Энгийн үгээр трансцендент тоо. Трансцендент гэж юу вэ, эсвэл бид яагаад өөрсдийгөө таньж чадахгүй байна вэ? Бусад толь бичгүүдээс "Трансцендент тоо" гэж юу болохыг хараарай

Трансцендент тоог тодорхойлсон ишлэл

Бодит тоонуудыг оновчтой ба иррационал гэж хуваахаас гадна тэдгээрийн өөр нэг хуваагдал байдаг - алгебрийн ба трансцендентал.

Хэрэв бодит тоо нь хэлбэрийн зарим тэгшитгэлийг хангаж байвал

бүхэл тооны коэффициенттэй бол бид энэ тоог алгебрийн тоо гэж хэлдэг. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг хангаагүй бодит тоог трансцендентал гэж нэрлэдэг. ( Нарийн төвөгтэй тоояг ижил аргаар алгебрийн болон трансцендент гэж хуваагддаг боловч дараа нь бид зөвхөн бодит тоонуудыг сонирхох болно.)

Рационал тоо бүхэн алгебрийн шинжтэй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Жишээлбэл, 5/7 нь шаардлагатай төрлийн тэгшитгэлийг хангана. Ерөнхийдөө аливаа оновчтой тоо нь тэгшитгэлийг хангадаг тул алгебрийн шинж чанартай байдаг.

Рационал тоо бүр алгебрийн шинж чанартай байдаг тул алгебрийн бус тоо бүр иррациональ байна (40-р хуудсанд заасан "Илэрхийлэх арга замууд: хэрэв А бол В" гэсэн хүснэгтээс 12-р аргыг үзнэ үү), эсвэл бидэнд илүү тохиромжтой хэлбэрээр: бүр трансцендент тоо бол иррациональ . Энэ хуваалтыг Зураг дээр схемийн дагуу үзүүлэв. 15.

Энэ зурагт тоонууд нь алгебрийн тоонуудын жишээ болгон харагдаж байна. Дараах алгебрийн тэгшитгэлийг хангадаг тул эдгээр нь үнэхээр алгебр юм.

Нөгөө талаас тоонуудыг трансцендент тоонуудын жишээ болгон жагсаасан байдаг. (3.14159...-тэй тэнцэх тоо нь тойргийн тойргийн уртыг диаметрийнх нь урттай харьцуулсан харьцаа юм.) Эдгээр тоонуудаас хамаагүй гүн гүнзгий аргуудын хэрэглээнд үндэслэсэн тул бид энд эдгээр тоонуудын давж гарсан нотлох баримтыг гаргаж чадахгүй. бидний ашигладаг хүмүүс. Тооноос давж гарах нь 1882 онд тогтоогдсон боловч тооноос давж гарах нь хамаагүй хожуу үр дүн юм - энэ нь зөвхөн 1934 онд батлагдсан юм. Агуу математикч Дэвид Хилберт хорин гурван бодлогын алдартай жагсаалтыг зарлахдаа тоог жишээ болгон ашигласан. 1900 онд түүнийг математикийн хамгийн чухал шийдэгдээгүй асуудлууд гэж үзсэн. Ялангуяа Хильбертийн долоо дахь бодлого нь хэрэв тоонууд нь алгебрийн шинжтэй байдаг нь мэдэгдэж байгаа бол тухайн тоо алгебр эсвэл трансцендентал эсэхийг олж мэдэх явдал байв. (Рациональ тохиолдлуудыг хассан, учир нь эдгээр тохиолдлуудад тоо нь алгебрийн шинжтэй гэдгийг батлахад маш хялбар байдаг.) ​​1934 онд А.О.Гельфонд, түүнээс үл хамааран Т.Шнайдер нар энэ тоо трансцендентал болохыг тогтоожээ. Тооны давах нь мэдээжийн хэрэг, энэ ерөнхий үр дүнгийн онцгой тохиолдол юм.

Энэ үр дүнгээс тоо давах нь бас гарч ирдэг. Үнэн хэрэгтээ , 10-ыг а гэж тэмдэглэе. Аравтын бутархай логарифмын тодорхойлолтын ачаар

Хэрэв тоо нь алгебр, иррациональ байсан бол Гельфонд-Шнайдер теоремын дагуу тоо нь трансцендентал байх ёстой. Нэгэнт тийм биш учраас энэ нь оновчтой эсвэл трансцендент юм. Гэхдээ дээрх тоо нь үндэслэлгүй гэдгийг бид харуулсан. Тиймээс энэ нь трансцендент юм.

Ерөнхийдөө Гельфонд-Шнайдерын теоремоос харахад рационал гэж байгаа бүх тоо нь трансцендентал эсвэл рациональ байдаг. § 3-т дурдсан зүйлийн дагуу (97-р хуудасны 4-р дасгалыг үзнэ үү) энэ нь дараахь зүйлийг эс тооцвол бүх эерэг үндэслэлийн хувьд энэ тоо трансцендент байна гэсэн үг юм.

Энэ номонд авч үзсэн бүх логарифмууд нь аравтын бутархай, өөрөөр хэлбэл 10-р суурьт авагдсан гэдгийг мартаж болохгүй.

Иймээс трансценденталыг эс тооцвол 1-ээс 1000 хүртэлх бүхэл тоо энд байна. Нөгөөтэйгүүр, энэ бүлгийн эхэнд иррациональ нь батлагдсан тоо гэх мэт тригонометрийн функцүүдийн утгууд нь алгебрийн шинж чанартай байдаг. Энд хамаарах ерөнхий үр дүнг дурын рационал тооны хувьд дараах байдлаар томъёолно

Энэ хэсэгт бид харьцуулалтын онолыг судалж байхдаа алхаж байсан (би бараг л тэнүүчилж байсан гэж хэлсэн) бүхэл тоонуудын үзэсгэлэнтэй, тухтай хаант улсыг дахин орхих болно. Хэрэв бид тоонуудын талаархи хүн төрөлхтний мэдлэг үүсч, хөгжсөн түүхийг сөхвөл нэлээд парадокс баримт гарч ирнэ - бараг бүхэл бүтэн зуун жилийн түүхэндээ хүн төрөлхтөн бүх тооны тооны онцгой бага хэсгийг практикт ашиглаж, сайтар судалж ирсэн. байгальд амьдардаг. Удаан хугацааны туршид хүмүүс гайхалтай, нууцлаг шинж чанартай, одоо трансцендентал гэж нэрлэгддэг бодит тоонуудын дийлэнх олонх нь оршин байдгийг огт мэдээгүй байсан. Өөрийгөө шүүх (би бодит тооны тухай ойлголтыг хөгжүүлэх ойролцоо үе шатуудыг жагсаав):

1) Олон мянган жилийн гүнээс гаралтай натурал тооны математикийн хийсвэр хийсвэр ухаан

Энэхүү хийсвэрлэлийн суут ухаан нь гайхалтай бөгөөд хүн төрөлхтний хөгжилд ач холбогдол нь дугуйг зохион бүтээсэнээс ч давж гардаг. Бид үүнд маш их дассан тул хүний ​​оюун санааны энэхүү гайхалтай ололтыг бишрэхээ больсон. Гэсэн хэдий ч илүү үнэн зөв байхын тулд өөрийгөө математикийн оюутан гэж биш, харин өөрийгөө төсөөлж үзээрэй. анхдагч хүн, эсвэл филологийн оюутан гэж хэлэхэд гурван овоохой, гурван бух, гурван банана, гурван хэт авианы сканнер ямар нийтлэг болохыг томъёолоорой (бид энд архи уудаг гурван хамтрагчид юу нийтлэг байгааг авч үзэхгүй). Математикаас өөр хүнд "гурван" гэдэг натурал тоо гэж юу болохыг тайлбарлах нь бараг найдваргүй ажил боловч аль хэдийн таван настай хүний ​​хүүхэд энэ хийсвэрлэлийг дотооддоо мэдэрч, үүнтэй ухаалаг ажиллах чадвартай болж, оронд нь ээжээсээ гурван чихэр гуйдаг. хоёрын.

2) Бутархай, өөрөөр хэлбэл. эерэг рационал тоонууд

Өмч хуваах, газар хэмжих, цагийг тооцоолох гэх мэт асуудлыг шийдвэрлэхэд фракцууд үүссэн. IN эртний Грекерөнхийдөө оновчтой тоонууд нь хүрээлэн буй ертөнцийн эв найрамдлын бэлгэдэл, бурханлаг зарчмын илрэл байсан бөгөөд хэсэг хугацааны дараа бүх сегментүүдийг тэнцүү гэж үздэг байсан, өөрөөр хэлбэл. Тэдний уртын харьцааг оновчтой тоогоор илэрхийлэх ёстой байсан, эс тэгвээс энэ нь хоолой байх болно (мөн бурхад үүнийг зөвшөөрөхгүй).

3) Сөрөг тоо ба тэг (шинжлэх ухааны зарим эх сурвалжийн дагуу

Сөрөг тоог санхүүгийн болон бартерын тооцоонд анх өр гэж тайлбарладаг байсан ч дараа нь ямар ч байсан сөрөг тоонуудХүний үйл ажиллагааны бусад хэсэгт зугтах боломжгүй (үүнд итгэдэггүй хүн өвлийн улиралд цонхны гаднах термометрийг харах хэрэгтэй). Миний бодлоор тэг тоо нь эхэндээ хоосон орон зай, ямар ч тоо хэмжээ байхгүй байхын бэлгэдэл биш, харин төлбөр тооцооны үйл явцын тэгш байдал, бүрэн байдлын бэлгэдэл болсон (хөршдөө өртэй байсан ч та буцааж өгсөн. түүнийг, тэгээд одоо тэг, өөрөөр хэлбэл харамсалтай байна).

4) Иррационал алгебрийн тоо

Пифагорын сургуульд дөрвөлжингийн диагональыг хажуу талтай нь хэмжих гэж оролдохдоо иррационал тоонуудыг олж илрүүлсэн боловч тэд энэ нээлтийг аймшигтай нууцалж байсан - энэ нь хичнээн их асуудалд хүргэхээс үл хамааран! Зөвхөн оюун санааны хувьд хамгийн тогтвортой, батлагдсан оюутнуудыг л энэ нээлтэд санаачилсан бөгөөд энэ нь ертөнцийн зохицлыг зөрчсөн жигшүүрт үзэгдэл гэж тайлбарлав. Гэвч хэрэгцээ, дайн хүн төрөлхтнийг шийдэж сурахад хүргэв алгебрийн тэгшитгэлзөвхөн бүхэл тооны коэффициент бүхий нэгдүгээр зэрэгтэй биш. Галилеогийн дараа пуужингууд параболоор нисч, Кеплерийн дараа гаригууд эллипсээр нисч, механик, баллистик нь нарийн шинжлэх ухаан болж, үндэс нь иррационал тоо байсан тэгшитгэлийг хаана ч шийдэж, шийдвэрлэх шаардлагатай болсон. Тиймээс бид хэчнээн жигшүүртэй санагдаж байсан ч алгебрийн тэгшитгэлийн иррационал язгуур байдагтай эвлэрэх хэрэгтэй болсон. Түүгээр ч барахгүй 16-р зуунд Италийн математикч Сципион дель Ферро, Никколо Тартаглиа (Тартальиа бол гацдаг гэсэн хоч, жинхэнэ нэрийг нь мэдэхгүй), Людовик Феррари, Рафаэл нарын нээсэн куб тэгшитгэл, дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд. Бомбелли нь зөвхөн 19-р зуунд бүрэн хүлээн зөвшөөрөгдсөн "ер бусын" цогц тоонуудыг зохион бүтээхэд хүргэсэн. 16-р зуунаас эхлэн хүний ​​практикт алгебрийн иррациональ байдал баттай тогтсон.

Тооны үзэл баримтлалын хөгжлийн энэ түүхэнд трансцендент тоонуудын газар байгаагүй, i.e. рационал эсвэл тэнцүү (нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа) бүхэл тооны коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийн үндэс биш тоо. Эртний Грекчүүд ч гэсэн гайхалтай p тоог мэддэг байсан нь хожим нь трансцендентал болох нь үнэн боловч тэд үүнийг зөвхөн тойргийн тойргийн диаметртэй харьцуулсан харьцаагаар л мэддэг байсан. Эртний Грекийн тойргийн дөрвөлжингийн асуудлыг шийдэж, бүтэлгүйтэж, математик, байгалийн шинжлэх ухааны янз бүрийн хэсэгт p тоо ямар нэгэн байдлаар учир битүүлгээр гарч ирэх хүртэл энэ тооны жинхэнэ мөн чанарын тухай асуулт хэний ч сонирхлыг татсангүй.

Зөвхөн 1844 онд л Лиувилл трансцендентал тооны түүхэн анхны жишээг бүтээсэн бөгөөд математикийн ертөнц ийм тоо байдаг гэдгийг үнэхээр гайхшруулжээ. Гайхалтай Георг Кантор зөвхөн 19-р зуунд олонлогийн чадлын тухай ойлголтыг ашиглан тооны шулуун дээр трансцендент тоонуудын дийлэнх олонхи байгааг ойлгосон. Зөвхөн энэ жижиг номын тав дахь догол мөрөнд бид эцэст нь хандах болно трансцендент тоотаны анхаарал.

Цэг 24. Шугаман дээрх хэмжилт ба ангилал.

Энэ догол мөрөнд би цаашдын илтгэлийг ойлгоход шаардлагатай математик анализын зарим урьдчилсан мэдээллийг өгөх болно. Математикийн хувьд олонлогийн "жижиг" гэсэн ойлголтын хэд хэдэн албан ёсны хэлбэрийг зохион бүтээсэн. Бидэнд тэдгээрийн хоёр нь хэрэгтэй болно - тэг хэмжигдэхүүний багц ба анхны Байр ангиллын багц. Эдгээр хоёр ойлголт нь олонлогийн тоолох тухай ойлголт дээр тулгуурладаг. Рационал тоонуудын багцыг тоолох боломжтой гэдгийг мэддэг (| Q|= A 0), ямар ч хязгааргүй олонлог нь тоолж болох дэд олонлогийг агуулна, өөрөөр хэлбэл. Тоологддог олонлогууд нь хязгааргүй олонлогуудын "хамгийн жижиг" нь юм. Аливаа тоолж болох олонлог болон натурал тооны олонлогийн хооронд НБиектив зураглал байдаг, i.e. аливаа тоолж болох олонлогийн элементүүдийг дахин дугаарлаж болно, өөрөөр хэлбэл ямар ч тоолж болох олонлогийг дарааллаар нь байрлуулж болно. Шугаман дээрх интервал нь тоолж болох олонлог биш юм. Энэ нь дараах теоремоос тодорхой гарч байгаа юм.

Теорем 1 (Кантор).Аливаа дарааллын хувьд ( a n) бодит тоо болон дурын интервалд Iцэг бий РТУХАЙ Iтиймэрхүү х № a nхэний ч төлөө nТУХАЙ Н .

Баталгаа.Үйл явц. Бид сегментийг (яг сегментийг төгсгөлийн хамт) авдаг. I 1 сая Iтиймэрхүү а 1 P I 1 . Нэг сегментээс I 1 сегментийг авна I 2 М I 1 тийм а 2 П I 2 гэх мэт. Үйл явцыг үргэлжлүүлж, сегментээс Би n -1сегментийг авна Iн М I n-1 тийм ан П I n. Энэ процессын үр дүнд бид үүрлэсэн сегментүүдийн дарааллыг олж авдаг I 1-р I 2 Ж...Ж I n... уулзвар
Эхний курсээс бидний мэдэж байгаагаар хоосон биш, i.e. зарим нэг цэгийг агуулдаг
. Энэ нь ойлгомжтой p# a nхүн бүрийн өмнө н О Н .

Уншигчид өмнө нь ийм гоёмсог нотолгоотой таарч байгаагүй гэж би бодохгүй байна (хэдийгээр би практик дээр би маш ойлгомжгүй оюутнуудтай таарч байсан), зүгээр л энэ нотлох санааг дараа нь Байрын теоремыг батлахад ашиглах болно. Тиймээс үүнийг урьдчилж эргэн санах нь зүйтэй.

Тодорхойлолт.Цөөн хэдэн Аинтервалд нягт I, -аас дэд интервал бүртэй хоосон бус огтлолцолтой бол I. Цөөн хэдэн Анягт байвал нягт Р. Цөөн хэдэн Абодит шугамын аль ч интервалд нягт биш бол хаана ч нягт биш, i.e. Шугаман дээрх интервал бүр нь бүхэлдээ нөхөж буй дэд интервалыг агуулна А .

Ийм олон байгааг ойлгоход амархан АЗөвхөн нөхөж байгаа тохиолдолд хаана ч нягт байдаггүй А ўөтгөн задгай багцыг агуулдаг. Ийм олон байгааг ойлгоход амархан АХаалттай л бол хаана ч хатуу байдаггүй
ямар ч дотоод цэг байхгүй.

Шугаман дээрх нягт олонлогууд нь цоорхойгоор дүүрдэг тул жижиг гэж ойлгогддоггүй бөгөөд ийм олонлогийн цэгүүд нь шулуун дээр маш ховор байдаг. Хаана ч байхгүй нягт олонлогийн зарим шинж чанарыг теорем хэлбэрээр томьёолъё.

Теорем 2. 1) Хаашаа ч биш нягт олонлогийн аль ч дэд олонлог хаана ч нягт байдаггүй.

2) Хоёр (эсвэл дурын төгсгөлтэй тооны) нягт олонлогийн нэгдэл нь хаана ч нягт байдаггүй.

3) Хаашаа ч байхгүй нягт багцын хаалт нь хаана ч нягт биш юм.

Баталгаа. 1) Мэдээжийн хэрэг.

2) Хэрэв А 1 ба А 2 нь хаана ч нягт биш, дараа нь интервал бүрийн хувьд Iинтервал байх болно I 1 сая ( I \ А 1) ба I 2 сая ( I 1 \ А 2). гэсэн үг, I 2 М I \(А 1 I А 2) гэсэн үг А 1 I А 2 хаана ч хатуу биш.

3) Мэдээжийн хэрэг, ямар ч нээлттэй интервал агуулагдсан А ў, дотор бас агуулагддаг
.

Иймд хаана ч байхгүй нягт олонлогийн анги нь дэд олонлогуудыг авах, хаах үйл ажиллагаа, хязгаарлагдмал нэгдлийн үйлдлээр хаагддаг. Хаана ч байхгүй нягт олонлогийн тоолж болох нэгдэл нь ерөнхийдөө хаана ч байхгүй нягт олонлог байх албагүй. Үүний нэг жишээ бол рационал тоонуудын багц бөгөөд энэ нь хаа сайгүй нягт байдаг боловч тус бүр нь нэг элементийг бүрдүүлдэг бие даасан цэгүүдийн тоолж болох нэгдэл юм. Р .

Тодорхойлолт.Хаана ч байхгүй нягт олонлогуудын хязгаарлагдмал эсвэл тоолж болох нэгдэл хэлбэрээр дүрслэгдэх олонлогийг эхний ангиллын олонлог гэнэ (Baer-ийн дагуу). Энэ хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй олонлогийг хоёрдугаар ангиллын олонлог гэнэ.

Теорем 3. 1) Шугаман дээрх эхний ангиллын аль ч багцын нэмэлт нь нягт байна.

2) Ямар ч интервал байхгүй Рнь эхний ангиллын багц биш юм.

3) Нягт задгай олонлогийн аль ч дарааллын огтлолцол нь нягт олонлог юм.

Баталгаа.Теоремд томъёолсон гурван шинж чанар нь үндсэндээ тэнцүү байна. Эхнийхийг нь баталъя. Болъё

- олонлогийн төлөөлөл Ахаана ч байхгүй нягт олонлогийн тоолж болох нэгдэл хэлбэрээр эхний ангилал, I- дурын интервал. Дараа нь Канторын теоремыг нотлох үйл явц юм. Хэсэг (жишээ нь сегмент, төгсгөлийн хамт) сонгоцгооё. I 1 сая ( I \ А 1). Энэ нь хаана ч өтгөн багц гадна, учир нь хийж болно А 1 интервал дотор Iүргэлж бүхэл бүтэн дэд интервал байдаг бөгөөд энэ нь эргээд дотроо бүхэл сегментийг агуулдаг. Хэсэг сонгоцгооё I 2 сая ( би 1 \ А 2). Хэсэг сонгоцгооё I 3 сая ( I 2 \ А 3) гэх мэт. Үүрлэсэн сегментүүдийн огтлолцол
хоосон биш, тиймээс нэмэлт I \ Ахоосон биш бөгөөд энэ нь нэмэлт гэсэн үг юм А ўнягт.

Теоремын хоёр дахь мэдэгдэл нь эхнийхээс шууд, гурав дахь мэдэгдэл нь эхнийхээс дагалддаг, хэрэв та хүчин чармайлт гаргаж, нягт нээлттэй олонлогуудын дарааллын нэмэлтүүд рүү шилжих юм бол.

Тодорхойлолт.Гишүүдийн бүх боломжит хязгаарлагдмал эсвэл тоолж болох нэгдлийг агуулсан олонлогуудын ангиллыг s - ideal гэж нэрлэдэг.

Мэдээжийн хэрэг, хамгийн их тоолж болох олонлогийн анги нь s-ideal байна. Бага зэрэг бодсоны дараа шугам дээрх эхний ангиллын бүх багцын анги нь мөн s-ideal гэдгийг ойлгоход хялбар болно. s-ideal-ийн өөр нэг сонирхолтой жишээг тэг олонлог (эсвэл 0 хэмжүүрийн багц) гэж нэрлэгддэг ангиллаар өгдөг.

Тодорхойлолт.Цөөн хэдэн АМ Рхэмжүүрийн олонлог тэг гэж нэрлэдэг (цэг олонлог) if АНийт урт нь урьдчилан тогтоосон ямар ч тоо e >0-ээс бага, тоолж болох интервалаас илүүгүй байж болно, өөрөөр хэлбэл. ямар ч e >0 хувьд интервалын ийм дараалал байдаг би Н, Юу
мөн e Ѕ I n Ѕ< e .

Тэг олонлогийн тухай ойлголт нь олонлогийн "жижиг" гэсэн зөн совингийн ойлголтын өөр нэг албан ёсны хэлбэр юм: тэг олонлогууд нь уртаараа бага олонлогууд юм. Тусдаа цэг нь тэг олонлог бөгөөд тэг олонлогийн аль ч дэд олонлог нь өөрөө тэг олонлог болох нь ойлгомжтой. Иймд тэг олонлогууд s-идеал үүсгэдэг нь дараах теоремоос гарна.

Теорем 4 (Лебесг).Тэг олонлогуудын тоолж болох аливаа нэгдэл нь тэг олонлог юм.

Баталгаа.Болъё А и- тэг олонлогууд, би= 1, 2, ... . Дараа нь хүн бүрт биинтервалын дараалал байдаг I ij( j=1, 2, ...) ийм байна
Тэгээд
. Бүх интервалуудын багц I ij хамардаг Аба тэдгээрийн уртын нийлбэр нь e-ээс бага, учир нь
. гэсэн үг, А- null-set.

Ямар ч интервал эсвэл сегмент нь тэг олонлог биш, учир нь шударга

Теорем 5 (Гейне-Борел).Хэрэв интервалын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй дараалал би Нинтервалыг хамарна I, Тэр

С С би Н Ѕ і Ѕ I Ѕ .

Би энэ ойлгомжтой теоремын нотлох баримтыг энд өгөхгүй, учир нь үүнийг математикийн анализын ямар ч ноцтой эсвэл ноцтой хичээлээс олж болно.

Хайне-Борелийн теоремоос үзэхэд тэг олонлогийн s -идеал нь тоолж болох олонлогууд ба эхний ангиллын олонлогоос илүүгүй s -идеалууд шиг интервал ба хэрчмүүдийг агуулаагүй болно. Эдгээр гурван s-идеал нь мөн адил нийтлэг зүйл гэвэл тэдгээр нь бүх хязгаарлагдмал болон тоолж болох олонлогуудыг багтаасан явдал юм. Нэмж дурдахад 0 хэмжүүрийн эхний ангиллын тоолж баршгүй олонлогууд байдаг. Ийм багцын хамгийн танил жишээ бол Cantor perfect (*) багц юм вГуравдагч тэмдэглэгээ нь нэгийг агуулаагүй тооноос бүрдэх M. Cantor perfect багцыг бүтээх үйл явцыг санаарай: сегмент нь гурван тэнцүү хэсэгт хуваагдаж, дундын нээлттэй интервалыг гадагшлуулна. Сегментийн үлдсэн гуравны хоёр хэсэг бүрийг дахин гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, дундын нээлттэй интервалуудыг тэдгээрээс хаях гэх мэт. Энэ процессын дараа үлдсэн багц нь хаана ч нягт биш байх нь ойлгомжтой, i.e. нэгдүгээр ангилал. Хаясан дунд хэсгүүдийн нийт урт нь нэгтэй тэнцүү байна, i.e. -тай 0 хэмжигдэхүүнтэй. Энэ нь мэдэгдэж байна -тайтоолж баршгүй, учир нь Тэг ба хоёроос бүрдэх тоо томшгүй олон хязгааргүй дараалал (элемент бүр -тайаравтын бутархайн дараа яг тэг ба хоёрын дараалал байгаа гурвалсан бутархайгаар илэрхийлэгддэг.

Уншигчид тэг олонлог биш эхний ангиллын олонлогууд байгаа эсэхийг, мөн эхний ангиллын олонлог биш тэг олонлогууд байгаа эсэхийг шалгахыг би санал болгож байна (гэхдээ хэрэв танд холбогдох жишээнүүдийг олоход хэцүү байвал Цөхрөл бүү зов, зүгээр л энэ цэгийг Теорем 6-д уншина уу).

Тиймээс авч үзэж буй гурван s-идеал хоорондын харилцааны дүр зураг дараах байдалтай байна.

Тиймээс бид жижиг багц гэсэн хоёр ойлголтыг танилцууллаа. Нэг утгаараа жижиг олонлог өөр утгаараа том байж болно гэсэн гаж зүйл байхгүй. Дараах теорем нь энэ санааг маш сайн харуулсан бөгөөд бидний оруулсан жижиг байдлын тухай ойлголт зарим тохиолдолд огт өөр байж болохыг харуулж байна.

Теорем 6.Тоон шугамыг хоёр нэмэлт багц болгон хувааж болно АТэгээд INТэгэхээр Аэхний ангиллын багц байдаг, мөн IN 0 хэмжигдэхүүнтэй.

Баталгаа.Болъё а 1 , а 2 ,…, а n ,… – рационал тоонуудын дугаарлагдсан багц (эсвэл хаа сайгүй тоолж болох нягт дэд олонлогууд) Р). Болъё би ij– цэг дээр төвтэй 1/2 i+j урттай нээлттэй интервал a i. Багцуудыг авч үзье:

, j =1,2,...;

; А = Р \ Б = Б ў .

Мэдээжийн хэрэг, ямар ч e >0-ийн хувьд бид сонгож болно jингэснээр 1/2 j< e . Тогда

,

тиймээс, IN- null-set.

Цаашид,
– өтгөн нээлттэй дэд хэсэг Ручир нь Энэ нь нээлттэй интервалуудын дарааллын нэгдэл бөгөөд бүх оновчтой цэгүүдийг агуулдаг. Энэ нь түүнийг нөхөж байна гэсэн үг юм Г жӨ хаана ч нягт биш, тиймээс
- эхний ангиллын багц.

Гайхалтай үр дүн биш гэж үү! Батлагдсан теоремоос харахад шугамын дэд олонлог бүрийг тэг олонлог ба эхний категорийн олонлогийн нэгдэл хэлбэрээр илэрхийлж болно. Дараагийн догол мөрөнд бид тодорхой хуваалтыг авч үзэх болно Рхоёр дэд олонлогт хуваах ба тэдгээрийн нэг нь трансцендентал Лиувилл тоонууд юм - тэг хэмждэг, гэхдээ Байрын дагуу хоёрдугаар ангилалд багтдаг. Дараагийн цэг рүү яараарай!

дугаарыг дуудаж байна алгебрийн, хэрэв энэ нь бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс бол

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(жишээ нь тэгшитгэлийн үндэс a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, Хаана a n, a n-1, ..., a 1, a 0--- бүхэл тоо, n 1, a n 0).

Бид алгебрийн тооны багцыг үсгээр тэмдэглэдэг .

Аливаа рационал тоо нь алгебрийн шинж чанартай байдаг гэдгийг харахад хялбар байдаг. Үнэхээр тэгшитгэлийн үндэс qx-p=0бүхэл тооны коэффициентүүдтэй a 1 =qТэгээд a 0 =-p. Тэгэхээр, .

Гэсэн хэдий ч бүх алгебрийн тоо оновчтой байдаггүй: жишээлбэл, тоо нь тэгшитгэлийн үндэс юм. x 2 -2=0, тиймээс энэ нь алгебрийн тоо юм.

Удаан хугацааны турш математикийн чухал асуулт шийдэгдээгүй байсан: алгебрийн бус бодит тоо байдаг уу? ? Зөвхөн 1844 онд л Лиувилл трансцендентал (өөрөөр хэлбэл алгебрийн бус) тооны жишээг анх өгсөн.

Энэ тоог бүтээх, түүний давж гарах чадварыг батлах нь маш хэцүү байдаг. Тооны олонлогуудын эквивалент ба эквивалент бус байдлын талаархи бодлыг ашиглан трансцендент тоонуудын тухай теоремыг илүү хялбараар батлах боломжтой.

Тухайлбал, бид алгебрийн тооны олонлогийг тоолох боломжтой гэдгийг батлах болно. Дараа нь бүх бодит тоонуудын олонлог тоолж баршгүй тул бид алгебрийн бус тоо байгаа эсэхийг тогтооно.

Хоорондоо ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгоё болон зарим дэд хэсэг . Энэ нь тийм гэсэн үг байх болно - хязгаарлагдмал эсвэл тоолох боломжтой. Гэхдээ түүнээс хойш , Тэр хязгааргүй тул тоолж болно.

Зарим алгебрийн тоо байцгаая. Үндэс нь бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтүүдийг авч үзээд тэдгээрийн дотроос олон гишүүнтийг сонгоцгооё. Пхамгийн бага зэрэг (өөрөөр хэлбэл бага зэрэгтэй бүхэл тоон коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс болохгүй).

Жишээлбэл, рационал тооны хувьд ийм олон гишүүнт 1 зэрэгтэй, тооны хувьд 2 зэрэгтэй байна.

Олон гишүүнтийн бүх коэффициентийг хувааж үзье ПТэдний хамгийн том нийтлэг хуваагчаар. Бид коэффициентүүд нь харилцан анхны олон гишүүнтийг олж авдаг (тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 1). Эцэст нь, хэрэв тэргүүлэх коэффициент бол a nсөрөг байвал олон гишүүнтийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ -1 .

Үүссэн олон гишүүнт (өөрөөр хэлбэл бүхэл тоон коэффициент бүхий олон гишүүнт үндэс нь боломжтой хамгийн бага зэрэгтэй, хоёрдогч коэффициент ба эерэг тэргүүлэх коэффициент бүхий олон гишүүнт) тоог хамгийн бага олон гишүүнт гэж нэрлэдэг.

Ийм олон гишүүнт өвөрмөц тодорхойлогддог болохыг баталж болно: алгебрийн тоо бүр яг нэг хамгийн бага олон гишүүнтэй байдаг.

Олон гишүүнтийн жинхэнэ язгуурын тоо нь түүний зэрэглэлээс ихгүй байна. Энэ нь бид ийм олон гишүүнтийн бүх язгуурыг (жишээлбэл, өсөх дарааллаар) дугаарлаж чадна гэсэн үг юм.

Одоо алгебрийн тоо бүр нь түүний хамгийн бага олон гишүүнт (жишээ нь, түүний коэффициентүүдийн багц) болон энэ олон гишүүнтийг бусад язгууруудаас ялгах тоогоор бүрэн тодорхойлогддог. (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Тиймээс, алгебрийн тоо бүрийн хувьд бид төгсгөлтэй бүхэл тооны багцыг холбосон бөгөөд энэ олонлогоос бид үүнийг өвөрмөц байдлаар сэргээж чадна (өөрөөр хэлбэл өөр олонлогууд өөр өөр тоотой тохирч байна).

Бүх анхны тоог өсөх дарааллаар дугаарлая (тэдгээрийн тоо хязгааргүй олон байгааг харуулахад хялбар). Бид хязгааргүй дарааллыг олж авдаг (pk): p 1 =2,p 2 =3, p 3 =5, х 4 =7, ... Одоо бүхэл тоонуудын багц (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k)ажилтай тааруулах боломжтой

(энэ тоо нь эерэг бөгөөд оновчтой боловч үргэлж байгалийн шинж чанартай байдаггүй, учир нь тоонуудын дунд a 0, a 1, ..., a n-1, сөрөг байж болно). Тоолуур ба хуваагчийн өргөтгөлд багтсан үндсэн хүчин зүйлүүд өөр өөр байдаг тул энэ тоо нь бууруулж болохгүй бутархай гэдгийг анхаарна уу. Эерэг болон хуваагчтай хоёр бууруулж болохгүй бутархай нь хоёулаа тэнцүү, хуваагч нь тэнцүү байх тохиолдолд л тэнцүү гэдгийг анхаарна уу.

Одоо төгсгөлийн зураглалыг авч үзье:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Бид янз бүрийн алгебрийн тоонуудад бүхэл тоонуудын янз бүрийн багц, өөр олонлогуудад өөр рационал тоо оноож өгсөн тул бид олонлогуудын хооронд нэгийг харьцах харьцааг бий болгосон. болон зарим дэд хэсэг . Тиймээс алгебрийн тооны багцыг тоолж болно.

Бодит тооны олонлог тоолж баршгүй тул бид алгебрийн бус тоо байдаг гэдгийг нотолсон.

Гэсэн хэдий ч оршихуйн теорем нь өгөгдсөн тоо алгебрийн мөн эсэхийг хэрхэн тодорхойлохыг заагаагүй болно. Мөн энэ асуулт заримдаа математикийн хувьд маш чухал байдаг.