолдолд гол шалтгааныг хоёрдогч, ач холбогдолгүй зүйлээс тусгаарладаг.
Хоёр төрлийн үзэгдэл байдаг хамаарал: функциональ,эсвэл хатуу детерминистик, статистик, эсвэл стохастик байдлаардетерминист. At функциональ хамааралутга бүр тийм биш хамааралтай x хувьсагч нь маш тодорхой утгатай тохирч байна хамааралтайхувьсагч y. Энэ донтолт y = f(x) тэгшитгэл гэж тодорхойлж болно. Ийм жишээ хамааралсанамсаргүй хазайлтгүйгээр хүн амын бие даасан нэгж бүрт хүчинтэй механикийн хуулиуд байж болно.
Статистик, эсвэл стохастик хамаарал, зөвхөн массын үзэгдэлд л илэрдэг, хамт их тоохүн амын нэгж. At стохастикөгөгдсөн утгуудын хамаарал байхгүй хамааралтай x хувьсагч нь интервалд санамсаргүй байдлаар тархсан y-ийн хэд хэдэн утгыг илэрхийлж болно. Тогтмол аргументын утга бүр нь функцийн утгуудын тодорхой статистик тархалттай тохирч байна. Энэ нь үүнтэй холбоотой юм хамааралтайХувьсагч нь сонгосон x хэмжигдэхүүнээс гадна бусад хяналтгүй эсвэл тооцоолоогүй хүчин зүйлсээс гадна хэмжилтийн алдаа давхардсан зэрэгт нөлөөлдөг. (2, хуудас 12). Үнэт зүйлсээс хойш хамааралтайХувьсагчид санамсаргүй тархалтад өртдөг тул тэдгээрийг хангалттай нарийвчлалтайгаар урьдчилан таамаглах боломжгүй, зөвхөн тодорхой магадлалаар зааж өгдөг. Үзэгдэх үнэт зүйлс хамааралтайхувьсагч нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бодит байдал юм.
Нэг талын стохастик хамааралнэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нөгөө эсвэл хэд хэдэн өөр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг регресс гэж үзнэ. Нэг талыг илэрхийлдэг функц стохастик хамаарал,регрессийн функц эсвэл энгийн регресс гэж нэрлэдэг.
Энэ хооронд ялгаа бий функциональ хамааралболон регресс. Үүнээс гадна x at хувьсагч функциональ хамаарал^=f(x) нь функцийн утгыг бүрэн тодорхойлдог^, функц нь урвуу, өөрөөр хэлбэл. x = f(y) урвуу функц байна. Регрессийн функцэд энэ шинж чанар байхгүй. Зөвхөн онцгой тохиолдолд стохастик хамааралордог функциональ хамаарал,Та нэг регрессийн тэгшитгэлээс нөгөө рүү шилжиж болно.
Регрессийн тэгшитгэлийн төрлийг албан ёсны болгох нь эдийн засгийн хэмжилт, тодорхой хэлбэрийн дүн шинжилгээ хийх зорилгоор хангалтгүй юм. хамааралхувьсагчдын хооронд. Ийм асуудлыг шийдэх нь эдийн засгийн харилцаанд нэвтэрсний үр дүнд боломжтой болдог стохастикгишүүн:
Сурахдаа хамааралРегрессийн функц нь зөвхөн хувьсагчдын хоорондын захидал харилцааг албан ёсоор тогтоодог боловч тэдгээр нь шалтгаан-үр дагаврын хамааралгүй байж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд утга учиргүй хувьсагчдын өөрчлөлтийн санамсаргүй давхцлаас болж хуурамч регресс үүсч болно. Тиймээс регрессийн тэгшитгэлийг сонгохын өмнө хийх ёстой алхам бол чанарын шинжилгээ юм хамааралүгүй хооронд хамааралтайхувьсагч x ба хамааралтайхувьсагч y, урьдчилсан таамаглал дээр үндэслэсэн.

Хамааралтай байдлыг судлах шаардлагатай бөгөөд хоёуланг нь ижил туршилтаар хэмждэг. Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн туршилтыг хийж байна өөр өөр утгатайТуршилтын бусад нөхцлийг өөрчлөхгүй байхыг хичээж байна.

Хэмжигдэхүүн бүрийн хэмжилт нь санамсаргүй алдааг агуулдаг (бид системчилсэн алдааг энд авч үзэхгүй); Тиймээс эдгээр утгууд нь санамсаргүй байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний байгалийн хамаарлыг стохастик гэж нэрлэдэг. Бид хоёр асуудлыг авч үзэх болно:

a) хамааралтай (тодорхой магадлалтай) байгаа эсэх, эсвэл үнэ цэнэ нь хамаарахгүй эсэхийг тогтоох;

б) хэрэв хамаарал байгаа бол түүнийг тоон байдлаар тодорхойлно.

Эхний ажлыг дисперсийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв олон хувьсагчийн функцийг авч үзвэл олон хувьсагчийн дисперсийн шинжилгээ. Хоёрдахь ажлыг регрессийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг. Хэрэв санамсаргүй алдаа их байвал тэдгээр нь хүссэн хамаарлыг далдлах боломжтой бөгөөд үүнийг тодорхойлоход амаргүй байж магадгүй юм.

Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг параметр болгон авч үзэх нь хангалттай юм. Энэ утгын математикийн хүлээлт нь энэ хамаарал нь хүссэн зүйл байхаас хамаардаг бөгөөд үүнийг регрессийн хууль гэж нэрлэдэг.

Вариацын шинжилгээ. Утга тус бүрээр хэд хэдэн хэмжилт хийж, тодорхойлъё. Эдгээр өгөгдлийг боловсруулах хоёр аргыг авч үзье. Энэ нь z-ээс чухал (өөрөөр хэлбэл, хүлээн зөвшөөрөгдсөн найдвартай магадлалаар) хамааралтай эсэхийг судлах боломжийг бидэнд олгоно.

Эхний аргын хувьд нэг хэмжилтийн түүврийн стандартыг цуврал тус бүрээр болон хэмжилтийн бүх багцад тооцно.

хэмжилтийн нийт тоо хаана байна, ба

нь цуврал тус бүрийн болон хэмжилтийн бүх багцын дундаж утгууд юм.

Хэмжилтийн багцын дисперсийг бие даасан цувралын дисперстэй харьцуулж үзье. Хэрэв сонгосон итгэлийн түвшинд бүх i-г тооцоолох боломжтой бол z-ээс хамааралтай байна.

Хэрэв найдвартай илүүдэл байхгүй бол хамаарлыг илрүүлэх боломжгүй (туршилтын нарийвчлал, боловсруулсан боловсруулалтын аргыг харгалзан).

Зөрчлийг Фишерийн тест (30) ашиглан харьцуулна. Стандарт s нь N хэмжилтийн нийт тоогоор тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь ихэвчлэн нэлээд том байдаг тул та 25-р хүснэгтэд өгсөн Фишерийн коэффициентийг бараг үргэлж ашиглаж болно.

Шинжилгээний хоёр дахь арга бол өөр өөр утгуудын дундаж утгыг хооронд нь харьцуулах явдал юм. Утга нь санамсаргүй, бие даасан бөгөөд өөрсдийн түүвэрлэлтийн стандартууд нь тэнцүү байна

Тиймээс тэдгээрийг 3-р зүйлд заасан бие даасан хэмжилтийн схемийн дагуу харьцуулна. Хэрэв ялгаа нь мэдэгдэхүйц, өөрөөр хэлбэл, итгэлцлийн интервалаас давсан бол хамааралтай болох нь тогтоогдсон болно; хэрэв бүх 2-ын ялгаа нь ач холбогдолгүй бол хамаарлыг илрүүлэх боломжгүй.

Олон талт шинжилгээ нь зарим онцлог шинж чанартай байдаг. Тэгш өнцөгт сүлжээний зангилааны утгыг хэмжихийг зөвлөж байна, ингэснээр нэг аргументаас хамааралтай байдлыг судлах, өөр аргументыг засах нь илүү тохиромжтой. Олон хэмжээст сүлжээний зангилаа бүрт хэд хэдэн хэмжилт хийх нь хэтэрхий их хөдөлмөр шаарддаг. Нэг хэмжилтийн тархалтыг тооцоолохын тулд хэд хэдэн сүлжээний цэгүүдэд хэд хэдэн хэмжилт хийхэд хангалттай; бусад зангилаанд бид өөрсдийгөө нэг хэмжилтээр хязгаарлаж болно. Вариацын шинжилгээг эхний аргын дагуу хийдэг.

Тайлбар 1. Хэрэв олон хэмжилт байгаа бол энэ хоёр аргын хувьд бие даасан хэмжилт эсвэл цуваа нь мэдэгдэхүйц магадлалаар математикийн хүлээлтээс нэлээд хүчтэй хазайж болно. Үүнийг 1-тэй ойролцоо итгэлийн магадлалыг сонгохдоо (зөвшөөрөгдөх санамсаргүй алдааг бүдүүлэг алдаанаас тусгаарлах хязгаарыг тогтоохдоо хийсэн шиг) анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Регрессийн шинжилгээ. Дисперсийн шинжилгээгээр z-ийн хамаарал нь болохыг харуулъя. Үүнийг хэрхэн тоолох вэ?

Үүнийг хийхийн тулд бид хүссэн хамаарлыг зарим функцээр ойртуулж, параметрийн оновчтой утгыг аргыг ашиглан олдог хамгийн бага квадратуудасуудлыг шийдэж байна

Тухайн цэг дэх хэмжилтийн алдааны квадраттай урвуу пропорциональ сонгосон хэмжилтийн жин хаана байна (жишээ нь). Энэ асуудлыг 2-р бүлгийн § 2-т дүн шинжилгээ хийсэн. Бид энд зөвхөн том санамсаргүй алдаанаас үүдэлтэй шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Төрөл нь хамаарлын шинж чанарын тухай онолын үндэслэлээс эсвэл графикийг мэдэгдэж буй функцүүдийн графиктай харьцуулан албан ёсоор сонгоно. Хэрэв томьёог онолын үндэслэлээр сонгож, асимптотикийг зөв (онолын үүднээс) дамжуулж байвал энэ нь ихэвчлэн туршилтын өгөгдлийн багцыг сайтар тооцоолох төдийгүй олсон хамаарлыг бусад утгын мужид экстраполяци хийх боломжийг олгодог. Албан ёсоор сонгогдсон функц нь туршилтыг хангалттай тайлбарлаж болох боловч экстраполяци хийхэд ховор байдаг.

Хэрэв энэ нь алгебрийн олон гишүүнт байвал (34) асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг, гэхдээ функцийн ийм албан ёсны сонголт нь сэтгэл ханамжтай байх нь ховор. Ихэвчлэн сайн томьёо нь параметрүүдээс (трансцендент регресс) шугаман бус байдлаар хамаардаг. Хамаарал нь бараг шугаман байхын тулд хувьсагчдын ийм түвшний орлуулалтыг сонгох замаар трансцендентал регрессийг байгуулах нь хамгийн тохиромжтой (II Бүлэг, § 1, 8-р зүйлийг үз). Дараа нь үүнийг алгебрийн олон гишүүнтээр ойролцоолоход хялбар байдаг: .

Хувьсагчийн тэгшитгэлийн өөрчлөлтийг онолын үүднээс авч үзэх ба асимптотикийг харгалзан үзэх болно.

Тайлбар 2. Шинэ хувьсагч руу шилжихдээ хамгийн бага квадратын аргын бодлого (34) хэлбэрийг авна.

шинэ жингүүд нь анхны харилцаатай холбоотой байдаг

Тиймээс анхны томъёололд (34) бүх хэмжилтүүд ижил нарийвчлалтай байсан ч тэгшлэх хувьсагчдын жин ижил биш байх болно.

Корреляцийн шинжилгээ. Хувьсагчдын орлуулалт нь үнэхээр тэгшитгэсэн эсэхийг шалгах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл хамаарал нь шугамантай ойролцоо байна. Үүнийг хос корреляцийн коэффициентийг тооцоолох замаар хийж болно

Харилцаа нь үргэлж сэтгэл хангалуун байдаг гэдгийг харуулахад хялбар байдаг

Хэрэв хамаарал нь хатуу шугаман (мөн санамсаргүй алдаа агуулаагүй) байвал шулуун шугамын налуугийн тэмдгээс хамаарна. Бага байх тусам хамаарал нь шугамантай төстэй байх болно. Тиймээс хэрэв , ба хэмжилтийн тоо N хангалттай их байвал тэгшлэх хувьсагчдыг хангалттай сонгосон байна.

Корреляцийн коэффициент дээр үндэслэсэн хамаарлын мөн чанарын тухай ийм дүгнэлтийг корреляцийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг.

Корреляцийн шинжилгээ нь цэг бүрт хэд хэдэн хэмжилт хийх шаардлагагүй. Цэг бүр дээр нэг хэмжилт хийхэд хангалттай, гэхдээ судалж буй муруй дээр илүү олон оноо авах нь ихэвчлэн физик туршилтаар хийгддэг.

Тайлбар 3. Хамаарал нь практик шугаман эсэхийг харуулах боломжийг олгодог ойрын шалгуурууд байдаг. Ойролцоогоор олон гишүүнтийн зэрэглэлийн сонголтыг доор авч үзэх тул бид тэдгээрийн талаар ярихгүй.

Тайлбар 4. Харьцаа нь шугаман хамаарал байхгүйг илэрхийлдэг боловч ямар ч хамаарал байхгүй гэсэн үг биш юм. Тэгэхээр, хэрэв сегмент дээр байвал - тэгвэл

Хамгийн оновчтой зэрэглэлийн олон гишүүнт a. Ойролцоогоор зэрэглэлийн олон гишүүнийг (35) асуудалд орлуулъя:

Дараа нь параметрийн оновчтой утгууд нь системийг хангана шугаман тэгшитгэл (2.43):

мөн тэдгээрийг олоход хэцүү биш юм. Гэхдээ олон гишүүнтийн зэргийг хэрхэн сонгох вэ?

Энэ асуултад хариулахын тулд анхны хувьсагчид руу буцаж, ойролцоогоор томъёоны дисперсийг олсон коэффициентүүдээр тооцоолъё. Энэхүү зөрүүг бодитойгоор үнэлдэг

Мэдээжийн хэрэг, олон гишүүнтийн зэрэг нэмэгдэх тусам дисперс (40) буурах болно: илүү олон коэффициент авах тусам туршилтын цэгүүдийг илүү нарийвчлалтай ойртуулж болно.