"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудУлсын нэгдсэн шалгалтын шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Пирамидын гадаргуугийн талбай. Энэ нийтлэлд бид ердийн пирамидуудтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Энгийн пирамид бол суурь нь ердийн олон өнцөгт пирамид бөгөөд пирамидын орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг гэдгийг сануулъя.

Ийм пирамидын хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.Оройноос нь зурсан энэ гурвалжны өндөр ердийн пирамид, apothem гэж нэрлэдэг, SF - apothem:

Доор үзүүлсэн асуудлын төрлөөс та бүх пирамидын гадаргуугийн талбай эсвэл түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй. Блогт элементүүдийг (өндөр, суурийн ирмэг, хажуугийн ирмэг) олох асуулт гарч ирсэн ердийн пирамидуудтай холбоотой хэд хэдэн асуудлыг аль хэдийн хэлэлцсэн.

IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварДүрмээр бол ердийн гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт пирамидуудыг авч үздэг. Би ердийн таван өнцөгт болон долоон өнцөгт пирамидуудтай холбоотой ямар ч асуудал олж хараагүй.

Бүх гадаргуугийн талбайн томъёо нь энгийн байдаг - та пирамидын суурийн талбай ба түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Даалгавруудыг авч үзье:

Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 72, хажуугийн ирмэг нь 164. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

Пирамидын гадаргуугийн талбай нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

*Хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү талбайтай дөрвөн гурвалжингаас бүрдэнэ. Пирамидын суурь нь дөрвөлжин юм.

Бид пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолж болно:

Тиймээс пирамидын гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 28224

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 22, хажуугийн ирмэг нь 61-тэй тэнцүү байна. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурь нь ердийн зургаан өнцөгт юм.

Энэхүү пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 61,61 ба 22 талтай тэнцүү гурвалжны зургаан хэсгээс бүрдэнэ.

Гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор олъё.

Тиймээс хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 3240

*Дээр дурдсан асуудлуудад хажуугийн нүүрний талбайг өөр гурвалжны томъёог ашиглан олж болох боловч үүний тулд та апотемийг тооцоолох хэрэгтэй.

27155. Суурийн талууд нь 6, өндөр нь 4 байх энгийн дөрвөлжин пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

Пирамидын гадаргуугийн талбайг олохын тулд бид суурийн талбай ба хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдэх хэрэгтэй.

Суурийн талбай нь 6 талтай дөрвөлжин тул 36 байна.

Хажуугийн гадаргуу нь дөрвөн нүүрнээс бүрдэх бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү гурвалжин юм. Ийм гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй (apothem):

*Гурвалжны талбай нь суурийн болон энэ суурийн өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь мэдэгдэж байгаа, энэ нь зургаатай тэнцүү байна. Өндөрийг олъё. Ингээд авч үзье зөв гурвалжин(шар өнгөөр ​​тодруулсан):

Нэг хөл нь 4-тэй тэнцүү, учир нь энэ нь пирамидын өндөр, нөгөө нь суурийн ирмэгийн хагастай тэнцүү тул 3-тай тэнцүү байна. Пифагорын теоремыг ашиглан гипотенузыг олж болно.

Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

Тиймээс бүх пирамидын гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 96

27069. Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 10, хажуугийн ирмэг нь 13. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

27070. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 10, хажуугийн ирмэг нь 13-тай тэнцүү. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо бас байдаг. Ердийн пирамидын суурь нь хажуугийн гадаргуугийн ортогональ проекц юм, тиймээс:

П- суурь периметр, л- пирамидын үг

*Энэ томьёо нь гурвалжны талбайн томъёонд үндэслэсэн болно.

Хэрэв та эдгээр томъёог хэрхэн гаргаж авсан талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсвэл үүнийг бүү алдаарай, нийтлэлийн нийтлэлийг дагаарай.Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Энэ нь суурь нь дурын олон өнцөгт хэлбэртэй, хажуугийн нүүрийг гурвалжингаар дүрсэлсэн дүрс юм. Тэдний оройнууд нь нэг цэг дээр байрладаг бөгөөд пирамидын оройтой тохирч байна.

Пирамид нь янз бүр байж болно - гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт гэх мэт. Суурьтай зэргэлдээх булангийн тооноос хамааран түүний нэрийг тодорхойлж болно.
Зөв пирамидсуурийн талууд, өнцөг, ирмэгүүд нь тэнцүү байх пирамид гэж нэрлэдэг. Мөн ийм пирамид дээр хажуугийн нүүрний талбай тэнцүү байх болно.
Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм.
Өөрөөр хэлбэл, дурын пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд гурвалжин бүрийн талбайг олж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй. Хэрэв пирамид нь таслагдсан бол түүний нүүрийг трапец хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Ердийн пирамидын өөр нэг томъёо байдаг. Үүн дээр хажуугийн гадаргуугийн талбайг суурийн хагас периметр ба апотемийн уртаар тооцоолно.

Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.
Ердийн дөрвөлжин пирамид өгье. Суурийн тал б= 6 см, үг хэллэг а= 8 см-ийн хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн дөрвөлжин пирамидын суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Эхлээд түүний периметрийг олъё:

Одоо бид пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно.

Олон өнцөгтийн нийт талбайг олохын тулд та түүний суурийн талбайг олох хэрэгтэй. Пирамидын суурийн талбайн томъёо нь суурь дээр аль олон өнцөгт байрлаж байгаагаас хамаарч өөр өөр байж болно. Үүнийг хийхийн тулд гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу. параллелограммын талбайгэх мэт.

Бидний нөхцөлөөр өгөгдсөн пирамидын суурийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Пирамид нь тогтмол байдаг тул түүний сууринд дөрвөлжин байдаг.
Дөрвөлжин талбайтомъёогоор тооцоолно: ,
a нь квадратын тал юм. Бидний хувьд энэ нь 6 см бөгөөд пирамидын суурийн талбай нь:

Одоо зөвхөн олон өнцөгтийн нийт талбайг олох л үлдлээ. Пирамидын талбайн томъёо нь түүний суурь ба хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ.

• Бодлого 1. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол
• Бодлого 2. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргууг ол

Асуудал 1. Ердийн пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол

Шийдэл.

Ердийн гурвалжин пирамидын сууринд ижил талт гурвалжин байдаг.
Тиймээс, асуудлыг шийдэхийн тулд бид ердийн гурвалжны шинж чанарыг ашиглана.

Бид гурвалжны өндрийг мэддэг бөгөөд түүний талбайг хаанаас олж болохыг мэддэг.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Эндээс суурийн талбай тэнцүү байх болно:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Хажуугийн нүүрний талбайг олохын тулд бид өндрийг KM тооцоолно. Асуудлын дагуу OKM өнцөг нь 45 градус байна.
Тиймээс:
OK / MK = cos 45
Тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хүснэгтийг ашиглаж, мэдэгдэж буй утгуудыг орлъё.

OK / MK = √2/2

OK нь бичээстэй тойргийн радиустай тэнцүү гэдгийг анхаарч үзье. Дараа нь
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Дараа нь
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Хажуугийн нүүрний талбай нь гурвалжны өндөр ба суурийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.
Хажуу тал = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Тиймээс пирамидын нийт гадаргуугийн талбай тэнцүү байх болно
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Хариулах: 3√3 + 18/√6

Асуудал 2. Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргууг ол

Шийдэл.

Ердийн гурвалжин пирамидын суурь нь тэгш талт гурвалжин байдаг тул AO нь суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.
(Үүнээс үүдэлтэй)

Бид ижил талт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг шинж чанараас нь олдог

Эндээс ердийн гурвалжин пирамидын ирмэгийн урт нь дараахтай тэнцүү байх болно.
AM 2 = MO 2 + AO 2
пирамидын өндрийг нөхцөлөөр (10 см) мэддэг, AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Пирамидын тал бүр нь ижил өнцөгт гурвалжин юм. Дөрвөлжин тэгш өнцөгт гурвалжинБид доор үзүүлсэн эхний томъёоноос олдог

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Ердийн пирамидын гурван нүүр бүгд тэнцүү тул хажуугийн гадаргуугийн талбай тэнцүү байна
3S = 48 √(91/3)

Хариулт: 48 √(91/3)

Бодлого 3. Ердийн пирамидын гадаргуугийн нийт талбайг ол

Энгийн гурвалжин пирамидын тал нь 3 см, хажуугийн нүүр ба пирамидын суурийн хоорондох өнцөг нь 45 градус байна. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.
Пирамид нь тогтмол байдаг тул түүний суурь дээр тэгш талт гурвалжин байдаг. Тиймээс суурийн талбай нь


Тэгэхээр = 9 * √3/4

Хажуугийн нүүрний талбайг олохын тулд бид өндрийг KM тооцоолно. Асуудлын дагуу OKM өнцөг нь 45 градус байна.
Тиймээс:
OK / MK = cos 45
Давуу талыг ашиглацгаая

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний нэрийн бүтээгдэхүүн ба суурийн периметрийн хагастай тэнцүү байна.

Гадаргуугийн нийт талбайн хувьд бид үндсэн талбайг хажуу тал руу нь нэмнэ.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуу нь суурийн хагас периметр ба апотемийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Нотолгоо:

Хэрэв суурийн тал нь a, талуудын тоо нь n бол пирамидын хажуугийн гадаргуу нь дараахтай тэнцүү байна.

a l n/2 =a n l/2=pl/2

Энд l нь апотем, p нь пирамидын суурийн периметр юм. Теорем нь батлагдсан.

Энэ томъёог дараах байдлаар уншина.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба пирамидын нэрийн бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

С дүүрэн = С тал +С үндсэн

Хэрэв пирамид жигд бус байвал түүний хажуугийн гадаргуу нь түүний хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэртэй тэнцүү байх болно.

Пирамидын эзэлхүүн

Эзлэхүүнпирамид нь суурийн талбай ба өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Бид гурвалжин призмээс эхэлнэ. Призмийн дээд суурийн А орой ба доод суурийн эсрэг талын ВС ирмэгээр хавтгай зуръя. Энэ хавтгай нь призмээс A" ABC гурвалжин пирамидыг таслах болно. Бид призмийн үлдсэн хэсгийг хатуу биет болгон задалж, хажуугийн нүүрний A"C ба B"C диагональуудаар хавтгай зурна. Үүссэн хоёр бие нь мөн пирамид юм. A"B"C" гурвалжинг тэдгээрийн аль нэгний суурь, C-г орой гэж үзвэл түүний суурь ба өндөр нь бидний тасалсан эхний пирамидынхтай ижил байна, тиймээс A"ABC болон пирамидууд. CA"B"C" хэмжээтэй тэнцүү байна. Үүнээс гадна шинэ пирамидууд CA"B"C" болон A"B"BC хоёулаа ижил хэмжээтэй байна - хэрэв бид BBC" ба B"CC гурвалжныг авбал энэ нь тодорхой болно. " тэдний суурийн хувьд. "Нар нь нийтлэг оройтой А" бөгөөд тэдгээрийн суурь нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд тэнцүү тул пирамидууд нь ижил хэмжээтэй байна. Тиймээс призм нь ижил хэмжээтэй гурван пирамид болж задардаг; тус бүрийн эзэлхүүн нь призмийн эзэлхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү бөгөөд ерөнхийдөө n өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь ижил өндөртэй, ижил хэмжээтэй призмийн эзэлхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. эсвэл тэнцүү) суурьтай V=Sh призмийн эзэлхүүнийг илэрхийлсэн томъёог эргэн санавал V=1/3Sh эцсийн үр дүн гарна.