Деривативтай функцийн тасралтгүй байдлын тухай теорем. Функцийн ялгавартай байдал. Функцийн дифференциал Дифференциал функцийн тасралтгүй байдал Функцийн дифференциалын тухай ойлголт Дифференциалын геометрийн утга. Функцийн үржвэрийн дериватив

Хөдөлгөөнт цэгийн хурдтай холбоотой асуудал

Шулуун хөдөлгөөний хууль байг материаллаг цэг. Цаг хугацааны цэгийн туулсан зам , цаг хугацаанд туулсан замаар тэмдэглэе . Дараа нь цаг хугацааны явцад цэг нь дараахтай тэнцүү замаар явах болно. Энэ харьцааг цэгийн дундаж хурд гэж нэрлэдэг. Бага байх тусмаа, өөрөөр хэлбэл. -ээс хүртэлх хугацааны интервал богино байх тусам дундаж хурд нь тухайн үеийн цэгийн хөдөлгөөнийг илүү сайн тодорхойлдог. Тиймээс хурд гэдэг ойлголтыг нэвтрүүлэх нь зүйн хэрэг одоогоор, үүнийг дараах үе хүртэлх хугацааны дундаж хурдны хязгаар гэж тодорхойлно.

Хэмжигдэхүүнийг тухайн агшин дахь цэгийн агшин зуурын хурд гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн муруйн шүргэлтийн тухай асуудал

Хавтгай дээр тасралтгүй муруйг тэгшитгэлээр өгье. Нэг цэг дээр өгөгдсөн муруй руу босоо бус шүргэгч зурах шаардлагатай . Шүргэх цэг өгөгдсөн тул асуудлыг шийдэхийн тулд шүргэгчийн налууг олох шаардлагатай. Геометрээс , тэнхлэгийн эерэг чиглэл рүү шүргэгчийн налуугийн өнцөг хаана байгааг мэддэг (зураг харна уу). Цэгүүдээр дамжуулан Тэгээд Тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй секантын үүсгэсэн өнцөг хаана байна вэ? Зурагнаас харахад хаана . Нэг цэг дээрх өгөгдсөн муруйн шүргэгчийн налууг дараах тодорхойлолтыг үндэслэн олж болно.

Нэг цэгийн муруй руу чиглэсэн шүргэгч нь цэг рүү чиглэх үед секантын хязгаарлах байрлал юм. . Үүнийг дагадаг .

Деривативын тодорхойлолт

Дээр дурдсан асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шаардагдах математикийн үйл ажиллагаа ижил байна. Үүнийг үүсгэсэн тодорхой асуултуудаас хийсвэрлэн энэхүү үйл ажиллагааны аналитик мөн чанарыг тодруулцгаая.

Функцийг тодорхой интервалаар тодорхойл. Энэ интервалаас утгыг авъя. Зарим нэг өсөлтийг (эерэг эсвэл сөрөг) нэмье. Энэхүү шинэ аргументын утга нь шинэ функцийн утгатай тохирч байна , Хаана.

Харьцуулъя , энэ нь функц юм.

Тухайн цэг дэх хувьсагчтай холбоотой функцийн дериватив нь энэ цэг дэх функцийн өсөлтийг түүнийг үүсгэсэн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг дурын аргаар илэрхийлнэ.

Сэтгэгдэл. Томъёоны баруун талд хязгаар байгаа бөгөөд хувьсагчийн өсөлт нь 0 (зүүн талаас эсвэл баруун талаас) хэрхэн хүрэхээс хамаарахгүй, хязгаарлагдмал байвал тухайн цэг дээрх функцийн дериватив байдаг гэж үздэг. .

Функцийн деривативыг олох үйл явцыг түүний дифференциал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолтоор тодорхой функцийн деривативыг олох

a) Тогтмол тооллын дериватив.

Байг , хаана тогтмол байна, учир нь Энэ функцийн утга нь бүгдэд ижил байвал түүний өсөлт нь тэг байх тул

.

Тиймээс тогтмолын дериватив нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. .

b) Функцийн дериватив.

Функцийн өсөлтийг үүсгэцгээе:

.

Деривативыг олохдоо функцүүдийн үржвэрийн хязгаар, эхний гайхалтай хязгаар, функцийн тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашигласан.

Тиймээс, .

Функцийн дифференциал ба түүний тасралтгүй байдлын хоорондын хамаарал

Нэг цэгт деривативтай функцийг тухайн цэгт дифференциалагдах функц гэнэ. Тодорхой интервалын бүх цэгүүдэд деривативтай функцийг энэ интервал дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг.

Теорем.Хэрэв функц нь тухайн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.

Баталгаа. Аргументыг дур зоргоороо нэмэгдүүлье. Дараа нь функц нь нэмэгдлийг хүлээн авах болно. Тэгш байдлыг бичээд зүүн, баруун талын хязгаар руу шилжье:

Үргэлжилсэн функцийн хувьд аргумент дахь хязгааргүй бага өсөлт нь функцийн хязгааргүй бага өсөлттэй тохирч байгаа тул теоремыг батлагдсан гэж үзэж болно.

Сэтгэгдэл. Эсрэг заалт нь тохирохгүй, i.e. Тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлаас, ерөнхийд нь хэлбэл, энэ цэг дэх дифференциал байдал үүсэхгүй. Жишээлбэл, функц нь бүгдэд нь тасралтгүй байх боловч цэг дээр ялгах боломжгүй байдаг. Үнэхээр:

Хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь тухайн цэг дээр функц ялгах боломжгүй гэсэн үг юм.

Деривативын хүснэгт үндсэн функцууд

Сэтгэгдэл. Функцийг ялгахад ашигласан хүч ба язгуурын шинж чанаруудыг эргэн санацгаая.

Дериватив олох жишээг өгье.

1) .

2)

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив

Болъё . Дараа нь функц нь нийлмэл функц байх болно x.

Хэрэв функц цэг дээр дифференциал болох юм бол x, мөн функц нь цэг дээр дифференциал болно у, тэгвэл энэ нь мөн цэг дээр ялгагдах боломжтой x, ба

.

1.

Дараа нь бид таамаглаж байна. Тиймээс

Хангалттай ур чадвартай бол завсрын хувьсагч убитгий бичээрэй, зөвхөн оюун ухаанаараа оруулаарай.

2.

Дифференциал

Нэг цэг дээрх тасралтгүй функцийн график руу шүргэгч зуръя М.Т., -ээр илэрхийлнэ jтэнхлэгийн эерэг чиглэлд түүний налуу өнцөг Өө.-ээс хойш, дараа нь гурвалжингаас MEFүүнийг дагадаг

Тэмдэглэгээг танилцуулъя

.

Энэ илэрхийлэл гэж нэрлэдэг дифференциалфункцууд Тэгэхээр

Үүнийг анзаарч, өөрөөр хэлбэл. бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь түүний өсөлттэй тэнцүү гэдгийг бид олж авна

Тиймээс функцийн дифференциал нь түүний дериватив ба бие даасан хувьсагчийн дифференциал (эсвэл өсөлт) үржвэртэй тэнцүү байна.

Сүүлчийн томъёоноос үзэхэд, өөрөөр хэлбэл. функцийн дериватив нь энэ функцийн дифференциалыг аргументийн дифференциалтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Функцийн дифференциал dyгеометрийн хувьд D аргументийн өсөлттэй харгалзах шүргэгчийн ординатын өсөлтийг илэрхийлнэ. X.

Зурагнаас харахад хангалттай жижиг D Xүнэмлэхүй утгын хувьд бид функцийн өсөлтийг түүний дифференциалтай ойролцоогоор авч болно, өөрөөр хэлбэл.

.

, , -ын хувьд ялгах боломжтой цогц функцийг авч үзье у, ба – гэхэд X. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу

Энэ тэгш байдлыг үржүүлье dx:

Түүнээс хойш (дифференциалын тодорхойлолтоор), дараа нь

Тиймээс нийлмэл функцийн дифференциал нь хувьсагчтай бол ижил хэлбэртэй байна унь завсрын аргумент биш, харин бие даасан хувьсагч байсан.

Дифференциалын энэ шинж чанарыг гэж нэрлэдэг хувирамтгай байдал(өөрчлөгдөөгүй) дифференциал хэлбэрүүд.

Жишээ. .

Дифференциалын хувьд бүх ялгах дүрмийг бичиж болно.

Болъё - нэг цэгт ялгах боломжтой X. Дараа нь

Хоёр дахь дүрмийг баталъя.

Дериватив далд функц

болон , хувьсагчдыг холбосон хэлбэрийн тэгшитгэл өгье. Хэрэв үүнийг , (-тэй харьцангуйгаар шийдсэн) -ээр тодорхой илэрхийлэх боломжгүй бол ийм функцийг дуудна далд хэлбэрээр өгсөн. Ийм функцийн деривативыг олохын тулд тэгшитгэлийн 2 талыг функц гэж үзэн -ээс ялгах хэрэгтэй. Үүссэн шинэ тэгшитгэлээс -ийг ол.

Жишээ. .

-ийн функц байдгийг санаж тэгшитгэлийн хоёр талыг бид -тэй харьцуулан ялгадаг

Лекц 4. Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив ба дифференциал

Хэрэв функц бол y = е(x) хэзээ нэгэн цагт ялгагдах боломжтой x = x 0, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Тиймээс функц нь тасалдалтай цэгүүдэд деривативтай байж болохгүй. Эсрэг дүгнэлт нь буруу, өөрөөр хэлбэл. хэзээ нэгэн цагт тэрнээс x = x 0 функц y = е(x) тасралтгүй байна гэдэг нь энэ үед ялгах боломжтой гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, функц y = |x| хүн бүрт тасралтгүй x (–< X < ), но в точке x= 0 нь деривативгүй. Энэ үед графикт шүргэгч байхгүй байна. Баруун тангенс ба зүүн шүргэгч байдаг, гэхдээ тэдгээр нь давхцдаггүй.

21 Дүрмүүдийг олох үйлдвэрлэл хэмжээ

Дүрэм 1.Хэрэв y = f(x) ба y = g(x) функцүүд x цэг дээр деривативтай бол тэдгээрийн нийлбэр нь x цэг дээр мөн деривативтай байх ба нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
(f(x) + 8(x))" =f (x)+ (x).
Практикт энэ дүрмийг илүү товчоор томъёолсон: нийлбэрийн дериватив нь түүний деривативын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл,
Дүрэм 2.Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол y = kf(x) функц нь x цэг дээр мөн деривативтай байх ба:

Практикт энэ дүрмийг илүү товчоор томъёолсон: тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно. Жишээлбэл,

Дүрэм 3.Хэрэв y=f(x) ба y =g(x) функцууд x цэг дээр деривативтай бол тэдгээрийн үржвэр нь x цэг дээр мөн деривативтай байх ба:

Практикт энэ дүрмийг дараах байдлаар томъёолсон: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь хоёр гишүүний нийлбэртэй тэнцүү байна. Эхний гишүүн нь эхний функц ба хоёрдугаар функцийн деривативын үржвэр, хоёр дахь гишүүн нь эхний функц ба хоёрдугаар функцийн дериватив үржвэр юм.
Жишээ нь:
Дүрэм 4.Хэрэв y = f(x) ба y=g(x) функцууд деривативтай бол х цэг дээр үүсмэл утгатай байна.

Нарийн төвөгтэй деривативуудын хүснэгт

22 ялгаа. ажиллагаатай цэг дээр

Чиг үүрэг y=е(x) цэг дээр ялгах боломжтой гэж хэлдэг xХэрэв түүний өсөлт Δ бол 0 y(x 0,Δ x) хэлбэрээр төлөөлж болно

Δ y(x 0,Δ x)=АΔ x+о(Δ x).

Үндсэн шугаман хэсэг АΔ xөсөлт Δ yцэг дээрх энэ функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг xΔ өсөлттэй харгалзах 0 x, мөн тэмдгээр тэмдэглэнэ dy(x 0,Δ x).

Функцийн хувьд y=е(x) тухайн үед ялгарах боломжтой байсан x 0 бол дериватив оршин тогтноход шаардлагатай бөгөөд хангалттай е′( x 0), тэгш байдал нь үнэн юм А=е′( x 0).

Дифференциалын илэрхийлэл нь хэлбэртэй байна

dy(x 0,dx)=е′( x 0)dx,

Хаана dx=Δ x.

23 бүтээгдэхүүн. Цогцолбор Чиг үүрэг

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Болъё y - нарийн төвөгтэй функц x, өөрөөр хэлбэл y = е(у), у = g(x), эсвэл

Хэрэв g(x) Мөн е(у) – цэгүүдэд тус тусын аргументуудын ялгах функцууд xТэгээд у = g(x), тэгвэл нийлмэл функц мөн цэг дээр дифференциал болно x ба томъёогоор олно

Параметрээр өгөгдсөн функцийн дериватив.

24 Бүтээгдэхүүн ба ялгаа. Хамгийн дээд захиалга

Одоо 3-р эрэмбийн деривативыг тухайн цэгийн зарим хэсэгт тодорхойлж, ялгах боломжтой байг. Дараа нь

Хэрэв функц нь зарим D муж дахь хувьсагчийн аль нэгтэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативтай бол тухайн дериватив нь өөрөө функц болох нь тухайн үед ижил эсвэл өөр хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативтай байж болно. Анхны функцийн хувьд эдгээр деривативууд нь хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив (эсвэл хоёр дахь хэсэгчилсэн дериватив) байх болно.

Өөр өөр хувьсагчдаас авсан хоёр дахь буюу түүнээс дээш эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг холимог хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл,

Захиалгын дифференциал n, Хаана n > 1, ямар нэгэн цэг дэх функцийн дарааллын дифференциалын энэ цэг дэх дифференциал гэж нэрлэдэг (n - 1), тэр нь

Нэг хувьсагчаас хамааралтай функцийн хувьд хоёр ба гурав дахь дифференциал дараах байдалтай байна.

Эндээс бид дүгнэлт хийж болно ерөнхий үзэлдифференциал nФункцийн дараалал:

25 Ферма, Ролле, Лангранжийн теоремууд

v Фермагийн теорем:Функцийг дээр тодорхойлж, хамгийн ихдээ хүрнэ хамгийн бага утга (МТэгээд м) зарим хэсэгт . -д дериватив байвал заавал 0-тэй тэнцүү байна.

Баталгаа: Байгаа. Хоёр боломжит тохиолдол байдаг:

1) , => , => .

2) , => , => .

1) ба 2) -аас үүнийг дагаж мөрддөг

v Роллегийн теорем (деривативын язгуурын тухай):Функц тасралтгүй асаалттай, ялгах боломжтой байх ба сегментийн төгсгөлд ижил утгыг авна: . Дараа нь дор хаяж нэг цэг байдаг бөгөөд үүсмэл .

v Баталгаа: Тасралтгүй хүрдэг МТэгээд м. Дараа нь хоёр тохиолдол боломжтой:

2) хамгийн өндөр үнэ цэнэФермагийн теоремын интервал дотор хүрнэ.

v Лангражийн теорем (эцсийн өсөлтийн тухай):Функц тасралтгүй дээр, дээр дифференциалтай байг. Дараа нь дараах тэгш байдлыг хангасан дор хаяж нэг нь байна: .

Баталгаа: функцийг танилцуулъя. (тасралтгүй дээр ба ялгах боломжтой ).

Роллегийн теоремыг хангасан функц байдаг бөгөөд үүнд: , , , .

· функцийг дуудна хатуу нэмэгдэж байнадээр бол

· функцийг дуудна буурч байнадээр бол

· функцийг дуудна хатуу бууруулж байнадээр бол

Тодорхойлолт: Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх түүний өсөлтийг аргументийн харгалзах өсөлттэй харьцуулсан харьцаа нь тэг рүү чиглэх хандлагатай байх хязгаар юм.

Энэ нь, хэрэв тодорхойлсон бол, дараа нь

Теорем 1:

Тухайн цэг дээр тухайн функцийн деривативын хязгаарлагдмал утга байгаа тохиолдолд функцийн график нь босоо бус шүргэгчтэй байна.

Нотолгоо:

f’()-хязгаарлагдмал утга байг

Босоо бус шүргэгч байг => төгсгөлтэй нь байна.

Секант нь шүргэгч рүү чиглэдэг.

Теорем нь батлагдсан.

Билет 2 Деривативтай функцийн тасралтгүй байдал.

a цэгийн ойролцоо тодорхойлогдсон f (x) функцийг энэ үед тасралтгүй гэж нэрлэнэ

Теорем: (дериватив оршин байх зайлшгүй нөхцөл)

Хэрэв функц нь цэг дээр төгсгөлтэй бол тухайн цэг дээр тасралтгүй биш юм.

Нотолгоо:

Тиймээс энэ нь нэг цэг дээр үргэлжилдэг.

Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл : эсрэг заалт нь үнэн биш, хэрэв функц нь тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал тухайн цэгт дериватив байна гэсэн үг биш;

Мэдэгдэл : Хэрэв функц нь цэг дээр баруун ба зүүн деривативтай бол энэ нь баруун болон зүүн аль алинд нь тасралтгүй байна.

Тасалбар 3

Нийлбэр, үржвэр, хуваалтын дериватив.

Урвуу функцийн дериватив.

Дифференциалагдах функцийн тодорхойлолт. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлялгаатай байдал.

Функц нь цэг (төгсгөл) дээр деривативтэй байг: .

Дараа нь, хангалттай бага хэмжээний хувьд бид үүнийг нийлбэр ба зарим функцээр бичиж болно, үүнийг бид тэглэх хандлагатай байдаг:,

ба цэг дэх өсөлтийг дараах байдлаар бичиж болно.

эсвэл (1) ,

Эцсийн эцэст илэрхийлэл нь түүний харьцаа нь тэг рүү чиглэдэг функц гэж ойлгогддог.

Тайлбар:

Тодорхойлолт .

Хэрэв функцийн өсөлтийг дараах байдлаар илэрхийлж байвал тухайн функцийг тухайн цэг дээр ялгах боломжтой гэж нэрлэдэг. (2),

Энд А нь хамаарахгүй, ерөнхийдөө хамаарна.

Теорем 1:

Функц нь тухайн цэг дээр дифференциалагдахын тулд тухайн цэг дээр төгсгөлтэй деривативтай байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Нотолгоо:

Нөхцөл байдлын хангалттай байдал дээр нотлогдсон: хязгаарлагдмал дериватив байгаа тул энэ нь (1) хэлбэрээр дүрслэх боломжийг дагаж мөрдөж, бид үүнийг тавьж болно.

Шаардлагатай нөхцөл . Функцийг цэг дээр ялгах боломжтой байг. Дараа нь (2) -аас бид олж авна гэж үзвэл.

Баруун талын хязгаар нь байгаа бөгөөд A:-тэй тэнцүү байна.

Энэ нь дериватив байна гэсэн үг. Теорем нь батлагдсан.

Билет 6 Функцийн дифференциал, түүний геометрийн утга.

Хэрэв функц бол едеривативтай f΄(x о ) цэг дээр x о, тэгвэл Δ гэсэн хязгаар бий f=f(x о + Δ x)-f(x о ) ,, эсвэл, хаана A=f΄(x о ) .

Тодорхойлолт:

Чиг үүрэг ецэг дээр ялгах боломжтой x о, хэрэв түүний өсөлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно:

Хаана АΔ x=df. (*)

Дифференциал нь функцийн өсөлтийн гол шугаман хэсэг юм.

Хэрэв хязгаарлагдмал дериватив байвал f΄(x о ) цэг дээр x о, дараа нь функц f(x)энэ үед ялгарах боломжтой.

Мөн эсрэгээр нь үнэн: хэрэв функц ецэг дээр ялгах боломжтой x о, өөрөөр хэлбэл түүний өсөлтийг (*) хэлбэрээр илэрхийлж болно, тэгвэл энэ цэг дээр дериватив байна x о, тэнцүү А:

Дифференциалын геометрийн утга:

АТэгээд Б- график цэгүүд f(x), утгуудтай тохирч байна x оТэгээд (х о + Δ x)бие даасан хувьсагч. Цэгүүдийн ординатууд АТэгээд Бтус тус тэнцүү байна f(x о ) Тэгээд f(x о + Δ x). Функцийн өсөлт Δ f=f(x о + Δ x)-f(x о ) цэг дээр x осегментийн урттай тэнцүү байна Б.Дмөн Δ нийлбэрээр илэрхийлж болно f=BD=DC+CB, Хаана DC=tgaΔ x=f΄(x о ) Δ xТэгээд α цэг дээрх шүргэгч хоорондын өнцөг юм Аграфик болон тэнхлэгийн эерэг чиглэл рүү x. Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна DCдифференциал функц байдаг ецэг дээр x о :

DC=df=f΄(x о ) Δ x.

Үүний зэрэгцээ хоёр дахь гишүүний эзлэх хувь C.B.өсөлт Δ еүнэ цэнийг тооцдог. Энэ утга нь ерөнхийдөө Δ x, магадгүй үндсэн гишүүнээс ч том, гэхдээ энэ нь Δ-ээс өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо юм. x, Δ үед x→0.

Теорем:Хэрэв функц бол y = е(x) хэзээ нэгэн цагт ялгагдах боломжтой x = x 0, тэгвэл энэ үед тасралтгүй байна.

Тиймээс функц нь тасалдалтай цэгүүдэд деривативтай байж болохгүй. Эсрэг дүгнэлт нь буруу, өөрөөр хэлбэл. хэзээ нэгэн цагт тэрнээс x = x 0 функц y = е(x) тасралтгүй байна гэдэг нь энэ үед ялгах боломжтой гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, функц y = |x| хүн бүрт тасралтгүй x (–Ґ< X < Ґ), но в точке x= 0 нь деривативгүй. Энэ үед графикт шүргэгч байхгүй байна. Баруун тангенс ба зүүн шүргэгч байдаг, гэхдээ тэдгээр нь давхцдаггүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив

Теорем:Ойролцоонд тодорхойлогдсон, үргэлжилсэн функц нь цэг дээр деривативтэй байг. Функц нь тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилсэн хөрш байх ба цэг дээр дериватив байна. Тэгвэл цогцолбор функц нь ба цэг дээр деривативтай байна

.

хаана ба - b.m.f. Дараа нь

Тэгээд , Хаана b.m.f. цэг дээр.

28. Хоёр функцийн нийлбэр, үржвэр, хуваалтын дериватив.

Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив

Функцийн алгебрийн нийлбэрийн деривативыг дараах теоремоор илэрхийлнэ.

Нийлбэрийн дериватив (ялгаа)Хоёр дифференциалагдах функц нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.

Дифференциалагдах функцүүдийн хязгаарлагдмал алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь нэр томьёоны деривативын ижил алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл,

Функцийн үржвэрийн дериватив.

Болъё u(x) Тэгээд u(x) - ялгах функцууд. Дараа нь функцүүдийн бүтээгдэхүүн u(x)v(x) мөн ялгах боломжтой ба

Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү биш юм.

Хэмжилтийн функцүүдийн дериватив.

Болъё u(x) Тэгээд u(x) - ялгах функцууд. Дараа нь бол v(x) ≠ 0 , дараа нь эдгээр функцүүдийн хуваалтын деривативыг томъёогоор тооцоолно

29. Урвуу функцийн дериватив. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив.

ТЕОРЕМ (урвуу функцийн дериватив)

Энэ нь сегмент дээр тасралтгүй, хатуу монотон (өсөх эсвэл буурах) функц байх ба цэг дээр дериватив байна. Тэгвэл урвуу функц нь ба цэг дээр деривативтай байна

.

DOC.

= .

Теорем. (параметрээр тодорхойлсон функцийн дериватив)Функцийг зөвшөөр x = φ(t) урвуу функцтэй t = Ф(x). Хэрэв функцууд x=φ(t) ,y = ψ(t) ялгах боломжтой ба φ"(t) ≠ 0 , Дараа нь

Баталгаа

Функцээс хойш x = φ(t) урвуу функцтэй бол албан ёсоор y-ээр дамжуулан илэрхийлж болно x : y = ψ(Ф (х)) . Функцээс хойш x = φ(t) ялгах боломжтой, дараа нь дагуу Теорем 5, функц t = Ф(x) мөн ялгах боломжтой.

Ялгах дүрмийг ашиглан бид олж авна chtd

Хоёр дахь деривативын хувьд ижил төстэй томъёог авч болно у"" x :

Эцэст нь бид авдаг

30. Дээд зэрэглэлийн деривативууд. Лейбницийн томъёо.

Хэрэв f нь (a,b)®R интервал дээр тодорхойлогдвол xО(a,b) цэг дээрх диф-ma нь (a,b) дээр шинэ f функц гарч ирнэ. ’ :(a,b)®R, x=f цэг дээрх утга ’ (x). Функц f ’ өөрөө деривативтай байж болно (f ’ )’ : (a,b)®R дээр үүнийг анхны функцийн хувьд f-ийн хоёр дахь дериватив гэж нэрлэдэг ба f-ээр тэмдэглэнэ. ” (x), d 2 f(x)/dx 2 эсвэл f ” xx(x), f ” x2(x); ODA. Хэрэв f-ээс n-1 дарааллын f (n -1) (x) деривативыг тодорхойлсон бол n дарааллын деривативыг f (n) (x)=(f n -1))'(x) томъёогоор тодорхойлно. ). Үүнд зориулсан тэмдэглэгээ нь f (n) (x)=d n f(x)/dx n – Лейбницийн факультет, f (0) (x):=f(x).

31. Функцийн дифференциалын тухай ойлголт ба анхны дифференциал. Ялгаатай байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.

1. Дифференциал функц y = f(x) нь деривативын үржвэр ба бие даасан хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү D y өсөлтийн D х хэсэгтэй харьцуулахад үндсэн шугаман юм.

dy = f"(x)D x.

Бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байх болно dx = D x. Тиймээс дифференциалын томъёог ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичдэг.

dy = f"(x)dx.

2. Ялгарах чадвар.Энэ цэг дэх ∆y өсөлтийг: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x, энд A нь ∆x, α ба α(-аас хамаарахгүй) функцийг x цэг дээрх дифференциал гэж нэрлэдэг. ∆x ) - эцэс төгсгөлгүй жижиг функц∆x→0 үед ∆x-тай харьцангуй.

32. Дериватив ба дифференциалын геометрийн утга. Графикийн тангенс ба хэвийн.

f нь (a,b) дээр тодорхойлогдсон ба x 0 О(a,b) цэг дээр үргэлжилсэн, y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxО(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy). M 0 M: y=k(x-x 0)+y 0 (1),

1 ) Хэрэв $ con. хязгаар lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 байвал y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2) шугамыг дуудна.

(х 0 ,у 0) цэг дээрх f-ийн графиктай (ташуу) шүргэгч;

2 ) Хэрэв $ нь хязгааргүй хязгаар юм

lim D x ® 0 k(Dx)=¥, тэгвэл x=x 0 шулуун нь (x 0,y 0) цэг дээрх графикт босоо шүргэгч байна;

x=x 0 (2) үед – хязгаарын байрлал (1) i.e. секантын хязгаарын байрлал M 0 M

Dx®0 нь x 0 цэг дээрх y=f(x) шүргэгч, учир нь lim D x ® 0 k(Dx)=lim D x ® 0 Dy/Dx=f ’ (x 0) дараа нь тэгшитгэл

шүргэгч нь y=f хэлбэртэй байна ’ (x 0)(x-x 0)+ y 0, энд y 0 =f(x 0) (3). 3-аас бид x 0 =tga цэг дээрх дериватив, a нь шүргэгч ба Окс тэнхлэгийн хоорондох өнцөг, эхний гишүүн нь f байна. ’ (x 0)(x-x 0)=f ’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 нь x 0 цэг дээрх дифференциал dy Þ y-y 0 =dy i.e. функцийн дифференциал нь графикийн харгалзах цэг дээрх шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.

3 )Хэрэв lim D x ® 0 Dy/Dx=¥ бол шүргэгч нь x=x 0 шулуун ба x 0 цэгт хязгааргүй байна. дериватив нь байхгүй ч байж болно.

33. Эхний дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал. Дээд зэрэглэлийн дифференциалууд, ерөнхий тохиолдолд хэлбэр нь өөрчлөгддөггүй.

Дээд зэрэглэлийн дифференциалууд . y=f(x) функцийн dy=f’(x)dx эхний эрэмбийн дифференциал (зөвхөн гэж үзнэ) f-i хувьсагч x өөрөөр хэлбэл x (dx) аргументийн өсөлтийг тогтмол гэж үзнэ, хэрэв x хувьсагчийн давтагдах өсөлт нь эхнийхтэй давхцаж байвал хоёр дахь дифференциал гэж нэрлэдэг d 2 f(x):d(df(x))= d(f'(x)dx )=d(f'(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx 2 иймээс f”(x)=d 2 f(x)/dx 2 ; ODA. n-р эрэмбийн n=1,2... дифференциалыг дифференциалд x-ээс хамааралгүй dx-ийн ижил өсөлтийг авсан тохиолдолд n-1 дарааллын дифференциал гэнэ. d n f(x)=d(d n -1 f(x)) d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) гэдгийг харахад хэцүү биш. (x )=d n f(x)/dx n .

Эхнийхээс өндөр эрэмбийн дифференциал хэлбэрийн өөрчлөгдөөгүй байдал

x нь бие даасан хувьсагч биш, харин өөр хувьсагчийн функц болох тохиолдлыг авч үзье

Одоо хувьсагчаас (3) томъёоны баруун талд узөвхөн функцээс хамаардаггүй е(x), гэхдээ бас дифференциал dx. Тиймээс

Томъёо (2) ба (4) харьцуулж үзвэл бид хоёр дахь (болон түүнээс дээш эрэмбийн) дифференциал нь хэлбэрийн өөрчлөлтгүй гэдэгт итгэлтэй байна.

34. Функцийн экстремум. Урьдчилсан нөхцөлэкстремум (Фермагийн теорем).

Экстремум цэгүүд

Экстремум- дээд тал ньэсвэл хамгийн багаӨгөгдсөн олонлог дээрх функцийн утга. Экстремумд хүрэх цэгийг дуудна экстремум цэг. Үүний дагуу хэрэв хамгийн багадаа хүрсэн бол экстремум цэгийг дуудна хамгийн бага цэг, хэрэв дээд тал нь байвал хамгийн дээд цэг. IN математик шинжилгээмөн үзэл баримтлалыг онцлон тэмдэглэ орон нутгийн экстремум (хамгийн бага эсвэл дээд тал нь).

Цэг x 0-ийг функцийн хатуу орон нутгийн максимум (минимум) цэг гэж нэрлэдэг е (x), хэрэв аргументийн бүх утгуудын хувьд хангалттай жижиг δ - цэгийн хөрш X 0 тэгш бус байдал байна

е (x) < е (x 0) (е (x) > е (x 0))

цагт X ≠ x 0 .
Орон нутгийн максимум ба орон нутгийн минимумыг экстремум гэсэн нийтлэг нэрээр нэгтгэдэг. Тодорхойлолтоос харахад экстремум гэдэг ойлголт нь тэгш бус байдал гэсэн утгаараа орон нутгийн шинж чанартай байдаг е (x) < е (x 0) (е (x) > е (x 0)) бүх утгуудад тохирохгүй байж болно Xфункцийг тодорхойлох талбарт, гэхдээ зөвхөн тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт биелэгдэх ёстой x 0 .

y=f(x) функц нь энэ цэг дээр тодорхой деривативтай бол x 0 цэгт дифференциалагдах гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл. хэрэв харилцааны хязгаар байгаа бөгөөд төгсгөлтэй бол.

Хэрэв функц нь тодорхой сегментийн цэг бүрт дифференциалагдах боломжтой бол [a; b] эсвэл интервал (a; b), тэгвэл бид үүнийг [a; b] эсвэл (a; b) интервалд тус тус.

Дараах теорем нь дифференциал болон тасралтгүй функцүүдийн хоорондын холбоог тогтоох хүчинтэй байна.

Теорем. Хэрэв y=f(x) функц x 0 цэгт дифференциалагдах боломжтой бол энэ цэг дээр тасралтгүй байна.

Тиймээс функцийн ялгавартай байдлаас түүний тасралтгүй байдал гарч ирдэг.

Баталгаа. Хэрэв, тэгвэл

Энд b нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн, i.e. Dx>0 үед тэг болох хандлагатай хэмжигдэхүүн. Харин дараа нь

Dy=f "(x 0) Dx+bDx=> Dy>0 үед Dx>0, өөрөөр хэлбэл f(x) - f(x 0)>0 үед x>x 0,

ба энэ нь f(x) функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байна гэсэн үг. Q.E.D.

Тиймээс функц нь тасалдалтай цэгүүдэд деривативтай байж болохгүй. Эсрэг заалт нь үнэн биш юм: there are тасралтгүй функцууд, зарим цэгүүдэд ялгах боломжгүй (өөрөөр хэлбэл эдгээр цэгүүдэд дериватив байхгүй).

Зураг дээрх a, b, c цэгүүдийг харцгаая.

Dx>0-ийн хувьд а цэгт харьцаа нь хязгааргүй (Нэг талын хязгаар нь Dx>0-0 ба Dx>0+0-д ялгаатай тул). Графикийн А цэг дээр тусгай шүргэгч байхгүй, гэхдээ хоёр өөр нэг талт шүргэгч байдаг өнцгийн коэффициентүүд 1 ба 2 хүртэл. Энэ төрлийн цэгийг булангийн цэг гэж нэрлэдэг.

b цэг дээр Dx>0 хувьд харьцаа нь тогтмол тэмдэгтэй, хязгааргүй их байна. Функц нь хязгааргүй деривативтай. Энэ үед график нь босоо шүргэгчтэй байна. Цэгийн төрөл - босоо шүргэгчтэй "нугалах цэг".

c цэг дээр нэг талт деривативууд нь янз бүрийн тэмдгийн хязгааргүй их тоо хэмжээ юм. Энэ үед график нь хоёр нийлсэн босоо шүргэгчтэй байна. Төрөл - босоо шүргэгчтэй "буцах цэг" - онцгой тохиолдолбулангийн цэг.

1. y=|x| функцийг авч үзье. Энэ функц нь цэг дээр тасралтгүй байна

Одоогоор түүнд ямар ч дериватив байхгүй гэдгийг харуулъя.

f(0+Dx) = f(Dx) = |Dx|. Иймд Дy = f(Дx) - f(0) = |Дx|

Харин дараа нь Dx дээр< 0 (т.е. при Дx стремящемся к 0 слева)

Мөн Dx > 0 үед

Тиймээс баруун болон зүүн талын Dx> 0-ийн харьцаа нь өөр өөр хязгаартай бөгөөд энэ нь харьцаа нь хязгааргүй гэсэн үг юм. y=|x| функцийн дериватив x= 0 цэг дээр байхгүй. Геометрийн хувьд энэ нь x = 0 цэг дээр энэ "муруй" нь тодорхой шүргэгчгүй (энэ үед хоёр байна) гэсэн үг юм.

2. Функц нь бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна. Энэ функц x= 0 үед деривативтай эсэхийг олж мэдье.

Улмаар авч үзэж буй функц нь x= ​​0 цэг дээр ялгарах боломжгүй. Энэ цэг дэх муруй руу шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгтэй p/2 өнцгийг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл. Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна.