Дулаан дамжилтын тэгшитгэл. Дулааны тэгшитгэлийн үндсэн шийдэл. Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Гэр

Чулуу

Нэг төрлийн орчинд дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн тэгшитгэл нь бидний харж байгаагаар хэлбэртэй байна

Дотоод дулаан дамжилтын илтгэлцүүр, c нь бодисын дулааны багтаамж бөгөөд нягтрал юм. Тэгшитгэл (1) -ээс гадна анхны температурын хуваарилалтыг өгдөг анхны нөхцөлийг санах хэрэгтэй

Хэрэв бие нь гадаргуугаар (S) хязгаарлагдмал бол энэ гадаргуу дээр бид бас хязгаарлагдмал нөхцөлтэй байх бөгөөд энэ нь физик нөхцөл байдлаас хамааран өөр байж болно. Жишээлбэл, гадаргуу (S) нь тодорхой температурт хадгалагдах боломжтой бөгөөд энэ нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Энэ тохиолдолд хязгаарлах нөхцөл нь U функцийг гадаргуу дээр (S) зааж өгөх хүртэл буурдаг ба энэ өгөгдсөн функц t хугацаанаас мөн хамаарч болно. Хэрэв гадаргуугийн температур тогтмол биш боловч хүрээлэн буй орчинд өгөгдсөн температурын цацраг туяа байдаг бол Ньютоны хуулийн дагуу үнэн зөв биш боловч гадаргуугаар дамжин өнгөрөх дулааны урсгал (S) нь хүрээлэн буй орчны температурын зөрүүтэй пропорциональ байна. болон биеийн гадаргуу (S). Энэ нь маягтын хязгаарын нөхцөлийг өгдөг

Энд h пропорциональ коэффициентийг гадаад дулаан дамжилтын илтгэлцүүр гэнэ.

Шугаман хэмжээс бүхий биед дулаан тархах тохиолдолд (1) тэгшитгэлийн оронд тэнхлэгийн дагуу байрладаг гэж үздэг нэгэн төрлийн саваагаар бид тэгшитгэлтэй болно.

Тэгшитгэлийн энэ хэлбэрийн хувьд мэдээжийн хэрэг савааны гадаргуу ба хүрээлэн буй орон зайн хоорондох дулаан солилцоог тооцохгүй.

Тэгшитгэлийг (S) мөн тэгшитгэлээс (1) авч болно, U нь -ээс хамааралгүй гэж үзвэл. Савааны хувьд эхний нөхцөл байдал

Тогтворгүй байдлын дулаан дамжуулалтын тэгшитгэл

суурин бус, хэрэв биеийн температур нь тухайн цэгийн байрлал болон цаг хугацааны аль алинаас хамаарна.

-ээр тэмдэглэе Тэгээд = Тэгээд(М, т) цэг дэх температур Мгадаргуугаар хязгаарлагдсан нэгэн төрлийн бие С, тухайн цаг мөчид т. Энэ нь дулааны хэмжээ гэдгийг мэддэг dQ, цаг хугацааны явцад шингэдэг dt, тэгш эрхээр илэрхийлэгдэнэ

Хаана dS- гадаргуугийн элемент, к− дотоод дулаан дамжилтын илтгэлцүүр, − функцийн дериватив Тэгээдгадаргуугийн гаднах хэвийн чиглэлд С. Энэ нь температур буурах чиглэлд тархдаг тул, дараа нь dQ> 0 бол > 0, ба dQ < 0, если < 0.

Тэгш эрхээс (1) энэ нь дараах байдалтай байна

Одоо олъё Qөөр аргаар. Элементийг сонгоно уу dVэзлэхүүн В, гадаргуугаар хязгаарлагддаг С. Дулааны хэмжээ dQ, элементээр хүлээн авсан dVцаг хугацаанд dt, энэ элемент дэх температурын өсөлт ба элементийн масстай пропорциональ байна, i.e.

бодисын нягтрал хаана байна, бодисын дулаан багтаамж гэж нэрлэгддэг пропорциональ коэффициент.

Тэгш эрхээс (2) энэ нь дараах байдалтай байна

Тиймээс,

Хаана. Үүнийг авч үзвэл = , , бид болно

Остроградский-Ногоон томъёог ашиглан тэгш байдлын баруун талыг орлуулснаар бид олж авна.

ямар ч эзлэхүүний хувьд В. Эндээс бид авдаг дифференциал тэгшитгэл

гэж нэрлэдэг тогтворгүй тохиолдолд дулааны тэгшитгэл.

Хэрэв бие нь тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн саваа юм Өө, тэгвэл дулааны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Дараах тохиолдлуудад Кошигийн асуудлыг авч үзье.

1. Хязгааргүй савааны тохиолдол.(3) тэгшитгэлийн шийдийг олох ( т> 0, ), эхний нөхцөлийг хангаж байна. Фурье аргыг ашиглан бид уусмалыг хэлбэрээр олж авдаг

− Пуассоны интеграл.

2. Саваа хайрцаг, нэг талдаа хязгаарлагдмал.Анхны нөхцөл ба хилийн нөхцөлийг хангасан (3) тэгшитгэлийн шийдийг томъёогоор илэрхийлнэ.

3. Саваа хайрцаг, хоёр талдаа хязгаарлагдмал.Кошигийн асуудал бол хэзээ X= 0 ба X = л(3) тэгшитгэлийн эхний нөхцөл ба хилийн хоёр нөхцлийг хангасан шийдийг ол, жишээ нь, эсвэл.

Энэ тохиолдолд тодорхой шийдлийг цуврал хэлбэрээр эрэлхийлдэг

хилийн нөхцлийн хувьд,

болон цуврал хэлбэрээр

хилийн нөхцлийн хувьд.

Жишээ.Тэгшитгэлийн шийдийг ол

анхны нөхцөлийг хангах

болон хилийн нөхцөл.

□ Бид Кошигийн асуудлын шийдлийг маягтаас хайх болно

Тиймээс,

Хөдөлгөөнгүй тохиолдолд дулааны тэгшитгэл

Бие дэх дулааны хуваарилалтыг гэж нэрлэдэг суурин, хэрэв биеийн температур Тэгээдцэгийн байрлалаас хамаарна М(X, цагт, z), гэхдээ цаг хугацаанаас хамаардаггүй т, өөрөөр хэлбэл

Тэгээд = Тэгээд(М) = Тэгээд(X, цагт, z).

Энэ тохиолдолд 0 ба суурин тохиолдолд дулаан дамжуулах тэгшитгэл болно Лапласын тэгшитгэл

гэж ихэвчлэн бичдэг.

Температур хүртэл ТэгээдЭнэ тэгшитгэлээс бие махбодид өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдсон тул та гадаргуу дээрх температурыг мэдэх хэрэгтэй Сбие. Тиймээс (1) тэгшитгэлийн хувьд хил хязгаарын асуудалдараах байдлаар томъёолсон.

Функцийг олох Тэгээд, эзлэхүүний доторх тэгшитгэлийг (1) хангадаг Вболон цэг бүр дээр хүлээн авах Мгадаргуу Сутгыг тохируулах

Энэ даалгавар гэж нэрлэдэг Дирихлетийн асуудалэсвэл Эхний хилийн бодлогын асуудалтэгшитгэлийн хувьд (1).

Хэрэв биеийн гадаргуу дээрх температур тодорхойгүй бөгөөд гадаргуугийн цэг бүр дэх дулааны урсгал нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь -тэй пропорциональ байвал гадаргуу дээр. Схилийн нөхцлийн (2) оронд бид нөхцөлтэй болно

Хилийн нөхцөл (3)-ыг хангасан (1) тэгшитгэлийн шийдийг олох бодлогыг гэнэ. Нейманы асуудалэсвэл Хоёр дахь хилийн бодлогын асуудал.

Хавтгай дүрсүүдийн хувьд Лапласын тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ

Лапласын тэгшитгэл нь хэрэв орон зайн хувьд ижил хэлбэртэй байна Тэгээдкоординатаас хамаарахгүй z, өөрөөр хэлбэл Тэгээд(М) цэг хөдөлж байх үед тогтмол утгыг хадгална Мшулуун шугамаар, зэрэгцээ тэнхлэг Оз.

-ийг орлуулснаар (4) тэгшитгэлийг туйлын координат болгон хувиргаж болно

Гармоник функцийн тухай ойлголт нь Лапласын тэгшитгэлтэй холбоотой. Функцийг дууддаг гармоникбүс нутагт Д, хэрэв энэ мужид энэ нь 2 дахь эрэмбийг багтаасан деривативуудын хамт үргэлжилсэн бөгөөд Лапласын тэгшитгэлийг хангаж байвал.

Жишээ.Дулаан тусгаарлагдсан хажуу гадаргуутай нимгэн саваа дахь хөдөлгөөнгүй температурын тархалтыг олоорой, хэрэв савааны төгсгөлд , .

□ Бидэнд нэг хэмжээст хэрэг байна. Функцийг олох хэрэгтэй Тэгээд, тэгшитгэл ба хилийн нөхцлийг хангах, . Дээрх тэгшитгэлийн ерөнхий тэгшитгэл нь . Хилийн нөхцлийг харгалзан бид олж авдаг

Тиймээс дулаан тусгаарлагдсан хажуугийн гадаргуутай нимгэн саваа дахь температурын хуваарилалт шугаман байна. ■

Тойрогт зориулсан Дирихлетийн асуудал

Радиустай тойрог өгье Ртуйл дээр төвлөрсөн ТУХАЙтуйлын координатын систем. Тойрог доторх гармоник бөгөөд тойрог дээрх нөхцөлийг хангасан функцийг олох шаардлагатай бөгөөд үүнд тойрог дээр тасралтгүй байгаа өгөгдсөн функц байна. Шаардлагатай функц нь тойрог дахь Лапласын тэгшитгэлийг хангах ёстой

Фурье аргыг ашиглан олж авах боломжтой

− Пуассоны интеграл.

Жишээ.Радиустай жигд нимгэн дугуй хавтан дээрх хөдөлгөөнгүй температурын тархалтыг ол Р, дээд тал нь температурт, доод тал нь температурт хадгалагддаг.

□ Хэрэв, тэгвэл, хэрэв бол, тэгвэл. Температурын тархалтыг интегралаар илэрхийлнэ

Цэгийг дээд хагас тойрогт байрлуулна, өөрөөр хэлбэл. ; дараа нь -ээс хооронд хэлбэлзэх ба энэ уртын интервал нь цэгүүдийг агуулаагүй болно. Тиймээс бид орлуулалтыг танилцуулж байна , хаанаас , . Дараа нь бид авна

Тэгэхээр баруун тал нь сөрөг байна Тэгээд at тэгш бус байдлыг хангана. Энэ тохиолдолд бид шийдлийг олж авдаг

Хэрэв цэг нь доод хагас тойрогт байрладаг бол, i.e. , дараа нь өөрчлөлтийн интервал нь цэгийг агуулж байгаа боловч 0-г агуулаагүй бөгөөд бид орлуулалтыг хийж болно, хаанаас , , Дараа нь эдгээр утгуудын хувьд бид байна.

Үүнтэй төстэй өөрчлөлтүүдийг хийснээр бид олж мэднэ

Баруун тал нь одоо эерэг байгаа тул. ■

Дулааны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх төгсгөлийн ялгаа арга

Бид тэгшитгэлийн шийдлийг олох хэрэгтэй гэж бодъё

сэтгэл хангалуун:

анхны нөхцөл

болон хилийн нөхцөл

Тиймээс (2), (3), (4) нөхцөлийг хангасан (1) тэгшитгэлийн шийдлийг олох шаардлагатай. , , , шугамаар хүрээлэгдсэн тэгш өнцөгт дэх шийдийг олох шаардлагатай, хэрэв шаардлагатай функцийн утгууд нь түүний гурван тал дээр , , өгөгдсөн бол , , .

Шулуун шугамаар үүссэн тэгш өнцөгт сүлжээг байгуулъя

− тэнхлэгийн дагуу алхах Өө;

− тэнхлэгийн дагуу алхах -аас.

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.

Хязгаарлагдмал ялгааны тухай ойлголтоос бид бичиж болно

адилхан

Томъёо (6), (7) ба танилцуулсан тэмдэглэгээг харгалзан бид (1) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ.

Эндээс бид тооцооллын томъёог авна

(8)-аас k-ийн гурван утга гарч ирнэ ксүлжээний давхарга: , , , дараа нь та утгыг тодорхойлж болно ( к+ 1)-р давхарга.

Эхний нөхцөл (2) нь шулуун шугам дээрх бүх утгыг олох боломжийг танд олгоно; Хилийн нөхцөл (3), (4) нь шугаман дээрх утгыг олох боломжийг олгодог. Томъёо (8) ашиглан бид дараагийн давхаргын бүх дотоод цэгүүдийн утгыг олно, жишээлбэл. Учир нь к= 1. Хүссэн функцын туйлын цэгүүдийн утгууд нь дараахаас мэдэгддэг хилийн нөхцөл(3), (4). Нэг сүлжээний давхаргаас нөгөөд шилжихдээ бид бүх сүлжээний зангилаанд хүссэн шийдлийн утгыг тодорхойлно.

;

Тасралтгүй механик

Тасралтгүй орчин Мөн үзнэ үү:

Портал: ФизикДиффузын тэгшитгэл төлөөлдөгхувийн үзэмж

хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл. Энэ нь суурин бус, суурин байж болно. Шийдвэр гаргахдаа тайлбарлах утгаараадиффузийн тэгшитгэл Бид бодисын (эсвэл бусад объектын) концентрацийн орон зайн координат ба цаг хугацаанаас хамаарах хамаарлыг олох тухай ярьж байгаа бөгөөд тархалтын орчны нэвчилтийг тодорхойлдог коэффициентийг (ерөнхий тохиолдолд орон зайн координат ба цаг хугацаанаас хамаарна) өгсөн болно. . Шийдвэр гаргахдаадулааны тэгшитгэл

Бид орчны температурын орон зайн координат ба цаг хугацаанаас хамаарах хамаарлыг олох тухай ярьж байгаа бөгөөд орчны дулаан багтаамж ба дулаан дамжилтын илтгэлцүүр (мөн ерөнхий тохиолдолд нэг төрлийн бус) өгөгдсөн.

Ихэнх тохиолдолд энэ нь тэдгээрийн хэрэглээний талбар дахь тархалт ба дулаан дамжилтын тэгшитгэлүүд нь квант нөлөөлөл эсвэл гэрлийн хурдны хязгаарлагдмал байдал чухал болох газруудаас хол байна гэсэн үг юм. Ихэнх тохиолдлууд нь зөвхөн гарал үүсэлтэй төдийгүй зарчмын хувьд Ньютоны сонгодог физикийн хүрээнд хязгаарлагддаг.

Хөдөлгөөнд байгаа шингэн ба хийн дулаан дамжилтын асуудалд диффузийн тэгшитгэлийн оронд тээврийн тэгшитгэлийг ашигладаг бөгөөд энэ нь макроскопийн хөдөлгөөнийг үл тоомсорлож болохгүй тохиолдолд тархалтын тэгшитгэлийг өргөжүүлдэг.

Диффузын тэгшитгэлийн хамгийн ойрын албан ёсны бөгөөд олон талаараа бодитой аналог нь Шредингерийн тэгшитгэл бөгөөд тархалтын тэгшитгэлээс цаг хугацааны деривативын өмнөх хүчин зүйлийн төсөөллийн нэгжээр ялгаатай байдаг. Шредингерийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон теоремууд, тэр ч байтугай түүний шийдлүүдийн зарим хэлбэрүүд нь диффузийн тэгшитгэл ба түүний шийдлийн талаархи харгалзах теоремуудтай шууд төстэй боловч тэдгээрийн шийдлүүд нь чанарын хувьд маш их ялгаатай байдаг.

Ерөнхий үзэл

Тэгшитгэлийг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , (\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))) \partial t))=\nabla \cdot (\big [)D(\varphi ,\mathbf (r))\ \nabla \varphi (\mathbf (r) ,t)(\том ]),)

хаана φ( r, т) нь нэг цэгт тархах бодисын нягт юм rболон үеэр тТэгээд Д(φ, r) - цэг дэх нягтын φ-ийн ерөнхий тархалтын коэффициент r; ∇ - ажиглагдаж болох оператор. Хэрэв тархалтын коэффициент нь нягтралаас хамаардаг бол тэгшитгэл нь шугаман бус, шугаман байна.

Хэрэв Д- тэгш хэмт эерэг тодорхой оператор, тэгшитгэл нь анизотроп тархалтыг тодорхойлдог.

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] .

Хэрэв Д(\displaystyle (\frac (\хэсэг \varphi (\mathbf (r) ,t))(\хэсэг t))=\нийлбэр _(i=1)^(3)\нийлбэр _(j=1)^( 3)(\frac (\хэсэг )(\хэсэг x_(i)))\зүүн.)

тогтмол байвал тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэл болж буурна.

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , (\displaystyle (\frac (\partial \phi (\mathbf (r) ,t))(\хэсэг t))=D\ nabla ^(2)\phi (\mathbf (r) ,t),)

Гарал үүслийн түүх

Тогтворгүй тэгшитгэлТогтворгүй диффузийн тэгшитгэлийг гэж ангилдагпараболик

дифференциал тэгшитгэл. Энэ нь тархалтын улмаас ууссан бодисын тархалт эсвэл дулаан дамжилтын үр дүнд биеийн температурын дахин хуваарилалтыг тодорхойлдог.

Диффузын (дулаан дамжилтын) коэффициент бүхий нэг хэмжээст тархалтын процессын хувьд. D (\displaystyle D)тэгшитгэл нь:

∂ ∂ t c (x , t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x , t) + f (x , t) .

(\displaystyle (\frac (\хэсэг)(\хэсэг t))c(x,\;t)=(\frac (\хэсэг)(\хэсэг x))D(\frac (\хэсэг)(\хэсэг х) ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).) D (\displaystyle D)Тогтмол үед

хэлбэрийг авдаг:

Хаана ∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , (\displaystyle (\frac (\хэсэг )(\хэсэг t))c(x,\) ;t)=D(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг х^(2)))(c(x,\;t))+f(x,\;t),) c (x , t) (\displaystyle c(x,\;t)) нь тархах бодисын концентраци, a f (x , t) (\displaystyle f(x,\;t))

- бодисын (дулааны) эх үүсвэрийг дүрсэлсэн функц.

Гурван хэмжээст хэрэг

Гурван хэмжээст тохиолдолд тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана ∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c( (\vec (r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r)),\;t))+f((\vec (r)),\; т),)∇ = (∂ x, ∂ y, ∂ z) (\displaystyle \nabla =(\хэсэг _(x),\;\хэсэг _(y),\;\хэсэг _(z))) - nabla оператор, болон(,) (\displaystyle (\;,\;))

- скаляр бүтээгдэхүүн. Үүнийг мөн гэж бичиж болно

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f , (\displaystyle \partial _(t)c=\mathbf (div) \,(D\,\mathbf (grad) \,c)+f,) D (\displaystyle D)Тогтмол үед

мөн тогтмол

Хаана ∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\хэсэг )(\хэсэг t))c((\vec () r)),\;t)=D\Delta c((\vec (r)),\;t)+f((\vec (r)),\;t),)Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг х) ^(2)))+(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг y^(2)))+(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг z^(2))) )

- Лаплас оператор. n

- хэмжээст хэрэг N (\displaystyle n) -хэмжээт тохиолдол - дээр дурдсан шууд ерөнхий дүгнэлт, зөвхөн набла оператор, градиент ба дивергенц, түүнчлэн Лаплас операторын тусламжтайгаар бид ойлгох ёстой. n (\displaystyle n)

-харгалзах операторуудын хэмжээст хувилбарууд: ∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , (\displaystyle \nabla =(\хэсэг _(1),\;\хэсэг _(2),\;\ldots ,\;\хэсэг _(n) )))

Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=\хэсэгчилсэн _(1)^(2)+\хэсэг _(2)^(2)+\ldots +\хэсэг _(n)^(2).).

Энэ нь хоёр хэмжээст тохиолдолд ч хамаатай

n = 2 (\displaystyle n=2)

Ерөнхийдөө диффузийн тэгшитгэл нь өгөгдсөн бодисын нимгэн давхаргаар тусгаарлагдсан бүс нутгийн концентрацийн (температурын) зөрүүтэй бодисын урсгалын (эсвэл дулааны энерги) пропорциональ байдлыг илэрхийлдэг эмпирик (эсвэл ямар нэгэн байдлаар онолын хувьд үүссэн) тэгшитгэлээс үүсдэг. тархалтын (эсвэл дулаан дамжилтын) коэффициентээр тодорхойлогддог нэвчилт:

Φ = − ϰ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi =-\varkappa (\frac (\хэсэг c)(\хэсэг х)))(нэг хэмжээст хэрэг), j = − ϰ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) =-\varkappa \nabla c)(ямар ч хэмжээтэй),

бодисын (эсвэл энергийн) хадгалалтыг илэрхийлсэн тасралтгүй байдлын тэгшитгэлтэй хослуулсан:

∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\displaystyle (\frac (\хэсэг c)(\хэсэг t))+(\frac (\хэсэг \Phi )(\хэсэг x))=0)(нэг хэмжээст хэрэг), ∂ c ∂ t + d i v j = 0 (\displaystyle (\frac (\хэсэг в)(\хэсэг t))+\mathrm (div) \,\mathbf (j) =0)(ямар ч хэмжээтэй),

дулаан дамжилтын тэгшитгэлийн хувьд дулааны багтаамжийг (температур = эрчим хүчний нягтрал / хувийн дулаан багтаамж) харгалзан үзнэ.

Энд баруун талын материйн (энергийн) эх үүсвэрийг орхигдуулсан боловч асуудалд материйн (энергийн) дотогш (гарч) урсах (гарцах) байвал түүнийг хялбархан байрлуулж болно.
Мөн тархах бодисын урсгалд (бохирдол) гадны ямар ч хүч, түүний дотор таталцал (идэвхгүй хольц) нөлөөлдөггүй гэж үздэг.

Б.

Нэмж дурдахад энэ нь аяндаа ижил төстэй ялгаа тэгшитгэлийн тасралтгүй хязгаар болж үүсдэг бөгөөд энэ нь салангид тор (нэг хэмжээст эсвэл -хэмжээт тохиолдол - дээр дурдсан шууд ерөнхий дүгнэлт, зөвхөн набла оператор, градиент ба дивергенц, түүнчлэн Лаплас операторын тусламжтайгаар бид ойлгох ёстой.- хэмжээст). (Энэ бол хамгийн энгийн загвар; илүү төвөгтэй санамсаргүй алхалтын загваруудад тархалтын тэгшитгэл нь тасралтгүй хязгаарт мөн үүсдэг.) Функцийн хамгийн энгийн тайлбар c (\displaystyle c)Энэ тохиолдолд өгөгдсөн цэг (эсвэл түүний ойролцоо) дахь бөөмсийн тоо (эсвэл концентраци) нь үйлчилдэг бөгөөд бөөмс бүр өнгөрсөн үеийнхээ санах ой (инерци)гүйгээр бусдаас үл хамааран хөдөлдөг (бага зэрэг төвөгтэй тохиолдолд - цаг хугацааны хувьд) хязгаарлагдмал санах ой).

Шийдэл

c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp ⁡ (− (x − x ′) 2 4 D t) d x ′ .

(\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)c_(f)(x-x",\;t)\ ,dx"=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)(\frac (1)(\sqrt (4\pi Dt)))\exp \left (-(\frac ((x-x")^(2))(4Dt))\баруун)\,dx".)

Физик тэмдэглэл бага хурдтайба макроскопийн масштаб (дээрхийг харна уу), энэ нь гайхах зүйл биш юм үндсэн шийдэлхол зайд энэ нь тийм ч бодитойгоор ажилладаггүй, албан ёсоор хязгаарлагдмал хугацаанд орон зайд хязгааргүй тархах боломжийг олгодог; Энэ нөлөөллийн хэмжээ нь зайнаас маш хурдан буурдаг тул энэ нөлөө нь зарчмын хувьд ажиглагддаггүй (жишээлбэл, бид нэгдмэл байдлаас хамаагүй бага концентрацийн тухай ярьж байна) гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид ийм бага концентрацийг туршилтаар хэмжиж болох нөхцөл байдлын талаар ярьж байгаа бол энэ нь бидний хувьд зайлшгүй шаардлагатай бол ядаж дифференциал биш, харин диффузийн диффузийн тэгшитгэлийг ашиглах шаардлагатай бөгөөд илүү дээр нь илүү нарийвчилсан микроскопийн физик ба Эдгээр тохиолдлуудад бодит байдлын талаар илүү хангалттай ойлголт авахын тулд статистик загварууд.

Хөдөлгөөнгүй тэгшитгэл

Даалгавар нь нягтрал эсвэл температурын тогтвортой төлөвийн хуваарилалтыг олоход (жишээлбэл, эх үүсвэрийн тархалт цаг хугацаанаас хамаардаггүй тохиолдолд) цаг хугацаатай холбоотой тэгшитгэлийн нөхцлүүдийг бусаас хасна. - суурин тэгшитгэл. Дараа нь гарч ирнэ суурин дулааны тэгшитгэл, эллипс тэгшитгэлийн ангилалд хамаарах. Түүний ерөнхий үзэл:

− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . (\displaystyle -(\nabla,\;D\nabla c((\vec (r))))=f((\vec (r))).) Δ c (r →) = − f (r →) D , (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=-(\frac (f((\vec (r))))(D) ))

Δ c (r →) = 0. (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=0.)

Хилийн утгын асуудлын мэдэгдэл Асуудаланхны нөхцөл

Хязгааргүй шулуун шугам дээрх температурын тархалтын тухай (Коши бодлого).

Хэрэв бид маш урт саваа дахь дулаан дамжуулах үйл явцыг авч үзвэл богино хугацаанд температурын хил хязгаарт бараг ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй бөгөөд авч үзэж буй талбайн температур нь зөвхөн анхны температурын тархалтаас хамаарна. болон , нөхцөлийг хангаж байна< x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty u (x , t 0) = φ (x) (− ∞

, өгөгдсөн функц хаана байна.

Хагас хязгааргүй савааны эхний хилийн бодлого

Хэрэв бидний сонирхож буй саваа хэсэг нь нэг төгсгөлийн ойролцоо байрладаг бөгөөд нөгөө талаас нь мэдэгдэхүйц хасагдсан бол бид хилийн нөхцлүүдийн зөвхөн аль нэгний нөлөөг харгалзан үзсэн хилийн утгын асуудалд хүрнэ. Бүсийн дулааны тэгшитгэлийн шийдийг ол− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) Тэгээд t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))

, нөхцөлийг хангаж байна< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

Хаана φ (x) (\displaystyle \varphi (x))− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) μ (t) (\displaystyle \mu (t))- заасан функцууд.

Анхны нөхцөлгүйгээр хилийн утгын бодлого

Хэрэв бидний сонирхож буй цаг хугацаа нь анхныхаасаа хангалттай хол байгаа бол үйл явцад үзүүлэх нөлөө нь цаг хугацааны явцад сулардаг тул эхний нөхцлийг үл тоомсорлох нь зүйтэй юм. Тиймээс бид хилийн нөхцлүүдийг тодорхойлсон бөгөөд анхны нөхцөл байхгүй асуудалд хүрдэг.

Хэрэв бидний сонирхож буй саваа хэсэг нь нэг төгсгөлийн ойролцоо байрладаг бөгөөд нөгөө талаас нь мэдэгдэхүйц хасагдсан бол бид хилийн нөхцлүүдийн зөвхөн аль нэгний нөлөөг харгалзан үзсэн хилийн утгын асуудалд хүрнэ. 0 ⩽ x ⩽ л (\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l)− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) − ∞ < t {\displaystyle -\infty t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))

( u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , (\displaystyle \left\((\эхлэх(массив)(l)u(0,\;t) )=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\төгс(массив))\баруун.)

хаана болон өгөгдсөн функцууд.

Хязгаарлагдмал бариулын хилийн утгын бодлого

Хилийн утгын дараах асуудлыг авч үзье.

u t = a 2 u x x + f (x , t) , 0< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0- дулаан дамжуулах тэгшитгэл.

Хэрэв f (x , t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0), тэгвэл ийм тэгшитгэлийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - нэг төрлийн бус.

u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l)- тухайн үеийн анхны нөхцөл байдал t = 0 (\displaystyle t=0), цэг дээрх температур x (\displaystyle x)функцээр өгөгдсөн φ (x) (\displaystyle \varphi (x)). u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , ) 0 ⩽ t ⩽ T (\displaystyle \left.(\begin(array)(l)u(0) ,\;t)=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\төгс(массив))\баруун\)\дөрөв 0 \leqslant t\leqslant T)- хилийн нөхцөл. Функцүүд μ 1 (t) (\displaystyle \mu _(1)(t))− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) μ 2 (t) (\displaystyle \mu _(2)(t)) 0 ба хилийн цэгүүдэд температурын утгыг тогтооно l (\displaystyle l)ямар ч үед t (\displaystyle t).

Хилийн нөхцлийн төрлөөс хамааран дулааны тэгшитгэлийн асуудлыг гурван төрөлд хувааж болно. Ерөнхий тохиолдлыг авч үзье ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\бета _(i)^(2)\neq 0,\;(i=) 1,\;2))).

α 1 u x (0, t) + β 1 u (0, t) = μ 1 (t), α 2 u x (l, t) + β 2 u (l, t) = μ 2 (t).

Хэрэв (\displaystyle (\эхлэх(массив)(l)\альфа _(1)u_(x)(0,\;t)+\бета _(1)у(0,\;t)=\mu _(1) )(t),\\\альфа _(2)u_(x)(l,\;t)+\бета _(2)у(l,\;t)=\mu _(2)(t). \төгсгөл(массив)))α i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)) , дараа нь ийм нөхцөл гэж нэрлэдэгэхний төрлийн нөхцөл байдал , Хэрэв - β i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2))хоёр дахь төрөл , мөн хэрэв− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) α i (\displaystyle \alpha _(i))β i (\displaystyle \beta _(i)) тэгээс ялгаатай, дараа нь нөхцөл. Эндээс бид дулаан дамжуулалтын тэгшитгэлийн асуудлуудыг олж авдаг - эхний, хоёр, гурав дахь хилийн бодлого.

Хамгийн дээд зарчим

Функцийг орон зайд оруулъя D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb (R) ^(n)), нэгэн төрлийн дулааны тэгшитгэлийг хангана ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-a^(2)\Delta u=0), ба D (\displaystyle D)- хязгаарлагдмал талбай. Хамгийн дээд зарчим нь функц гэж заасан байдаг u (x , t) (\displaystyle u(x,\;t))цаг хугацааны эхний мөчид эсвэл бүс нутгийн хил дээр хэт их утгыг авч болно D (\displaystyle D).

Тэмдэглэл

Дулаан дамжилтын илтгэлцүүр- Энэ бол дулаан дамжуулалтын нэг хэлбэр юм. Дулаан дамжуулалтыг янз бүрийн механизм ашиглан хийж болно.

Бүх бие нь цахилгаан соронзон долгионыг ялгаруулдаг. Өрөөний температурт энэ нь голчлон хэт улаан туяаны цацраг юм. Ийм зүйл болдог цацрагийн дулаан дамжуулалт.

Таталцлын талбар байгаа тохиолдолд шингэн дэх дулаан дамжуулах өөр нэг механизм байж болно конвекц. Шингэн эсвэл хий агуулсан саванд дулааныг ёроолоор нь нийлүүлбэл бодисын доод хэсгүүдийг эхлээд халааж, нягтрал нь буурч, дээшээ хөвж, үүссэн дулааны нэг хэсгийг дээд давхаргад шилжүүлдэг.

Дулаан дамжуулалтаар эрчим хүчний дамжуулалт нь илүү их энергитэй бөөмс (молекул, атом, электрон) -аас бага энергитэй бөөмс рүү шууд энерги шилжүүлсний үр дүнд үүсдэг.

Манай курс дулаан дамжуулалтаар дамжуулалтыг судлах болно.

Эхлээд температур нь зөвхөн нэг координатаас хамаарах нэг хэмжээст тохиолдлыг авч үзье X. Хоёр зөөгчийг зузаантай хавтгай хуваалтаар тусгаарла л(Зураг 23.1). Хэвлэл мэдээллийн температур Т 1 ба Т 2 нь тогтмол байна. Дулааны хэмжээг туршилтаар тогтоож болно Q, хэсэгтэй хуваалтын хэсгээр дамждаг Сцаг хугацаанд ттэнцүү байна

, (23.1)

пропорциональ коэффициент k нь хананы материалаас хамаарна.

At Т 1 > Т 2 дулааныг эерэг тэнхлэгийн чиглэлд шилжүүлдэг X, цагт Т 1 < Т 2 - сөрөг. Хэрэв (23.1) тэгшитгэлд () орлуулах юм бол дулааны тархалтын чиглэлийг харгалзан үзэж болно. Т 1 - Т 2)/лдээр (- дТ/dx). Нэг хэмжээст тохиолдолд дериватив дТ/dxДиффузын тэгшитгэл температурын градиент. Градиент нь чиглэл нь скаляр координатын функцийн хамгийн хурдан өсөх чиглэлтэй давхцдаг вектор гэдгийг санаарай (манай тохиолдолд). Т), модуль нь энэ чиглэлд бага хэмжээний шилжилттэй функцийн өсөлтийг энэ өсөлт гарсан зайд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Дулаан дамжуулалтыг тодорхойлсон тэгшитгэлийг илүү ерөнхий, бүх нийтийн хэлбэрийг өгөхийн тулд бид авч үзье дулааны урсгалын нягт j - нэгж хугацаанд нэгж талбайгаар дамжих дулааны хэмжээ

Дараа нь (23.1) хамаарлыг хэлбэрээр бичиж болно

Энд хасах тэмдэг нь дулааны урсгалын чиглэл нь температурын градиентийн чиглэлтэй (түүний өсөлтийн чиглэл) эсрэг байгааг харуулж байна. Тиймээс дулааны урсгалын нягт нь вектор хэмжигдэхүүн юм. Дулааны урсгалын нягтын вектор нь температурыг бууруулахад чиглэгддэг.

Хэрэв орчны температур нь бүх гурван координатаас хамаардаг бол (23.3) хамаарал хэлбэрийг авна

Хаана , - температурын градиент ( д 1 ,д 2 ,д 3 - координатын тэнхлэгийн нэгж векторууд).

(23.3) ба (23.4) хамаарал нь дулаан дамжилтын үндсэн хуулийг (Фурьегийн хууль) илэрхийлнэ. Дулааны урсгалын нягт нь температурын градиенттай пропорциональ байна.Пропорциональ хүчин зүйл k гэж нэрлэдэг дулаан дамжилтын илтгэлцүүр(эсвэл зүгээр л дулаан дамжуулалт). Учир нь дулааны урсгалын нягтын хэмжээ [ j] = J/(м 2 с) ба температурын градиент [ dT/dx] = К/м, дараа нь дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн хэмжээ [k] = J/(m×s×K).

Ерөнхийдөө жигд бус халсан бодисын янз бүрийн цэгүүдийн температур цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг. Температур нь зөвхөн нэг орон зайн координатаас хамаарах нэг хэмжээст тохиолдлыг авч үзье Xба цаг хугацаа т, мөн бид авдаг дулааны тэгшитгэл- функцээр хангагдсан дифференциал тэгшитгэл Т = Т(x,т).

Цилиндр эсвэл призм хэлбэртэй жижиг эзэлхүүнтэй элементийг хүрээлэн буй орчинд оюун ухаанаараа сонгоцгооё. X, ба суурь нь перпендикуляр байна (Зураг 23.2). Суурийн талбай С, ба өндөр dx. Энэ эзлэхүүний масс dm= r Sdx, түүний дулаан багтаамж c×dmЭнд r нь бодисын нягт, -тай- дулааны хувийн багтаамж. Богино хугацаанд зөвшөөрнө үү dtэнэ эзэлхүүн дэх температурын өөрчлөлт дТ. Үүнийг хийхийн тулд эзэлхүүн дэх бодис нь түүний дулааны хүчин чадал ба температурын өөрчлөлттэй тэнцэх хэмжээний дулааныг авах ёстой. . Нөгөөтэйгүүр, Д Qзөвхөн цилиндрийн ёроолоор дамжин эзлэхүүнийг оруулах боломжтой: (дулааны урсгалын нягт jэерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно). d-г тэгшитгэх илэрхийлэл Q, бид авдаг

Жижиг өсөлтийн харьцааг харгалзах деривативаар орлуулснаар бид харьцаанд хүрнэ

. (23.5)

Дулааны урсгалын нягтын илэрхийлэл (23.3)-ийг (23.5) томъёонд орлуулъя.

. (23.6)

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ дулааны тэгшитгэл. Хэрэв орчин нь нэгэн төрлийн бөгөөд дулаан дамжилтын илтгэлцүүр k нь температураас хамаарахгүй бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, (23.7)

тогтмолыг хаана гэж нэрлэдэг дулааны тархалтын коэффициенторчин.

(23.6) – (23.8) тэгшитгэлүүд нь хязгааргүй тооны функцээр хангагдана. Т = Т(x,т).

Дулааны тэгшитгэлийн өвөрмөц шийдлийг тусгаарлахын тулд тэгшитгэлд анхны болон хилийн нөхцлүүдийг нэмэх шаардлагатай.

Эхний нөхцөл нь орчин дахь температурын тархалтыг тодорхойлох явдал юм Т(X,0) цаг хугацааны эхний мөчид т = 0.

Хил хязгаарын температурын горимоос хамааран хилийн нөхцөл өөр байж болно. Ихэнх тохиолдолд температур эсвэл дулааны урсгалын нягтыг цаг хугацааны функцээр заагласан тохиолдолд тохиолддог.

Зарим тохиолдолд хүрээлэн буй орчинд дулааны эх үүсвэр байж болно. Цахилгаан гүйдэл, химийн эсвэл цөмийн урвалын үр дүнд дулаан ялгарч болно. Эзлэхүүний эрчим хүчний нягтыг нэвтрүүлэх замаар дулааны эх үүсвэр байгаа эсэхийг харгалзан үзэж болно q(x,y,z), нэгж хугацаанд орчны нэгж эзэлхүүн дэх эх үүсвэрээс ялгарах дулааны хэмжээтэй тэнцүү. Энэ тохиолдолд (23.5) тэгшитгэлийн баруун талд нэр томъёо гарч ирнэ. q:

Температурын талбар ба дулааны урсгалыг тооцоолох томъёо, ялангуяа суурин болон суурин бус дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг процессын математик тайлбар (математик загвар) дээр үндэслэн олж авна. Уг загвар нь ажил хийдэггүй биетүүдийн термодинамикийн нэгдүгээр хууль ба Фурьегийн дулаан дамжилтын хуулиудыг ашиглан гаргаж авсан дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн дифференциал тэгшитгэл дээр суурилдаг. Физик процессын дифференциал тэгшитгэлийг ихэвчлэн процессыг хялбаршуулдаг тодорхой таамаглалын дагуу гаргаж авдаг. Тиймээс үүссэн тэгшитгэл нь зөвхөн хүлээн зөвшөөрөгдсөн таамаглалын хүрээнд үйл явцын ангиллыг тодорхойлдог. Тодорхой даалгавар бүрийг хоёрдмол утгагүй харгалзах нөхцлөөр тодорхойлдог. Тиймээс дулаан дамжуулах үйл явцын математик тодорхойлолт нь дулаан дамжуулалтын дифференциал тэгшитгэл ба өвөрмөц байдлын нөхцлүүдийг агуулдаг.

Дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн дифференциал тэгшитгэлийн гарал үүслийг дараах таамаглалаар авч үзье.

a) бие нь нэгэн төрлийн, анизотроп;
б) дулаан дамжилтын илтгэлцүүр нь температураас хамаарна;
в) температурын өөрчлөлттэй холбоотой авч үзэж буй эзэлхүүний хэв гажилт нь эзэлхүүнтэй харьцуулахад маш бага байна;
г) биеийн дотор жигд тархсан дотоод дулааны эх үүсвэрүүд байдаг q v = f(x, y, z, t) = const;
д) бие биентэйгээ харьцуулахад биеийн макро хэсгүүдийн хөдөлгөөн байхгүй (конвекц).

Хүлээн зөвшөөрөгдсөн шинж чанар бүхий биед бид ирмэг бүхий параллелепипед хэлбэрээр энгийн эзэлхүүнийг сонгодог dx, dy, dz,гарцаагүй ортогональ координатын системд чиглэсэн байна (Зураг 14.1). Термодинамикийн нэгдүгээр хуульд заасны дагуу ажил хийдэггүй биетүүдийн дотоод энерги өөрчлөгддөг dUцаг хугацааны хувьд хуваарилагдсан эзлэхүүн дэх бодис dxнийлүүлсэн дулааны хэмжээтэй тэнцүү байна

Цагаан будаа. 14.1.

дулаан дамжуулалтаас болж эзэлхүүн рүү dQx, дотоод эх үүсвэрээс ялгарах дулаан dQ 2".

Термодинамикаас харахад бодисын дотоод энергийг эзлэхүүн өөрчлөгддөг dV цаг хугацаанд dx тэнцүү байна

Хаана dG = х dV- бодисын масс; p - нягтрал; -тай - хувийн жингийн дулаан багтаамж (шахагдах шингэний хувьд c = c v (изохорын дулаан багтаамж)).

Дотоод эх үүсвэрээс ялгарах энергийн хэмжээ нь

Хаана q v - дотоод дулааны эх үүсвэрийн эзэлхүүний нягт, Вт/м 3.

Эзлэхүүнд орж буй дулааны урсгалыг дулаан дамжилтын илтгэлцүүрээр бид координатын тэнхлэгийн чиглэлийн дагуу гурван бүрэлдэхүүн хэсэгт хуваана. Эсрэг нүүрээр дамжин дулаан байх болно

хэмжээгээр нь хасна Нийлүүлсэн дулааны хэмжээ ба ялгаруулсан дулааны зөрүү нь дулаан дамжилтын илтгэлцүүрээс үүдэлтэй дотоод энергийн өөрчлөлттэй тэнцүү байна. dQ v Энэ утгыг координатын тэнхлэгийн дагуух бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийлбэр гэж төсөөлье.

Дараа нь х тэнхлэгийн чиглэлд бид байна

Түүнээс хойш -

эсрэг талын гуоан дахь дулааны урсгалын нягт.

Чиг үүрэг q x+dxхаргалзан үзсэн интервалд тасралтгүй байна dxмөн Тейлорын цувралаар өргөжүүлж болно:

Цувралын эхний хоёр нөхцөлөөр хязгаарлаж, (14.6)-д орлуулснаар бид олж авна.

Үүнтэй төстэй байдлаар бид дараахь зүйлийг авна.

(14.8)-(14.10)-г (14.4)-д орлуулсны дараа бид байна.

(14.1) -д (14.2), (14.3) ба (14.11) орлуулснаар дотоод эх үүсвэрийг харгалзан дулаан дамжуулалтаар дулаан дамжуулах дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

Фурьегийн дулаан дамжилтын хуулийн дагуу бид дулааны урсгалын нягтын координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын илэрхийлэлийг бичдэг.

Хаана X x, X y, X z- координатын тэнхлэгийн чиглэлд (анизотроп бие) дулаан дамжилтын илтгэлцүүр.

Эдгээр илэрхийллийг (14.12) -д орлуулснаар бид олж авна

(14.13) тэгшитгэлийг температураас хамааралгүй физик шинж чанартай анизотроп биетүүдийн дулаан дамжилтын дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид хүлээн зөвшөөрвөл X = const, мөн бие нь изотроп, дулаан дамжилтын тэгшитгэл хэлбэрийг авна

Энд А = X/(дундж),м 2 / с, - дулааны тархалтын коэффициент,

Энэ нь халаах эсвэл хөргөх явцад температурын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог бодисын физик үзүүлэлт юм. Дулааны тархалтын өндөр коэффициент бүхий бодисоос бүтсэн бие нь бусад бүх зүйл тэнцүү байх үед илүү хурдан халж, хөрдөг.

Цилиндр координатын системд тогтмол физик шинж чанартай изотроп биеийн дулааны дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана g, z,Ф - тус тус радиаль, тэнхлэгийн болон өнцгийн координатууд.

Тэгшитгэл (14.13), (14.14) ба (14.15) нь дулаан дамжуулах үйл явцыг хамгийн ерөнхий хэлбэрээр дүрсэлдэг. Тодорхой үүрэг даалгавар нь өөр өөр байдаг хоёрдмол утгагүй нөхцөл, өөрөөр хэлбэл авч үзэж буй үйл явцын онцлог шинж чанаруудын тодорхойлолт.

Хоёрдмол утгагүй нөхцөл. Дулаан дамжилтын физик ойлголтууд дээр үндэслэн үйл явцад нөлөөлж буй хүчин зүйлсийг тодорхойлох боломжтой: бодисын физик шинж чанар; биеийн хэмжээ, хэлбэр; анхны температурын хуваарилалт; биеийн гадаргуу (хил) дээр дулаан солилцооны нөхцөл. Тиймээс өвөрмөц байдлын нөхцөлийг физик, геометрийн, анхны болон хилийн (ирмэг) гэж хуваадаг.

Биеийн нөхцөл байдалбодисын физик үзүүлэлтүүдийг тодорхойлсон X, s, r ба дотоод эх үүсвэрийн хуваарилалт.

Геометрийн нөхцөлүйл явц явагдаж буй биеийн хэлбэр ба шугаман хэмжээсийг тодорхойлсон.

Анхны нөхцөлцаг хугацааны эхний мөчид биеийн температурын хуваарилалтыг тодорхойлсон т= /(x, у, з) at m = 0. Тогтмол бус процессыг авч үзэхэд эхний нөхцөл нь чухал.

Биеийн хил дээрх дулааны солилцооны шинж чанараас хамааран хилийн (ирмэг) нөхцөлийг дөрвөн төрөлд хуваадаг.

Эхний төрлийн хилийн нөхцөл.Гадаргуу дээрх температурын хуваарилалтыг тогтооно тнүйл явцын үеэр

Тодорхой тохиолдолд гадаргуугийн температур тогтмол хэвээр байж болно (/ n = const).

Эхний төрлийн хилийн нөхцөл нь жишээлбэл, фанерыг наах, чип, шилэн хавтанг дарах гэх мэт үйл явцад контакт халаах үед үүсдэг.

Хоёр дахь төрлийн хилийн нөхцөл.Процессын явцад биеийн гадаргуу дээрх дулааны урсгалын нягтын утгын хуваарилалтыг зааж өгсөн болно

Тодорхой тохиолдолд гадаргуу дээрх дулааны урсгал тогтмол хэвээр байж болно (

Гурав дахь төрлийн хилийн нөхцөлгадаргуу дээрх конвектив дулаан дамжуулалттай тохирч байна. Эдгээр нөхцөлд биеийн байрлаж буй шингэний температурыг Г l = /(t), дулаан дамжуулах коэффициент oc-ыг тохируулах шаардлагатай. Ерөнхий тохиолдолд дулаан дамжуулах коэффициент нь хувьсах утга учир түүний өөрчлөлтийн хуулийг a =/(t) зааж өгөх шаардлагатай. Онцгой тохиолдол боломжтой: / f = const; a = const.

Дөрөв дэх төрлийн хилийн нөхцөлДулаан дамжуулалтаар дулаан дамждаг ба контактын гадаргуугийн эсрэг талын дулааны урсгал тэнцүү байх үед өөр өөр дулаан дамжилтын илтгэлцүүр бүхий биетүүдийн хоорондох дулаан солилцооны нөхцлийг тодорхойлно.

Хүлээн зөвшөөрөгдсөн физик таамаглалууд, эдгээр таамаглалын дагуу үүссэн тэгшитгэл, өвөрмөц байдлын нөхцөлүүд нь дулаан дамжуулах үйл явцын аналитик тайлбарыг (математик загвар) бүрдүүлдэг. Үүссэн загварыг тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах амжилт нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн таамаглал, хоёрдмол утгагүй байдлын нөхцөл бодит нөхцөлд хэр нийцэж байгаагаас хамаарна.

(14.14) ба (14.15) тэгшитгэлийг нэг хэмжээст суурин дулааны горимын хувьд аналитик аргаар маш энгийнээр шийдэж болно. Шийдвэрүүдийг доор авч үзэх болно. Ойролцоогоор тоон аргуудыг хоёр хэмжээст ба гурван хэмжээст хөдөлгөөнгүй процессуудад ашигладаг

Тогтворгүй дулааны нөхцөлд (14.13)-(14.15) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд тусгай ном зохиолд дэлгэрэнгүй авч үзсэн хэд хэдэн аргыг ашигладаг. Нарийн болон ойролцоо аналитик аргууд, тоон аргууд гэх мэтийг мэддэг.

Дулааны тэгшитгэлийн тоон шийдлийг үндсэндээ төгсгөлийн ялгааны аргаар гүйцэтгэдэг. Нэг буюу өөр шийдлийн аргыг сонгох нь асуудлын нөхцөл байдлаас хамаарна. Аналитик аргаар шийдвэрлэсний үр дүнд зохих нөхцөлд инженерийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой томъёог олж авдаг. Тоон аргууд нь температурын талбайг олж авах боломжтой болгодог t=f(x, y, z, r) тодорхой үүрэг даалгаврын хувьд тогтмол хугацаанд янз бүрийн цэгүүдэд температурын салангид утгын багц хэлбэрээр. Тиймээс аналитик аргуудыг ашиглах нь зүйтэй боловч олон хэмжээст асуудал, нарийн төвөгтэй хилийн нөхцлийн хувьд энэ нь үргэлж боломжгүй байдаг.

Хэсэгүүд