Холбох цэгийн шугамын интегралыг тооцоол. Муруй шугаман интегралын тооцоо: онол ба жишээ. Бид томьёог ашиглан нумын массыг олно

Лекц 5 1 ба 2-р төрлийн муруйн интегралууд, тэдгээрийн шинж чанарууд.

Муруй массын асуудал. 1-р төрлийн муруйн интеграл.

Муруй массын асуудал.Хэсэгчилсэн гөлгөр материалын муруйн цэг бүрт L: (AB) түүний нягтыг тодорхойл. Муруйн массыг тодорхойл.

Хавтгай муж (давхар интеграл) ба орон зайн биетийн массыг тодорхойлохдоо хийсэнтэй ижил аргаар явцгаая. гурвалсан интеграл).

1. Бид L нумын мужийг элементүүд - энгийн нумууд болгон хуваахыг зохион байгуулдаг бөгөөд ингэснээр эдгээр элементүүд нь нийтлэг дотоод цэгүүдгүй ба( нөхцөл А )

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулна , энд нумын урт (ихэвчлэн нуман болон түүний уртын хувьд ижил тэмдэглэгээг оруулдаг). Энэ нь муруйн массын ойролцоо утга юм. Хялбаршуулсан зүйл бол бид нумын нягтыг элемент бүрт тогтмол гэж үзэж, хязгаарлагдмал тооны элементийг авсан.

Өгөгдсөн хязгаарт шилжиж байна (нөхцөл B ), бид авдаг шугамын интегралИнтеграл нийлбэрийн хязгаар болох эхний төрлийн:

.

Оршихуйн теорем.

Хэсэгчилсэн гөлгөр L нуман дээр функц тасралтгүй байг. Дараа нь эхний төрлийн шугаман интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болно.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

Эхний төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар
a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар .

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны гишүүнтэй тул тэгш байдлын баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилждэг. Дараа нь бид хязгаарыг давж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.
Хэрэв , Тэр = +

3. Энд нумын урт байна.

4. Хэрэв нуман дээр тэгш бус байдал хангагдсан бол

Баталгаа. Интеграл нийлбэрүүдийн тэгш бус байдлыг бичээд хязгаар руу шилжье.

Ялангуяа энэ нь боломжтой гэдгийг анхаарна уу

5. Үнэлгээний теорем.

Хэрэв энэ нь тогтмол байдаг бол

Баталгаа. Тэгш бус байдлыг нэгтгэх (4-р өмч), бид авна . 1-р шинж чанараар интегралаас тогтмолуудыг устгаж болно. 3-р өмчийг ашигласнаар бид хүссэн үр дүнд хүрнэ.

6. Дундаж утгын теорем(интегралын утга).

Нэг цэг байна , Юу

Баталгаа. Функц нь хаалттай хязгаарлагдмал олонлог дээр үргэлжилдэг тул түүний инфимум байдаг ба дээд ирмэг . Тэгш бус байдал хангагдана. Хоёр талыг L-ээр хуваавал бид гарна . Гэхдээ тоо функцийн доод ба дээд хязгаарын хооронд хаалттай байна. Функц нь хаалттай хязгаарлагдмал L олонлог дээр үргэлжилдэг тул хэзээ нэгэн цагт функц энэ утгыг авах ёстой. Тиймээс, .

Эхний төрлийн муруйн интегралын тооцоо.

L нумыг параметрчилье: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). t 0 нь А цэгт, t 1 нь В цэгт тохирно. Дараа нь нэгдүгээр төрлийн шулууны интеграл нь тодорхой интеграл ( - нумын уртын дифференциалыг тооцоолох 1-р семестрээс мэдэгдэж буй томъёо):

Жишээ.Нэг төрлийн (няг k-тэй тэнцүү) мушгиа нэг эргэлтийн массыг тооцоол: .

2-р төрлийн муруйн интеграл.

Хүчний ажлын асуудал.

Хүч хэр их ажил хийдэг вэ?Ф(М) цэгийг хөдөлгөх үедМнумын дагууAB? Хэрэв AB нум нь шулуун шугамын сегмент байсан ба AB нумын дагуу M цэгийг хөдөлгөх үед хүч нь хэмжээ ба чиглэлд тогтмол байсан бол векторуудын хоорондох өнцөг хаана байх вэ гэдэг томъёог ашиглан ажлыг тооцоолж болно. Ерөнхий тохиолдолд энэ томьёог хангалттай бага урттай нумын элемент дээр тогтмол хүчийг авч үзэн интеграл нийлбэрийг бий болгоход ашиглаж болно. Нумын жижиг элементийн уртын оронд та түүнийг агшилтын хөвчний уртыг авч болно, учир нь эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь нөхцөлийн дагуу (эхний семестр) тэнцүү хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүд юм.

1. Бид бүс-нумын AB-ыг элементүүдэд хуваахыг зохион байгуулдаг - энгийн нумууд нь эдгээр элементүүдэд нийтлэг дотоод цэгүүд байхгүй ба( нөхцөл А )

2. Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүд" M i-г тэмдэглэж, тэдгээрийн функцийн утгыг тооцоолъё.

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулъя , -нумын дагуу хөвчний дагуу чиглэсэн вектор хаана байна.

4. Өгөгдсөн хязгаарт шилжих (нөхцөл B ), бид интеграл нийлбэрийн (болон хүчний ажлын) хязгаар болох хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг олж авна.

. Ихэнхдээ тэмдэглэдэг

Оршихуйн теорем.

Хэсэгчилсэн гөлгөр L нуман дээр вектор функц тасралтгүй байг. Дараа нь хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болно.

.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

А нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сонгох арга

Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүдийг" сонгох,

В нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сайжруулах арга

2-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар
a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар .

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэр дэх гишүүний тоо хязгаартай тул скаляр үржвэрийн шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийн баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилждэг. Дараа нь бид хязгаарыг давж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.
Хэрэв , Тэр = + .

Баталгаа. Хуваалтын элементүүдийн аль нь ч (эхэндээ болон хуваалтыг боловсронгуй болгох үед) L 1 ба L 2 элементүүдийг нэгэн зэрэг агуулаагүй байхаар L бүсийн хуваалтыг сонгоцгооё. Үүнийг оршихуйн теоремыг ашиглан хийж болно (теоремын тайлбар). Дараа нь нотлох баримтыг 1-р зүйлд заасны дагуу интеграл нийлбэрээр гүйцэтгэнэ.

3. Баримтлах чадвар.

= -

Баталгаа. Нуман дээрх интеграл –L, i.e. нумыг гатлах сөрөг чиглэлд интеграл нийлбэрийн хязгаар байдаг бөгөөд үүний оронд () байна. Скаляр үржвэрээс "хасах" -ыг гаргаж, хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэрээс бид шаардлагатай үр дүнг авна.

2-р төрлийн муруйн интегралыг 1-р төрлийн муруйн интегралтай адил тодорхойлогдох бууралтаар тооцно. Үүний тулд интеграл тэмдгийн доорх бүх хувьсагчдыг нэг хувьсагчаар дамжуулан интеграл хийгдэж буй шугамын тэгшитгэлийг ашиглан илэрхийлнэ.

a) Хэрэв шугам ABДараа нь тэгшитгэлийн системээр өгөгдөнө

(10.3)

Хавтгай тохиолдлын хувьд муруй нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн үед муруйн интегралыг дараах томъёогоор тооцоолно. (10.4)

Хэрэв шугам ABдараа нь параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдөнө

(10.5)

Хавтгай хэргийн хувьд, хэрэв шугам ABпараметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн , муруй шугаман интегралыг дараах томъёогоор тооцоолно.

, (10.6)

параметрийн утгууд хаана байна т,интеграцийн замын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдэд харгалзах.

Хэрэв шугам ABхэсэг хэсгээр нь гөлгөр байвал муруйн интегралын нэмэлтийн шинж чанарыг хуваах замаар ашиглах ёстой. ABгөлгөр нуман дээр.

Жишээ 10.1Муруй шугаман интегралыг тооцоолъё цэгээс муруйн хэсгээс бүрдсэн контурын дагуу өмнө ба эллипс нумууд цэгээс өмнө .

Контур нь хоёр хэсгээс бүрддэг тул муруйн интегралын нэмэлт шинж чанарыг ашигладаг. . Хоёр интегралыг тодорхой болгон бууруулъя. Контурын хэсгийг хувьсагчтай харьцуулсан тэгшитгэлээр өгөгдсөн . Томьёог ашиглацгаая (10.4 ), бид хувьсагчдын үүргийг сольж өгдөг. Тэдгээр.

. Тооцооллын дараа бид авна .

Контурын интегралыг тооцоолох НарЗууван тэгшитгэлийг бичих параметрийн хэлбэрт шилжиж (10.6) томъёог ашиглая.

Интеграцийн хязгаарт анхаарлаа хандуулаарай. Оноо утга, цэгтэй тохирч байна тохирч байна Хариулт:
.

Жишээ 10.2.Шулуун шугамын сегментийн дагуу тооцоолъё AB, Хаана A(1,2,3), B(2,5,8).

Шийдэл. 2-р төрлийн муруйн интеграл өгөгдсөн. Үүнийг тооцоолохын тулд та тодорхой нэг рүү хөрвүүлэх хэрэгтэй. Шугамын тэгшитгэлийг зохиоё. Түүний чиглэлийн вектор нь координаттай байдаг .

AB шугамын каноник тэгшитгэлүүд: .

Энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлүүд: ,

At
.

Томьёог ашиглацгаая (10.5) :

Интегралыг тооцоолсны дараа бид дараах хариултыг авна. .

5. Хөдлөх үед үзүүлэх хүчний ажил материаллаг цэгмуруйн дагуу цэгээс цэг хүртэлх нэгж масс .

Хэсэгчилсэн гөлгөр муруйны цэг бүрийг тавь Үргэлжилсэн координатын функцтэй вектор өгөгдсөн: . Энэ муруйг цэгүүдтэй жижиг хэсгүүдэд хуваацгаая Ингэснээр хэсэг бүрийн цэгүүдэд функцүүдийн утга
тогтмол гэж үзэж болох ба хэсэг нь өөрөө шулуун сегмент гэж андуурч болно (10.1-р зургийг үз). Дараа нь . Тогтмол хүчний скаляр үржвэр, түүний үүргийг вектор гүйцэтгэдэг , нэг шулуун шугаман шилжилтийн вектор нь материалын цэгийг дагуулан хөдөлгөх үед хүчний хийсэн ажилтай тоон хувьд тэнцүү байна. . Интеграл нийлбэрийг гаргая . Хязгаарт хуваалтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр бид 2-р төрлийн муруйн интегралыг олж авдаг.

. (10.7) Тиймээс 2-р төрлийн муруйн интегралын физик утга - энэ бол хүчээр хийсэн ажил материаллаг цэгийг шилжүүлэх үед Аруу INконтурын дагуу Л.

Жишээ 10.3.Векторын гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоолъё бөмбөрцгийн хагас бөмбөрцгийн огтлолцол гэж тодорхойлсон Вивиани муруйн хэсгийн дагуу цэгийг хөдөлгөх үед ба цилиндр , тэнхлэгийн эерэг хэсгээс харахад цагийн зүүний эсрэг гүйдэг ҮХЭР.

Шийдэл. Өгөгдсөн муруйг хоёр гадаргуугийн огтлолцлын шугамаар байгуулъя (10.3-р зургийг үз).

.

Интегралыг нэг хувьсагч болгон багасгахын тулд бид очно цилиндр системкоординат: .

Учир нь цэг нь муруй дагуу хөдөлдөг , тэгвэл контурын дагуу өөрчлөгдөх хувьсагчийг параметр болгон сонгоход тохиромжтой . Дараа нь бид энэ муруйн дараах параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.

.Хаана
.

Үр дүнгийн илэрхийлэлийг эргэлтийг тооцоолох томъёонд орлуулъя.

(- + тэмдэг нь контурын дагуу цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байгааг илтгэнэ)

Интегралыг тооцоод хариултыг авцгаая. .

Хичээл 11.

Энгийн холбогдсон бүс нутгийн Ногоон томъёо. Интегралын замаас муруйн интегралын бие даасан байдал. Ньютон-Лейбницийн томъёо. Муруй шугаман интеграл (хавтгай ба орон зайн тохиолдлууд) ашиглан функцийг түүний нийт дифференциалаас олох.

OL-1-ийн 5-р бүлэг, OL-2-ийн 3-р бүлэг, OL-4-ийн 3-р бүлэг § 10, 10.3, 10.4.

Дасгал хийх : OL-6 No 2318 (а, б, г), 2319 (а, в), 2322 (а, г), 2327, 2329 буюу ОЛ-5 No 10.79, 82, 133, 135, 139.

11-р хичээлд зориулсан гэр барих: OL-6 No 2318 (в, г), 2319 (в, г), 2322 (б, в), 2328, 2330 эсвэл OL-5 No 10.80, 134, 136, 140

Ногоон томъёо.

Онгоцонд сууя Хэсэгчилсэн гөлгөр хаалттай контураар хязгаарлагдсан энгийн холбогдсон домэйн өгөгдсөн. (Хэрэв дотор нь ямар нэгэн хаалттай контурыг энэ бүс дэх цэг хүртэл сунгаж болох юм бол тухайн бүсийг энгийн холбогдсон гэж нэрлэдэг).

Теорем. Хэрэв функцууд ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд Г, Тэр

Зураг 11.1

- Ногоон томъёо . (11.1)

Эерэг тойрч гарах чиглэлийг заана (цагийн зүүний эсрэг).

Жишээ 11.1. Green-ийн томъёог ашиглан бид интегралыг тооцоолно сегментүүдээс бүрдсэн контурын дагуу О.А., О.Б.ба тойргийн том нум , цэгүүдийг холбох АТэгээд Б,Хэрэв , , .

Шийдэл. Контурыг бүтээцгээе (11.2-р зургийг үз). Шаардлагатай деривативуудыг тооцоолъё.

Зураг 11.2

, ; , . Өгөгдсөн контураар хязгаарлагдсан хаалттай мужид функцууд ба тэдгээрийн уламжлалууд тасралтгүй байна. Грийн томъёогоор бол энэ интеграл нь .

Тооцоолсон деривативуудыг орлуулсны дараа бид авна

. Бид туйлын координат руу шилжих замаар давхар интегралыг тооцоолно.
.

Интегралыг контурын дагуу шууд 2-р төрлийн муруйн интеграл гэж тооцож хариултыг шалгая.
.

Хариулт:
.

2. Интегралын замаас муруйн интегралын бие даасан байдал.

Болъё Тэгээд - энгийн холбогдсон мужийн дурын цэгүүд pl. . Эдгээр цэгүүдийг холбосон янз бүрийн муруйгаар тооцоолсон муруй шугаман интеграл нь ерөнхийдөө байдаг өөр өөр утгатай. Гэхдээ тодорхой нөхцөл хангагдсан тохиолдолд эдгээр бүх утгууд ижил байж болно. Дараа нь интеграл нь замын хэлбэрээс хамаарахгүй, зөвхөн эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдээс хамаарна.

Дараах теоремууд хэрэгжинэ.

Теорем 1. Интегралын хувьд
цэгүүдийг холбосон замын хэлбэрээс хамааралгүй, ямар ч хаалттай контурын дагуух интеграл тэгтэй тэнцүү байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Теорем 2.. Интегралын хувьд
ямар ч хаалттай контурын дагуу тэгтэй тэнцүү бол энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд хаалттай бүсэд тасралтгүй байсан Гтэгээд нөхцөл байдал ( 11.2)

Ийнхүү интеграл нь замын хэлбэрээс хамааралгүй байх нөхцөл хангагдсан тохиолдолд (11.2) , дараа нь зөвхөн эхлэл ба төгсгөлийн цэгийг зааж өгөхөд хангалттай. (11.3)

Теорем 3.Хэрэв нөхцөл нь энгийн холбогдсон домайн дээр хангагдсан бол функц байна ийм . (11.4)

Энэ томъёог томъёо гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницшугамын интегралын хувьд.

Сэтгэгдэл.Тэгш байдал нь илэрхийлэл байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл гэдгийг санаарай
.

Тэгвэл дээрх теоремуудаас хэрвээ функцууд гарч ирнэ ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд хаалттай бүсэд тасралтгүй Г, оноо өгсөн байна Тэгээд , Тэгээд

a) функц байдаг , ийм байдлаар,

замын хэлбэрээс хамаарахгүй, ,

в) томъёо нь биелнэ Ньютон-Лейбниц .

Жишээ 11.2. Интеграл байгаа эсэхийг шалгацгаая
замын хэлбэрээс хамаарахгүй бөгөөд үүнийг тооцоолъё.

Шийдэл. .

Зураг 11.3

(11.2) нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая.
. Бидний харж байгаагаар болзол хангагдсан байна. Интегралын утга нь интеграцийн замаас хамаардаггүй. Интеграцийн замыг сонгоцгооё. Ихэнх

Тооцоолох энгийн арга бол тасархай шугам юм ШШГЕГ, замын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийг холбох. (11.3-р зургийг үз)

Дараа нь .

3. Функцийг нийт дифференциалаар нь олох.

Замын хэлбэрээс хамаардаггүй муруйн интеграл ашиглан функцийг олж болно. , түүний бүрэн дифференциалыг мэддэг. Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж байна.

Хэрэв функцууд ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд хаалттай бүсэд тасралтгүй Гба , дараа нь илэрхийлэл байна бүрэн дифференциалзарим функц . Үүнээс гадна интеграл
, нэгдүгээрт, замын хэлбэрээс хамаардаггүй, хоёрдугаарт, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Тооцоод үзье
хоёр арга зам.

Зураг 11.4

a) Бүс нутгийн цэгийг сонгоно уу тодорхой координаттай, дурын координаттай цэгтэй. Эдгээр цэгүүдийг холбосон хоёр шулууны хэрчмээс бүрдсэн тасархай шугамын дагуу муруйн интегралыг тооцоолъё, хэрчмүүдийн нэг нь тэнхлэгтэй, нөгөө нь тэнхлэгтэй параллель байна. Дараа нь . (11.4-р зургийг үз)

тэгшитгэл.

тэгшитгэл.

Бид дараахийг олж авна: Интегралыг хоёуланг нь тооцоолсны дараа бид хариултанд зарим функцийг авна.

б) Одоо бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан ижил интегралыг тооцоолно.

Одоо ижил интегралыг тооцоолох хоёр үр дүнг харьцуулж үзье. a) цэгийн хариултын функциональ хэсэг нь шаардлагатай функц юм , мөн тоон хэсэг нь цэг дээрх түүний утга юм .

Жишээ 11.3.Илэрхийлэл байгаа эсэхийг шалгацгаая
нь зарим функцийн нийт дифференциал юм тэгээд бид түүнийг олох болно. Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан жишээ 11.2-ыг тооцоолох үр дүнг шалгая.

Шийдэл.Функц оршин байх нөхцөл (11.2) өмнөх жишээн дээр шалгасан. Зураг 11.4-ийг ашиглах энэ функцийг олцгооё цэг . Эвдэрсэн шугамын дагуу интегралыг зохиож тооцоолъё ШШГЕГ,Хаана :

Дээр дурдсанчлан, үүссэн илэрхийллийн функциональ хэсэг нь хүссэн функц юм
.

Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан жишээ 11.2-ын тооцооллын үр дүнг шалгая:

Үр дүн нь адилхан байсан.

Сэтгэгдэл.Харгалзан үзсэн бүх мэдэгдэл нь үнэн юм орон зайн тохиолдол, гэхдээ маш олон нөхцөлтэй.

Хэсэгчилсэн гөлгөр муруйг огторгуйн мужид хамааруулъя . Дараа нь оноо өгсөн хаалттай мужид функцүүд болон тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байвал ба , ба
(11.5 ), Тэр

a) илэрхийлэл нь зарим функцийн нийт дифференциал юм ,

б) зарим функцийн нийт дифференциалын муруйн интеграл замын хэлбэрээс хамаарахгүй ба ,

в) томъёо нь биелнэ Ньютон-Лейбниц .(11.6 )

Жишээ 11.4. Илэрхийлэл нь зарим функцийн бүрэн дифференциал мөн эсэхийг шалгацгаая тэгээд бид түүнийг олох болно.

Шийдэл.Өгөгдсөн илэрхийлэл нь зарим функцийн бүрэн дифференциал мөн үү гэсэн асуултад хариулах , функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоолъё, , . (см. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Эдгээр функцууд нь орон зайн аль ч цэгт хэсэгчилсэн деривативуудын хамт тасралтгүй байдаг.

Оршихуйн зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл хангагдсаныг бид харж байна : , , , гэх мэт.

Функцийг тооцоолохын тулд Шугаман интеграл нь интегралчлалын замаас хамаардаггүй бөгөөд Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолж болдог давуу талыг ашиглацгаая. Гол нь байя - замын эхлэл, зарим цэг - замын төгсгөл . Интегралыг тооцоолъё

координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун хэрчмүүдээс бүрдсэн контурын дагуу. (11.5-р зургийг үз).

.

Зураг 11.5

Контурын хэсгүүдийн тэгшитгэл: , ,
.

Дараа нь

, xэнд зассан, тэгэхээр ,

Энд бичигдсэн y, Тийм учраас .

Үүний үр дүнд бид: .

Одоо Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан ижил интегралыг бодъё.

Үр дүнг харьцуулж үзье: .

Үүссэн тэгш байдлаас үзэхэд , ба

Хичээл 12.

Эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл: тодорхойлолт, үндсэн шинж чанарууд. Давхар интеграл ашиглан эхний төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох дүрэм. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын хэрэглээ: гадаргуугийн талбай, материалын гадаргуугийн масс, координатын хавтгайн статик момент, инерцийн момент, хүндийн төвийн координат. ОЛ-1 бүлэг.6, ОЛ 2 бүлэг.3, OL-4§ 11.

Дасгал хийх: OL-6 No 2347, 2352, 2353 эсвэл OL-5 No 10.62, 65, 67.

12-р хичээлийн гэрийн даалгавар:

OL-6 No 2348, 2354 эсвэл OL-5 No 10.63, 64, 68.

1-р төрөл.

1.1.1. 1-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт

Онгоцонд сууя Оксиөгөгдсөн муруй (L).Муруйн аль ч цэгийг оруулаарай (L)тодорхойлсон тасралтгүй функц f(x;y).Нуманыг тасалцгаая ABшугамууд (L)цэгүүд A=P 0, P 1, P n = Bдээр nдурын нумууд P i -1 P iурттай ( i = 1, 2, n) (Зураг 27)

Нуман бүр дээр сонголт хийцгээе P i -1 P iдурын цэг M i (x i ; y i) ,функцийн утгыг тооцоолъё f(x;y)цэг дээр М и. Интеграл нийлбэрийг гаргая

Хаана байя.

λ→0 (n→∞), муруйг хуваах аргаас хамааралгүй ( Л)анхан шатны хэсгүүдэд, мөн онооны сонголтоос М и 1-р төрлийн муруйн интегралфункцээс f(x;y)(нумын уртын дагуух муруй шугаман интеграл) ба тэмдэглэнэ:

Сэтгэгдэл. Функцийн муруйн интегралын тодорхойлолтыг үүнтэй төстэй байдлаар оруулсан болно f(x;y;z)орон зайн муруй дагуу (L).

Физик утга 1-р төрлийн муруйн интеграл:

Хэрэв (L) -Шугаман хавтгайтай хавтгай муруй байвал муруйн массыг дараах томъёогоор олно.

1.1.2. 1-р төрлийн муруйн интегралын үндсэн шинж чанарууд:

3. Интеграцийн зам болгэсэн хэсгүүдэд хуваагдаж, ганц биетэй нийтлэг цэг, Тэр .

4. 1-р төрлийн муруйн интеграл нь интегралын чиглэлээс хамаарахгүй:

5. , муруйн урт хаана байна.

1.1.3. 1-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо.

Муруй шугаман интегралын тооцоог тодорхой интегралын тооцоонд буулгана.

1. Муруйг хий (L)тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Дараа нь

Өөрөөр хэлбэл, нумын дифференциалыг томъёогоор тооцоолно.

Жишээ

Нэг цэгээс шулуун шугамын сегментийн массыг тооцоол A(1;1)цэг хүртэл B(2;4),Хэрэв .

Шийдэл

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл: .

Дараа нь шугамын тэгшитгэл ( AB): , .

Деривативыг олцгооё.

Дараа нь . = .

2. Муруйг зур (L)параметрийн дагуу тодорхойлсон: .

Дараа нь, өөрөөр хэлбэл, нумын дифференциалыг томъёогоор тооцоолно.

Муруйг тодорхойлох орон зайн тохиолдлын хувьд: Дараа нь

Өөрөөр хэлбэл, нумын дифференциалыг томъёогоор тооцоолно.

Жишээ

Муруйн нумын уртыг ол, .

Шийдэл

Бид томьёог ашиглан нумын уртыг олно: .

Үүнийг хийхийн тулд бид нумын дифференциалыг олно.

, , үүсмэлүүдийг олъё.Тэгвэл нумын урт: .

3. Муруйг зур (L)туйлын координатын системд заасан: . Дараа нь

Өөрөөр хэлбэл, нумын дифференциалыг томъёогоор тооцоолно.

Жишээ

Шугамын нумын массыг тооцоол, 0≤ ≤ бол .

Шийдэл

Бид нумын массыг томъёогоор олно.

Үүнийг хийхийн тулд бид нумын дифференциалыг олно.

Деривативыг олцгооё.

1.2. 2-р төрлийн муруйн интеграл

1.2.1. 2-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт

Онгоцонд сууя Оксиөгөгдсөн муруй (L). Явцгаая (L)тасралтгүй функц өгөгдсөн f(x;y).Нуманыг тасалцгаая ABшугамууд (L)цэгүүд A = P 0, P 1, P n = Bцэгээс чиглэлд Ацэг хүртэл INдээр nдурын нумууд P i -1 P iурттай ( i = 1, 2, n) (Зураг 28).

Нуман бүр дээр сонголт хийцгээе P i -1 P iдурын цэг M i (x i ; y i), функцийн утгыг тооцоолъё f(x;y)цэг дээр М и. Интеграл нийлбэр гарцгаая, энд - нумын проекцын урт P i -1 P iтэнхлэг бүрт Өө. Хэрэв проекцын дагуух хөдөлгөөний чиглэл нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байвал Өө, дараа нь нумануудын проекцийг авч үзнэ эерэг, эс бөгөөс - сөрөг.

Хаана байя.

Хэрэв интеграл нийлбэрт хязгаарлалт байгаа бол λ→0 (n→∞), муруйг хуваах аргаас хамааралгүй (L)анхан шатны хэсгүүдэд, мөн онооны сонголтоос М ианхан шатны хэсэг бүрт энэ хязгаарыг дуудна 2-р төрлийн муруйн интегралфункцээс f(x;y)(координат дээрх муруй шугаман интеграл X) ба тэмдэглэнэ:

Сэтгэгдэл. y координат дээрх муруйн интегралыг дараах байдлаар оруулав.

Сэтгэгдэл.Хэрэв (L)нь битүү муруй бол түүний дээрх интегралыг тэмдэглэнэ

Сэтгэгдэл.Хэрэв асаалттай бол ( Л) гурван функц нэг дор өгөгдсөн бөгөөд эдгээр функцүүдээс интегралууд , , ,

Дараа нь илэрхийлэл: + + гэж нэрлэдэг 2-р төрлийн ерөнхий муруйн интегралмөн бичнэ үү:

1.2.2. 2-р төрлийн муруйн интегралын үндсэн шинж чанарууд:

3. Интегралчлалын чиглэл өөрчлөгдөхөд 2-р төрлийн муруйн интеграл тэмдэгээ өөрчилнө.

4. Интеграцийн зам нь , гэсэн хэсгүүдэд хуваагдаж, нэг нийтлэг цэгтэй байвал

5. Хэрэв муруй ( Л) онгоцонд хэвтэж байна:

Перпендикуляр тэнхлэг Өө, дараа нь =0;

Перпендикуляр тэнхлэг Өө, Тэр ;

Перпендикуляр тэнхлэг Оз, дараа нь =0.

6. Битүү муруйн дээрх 2-р төрлийн муруйн интеграл нь эхлэх цэгийн сонголтоос хамаарахгүй (зөвхөн муруйг туулах чиглэлээс хамаарна).

1.2.3. 2-р төрлийн муруйн интегралын физик утга.

Ажил Анэгж масстай материаллаг цэгийг цэгээс хөдөлгөх үеийн хүч Мяг Ндагуу ( М.Н) тэнцүү байна:

1.2.4. 2-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо.

2-р төрлийн муруйн интегралын тооцоог тодорхой интегралын тооцоонд шилжүүлнэ.

1. Муруйг ( Л) тэгшитгэлээр өгөгдсөн.

Жишээ

Хаана ( Л) - тасархай шугам OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Шийдэл

Түүнээс хойш (Зураг 29), дараа нь

1) Тэгшитгэл (OA): , ,

2) Шугамын тэгшитгэл (AB): .

2. Муруйг зур (L)параметрийн дагуу тодорхойлсон: .

Сэтгэгдэл.Орон зайн тохиолдолд:

Жишээ

Тооцоол

Хаана ( AB)--аас сегмент A(0;0;1)өмнө B(2;-2;3).

Шийдэл

Шугамын тэгшитгэлийг олцгооё ( AB):

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн параметрийн бичлэг рүү шилжье (AB). Дараа нь .

Оноо A(0;0;1)параметртэй тохирч байна ттэнцүү: тиймээс, t=0.

Оноо B(2;-2;3)параметртэй тохирч байна т, тэнцүү: тиймээс, t=1.

-аас шилжих үед Аруу IN, параметр т 0-ээс 1 хүртэл өөрчлөгдөнө.

1.3. Ногоон томъёо. L) орно. М(x;y;z)тэнхлэгтэй Үхэр, Өө, Оз

хэлтэс " Дээд математик»

Муруй шугаман интеграл

Удирдамж

Волгоград

UDC 517.373(075)

Шүүмжлэгч:

Хэрэглээний математикийн тэнхимийн ахлах багш Н.И. Кольцова

Редакцийн болон хэвлэлийн зөвлөлийн шийдвэрээр хэвлэв

Волгоград улсын техникийн их сургууль

Муруй шугаман интеграл: арга. заавар / Comp. Андреева, М.И.

О.Э. Григорьева; Волга улсын техникийн их сургууль. – Волгоград, 2011. – 26 х.

Удирдамж нь “Муруйн интеграл ба тэдгээрийн талбайн онолд хэрэглэх хэрэглээ” сэдвээр бие даасан даалгавруудыг гүйцэтгэх заавар юм.

Удирдамжийн эхний хэсэг нь бие даасан даалгавруудыг гүйцэтгэхэд шаардлагатай онолын материалыг агуулдаг.

Хоёрдахь хэсэгт тухайн сэдвийн бие даасан даалгаварт багтсан бүх төрлийн даалгавруудыг гүйцэтгэх жишээг авч үзсэн бөгөөд энэ нь зохион байгуулалтыг сайжруулахад хувь нэмэр оруулдаг. бие даасан ажилоюутнууд болон сэдвийг амжилттай эзэмшсэн.

Удирдамж нь нэг, хоёрдугаар курсын оюутнуудад зориулагдсан болно.

© Волгоград муж

Техникийн их сургууль, 2011

1. 1-Р ТӨРЛИЙН муруй шугаман интеграл

1-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт

È AB– онгоцны нум эсвэл орон зайн хэсэгчилсэн гөлгөр муруй Л, е(П) нь энэ нуман дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй функц юм, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А н – 1 , А н = Б ABТэгээд П и– хэсэгчилсэн нуман дээрх дурын цэгүүд È А и – 1 А и, урт нь D би би (би = 1, 2, …, n

цагт n® ¥ ба хамгийн их D би би® 0, энэ нь È нумыг хуваах аргаас хамаарахгүй ABцэгүүд А и, мөн онооны сонголтоос П ихэсэгчилсэн нуман дээр È А и – 1 А и (би = 1, 2, …, n). Энэ хязгаарыг 1-р төрлийн функцийн муруйн интеграл гэж нэрлэдэг е(П) муруй дагуу Лболон томилогдсон

1-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо

1-р төрлийн муруйн интегралын тооцоог тодорхой интегралын тооцоонд багасгаж болно. янз бүрийн аргааринтеграцийн муруйг тогтоох.

Хэрэв È нум ABхавтгай муруй нь тэгшитгэлээр параметрийн дагуу өгөгдсөн x(т) Мөн y(т т, ба x(т 1) = х А, x(т 2) = xB, Тэр

Хаана - муруйн нумын уртын дифференциал.

Орон зайн муруйн параметрийн тодорхойлолтын хувьд ижил төстэй томъёолол хамаарна Л. Хэрэв È нум ABмуруй Лтэгшитгэлээр өгөгдсөн ба x(т), y(т), z(т) – параметрийн тасралтгүй ялгах функцууд т, Тэр

муруйн нумын уртын дифференциал хаана байна.

В Декарт координатууд

Хэрэв È нум ABхавтгай муруй Лтэгшитгэлээр өгөгдсөн Хаана y(x

ба муруйн интегралыг тооцоолох томъёо нь:

È нумыг зааж өгөхдөө ABхавтгай муруй Лзэрэг x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
Хаана x(y) нь тасралтгүй дифференциалагдах функц,

ба муруйн интегралыг томъёогоор тооцоолно

(1.4)

Интеграцийн муруйг туйлын тэгшитгэлээр тодорхойлох

Хэрэв муруй нь тэгш байвал Лтуйлын координатын систем дэх тэгшитгэлээр өгөгдөнө r = r(j), j О , хаана r(j) нь тасралтгүй дифференциалагдах функц юм

Тэгээд

(1.5)

1-р төрлийн муруйн интегралын хэрэглээ

1-р төрлийн муруйн интегралыг ашиглан дараахь зүйлийг тооцоолно: муруйн нумын урт, хэсгийн талбай цилиндр гадаргуу, өгөгдсөн шугаман нягттай материалын муруйн хүндийн төвийн масс, статик момент, инерцийн момент ба координат.

1. Урт лхавтгай эсвэл орон зайн муруй Лтомъёогоор олно

2. Цилиндр гадаргуугийн тэнхлэгтэй параллель хэсгийн талбай О.З generatrix ба хавтгайд байрладаг XOYхөтөч Л, онгоцны хооронд хаалттай XOYтэгшитгэлээр өгөгдсөн гадаргуу z = е(x; y) (е(П) ³ 0 үед П Î Л), тэнцүү байна

(1.7)

3. Жин мматериалын муруй Лшугаман нягттай m( П) томъёогоор тодорхойлно

(1.8)

4. Статик мөчүүдтэнхлэгтэй харьцуулахад ҮхэрТэгээд ӨөХавтгай материалын муруйн хүндийн төвийн координатууд Лшугаман нягттай m( x; y) тус тус тэнцүү байна:

(1.9)

5. Онгоцны тухай статик мөчүүд Окси, Oxz, ОйзШугаман нягттай орон зайн материалын муруйн хүндийн төвийн координат m( x; y; z) дараах томъёогоор тодорхойлогдоно.

(1.11)

6. Хавтгай материалын муруйны хувьд Лшугаман нягттай m( x; y) тэнхлэгүүдийн инерцийн моментууд Үхэр, Өөба координатын гарал үүсэл нь тэнцүү байна:

(1.13)

7. Орон зайн материалын муруйн инерцийн моментууд Лшугаман нягттай m( x; y; z) томъёог ашиглан координатын хавтгайтай харьцуулахад тооцоолно

(1.14)

координатын тэнхлэгүүдийн инерцийн моментууд нь дараахтай тэнцүү байна.

(1.15)

2. 2-Р ТӨРЛИЙН МУРЖИЛГААН ИНТЕГРАЛ

2-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт

È AB– хэсэгчилсэн гөлгөр чиглэсэн муруй нум Л, = (а х(П); а y(П); a z(П)) – энэ нуман дээр тодорхойлогдсон нь тасралтгүй байна вектор функц, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, А н – 1 , А н = Б– дур мэдэн нуман хуваах ABТэгээд П и– хэсэгчилсэн нуман дээрх дурын цэгүүд А и – 1 А и. D координаттай вектор байя x i,Д y i,Д z i(би = 1, 2, …, n), ба векторуудын скаляр үржвэр ба ( би = 1, 2, …, n). Дараа нь интеграл нийлбэрийн дарааллын хязгаар бий

цагт n® ¥ ба max ÷ ç ® 0, энэ нь нумыг хуваах аргаас хамаарахгүй. ABцэгүүд А и, мөн онооны сонголтоос П ихэсэгчилсэн нуман дээр È А и – 1 А и
(би = 1, 2, …, n). Энэ хязгаарыг 2-р төрлийн функцийн муруйн интеграл гэж нэрлэдэг ( П) муруй дагуу Лболон томилогдсон

Хавтгай муруй дээр вектор функцийг зааж өгсөн тохиолдолд Л, мөн адил бидэнд байна:

Интегралын чиглэл өөрчлөгдөхөд 2-р төрлийн муруйн интеграл тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Нэг ба хоёрдугаар төрлийн муруйн интегралууд нь хамаарлаар холбогддог

(2.2)

чиглэгдсэн муруйн шүргэгчийн нэгж вектор хаана байна.

2-р төрлийн муруйн интеграл ашиглан материаллаг цэгийг муруй нумын дагуу хөдөлгөх үед хүчний ажлыг тооцоолж болно. Л:

Хаалттай муруйг туулах эерэг чиглэл ХАМТ,энгийн холбогдсон мужийг хязгаарлах Г, цагийн зүүний эсрэг урсгалыг авч үзнэ.

Битүү муруй дээрх 2-р төрлийн муруйн интеграл ХАМТэргэлт гэж нэрлэдэг ба тэмдэглэсэн байна

(2.4)

2-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо

2-р төрлийн муруйн интегралын тооцоог тодорхой интегралын тооцоонд шилжүүлнэ.

Интеграцийн муруйны параметрийн тодорхойлолт

Хэрэв È ABчиглэгдсэн хавтгай муруйг тэгшитгэлээр параметрийн дагуу өгөгдсөн X(т) Мөн y(т) – параметрийн тасралтгүй ялгах функцууд т, Тэгээд

Орон зайн баримжаатай муруйн параметрийн тодорхойлолтын хувьд ижил төстэй томъёолол явагдана Л. Хэрэв È нум ABмуруй Лтэгшитгэлээр өгөгдсөн ба – параметрийн тасралтгүй ялгах функцууд т, Тэр

Хавтгай интеграцийн муруйг тодорхой зааж өгсөн

Хэрэв È нум AB Лхаана тэгшитгэлээр декарт координатаар өгөгдсөн y(x) нь тасралтгүй дифференциалагдах функц юм

(2.7)

È нумыг зааж өгөхдөө ABхавтгайд чиглэсэн муруй Лзэрэг
x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ], хаана x(y) нь тасралтгүй дифференциалагдах функц бөгөөд томъёо хүчинтэй байна

(2.8)

Функцуудыг зөвшөөр тэдгээрийн деривативын хамт тасралтгүй байна

хавтгай хаалттай бүсэд Г, хэсэгчилсэн гөлгөр хаалттай өөрөө салангид эерэг чиглэсэн муруйгаар хязгаарлагдана ХАМТ+ . Дараа нь Гриний томъёо дараах байдалтай байна.

Болъё Г– гадаргуутай энгийн холбогдсон бүс нутаг, ба

= (а х(П); а y(П); a z(П))

нь энэ мужид заасан вектор талбар юм. Талбар ( П) ийм функц байгаа бол потенциал гэнэ У(П), Юу

(П) = зэрэг У(П),

Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлвектор талбайн потенциал ( П) дараах хэлбэртэй байна.

ялзрах( П) =, энд (2.10)

(2.11)

Хэрэв векторын талбар нь потенциал бол 2-р төрлийн муруйн интеграл нь интеграцийн муруйгаас хамаарахгүй, зөвхөн нумын эхлэл ба төгсгөлийн координатаас хамаарна. М 0 М. Боломжтой У(Мвекторын талбайн ) нь тогтмол гишүүн хүртэл тодорхойлогддог ба томъёогоор олно

(2.12)

Хаана М 0 М– тогтмол цэгийг холбосон дурын муруй М 0 ба хувьсах цэг М. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд эвдэрсэн шугамыг нэгтгэх зам болгон сонгож болно М 0 М 1 М 2 Мкоординатын тэнхлэгтэй параллель холбоосуудтай, жишээлбэл:

3. даалгавар гүйцэтгэх жишээ

Дасгал 1

Эхний төрлийн муруйн интегралыг тооцоол

Энд L нь муруйн нум, 0 ≤ x ≤ 1.

Шийдэл.Гөлгөр хавтгай тодорхой тодорхойлогдсон муруйн хувьд эхний төрлийн муруйн интегралыг тодорхой интеграл болгон бууруулахын тулд (1.3) томъёог ашиглана:

Хаана y = y(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 – нумын тэгшитгэл Линтеграцийн муруй. Харж буй жишээнд Энэ функцийн деривативыг ол

ба муруйн нумын уртын дифференциал Л

дараа нь энэ илэрхийлэлд орлуулах оронд нь y, бид авдаг

Муруй шугаман интегралыг тодорхой интеграл болгон хувиргацгаая.

Бид орлуулалт ашиглан энэ интегралыг тооцоолно. Дараа нь
т 2 = 1 + x, x = т 2 – 1, dx = 2t dt; цагт x = 0 т= 1; А x= 1-тэй тохирч байна. Өөрчлөлтийн дараа бид олж авдаг

Даалгавар 2

1-р төрлийн муруйн интегралыг тооцоол нумын дагуу Лмуруй Л:x= cos 3 т, y= нүгэл 3 т, .

Шийдэл.Учир нь ЛЭнэ нь параметрийн хэлбэрээр өгөгдсөн гөлгөр хавтгай муруй нум бөгөөд 1-р төрлийн муруйн интегралыг тодорхой болгон бууруулахын тулд бид (1.1) томъёог ашиглана:

.

Харж буй жишээнд

Нумын уртын дифференциалыг олъё

Бид олсон илэрхийлэлийг (1.1) томъёонд орлуулж, тооцоолно:

Даалгавар 3

Шугамын нумын массыг ол Лшугаман хавтгайтай м.

Шийдэл.Жин мнумууд Лнягтралтай m( П) томъёог (1.8) ашиглан тооцоолно.

Энэ нь огторгуй дахь муруйн параметрийн тодорхойлогдсон гөлгөр нумын 1-р төрлийн муруйн интеграл тул 1-р төрлийн муруйн интегралыг тодорхой интеграл болгон бууруулах томъёог (1.2) ашиглан тооцоолно.

Деривативуудыг олцгооё

ба нумын уртын дифференциал

Бид эдгээр илэрхийллийг массын томъёонд орлуулна.

Даалгавар 4

Жишээ 1. 2-р төрлийн муруйн интегралыг тооцоол

нумын дагуу Лмуруй 4 x + yцэгээс 2 = 4 А(1; 0) цэг хүртэл Б(0; 2).

Шийдэл.Хавтгай нуман Лдалд хэлбэрээр тодорхойлогддог. Интегралыг тооцоолохын тулд илэрхийлэхэд илүү тохиромжтой xдамжуулан y:

2-р төрлийн муруйн интегралыг хувьсагчийн тодорхой интеграл болгон хувиргах (2.8) томъёог ашиглан интегралыг ол. y:

Хаана а х(x; y) = xy – 1, а y(x; y) = xy 2 .

Муруйн даалгаврыг харгалзан үзэх

(2.8) томъёог ашиглан бид олж авна

Жишээ 2. 2-р төрлийн муруйн интегралыг тооцоол

Хаана Л- тасархай шугам ABC, А(1; 2), Б(3; 2), C(2; 1).

Шийдэл. Муруй шугаман интегралын нэмэгдлийн шинж чанараар

Интеграл гишүүн бүрийг (2.7) томъёог ашиглан тооцоолно.

Хаана а х(x; y) = x 2 + y, а y(x; y) = –3xy.

Шугамын сегментийн тэгшитгэл AB: y = 2, y¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Эдгээр илэрхийллийг (2.7) томъёонд орлуулснаар бид дараахийг олж авна.

Интегралыг тооцоолохын тулд

шулуун шугамын тэгшитгэл хийцгээе МЭӨтомъёоны дагуу

Хаана xB, у Б, x C, y C- цэгүүдийн координат БТэгээд ХАМТ. Бид авдаг

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y¢ = 1.

Бид үүссэн илэрхийллийг томъёогоор (2.7) орлуулна.

Даалгавар 5

Нумын дагуу 2-р төрлийн муруйн интегралыг тооцоол Л

0 ≤ т ≤ 1.

Шийдэл. Интеграцийн муруй нь тэгшитгэлээр параметрийн дагуу өгөгдсөн тул x = x(т), y = y(т), т Î [ т 1 ; т 2 ], хаана x(т) Мөн y(т) – тасралтгүй ялгах функцууд тцагт т Î [ т 1 ; т 2 ], дараа нь хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг тооцоолохдоо (2.5) томъёог ашиглан муруйн интегралыг хавтгай параметрийн дагуу өгөгдсөн муруйн хувьд тодорхойлогдсон болгон бууруулна.

Харж буй жишээнд а х(x; y) = y; а y(x; y) = –2x.

Муруйн тохиргоог харгалзан үзэх Лбид авах:

Олдсон илэрхийлэлүүдийг (2.5) томъёонд орлуулж, тодорхой интегралыг тооцоолно.

Даалгавар 6

Жишээ 1. C + Хаана ХАМТ : y 2 = 2x, y = x – 4.

Шийдэл.Зориулалт C+ нь хэлхээг эерэг чиглэлд, өөрөөр хэлбэл цагийн зүүний эсрэг чиглүүлж байгааг харуулж байна.

Асуудлыг шийдэхийн тулд Гринийн томъёог (2.9) ашиглаж болохыг шалгацгаая.

Функцуудаас хойш а х (x; y) = 2y – x 2 ; а y (x; y) = 3x + yба тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд хавтгай хаалттай бүсэд тасралтгүй Г, контураар хязгаарлагдсан C, тэгвэл Грийн томъёог хэрэглэнэ.

Давхар интегралыг тооцоолохын тулд бид бүсийг дүрсэлдэг Г, өмнө нь муруй нумын огтлолцлын цэгүүдийг тодорхойлсон y 2 = 2xТэгээд
y = x– 4, контурыг бүрдүүлэх C.

Бид тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар огтлолцох цэгүүдийг олох болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна x 2 – 10x+ 16 = 0, эндээс x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Тиймээс муруйнуудын огтлолцох цэгүүд: А(2; –2), Б(8; 4).

Талбайгаас хойш Г– тэнхлэгийн чиглэлд засах Үхэр, дараа нь давхар интегралыг дахин давтагдах болгон багасгахын тулд бид бүсийг проекци хийнэ Гтэнхлэг бүрт Өөмөн томъёог ашиглана уу

.

Учир нь а = –2, б = 4, x 2 (y) = 4+y, Тэр

Жишээ 2.Битүү контурын дагуу 2-р төрлийн муруйн интегралыг тооцоол Хаана ХАМТ– оройтой гурвалжны тойм А(0; 0), Б(1; 2), C(3; 1).

Шийдэл.Тэмдэглэгээ нь гурвалжны контурыг цагийн зүүний дагуу эргүүлнэ гэсэн үг юм. Муруйн интегралыг битүү контур дээр авсан тохиолдолд Гриний томъёо дараах хэлбэртэй байна.

Талбайг дүрсэлцгээе Г, өгөгдсөн контураар хязгаарлагдсан.

Функцүүд болон хэсэгчилсэн дериватив ба талбайд тасралтгүй Г, тиймээс Гриний томъёог хэрэглэж болно. Дараа нь

Бүс нутаг Галь нэг тэнхлэгийн чиглэлд зөв биш байна. Шулуун шугамын сегментийг зурцгаая x= 1 ба төсөөл Гзэрэг Г = Г 1 È Г 2 хаана Г 1 ба Г 2 талбай тэнхлэгийн чиглэлд зөв байна Өө.

Дараа нь

Тус бүрийн мэдээллийн хувьд давхар интеграл By Г 1 ба Г 2 давтахын тулд бид томъёог ашиглана

Хаана [ а; б] – талбайн проекц Дтэнхлэг бүрт Үхэр,

y = y 1 (x) – доод хязгаарын муруйн тэгшитгэл,

y = y 2 (x) – дээд хязгаарлах муруйн тэгшитгэл.

Домэйн хилийн тэгшитгэлийг бичье Г 1 ба олох

AB: y = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; МЭ: , 0 ≤ x ≤ 1.

Хилийн тэгшитгэлийг байгуулъя МЭӨбүс нутаг Г 2 томъёог ашиглан

МЭӨ: энд 1 ≤ x ≤ 3.

DC: 1 ≤ x ≤ 3.

Даалгавар 7

Жишээ 1.Хүчний ажлыг ол Л: y = x 3 цэгээс М(0; 0) цэг хүртэл Н(1; 1).

Шийдэл. Муруйн нумын дагуу материаллаг цэгийг хөдөлгөхөд хувьсах хүчний хийсэн ажил Л(2.3) томъёогоор (муруйн дагуух хоёр дахь төрлийн функцийн муруйн интегралаар) тодорхойлно. Л) .

Вектор функц нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн тул хавтгайд чиглэсэн муруйн нум нь тэгшитгэлээр тодорхой тодорхойлогддог. y = y(x), x Î [ x 1 ; x 2 ], хаана y(x) нь тасралтгүй дифференциалагдах функц бөгөөд (2.7) томъёогоор.

Харж буй жишээнд y = x 3 , , x 1 = х М = 0, x 2 = х Н= 1. Тиймээс

Жишээ 2. Хүчний ажлыг ол материаллаг цэгийг шугамын дагуу хөдөлгөх үед Л: x 2 + yцэгээс 2 = 4 М(0; 2) цэг хүртэл Н(–2; 0).

Шийдэл. (2.3) томъёог ашиглан бид олж авна

.

Харж буй жишээнд муруйн нум Л(È М.Н) нь заасан тойргийн дөрөвний нэг юм каноник тэгшитгэл x 2 + y 2 = 4.

Хоёрдахь төрлийн муруйн интегралыг тооцоолохын тулд тойргийн параметрийн тодорхойлолт руу очих нь илүү тохиромжтой. x = Р cos т, y = Рнүгэл т(2.5) томъёог ашиглана уу.

Учир нь x= 2cos т, y= 2 нүгэл т, , , бид авдаг

Даалгавар 8

Жишээ 1. Контурын дагуух векторын талбайн эргэлтийн модулийг тооцоол Г:

Шийдэл.Хаалттай контурын дагуух вектор талбайн эргэлтийг тооцоолох Г(2.4) томъёог ашиглацгаая.

Орон зайн вектор орон ба орон зайн хаалттай гогцоо өгөгдсөн тул Г, дараа нь муруйн интеграл бичих вектор хэлбэрээс координатын хэлбэрт шилжсэнээр бид олж авна.

Муруй Гхоёр гадаргуугийн огтлолцол гэж тодорхойлсон: гиперболын параболоид z = x 2 – y 2 + 2 ба цилиндр x 2 + y 2 = 1. Муруй шугаман интегралыг тооцоолохын тулд муруйны параметрийн тэгшитгэл рүү шилжих нь тохиромжтой. Г.

Цилиндр гадаргуугийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
x=cos т, y= нүгэл т, z = z. -д зориулсан илэрхийлэл zмуруйн параметрийн тэгшитгэлд орлуулах замаар олно x=cos т, y= нүгэл тгиперболын параболоидын тэгшитгэлд оруулна z = 2 + cos 2 т- нүгэл 2 т= 2 + cos 2 т. Тэгэхээр, Г: x=cos т,
y= нүгэл т, z= 2 + cos 2 т, 0 ≤ т≤ 2х.

Эдгээр нь муруйны параметрийн тэгшитгэлд багтсан тул Гфункцууд
x(т) = cos т, y(т) = нүгэл т, z(т) = 2 + cos 2 тнь параметрийн тасралтгүй ялгах функцууд юм тцагт тО , дараа нь (2.6) томъёог ашиглан муруйн интегралыг олно.