3 -р зэргийн тэгшитгэл бол кардано томъёо юм. Кубын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Карданогийн томъёо. Оновчтой үндсийг хайж олох

Симонян Альбина

Энэхүү нийтлэлд куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техник, аргуудын талаар ярилцсан болно. Математикийн шалгалтанд бэлдэх явцад асуудлыг шийдвэрлэх Cardano томъёог ашиглах.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

MOU DOD Хүүхэд залуучуудын бүтээлч ордон

Дон судлаачдад зориулсан Шинжлэх ухааны академи

Хэсэг: математикчид - алгебр ба тооны онол

Судалгаа

"Томъёоны ертөнцийг харцгаая"

энэ сэдвээр "3 -р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх"

Дарга: математикийн багш Бабина Наталья Алексеевна

Салск 2010 он

1. Танилцуулга …………………………………………………………………… .3
2. Үндсэн хэсэг …………………………………………………………… .4
3. Практик хэсэг …………………………………………………………… 10-13
4. Дүгнэлт ………………………………………………………………… .14
5. Уран зохиол ……………………………………………………………….15
6. Програмууд

1. Танилцуулга

Ерөнхий боловсролын сургуульд авсан математикийн боловсрол нь чухал бүрэлдэхүүн хэсэг юм Ерөнхий боловсролба ерөнхий соёл орчин үеийн хүн... Хүний эргэн тойрон дахь бараг бүх зүйл математиктай холбоотой байдаг. Физик, технологи, мэдээллийн технологийн хамгийн сүүлийн үеийн ололтууд нь ирээдүйд нөхцөл байдал хэвээр байх болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Тиймээс олон практик асуудлын шийдэл нь шийдвэрлэхийн тулд сурах ёстой янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл буурдаг. Шугаман тэгшитгэлНэгдүгээр зэрэг, бид нэгдүгээр ангид байхдаа шийдвэрлэхийг заадаг байсан бөгөөд бид тийм ч их сонирхдоггүй байсан. Илүү сонирхолтой нь шугаман бус тэгшитгэлүүд юм. Математик нь эмх цэгц, тэгш хэм, баталгааг илтгэдэг бөгөөд эдгээр нь гоо сайхны хамгийн дээд төрөл юм.

"Гурав дахь түвшний куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь" сэдэвт "Томъёоны ертөнц рүү харцгаая" төслийн маань зорилго бол куб тэгшитгэлийг хэрхэн яаж шийдвэрлэх талаархи мэдлэгээ системчлэх, томъёоны үндсийг олох томъёог бий болгох явдал юм. гурав дахь зэргийн тэгшитгэл, түүнчлэн куб тэгшитгэл дэх үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарал. Ангидаа бид 3 -аас дээш куб ба градусын тэгшитгэлийг шийдсэн. Янз бүрийн аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид коэффициентүүдийг нэмж, хасч, үржүүлж, хувааж, хүч болгон өсгөж, үндсийг нь гаргаж, товчхондоо алгебрийн үйлдлүүдийг хийв. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо байдаг. Гурав дахь түвшний тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо байна уу, i.e. Үндэсийг олж авахын тулд коэффициентээр ямар дарааллаар, яг ямар алгебрийн үйлдэл хийх ёстойг зааж өгсөн болно. Алдарт математикчид куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий томъёог олох гэж оролдсон уу гэж би гайхаж байсан уу? Хэрэв тэд оролдсон бол тэгшитгэлийн коэффициентийн хувьд язгуурын илэрхийлэлийг олж чадах болов уу?

2. Үндсэн хэсэг:

Алс холын үед мэргэдүүд үл мэдэгдэх тоо хэмжээ бүхий тэнцвэрт байдлын талаар анх бодож эхлэх үед зоос, түрийвч хараахан байгаагүй байх. Эрт дээр үед математикийн асуудалМесопотами, Энэтхэг, Хятад, Грек, үл мэдэгдэх үнэт зүйлс нь цэцэрлэгт тогос тоо, сүргийн бухны тоо, эд хөрөнгийг хуваахдаа харгалзан үзсэн бүх зүйлийг илэрхийлдэг. Эрт дээр үеийн эрдэмтэд үл мэдэгдэх хэмжээгээр асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий аргуудыг эзэмшиж байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд гэрчилж байна. Гэсэн хэдий ч ганц папирус эсвэл ганц шавар таблет эдгээр техникүүдийн тайлбарыг агуулаагүй болно. Үл хамаарах зүйл бол Грекийн математикч Александрия Диофантусын "Арифметик" (III зуун) юм. Гэсэн хэдий ч асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн алдартай гарын авлага бол 9 -р зууны Багдадын эрдэмтний ажил байв. Мухаммед Бен Муса аль-Хорезми.

Тиймээс "Томъёоны ертөнцийг харцгаая ..." төслийг бүтээх санаа надад төрсөн бөгөөд энэ төслийн үндсэн асуултууд нь:

1. куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо байгаа эсэхийг тогтоох;
2. эерэг хариулт авсан тохиолдолд куб тэгшитгэлийн үндэсийг түүний коэффициент дээр хязгаарлагдмал тооны алгебрийн үйлдлээр илэрхийлэх томъёог хайх.

Сурах бичиг болон бусад математикийн номнуудад ихэнх шалтгаан, нотолгоог тодорхой жишээн дээр биш, харин ерөнхий үзэл, дараа нь би өөрийн санаагаа батлах эсвэл үгүйсгэх тодорхой жишээг хайхаар шийдлээ. Кубын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог хайж байхдаа квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх танил алгоритмыг дагахаар шийдлээ. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x 3 + 2x 2 - 5x -6 = 0 томъёог ашиглан бүтэн кубыг тодруулсан (x + a) 3 = x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 ... Миний авсан тэгшитгэлийн зүүн талаас бүтэн кубыг сонгохын тулд би үүнийг 2x болгон хувиргасан 3х2 хэмжээтэй 2 ба тэдгээр. Би тэгш байдлыг хангахын тулд ийм зүйлийг хайж байсан 2x 2 = 3x 2 a ... A = гэдгийг тооцоолоход хэцүү биш байсан. Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг өөрчилсөндараах байдлаар: x 3 + 2x 2 -5x -6 = 0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6 = (x +) 3 - 6x - 6 y = x +орлуулалтыг хийсэн, i.e. x = y - y 3 - 6 (y -) - 6 = 0; 3 цагт - 6y + 4- 6 = 0; Анхны тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авсан болно. 3 - 6y - 2 = 0; Энэ нь тийм ч үзэсгэлэнтэй тэгшитгэл биш болсон, учир нь бүхэл тоон коэффициентийн оронд би бутархай хувьсагчтай болсон боловч үл мэдэгдэх квадратыг агуулсан тэгшитгэлийн нэр томъёо алга болсон байна! Би зорилгодоо ойртож байна уу? Эцсийн эцэст үл мэдэгдэх эхний зэрэг агуулсан нэр томъёо хэвээр үлджээ. 5x гэсэн нэр томъёо алга болохын тулд бүтэн шоо сонгох шаардлагатай байсан болов уу? (x + a) 3 = x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 ... Би ийм, тийм гэж олсон 3a 2 x = -5x; тэдгээр. тэгэхээр 2 = - Гэхдээ дараа нь энэ нь маш муу болсон - энэ тэгш байдал бий эерэг тоо, баруун талд нь сөрөг байна. Ийм тэгш эрх гэж байж болохгүй. Тэгшитгэл хараахан шийдэгдээгүй байгаа тул би үүнийг зөвхөн хэлбэр болгон бууруулж чадсан юм 3 - 6y - 2 = 0.

Тиймээс миний хийсэн ажлын үр дүн эхний шат: хоёр дахь зэрэг агуулсан нэр томъёог куб тэгшитгэлээс хасаж чадсан, өөрөөр хэлбэл. өгсөн бол каноник тэгшитгэлӨө 3 + in 2 + cx + d, дараа нь үүнийг бүрэн бус куб тэгшитгэл x болгон бууруулж болно 3 + px + q = 0. Цаашилбал, янз бүрийн лавлах номтой ажиллахдаа маягтын тэгшитгэлийг олж мэдсэн x 3 + px = q Италийн математикч Дал Ферро (1465-1526) -ийг шийдэж чадсан. Яагаад ийм төрлийн төлөө биш харин ийм төрлийн төлөө x 3 + px + q = 0? энэ Учир нь сөрөг тоонуудыг хараахан гаргаагүй бөгөөд тэгшитгэлийг зөвхөн эерэг коэффициентээр авч үзсэн болно. Сөрөг тоонуудыг хэсэг хугацааны дараа хүлээн зөвшөөрсөн.Түүхийн лавлагаа:Дал Ферро өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг томъёогоор зүйрлэн олон сонголтыг сонгосон. Тэрээр дараахь үндэслэлийг гаргажээ: квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь - ± i.e. хэлбэртэй байна: x = t ±. Энэ нь куб тэгшитгэлийн үндэс нь мөн зарим тоонуудын нийлбэр эсвэл зөрүү байх ёстой бөгөөд магадгүй тэдний дунд гуравдугаар зэргийн үндэс байх ёстой гэсэн үг юм. Яг аль нь вэ? Олон тооны сонголтуудын нэг нь амжилттай болсон: тэр хариултыг зөрүү хэлбэрээр олсон - t ба u -ийг = гэж сонгох ёстой гэдгийг таахад бүр ч хэцүү байсан. Бүтээгдэхүүнийг p -ийн оронд x ялгааг орлуулдагавсан: (-) 3 +3 (-) = q. Өргөтгөсөн хаалт: t- 3 + 3- u + 3- 3 = q. Ижил төстэй нэр томъёог авчирсны дараа бид: t-u = q.

Үр дүн нь тэгшитгэлийн систем юм.

t u = () 3 t-u = q. Баруун, зүүн хоёрыг босгоёЭхний тэгшитгэлийн хэсгүүдийг квадрат болгож, хоёр дахь тэгшитгэлийг 4 -ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмнэ. 4t 2 + 2tu + u 2 = q 2 +4 () 3; (t + u) 2 = 4 () + () 3 t + u = 2 Шинэ системээс t + u = 2; t -u = q бидэнд байна: t = +; u = -. X -ийн оронд илэрхийллийг орлуулах - бид авсанТөсөл дээр ажиллах явцад хамгийн сонирхолтой материалыг олж мэдсэн. Дал Ферро өөрийн олсон аргыг нийтлээгүй боловч зарим оюутнууд нь энэхүү нээлтийн талаар мэдэж байсан бөгөөд удалгүй тэдний нэг болох Антонио Фиор үүнийг ашиглахаар шийджээ.Тэр жилүүдэд шинжлэх ухааны асуудлаар олон нийтийн хэлэлцүүлэг өрнөдөг байв. Ийм маргааны ялагчид ихэвчлэн сайн урамшуулал авдаг байсан бөгөөд ихэвчлэн өндөр албан тушаалд уригддаг байв.

Үүний зэрэгцээ Италийн Верона хотод Тарталья хочтой математикийн багш Николо (1499-1557) амьдардаг байв. Тэр маш авьяастай байсан бөгөөд Дал Феррогийн мэхийг дахин нээж чадсан (Хавсралт 1).Фиоре, Тарталья нарын хооронд дуэль болов. Нөхцөл байдлын дагуу өрсөлдөгчид гучин асуудал солилцсон бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд 50 хоног өгсөн байна. Гэхдээ түүнээс хойш Фиор ердөө ганц л асуудлыг мэддэг байсан бөгөөд зарим багш үүнийг шийдэж чадахгүй гэдэгт итгэлтэй байсан тул 30 асуудал бүгд ижил төрлийн болж хувирсан. Тарталья тэдэнтэй 2 цагийн дотор харьцжээ. Нөгөө талаас Фиоре дайсны санал болгосон ганц асуудлыг шийдэж чадаагүй юм. Энэхүү ялалт нь Итали даяар Тартальяаг алдаршуулсан боловч энэ асуудал бүрэн шийдэгдээгүй байна. ...

Энэ бүгдийг Жероламо Кардано хийсэн. Дал Ферро Тартальягийн нээж, дахин нээсэн томъёог Карданогийн томъёо гэж нэрлэдэг (Хавсралт 2).

Кардано Жироламо (24.9.1501-21.9.1576) - Италийн математикч, механик, эмч. Павия хотод төрсөн. Павиа, Падуагийн их сургуулиудад суралцсан. Залуу насандаа тэрээр анагаах ухаан эрхэлж байжээ. 1534 онд. Милан, Болонья хотод математикийн профессор болсон. Математикийн хувьд Кардано нь ихэвчлэн Н.Тарталиагаас авсан куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёотой холбоотой байдаг. Энэхүү томъёог Карданогийн "Агуу урлаг, эсвэл алгебрийн дүрмийн тухай" (1545) номонд нийтлэв. Тэр цагаас хойш Тарталья, Кардано нар мөнх бус дайснууд болжээ. Энэхүү номонд ихэвчлэн куб хэлбэртэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Карданогийн орчин үеийн аргуудыг системтэйгээр тайлбарласан болно. Кардано шугаман хувиргалтыг хийснээр куб тэгшитгэлийг 2 -р зэрэглэлийн нэр томъёогүй хэлбэр болгон бууруулж, тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг, олон гишүүнтийг x -a зөрүүгээр хуваана. түүний үндэс юм. Кардано нь тэгшитгэлийн сөрөг үндэс байдгийг Европт анх удаа хүлээн зөвшөөрсөн хүмүүсийн нэг байв. Түүний бүтээлд төсөөллийн хэмжээ анх удаа гарч ирэв. Механикийн чиглэлээр Кардано хөшүүрэг, жингийн онолыг судалсан. Механикийн зөв өнцгийн хажуугийн дагуух сегментийн нэг хөдөлгөөнийг картыг шинэ хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Тиймээс, Cardano томъёог ашиглан бид хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэж чадна x 3 + px + q = 0 (Хавсралт 3)

Асуудал шийдэгдсэн бололтой. Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо байдаг.

Тэр тэнд байна!

Үндэс дор байгаа илэрхийлэл ньялгаварлан гадуурхах. D = () 2 + () 3 Би тэгшитгэл рүүгээ буцаж очоод Cardano томъёог ашиглан шийдэхийг оролдов: Миний тэгшитгэл бол: y 3 - 6y - 2 = 0, энд p = - 6 = -; q = - 2 = -. Үүнийг тооцоолоход хялбар байдаг () 3 = = - ба () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = -. Тэгвэл цаашид яах вэ? Энэ фракцын тооноос би үндсийг нь хялбархан гаргаж авав. 15. Хуваарилагчийг яах вэ? Үндэсийг бүрэн гаргаж аваагүй төдийгүй сөрөг тооноос гаргаж авах ёстой! Юу болсон бэ? Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй гэж үзэж болно, учир нь D -ийн хувьд Тиймээс, төсөл дээр ажиллаж байхдаа өөр нэг асуудалтай тулгарсан.Юу болсон бэ? Би үндэстэй, гэхдээ үл мэдэгдэх талбайн гишүүнийг агуулаагүй тэгшитгэл зохиож эхлэв.

1. x = - 4 язгууртай тэгшитгэл хийлээ.

x 3 + 15x + 124 = 0 Тэгээд шалгаад би -4 нь тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгасан. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Энэ үндсийг Cardano x = + = + = = 1- 5 = - 4 томъёог ашиглан олж авах боломжтой эсэхийг би шалгасан

Хүлээн авсан, x = -4.

1. x = 1: x гэсэн жинхэнэ язгууртай хоёр дахь тэгшитгэлийг эмхэтгэв 3 + 3x - 4 = 0 ба томъёог шалгав.

Мөн энэ тохиолдолд томъёо өөгүй ажилласан.

1. x тэгшитгэлийг авсан 3 + 6x + 2 = 0, нэг иртэй оновчтой үндэс.

Энэ тэгшитгэлийг шийдсэний дараа би энэ язгуурыг авсан x = - Тэгээд нэг таамаглал гарсан: хэрэв тэгшитгэл нь зөвхөн нэг язгууртай бол томъёо ажилласан. Шийдэл нь намайг мухардалд оруулсан миний тэгшитгэл гурван үндэстэй байв! Энд шалтгааныг хайх ёстой!Одоо би гурван үндэстэй тэгшитгэл авлаа: 1; 2; -3. x 3 - 7x + 6 = 0 p = -7; q = 6. Ялгаварлан гадуурхагчийг шалгасан: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Миний санал болгосноор квадрат язгуур тэмдгийн доор дахин сөрөг тоо гарч ирэв. Би ийм дүгнэлтэд хүрсэн:x тэгшитгэлийн гурван үндэст хүрэх зам 3 + px + q = 0 сөрөг тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах боломжгүй үйл ажиллагааг дамжуулдаг.

1. Тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй тохиолдолд би юутай тулгарахаа олж мэдэх нь надад л үлдэж байна. Би x гэсэн хоёр үндэстэй тэгшитгэлийг сонгосон 3 - 12 x + 16 = 0.p = -12, q = 16.

D = () 2 + () 3 = () 2 + () 3 = 64-64 = 0 D = 64 - 64 = 0. Одоо хэлбэрийн куб тэгшитгэлийн язгууруудын тоо гэж дүгнэж болно. x 3 + px + q = 0 ялгаварлан гадуурхах тэмдгээс хамаарна D = () 2 +() 3 дараах байдлаар:

Хэрэв D> 0 бол тэгшитгэл нь 1 шийдэлтэй байна.

Хэрэв Д.

Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл нь 2 шийдэлтэй байна.

Би дүгнэлтийнхээ баталгаажуулалтыг Н.И.Бронштейн математикийн лавлах номноос олсон. Тиймээс миний дүгнэлт: Үндэс өвөрмөц гэдэгт бид итгэлтэй байвал Карданогийн томъёог ашиглаж болно.надад куб тэгшитгэлийн үндсийг олох томъёо байдаг боловч хэлбэрийн хувьд байдгийг тогтоожээ x 3 + px + q = 0.

3. Практик хэсэг.

Төсөл дээр ажиллаж байхдаа "... параметртэй холбоотой зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд надад маш их тусалсан. Жишээлбэл:1. Хамгийн жижиг нь юу вэ байгалийн үнэ цэнэба x тэгшитгэл 3 -3x + 4 = ба 1 шийдэлтэй юу? Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичсэн x 3 -3x + 4 -a = 0; p = -3; q = 4-a. Нөхцөл байдлын хувьд энэ нь 1 шийдэлтэй байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. D> 0 D. D = () 2 + (-) 3 = + (-1) 3 = == а 2 -8а + 12> 0 ол.

A (-∞; 2) (6; ∞)

Энэ интервалаас a -ийн хамгийн бага байгалийн утга нь 1 байна.

Хариулт. 1

2. Юунд a параметрийн хамгийн том байгалийн утга, тэгшитгэл x 3 + x 2 -8x + 2-a = 0 гурван үндэстэй юу?

Тэгшитгэл x 3 + 3x 2 -24x + 6-3a = 0 бид y хэлбэрт авчирдаг 3 + py + q = 0, энд a = 1; b = 3; c = -24; d = 6-3а энд q= - + ба 3 p = q = 32-3a; p = -27. Ийм тэгшитгэлийн хувьд D = () 2 + () 3 = () 2 + ( - 9) 3 = -729 =; Д. 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 a 1 = == 28 ба 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

А (-7; 28)

Энэ интервалаас хамгийн их байгалийн утга: 28.

Хариулт 28

3. a параметрийн утгуудаас хамааран тэгшитгэлийн язгуурын тоог ол x 3 - 3x - a = 0

Шийдэл. P = -3 тэгшитгэлд; q = -a. D = () 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

А (-∞; -2) (2; ∞) хувьд тэгшитгэл нь 1 шийдэлтэй;

(-2; 2) хувьд тэгшитгэл нь 3 үндэстэй;

A = -2 байх үед; Томъёо 2 нь 2 шийдэлтэй.

Туршилт:

1. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

1) x 3 -12x + 8 = 0?

а) 1; б) 2; 3 цагт; г) 4

2) x 3 -9x + 14 = 0

а) 1; б) 2; 3 цагт; г) 4

2. p -ийн ямар утгуудын хувьд x тэгшитгэлийг хийдэг 3 + px + 8 = 0 хоёр үндэстэй юу?

а) 3; б) 5; 3 цагт; г) 5

Хариулт: 1. d) 4

2. в) 3.

3.c) -3

Францын математикч Франсуа Виет (1540-1603) биднээс 400 жилийн өмнө (Хавсралт 4) хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийн үндэс хоорондын коэффициентийг хооронд нь холбож чадсан юм.

X 1 + x 2 = -p;

X 1 ∙ x 2 = q.

Гурав дахь түвшний тэгшитгэлийн үндэсийг коэффициентүүдтэй холбох боломжтой юу? Хэрэв тийм бол ямар холбоотой вэ? Миний мини төсөл ингэж төрсөн. Асуудлаа шийдэхийн тулд би одоо байгаа квадрат ур чадвараа ашиглахаар шийдсэн. Би ижил төстэй байдлаар ажилласан. X тэгшитгэлийг авсан 3 + пикс 2 + qx + r = 0. Хэрэв бид тэгшитгэлийн үндсийг тэмдэглэвэл x 1, x 2, x 3 , тэгвэл тэгшитгэлийг (x-x) хэлбэрээр бичиж болно 1) (x-x 2) (x-x 3 ) = 0 Хаалтуудыг өргөжүүлснээр бид: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 = 0. Бид дараах системтэй болсон.

X 1 + x 2 + x 3 = - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Тиймээс бид тэгшитгэлийн үндсийг холбож чадна дурын зэрэгтэдгээрийн коэффициентүүдтэй.Намайг сонирхож буй асуултад Вьетнамын теоремоос юу сурч болох вэ?

1. Тэгшитгэлийн бүх язгууруудын үржвэр нь чөлөөт хугацааны модультай тэнцүү байна. Хэрэв тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо байвал тэдгээр нь огтлолцох хэсгийн хуваагч байх ёстой.

Х тэгшитгэл рүү буцъя 3 + 2x 2 -5x-6 = 0. Бүхэл тоо нь багцад хамаарах ёстой: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6. Тэгшитгэл дэх тоонуудыг дараалан орлуулснаар бид үндсийг олж авна: -3; -1; 2.

2. Хэрэв та энэ тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэх замаар шийдвэл Вьетнамын теорем нь "зөвлөмж" өгнө.Задлан задлах бүлгийг бүрдүүлэхдээ чөлөөт хугацааны хуваагдал болох тоонууд гарч ирэх шаардлагатай байна. Бүх хуваагч нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул та тэр дор нь сурахгүй байж магадгүй нь тодорхой байна. Харамсалтай нь энэ нь огт ажиллахгүй байж магадгүй юм - эцэст нь тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо биш байж магадгүй юм.

X тэгшитгэлийг шийднэ 3 + 2x 2 -5x -6 = 0 хүчин зүйлчлэх. NS 3 + 2x 2 -5x -6 = x 3 + (3x 2 -x 2) -3x -2x -6 = x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) = (x + 3) (x 2 –x-2) = = (x + 3) (x 2 + x -2x -2) = (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) = (x + 2) (x + 1) (x -2) Анхны тэгшитгэл нь тэнцүү Энэ нь: (x + 2) (x + 1) (x-2) = 0. Мөн энэ тэгшитгэл нь гурван үндэстэй: -3; -1; 2. Вьетнамын теоремын "зөвлөгөөг" ашиглан би дараахь тэгшитгэлийг шийдлээ. x 3 -12x + 16 = 0 x 1 x 2 x 3 = -16. Таслагч хуваагдал: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. NS 3 -12x + 16 = x 3 -4x -8x + 16 = (x 3 -4x) -(8x -16) = x (x 2) -4) -8 (x-2) = x (x-2) (x + 2) -8 (x-2) =

= (x-2) (x (x + 2) -8) = (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) = 0 x-2 = 0 эсвэл x 2 + 2x -8 = 0 x = 2 x 1 = -4; x 2 = 2. Хариулт. -4; 2.

(3) Үүсгэсэн тэгшитгэлийн системийг мэдэж, тэгшитгэлийн үндэснээс үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг олж болно..

Туршилт:

1. x 3 + px 2 тэгшитгэл + 19x - 12 = 0 1, 3, 4 үндэстэй. P коэффициентийг ол;Хариулт. а) 12; б) 19; 12 настай; d) -8 2. x тэгшитгэл 3 - 10 х 2 + 41x + r = 0 2, 3, 5. үндэстэй. R коэффициентийг ол;Хариулт. а) 19; б) -10; в) 30; г) -30.

Энэхүү төслийн үр дүнг хэрэгжүүлэх даалгаварууд хангалттай M.I. Skanavi -ийн хянасан их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлагаас олж болно. Ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд Вьетнамын теоремын мэдлэг үнэ цэнэтэй юм.

№6.354

4. Дүгнэлт

1. Алгебрийн тэгшитгэлийн үндсийг тэгшитгэлийн коэффициентээр илэрхийлсэн томъёо байдаг.энд D == () 2 + () 3 D> 0, 1 шийдэл. Формула Cardano.

2. Куб тэгшитгэлийн язгууруудын шинж чанар

X 1 + x 2 + x 3 = - p;

X 1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Үүний үр дүнд би куб тэгшитгэлийн үндсийг коэффициентээр нь илэрхийлэх томъёо байдаг бөгөөд тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хооронд бас холбоо байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.

5. Уран зохиол:

1. Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг. Савин. - М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1989.

2. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт - 2004. Асуудал ба шийдэл. В.Г Агаков, Н.Д.Поляков, УИХ -ын гишүүн Урукова болон бусад.Чебоксары. Чуваш хэвлэлийн газар. Их сургууль, 2004.

3. Параметртэй тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. В.В.Мочалов, Сильвестров В.В. Параметртэй тэгшитгэл ба тэгш бус байдал: Сурах бичиг. тэтгэмж. - Чебоксары: Чуваш хэвлэлийн газар. Их сургууль, 2004.

4. Математикийн даалгавар. Алгебр. Лавлах гарын авлага. Вавилов В.В., Олехник С.Н.-М.: Наука, 1987.

5. М.И.Сканави засварласан цуглуулгын математикийн өрсөлдөөнт бүх асуудлыг шийдвэрлэх. Бажовын нэрэмжит "Украины нэвтэрхий толь бичиг" хэвлэлийн газар, 1993 он.

6. Алгебрийн сурах бичгийн хуудасны ард. Л.Ф.Пичурин.-М.: Боловсрол, 1990.

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнгийн урьдчилж харахыг ашиглахын тулд өөртөө Google акаунт (данс) үүсгээд нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Томъёоны ертөнцийг үзэх

Ерөнхий боловсролын сургуульд авсан математик боловсрол нь орчин үеийн хүний ​​ерөнхий боловсрол, ерөнхий соёлын чухал бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Хүний эргэн тойрон дахь бараг бүх зүйл математиктай ямар нэгэн байдлаар холбоотой байдаг. Физик, инженерчлэл, мэдээллийн технологийн хамгийн сүүлийн үеийн ололтууд нь ирээдүйд нөхцөл байдал хэвээр байх болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Тиймээс олон практик асуудлын шийдэл нь шийдвэрлэхийн тулд сурах ёстой янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл буурдаг. Нэгдүгээр зэргийн шугаман тэгшитгэлийг бид нэгдүгээр ангид байхад л шийдэж сургасан, тийм ч их сонирхдоггүй байсан. Илүү сонирхолтой нь шугаман бус тэгшитгэлүүд юм. Математик нь эмх цэгц, тэгш хэм, баталгааг илтгэдэг бөгөөд эдгээр нь гоо сайхны хамгийн дээд төрөл юм. Танилцуулга:

тэгшитгэл нь (1) хэлбэртэй бөгөөд яг кубыг сонгохын тулд тэгшитгэлийг хувиргадаг: тэгшитгэлийг 3 (2) болгон үржүүлэх (2) тэгшитгэлийг олж авахын тулд бид дараах тэгшитгэлийг олж, баруун ба зүүн талыг нь босгоно ( 3) тэгшитгэлийн гуравдахь эрх мэдлийн тэгшитгэлийн үндсийг олъё Шийдлийн жишээнүүд куб тэгшитгэлүүд

Ялгаварлан гадуурхагч хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл Бодит тоонуудын дунд үндэс байхгүй

Гуравдугаар зэргийн тэгшитгэл

Түүхийн тэмдэглэл: Алс холын үед мэргэдүүд үл мэдэгдэх тоо хэмжээ бүхий тэнцвэрт байдлын талаар анх бодож эхлэхэд зоос, түрийвч байгаагүй байх. Месопотами, Энэтхэг, Хятад, Грекийн эртний математикийн асуудлуудад үл мэдэгдэх утгууд нь цэцэрлэгт байгаа тогос тоо, сүрэг дэх бухны тоо, эд хөрөнгийг хуваахдаа харгалзан үзсэн бүх зүйлийг илэрхийлдэг. Эрт дээр үеийн эрдэмтэд үл мэдэгдэх хэмжээгээр асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий аргуудыг эзэмшиж байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд гэрчилж байна. Гэсэн хэдий ч ганц папирус эсвэл ганц шавар таблет эдгээр аргуудын тайлбарыг агуулаагүй болно. Үл хамаарах зүйл бол Грекийн математикч Александрия Диофантусын "Арифметик" (III зуун) юм. Гэсэн хэдий ч, асуудлыг шийдвэрлэх анхны алдартай гарын авлага бол 9 -р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл байв. Мухаммед Бен Муса аль-Хорезми.

(3) (3) -д тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх квадратыг агуулсан нэр томъёо алга болсон боловч үл мэдэгдэх эхний хүчийг агуулсан нэр томъёо 2 хэвээр үлдэв. Энэ нь зүүн талд байгаа эерэг тоо, зүүн талд байгаа сөрөг тоо юм. Хэрэв бид энэ замаар явбал бид гацах болно .... Сонгосон зам дээр бид бүтэлгүйтэх болно. Бид тэгшитгэлийг хараахан шийдэж чадахгүй байна.

Куб тэгшитгэл нь (1) 1. тэгшитгэлийг а -д хувааж хялбаршуулъя, тэгвэл "x" коэффициент 1 -тэй тэнцүү байх тул аливаа куб тэгшитгэлийн шийдлийг томъёогоор үндэслэнэ. нийлбэрийн куб: (2) хэрэв бид (1) тэгшитгэлийг авч үзвэл (2) тэгшитгэлээс зөвхөн x -ийн коэффициент болон чөлөөт гишүүнээр ялгагдана. (1) ба (2) тэгшитгэлүүдийг нэмж, ижил төстэй өгөгдлийг өгье: хэрэв бид энд орлуулалт хийвэл y -ийн хувьд куб нэр томъёогүй куб тэгшитгэл авна.

Кардано Жироламо

Кардано Жироламо (24.9.1501-21.9.1576) - Италийн математикч, механик, эмч. Павия хотод төрсөн. Павиа, Падуагийн их сургуулиудад суралцсан. Залуу насандаа тэрээр анагаах ухаан эрхэлж байжээ. 1534 онд. Милан, Болонья хотод математикийн профессор болсон. Математикийн хувьд Кардано нь ихэвчлэн Н.Тартальягаас зээлсэн куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёотой холбоотой байдаг. Энэхүү томъёог Карданогийн "Агуу урлаг, эсвэл алгебрийн дүрмийн тухай" (1545) номонд нийтлэв. Тэр цагаас хойш Тарталья, Кардано нар мөнх бус дайснууд болжээ. Энэхүү номонд ихэвчлэн куб хэлбэртэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Карданогийн орчин үеийн аргуудыг системтэйгээр тайлбарласан болно. Кардано шугаман хувиргалтыг хийснээр куб тэгшитгэлийг 2 -р зэрэглэлийн нэр томъёогүй хэлбэр болгон бууруулж, тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарал, олон гишүүнтийг x -a зөрүүгээр хуваагдах байдлыг онцлон тэмдэглэв. хэрэв а бол түүний үндэс юм. Кардано тэгшитгэлийн сөрөг үндэс байдгийг Европт анх удаа хүлээн зөвшөөрсөн хүмүүсийн нэг байв. Түүний бүтээлд төсөөллийн хэмжээ анх удаа гарч ирэв. Механикийн чиглэлээр Кардано хөшүүрэг, жингийн онолыг судалсан. Механикийн зөв өнцгийн хажуугийн дагуух сегментийн хөдөлгөөнүүдийн нэгийг гимбал хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Кардано Жироламогийн намтар

Үүний зэрэгцээ Италийн Верона хотод Тарталья хочтой математикийн багш Николо (1499-1557) амьдардаг байв. Тэр маш авьяастай байсан тул Дал Феррогийн мэхийг дахин нээж чадсан юм. Фиоре, Тарталья нарын хооронд дуэль болов. Нөхцөл байдлын дагуу өрсөлдөгчид 30 асуудлыг солилцсон бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд 50 хоног өгсөн байна. Гэхдээ Фиор ердөө ганц л асуудлыг мэддэг байсан бөгөөд зарим багш үүнийг шийдэж чадахгүй гэдэгт итгэлтэй байсан тул 30 асуудал бүгд ижил төрлийн болж хувирсан. Тарталья тэдэнтэй хоёр цагийн дотор харьцжээ. Фиоре дайсны санал болгосон аливаа даалгаврыг шийдэж чадахгүй байв. Энэхүү ялалт нь Итали даяар Тартальяаг алдаршуулсан боловч энэ асуудал бүрэн шийдэгдээгүй байна.Таны үл мэдэгдэх хэмжээтэй дөрвөлжин (бүрэн шоо сонгох) агуулсан тэгшитгэлийн гишүүнийг даван туулж чадсан энэхүү энгийн заль мэх хараахан нээгдээгүй байна. ба тэгшитгэлийн шийдэл өөр төрөлсистемд оруулаагүй байна. Фиорагийн Тартальятай хийсэн дуэль

Энэ тэгшитгэлийн хэлбэрийн тэгшитгэл ба бид тэгшитгэлийн ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолж байна.Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бүрэн гараагүй байгаа ч та үүнийг сөрөг тооноос гаргаж авах шаардлагатай хэвээр байна. Юу болсон бэ? Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй гэж үзэж болно, учир нь D

Дискриминант тэгшитгэлээс хамаарах куб тэгшитгэлийн үндэс нь 1 шийдлийн тэгшитгэл 3 шийдлийн тэгшитгэл 2 шийдэлтэй байна Дүгнэлт

тэгшитгэл нь Cardano томъёог ашиглан тэгшитгэлийн үндсийг олох хэлбэртэй байна. Cardano томъёог ашиглан куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ.

Энэ тэгшитгэлийн (1) хэлбэрийн тэгшитгэл ба нөхцлийн дагуу энэ тэгшитгэл нь 1 шийдэлтэй байх ёстой + - + 2 тэгшитгэлийн ялгаварлан гадуурхагчийг (1) тооцоолох 6 Хариулт: хамгийн бага байгалийн утга ба энэ интервалаас is 1 Хамгийн бага байгалийн утга нь юу вэ, тэгшитгэл нь 1 шийдэлтэй юу?

Кубын тэгшитгэлийг Вьетнамын аргаар шийдвэрлэх Тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Тэгшитгэлийг шийдээрэй, хэрэв түүний хоёр язгуурын үржвэр нь Вьетнамын теоремын дагуу 1 -тэй тэнцүү бөгөөд нөхцөл нь бид эхний тэгшитгэлд утгыг орлуулах эсвэл гурав дахь тэгшитгэлийн утгыг эхнийхээр орлуулах нөхцөл болвол бид тэгшитгэлийн үндсийг олох болно эсвэл Хариулт:

Ашигласан уран зохиол: "Математик. Боловсрол, арга зүйн гарын авлага "Ю.А. Гусман, А.О. Смирнов. Нэвтэрхий толь бичиг "Би ертөнцийг мэддэг. Математик "- Москва, AST, 1996. "Математик. Судалгааны гарын авлага "В.Т. Лисичкин. Их сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага, М.И.Сканави хянасан. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт - 2004 он

Анхаарал тавьсанд баярлалаа

Бодит коэффициент бүхий аливаа куб тэгшитгэл нь дор хаяж нэг жинхэнэ язгууртай, бусад хоёр нь жинхэнэ эсвэл нийлмэл нийлмэл хос юм.

Хяналтыг хамгийн энгийн тохиолдлуудаас эхэлье. биномба буцаах боломжтойтэгшитгэл. Дараа нь эрэл хайгуул руугаа явцгаая оновчтой үндэс(хэрэв байгаа бол). Куб тэгшитгэлийн үндсийг олох жишээг ашиглан дуусгая Cardano томъёоерөнхий тохиолдолд.

Хуудасны навигаци.

Хоёр үе шаттай куб тэгшитгэлийн шийдэл.

Хоёр хугацааны куб тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

Энэ тэгшитгэлийг тэгээс бусад А коэффициентод хувааж хэлбэр болгон бууруулсан болно. Дараа нь товчилсон үржүүлэх томъёо нь кубуудын нийлбэр болно.

Эхний хаалтнаас бид дөрвөлжин гурвалжныг олж болно зөвхөн нарийн төвөгтэй үндэстэй.

Жишээ.

Куб тэгшитгэлийн жинхэнэ үндсийг олоорой.

Шийдэл.

Бид кубын зөрүүг товчилсон үржүүлэх томъёог ашигладаг.

Эхний хаалтнаас харахад хоёр дахь хаалтанд байгаа гурвалжин гурвалжин нь жинхэнэ үндэсгүй болохыг олж мэдэв, учир нь ялгаварлан гадуурхах нь сөрөг байдаг.

Хариулт:

Дахин давтагдах куб тэгшитгэлийн шийдэл.

Харилцан харгалзах куб тэгшитгэл нь А ба В коэффициент хэлбэртэй байна.

Бүлэглэлтийг хийцгээе.

Мэдээжийн хэрэг, x = -1 нь ийм тэгшитгэлийн үндэс бөгөөд үүнээс үүссэн квадрат гурвалсан гурвалын үндэс юм. ялгаварлан гадуурхагчаар дамжуулан амархан олдог.

Жишээ.

Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх .

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл нь рефлекс юм. Бүлэглэлтийг хийцгээе.

Мэдээжийн хэрэг, x = -1 бол тэгшитгэлийн үндэс юм.

Гурвалжин гурвалжингийн үндсийг олоорой.

Хариулт:

Рационал үндэстэй куб тэгшитгэлийн шийдэл.

X = 0 бол куб тэгшитгэлийн үндэс болох хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлье.

Энэ тохиолдолд чөлөөт D нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна .

Хэрэв та хаалт дотроос x -ийг гаргаж авбал дөрвөлжин гурвалжин нь хаалтанд үлдэх бөгөөд үндсийг нь ялгаварлан гадуурхах замаар эсвэл Вьетнамын теоремоор хялбархан олж болно. .

Жишээ.

Тэгшитгэлийн жинхэнэ үндсийг ол .

Шийдэл.

x = 0 бол тэгшитгэлийн үндэс юм. Гурвалжин гурвалжингийн үндсийг олоорой.

Түүний ялгаварлан гадуурхагч нь тэгээс бага байдаг тул гурвалсан нь жинхэнэ үндэсгүй байдаг.

Хариулт:

x = 0.

Хэрэв куб тэгшитгэлийн коэффициент бүхэл тоо байвал тэгшитгэл нь рационал үндэстэй байж болно.

Учир нь бид тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлж y = Ax хувьсагчийг өөрчилдөг.

Бид бууруулсан куб тэгшитгэлд хүрэв. Энэ нь чөлөөт хугацааны хуваагч болох бүхэл тооны үндэстэй байж болно. Тиймээс бид бүх хуваагчдыг бичээд ижил тэгш байдлыг олж авах хүртэл үүссэн тэгшитгэлд орлуулж эхэлнэ. Тодорхойлолтыг олж авсан хуваагч нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Тиймээс анхны тэгшитгэлийн үндэс нь юм.

Жишээ.

Куб тэгшитгэлийн үндсийг олоорой.

Шийдэл.

Бид тэгшитгэлийг багасгасан хэлбэр болгон өөрчилдөг: хоёр талаас үржүүлж, y = 2x хувьсагчийг өөрчилнө.

Үнэгүй хугацаа 36 байна. Түүний бүх хуваагчдыг бичье.

Бид тэдгээрийг тэгш эрх болгон өөрчилдөг иргэний үнэмлэх авахаас өмнө:

Тиймээс y = -1 бол үндэс юм. Энэ нь түүнд нийцэж байгаа юм.

Хуваах ашиглах талаар:

Бид авдаг

Дөрвөлжин гурвалжингийн үндсийг олоход л үлддэг.

Энэ нь ойлгомжтой , өөрөөр хэлбэл түүний олон үндэс нь x = 3 байна.

Хариулт:

.

Сэтгэгдэл.

Энэхүү алгоритмыг давтагдах тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. -1 нь аливаа харилцан куб тэгшитгэлийн үндэс тул та анхны тэгшитгэлийн зүүн талыг x + 1 -ээр хувааж, үүссэн квадрат гурвалжингийн үндсийг олох боломжтой.

Хэрэв куб тэгшитгэл нь оновчтой үндэсгүй бол бусад шийдлүүдийг, жишээлбэл, тусгай аргыг ашигладаг.

Cardano томъёог ашиглан куб тэгшитгэлийн шийдэл.

Ерөнхийдөө куб тэгшитгэлийн үндсийг Cardano томъёог ашиглан олдог.

Куб тэгшитгэлийн хувьд утгууд ... Дараа нь бид олох болно ба .

Үүссэн p ба q -г Карданогийн томъёогоор орлуулна уу.

ШУУДЫН VII ОЮУТНЫ ШИНЖЛЭХ УХААН, БОЛОВСРОЛЫН ЧУУЛГАН "ЗАЛУУЧУУД: БҮТЭЭЛЧЛЭЛ, ХАЙХ, АМЖИЛТ"

Аннинск хотын дүүрэг

Воронеж муж

Хэсэг:МАТЕМ

Сэдэв:"Карданогийн томъёо: түүх ба хэрэглээ"

MKOU Аннинскаягийн нэрэмжит 3 -р дунд сургууль, 9 "В" анги

Никколо Фонтана Тарталия (1499-1557) бол Италийн математикч юм.

Ерөнхийдөө энэ түүхийг томъёог анх Тарталья олж нээсэн бөгөөд дууссан хэлбэрээр Кардано руу шилжүүлсэн тухай өгүүлдэг боловч томъёо бүтээхэд Тарталягийн оролцоог үгүйсгээгүй байсан ч Кардано өөрөө энэ баримтыг үгүйсгэдэг.

"Карданогийн томъёо" гэсэн нэр томъёог ард түмэнд бодитоор тайлбарлаж, танилцуулсан эрдэмтний хүндэтгэлд зориулагдсан болно.

1. Дундад зууны үеийн математикийн маргаан.

Дундад зууны үеийн маргаан нь хөгшин, залуугүй сул зогссон хотын иргэдийг татсан сонирхолтой үзэгдэл байсаар ирсэн. Маргаантай сэдвүүд нь олон янзын шинж чанартай боловч үргэлж шинжлэх ухааны шинж чанартай байв. Үүний зэрэгцээ шинжлэх ухаан долоон либерал урлаг гэж нэрлэгддэг зүйлсийн жагсаалтад багтсан зүйл бол мэдээж теологи гэдгийг ойлгосон. Теологийн маргаан хамгийн их давтагддаг байв. Тэд бүх зүйлийн талаар маргалдсан. Жишээлбэл, хэрэв тэр ариун ёслолыг идвэл хулганаа ариун сүнстэй холбох эсэх, Кумская сибил Есүс Христийн төрөлтийг урьдчилан хэлж чадах эсэх, Аврагчийн ах эгч нар яагаад канончлогдоогүй гэх мэт.

Нэрт математикч, нэр хүндтэй эмч хоёрын хоорондох маргааны талаар зөвхөн хамгийн ерөнхий таамаглалыг илэрхийлсэн, учир нь хэн ч юу ч мэдэхгүй байсан. Тэдний нэг нь нөгөөгөө хуурсан гэж хэлсэн (яг хэн, хэн нь тодорхойгүй). Талбай дээр цугларсан бараг бүх хүмүүс математикийн талаархи хамгийн ойлгомжгүй ойлголттой байсан боловч бүгд маргаан эхлэхийг тэсэн ядан хүлээж байв. Үргэлж сонирхолтой байсан, ялагдсан хүн түүний зөв байсан ч бай хамаагүй инээдэг байсан.

Хотын захиргааны цаг таван цохиход хаалга онгойж, цугларсан хүмүүс сүм рүү гүйв. Тахилын ширээний орох хаалгыг холбосон төвийн шугамын хоёр талд маргаан үүсгэгчдэд зориулагдсан хоёр хажуугийн багананд хоёр өндөр индэр босгосон байв. Тэнд байсан хүмүүс сүмд байгаа гэдгээ огт тоосонгүй чанга дуугарав. Эцэст нь, иконостазыг бусад төв тэнгисээс тусгаарласан төмөр сараалжны өмнө хар, нил ягаан нөмрөгтэй хотын сурагч гарч ирэн: "Милан хотын алдар суут иргэд! Одоо Бренийн алдарт математикч Никколо Тарталья таны өмнө үг хэлэх болно. Түүний өрсөлдөгч нь математикч, эмч Жеронимо Кардано байх ёстой байв. Никколо Тартаглиа сүүлчийнх нь "Арсмагна" номондоо өөрт хамаарах 3 -р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг хэвлүүлсэн гэж Карданог буруутгажээ. Гэсэн хэдий ч Кардано өөрөө маргаантай байдалд хүрч чадаагүй тул өөрийн оюутан Луиджи Феррариг илгээжээ. Тиймээс маргааныг нээлттэй гэж зарлаж, оролцогчдыг хэлтэст урьж байна. " Орцны индэрийн зүүн талд бөгс бөгс, буржгар сахалтай эвгүй хүн, өөртөө итгэлтэй царайлаг царайтай хорь орчим насны залуу эсрэг талын индэр дээр гарав. Түүний зан авир, үг бүрийг баяртайгаар хүлээж авна гэдэгт бүрэн итгэлтэй байсан.

Тартаглия эхлэв.

Хадагтай ноёд оо! 13 жилийн өмнө би 3 -р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг олж чадсан бөгөөд дараа нь энэ аргыг ашиглан Фиоритай маргалдсан юм. Миний арга танай иргэн Карданогийн анхаарлыг татсан бөгөөд тэр бүхий л чадварлаг урлагаа ашиглан миний нууцыг нээн илрүүлсэн. Тэрбээр хууран мэхлэх, шууд хуурамчаар үйлдэхээ больсонгүй. 3 жилийн өмнө Карданогийн алгебрийн дүрмийн тухай номыг Нюрнберг хотод хэвлүүлсэн бөгөөд миний аргыг ичгүүргүйгээр хулгайлсан аргыг хүн бүрийн өмч болгосныг та бас мэднэ. Би Кардано болон түүний шавийг тэмцээнд уриалсан. Би 31 асуудлыг шийдэхийг санал болгосон бөгөөд өрсөлдөгчид маань ч надад ийм санал тавьсан. Асуудлыг шийдвэрлэх эцсийн хугацааг 15 хоногоор тогтоосон. 7 хоногийн дотор би Кардано, Феррари нарын боловсруулсан ихэнх асуудлыг шийдэж чадсан. Би тэдгээрийг хэвлээд Милан руу шуудангаар илгээсэн. Гэсэн хэдий ч асуудлынхаа хариуг авах хүртэл бүтэн таван сар хүлээх хэрэгтэй болсон. Тэд зөв шийдвэрлээгүй байна. Энэ нь намайг хоёуланг нь олон нийтийн хэлэлцүүлэгт дуудах шалтгаан болсон юм.

Тарталья чимээгүй байв. Залуу харамсалтай Tartaglia руу хараад:

Хадагтай ноёд оо! Миний зохистой өрсөлдөгч маань хэлсэн үгийнхээ эхний үгээр өөрийгөө болон миний багшийн эсрэг маш их гүтгэлэг илэрхийлэхийг зөвшөөрсөн бөгөөд түүний маргаан тийм үндэслэлгүй байсан тул эхнийхийг нь үгүйсгэж, хоёр дахь нь таарахгүй байгааг танд харуулах нь надад бараг л хэцүү байх болно. . Юуны өмнө Никколо Тарталья сайн дураараа хоёулаа замаа хуваалцсан бол бид ямар хууран мэхлэлтийн талаар ярьж болох вэ? Геронимо Кардано алгебрийн дүрмийг нээхэд миний өрсөлдөгчийн үүргийн талаар ингэж бичжээ. Тэрээр хэлэхдээ, энэ бол Кардано биш, харин миний найз Тартаглия хүний ​​оюун ухаан, хүний ​​оюун санааны авьяас чадвараас давсан ийм үзэсгэлэнтэй, гайхалтай зүйлийг нээсэн нь нэр төрийн хэрэг юм. Энэхүү нээлт бол үнэхээр тэнгэрлэг бэлэг бөгөөд үүнийг ухаарсан оюун ухааны хүч чадлын гайхамшигтай нотолгоо бөгөөд үүнийг юу ч хүрч чадахгүй гэж үзэж болохгүй. "

Өрсөлдөгч маань намайг болон манай багшийг асуудлынхаа буруу шийдлийг өгсөн гэж буруутгав. Хэрэв тэгшитгэлд орлуулж, энэ тэгшитгэлд заасан бүх үйлдлийг хийвэл бид ижил төстэй байдалд хүрч ирвэл тэгшитгэлийн үндэс хэрхэн буруу байж болох вэ? Хэрэв сенатор Тартаглиа тууштай байхыг хүсч байвал бид түүний хэлснээр түүний бүтээлийг хулгайлж, санал болгож буй асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигласан бид яагаад буруу шийдэл хүлээн авсан тухай тайлбарыг хариулах ёстой байв. Бид - багш бид хоёр, гэхдээ Signor Tartaglia -ийн шинэ бүтээл чухал биш гэж үздэг. Энэхүү шинэ бүтээл нь гайхалтай юм. Түүнээс гадна, би түүнд ихээхэн найдаж, 4 -р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх арга олсон бөгөөд Арсмагнад багш маань энэ тухай ярьсан юм. Сенор Тарталия биднээс юу хүсдэг вэ? Тэр маргаанаар юу хүсдэг вэ?

Ноёд оо, ноёд оо, - гэж Тартаглия хашгирав, - Намайг сонсохыг танаас хүсч байна! Миний залуу өрсөлдөгч логик, уран цэцэн ярианы хувьд маш хүчтэй байхыг би үгүйсгэхгүй. Гэхдээ энэ нь жинхэнэ математикийн нотолгоог орлож чадахгүй. Миний Кардано, Феррари нарт өгсөн асуудлууд зөв шийдэгдээгүй байсан ч би үүнийг батлах болно. Үнэхээр, жишээлбэл, шийдэгдсэн хүмүүсийн дундаас нэг тэгшитгэлийг авч үзье. Чиний мэдэж байгаачлан ...

Сүмд санаанд багтамгүй чимээ гарч, азгүй математикчийн эхлүүлсэн өгүүлбэрийн төгсгөлийг бүрэн бүрхэв. Түүнийг үргэлжлүүлэхийг зөвшөөрөөгүй. Цугларсан хүмүүс түүнийг амаа хамхиж, дарааллыг Феррари компанид өгөхийг шаардав. Тартаглия маргааны үргэлжлэл огт хэрэггүй болохыг олж хараад яаран индэр дээрээс бууж хойд үүдний танхимаар талбай руу гарав. Цугларсан хүмүүс маргааны "ялагч" Луижи Феррари -г хөгжөөн дэмжиж байв.

Ийнхүү улам бүр маргаан дагуулсаар байгаа энэхүү маргаан ийнхүү өндөрлөв. 3 -р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг хэн эзэмшдэг вэ? Бид одоо ярьж байна - Никколо Тарталья. Тэр нээж, Кардано түүнээс олж мэдсэн зүйлээ олж авав. Хэрэв одоо бид 3 -р зэргийн тэгшитгэлийн үндсийг коэффициентээр нь илэрхийлсэн томъёог Cardano томъёо гэж нэрлэж байгаа бол энэ бол түүхэн шударга бус явдал юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь шударга бус явдал мөн үү? Математикч бүрийн нээлтэд оролцсон түвшинг хэрхэн тооцоолох вэ? Цаг хугацаа өнгөрөх тусам хэн нэгэн энэ асуултанд үнэн зөв хариулах болно, эсвэл нууц хэвээр үлдэх болно ...

1. Формула Cardano

Орчин үеийн математик хэл, орчин үеийн бэлгэдлийг ашиглан Cardano томъёоны гарал үүслийг дараахь үндсэн зүйлийг харгалзан олж болно.

3 -р зэргийн ерөнхий тэгшитгэлийг бидэнд өгье.

x 3 + сүх 2 + bx + c = 0,

(1)

хаанаa, b, c – дурын бодит тоо.

(1) тэгшитгэлээр хувьсагчийг солиноNS шинэ хувьсагч руу yтомъёоны дагуу:

x 3 + сүх 2 + bx + c = (y ) 3 + а (y ) 2 + б (y ) + c = y 3 3y 2 + 3 жил+ а (y 2 2y+ гэхэд = y 3 y 3 + (б

Дараа нь тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авнаy 3 + ( б

Хэрэв бид тэмдэглэгээг танилцуулбалх = б, q = ,

Дараа нь тэгшитгэл хэлбэрийг авнаy 3 + py + q = 0.

Энэ бол алдартай Cardano томъёо юм.

Куб тэгшитгэлийн үндэсy 3 + py + q = 0 ялгаварлан гадуурхагчаас хамаарна

Д.=

ХэрэвД.> 0, тэгвэлкуб олон гишүүнт нь гурван өөр бодит үндэстэй.

ХэрэвД.< 0, то куб олон гишүүнт нь нэг жинхэнэ язгуур, хоёртой нарийн төвөгтэй үндэс(эдгээр нь нийлмэл нийлмэл).

ХэрэвД. = 0, энэ нь олон үндэстэй (үржүүлгийн нэг үндэс 2, үржүүлгийн нэг үндэс 1, хоёулаа бодитой; эсвэл үржүүлгийн нэг цорын ганц жинхэнэ үндэс).

2.4. Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх түгээмэл аргуудын жишээ

Тодорхой тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд Кардангийн томъёог ашиглахыг хичээцгээе.

Жишээ 1: x 3 +15 x+124 = 0

Эндх = 15; q = 124.

Хариулт:NS

Куб тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар тайлбарласан болно. Нэг үндэс мэдэгдсэн тохиолдолд хэргийг авч үзнэ. Бүхэл бүтэн, оновчтой үндсийг хайх арга. Аливаа куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд Cardano ба Vieta томъёог ашиглах.

Энд бид хэлбэрийн куб тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзье
(1) .
Цаашилбал, эдгээр нь бодит тоо гэж бид үзэж байна.

(2) ,
Дараа нь үүнийг хувааж, коэффициент бүхий (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна
.

Тэгшитгэл (1) нь гурван үндэстэй :, ба. Үндэсүүдийн нэг нь үргэлж хүчинтэй байдаг. Бид жинхэнэ язгуурыг. Үндэс нь жинхэнэ эсвэл нарийн нийлмэл байж болно. Жинхэнэ үндэс нь олон байж болно. Жишээлбэл, хэрэв бол, мөн давхар үндэс (эсвэл үржүүлгийн үндэс 2) бөгөөд энгийн үндэс болно.

Хэрэв нэг үндэс нь мэдэгдэж байвал

(1) куб тэгшитгэлийн нэг язгуурыг бидэнд мэдэгдээрэй. Мэдэгдэж буй үндсийг дараах байдлаар тэмдэглэе. Дараа нь (1) тэгшитгэлийг хуваахад бид квадрат тэгшитгэл авна. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид өөр хоёр үндэс ба.

Нотлохын тулд бид куб олон гишүүнтийг дараах байдлаар дүрсэлж болно гэдгийг ашигладаг.
.
Дараа нь (1) -ийг хувааж квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

Олон гишүүнтийг хуваах жишээг хуудсан дээр харуулав
"Олон гишүүнтийг олон өнцөгт булан ба багаар хуваах, үржүүлэх".
Хуудас дээр квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзнэ
"Квадрат тэгшитгэлийн үндэс".

Хэрэв нэг үндэс нь бүхэл бүтэн байвал

Хэрэв анхны тэгшитгэл бол:
(2) ,
ба түүний коэффициент ,,, бүхэл тоонууд юм бол та бүхэл язгуурыг олохыг оролдож болно. Хэрэв энэ тэгшитгэл нь бүхэл язгууртай бол энэ нь коэффициентийн хуваагч болно. Бүхэл тооны үндсийг олох арга бол бид тооны бүх хуваагчдыг олж, (2) тэгшитгэл байгаа эсэхийг шалгадаг. Хэрэв (2) тэгшитгэл хангагдсан бол бид түүний үндсийг олсон болно. Үүнийг дараах байдлаар тодорхойлъё. Дараа нь бид (2) тэгшитгэлийг хуваана. Бид квадрат тэгшитгэл авдаг. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өөр хоёр үндсийг олдог.

Бүхэл тооны үндсийг тодорхойлох жишээг хуудсан дээр өгсөн болно
Факторинг полиномын жишээ >>>.

Оновчтой үндсийг хайж олох

Хэрэв (2) тэгшитгэлд бүхэл тоонууд байгаа бөгөөд бүхэл бүтэн үндэс байхгүй бол та оновчтой үндсийг, өөрөөр хэлбэл бүхэл тоонууд болох хэлбэрийн үндсийг олохыг оролдож болно.

Үүнийг хийхийн тулд бид (2) тэгшитгэлийг үржүүлж орлуулна.
;
(3) .
Дараа нь бид (3) тэгшитгэлийн бүхэл тооны үндсийг чөлөөт хугацааны хуваагчаас хайж олох болно.

Хэрэв бид (3) тэгшитгэлийн салшгүй язгуурыг олсон бол хувьсагч руу буцахдаа тэгшитгэлийн (2) оновчтой үндсийг олж авна.
.

Кардано ба Вьетнамын куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо

Хэрэв бид ганц үндсийг мэдэхгүй, бүхэл бүтэн үндэс байхгүй бол Карданогийн томъёог ашиглан куб тэгшитгэлийн үндсийг олж болно.

Кубын тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Орлуулалтыг хийцгээе.
.
Үүний дараа тэгшитгэлийг дутуу эсвэл бууруулсан хэлбэрээр бууруулна.
(4) ,
хаана
(5) ; .

Ашигласан материал:
I.N. Бронштейн, К.А. Семендяев, Техникийн байгууллагын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009.
Г.Корн, Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012.

Нийлбэр кубын томъёог дахин харцгаая, гэхдээ өөрөөр бичье.

Энэ оруулгыг (13) тэгшитгэлтэй харьцуулж, тэдгээрийн хооронд холбоо тогтоохыг хичээ. Сануулга өгсөн ч гэсэн энэ нь тийм ч хялбар биш юм. Үсгийн тэмдгийг мэдэхгүйгээр куб тэгшитгэлийг шийдсэн Сэргэн мандалтын үеийн математикчид бид хүндэтгэл үзүүлэх ёстой. Томъёогоор орлуулъя.

(13) тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

эсвэл

мөн хэмжээгээр нь авна. Орлуулснаар энэ системийг маш энгийн хэлбэр болгон бууруулсан болно.

Дараа нь та янз бүрийн байдлаар ажиллах боломжтой, гэхдээ бүх "замууд" нь ижил квадрат тэгшитгэлд хүргэх болно. Жишээлбэл, Вьетнамын теоремын дагуу багасгасан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь хасах тэмдэг бүхий коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд үржвэр нь чөлөөт хугацаатай тэнцүү байна. Эндээс харахад тэгшитгэлийн үндэс болно

Эдгээр үндсийг бичье.

Ба -ийн куб үндэстэй тэнцүү хувьсагчид ба куб тэгшитгэлийн (13) хүссэн шийдэл нь эдгээр үндэсүүдийн нийлбэр юм.

.

Энэхүү томъёог дараах байдлаар нэрлэдэг Карданогийн томъёо.

Тригонометрийн шийдэл

орлуулалтыг "дутуу" хэлбэр болгон бууруулсан болно

, , . (14)

"Бүрэн бус" куб тэгшитгэлийн (14) үндэс нь тэнцүү байна

, ,

, ,

.

"Бүрэн бус" куб тэгшитгэлийг (14) хүчин төгөлдөр болгоё.

a) Хэрэв ("бууруулж болохгүй" тохиолдол) бол

,

,

.

(б) Хэрэв тийм бол

, .

(в) Хэрэв тийм бол

, ,

, .

Бүх тохиолдолд шоо үндэсийн бодит утгыг авдаг.

Биквадрат тэгшитгэл

Дөрөв дэх зэрэг алгебрийн тэгшитгэл.

a, b, c бол зарим бодит тоо юм хоёр квадрат тэгшитгэл... Орлуулалт нь тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулдаг хоёр хугацааны хоёр тэгшитгэлийн дараагийн шийдэл ба (мөн харгалзах квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно).

Хэрэв ба бол биквадрат тэгшитгэл нь дөрвөн бодит үндэстэй:

Хэрэв, ), дараа нь биквадрат тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэс ба төсөөллийн нийлмэл үндэстэй:

.

Хэрэв ба, тэгвэл биквадрат тэгшитгэл нь хос төсөөлөлтэй хосолсон дөрвөн үндсэн үндэстэй:

, .

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэл

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг 16 -р зуунд олсон. Людовико Феррари, Жероламо Карданогийн сурагч. Үүнийг арга гэж нэрлэдэг Феррари.

Куб ба квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн нэгэн адил дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд

та гишүүнээр орлуулах замаар салж болно. Тиймээс үл мэдэгдэх кубын коэффициент тэг байна гэж бид тооцоолох болно.

Ферраригийн санаа бол тэгшитгэлийг дүрсээр илэрхийлэх явдал байв. Зүүн тал нь илэрхийллийн квадрат, баруун тал нь шугаман тэгшитгэлийн квадрат бөгөөд коэффициент нь үүнээс хамаарна. Үүний дараа хоёр квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэвээр байна: ба. Мэдээжийн хэрэг, ийм дүрслэлийг зөвхөн параметрийн тусгай сонголтоор хийх боломжтой. Үүнийг хэлбэрээр авах нь тохиромжтой бөгөөд тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн баруун тал нь квадрат гурвалжин юм. Ялгаварлан гадуурхагч нь тэгтэй тэнцүү байх үед энэ нь төгс дөрвөлжин болно.

, эсвэл

Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг шийдэмгий (өөрөөр хэлбэл "зөвшөөрөгдөх"). Энэ нь харьцангуй куб бөгөөд Карданогийн томъёо нь түүний зарим үндсийг олох боломжийг олгодог. Учир нь (15) тэгшитгэлийн баруун гар тал нь маягтыг авдаг

,

тэгшитгэл нь өөрөө хоёр дөрвөлжин болж буурсан байна.

.

Тэдний үндэс нь анхны тэгшитгэлийн бүх шийдлийг өгдөг.

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг шийдье

Энд бэлэн биш томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой байх болно, гэхдээ шийдлийн санааг ашиглах болно. Бид тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ

зүүн талд бүрэн дөрвөлжин хэлбэртэй байхын тулд хоёр талд илэрхийлэл нэмнэ үү.

Одоо тэгшитгэлийн баруун талын ялгаварлан гадуурхагчийг тэгтэй адилтгаж үзье.

эсвэл хялбаршуулсны дараа

Үүссэн тэгшитгэлийн үндэсүүдийн нэгийг чөлөөт хугацааны хуваагуураар дамжуулж таах боломжтой. Энэ утгыг орлуулсны дараа бид тэгшитгэлийг олж авна

хаана. Үүссэн квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь болно ба ... Мэдээжийн хэрэг, ерөнхий тохиолдолд нарийн төвөгтэй үндсийг олж авч болно.