Маягтын илэрхийлэл дуудсан векторуудын шугаман хослол A 1 , A 2 ,...,A nмагадлал бүхий λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Векторын системийн шугаман хамаарлыг тодорхойлох

Вектор систем A 1 , A 2 ,...,A nдуудсан шугаман хамааралтай, хэрэв тэгээс өөр тооны тоо байгаа бол λ 1, λ 2 ,...,λ n, аль нь шугаман хослолвекторууд λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nтэг вектортой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн систем: тэгээс өөр шийдэлтэй.
Тоонуудын багц λ 1, λ 2 ,...,λ n Хэрэв тоонуудын ядаж нэг нь тэг биш байна λ 1, λ 2 ,...,λ n тэгээс ялгаатай.

Векторын системийн шугаман бие даасан байдлыг тодорхойлох

Вектор систем A 1 , A 2 ,...,A nдуудсан шугаман бие даасан, хэрэв эдгээр векторуудын шугаман хослол λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nзөвхөн тэг олонлогийн хувьд тэг вектортой тэнцүү λ 1, λ 2 ,...,λ n , өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн систем: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θөвөрмөц тэг шийдэлтэй.

Жишээ 29.1

Векторуудын систем шугаман хамааралтай эсэхийг шалгана уу

Шийдэл:

1. Бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг:

2. Бид үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг. Системийн Жорданогийн хувиргалтыг Хүснэгт 29.1-д үзүүлэв. Тооцоолохдоо системийн баруун гар тал нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд Жорданы хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй тул бичдэггүй.

3. Хүснэгтийн сүүлийн гурван эгнээнээс анхны системтэй дүйцэхүйц шийдэгдсэн системийг бичнэ үүсистем:

4. Бид авдаг ерөнхий шийдэлсистемүүд:

5. Чөлөөт хувьсагчийн x 3 =1 утгыг өөрийн үзэмжээр тохируулсны дараа, Бид тэгээс өөр тодорхой шийдлийг олж авдаг X=(-3,2,1).

Хариулт: Иймээс тэг биш олон тооны (-3,2,1) векторуудын шугаман хослол нь тэг вектор -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, вектор систем шугаман хамааралтай.

Вектор системийн шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө (1)
Хэрэв векторын систем нь шугаман хамааралтай бол векторуудын ядаж нэг нь бусдынхаа хувьд, харин эсрэгээр системийн ядаж нэг вектор нь бусдынх нь хувьд тэлэгдсэн байвал векторуудын систем болно. шугаман хамааралтай байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө (2)
Хэрэв векторуудын аль нэг дэд систем шугаман хамааралтай бол бүхэл систем нь шугаман хамааралтай байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө (3)
Хэрэв векторын систем нь шугаман бие даасан байвал түүний аль нэг дэд систем нь шугаман бие даасан байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө (4)
Тэг вектор агуулсан аливаа векторын систем нь шугаман хамааралтай байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө (5)
Хэрэв n векторын тоо хэмжээсээсээ (n>m) их байвал m хэмжээст векторуудын систем үргэлж шугаман хамааралтай байна.

Вектор системийн үндэс

Вектор системийн үндэс A 1 , A 2 ,..., A n ийм дэд системийг B 1 , B 2 ,...,B r гэнэ.(B 1,B 2,...,B r вектор бүр нь A 1, A 2,..., A n векторуудын нэг) бөгөөд дараах нөхцөлүүдийг хангана.
1. B 1 ,B 2 ,...,B rвекторуудын шугаман бие даасан систем;
2. дурын векторА ж A 1 , A 2 ,..., A n систем нь B 1 , B 2 ,..., B r векторуудаар шугаман илэрхийлэгдэнэ.

r- суурьт багтсан векторуудын тоо.

Теорем 29.1 Векторын системийн нэгж суурь дээр.

Хэрэв m хэмжээст векторуудын системд m өөр нэгж вектор E 1 E 2 ,..., E m байвал тэдгээр нь системийн үндэс болно.

Векторын системийн үндсийг олох алгоритм

A 1 ,A 2 ,...,A n векторуудын системийн үндсийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

• Векторын системд тохирох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг үүсгэ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Энэ системийг авчир

Хэмжээст арифметик орон зайд векторуудын цуглуулга байг .

Тодорхойлолт 2.1.Векторуудын багц дуудсан шугаман бие даасанХэрэв тэгш байдал нь хэлбэртэй байвал векторуудын систем

зөвхөн тоон параметрийн тэг утгуудтай ажиллана .

Хэрэв коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь тэгээс өөр байвал тэгш байдал (2.1) хангагдвал ийм векторын системийг нэрлэнэ. шугаман хамааралтай .

Жишээ 2.1.Векторуудын шугаман бие даасан байдлыг шалгах

Шийдэл.(2.1) хэлбэрийн тэгш байдлыг бий болгоцгооё.

Зөвхөн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энэ илэрхийллийн зүүн тал нь тэг болж болно , энэ нь систем нь шугаман хамааралгүй гэсэн үг юм.

Жишээ 2.1.Векторууд байх уу? шугаман бие даасан?

Шийдэл.Үнэт зүйлсийн хувьд тэгш байдал үнэн эсэхийг шалгахад хялбар байдаг , . Энэ нь векторуудын систем нь шугаман хамааралтай гэсэн үг юм.

Теорем 2.1. Хэрэв векторын систем нь шугаман хамааралтай бол энэ системийн дурын векторыг системийн үлдсэн векторуудын шугаман хослол (эсвэл суперпозиция) хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Баталгаа. Векторын систем гэж үзье шугаман хамааралтай. Дараа нь тодорхойлолтоор бол тооны багц байдаг , тэдгээрийн дор хаяж нэг тоо нь тэгээс ялгаатай бөгөөд тэгш байдал (2.1) хүчинтэй байна:

Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр бид тэгээс бусад коэффициентийг , өөрөөр хэлбэл гэж үздэг . Дараа нь сүүлчийн тэгш байдлыг дараах байдлаар хувааж, вектороор илэрхийлж болно.

.

Тиймээс векторыг векторуудын суперпозиция хэлбэрээр илэрхийлнэ . Теорем 1 батлагдсан.

Үр дагавар. Хэрэв Энэ нь шугаман бие даасан векторуудын олонлог юм бол энэ олонлогоос нэг ч векторыг бусадтай нь илэрхийлэх боломжгүй..

Теорем 2.2. Хэрэв векторуудын систем тэг векторыг агуулж байвал ийм систем нь шугаман хамааралтай байх ёстой.

Баталгаа. Вектор нь тэг вектор байг, өөрөөр хэлбэл .

Дараа нь бид тогтмолуудыг сонгоно ( ) дараах байдлаар:

, .

Энэ тохиолдолд тэгш байдал (2.1) хангагдана. Зүүн талын эхний гишүүн нь тэг вектор учраас тэгтэй тэнцүү байна. Үлдсэн гишүүдийг тэг тогтмол тоогоор үржүүлэхэд тэг болно ( ). Тиймээс,

цагт , энэ нь векторууд гэсэн үг шугаман хамааралтай. Теорем 2.2 батлагдсан.

Бидний хариулах дараагийн асуулт бол юу вэ хамгийн их тоовекторууд нь шугаман бие даасан систем үүсгэж болноВ n- хэмжээст арифметик орон зай. 2.1-д байгалийн үндэслэлийг (1.4) авч үзсэн:

Хэмжээст орон зайн дурын вектор нь натурал суурь векторуудын шугаман хослол, өөрөөр хэлбэл дурын вектор болох нь тогтоогдсон. гэж байгалийн үндэслэлээр илэрхийлэгддэг

, (2.2)

Зарим тоо болох векторын координатууд хаана байна. Дараа нь тэгш байдал

нь зөвхөн , тиймээс векторуудад л боломжтой байгалийн суурь нь шугаман бие даасан системийг бүрдүүлдэг. Хэрэв бид энэ системд дурын векторыг нэмбэл , тэгвэл теорем 1-ийн үр дүнд үндэслэн векторыг вектороор илэрхийлдэг тул систем нь хамааралтай болно. (2.2) томъёоны дагуу.

Үүнийг энэ жишээ харуулж байна n-хэмжээт арифметик орон зайд шугаман бие даасан векторуудаас бүрдсэн системүүд байдаг. Хэрэв бид энэ системд ядаж нэг вектор нэмбэл шугаман хамааралтай векторуудын систем гарч ирнэ. Хэрэв векторуудын тоо орон зайн хэмжээнээс хэтэрсэн бол тэдгээр нь шугаман хамааралтай болохыг баталцгаая.

Теорем 2.3.Хэмжээст арифметик орон зайд түүнээс дээш тооноос бүрдэх систем байдаггүй шугаман бие даасан векторууд.

Баталгаа. Дурын хэмжээст векторуудыг авч үзье:

………………………

Болъё . (2.3) векторуудын шугаман хослолыг хийж, тэгтэй тэнцүүлье.

Векторын тэгш байдал (2.4) нь координатын скаляр тэгшитгэлтэй тэнцүү байна векторууд :

(2.5)

Эдгээр тэгш байдал нь системийг бүрдүүлдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлүл мэдэгдэх хүмүүстэй . Үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их ( ), тэгвэл 1-р хэсгийн теорем 9.3-ын үр дүнд нэгэн төрлийн систем (2.5) тэгээс өөр шийдэлтэй байна. Иймээс тэгш байдал (2.4) зарим утгын хувьд хүчинтэй байна , тэдгээрийн дотор бүгд тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд энэ нь векторуудын систем (2.3) шугаман хамааралтай гэсэн үг юм. Теорем 2.3 батлагдсан.

Үр дагавар. Хэмжээст орон зайд шугаман бие даасан векторуудаас бүрдэх системүүд байдаг бөгөөд вектороос илүүг агуулсан аливаа систем шугаман хамааралтай байх болно.

Тодорхойлолт 2.2.Шугаман бие даасан векторуудын системийг гэнэ орон зайн үндэс, хэрэв огторгуйн аль нэг векторыг эдгээр шугаман бие даасан векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлж болно.

2.3. Шугаман вектор хувиргалт

Хоёр вектор ба хэмжээст арифметик орон зайг авч үзье.

Тодорхойлолт 3.1.Хэрэв вектор бүр Хэрэв ижил орон зайн вектор холбогдсон бол хэмжээст арифметик орон зайн зарим хувиргалт өгөгдсөн гэж бид хэлдэг.

Бид энэ хувиргалтыг -ээр тэмдэглэнэ. Бид векторыг дүрс гэж нэрлэх болно. Бид тэгш байдлыг бичиж болно

. (3.1)

Тодорхойлолт 3.2.Дараах шинж чанаруудыг хангасан тохиолдолд (3.1) өөрчлөлтийг шугаман гэж нэрлэнэ.

, (3.2)

, (3.3)

дурын скаляр (тоо) хаана байна.

(3.1) хувиргалтыг координат хэлбэрээр тодорхойлно. Векторуудын координатыг бичье Тэгээд донтолттой холбоотой

(3.4)

Томъёо (3.4) нь хувиргалт (3.1)-ийг координат хэлбэрээр тодорхойлно. Тооцоолол ( ) тэгш байдлын системийг (3.4) матриц хэлбэрээр илэрхийлж болно

хувиргах матриц (3.1) гэж нэрлэдэг.

Баганын векторуудыг танилцуулъя

,

элементүүд нь векторуудын координатууд юм Тэгээд үүний дагуу, тийм Тэгээд . Бид цаашид баганын векторуудыг вектор гэж нэрлэх болно.

Дараа нь хувиргалтыг (3.4) матриц хэлбэрээр бичиж болно

. (3.5)

Матриц дээрх арифметик үйлдлүүдийн шинж чанараас шалтгаалан хувиргалт (3.5) шугаман байна.

Зураг нь тэг вектор болох зарим өөрчлөлтийг авч үзье. Матриц хэлбэрээр энэ хувиргалт нь иймэрхүү харагдах болно

, (3.6)

ба координат хэлбэрээр – шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг илэрхийлнэ

(3.7)

Тодорхойлолт 3.3.Шугаман хувиргалтын матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол шугаман хувиргалтыг ганц бус гэж нэрлэдэг. . Хэрэв тодорхойлогч алга болбол хувирал доройтох болно .

Систем (3.7) нь өчүүхэн (илэрхий) шийдэлтэй байдаг нь мэдэгдэж байгаа - тэг. Матрицын тодорхойлогч тэг байхаас бусад тохиолдолд энэ шийдэл нь өвөрмөц юм.

Хэрэв шугаман хувиргалт доройтсон, өөрөөр хэлбэл матрицын тодорхойлогч тэг байвал системийн (3.7) тэгээс ялгаатай шийдлүүд гарч ирж болно.

Тодорхойлолт 3.4. Өөрчлөлтийн зэрэглэл (3.5) нь хувиргах матрицын зэрэг юм.

Ижил тоо нь матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн тоотой тэнцүү гэж бид хэлж болно.

Шугаман хувиргалтын геометрийн тайлбарыг авч үзье (3.5).

Жишээ 3.1.Шугаман хувиргах матрицыг өгье , Хаана Дурын векторыг авч үзье , Хаана мөн түүний зургийг олох:
Дараа нь вектор
.

Хэрэв , тэгвэл вектор урт ба чиглэлийг хоёуланг нь өөрчлөх болно. Зураг 1-д .

Хэрэв , дараа нь бид зургийг авна

,

өөрөөр хэлбэл вектор
эсвэл , энэ нь зөвхөн уртыг өөрчлөх боловч чиглэлийг өөрчлөхгүй гэсэн үг юм (Зураг 2).

Жишээ 3.2.Болъё , . Зургийг олцгооё:

,

тэр нь
, эсвэл .

Вектор хувирлын үр дүнд энэ нь чиглэлээ эсрэгээр өөрчилсөн бол векторын урт хадгалагдан үлджээ (Зураг 3).

Жишээ 3.3.Матрицыг авч үзье шугаман хувиргалт. Энэ тохиолдолд векторын дүрс нь вектортой бүрэн давхцаж байгааг харуулахад хялбар байдаг (Зураг 4). Үнэхээр,

.

Векторуудын шугаман хувиргалт нь анхны векторыг өөрчилдөг гэж бид хэлж чадна урт ба чиглэлийн аль алинд нь. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд векторыг зөвхөн чиглэлд (жишээ 3.2) эсвэл зөвхөн уртаар (жишээ 3.1, тохиолдол) хувиргадаг матрицууд байдаг. ).

Нэг шулуун дээр байрлах бүх векторууд нь шугаман хамааралтай векторуудын системийг бүрдүүлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Шугаман хувиргалт руу буцъя (3.5)

мөн векторуудын цуглуулгыг авч үзье , түүний хувьд зураг нь тэг вектор, тиймээс .

Тодорхойлолт 3.5. Тэгшитгэлийн шийдэл болох векторуудын багц , -хэмжээт арифметик орон зайн дэд орон зайг үүсгэн дуудна шугаман хувиргах цөм.

Тодорхойлолт 3.6. Шугаман хувиргалтын гажиг энэхүү хувиргалтын цөмийн хэмжээсийг нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл, хамгийн их тоотэгшитгэлийг хангадаг шугаман бие даасан векторууд .

Бид матрицын зэрэглэлийг шугаман хувиргалтын зэрэглэлээр илэрхийлж байгаа тул матрицын согогийн талаар дараах мэдэгдлийг томъёолж болно: согог зөрүүтэй тэнцүү байна , хаана нь матрицын хэмжээс ба түүний зэрэглэл юм.

Хэрэв шугаман хувиргах матрицын зэрэглэлийг (3.5) Гауссын аргаар хайж байгаа бол зэрэглэл нь аль хэдийн хувирсан матрицын үндсэн диагональ дээрх тэгээс бусад элементүүдийн тоотой давхцаж, согогийг тэгийн тоогоор тодорхойлно. эгнээ.

Хэрэв шугаман хувиргалт нь доройтдоггүй бол тэр нь , тэгвэл цөм нь цорын ганц тэг вектор тул түүний согог тэг болно.

Хэрэв шугаман хувиргалт нь доройтсон ба , дараа нь систем (3.6) нь тэгээс өөр шийдлүүдтэй бөгөөд энэ тохиолдолд согог нь тэгээс ялгаатай байна.

Уртыг өөрчлөхийн зэрэгцээ векторын чиглэлийг өөрчилдөггүй хувиргалтууд онцгой анхаарал татаж байна. Илүү нарийвчлалтайгаар, тэд эх векторыг агуулсан мөрөнд векторыг үлдээдэг бөгөөд хэрэв шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг. Ийм өөрчлөлтийг дараагийн 2.4-т авч үзэх болно.

Векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдал.
Векторуудын үндэс. Аффины координатын систем

Танхимд шоколадтай тэрэг байдаг бөгөөд өнөөдөр зочлон ирсэн хүн бүр шугаман алгебр бүхий аналитик геометр гэсэн сайхан хосыг авах болно. Энэ нийтлэл нь нэг дор хоёр хэсгийг хамрах болно. дээд математик, мөн бид тэднийг нэг боодол дээр хэрхэн зохицож байгааг харах болно. Завсарлага аваад Twix идээрэй! ...хараал ид, ямар дэмий юм бэ. Хэдий тийм ээ, би оноо авахгүй ч эцэст нь та суралцахдаа эерэг хандлагатай байх ёстой.

Векторуудын шугаман хамаарал, шугаман векторын бие даасан байдал, векторуудын үндэсболон бусад нэр томъёо нь зөвхөн геометрийн тайлбар биш, харин хамгийн чухал нь алгебрийн утгатай. Шугаман алгебрийн үүднээс авч үзвэл "вектор" гэсэн ойлголт нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд дүрсэлж болох "энгийн" вектор биш юм. Та холоос баталгаа хайх шаардлагагүй, таван хэмжээст орон зайн вектор зурж үзээрэй . Эсвэл миний саяхан Gismeteo руу очсон цаг агаарын вектор: температур ба атмосферийн даралт. Мэдээжийн хэрэг, жишээ нь векторын орон зайн шинж чанарын үүднээс буруу боловч эдгээр параметрүүдийг вектор болгон албан ёсны болгохыг хэн ч хориглодоггүй. Намрын амьсгал...

Үгүй ээ, би чамайг онол, шугаман вектор орон зайгаар уйдаахгүй, даалгавар бол хийх явдал юм ойлгохтодорхойлолт ба теоремууд. Шинэ нэр томъёо (шугаман хамаарал, бие даасан байдал, шугаман хослол, суурь гэх мэт) нь алгебрийн үүднээс бүх векторуудад хамаарах боловч геометрийн жишээг өгөх болно. Тиймээс бүх зүйл энгийн, хүртээмжтэй, ойлгомжтой байдаг. Аналитик геометрийн асуудлуудаас гадна бид зарим ердийн алгебрийн бодлогуудыг авч үзэх болно. Материалыг эзэмшихийн тулд хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна Дамми нарт зориулсан векторуудТэгээд Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хавтгай векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Хавтгай суурь ба аффины координатын систем

Компьютерийн ширээний хавтгайг (зөвхөн ширээ, орны дэргэдэх ширээ, шал, тааз, дуртай зүйлээ) авч үзье. Даалгавар нь дараахь үйлдлүүдээс бүрдэнэ.

1) Хавтгай суурь сонгох. Товчоор хэлбэл, ширээний тавцан нь урт ба өргөнтэй байдаг тул суурийг бий болгоход хоёр вектор шаардлагатай болно. Нэг вектор хангалттай биш, гурван вектор хэт их байна.

2) Сонгосон суурь дээр үндэслэнэ координатын системийг тохируулах(координатын тор) ширээн дээрх бүх объектод координат оноох.

Гайхах хэрэггүй, эхлээд тайлбарууд нь хуруун дээр байх болно. Түүнээс гадна, таных. Та байрлуулна уу зүүн долоовор хурууширээний ирмэг дээр тэр дэлгэц рүү хардаг. Энэ нь вектор байх болно. Одоо байрлуул баруун жижиг хурууширээний ирмэг дээр ижил аргаар - дэлгэцийн дэлгэц рүү чиглэсэн байхаар байрлуулна. Энэ нь вектор байх болно. Инээмсэглэ, чи гайхалтай харагдаж байна! Векторуудын талаар бид юу хэлж чадах вэ? Өгөгдлийн векторууд collinear, гэсэн үг шугаманбие биенээ илэрхийлсэн:
, сайн, эсвэл эсрэгээр: , хаана ямар нэг тоо тэгээс ялгаатай байна.

Та энэ үйлдлийн зургийг ангид харж болно. Дамми нарт зориулсан векторууд, энд би векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг тайлбарлав.

Таны хуруу компьютерийн ширээний тавцан дээр суурь тавих уу? Үгүй гэдэг нь ойлгомжтой. Коллинеар векторууд нааш цааш хөдөлдөг ганцаараачиглэл, онгоц нь урт ба өргөнтэй байдаг.

Ийм векторуудыг нэрлэдэг шугаман хамааралтай.

Лавлагаа: "Шугаман", "шугаман" гэсэн үгс нь дотор байгааг илтгэнэ математик тэгшитгэл, илэрхийлэлд квадрат, шоо, бусад зэрэглэл, логарифм, синус гэх мэтийг агуулаагүй болно. Зөвхөн шугаман (1-р зэрэг) илэрхийлэл ба хамаарал байдаг.

Хоёр хавтгай вектор шугаман хамааралтайхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал.

Ширээн дээр хуруугаа хооронд нь 0 эсвэл 180 градусаас өөр өнцөг байхаар гатлаарай. Хоёр хавтгай векторшугаман ҮгүйХэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаа холбоогүй тохиолдолд л хамааралтай. Тиймээс суурь нь бүрддэг. Суурь нь янз бүрийн урттай перпендикуляр бус векторуудаар "тазайлгасан" болсонд ичиж зовох хэрэггүй юм. Тун удахгүй бид үүнийг бүтээхэд зөвхөн 90 градусын өнцөг төдийгүй ижил урттай нэгж векторууд тохиромжтой биш гэдгийг харах болно.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замүндэслэлээр өргөтгөсөн:
, бодит тоо хаана байна. Тоонуудыг дуудаж байна вектор координатэнэ үндсэн дээр.

Бас тэгж хэлдэг векторбайдлаар танилцуулсан шугаман хослолсуурь векторууд. Энэ нь илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг вектор задралүндсэн дээрэсвэл шугаман хослолсуурь векторууд.

Жишээлбэл, вектор нь хавтгайн ортонормаль суурийн дагуу задардаг эсвэл векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдсэн гэж хэлж болно.

Томьёолъё суурийн тодорхойлолталбан ёсоор: Онгоцны үндэсхос шугаман бие даасан (коллинеар бус) векторууд гэж нэрлэдэг. , байхад ямар чХавтгай вектор нь суурь векторуудын шугаман хослол юм.

Тодорхойлолтын чухал цэг бол векторуудыг авсан явдал юм тодорхой дарааллаар. Суурь - Эдгээр нь огт өөр хоёр суурь юм! Тэдний хэлснээр та зүүн гарынхаа жижиг хурууг баруун гарын хурууны оронд сольж болохгүй.

Бид үндсийг нь олж мэдсэн боловч координатын сүлжээг тогтоож, компьютерийн ширээн дээрх зүйл бүрт координат оноох нь хангалтгүй юм. Яагаад хүрэлцэхгүй байна вэ? Векторууд чөлөөтэй бөгөөд бүхэл бүтэн онгоцоор тэнүүчилдэг. Зэрлэг амралтын өдрүүдээс үлдсэн ширээн дээрх жижиг бохир цэгүүдийн координатыг хэрхэн хуваарилах вэ? Эхлэх цэг хэрэгтэй. Ийм тэмдэглэгээ бол хүн бүрт танил болсон цэг юм - координатын гарал үүсэл. Координатын системийг ойлгоцгооё.

Би "сургуулийн" системээс эхэлье. Танилцуулгын хичээл дээр аль хэдийн орсон Дамми нарт зориулсан векторуудТэгш өнцөгт координатын систем ба ортонормаль суурь хоорондын зарим ялгааг би онцолсон. Энд стандарт зураг байна:

Тэд ярих үед тэгш өнцөгт координатын систем, дараа нь ихэнхдээ тэдгээр нь тэнхлэгийн дагуух гарал үүсэл, координатын тэнхлэг, масштабыг илэрхийлдэг. Хайлтын системд "тэгш өнцөгт координатын систем" гэж бичээд үзээрэй, олон эх сурвалж танд 5-6-р ангиасаа мэддэг координатын тэнхлэгүүд болон хавтгайд цэгүүдийг хэрхэн зурах талаар хэлэх болно.

Нөгөөтэйгүүр, тийм юм шиг байна тэгш өнцөгт системкоординатыг ортонормаль үндэслэлээр бүрэн тодорхойлж болно. Мөн энэ нь бараг үнэн юм. Үг хэллэг нь дараах байдалтай байна.

гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт хавтгай координатын систем . Энэ нь тэгш өнцөгт координатын систем юм гарцаагүйнь нэг цэг ба хоёр нэгж ортогональ вектороор тодорхойлогддог. Тийм ч учраас та миний дээр өгсөн зургийг харж байна - геометрийн бодлогод вектор ба координатын тэнхлэгийг хоёуланг нь ихэвчлэн (гэхдээ үргэлж биш) зурдаг.

Цэг (гарал үүсэл) болон ортонормаль суурь ашиглахыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна Онгоцны аль ч цэг, онгоцонд ямар ч ВЕКТОРкоординатыг зааж өгч болно. Дүрслэлээр хэлбэл, "онгоцонд байгаа бүх зүйлийг дугаарлаж болно."

Координатын векторууд нэгж байх шаардлагатай юу? Үгүй ээ, тэд дур мэдэн тэгээс өөр урттай байж болно. Дурын тэгээс урттай цэг ба хоёр ортогональ векторыг авч үзье.

Ийм суурь гэж нэрлэдэг ортогональ. Векторуудтай координатын гарал үүслийг координатын тороор тодорхойлдог бөгөөд хавтгай дээрх аль ч цэг, аль ч вектор нь өгөгдсөн үндсэн дээр координаттай байдаг. Жишээлбэл, эсвэл. Илэрхий таагүй зүйл бол координатын векторууд юм ерөнхий тохиолдолднэгдлээс өөр урттай. Хэрэв урт нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү бол ердийн ортонормаль үндэслэлийг олж авна.

! Анхаарна уу : ортогональ суурь, түүнчлэн хавтгай ба орон зайн аффин суурийн доор тэнхлэгийн дагуух нэгжүүдийг авч үзнэ. НӨХЦӨЛТ. Жишээлбэл, х тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 4 см, ордны тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 2 см-ийг агуулна. Энэ мэдээлэл нь шаардлагатай бол "стандарт бус" координатыг "бидний ердийн сантиметр" болгон хувиргахад хангалттай.

Хоёрдахь асуулт нь аль хэдийн хариулагдсан бөгөөд суурь векторуудын хоорондох өнцөг нь 90 градустай тэнцүү байх ёстой юу? Үгүй! Тодорхойлолтод дурдсанчлан суурь векторууд байх ёстой зөвхөн шугаман бус. Үүний дагуу өнцөг нь 0 ба 180 градусаас бусад бүх зүйл байж болно.

Онгоцны нэг цэг дуудлаа гарал үүсэл, Мөн шугаман бусвекторууд, , тогтоосон аффин хавтгай координатын систем :

Заримдаа ийм координатын системийг дууддаг ташуусистем. Жишээлбэл, зураг нь цэг ба векторуудыг харуулж байна:

Таны ойлгож байгаагаар аффины координатын систем нь хичээлийн хоёр дахь хэсэгт бидний авч үзсэн вектор ба сегментийн уртын томъёо нь тийм ч тохиромжтой биш юм; Дамми нарт зориулсан векторууд, холбоотой олон амттай жор векторуудын скаляр үржвэр. Гэхдээ вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм, энэ талаар сегментийг хуваах томъёо, түүнчлэн бидний удахгүй авч үзэх бусад төрлийн асуудлууд хүчинтэй байна.

Дүгнэлт нь аффин координатын системийн хамгийн тохиромжтой онцгой тохиолдол бол декартын тэгш өнцөгт систем юм. Тийм ч учраас чи түүнтэй байнга уулзах хэрэгтэй болдог, хонгор минь. ...Гэхдээ энэ амьдралд бүх зүйл харьцангуй байдаг - ташуу өнцөг (эсвэл өөр нэг, жишээлбэл, туйл) координатын систем. Мөн гуманоид ийм системд дуртай байж магадгүй =)

Практик хэсэг рүү шилжье. Энэ хичээлийн бүх бодлого нь тэгш өнцөгт координатын систем болон ерөнхий аффины тохиолдолд хоёуланд нь хүчинтэй байна. Энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бүх материал нь сургуулийн сурагчдад ч хүртээмжтэй байдаг.

Хавтгай векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Ердийн зүйл. Хоёр хавтгай векторын хувьд collinear байсан тул тэдгээрийн харгалзах координатууд пропорциональ байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юмҮндсэндээ энэ нь илэрхий харилцааны координатаар нарийн тусгах явдал юм.

Жишээ 1

a) Векторууд коллинеар байгаа эсэхийг шалгана уу .
б) Векторууд суурь болдог уу? ?

Шийдэл:
a) Векторууд байгаа эсэхийг олж мэдье тэнцүү байдлыг хангасан пропорциональ коэффициент:

Практикт маш сайн ажилладаг энэ дүрмийг хэрэгжүүлэх "хөөрхөн" хувилбарын талаар би танд хэлэх болно. Гол санаа нь тэр даруй пропорцийг бүрдүүлж, зөв ​​эсэхийг шалгах явдал юм.

Векторуудын харгалзах координатын харьцаанаас пропорцийг гаргая.

Богино болгоё:
, иймээс харгалзах координатууд нь пропорциональ байна

Энэ харилцааг эсрэгээр нь хийж болно:

Өөрийгөө шалгахын тулд та коллинеар векторууд бие биенээсээ шугаман илэрхийлэгддэг болохыг ашиглаж болно. IN энэ тохиолдолдтэгш байдал бий . Тэдгээрийн хүчинтэй байдлыг векторуудтай энгийн үйлдлээр хялбархан шалгаж болно.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Бид векторуудын коллинеар байдлыг шалгадаг . Системийг үүсгэцгээе:

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс энэ нь гарч ирнэ гэсэн үг систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Шийдлийн хялбаршуулсан хувилбар дараах байдалтай байна.

Векторуудын харгалзах координатуудаас пропорцийг гаргая :
, энэ нь эдгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Дүрмээр бол энэ сонголтыг хянагчид үгүйсгэдэггүй, гэхдээ зарим координат нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуудал үүсдэг. Үүнтэй адил: . Эсвэл иймэрхүү: . Эсвэл иймэрхүү: . Энд пропорцоор хэрхэн ажиллах вэ? (үнэхээр та тэгээр хувааж болохгүй). Тийм ч учраас би хялбаршуулсан шийдлийг "фоппи" гэж нэрлэсэн.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Бага зэрэг бүтээлч жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Параметрийн ямар утгад векторууд байна тэд хоорондоо уялдаатай байх уу?

Түүврийн уусмалд параметрийг пропорцоор олно.

Векторуудын уялдаа холбоог шалгах гоёмсог алгебрийн арга бий.

Хоёр векторын хувьд хавтгай нь тэнцүү байна дараах мэдэгдлүүд :

2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд нь коллинеар биш;

+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

тус тус, дараах эсрэг заалтууд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман хамааралтай;
2) векторууд нь суурь үүсгэдэггүй;
3) векторууд нь коллинеар;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлж болно;
+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Би үүнд үнэхээр их найдаж байна одоогоорТа тааралдсан бүх нэр томъёо, мэдэгдлийг аль хэдийн ойлгосон.

Шинэ, тав дахь цэгийг нарийвчлан авч үзье: хоёр хавтгай вектор Өгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л коллинеар байна.:. Энэ функцийг ашиглахын тулд мэдээжийн хэрэг та чадвартай байх хэрэгтэй тодорхойлогчдыг олох.

Ингээд шийдьеХоёр дахь аргаар жишээ 1:

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар байна гэсэн үг.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Энэ нь пропорцтой шийдлээс хамаагүй илүү авсаархан, үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.

Боловсруулсан материалын тусламжтайгаар зөвхөн векторуудын харилцан уялдаа холбоог тогтоох төдийгүй сегмент ба шулуун шугамын параллель байдлыг батлах боломжтой. Тодорхой геометрийн хэлбэртэй хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батал.

Баталгаа: Асуудлын шийдэл нь зөвхөн аналитик байх тул зураг зурах шаардлагагүй. Параллелограммын тодорхойлолтыг санацгаая.
Параллелограмм Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель дөрвөн өнцөгтийг гэнэ.

Тиймээс дараахь зүйлийг нотлох шаардлагатай.
1) эсрэг талуудын зэрэгцээ байдал ба;
2) эсрэг талын параллелизм ба.

Бид баталж байна:

1) Векторуудыг ол:

2) Векторуудыг ол:

Үр дүн нь ижил вектор ("сургуулийн дагуу" - тэнцүү векторууд). Хамтарсан байдал нь маш тодорхой боловч шийдвэрийг тодорхой, зохицуулалттай албан ёсны болгох нь дээр. Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар гэсэн үг бөгөөд .

Дүгнэлт: Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хос хосоороо параллелограмм гэсэн үг юм. Q.E.D.

Илүү сайн, өөр өөр тоонууд:

Жишээ 4

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт бол трапец гэдгийг батал.

Нотлох баримтыг илүү нарийн томъёолохын тулд трапецын тодорхойлолтыг авах нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь ямар харагддагийг санахад л хангалттай.

Энэ бол та өөрөө шийдэх ёстой ажил юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл.

Одоо онгоцноос аажим аажмаар сансарт шилжих цаг болжээ.

Сансрын векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Дүрэм нь маш төстэй юм. Хоёр орон зайн векторууд хоорондоо уялдаатай байхын тулд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай..

Жишээ 5

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг олж мэд.

A) ;
б)
V)

Шийдэл:
a) Векторуудын харгалзах координатуудад пропорциональ коэффициент байгаа эсэхийг шалгая:

Системд шийдэл байхгүй тул векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

"Хялбаршуулсан" нь пропорцийг шалгах замаар албан ёсны болно. Энэ тохиолдолд:
– харгалзах координатууд нь пропорциональ биш, энэ нь векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

Хариулт:векторууд нь коллинеар биш юм.

b-c) Эдгээр нь бие даасан шийдвэр гаргах цэгүүд юм. Үүнийг хоёр аргаар туршаад үзээрэй.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчоор орон зайн векторуудыг шалгах арга байдаг Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн.

Хавтгайн тохиолдлын нэгэн адил авч үзсэн хэрэгслийг орон зайн сегмент ба шулуун шугамын параллелизмыг судлахад ашиглаж болно.

Хоёр дахь хэсэгт тавтай морилно уу:

Гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Орон зайн суурь ба аффины координатын систем

Онгоцонд бидний судалж үзсэн олон хэв маяг нь сансар огторгуйд хүчинтэй байх болно. Мэдээллийн арслангийн хувийг аль хэдийн зажилсан тул би онолын тэмдэглэлийг багасгахыг хичээсэн. Гэхдээ шинэ нэр томьёо, ойлголт гарч ирэх тул оршил хэсгийг анхааралтай уншихыг зөвлөж байна.

Одоо бид компьютерийн ширээний хавтгайн оронд гурван хэмжээст орон зайг судалж байна. Эхлээд түүний суурийг бий болгоё. Одоо хэн нэгэн дотор, хэн нэгэн гадаа байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд бид өргөн, урт, өндөр гэсэн гурван хэмжээсээс зугтаж чадахгүй. Тиймээс суурийг бий болгохын тулд орон зайн гурван вектор шаардлагатай болно. Нэг эсвэл хоёр вектор хангалттай биш, дөрөв дэх нь илүүдэхгүй.

Мөн бид дахин хуруугаараа дулаацдаг. Гараа дээш өргөж, янз бүрийн чиглэлд тараана уу эрхий, долоовор, дунд хуруу. Эдгээр нь векторууд байх болно, тэд өөр өөр чиглэлд хардаг, тэд байна өөр өөр урттайба тэдгээрийн хооронд өөр өөр өнцөгтэй байна. Баяр хүргэе, гурван хэмжээст орон зайн суурь бэлэн боллоо! Энэ дашрамд хуруугаа хэчнээн мушгисан ч багш нарт үзүүлэх шаардлагагүй, гэхдээ тодорхойлолтоос мултрахгүй =)

Дараа нь нэг чухал асуулт асууя: дурын гурван вектор гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог уу? Компьютерийн ширээний дээд хэсэгт гурван хуруугаа чанга дарна уу. Юу болсон бэ? Гурван вектор нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд бид хэмжээсүүдийн нэг болох өндрийг алдсан байна. Ийм векторууд хавтгайГурван хэмжээст орон зайн суурь нь бүрдээгүй нь тодорхой юм.

Копланар векторууд нэг хавтгайд хэвтэх албагүй, зэрэгцээ хавтгайд байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (үүнийг зүгээр л хуруугаараа бүү хий, зөвхөн Сальвадор Дали л үүнийг хийсэн =)).

Тодорхойлолт: векторуудыг дуудна хавтгай, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ байрласан хавтгай байвал. Хэрэв ийм хавтгай байхгүй бол векторууд хоорондоо уялдаатай биш гэдгийг энд нэмэх нь логик юм.

Гурван coplanar вектор нь үргэлж шугаман хамааралтай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энгийн байхын тулд тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна гэж дахин төсөөлье. Нэгдүгээрт, векторууд нь зөвхөн хос хавтгай биш, мөн коллинеар байж болно, дараа нь дурын векторыг дурын вектороор илэрхийлж болно. Хоёрдахь тохиолдолд, жишээлбэл, векторууд нь коллинеар биш бол гурав дахь векторыг тэдгээрээр дамжуулан өвөрмөц байдлаар илэрхийлнэ. (мөн яагаад өмнөх хэсгийн материалаас таахад хялбар байдаг).

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм: гурван хосгүй вектор нь үргэлж шугаман бие даасан байдаг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь бие биенээ ямар ч байдлаар илэрхийлдэггүй. Гурван хэмжээст орон зайн үндэс суурийг зөвхөн ийм векторууд бүрдүүлж чадах нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Гурван хэмжээст орон зайн үндэсГурвалсан шугаман бие даасан (компланар бус) векторууд гэж нэрлэдэг, тодорхой дарааллаар авсан, мөн огторгуйн дурын вектор цорын ганц арга замөгөгдсөн үндсэн дээр задардаг бөгөөд энэ суурь дээрх векторын координатууд хаана байна

Векторыг хэлбэрээр илэрхийлсэн гэж хэлж болно гэдгийг сануулъя шугаман хослолсуурь векторууд.

Координатын системийн тухай ойлголтыг нэг цэгийн хувьд яг ижил аргаар нэвтрүүлсэн бөгөөд дурын гурван шугаман бие даасан вектор хангалттай.

гарал үүсэл, Мөн тэгш бусвекторууд, тодорхой дарааллаар авсан, тогтоосон гурван хэмжээст орон зайн аффин координатын систем :

Мэдээжийн хэрэг координатын сүлжээ нь "ташуу" бөгөөд тохиромжгүй боловч баригдсан координатын систем нь бидэнд үүнийг зөвшөөрдөг. гарцаагүйдурын векторын координат ба огторгуйн дурын цэгийн координатыг тодорхойлох. Хавтгайтай адил миний дурдсан зарим томьёо нь орон зайн координатын аффин системд ажиллахгүй.

Хүн бүрийн таамаглаж байгаагаар аффин координатын системийн хамгийн танил бөгөөд тохиромжтой онцгой тохиолдол нь юм тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем:

Орон зайн цэг гэж нэрлэдэг гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем . Танил зураг:

Практик даалгавар руу шилжихээсээ өмнө мэдээллийг дахин системчилье.

Гурван сансрын векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман бие даасан;
2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд хоорондоо уялдаатай биш;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлэх боломжгүй;
5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

Эсрэг заалтууд нь ойлгомжтой гэж бодож байна.

Сансрын векторуудын шугаман хамаарал/бие даасан байдлыг тодорхойлогч ашиглан шалгадаг (5-р цэг). Үлдсэн практик даалгавартод алгебрийн шинж чанартай байх болно. Геометрийн саваагаа өлгөж, шугаман алгебрийн бейсболын цохиурыг ашиглах цаг болжээ.

Орон зайн гурван векторӨгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л копланар байна: .

Техникийн жижиг нюансуудад анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна: векторуудын координатыг зөвхөн баганад төдийгүй мөрөнд бичиж болно (тодорхойлогчийн утга үүнээс өөрчлөгдөхгүй - тодорхойлогчдын шинж чанарыг харна уу). Гэхдээ энэ нь зарим практик асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү ашигтай тул баганад илүү сайн байдаг.

Тодорхойлогчдыг тооцоолох аргуудыг бага зэрэг мартсан эсвэл тэдгээрийн талаар огт ойлгодоггүй уншигчдад зориулж би хамгийн эртний хичээлүүдийн нэгийг санал болгож байна: Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Жишээ 6

Дараах векторууд гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл: Үнэн хэрэгтээ бүх шийдэл тодорхойлогчийг тооцоолоход л ирдэг.

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё (тодорхойлогчийг эхний мөрөнд харуулав):

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй (компланар биш) бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулах: эдгээр векторууд суурь болдог

б) Энэ бол бие даасан шийдвэр гаргах цэг юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Мөн бүтээлч ажлууд байдаг:

Жишээ 7

Параметрийн ямар утгад векторууд хоорондоо уялдаатай байх вэ?

Шийдэл: Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд векторууд хоорондоо уялдаатай байна:

Үндсэндээ та тодорхойлогчтой тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид онгоц дээрх цаасан шувуу шиг тэг дээр унадаг - хоёр дахь мөрөнд тодорхойлогчийг нээж, тэр даруй хасах зүйлсээс салах нь дээр.

Бид илүү хялбаршуулж, асуудлыг хамгийн энгийн болгож багасгадаг шугаман тэгшитгэл:

Хариулах: цагт

Үүнийг хийхийн тулд үүнийг шалгахад хялбар, та үр дүнгийн утгыг анхны тодорхойлогчоор орлуулах хэрэгтэй , дахин нээх.

Дүгнэж хэлэхэд бид илүү алгебрийн шинж чанартай, шугаман алгебрийн хичээлд уламжлалт байдлаар ордог өөр нэг ердийн бодлогыг авч үзэх болно. Энэ нь маш түгээмэл тул өөрийн гэсэн сэдэвтэй байх ёстой:

Гурван хэмжээст орон зайн суурь нь 3 вектор байдгийг батал
Үүний үндсэн дээр 4-р векторын координатыг ол

Жишээ 8

Векторууд өгөгдсөн. Гурван хэмжээст орон зайд векторууд суурь болж байгааг харуулж, энэ суурь дээрх векторын координатыг ол.

Шийдэл: Эхлээд нөхцөл байдлыг авч үзье. Нөхцөлөөр дөрвөн вектор өгөгдсөн бөгөөд таны харж байгаагаар тэдгээр нь аль хэдийн ямар нэгэн үндэслэлээр координаттай байдаг. Энэ үндэслэл нь юу вэ гэдэг нь бидний сонирхлыг татахгүй байна. Дараахь зүйл сонирхолтой байна: гурван вектор нь шинэ суурь болж магадгүй юм. Эхний үе шат нь 6-р жишээний шийдэлтэй бүрэн давхцаж байгаа тул векторууд үнэхээр шугаман бие даасан эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

! Чухал : вектор координат Заавалбичих багана болгонтодорхойлогч, утсанд биш. Үгүй бол цаашдын шийдлийн алгоритмд төөрөгдөл үүсэх болно.

Векторуудын шугаман хамаарал

Төрөл бүрийн асуудлыг шийдэхдээ дүрмээр бол нэг вектор биш, харин ижил хэмжээст векторуудын тодорхой багцтай харьцах ёстой. Ийм агрегатуудыг нэрлэдэг векторуудын системболон тэмдэглэнэ

Тодорхойлолт.Векторуудын шугаман хослолхэлбэрийн вектор гэж нэрлэдэг

бодит тоо хаана байна. Векторыг мөн вектороор шугаман илэрхийлдэг эсвэл эдгээр векторуудад задалдаг гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь: , , , гэсэн гурван вектор өгье. Тэдгээрийн 2, 3, 4 коэффициент бүхий шугаман хослол нь вектор юм

Тодорхойлолт.Векторуудын системийн бүх боломжит шугаман хослолуудын багцыг энэ системийн шугаман хүрээ гэнэ.

Тодорхойлолт.Тэг биш векторуудын системийг нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш тоонууд байгаа бол өгөгдсөн системийн шугаман хослол нь заасан тоонууд нь тэг вектортой тэнцүү байна:

Хэрэв өгөгдсөн векторын системийн сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн -ийн хувьд боломжтой бол энэ векторын системийг гэнэ шугаман бие даасан.

Жишээлбэл, хоёр векторын систем нь шугаман бие даасан; хоёр векторын систем ба шугаман хамааралтай, учир нь .

Векторуудын систем (19) шугаман хамааралтай байг. Коэффициент нь байгаа нийлбэр (20) гишүүнийг сонгоод үлдсэн нөхцлөөр илэрхийлье.

Энэ тэгшитгэлээс харахад шугаман хамааралтай системийн нэг вектор (19) нь энэ системийн бусад векторуудаар илэрхийлэгддэг (эсвэл түүний үлдсэн векторуудын хувьд өргөжсөн).

Шугаман хамааралтай вектор системийн шинж чанарууд

1. Тэг биш нэг вектороос бүрдэх систем нь шугаман бие даасан байна.

2. Тэг вектор агуулсан систем үргэлж шугаман хамааралтай байдаг.

3. Нэгээс олон вектор агуулсан систем нь түүний векторуудын дунд бусадтай нь шугаман илэрхийлэгдсэн ядаж нэг вектор байгаа тохиолдолд л шугаман хамааралтай болно.

Геометрийн утгаХавтгай дээрх хоёр хэмжээст векторуудын хувьд шугаман хамаарал: нэг вектор нөгөөгөөр илэрхийлэгдэх үед бид, i.e. Эдгээр векторууд нь зэрэгцээ шугамууд дээр байрласан коллинеар буюу ижил байна.

IN орон зайн тохиолдолгурван векторын шугаман хамаарал, тэдгээр нь нэг хавтгайд параллель байна, өөрөөр хэлбэл. хавтгай. Эдгээр векторуудын уртыг харгалзах хүчин зүйлээр нь "засах" нь хангалттай бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө хоёрын нийлбэр болох эсвэл тэдгээрээр илэрхийлэгдэх болно.

Теорем.Орон зайд вектор агуулсан аливаа систем -ээс шугаман хамааралтай байдаг.

Жишээ.Векторууд шугаман хамааралтай эсэхийг олж мэд.

Шийдэл. Вектор тэгшитгэлийг хийцгээе. Баганын вектор хэлбэрээр бичвэл бид авна

Тиймээс асуудлыг системийг шийдэх хүртэл багасгасан

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдье.

Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Энэ нь хязгааргүй олон шийдтэй бөгөөд тэдгээрийн дунд тэгээс өөр нэг байх нь гарцаагүй тул векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг.

Векторын алгебрийг судлахдаа шугаман хамаарал ба векторын системийн бие даасан байдлын тухай ойлголтууд нь маш чухал бөгөөд учир нь орон зайн хэмжээс ба суурь гэсэн ойлголтууд тэдгээрт суурилдаг. Энэ нийтлэлд бид тодорхойлолт өгч, шугаман хамаарал ба бие даасан байдлын шинж чанарыг авч үзэх, шугаман хамаарлын векторын системийг судлах алгоритмыг олж авах, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Векторын системийн шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлыг тодорхойлох.

p n хэмжээст векторуудын багцыг авч үзье, тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе. Эдгээр векторууд болон дурын тоонуудын шугаман хослолыг хийцгээе (бодит эсвэл нарийн төвөгтэй): . n хэмжээст вектор дээрх үйлдлүүдийн тодорхойлолт, мөн вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийн шинж чанарууд дээр үндэслэн бичсэн шугаман хослол нь зарим n хэмжээст векторыг илэрхийлдэг гэж үзэж болно. .

Векторын системийн шугаман хамаарлын тодорхойлолтод бид ингэж хандсан.

Тодорхойлолт.

Хэрэв шугаман хослол нь тэг векторыг илэрхийлж чадвал тоонуудын дунд байх болно дор хаяж нэг тэг биш байвал векторын системийг дуудна шугаман хамааралтай.

Тодорхойлолт.

Хэрэв шугаман хослол нь тэг вектор бол зөвхөн бүх тоо тэгтэй тэнцүү бол векторуудын системийг дуудна шугаман бие даасан.

Шугаман хамаарал ба бие даасан байдлын шинж чанарууд.

Эдгээр тодорхойлолтууд дээр үндэслэн бид томъёолж, нотолж байна векторын системийн шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын шинж чанарууд.

Хэрэв шугаман хамааралтай векторуудын системд хэд хэдэн векторыг нэмбэл үүссэн систем нь шугаман хамааралтай болно.

Баталгаа.

Векторын систем нь шугаман хамааралтай тул тоонуудаас дор хаяж нэг тэгээс өөр тоо байвал тэгш байдал боломжтой болно. . Let .

Анхны векторын системд s илүү вектор нэмье , мөн бид системийг олж авдаг. ба-аас хойш энэ системийн векторуудын шугаман хослол нь хэлбэртэй байна

тэг векторыг илэрхийлэх ба . Үүний үр дүнд үүссэн векторуудын систем нь шугаман хамааралтай байна.

Хэрэв шугаман бие даасан векторын системээс хэд хэдэн векторыг хасвал үүссэн систем нь шугаман бие даасан байх болно.

Баталгаа.

Үүссэн систем нь шугаман хамааралтай гэж үзье. Энэ векторын системд хаягдсан бүх векторуудыг нэмснээр бид анхны векторын системийг олж авна. Нөхцөлөөр энэ нь шугаман хамааралгүй боловч шугаман хамаарлын өмнөх шинж чанараас шалтгаалан шугаман хамааралтай байх ёстой. Бид зөрчилд хүрсэн тул бидний таамаг буруу байна.

Хэрэв векторуудын систем дор хаяж нэг тэг вектортой бол ийм систем нь шугаман хамааралтай болно.

Баталгаа.

Энэ векторын системийн векторыг тэг болгоё. Анхны векторын систем нь шугаман бие даасан байна гэж үзье. Тэгвэл векторын тэгш байдал нь зөвхөн . Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид тэгээс ялгаатай аль нэгийг авбал тэгш байдал нь үнэн хэвээр байх болно, учир нь . Тиймээс бидний таамаглал буруу бөгөөд анхны векторын систем нь шугаман хамааралтай байна.

Хэрэв векторын систем шугаман хамааралтай бол түүний нэг вектор нь бусадтай нь шугаман байдлаар илэрхийлэгдэнэ. Хэрэв векторын систем нь шугаман бие даасан байвал векторуудын аль нь ч нөгөөгөөр илэрхийлэгдэх боломжгүй.

Баталгаа.

Эхлээд эхний мэдэгдлийг баталъя.

Векторын систем нь шугаман хамааралтай байя, тэгвэл дор хаяж нэг тэгээс өөр тоо байх ба тэгш байдал нь үнэн болно. Энэ тэгш байдлыг харгалзан шийдэж болно, учир нь энэ тохиолдолд бид байна

Үүний үр дүнд вектор нь системийн үлдсэн векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.

Одоо хоёр дахь мэдэгдлийг баталъя.

Векторын систем нь шугаман хамааралгүй тул тэгш байдал нь зөвхөн .

Системийн зарим векторыг бусдынх нь хувьд шугаман байдлаар илэрхийлнэ гэж бодъё. Тэгвэл энэ вектор байг. Энэ тэгш байдлыг дахин бичиж болно, түүний зүүн талд системийн векторуудын шугаман хослол байгаа бөгөөд векторын урд талын коэффициент нь тэгээс ялгаатай бөгөөд энэ нь анхны векторын системийн шугаман хамаарлыг харуулж байна. Ингээд бид үл хөдлөх хөрөнгө нь нотлогдсон гэсэн үг.

Сүүлийн хоёр шинж чанараас чухал мэдэгдэл гарч байна:
хэрэв векторуудын систем нь векторуудыг агуулж байгаа бөгөөд энд дурын тоо бол шугаман хамааралтай байна.

Шугаман хамаарлын векторуудын системийн судалгаа.

Асуудал тавъя: векторын системийн шугаман хамаарал эсвэл шугаман бие даасан байдлыг тогтоох хэрэгтэй.

Логик асуулт бол: "Үүнийг хэрхэн шийдэх вэ?"

Дээр дурдсан векторуудын системийн шугаман хамаарал, бие даасан байдлын тодорхойлолт, шинж чанаруудаас практик талаас нь авч үзэхэд хэрэгтэй зүйлийг мэдэж болно. Эдгээр тодорхойлолт, шинж чанарууд нь векторын системийн шугаман хамаарлыг тогтоох боломжийг олгодог дараах тохиолдлууд:

Ихэнх тохиолдолд бусад тохиолдолд яах вэ?

Үүнийг олж мэдье.

Өгүүлэлд танилцуулсан матрицын зэрэглэлийн теоремын томъёололыг эргэн санацгаая.

Теорем.

Болъё r – p эрэмбийн А матрицын зэрэглэл n, . M нь А матрицын суурь минор байг. Суурь минор M үүсэхэд оролцдоггүй А матрицын бүх мөрүүд (бүх багана) үндсэн минор М-ийг үүсгэгч матрицын мөрүүдээр (баганууд) шугаман байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Одоо матрицын зэрэглэлийн теорем ба шугаман хамаарлын векторын системийг судлах хоорондын холбоог тайлбарлая.

Судалж буй системийн векторууд болох мөрүүд нь А матрицыг зохиоё.

Векторын системийн шугаман бие даасан байдал нь юу гэсэн үг вэ?

Векторуудын системийн шугаман бие даасан байдлын дөрөв дэх шинж чанараас харахад системийн векторуудын аль нь ч бусдаараа илэрхийлэгдэх боломжгүй гэдгийг бид мэднэ. Өөрөөр хэлбэл, А матрицын ямар ч мөрийг бусад мөрүүдийн хувьд шугаман байдлаар илэрхийлэхгүй. векторын системийн шугаман бие даасан байдал нь Rank(A)=p нөхцөлтэй тэнцүү байх болно..

Векторын системийн шугаман хамаарал нь юу гэсэн үг вэ?

Бүх зүйл маш энгийн: А матрицын ядаж нэг мөр нь бусадтай нь шугаман байдлаар илэрхийлэгдэх болно. векторын системийн шугаман хамаарал нь Rank(A) нөхцөлтэй тэнцүү байх болно.

.

Тиймээс шугаман хамаарлын векторын системийг судлах асуудлыг энэ системийн векторуудаас бүрдэх матрицын зэрэглэлийг олох асуудал болгон бууруулж байна.

p>n хувьд векторын систем нь шугаман хамааралтай байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Сэтгэгдэл: А матрицыг эмхэтгэхдээ системийн векторуудыг мөр биш харин багана болгон авч болно.

Шугаман хамаарлын векторын системийг судлах алгоритм.

Жишээ ашиглан алгоритмыг харцгаая.

Шугаман хамаарлын векторын системийг судлах жишээ.

Жишээ.

Векторуудын системийг өгөв. Шугаман хамаарлыг шалгана уу.

Шийдэл.

в вектор в тэг учраас векторуудын анхны систем нь гурав дахь шинж чанараас шалтгаалан шугаман хамааралтай байна.

Хариулт:

Вектор систем нь шугаман хамааралтай.

Жишээ.

Шугаман хамаарлын векторуудын системийг шалгана уу.

Шийдэл.

в векторын координатууд нь векторын харгалзах координатыг 3-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байгааг анзаарахад хэцүү биш, өөрөөр хэлбэл . Тиймээс анхны векторын систем нь шугаман хамааралтай байдаг.