1. Цилиндр координатууд нь xy хавтгай дахь туйлын координатыг ердийн декарт z програмтай холбохыг илэрхийлдэг (Зураг 3).

M(x, y, z) нь xyz огторгуйн дурын цэг, P нь M цэгийн xy хавтгай дээрх проекц. M цэг нь гурвалсан тоогоор тодорхойлогддог - P цэгийн туйлын координат, z - М цэгийн хэрэглээ. Тэдгээрийг декарттай холбосон томьёо нь хэлбэртэй байна.

Якобын газрын зураг (8)

Жишээ 2.

Интегралыг тооцоолох

Энд T нь гадаргуугаар хязгаарлагдах талбай юм

Шийдэл. (9) томъёог ашиглан интегралыг бөмбөрцөг координат руу шилжүүлье. Дараа нь интеграцийн талбарыг тэгш бус байдлаар тодорхойлж болно

Энэ нь гэсэн үг

Жишээ 3Хязгаарлагдмал биеийн эзэлхүүнийг ол:

x 2 +y 2 +z 2 =8,

Бидэнд: x 2 +y 2 +z 2 =8 - O(000) цэгт төвтэй R= v8 радиустай бөмбөрцөг,

Конусын дээд хэсэг z 2 =x 2 +y 2 тэгш хэмийн Oz тэнхлэг ба орой нь О цэгт (Зураг 2.20).

Бөмбөрцөг ба конусын огтлолцлын шугамыг олъё.

Тэгээд z нөхцөлийн дагуу? 0, тэгвэл

R=2 тойрог z=2 хавтгайд хэвтэж байна.

Тиймээс (2.28) дагуу.

Дээрээс нь U бүстэй хиллэдэг

(бөмбөрцгийн хэсэг),

(конусын хэсэг);

U бүсийг Oxy хавтгайд D муж руу - 2 радиустай тойрог руу тусгав.

Тиймээс (2.36) томъёог ашиглан гурвалсан интеграл дахь цилиндр координат руу шилжихийг зөвлөж байна.

q, r-ийн өөрчлөлтийн хязгаарууд нь төв нь О цэгтэй байх ёстой D v , r 2? Тиймээс цилиндр координат дахь U бүсийг дараахь тэгш бус байдлаар өгөгдөнө.

Үүнийг анхаарна уу

Гурвалсан интеграл. Биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох.
Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Нас барсан хүн Пифагорын өмд өмсөж гурван өдрийн турш деканы өрөөнд хэвтэв.
Фихтенхольцын гарт түүнийг энэ ертөнцөөс авчирсан боть байсан.
Гурвалсан интегралыг хөлөндөө уяж, цогцсыг матрицаар ороож,
Залбирахын оронд зарим нэг увайгүй хүн Бернуллигийн теоремыг уншив.

Гурвалсан интеграл бол айх хэрэггүй зүйл юм =) Учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол та сайн ойлгосон байх магадлалтай. "энгийн" интегралын онол практик, мөн түүнчлэн давхар интеграл. Давхар байгаа газар ойролцоо гурвалсан байна:

Тэгээд үнэхээр айх зүйл юу байна? Интеграл нь бага, интеграл нь илүү....

Бичлэгийг харцгаая:

- гурвалсан интеграл дүрс;
- интеграл гурван хувьсагчийн функц;
– дифференциалын бүтээгдэхүүн.
- интеграцийн бүс.

Ялангуяа анхаарлаа хандуулцгаая интеграцийн талбарууд. Хэрэв орвол давхар интегралилэрхийлдэг хавтгай дүрс, дараа нь энд - орон зайн бие, энэ нь мэдэгдэж байгаагаар багцаар хязгаарлагддаг гадаргуу. Тиймээс, дээрхээс гадна та навигаци хийх ёстой орон зайн үндсэн гадаргуумөн энгийн гурван хэмжээст зураг зурах чадвартай байх.

Зарим нь сэтгэлээр унасан, би ойлгож байна ... Харамсалтай нь, нийтлэлийг "даммигийн гурвалсан интеграл" гэж нэрлэх боломжгүй бөгөөд таны мэдэх/хийх боломжтой зарим зүйл бий. Гэхдээ зүгээр - бүх материалыг маш хүртээмжтэй хэлбэрээр танилцуулж, хамгийн богино хугацаанд эзэмших боломжтой!

Гурвалсан интегралыг тооцоолох нь юу гэсэн үг вэ, тэгш хэм гэж юу вэ?

Гурвалсан интегралыг тооцоолохын тулд ДУГААР олох:

Хамгийн энгийн тохиолдолд, хэзээ гурвалсан интеграл нь биеийн эзэлхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна. Тэгээд үнэхээр, дагуу интеграцийн ерөнхий утга, бүтээгдэхүүн тэнцүү байна хязгааргүй жижигбиеийн энгийн "тоосго" -ын эзэлхүүн. Гурвалсан интеграл нь зүгээр юм нэгтгэдэг энэ бүгд хязгааргүй жижиг хэсгүүдталбайн дээгүүр, үүний үр дүнд биеийн эзэлхүүний салшгүй (нийт) утга: .

Үүнээс гадна гурвалсан интеграл чухал ач холбогдолтой физик програмууд. Гэхдээ энэ талаар дараа нь - хичээлийн 2-р хэсэгт зориулагдсан болно дурын гурвалсан интегралын тооцоо, ерөнхий тохиолдолд функц нь тогтмолоос өөр бөгөөд тухайн бүсэд тасралтгүй байна. Энэ нийтлэлд бид эзлэхүүнийг олох асуудлыг нарийвчлан авч үзэх болно, энэ нь миний бодлоор субъектив үнэлгээ 6-7 дахин их тохиолддог.

Гурвалсан интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулт нь өмнөх догол мөрөөс логикийн дагуу гардаг. Тодорхойлох хэрэгтэй биеийг эргүүлэх дараалалболон очих давтагдсан интегралууд. Дараа нь гурван дан интегралыг дараалан авч үзнэ.

Таны харж байгаагаар гал тогооны өрөө бүхэлдээ маш их санагдуулдаг давхар интеграл, ялгаа нь одоо бид нэмэлт хэмжээс (ойролцоогоор өндөр) нэмсэн. Магадгүй та нарын олонхи нь гурвалсан интеграл хэрхэн шийдэгддэгийг аль хэдийн таасан байх.

Үлдсэн эргэлзээг арилгацгаая:

Жишээ 1

Цаасан дээр баганад бичнэ үү:

Тэгээд дараах асуултуудад хариулна уу. Эдгээр тэгшитгэлийг аль гадаргуу тодорхойлдог гэдгийг та мэдэх үү? Та эдгээр тэгшитгэлийн албан бус утгыг ойлгож байна уу? Эдгээр гадаргуу нь сансар огторгуйд хэрхэн байрлаж байгааг та төсөөлж байна уу?

Хэрэв та "тийм" гэхээсээ илүүтэй ерөнхий хариултыг авах хандлагатай байгаа бол хичээлээ сайтар нягталж үзээрэй, эс тэгвээс та ахиц дэвшил гаргахгүй!

Шийдэл: бид томъёог ашигладаг.

Үүнийг олж мэдэхийн тулд биеийг эргүүлэх дараалалболон очих давтагдсан интегралуудЭнэ нь ямар төрлийн бие болохыг ойлгохын тулд танд хэрэгтэй (ухаалаг бүх зүйл энгийн). Ихэнх тохиолдолд зураг нь ийм ойлголтод ихээхэн хувь нэмэр оруулдаг.

Нөхцөлөөр бие нь хэд хэдэн гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Хаанаас барьж эхлэх вэ? Би дараах процедурыг санал болгож байна.

Эхлээд дүрсэлье зэрэгцээ ортогональбиеийн координатын хавтгай дээрх проекц. Энэ проекцийг юу гэж нэрлэхийг анх удаа хэлж байсан хэхэ =)

Төсөл нь тэнхлэгийн дагуу хийгддэг тул юуны түрүүнд үүнийг шийдвэрлэхийг зөвлөж байна гадаргуу, энэ тэнхлэгтэй параллель байна. Ийм гадаргуугийн тэгшитгэлийг танд сануулъя "z" үсэг агуулаагүй. Эдгээрээс гурван асуудал хэлэлцэж байна.

– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг зааж өгсөн;
– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг зааж өгсөн;
- тэгшитгэлийн багц онгоц "хавтгай" шулуун шугамтэнхлэгтэй параллель.

Хүссэн төсөөлөл нь дараах гурвалжин байх магадлалтай.

Магадгүй хүн бүр бидний юу ярьж байгааг бүрэн ойлгоогүй байх. Хяналтын дэлгэцээс тэнхлэг гарч ирээд хамрын гүүрэнд шууд наалддаг гэж төсөөлөөд үз дээ ( тэдгээр. Та дээрээс 3 хэмжээст зургийг харж байгаа нь харагдаж байна). Судалгаанд хамрагдаж буй орон зайн бие нь эцэс төгсгөлгүй гурвалсан "корридор" -д байрладаг бөгөөд түүний хавтгай дээрх проекц нь сүүдэртэй гурвалжинг дүрсэлсэн байх магадлалтай.

Бидний илэрхийлсэн зүйлд онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байна зүгээр л проекцын таамаглал"хамгийн их магадлалтай" ба "хамгийн их магадлалтай" гэсэн заалтууд санамсаргүй биш байсан. Баримт нь бүх гадаргууг хараахан шинжилж амжаагүй байгаа бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь гурвалжингийн хэсгийг "хавчих" байж магадгүй юм. Үүнийг тод жишээ болгон харуулж байна бөмбөрцөгнэгээс бага радиусын эхэнд төвтэй, жишээлбэл, бөмбөрцөг - түүний хавтгай дээрх проекц (тойрог ) сүүдэртэй хэсгийг бүрэн "хамрахгүй" бөгөөд биеийн эцсийн төсөөлөл нь огт гурвалжин биш байх болно. (тойрог нь түүний хурц булангуудыг "таслах" болно).

Хоёр дахь шатанд бид биеийг дээрээс болон доороос хэрхэн хязгаарлаж байгааг олж мэдээд орон зайн зураглалыг хийдэг. Асуудлын мэдэгдэл рүү буцаж, ямар гадаргуу үлдсэнийг харцгаая. Тэгшитгэл нь координатын хавтгайг өөрөө, тэгшитгэл нь - параболик цилиндр, байрладаг дууссанхавтгай ба тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх. Тиймээс биеийн төсөөлөл нь үнэхээр гурвалжин юм.

Дашрамд хэлэхэд би эндээс олсон илүүдэлнөхцөл - абсцисса тэнхлэгт хүрсэн гадаргуу нь биеийг аль хэдийн хаадаг тул онгоцны тэгшитгэлийг оруулах шаардлагагүй байв. Энэ тохиолдолд бид шууд проекцийг зурах боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм - гурвалжин нь тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа л "зурах" болно.

Параболик цилиндрийн хэсгийг сайтар дүрсэлцгээе.

Зургийг дуусгасны дараа биеийг тойрон алхах дараалаласуудалгүй!

Нэгдүгээрт, бид проекцыг туулах дарааллыг тодорхойлно (үүнтэй зэрэгцэн хоёр хэмжээст зураг ашиглан жолоодоход илүү тохь тухтай байдаг).Энэ нь дууссан ЯГ ТЭГЭЭД БАЙНА, шиг давхар интеграл! Лазер заагч болон хавтгай талбайг сканнердах талаар бод. "Уламжлалт" 1-р тойрч гарах аргыг сонгоцгооё.

Дараа нь бид шидэт дэнлүү авч, гурван хэмжээст зургийг харна уу хатуу доороос дээшБид өвчтөнийг гэрэлтүүлдэг. Цацрагууд биенд онгоцоор орж, гадаргуугаар дамжин гардаг. Тиймээс биеийг туулах дараалал нь:

Давтагдсан интеграл руу шилжье:

1) Та "zeta" интегралаас эхлэх хэрэгтэй. Бид ашигладаг Ньютон-Лейбницийн томъёо:

Үр дүнг "тоглоомын" интеграл болгон орлъё:

Юу болсон бэ? Үндсэндээ уусмалыг давхар интеграл болгон, яг нарийн томъёогоор буулгасан цилиндр цацрагийн эзэлхүүн! Дараах нь танил юм:

2)

3-р интегралыг шийдвэрлэх оновчтой техникийг анхаарч үзээрэй.

Хариулт:

Тооцооллыг үргэлж "нэг мөрөнд" бичиж болно:


Гэхдээ энэ аргыг болгоомжтой байгаарай - хурдыг нэмэгдүүлэх нь чанараа алдахад хүргэдэг бөгөөд жишээ нь илүү төвөгтэй байх тусам алдаа гаргах магадлал өндөр болно.

Нэг чухал асуултанд хариулъя:

Даалгаврын нөхцөл нь тэдгээрийг хэрэгжүүлэхийг шаарддаггүй бол зураг зурах шаардлагатай юу?

Та дөрвөн замаар явж болно:

1) Проекц болон биеийг өөрөө зур. Энэ бол хамгийн ашигтай сонголт юм - хэрэв танд хоёр зохистой зураг зурах боломж байгаа бол залхуу байх хэрэггүй, хоёр зургийг хоёуланг нь хий. Би эхлээд зөвлөж байна.

2) Зөвхөн их биеийг зур. Биеийн энгийн бөгөөд тодорхой төсөөлөлтэй үед тохиромжтой. Жишээлбэл, задалсан жишээнд гурван хэмжээст зураг хангалттай байх болно. Гэсэн хэдий ч, бас хасах зүйл бий - 3D зургаас проекцийг давах дарааллыг тодорхойлох нь тохиромжгүй бөгөөд би энэ аргыг зөвхөн сайн түвшний сургалттай хүмүүст зөвлөж байна.

3) Зөвхөн төсөөллийг зур. Энэ нь бас муу биш, гэхдээ дараа нь нэмэлт бичмэл тайлбар шаардлагатай бөгөөд энэ нь талбайг янз бүрийн талаас нь хязгаарладаг. Харамсалтай нь, гурав дахь сонголт нь ихэвчлэн албадан байдаг - бие нь хэтэрхий том эсвэл түүний бүтэц нь бусад бэрхшээлтэй тулгардаг. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

4) Огт зураг зурахгүйгээр хий. Энэ тохиолдолд та биеийг оюун ухаанаар төсөөлж, түүний хэлбэр/байршлын талаар бичгээр тайлбар өгөх хэрэгтэй. Маш энгийн биетүүд эсвэл хоёр зургийг гүйцэтгэхэд хэцүү ажил хийхэд тохиромжтой. Гэхдээ "нүцгэн" шийдлээс татгалзаж магадгүй тул ядаж бүдүүвч зураг зурах нь дээр.

Дараах байгууллага нь бие даасан ажилд зориулагдсан болно.

Жишээ 2

Гурвалсан интеграл ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол

IN энэ тохиолдолдИнтеграцийн талбарыг үндсэндээ тэгш бус байдлаар тодорхойлдог бөгөөд энэ нь бүр илүү сайн - маш олон тэгш бус байдал юм. координатын хавтгай ба тэгш бус байдлыг багтаасан 1-р октантыг тодорхойлно. хагас орон зай, гарал үүслийг агуулсан (шалгах)+ онгоц өөрөө. "Босоо" хавтгай нь параболоидыг параболын дагуу огтолж, зураг дээр энэ хэсгийг бүтээхийг зөвлөж байна. Үүнийг хийхийн тулд та нэмэлт лавлах цэгийг олох хэрэгтэй, хамгийн хялбар арга бол параболын орой юм. (бид утгыг авч үздэг болон харгалзах "zet" -ийг тооцоолно).

Үргэлжлүүлэн халаацгаая:

Жишээ 3

Гурвалсан интегралыг ашиглан заасан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл: "Зураг зурах" гэсэн үг нь бидэнд тодорхой эрх чөлөөг өгдөг боловч орон зайн зургийг гүйцэтгэхийг илтгэдэг. Гэсэн хэдий ч төсөөлөл нь бас гэмтэхгүй, ялангуяа энд хамгийн энгийн зүйл биш юм.

Бид өмнө нь батлагдсан тактикуудыг баримталдаг - эхлээд шийдвэрлэх болно гадаргуу, тэдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгтэй параллель байна. Ийм гадаргуугийн тэгшитгэл нь "z" хувьсагчийг тодорхой агуулаагүй болно.

– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг тодорхойлно ( хавтгайд "нэртэй" тэгшитгэлээр тодорхойлогддог);
- тэгшитгэлийн багц онгоц, "нэртэй" дамжин өнгөрөх "хавтгай" шулуун шугамтэнхлэгтэй параллель.

Хүссэн бие нь доорх хавтгайгаар хязгаарлагддаг ба параболик цилиндрдээр:

Биеийг тойрон гарах дарааллыг бий болгоё, харин "X" ба "Y" интеграцийн хязгаарыг хоёр хэмжээст зураг ашиглан олж мэдэх нь илүү тохиромжтой гэдгийг би танд сануулж байна.

Тиймээс:

1)

"y" дээр интеграл хийхдээ "x" нь тогтмол гэж тооцогддог тул интеграл тэмдэгээс тогтмолыг нэн даруй хасах нь зүйтэй.

3)

Хариулт:

Тийм ээ, би бараг мартсан, ихэнх тохиолдолд гурван хэмжээст зургаар олж авсан үр дүнг шалгах нь бага зэрэг ашиг тустай (тэр ч байтугай хортой) магадлал өндөр байдаг. эзлэхүүний хуурмаг, энэ тухай миний хичээл дээр ярьсан Биеийн эргэлтийн хэмжээ. Тиймээс, авч үзсэн асуудлын үндсэн хэсгийг дүгнэж үзэхэд 4-өөс илүү "шоо" байгаа юм шиг надад санагдсан.

Дараах жишээ нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 4

Гурвалсан интеграл ашиглан заасан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. Энэ биеийн зураг, түүний проекцийг хавтгайд хий.

Хичээлийн төгсгөлд хийх даалгаврын ойролцоо жишээ.

Гурван хэмжээст зургийг гүйцэтгэхэд хэцүү байх нь ховор тохиолддог.

Жишээ 5

Гурвалсан интеграл ашиглан биеийн хязгаарлагдмал гадаргуугаар өгөгдсөн эзэлхүүнийг ол

Шийдэл: энд төсөөлөл нь төвөгтэй биш, гэхдээ та үүнийг туулах дарааллын талаар бодох хэрэгтэй. Хэрэв та 1-р аргыг сонговол зургийг 2 хэсэгт хуваах шаардлагатай бөгөөд энэ нь нийлбэрийг тооцоход ноцтой аюул учруулж байна. хоёргурвалсан интеграл. Үүнтэй холбогдуулан 2-р зам нь илүү ирээдүйтэй харагдаж байна. Энэ биеийн төсөөллийг зурган дээр илэрхийлж, дүрсэлцгээе.

Зарим зургуудын чанарт хүлцэл өчье, би шууд өөрийнхөө гар бичмэлээс хайчилж авлаа.

Бид зургийг давах илүү ашигтай дарааллыг сонгодог.

Одоо энэ нь бие махбодоос хамаарна. Доод талаас нь хавтгайгаар, дээрээс нь ординатын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онгоцоор хязгаарлагддаг. Тэгээд бүх зүйл сайхан байх байсан, гэхдээ сүүлчийн онгоц хэт эгц, талбайг барих нь тийм ч амар биш юм. Энд сонголт хийх нь эргэлзээгүй юм: үнэт эдлэлийн аль нэг нь жижиг хэмжээтэй (бие нь нэлээд туранхай) эсвэл 20 см өндөртэй зураг (тэр ч байтугай тохирох бол).

Гэхдээ асуудлыг шийдэх гуравдахь, уугуул орос арга байдаг - оноо авах =) Гурван хэмжээст зургийн оронд аман тайлбарыг хий: "Энэ бие нь цилиндрээр хязгаарлагддаг. мөн хажуугаас нь онгоц, доороос нь онгоц, дээрээс нь онгоц."

Интеграцийн "босоо" хязгаар нь мэдээжийн хэрэг:

Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж, проекцийг бага түгээмэл аргаар тойрч гарсныг мартаж болохгүй.

1)

Хариулт:

Таны анзаарсанчлан зуун доллараас илүү үнэтэй асуудалд санал болгож буй байгууллагууд ихэвчлэн доорх онгоцоор хязгаарлагддаг. Гэхдээ энэ бол дүрэм биш, тиймээс та үргэлж сэрэмжтэй байх хэрэгтэй - та бие нь байрладаг ажилтай тулгарч магадгүй юм. доорхавтгай Жишээлбэл, хэрэв дүн шинжилгээ хийж буй асуудалд бид хавтгайг авч үзэх юм бол судалж буй биеийг доод хагас орон зайд тэгш хэмтэйгээр буулгаж, доороос нь хавтгайгаар, дээрээс нь хавтгайгаар хязгаарлагдах болно!

Та ижил үр дүнд хүрч байгааг харахад амархан:

(биеийг тойрч гарах хэрэгтэй гэдгийг санаарай хатуу доороос дээш!)

Нэмж дурдахад, "дуртай" онгоцыг огт ашиглахгүй байж магадгүй юм: хамгийн энгийн жишээ: онгоцны дээгүүр байрлах бөмбөг - түүний эзэлхүүнийг тооцоолоход тэгшитгэл огт хэрэггүй болно.

Бид эдгээр бүх тохиолдлыг авч үзэх болно, гэхдээ одоогоор танд бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар байна.

Жишээ 6

Гурвалсан интегралыг ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хоёрдахь догол мөр рүү ижил алдартай материалаар шилжье:

Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Цилиндр координатууд нь үндсэндээ туйлын координатсансарт.
IN цилиндр системкоординатууд, орон зай дахь цэгийн байрлалыг тухайн цэгийн туйлын координатууд - цэгийн хавтгай дээрх проекц ба тухайн цэгийн хэрэглээгээр тодорхойлно.

Гурван хэмжээст декартын системээс цилиндр координатын системд шилжих ажлыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.

Бидний сэдэвтэй холбоотойгоор өөрчлөлт нь дараах байдалтай байна.

Үүний дагуу бид энэ нийтлэлд авч үзэх хялбаршуулсан тохиолдолд:

Хамгийн гол нь нэмэлт "er" үржүүлэгчийн талаар мартаж, зөв ​​байрлуулах явдал юм интеграцийн туйлын хязгаарпроекцийг туулахдаа:

Жишээ 7

Шийдэл: бид ижил журмыг баримталдаг: юуны түрүүнд "z" хувьсагч байхгүй тэгшитгэлийг авч үздэг. Энд ганц л байна. Төсөл цилиндр гадаргууонгоцон дээр "нэртэй" -ийг төлөөлдөг тойрог .

Онгоц тэдгээр нь хүссэн биеийг доороос болон дээрээс нь хязгаарлаж ("цилиндрээс хайчилж") тойрог хэлбэрээр хийнэ.

Дараагийнх нь гурван хэмжээст зураг юм. Гол бэрхшээл нь цилиндрийг "ташуу" өнцгөөр огтолж буй хавтгайг бүтээхэд оршдог. эллипс. Энэ хэсгийг аналитик байдлаар тодруулцгаая: үүнийг хийхийн тулд бид хавтгайн тэгшитгэлийг дахин бичнэ. функциональ хэлбэр проекцын хил дээр байрлах тодорхой цэгүүдэд функцийн утгыг ("өндөр") тооцоол.

Бид зураг дээр олсон цэгүүдийг анхааралтай тэмдэглэж авдаг (над шиг биш =))тэдгээрийг шугамаар холбоно:

Биеийн хавтгай дээрх проекц нь тойрог бөгөөд энэ нь цилиндр хэлбэртэй координатын систем рүү шилжих хүчтэй аргумент юм.

Цилиндр координат дахь гадаргуугийн тэгшитгэлийг олцгооё.

Одоо та биеийг давах дарааллыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Эхлээд проекцийг авч үзье. Түүний шилжих дарааллыг хэрхэн тодорхойлох вэ? ЯГТАЙ БАЙНА туйлын координат дахь давхар интегралыг тооцоолох. Энд анхан шатны байна:

Интеграцийн "босоо" хязгаарууд нь бас тодорхой байдаг - бид биеийг онгоцоор дамжуулж, онгоцоор дамжуулдаг.

Давтагдсан интеграл руу шилжье:

Энэ тохиолдолд бид нэн даруй "er" гэсэн хүчин зүйлийг "манай" интегралд оруулна.

Ердийнх шиг шүүр нь мөчрийн дагуу эвдэхэд хялбар байдаг.

1)

Бид үр дүнг дараах интегралд оруулав.

Энд бид "фи" -ийг тогтмол гэж үздэгийг мартаж болохгүй. Гэхдээ энэ нь одоогоор:

Хариулт:

Таны бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 8

Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг гурвалсан интеграл ашиглан тооцоол. Энэ биеийн зураг, түүний проекцийг хавтгай дээр зур.

Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Асуудлын нөхцөлд цилиндр координатын системд шилжих талаар нэг ч үг хэлээгүй бөгөөд мэдлэггүй хүн хэцүү интегралуудтай тулалдах болно гэдгийг анхаарна уу. Декарт координатууд. ...Эсвэл болохгүй ч байж магадгүй - эцэст нь асуудлыг шийдэх гуравдахь, анхны орос арга байдаг =)

Бүх зүйл дөнгөж эхэлж байна! ...сайнаар : =)

Жишээ 9

Гурвалсан интегралыг ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Даруухан, амттай.

Шийдэл: энэ бие хязгаарлагдмал конус гадаргууТэгээд эллипс параболоид. Нийтлэлийн материалыг анхааралтай уншсан уншигчид Орон зайн үндсэн гадаргуу, бие нь ямар харагдахыг аль хэдийн төсөөлж байсан, гэхдээ практик дээр илүү төвөгтэй тохиолдлууд ихэвчлэн байдаг тул би нарийвчилсан аналитик үндэслэлийг хийх болно.

Эхлээд бид гадаргуугийн огтлолцох шугамуудыг олдог. Дараах системийг зохиож шийдье.

1-р тэгшитгэлээс бид хоёр дахь гишүүнийг гишүүнээр хасна.

Үр дүн нь хоёр үндэс юм:

Олсон утгыг системийн дурын тэгшитгэлд орлъё.
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг
Тиймээс үндэс нь нэг цэгтэй тохирч байна - гарал үүсэл. Мэдээжийн хэрэг, авч үзэж буй гадаргуугийн оройнууд давхцдаг.

Одоо хоёр дахь язгуурыг системийн аль ч тэгшитгэлд орлъё:

Хүлээн авсан үр дүнгийн геометрийн утга нь юу вэ? "Өндөрт" (хавтгайд) параболоид ба конус нь огтлолцдог тойрог– цэг дээр төвтэй нэгж радиус .

Энэ тохиолдолд параболоидын "аяга" нь конусын "юүлүүр" -ийг агуулна. бүрдүүлэхКонус хэлбэрийн гадаргууг тасархай шугамаар зурах хэрэгтэй (энэ өнцгөөс харахад биднээс хамгийн алслагдсан генераторын сегментээс бусад):

Биеийн хавтгай дээрх проекц нь тойрог 1-р радиусын гарал үүслийн төвтэй, энэ нь тодорхой учраас би дүрслэхээс ч санаа зовсонгүй. (гэхдээ бид бичгээр тайлбар өгөх болно!). Дашрамд дурдахад, өмнөх хоёр бодлогод хэрэв нөхцөл болоогүй бол проекцын зургийг бас оноож болно.

Стандарт томьёо ашиглан цилиндр координат руу шилжихдээ тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн хэлбэрээр бичдэг бөгөөд проекцийг давах дараалалд асуудал гардаггүй.

Цилиндр координатын систем дэх гадаргуугийн тэгшитгэлийг олцгооё.

Асуудал нь конусын дээд хэсгийг авч үздэг тул бид тэгшитгэлээс илэрхийлнэ.

"Бид биеийг сканнердаж" доороос дээш. Гэрлийн туяа түүгээр нэвтэрдэг эллипс параболоидба конус гадаргуугаар дамжин гарах. Тиймээс биеийг туулах "босоо" дараалал нь:

Үлдсэн нь техникийн асуудал юм:

Хариулт:

Биеийг хязгаарлагдмал гадаргуугаар нь биш, харин олон тэгш бус байдлаар тодорхойлох нь ердийн зүйл биш юм.

Жишээ 10

Геометрийн утгаБи ижил лавлах нийтлэлд орон зайн тэгш бус байдлын талаар хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Орон зайн үндсэн гадаргуу ба тэдгээрийн бүтэц.

Хэдийгээр энэ даалгавар нь параметрийг агуулсан боловч биеийн үндсэн дүр төрхийг харуулсан яг зургийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог. Хэрхэн барихаа бодоорой. Богино шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

...за, дахиад хэдэн даалгавар? Би хичээлээ дуусгая гэж бодож байсан ч чамайг илүү ихийг хүсч байх шиг байна =)

Жишээ 11

Гурвалсан интеграл ашиглан өгөгдсөн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.
, энд дурын эерэг тоо байна.

Шийдэл: тэгш бус байдал радиусын эхэнд төвтэй бөмбөг ба тэгш бус байдлыг тодорхойлно – радиусын тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий дугуй цилиндрийн “дотор” . Тиймээс хүссэн бие нь хажуугийн дугуй цилиндрээр хязгаарлагдаж, дээд ба доод хэсэгт хавтгайтай харьцангуй тэгш хэмтэй бөмбөрцөг сегментүүдээр хязгаарлагддаг.

Үүнийг хэмжих үндсэн нэгж болгон зурж үзье:

Илүү нарийвчлалтай, би тэнхлэгийн дагуух пропорцийг тийм ч сайн барьж чадаагүй тул үүнийг зураг гэж нэрлэх ёстой. Гэсэн хэдий ч шударга байхын тулд нөхцөл нь юу ч зурах шаардлагагүй байсан бөгөөд ийм дүрслэл хангалттай байсан.

Хэрэв та гартаа луужин аваад радиусын гарал үүсэл дээр төвтэй тойрог тэмдэглэхэд ашигладаг бол цилиндр нь бөмбөгөөс "таг" -ыг хайчлах өндрийг олох шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. 2 см, дараа нь цилиндртэй огтлолцох цэгүүд өөрсдөө гарч ирнэ.

Depositfiles-аас татаж авах

Гурвалсан интеграл.

Туршилтын асуултууд.

Гурвалсан интеграл, түүний шинж чанарууд.

Гурвалсан интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Цилиндр координат дахь гурвалсан интегралын тооцоо.

Бөмбөрцөг координат дахь гурвалсан интегралын тооцоо.

Функцийг зөвшөөр у= е(x,y,z) хязгаарлагдмал хаалттай бүсэд тодорхойлсон Взай Р 3. Талбайг хувацгаая Всанамсаргүй байдлаар nанхан шатны хаалттай газар В 1 , … ,В n, эзлэхүүнтэй  В 1 , …,  В nтус тус. гэж тэмдэглэе г- талбайн диаметрүүдийн хамгийн том нь В 1 , … ,В n. Бүх бүс нутагт В кдурын цэг сонгох П к (x к , y к ,z к) ба бүрдүүлнэ интеграл нийлбэрфункцууд е(x, y,z)

С =

Тодорхойлолт.Гурвалсан интегралфункцээс е(x, y,z) бүс нутгаар Винтеграл нийлбэрийн хязгаар гэж нэрлэдэг
, хэрэв байгаа бол.

Тиймээс,

(1)

Сэтгэгдэл.Хуримтлагдсан нийлбэр Сталбайг хэрхэн хуваахаас хамаарна В болон цэгүүдийг сонгох П к (к=1, …, n). Гэсэн хэдий ч, хэрэв хязгаар байгаа бол энэ нь бүс нутгийг хэрхэн хуваахаас хамаарахгүй Вболон цэгүүдийг сонгох П к. Хэрэв та давхар ба гурвалсан интегралуудын тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл тэдгээрийн бүрэн зүйрлэлийг харахад хялбар байдаг.

Гурвалсан интеграл байх хангалттай нөхцөл.Хэрэв функц байвал гурвалсан интеграл (13) байна е(x, y,z) хязгаарлагдмал Вмөн үргэлжилдэг В, дотор байрлах хязгаарлагдмал тооны хэсэгчилсэн гөлгөр гадаргууг эс тооцвол В.

Гурвалсан интегралын зарим шинж чанарууд.

1) Хэрэв ХАМТтоон тогтмол нь тэгвэл

3) Талбай дээрх нэмэлт. Хэрэв талбай В бүс нутагт хуваагдана В 1 Тэгээд В 2, тэгвэл

4) Биеийн хэмжээ Втэнцүү байна

(2 )

Декарт координат дахь гурвалсан интегралын тооцоо.

Болъё Д биеийн проекц Вонгоц руу xOy, гадаргуу z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) биеийг хязгаарлах Вдоор болон дээр тус тус.

В = {(x, y, z): (x, y)Д , φ 1 (x,y)Энэ нь гэсэн үг 2 (x,y)}.

≤ z ≤ φ zИйм биеийг нэрлэе z-цилиндр хэлбэртэй. Гурвалсан интеграл (1) гаруй В-цилиндр хэлбэртэй бие

(3 )

нь давхар ба тодорхой интегралаас бүрдэх давталттай интеграл руу шилжих замаар тооцоолно. zЭнэхүү давтагдсан интегралд хувьсагч дээрх дотоод тодорхой интегралыг эхлээд үнэлнэ. x, y, байхад Д.

байнгын гэж үздэг. Дараа нь үүссэн функцийн талбай дээрх давхар интегралыг тооцоолно В Хэрэвх- цилиндр эсвэлу-

цилиндр биетэй бол дараах томьёо зөв байна. Д  Эхний томъёонд Вбиеийн проекц координатын хавтгайд yOz , хоёрдугаарт - онгоц руу

xOzЖишээ. В 1) Биеийн эзлэхүүнийг тооцоол z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

, гадаргуугаар хязгаарлагддаг

Шийдэл. (2) томъёоны дагуу гурвалсан интеграл ашиглан эзлэхүүнийг тооцоолъё.

Болъё ДТомъёо (3) ашиглан давтан интеграл руу шилжье. x 2 - тойрог 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= + y 2 - тойрог x

2. Дараа нь (3) томъёог ашиглан бид олж авна ДЭнэ интегралыг тооцоолохын тулд туйлын координат руу шилжье. Үүний зэрэгцээ тойрог

Д багц болгон хувиргадаг = { (багц болгон хувиргадаг , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ багц болгон хувиргадаг ≤ 2} .

r В 2) бие гадаргуу дээр хязгаарлагддаг , z=y , z= –y 0 , x= 2, x=у=

Онгоц 1. Тооцоолох , z = y z = –y z= –y 0 , x=биеийг доороос болон дээрээс тус тус хязгаарлах, онгоц x= 2 биеийг арын болон урд талаас тус тус хязгаарлаж, онгоц Баруун талд 1 хязгаар.V - z- Дцилиндр хэлбэртэй бие, түүний төсөөлөл онгоц руу xOy тэгш өнцөгт юм OABC φ 1 (x , y ) = . тавья

– y
Сансарт хоёр тэгш өнцөгт координатын системтэй байцгаая

(1)

, мөн функцүүдийн систем
зарим газар цэгүүдийн хооронд ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгодог
Тэгээд
Эдгээр координатын системд. (1) системийн функцууд байна гэж үзье

,

тасралтгүй хэсэгчилсэн дериватив. Тодорхойлогч нь эдгээр хэсэгчилсэн деривативуудаас бүрддэг
функцын системийн Якобиан (эсвэл Якоби тодорхойлогч) гэж нэрлэдэг (1). Бид үүнийг таамаглах болно
.

В

Дээрх таамаглалын дагуу гурвалсан интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх дараах ерөнхий томъёог баримтална. Тохиолдолд байгаа шигдавхар интеграл
бие даасан цэг, бие даасан шугам, бие даасан гадаргуу дээр зөрчигдөж болно.

Цэг бүрийн функцын систем (1).
нэг цэгтэй таарч байна
. Энэ гурван тоо
цэгийн муруйн координат гэж нэрлэдэг . Сансрын цэгүүд
, эдгээр координатуудын аль нэг нь тогтмол утгыг хадгалж байдаг, гэж нэрлэгддэгийг үүсгэнэ. координатын гадаргуу.

II Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Цилиндр координатын систем (CSS) нь хавтгайгаар тодорхойлогддог
, үүнд туйлын координатын системийг зааж өгсөн ба тэнхлэг
, энэ хавтгайд перпендикуляр. Цэгийн цилиндр координат
, Хаана
- цэгийн туйлын координат – төсөөлөл t нүдний шил онгоц руу
, А – эдгээр нь цэгийн проекцын координатууд юм тэнхлэг бүрт
эсвэл
.

Онгоцонд
бид декарт координатыг ердийн аргаар оруулж, хэрэглээний тэнхлэгийг тэнхлэгийн дагуу чиглүүлнэ
CSK. Одоо цилиндр координатыг декарт координатуудтай холбосон томъёог олж авахад хэцүү биш юм.

(3)

Эдгээр томьёо нь тухайн талбайг бүхэлд нь орон зайд буулгадаг
.

Хэлэлцэж буй тохиолдолд координатын гадаргуу нь дараах байдалтай байна.

1)
– тэнхлэгтэй параллель генератор бүхий цилиндр гадаргуу
, тэдгээрийн чиглүүлэгчид нь онгоцонд тойрог байдаг
, цэг дээр төвлөрсөн ;

2)

;

3)
– хавтгайтай параллель байгаа онгоцууд
.

Системийн Якобиан (3):

.

CSK-ийн ерөнхий томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Тайлбар 1 . Интеграцийн талбар нь дугуй цилиндр эсвэл конус, эсвэл эргэлтийн параболоид (эсвэл түүний хэсэг) бөгөөд энэ биеийн тэнхлэг нь хэрэглээний тэнхлэгтэй давхцаж байгаа тохиолдолд цилиндр координат руу шилжихийг зөвлөж байна.
.

Тайлбар 2. Цилиндр координатыг хавтгай дээрх туйлын координаттай адил ерөнхийлж болно.

Жишээ 1. Функцийн гурвалсан интегралыг тооцоол

бүс нутгаар
, цилиндрийн дотоод хэсгийг төлөөлдөг
, конусаар хязгаарлагдсан
ба параболоид
.

Шийдэл. Бид энэ хэсгийг §2, жишээ 6-д аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд DPSC-д стандарт оруулга авсан. Гэсэн хэдий ч энэ бүсэд интегралыг тооцоолоход хэцүү байдаг. CSK руу явцгаая:

.

Төсөл
бие
онгоц руу
- энэ бол тойрог
. Тиймээс координат 0-ээс хэлбэлздэг
, А - 0-ээс Р. Дурын цэгээр дамжуулан
тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурна
. Шулуун шугам орох болно
конус дээр, гэхдээ параболоид дээр гарч ирнэ. Гэхдээ конус
CSC-д тэгшитгэлтэй байна
, ба параболоид
- тэгшитгэл
.

Тэгэхээр бидэнд байгаа

III Бөөрөнхий координат дахь гурвалсан интеграл
Бөмбөрцөг координатын систем (SCS) нь хавтгайгаар тодорхойлогддог
, үүнд UCS заасан бөгөөд тэнхлэг
.

, хавтгайд перпендикуляр Цэгийн бөмбөрцөг координат
, Хаана орон зайг тооны гурвалсан гэж нэрлэдэг
,– цэгийг хавтгайд тусгах туйлын өнцөг
- тэнхлэг хоорондын өнцөг
зарим газар цэгүүдийн хооронд ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгодог
.

Онгоцонд
ба вектор
зарим газар цэгүүдийн хооронд ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгодог
ердийн аргаар, мөн хэрэглээний тэнхлэг нь тэнхлэгтэй нийцдэг
. Бөмбөрцөг координатыг декарт координатуудтай холбосон томъёонууд дараах байдалтай байна.

(4)

Эдгээр томьёо нь тухайн талбайг бүхэлд нь орон зайд буулгадаг
.

Функцийн системийн Якобиан (4):

.

Координатын гадаргуугийн гурван бүлэг байдаг:

1)
– төв нь гарал үүсэлтэй төвлөрсөн бөмбөрцөг;

2)
– тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хагас хавтгай
;

3)
– тэнхлэг нь тэнхлэг болох координатын эхэнд оройтой дугуй конусууд
.

Гурвалсан интеграл дахь SSC руу шилжих томъёо:

Тайлбар 3. Интеграцийн талбар нь бөмбөлөг эсвэл түүний хэсэг байх үед SCS руу шилжихийг зөвлөж байна. Энэ тохиолдолд бөмбөрцгийн тэгшитгэл
ордог. Өмнө дурьдсан CSK-ийн нэгэн адил CSK нь тэнхлэгт "уягдсан"
. Хэрэв бөмбөрцгийн төв нь координатын тэнхлэгийн дагуу радиусаар шилжсэн бол тэнхлэгийн дагуу шилжсэн үед бид хамгийн энгийн бөмбөрцөг тэгшитгэлийг олж авна.
:

Тайлбар 4. SSC-ийг дараахь байдлаар нэгтгэж болно.

Якобиантай хамт
. Энэхүү функцийн систем нь эллипсоидыг орчуулах болно

"параллелепипед"

Жишээ 2. Радиустай бөмбөг дээрх цэгүүдийн дундаж зайг ол түүний төвөөс.

Шийдэл. Функцийн дундаж утга гэдгийг санаарай
бүс нутагт
нь муж дээрх функцийн гурвалсан интегралыг тухайн бүсийн эзэлхүүнд хуваасан юм. Манай тохиолдолд

Тэгэхээр бидэнд байгаа

Массаар дүүрсэн орон зайн P муж болох материаллаг биеийг өгье. P € P цэг бүрт массын тархалтын нягтыг мэддэг бол энэ биеийн m массыг олох шаардлагатай. P талбайг эзэлхүүнтэй давхцаагүй шоо (жишээ нь эзэлхүүнтэй) хэсгүүдэд хуваая. ft* хэсэгчилсэн муж бүрт бид дурын P* цэгийг сонгоно. Ойролцоогоор ft* хэсэгчилсэн муж дотор нягт нь тогтмол бөгөөд /*(P*)-тэй тэнцүү байна гэж үзье. Дараа нь биеийн энэ хэсгийн масс Atk нь Atpk ойролцоо тэнцүү байх ба бүх биеийн масс нь ойролцоогоор тэнцүү байх болно Гурвалсан интеграл Гурвалсан интегралын шинж чанарууд Гурвалсан интегралыг декарт координатаар тооцоолох Гурвалсан интегралыг тооцоолох цилиндр ба бөмбөрцөг координат Хэсэгчилсэн талбайн диаметрүүдийн хамгийн том нь d гэж үзье Хэрэв d -* 0 үед нийлбэр (1) нь ft домайныг хэсэгчилсэн дэд домайнуудад хуваах аргаас үл хамаарах хязгаарлагдмал хязгаартай байна. P* ∈ ft* цэгийн сонголт, тэгвэл энэ хязгаарыг өгөгдсөн биеийн масс m гэж авна ft ft хаалттай куб мужид n огтлолцоогүй куб хэсгүүдэд хязгаарлагдмал функцийг тодорхойлж, тэдгээрийн эзэлхүүнийг тус тус тэмдэглэнэ. . P* хэсэгчилсэн дэд муж бүрт бид дур мэдэн Pk(xk, yk, zk) цэгийг сонгож, салшгүй нийлбэрийг d нь хэсэгчилсэн мужуудын хамгийн том диаметр гэж үзье. Хэрэв d 0-ийн хувьд a интеграл нийлбэрүүд нь А домайныг хэсэгчилсэн дэд домайнуудад Π* хуваах аргаас эсвэл Pk ∈ Π* цэгийн сонголтоос үл хамаарах хязгаартай бол энэ хязгаарыг гурвалсан интеграл гэнэ. Q муж дээрх f(x) y, z) функцийг Теорем 6 тэмдгээр тэмдэглэнэ. Хэрэв f(x, y, z) функц нь Π хаалттай куб мужид тасралтгүй байвал энэ мужид интегралдах боломжтой. Гурвалсан интегралын шинж чанарууд Гурвалсан интегралын шинж чанарууд нь давхар интегралын шинж чанаруудтай төстэй байдаг. L куб мужид функцүүдийг интегралчлах боломжтой байг. 1. Шугаман байдал. Энэ тохиолдолд функцийг Q мужид интегралчлах боломжтой гэж хэлнэ. Тиймээс тодорхойлолтоор бид биеийн массыг тооцоолох асуудал руу буцаж ирэхэд (2) хязгаар нь p( функцийн гурвалсан интеграл гэдгийг тэмдэглэж байна. P) домэйн дээгүүр P. Энэ нь, Энд dx dy dz - dv эзлэхүүний элемент гэсэн үг тэгш өнцөгт координат. a ба (3 нь P домэйны хаа сайгүй дурын бодит тогтмолууд бөгөөд 3. Хэрэв P мужид /(P) = 1 бол n бол V нь Q домэйны эзэлхүүн юм. Хэрэв /(P) функц нь Хаалттай куб мужид үргэлжилсэн ft ба M ба t нь түүний хамгийн том ба хамгийн бага утгафут, дараа нь V нь ft талбайн эзэлхүүн юм. 5. Нэмэлт чанар. Хэрэв домэйн ft нь нийтлэг дотоод цэгүүдгүйгээр куб домайнуудад хуваагдаж, f(P) нь ft домэйнд интегралдах боломжтой бол f(P) нь ft| ба ft2, 6-тай. Дундаж утгын теорем. Теорем 7 (дундаж утгын тухай). Хэрэв f(P) функц нь хаалттай куб домэйн ft-д тасралтгүй байвал томьёо хүчинтэй байх тонн Pc € ft байна: V нь домэйны эзэлхүүн ft (домэйн нь холбогдсон олонлог гэдгийг санаарай) . § 7. Гурвалсан интегралыг декарт координатаар тооцоолох Давхар интегралын тооцооллын нэгэн адил давтагдсан интегралын тооцоонд ордог. Функц нь зарим ft домэйнд тасралтгүй байна гэж үзье. 1-р тохиолдол. Бүс ft нь yOz хавтгайд i2 тэгш өнцөгт рүү чиглэсэн тэгш өнцөгт параллелепипед; Дараа нь бид давхар интегралыг давтан нэгээр сольж, эцэст нь олж авна. Тиймээс, P муж нь тэгш өнцөгт параллелепипед байх тохиолдолд бид гурвалсан интегралын тооцоог гурван энгийн интегралын дараалсан тооцоонд буулгасан. Формула (2)-ыг тэгш өнцөгт нь параллелепипед Р-ийн xOy хавтгай дээрх ортогональ проекц байх хэлбэрээр дахин бичиж болно. 2 дахь тохиолдол. Одоо Q талбайг авч үзье, тиймээс түүнийг хязгаарлаж буй 5 гадаргуу нь Оз тэнхлэгтэй параллель ямар ч шулуун шугамыг хоёроос илүүгүй цэгээр эсвэл бүхэл сегментийн дагуу огтолно (Зураг 22). z = tpi(x,y) гадаргуугийн 5-р хязгаарлах мужийн тэгшитгэлийг доороос нь авч үзвэл S2 гадаргууг хязгаарлах P мужийг дээрээс нь z = y тэгшитгэлтэй болгоё). S\ ба S2 гадаргууг хоёуланг нь xOy хавтгайн нэг мужид тусга. Үүнийг D, түүнийг хязгаарлах муруйг L гэж тэмдэглэе. Q биеийн 5-р хилийн үлдсэн хэсэг нь дээр байрладаг. цилиндр гадаргуугенераторуудтай, тэнхлэгтэй параллель Oz, мөн L муруйг чиглүүлэх. Дараа нь (3) томьёоны адилаар бид олж авна. Хэрэв xOy хавтгайн D муж нь хоёр муруйгаар хязгаарлагдсан муруйн трапец хэлбэртэй байвал (4) томъёоны давхар интегралыг дахин нэг болгон бууруулж, эцэст нь олж авна. Энэ томъёо нь (2) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм. Зураг-23 Жишээ. Хавтгайгаар хүрээлэгдсэн тетраэдрийн эзэлхүүнийг тооцоол.Тетраэдрийн xOy хавтгай дээрх проекц нь шулуун шугамаар үүсгэгдсэн гурвалжин бөгөөд x нь 0-6 хооронд хэлбэлздэг ба тогтмол x (0 ^ x ^ 6)-ийн хувьд y-ээс өөрчлөгдөнө. 0-ээс 3 хүртэл - | (Зураг 23). Хэрэв x ба y хоёулаа тогтмол байвал цэг нь 0-ээс 6 - x - 2y хооронд хэлбэлзэж, хавтгайгаас хавтгайд босоо чиглэлд шилжиж болно. Томьёог ашигласнаар бид §8-ийг авна. Цилиндр ба бөмбөрцөг координат дахь гурвалсан интегралыг тооцоолох Гурвалсан интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх асуудлыг давхар интегралтай адил аргаар шийддэг. f(x, y, z) функц нь ft хаалттай куб мужид тасралтгүй байх ба функцүүд нь ft* хаалттай куб мужид нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын хамт тасралтгүй байг. (1) функцууд нь нэг талаас ft* домэйны бүх rj, () цэгүүд болон ft домэйны бүх цэгүүд (zh, y, z) хооронд нэг нэгээр нь харилцаж байна гэж үзье. нөгөө. Дараа нь гурвалсан интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх томъёо хүчинтэй байна: функцийн системийн Якобиан хаана байна (1). Практикт гурвалсан интегралыг тооцоолохдоо тэгш өнцөгт координатыг цилиндр ба бөмбөрцөг координатаар солих аргыг ихэвчлэн ашигладаг. 8.1. Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл Цилиндр координатын системд Р цэгийн орон зайн байрлалыг гурван p тоогоор тодорхойлно, энд p ба (p нь P цэгийн xOy хавтгайд P1 проекцын туйлын координат, z нь P цэгийн хэрэглүүр (Зураг 24) Цилиндр координатын цэгүүд гэж нэрлэдэг. Цилиндр координатын системд Гурвалсан интегралын координатын гадаргуу Гурвалсан интегралын шинж чанарууд Гурвалсан интегралыг декарт координатаар тооцоолох Тооцоолол. Цилиндр ба бөмбөрцөг координат дахь гурвалсан интегралыг тус тус дүрсэлсэн: тэнхлэг нь Оз тэнхлэгтэй давхцаж байгаа дугуй цилиндр, Oz тэнхлэгтэй зэргэлдээх хагас хавтгай, цилиндр координаттай параллель хавтгай Дараах декартын томьёотой холбоотой (Зураг 24-ийг үз), домэйн ft-ийг домайн дээр буулгахын тулд тэгш өнцөгт координат дахь гурвалсан интегралаас integral руу шилжих томъёо (2) байна. цилиндр координат хэлбэрийг авна (4) Илэрхийлэлийг цилиндр координат дахь эзэлхүүний элемент гэж нэрлэдэг. Эзлэхүүний элементийн энэ илэрхийллийг мөн геометрийн үүднээс авч болно. P мужийг координатын гадаргуугаар энгийн дэд мужуудад хувааж, үүссэн муруй призмийн эзлэхүүнийг тооцоолъё (Зураг 25). Эндээс харахад дээд эрэмбийн хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнийг үгүйсгэж, бид олж авна. Энэ нь цилиндр координат дахь эзэлхүүний элемент болгон дараах хэмжигдэхүүнийг авах боломжийг олгодог. Жишээ 1. Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг ол 4 Цилиндр координатуудад өгөгдсөн гадаргуу нь тэгшитгэлтэй байх болно (томъёо (3)-ыг үзнэ үү). Эдгээр гадаргуу нь тэгшитгэлийн систем (цилиндр), (хавтгай), 26-р зураг ба түүний xOy хавтгай дээрх проекцоор дүрслэгдсэн r шугамын дагуу огтлолцдог Тиймээс шаардлагатай эзэлхүүнийг (4) томъёогоор тооцоолно. аль нь. Бөмбөрцөг координат дахь гурвалсан интеграл Бөмбөрцөг координатын системд P(x, y, z) цэгийн орон зайн байрлалыг гурван тоогоор тодорхойлох ба энд r нь эхээс цэг хүртэлх зай, Ox тэнхлэг хоорондын өнцөг юм. ба Р цэгийн OR радиус векторын xOy хавтгай дээрх проекц ба c нь Оз тэнхлэгээс хэмжсэн Oz тэнхлэг ба Р цэгийн OR радиус векторын хоорондох өнцөг (Зураг 27). Энэ нь ойлгомжтой. Энэ координатын систем дэх координатын гадаргуу: r = const - эх цэг дээр төвтэй бөмбөрцөг; ip = const Oz тэнхлэгээс гарах хагас хавтгай; в = const - Оз тэнхлэгтэй дугуй конусууд. Цагаан будаа. 27 Бөөрөнхий болон декарт координатууд нь дараах хамаарлаар холбогдож байгаа нь тодорхой байна. Үүний үр дүнд (2) томьёо нь бөмбөрцөг координат дахь эзэлхүүний элемент хэлбэрийг авна - Эзлэхүүний элементийн илэрхийлэлийг геометрийн үүднээс авч болно. r ба r + dr радиустай бөмбөрцөг, b ба b + d$ конусууд болон хагас хавтгайгаар хүрээлэгдсэн орон зай дахь энгийн мужийг авч үзье. Дараа нь Гурвалсан интеграл Гурвалсан интегралын шинж чанарууд Декарт координатаар гурвалсан интегралыг тооцоолох Цилиндр ба бөмбөрцөг координатаар гурвалсан интегралыг тооцоолох Жишээ 2. Конусаас концентрик бөмбөрцөгөөр таслагдсан гүдгэр Q биеийн эзэлхүүнийг ол -4 Бид дамжуулна. бөмбөрцөг координатын систем Эхний хоёр тэгшитгэлээс тодорхой байна. Гурав дахь тэгшитгэлээс бид өөрчилсөн өнцгийн 9 хязгаарыг олно: хаанаас