Дулааны тэгшитгэлийг шийдэх. Дулаан дамжилтын илтгэлцүүр. математик тодорхойлолт, дулаан дамжуулах тусгай асуудлууд. Хилийн утгын асуудлын мэдэгдэл
Нэг төрлийн орчинд дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн тэгшитгэл нь бидний харж байгаагаар хэлбэртэй байна
Дотоод дулаан дамжилтын илтгэлцүүр, c нь бодисын дулааны багтаамж бөгөөд нягтрал юм. Тэгшитгэл (1) -ээс гадна анхны температурын хуваарилалтыг өгдөг анхны нөхцөлийг санах хэрэгтэй
Хэрэв бие нь гадаргуугаар (S) хязгаарлагдмал бол энэ гадаргуу дээр бид бас хязгаарлагдмал нөхцөлтэй байх бөгөөд энэ нь физик нөхцөл байдлаас хамааран өөр байж болно. Жишээлбэл, гадаргуу (S) нь тодорхой температурт хадгалагдах боломжтой бөгөөд энэ нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Энэ тохиолдолд хязгаарлах нөхцөл нь U функцийг гадаргуу дээр (S) зааж өгөх хүртэл буурдаг ба энэ өгөгдсөн функц t хугацаанаас мөн хамаарч болно. Хэрэв гадаргуугийн температур тогтмол биш боловч хүрээлэн буй орчинд өгөгдсөн температурын цацраг туяа байдаг бол Ньютоны хуулийн дагуу үнэн зөв биш боловч гадаргуугаар дамжин өнгөрөх дулааны урсгал (S) нь хүрээлэн буй орчны температурын зөрүүтэй пропорциональ байна. болон биеийн гадаргуу (S). Энэ нь маягтын хязгаарын нөхцөлийг өгдөг
Энд h пропорциональ коэффициентийг гадаад дулаан дамжилтын илтгэлцүүр гэнэ.
Шугаман хэмжээс бүхий биед дулаан тархах тохиолдолд (1) тэгшитгэлийн оронд тэнхлэгийн дагуу байрладаг гэж үздэг нэгэн төрлийн саваагаар бид тэгшитгэлтэй болно.
Тэгшитгэлийн энэ хэлбэрийн хувьд мэдээжийн хэрэг савааны гадаргуу ба хүрээлэн буй орон зайн хоорондох дулаан солилцоог тооцохгүй.
Тэгшитгэлийг (S) мөн тэгшитгэлээс (1) авч болно, U нь -ээс хамааралгүй гэж үзвэл. Савааны хувьд эхний нөхцөл байдал
Диффузын тэгшитгэлтөлөөлдөг хувийн үзэмжхэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл. Энэ нь суурин бус, суурин байж болно.
Шийдвэр гаргахдаа тайлбарлах утгаараа диффузийн тэгшитгэлБид бодисын (эсвэл бусад объектын) концентрацийн орон зайн координат ба цаг хугацаанаас хамаарах хамаарлыг олох тухай ярьж байгаа бөгөөд тархалтын орчны нэвчилтийг тодорхойлдог коэффициентийг (ерөнхий тохиолдолд орон зайн координат ба цаг хугацаанаас хамаарна) өгсөн болно. . Шийдвэр гаргахдаа дулааны тэгшитгэлБид орчны температурын орон зайн координат ба цаг хугацаанаас хамаарах хамаарлыг олох тухай ярьж байгаа бөгөөд орчны дулаан багтаамж ба дулаан дамжилтын илтгэлцүүр (мөн ерөнхий тохиолдолд нэг төрлийн бус) өгөгдсөн.
Бие махбодийн хувьд энэ хоёр тохиолдолд макроскопийн бодисын урсгал байхгүй эсвэл хайхрамжгүй байна гэж үздэг. Эдгээр нь эдгээр тэгшитгэлийн хэрэглээний физик хязгаар юм. Мөн эдгээр асуудлуудын тасралтгүй хязгаарыг (өөрөөр хэлбэл зарим нэг тооцоололоос илүүгүй) илэрхийлдэг тархалт ба дулааны тэгшитгэлүүд нь ерөнхийдөө урт ба чөлөөт замын хугацаатай ойролцоо статистикийн хэлбэлзэл, процессыг дүрсэлдэггүй бөгөөд үүнээс маш хүчтэй хазайдаг. Тухайн орчин дахь дуу авианы (эсвэл тэдгээрийн шинж чанарын хурдаар орчны эсэргүүцлээс ангид бөөмс) туулсан зайтай харьцуулж болохуйц (болон түүнээс их) зайн хоорондын хамаарлын талаархи асуудлын хүлээгдэж буй тодорхой шийдэл.
Ихэнх тохиолдолд энэ нь тэдгээрийн хэрэглээний талбар дахь тархалт ба дулаан дамжилтын тэгшитгэлүүд нь квант нөлөөлөл эсвэл гэрлийн хурдны хязгаарлагдмал байдал чухал болох газруудаас хол байна гэсэн үг юм. Ихэнх тохиолдлууд нь зөвхөн гарал үүсэлтэй төдийгүй зарчмын хувьд Ньютоны сонгодог физикийн хүрээнд хязгаарлагддаг.
- Хөдөлгөөнд байгаа шингэн ба хийн дулаан дамжилтын асуудалд диффузийн тэгшитгэлийн оронд тээврийн тэгшитгэлийг ашигладаг бөгөөд энэ нь макроскопийн хөдөлгөөнийг үл тоомсорлож болохгүй тохиолдолд тархалтын тэгшитгэлийг өргөжүүлдэг.
- Диффузын тэгшитгэлийн хамгийн ойрын албан ёсны бөгөөд олон талаараа бодитой аналог нь Шредингерийн тэгшитгэл бөгөөд тархалтын тэгшитгэлээс цаг хугацааны деривативын өмнөх хүчин зүйлийн төсөөллийн нэгжээр ялгаатай байдаг. Шредингерийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон теоремууд, тэр ч байтугай түүний шийдлүүдийн зарим хэлбэрүүд нь диффузийн тэгшитгэл ба түүний шийдлийн талаархи харгалзах теоремуудтай шууд төстэй боловч тэдгээрийн шийдлүүд нь чанарын хувьд маш их ялгаатай байдаг.
Ерөнхий үзэл
Тэгшитгэлийг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.
|
∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , (\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))) \partial t))=\nabla \cdot (\big [)D(\varphi ,\mathbf (r))\ \nabla \varphi (\mathbf (r) ,t)(\том ]),) |
хаана φ( r, т) нь нэг цэгт тархах бодисын нягт юм rболон үеэр тТэгээд Д(φ, r) - цэг дэх нягтын φ-ийн ерөнхий тархалтын коэффициент r; ∇ - ажиглагдаж болох оператор. Хэрэв тархалтын коэффициент нь нягтралаас хамаардаг бол тэгшитгэл нь шугаман бус, шугаман байна.
Хэрэв Д- тэгш хэмт эерэг тодорхой оператор, тэгшитгэл нь анизотроп тархалтыг тодорхойлдог.
|
∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] . |
Хэрэв Д(\displaystyle (\frac (\хэсэг \varphi (\mathbf (r) ,t))(\хэсэг t))=\нийлбэр _(i=1)^(3)\нийлбэр _(j=1)^( 3)(\frac (\хэсэг )(\хэсэг x_(i)))\зүүн.)
тогтмол байвал тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэл болж буурна.∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , (\displaystyle (\frac (\partial \phi (\mathbf (r) ,t))(\хэсэг t))=D\ nabla ^(2)\phi (\mathbf (r) ,t),)
Гарал үүслийн түүх
Тогтворгүй тэгшитгэлТогтворгүй диффузийн тэгшитгэлийг гэж ангилдагпараболик
дифференциал тэгшитгэл. Энэ нь тархалтын улмаас ууссан бодисын тархалт эсвэл дулаан дамжилтын үр дүнд биеийн температурын дахин хуваарилалтыг тодорхойлдог.
Нэг хэмжээст хэрэг Диффузын (дулаан дамжилтын) коэффициент бүхий нэг хэмжээст тархалтын процессын хувьд. D (\displaystyle D)
тэгшитгэл нь:∂ ∂ t c (x , t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x , t) + f (x , t) . Диффузын (дулаан дамжилтын) коэффициент бүхий нэг хэмжээст тархалтын процессын хувьд.(\displaystyle (\frac (\хэсэг)(\хэсэг t))c(x,\;t)=(\frac (\хэсэг)(\хэсэг x))D(\frac (\хэсэг)(\хэсэг х) ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).)
Тогтмол үедхэлбэрийг авдаг: ∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , (\displaystyle (\frac (\хэсэг )(\хэсэг t))c(x,\) ;t)=D(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг х^(2)))(c(x,\;t))+f(x,\;t),)Хаана c (x , t) (\displaystyle c(x,\;t))нь тархах бодисын концентраци, a
f (x , t) (\displaystyle f(x,\;t))
- бодисын (дулааны) эх үүсвэрийг дүрсэлсэн функц.
Гурван хэмжээст хэрэгхэлбэрийг авдаг: Гурван хэмжээст тохиолдолд тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c( (\vec (r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r)),\;t))+f((\vec (r)),\; т),) ∇ = (∂ x, ∂ y, ∂ z) (\displaystyle \nabla =(\хэсэг _(x),\;\хэсэг _(y),\;\хэсэг _(z)))- nabla оператор, болон
(,) (\displaystyle (\;,\;))- скаляр бүтээгдэхүүн. Үүнийг мөн гэж бичиж болно Диффузын (дулаан дамжилтын) коэффициент бүхий нэг хэмжээст тархалтын процессын хувьд.(\displaystyle (\frac (\хэсэг)(\хэсэг t))c(x,\;t)=(\frac (\хэсэг)(\хэсэг x))D(\frac (\хэсэг)(\хэсэг х) ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).)
∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\хэсэг )(\хэсэг t))c((\vec () r)),\;t)=D\Delta c((\vec (r)),\;t)+f((\vec (r)),\;t),)хэлбэрийг авдаг: Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг х) ^(2)))+(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг y^(2)))+(\frac (\хэсэг ^(2))(\хэсэг z^(2))) )- Лаплас оператор.
n- хэмжээст хэрэг
N (\displaystyle n)-хэмжээт тохиолдол - дээр дурдсан шууд ерөнхий дүгнэлт, зөвхөн набла оператор, градиент ба дивергенц, түүнчлэн Лаплас операторын тусламжтайгаар бид ойлгох ёстой. n (\displaystyle n)-харгалзах операторуудын хэмжээст хувилбарууд:
∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , (\displaystyle \nabla =(\хэсэг _(1),\;\хэсэг _(2),\;\ldots ,\;\хэсэг _(n) ))) Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 .(\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=\хэсэгчилсэн _(1)^(2)+\хэсэг _(2)^(2)+\ldots +\хэсэг _(n)^(2).) Энэ нь хоёр хэмжээст тохиолдолд ч хамаатай.
n = 2 (\displaystyle n=2)
Урам зориг
А.
Ерөнхийдөө диффузийн тэгшитгэл нь өгөгдсөн бодисын нимгэн давхаргаар тусгаарлагдсан бүс нутгийн концентрацийн (температурын) зөрүүтэй бодисын урсгалын (эсвэл дулааны энерги) пропорциональ байдлыг илэрхийлдэг эмпирик (эсвэл ямар нэгэн байдлаар онолын хувьд үүссэн) тэгшитгэлээс үүсдэг. тархалтын (эсвэл дулаан дамжилтын) коэффициентээр тодорхойлогддог нэвчилт:Φ = − ϰ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi =-\varkappa (\frac (\хэсэг c)(\хэсэг х))) (нэг хэмжээст хэрэг), j = − ϰ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) =-\varkappa \nabla c)(ямар ч хэмжээтэй),
бодисын (эсвэл энергийн) хадгалалтыг илэрхийлсэн тасралтгүй байдлын тэгшитгэлтэй хослуулсан:Φ = − ϰ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi =-\varkappa (\frac (\хэсэг c)(\хэсэг х))) ∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\displaystyle (\frac (\хэсэг c)(\хэсэг t))+(\frac (\хэсэг \Phi )(\хэсэг x))=0) j = − ϰ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) =-\varkappa \nabla c)∂ c ∂ t + d i v j = 0 (\displaystyle (\frac (\хэсэг в)(\хэсэг t))+\mathrm (div) \,\mathbf (j) =0)
- дулаан дамжилтын тэгшитгэлийн хувьд дулааны багтаамжийг (температур = эрчим хүчний нягтрал / хувийн дулаан багтаамж) харгалзан үзнэ.
- Энд баруун талын материйн (энергийн) эх үүсвэрийг орхигдуулсан боловч асуудалд материйн (энергийн) дотогш (гарч) урсах (гарцах) байвал түүнийг хялбархан байрлуулж болно.
Мөн тархах бодисын урсгалд (бохирдол) гадны ямар ч хүч, түүний дотор таталцал (идэвхгүй хольц) нөлөөлдөггүй гэж үздэг.
Нэмж дурдахад энэ нь аяндаа ижил төстэй ялгаа тэгшитгэлийн тасралтгүй хязгаар болж үүсдэг бөгөөд энэ нь салангид тор (нэг хэмжээст эсвэл n (\displaystyle n)- хэмжээст). (Энэ бол хамгийн энгийн загвар; илүү төвөгтэй санамсаргүй алхалтын загваруудад тархалтын тэгшитгэл нь тасралтгүй хязгаарт мөн үүсдэг.) Функцийн хамгийн энгийн тайлбар c (\displaystyle c)Энэ тохиолдолд өгөгдсөн цэг (эсвэл түүний ойролцоо) дахь бөөмсийн тоо (эсвэл концентраци) нь үйлчилдэг бөгөөд бөөмс бүр өнгөрсөн үеийнхээ санах ой (инерци)гүйгээр бусдаас үл хамааран хөдөлдөг (бага зэрэг төвөгтэй тохиолдолд - цаг хугацааны хувьд) хязгаарлагдмал санах ой).
Шийдэл
c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp (− (x − x ′) 2 4 D t) d x ′ .(\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)c_(f)(x-x",\;t)\ ,dx"=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)(\frac (1)(\sqrt (4\pi Dt)))\exp \left (-(\frac ((x-x")^(2))(4Dt))\баруун)\,dx".)
Физик тэмдэглэл Тархалт ба дулаан дамжилтын тэгшитгэлийн ойролцоо тооцоолол нь тухайн бүс нутагт үндсэндээ хязгаарлагддаг.бага хурдтай ба макроскопийн масштаб (дээрхийг харна уу), энэ нь гайхах зүйл биш юмүндсэн шийдэл
хол зайд энэ нь тийм ч бодитойгоор ажилладаггүй, албан ёсоор хязгаарлагдмал хугацаанд орон зайд хязгааргүй тархах боломжийг олгодог; Энэ нөлөөллийн хэмжээ нь зайнаас маш хурдан буурдаг тул энэ нөлөө нь зарчмын хувьд ажиглагддаггүй (жишээлбэл, бид нэгдмэл байдлаас хамаагүй бага концентрацийн тухай ярьж байна) гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид ийм бага концентрацийг туршилтаар хэмжиж болох нөхцөл байдлын талаар ярьж байгаа бол энэ нь бидний хувьд зайлшгүй шаардлагатай бол ядаж дифференциал биш, харин диффузийн диффузийн тэгшитгэлийг ашиглах шаардлагатай бөгөөд илүү дээр нь илүү нарийвчилсан микроскопийн физик ба Эдгээр тохиолдлуудад бодит байдлын талаар илүү хангалттай ойлголт авахын тулд статистик загварууд.
Хөдөлгөөнгүй тэгшитгэл Даалгавар нь нягтрал эсвэл температурын тогтвортой төлөвийн хуваарилалтыг олоход (жишээлбэл, эх үүсвэрийн тархалт цаг хугацаанаас хамаардаггүй тохиолдолд) цаг хугацаатай холбоотой тэгшитгэлийн нөхцлүүдийг бусаас хасна. - суурин тэгшитгэл. Дараа нь гарч ирнэсуурин дулааны тэгшитгэл , эллипс тэгшитгэлийн ангилалд хамаарах. Түүний:
− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . (\displaystyle -(\nabla,\;D\nabla c((\vec (r))))=f((\vec (r))).) Δ c (r →) = − f (r →) D , (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=-(\frac (f((\vec (r))))(D) ))Δ c (r →) = 0. (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=0.)
- Хилийн утгын асуудлын мэдэгдэл Асуудаланхны нөхцөл
Хязгааргүй шулуун шугам дээрх температурын тархалтын тухай (Коши бодлого).
Хэрэв бид маш урт саваа дахь дулаан дамжуулах үйл явцыг авч үзвэл богино хугацаанд температурын хил хязгаарт бараг ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй бөгөөд авч үзэж буй талбайн температур нь зөвхөн анхны температурын тархалтаас хамаарна. болон , нөхцөлийг хангаж байна<
x
<
+
∞)
{\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty
- , өгөгдсөн функц хаана байна.
Хагас хязгааргүй савааны эхний хилийн бодлого
Хэрэв бидний сонирхож буй саваа хэсэг нь нэг төгсгөлийн ойролцоо байрладаг бөгөөд нөгөө талаас нь мэдэгдэхүйц хасагдсан бол бид хилийн нөхцлүүдийн зөвхөн аль нэгний нөлөөг харгалзан үзсэн хилийн утгын асуудалд хүрнэ. Бүсийн дулааны тэгшитгэлийн шийдийг ол− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) Тэгээд t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))
, нөхцөлийг хангаж байна< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0хэлбэрийг авдаг: ( u (x , t 0) = φ (x) , (0− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) φ (x) (\displaystyle \varphi (x))μ (t) (\displaystyle \mu (t))
- - заасан функцууд.
Анхны нөхцөлгүйгээр хилийн утгын бодлого
Хэрэв бидний сонирхож буй саваа хэсэг нь нэг төгсгөлийн ойролцоо байрладаг бөгөөд нөгөө талаас нь мэдэгдэхүйц хасагдсан бол бид хилийн нөхцлүүдийн зөвхөн аль нэгний нөлөөг харгалзан үзсэн хилийн утгын асуудалд хүрнэ. Хэрэв бидний сонирхож буй цаг хугацаа нь анхныхаасаа хангалттай хол байгаа бол үйл явцад үзүүлэх нөлөө нь цаг хугацааны явцад сулардаг тул эхний нөхцлийг үл тоомсорлох нь зүйтэй юм. Тиймээс бид хилийн нөхцлүүдийг тодорхойлсон бөгөөд анхны нөхцөл байхгүй асуудалд хүрдэг.− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty )
−
∞
<
t
{\displaystyle -\infty
( u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , (\displaystyle \left\((\эхлэх(массив)(l)u(0,\;t) )=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\төгс(массив))\баруун.)
- хаана болон өгөгдсөн функцууд.
Хязгаарлагдмал бариулын хилийн утгын бодлого
Хилийн утгын дараах асуудлыг авч үзье.< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0Хэрэв - дулаан дамжуулах тэгшитгэл. f (x , t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0) , тэгвэл ийм тэгшитгэлийг дууднанэгэн төрлийн , эс бөгөөс -.
нэг төрлийн бус u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l) - тухайн үеийн анхны нөхцөл байдал t = 0 (\displaystyle t=0) , цэг дээрх температур x (\displaystyle x) ( u (x , t 0) = φ (x) , (0. u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , ) 0 ⩽ t ⩽ T (\displaystyle \left.(\begin(array)(l)u(0) ,\;t)=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\төгс(массив))\баруун\)\дөрөв 0 \leqslant t\leqslant T)- хилийн нөхцөл. Функцүүд μ 1 (t) (\displaystyle \mu _(1)(t))− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) μ 2 (t) (\displaystyle \mu _(2)(t)) 0 ба хилийн цэгүүдэд температурын утгыг тогтооно l (\displaystyle l)ямар ч үед t (\displaystyle t).Хилийн нөхцлийн төрлөөс хамааран дулааны тэгшитгэлийн асуудлыг гурван төрөлд хувааж болно. Ерөнхий тохиолдлыг авч үзье ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\бета _(i)^(2)\neq 0,\;(i=) 1,\;2))).
α 1 u x (0, t) + β 1 u (0, t) = μ 1 (t), α 2 u x (l, t) + β 2 u (l, t) = μ 2 (t).Хэрэв (\displaystyle (\эхлэх(массив)(l)\альфа _(1)u_(x)(0,\;t)+\бета _(1)у(0,\;t)=\mu _(1) )(t),\\\альфа _(2)u_(x)(l,\;t)+\бета _(2)у(l,\;t)=\mu _(2)(t). \төгсгөл(массив)))α i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)) , дараа нь ийм нөхцөл гэж нэрлэдэгэхний төрлийн нөхцөл байдал , Хэрэв - β i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2))хоёр дахь төрөл , мөн хэрэв− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) α i (\displaystyle \alpha _(i))β i (\displaystyle \beta _(i)) тэгээс ялгаатай, дараа нь нөхцөлгурав дахь төрөл
. Эндээс бид дулаан дамжуулалтын тэгшитгэлийн асуудлуудыг олж авдаг - эхний, хоёр, гурав дахь хилийн бодлого.
Хамгийн дээд зарчим Функцийг орон зайд оруулъя D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb (R) ^(n)) , нэгэн төрлийн дулааны тэгшитгэлийг хангана∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-a^(2)\Delta u=0) Диффузын (дулаан дамжилтын) коэффициент бүхий нэг хэмжээст тархалтын процессын хувьд., ба - хязгаарлагдмал талбай. Хамгийн дээд зарчим нь функц гэж заасан байдаг u (x , t) (\displaystyle u(x,\;t)) Диффузын (дулаан дамжилтын) коэффициент бүхий нэг хэмжээст тархалтын процессын хувьд..
цаг хугацааны эхний мөчид эсвэл бүс нутгийн хил дээр хэт их утгыг авч болно
Тэмдэглэл
Доор бид харьцангуй энгийн геометрийн болон физикийн нөхцөлд температурын талбарыг тодорхойлох хэд хэдэн асуудлыг авч үзэх болно, энэ нь энгийн хэлбэрийн аналитик шийдлүүдийг гаргах боломжийг олгодог бөгөөд нэгэн зэрэг хатуу биет дэх дулаан дамжуулалттай холбоотой физик процессуудын онцлог шинж чанарыг харуулсан ашигтай дүрслэл юм.Эзлэхүүний дулаан ялгаруулах чадлын дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн тогтмол утгын хувьд сүүлчийн тэгшитгэлийг хоёр удаа нэгтгэж болно.
(75)
Интеграцийн тогтмолуудыг хилийн нөхцлөөс олж болно. Жишээ нь савааны төгсгөлд температурыг тохируулсан бол , . Дараа нь (75) -аас бидэнд байна
Эндээс интегралын тогтмолууд ба . Заасан хилийн нөхцлийн дагуу шийдэл нь хэлбэрийг авна
Сүүлийн томъёоноос харахад дулааны эх үүсвэр байхгүй байх нь тодорхой байна. Саваа дахь температур нь нэг хилийн утгаас нөгөөд шугаман байдлаар өөрчлөгддөг
Одоо хилийн нөхцлийн өөр нэг хослолыг авч үзье. Гадны эх үүсвэр нь савааны зүүн төгсгөлд дулааны урсгалыг бий болго. Савааны баруун төгсгөлд бид өмнөх нөхцөлийг хадгалж үлдсэн тул бид ийм байна
Эдгээр нөхцлүүдийг ерөнхий интеграл (75) ашиглан илэрхийлснээр бид интеграцийн тогтмолуудын системийг олж авна.
Үүссэн системээс үл мэдэгдэх тогтмолуудыг олсны дараа бид шийдлийг хэлбэрээр олж авна
Өмнөх жишээний нэгэн адил дотоод дулааны эх үүсвэр байхгүй тохиолдолд саваа дагуух температурын хуваарилалт шугаман байх болно.
Энэ тохиолдолд гаднах дулааны эх үүсвэр байрлах савааны зүүн төгсгөлийн температур нь -тэй тэнцүү байна.
Дараагийн жишээ болгон цул урт дугуй цилиндрт радиусын дагуу хөдөлгөөнгүй температурын тархалтыг олъё (Зураг 39). Энэ тохиолдолд цилиндр хэлбэртэй координатын системийг ашиглах нь даалгаврыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Том урттай радиусын харьцаатай, тогтмол тархалттай цилиндрийн хувьд
Дулааны дотоод эх үүсвэрийг харгалзан цилиндрийн төгсгөлөөс алслагдсан температурыг цилиндр системийн тэнхлэгийн координатаас хамааралгүй гэж үзэж болно. Дараа нь суурин дулааны тэгшитгэл (71) хэлбэрийг авна
Сүүлийн тэгшитгэлийг хоёр удаа (тогтмол ) интеграцчилбал гарч ирнэ
Цилиндрийн тэнхлэг дээрх температурын хуваарилалтын тэгш хэмийн нөхцөл () өгнө
Бид хаанаас авах вэ?
Сүүлчийн нөхцөл нь хэзээ хангагдах болно. Цилиндрийн гадаргуу дээрх температурыг () зааж өгнө үү. Дараа нь тэгшитгэлээс интегралын хоёр дахь тогтмолыг олж болно
Эндээс бид шийдлийг эцсийн хэлбэрээр нь олж бичнэ
Хүлээн авсан үр дүнг ашиглах тоон жишээ болгон мм радиустай цилиндр нумын цэнэгийн плазм дахь температурын хуваарилалтыг авч үзье. Цутгах сувгийн хил нь иончлолын процесс зогсох бүс нутаг хэлбэрээр үүсдэг. Халаалтын явцад хийн мэдэгдэхүйц ионжилт K цэгт зогсдог болохыг бид дээр үзсэн. Иймд өгөгдсөн утгыг хил хязгаар K гэж авч болно. Бид ялгарах плазм дахь дулаан ялгаруулах эзлэхүүний чадлын нягтыг Жоуль-Ленцийн хуулиас олдог. σ
- плазмын цахилгаан дамжуулах чанар, Э- гадагшлуулах суваг дахь цахилгаан орны хүч. Нумын цэнэгийн шинж чанарын утгууд нь 1/Ом м, В/м байна. Нумын плазмын дулаан дамжуулалт нь 10,000 К-ийн температурт төвийг сахисан хийтэй харьцуулахад өндөр байдаг тул түүний утгыг -тэй тэнцүү авч болно. Тиймээс параметр 
. Радиусын дагуух температурын тархалтыг Зураг дээр үзүүлэв. 39. Энэ тохиолдолд гадагшлуулах тэнхлэгт () температур 8000 К болно.
Дараагийн жишээнд бид бөмбөрцөг тэгш хэмтэй дулааны талбайг авч үзэх болно. Ийм нөхцөл байдал, ялангуяа жижиг дулааны эх үүсвэр нь том массив дээр байрладаг бол, жишээлбэл, том цахилгаан машины ороомгийн ороомгийн нумын гэмтэл үүсдэг. Энэ тохиолдолд бөмбөрцөг координатын системийн төвийг дулааны эх үүсвэртэй хослуулан бид суурин дулааны тэгшитгэлийг (64) дараах хэлбэрт оруулж болно.
Энэ тэгшитгэлийг хоёр удаа нэгтгэснээр бид олдог
Бидний жишээ рүү буцахдаа нумын хагарал нь радиустай бөмбөрцөг хөндийн дотор үүссэн гэж бодъё (Зураг 40). Нумын цэнэгийн эсэргүүцлийг Ом, цэнэгийн гүйдэл A гэж авъя. Тэгвэл хөндийд ялгарах хүч нь . Дулааны эх үүсвэрийн үйл ажиллагааны талбайн гаднах шийдлийг авч үзье.Дараа нь дулааны тэгшитгэлийн интегралыг хялбарчлах болно
Интеграцийн тогтмолуудыг тооцоолохын тулд бид эхлээд ялгарах цэгээс хязгааргүй алслагдсан цэгүүдийн нөхцөлийг ашигладаг бөгөөд C нь орчны температур юм. Сүүлийн илэрхийллээс бид олдог. Тогтмолыг тодорхойлохын тулд ялгадас дахь дулааны энерги нь радиустай бөмбөрцөг хөндийн гадаргуу дээр жигд тархсан гэж үздэг. Тиймээс хөндийн хил дээрх дулааны урсгал нь байх болно
-ээс хойш сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс бид байна
ба эцсийн шийдвэр
Энэ тохиолдолд хөндийн хил дээрх температур (мм) Вт / мК байх болно 
K (Зураг 40).
Энэ бүлгийн эхний жишээ болгон хөргөх суваг бүхий дугуй утасны хөндлөн огтлолын дулааны орон зайг авч үзье (Зураг 41, А). Хүчтэй соронзон орон үүсгэхийн тулд хүчирхэг цахилгаан машин, ороомгийн ороомогт хөргөх суваг бүхий утсыг ашигладаг. Эдгээр төхөөрөмжүүд нь олон зуун, бүр хэдэн мянган амперийн далайцтай гүйдлийн урт хугацааны урсгалаар тодорхойлогддог. Жишээлбэл, ус, хий (устөрөгч, агаар) гэх мэт шингэнийг шахдаг бөгөөд энэ нь сувгийн дотоод гадаргуугаас дулааны энерги гаргаж авах, утсыг бүхэлд нь хөргөх боломжийг олгодог. Энэ тохиолдолд бид сувгийн гадаргууг албадан конвектив хөргөлтийн асуудлыг шийдэж байгаа бөгөөд үүнд дээр дурдсан гурав дахь төрлийн хилийн нөхцөлийг (67) ашиглаж болно. Хэрэв цилиндр координатын системийн тэнхлэг нь утасны тэнхлэгтэй тохирч байвал температур нь зөвхөн радиаль координатаас хамаарна. Бид өмнө нь энэ тохиолдолд суурин дулааны тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авсан
Дулааны ялгаруулалтын эзэлхүүний эрчим хүчний нягтыг Жоуль-Ленцийн хуулиас олно: j- одоогийн нягтрал, σ - цахилгаан дамжуулах чанар,
хэлбэрийг авдаг: Р- утасны хэсгийн радиус, а- хөргөлтийн сувгийн радиус. Утас нь гадна талаас тусгаарлагч давхаргуудаар хүрээлэгдсэн байдаг бөгөөд энэ нь дамжуулагчтай харьцуулахад харьцангуй бага дулаан дамжуулалттай байдаг. Тиймээс, эхний ойролцоо байдлаар бид утасны гаднах гадаргуу нь дулаан тусгаарлалттай, өөрөөр хэлбэл түүн дээрх дулааны урсгалтай гэж үздэг.
Хөргөх сувгийн гадаргуу дээр дулааны урсгалыг гурав дахь төрлийн нөхцлөөр тодорхойлно
дулаан дамжуулах коэффициент хаана байна, хөргөлтийн урсгалын температур. Сувгийн дотоод гадаргуугийн хэвийн хэмжээ нь тэнхлэгийн эсрэг чиглэлд чиглэгддэг тул баруун талд байгаа хасах тэмдгийг авна.
Температурын (76) илэрхийлэлийг эхний бичигдсэн хилийн нөхцлөөр орлуулснаар бид олж авна
хаана. Хоёрдахь хилийн нөхцөл нь өгдөг
бид хаанаас олох вэ?
Үүний зэрэгцээ (76)
Сүүлийн хоёр илэрхийлэлийг харьцуулж үзвэл бид олдог
Олдсон тогтмолуудыг ерөнхий шийдэл (76) болон хувиргалтанд орлуулсны дараа бид олж авна
Үүссэн уусмалаас утасны хөндлөн огтлолын хил дээрх температурыг томъёогоор тооцоолно
Хөргөлтийн суваг бүхий утасны хөндлөн огтлолын радиусын дагуух температурын хуваарилалт: A, W/mK, 
1/Ом м, о С, мм, см-ийг Зураг дээр үзүүлэв. 41, б.
Зураг дээрээс. 41, бЭнэ нь утасны хөндлөн огтлолын дотор температурын өөрчлөлт нь дундаж утгатай харьцуулахад харьцангуй бага байдаг бөгөөд энэ нь дулаан дамжуулалт өндөртэй холбоотой юм. λ ба харьцангуй бага утсан хөндлөн огтлолын хэмжээ.
Бие биетэйгээ харьцах салангид хэсгүүдээс бүрдсэн утсан дагуу температурын хуваарилалтад өөр нөхцөл байдал үүсдэг. Холбогдсон дамжуулагчийн хоорондох контактын чанар муудах нь утастай харьцуулахад хоёр утасны уулзвар дээр дулааны үйлдвэрлэл нэмэгдэхэд хүргэдэг. Дулааны зурагчин эсвэл пирометр ашиглан утасны температурыг алсаас хэмжих нь контактын холболтын чанарыг оношлох боломжийг олгодог.Гэмтэлтэй контакт байгаа тохиолдолд утсан дээрх температурын хуваарилалтыг тооцоолъё. Өмнөх жишээ нь хамгийн хүнд нөхцөлд ч гэсэн утасны хөндлөн огтлолын температурын өөрчлөлт маш бага байгааг харуулсан. Тиймээс бидний тооцооллын хувьд бид эхний ойролцоо байдлаар утсан хөндлөн огтлол дахь температурын хуваарилалт жигд байна гэж үзэж болно. Утасны дагуу дулаан үүсэх хуваарилалт нь утасны дагуух цахилгаан эсэргүүцлийн хуваарилалтаас хамаардаг бөгөөд энэ нь контактаас хол байх үед жигд бөгөөд ойртох үед нэмэгддэг. Декартын координатын системийн тэнхлэгийг утасны тэнхлэгтэй, координатын эхийг контактын талбайн төвтэй зэрэгцүүлье (Зураг 42). Утасны дагуу эсэргүүцлийн хуваарилалтын загвар болгон бид шугаман эсэргүүцлийн дараах хуваарилалтыг авна
Энд , нь контактын талбайн шугаман хэмжээг тодорхойлох параметр юм. Нэг утсанд ногдох дулаан үйлдвэрлэх хүч нь 
. Нэгж эзэлхүүнээр тооцоолсон дулаан ялгаруулах чадал нь тэнцүү байна
хэлбэрийг авдаг: С- утасны хөндлөн огтлол. Утас нь түүний гадаргуугаас байгалийн конвекцоор хөргөнө. Утасны нэгж уртын конвектив дулааны урсгал нь
хэлбэрийг авдаг: α - дулаан дамжуулах коэффициент, - орчны температур, х- утасны хөндлөн огтлолын периметр. Дамжуулагчийн нэгж эзэлхүүн дэх хүрээлэн буй орчны дулаан дамжуулалт нь байх болно
Утасны дагуух суурин температурын хуваарилалт нь дулаан дамжилтын тэгшитгэлд захирагдана
Үүссэн тэгшитгэлийн цаашдын хувиргалтын хувьд утсан дээрх дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийн тогтмолыг авч, дээр авсан илэрхийллүүдийг ба -аар орлуулж, оронд нь хүссэн функцээр орлуулъя. Тавч үзье:
Бид шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлд хүрнэ
Бид үүссэн тэгшитгэлийн шийдлийг нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн нийлбэр хэлбэрээр хайх болно.
мөн баруун талын хэлбэрээр тодорхой шийдэл
.
Ньютоны аргаар алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нэлээд түгээмэл арга бол шүргэгч арга, эсвэл Ньютоны арга. Энэ тохиолдолд хэлбэрийн тэгшитгэл е(x) = 0-ийг дараах байдлаар шийднэ. Нэгдүгээрт, тэг ойролцоо (цэг x 0). Энэ үед графикт шүргэгч үүснэ y = е(x). Энэ шүргэгчийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь үндэс (цэг)-ийн дараагийн ойролцоолсон цэг юм. x 1). Энэ үед тангенс дахин үүснэ гэх мэт. Цэгүүдийн дараалал x 0 , x 1 , x 2 ... язгуурын жинхэнэ утгад хүргэх ёстой. Нэгдэх нөхцөл нь .
Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь x 0 , е(x 0) (мөн энэ нь шүргэгч), хэлбэрээр бичигдсэн байна
ба дараагийн ойролцоо байдлаар xАнхны тэгшитгэлийн язгуурын хувьд энэ шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг авсан бол энэ цэг дээр тавих ёстой. y = 0:
Үүнээс өмнөх тэгшитгэлээр дараагийн ойролцоо утгыг олохын тулд тэгшитгэл нэн даруй гарч ирнэ.
Зураг дээр. Зураг 3-т Excel программ ашиглан Ньютоны аргын хэрэгжилтийг харуулав. Анхны ойролцоо тооцоолол ( x 0 = -3), дараа нь бүх завсрын утгыг баганын үлдсэн нүднүүдэд тооцоолол хүртэл тооцно. x 1. Хоёрдахь алхмыг гүйцэтгэхийн тулд В10 нүдний утгыг C3 нүдэнд оруулаад C баганад тооцоо хийх процессыг давтана. Дараа нь C2:C10 нүднүүдийг сонгосноор та сонголтын баруун доод буланд байгаа бариулыг чирж сунгаж болно. D:F баганууд руу. Үүний үр дүнд F6 нүдэнд 0 утгыг авна, i.e. F3 нүдний утга нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
Циклийн тооцоог ашиглан ижил үр дүнг авч болно. Дараа нь эхний баганыг бөглөж, эхний утгыг авсны дараа x 1, H3 нүдэнд =H10 томьёог оруулна. Энэ тохиолдолд тооцооллын процесс давтагдах бөгөөд үүнийг гүйцэтгэхийн тулд цэсэнд Үйлчилгээ | Сонголтуудтаб дээр Тооцоололшалгах нүдийг шалгах шаардлагатай Давталтмөн давтагдах үйл явцын хамгийн их алхмын тоо болон харьцангуй алдааг заана (өгөгдмөл тоо нь 0.001 нь олон тохиолдолд хангалтгүй байдаг), үүнд хүрэх үед тооцооллын процесс зогсох болно.
Мэдэгдэж байгаагаар диффузын үед дулаан дамжуулах, масс дамжуулах зэрэг физик процессууд Фикийн хуульд захирагддаг
хэлбэрийг авдаг: л- дулаан дамжилтын илтгэлцүүр (тархалт), ба Т– температур (концентраци), – харгалзах утгын урсгал. Математикаас урсацын зөрүү нь эх үүсвэрийн эзэлхүүний нягттай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Qэнэ үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл.
эсвэл хоёр хэмжээст тохиолдолд нэг хавтгай дахь температурын тархалтыг судлахад энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
Энэ тэгшитгэлийг аналитик аргаар шийдэх нь зөвхөн тэгш өнцөгт, тойрог, цагираг зэрэг энгийн хэлбэрийн хэсгүүдэд л боломжтой. Бусад тохиолдолд энэ тэгшитгэлийн яг шийдэл боломжгүй, жишээлбэл. Түүнчлэн нарийн төвөгтэй тохиолдолд температурын тархалтыг (эсвэл бодисын концентрацийг) тодорхойлох боломжгүй юм. Дараа нь та ийм тэгшитгэлийг шийдэх ойролцоо аргыг ашиглах хэрэгтэй.
Нарийн төвөгтэй хэлбэрийн муж дахь тэгшитгэлийн (4) ойролцоо шийдэл нь хэд хэдэн үе шатаас бүрдэнэ: 1) тор барих; 2) ялгааны схемийг барих; 3) алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Excel багцыг ашиглан үе шат бүрийг дараалан, тэдгээрийн хэрэгжилтийг авч үзье.
Сүлжээний барилга.Талбайг Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй болго. 4. Энэ хэлбэрийн хувьд (4) тэгшитгэлийн яг аналитик шийдэл, жишээлбэл, хувьсагчдыг салгах аргаар хийх боломжгүй юм. Тиймээс бид тус тусдаа цэгүүдээс энэ тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийг хайх болно. Хажуу талтай дөрвөлжин хэсгүүдээс бүрдэх нэг төрлийн торыг тухайн талбайд түрхье h. Одоо бүс нутгийн цэг бүрт тодорхойлогдсон тэгшитгэлийн (4) тасралтгүй шийдлийг хайхын оронд зөвхөн тухайн бүсэд хэрэглэж буй торны зангилааны цэгүүдэд тодорхойлогдсон ойролцоо шийдлийг хайх болно, өөрөөр хэлбэл. талбайн буланд.
Ялгаатай схемийг барих.Ялгаатай схемийг байгуулахын тулд дурын дотоод сүлжээний зангилаа С (төв) -ийг авч үзье (Зураг 5). Түүний хажууд дөрвөн зангилаа байдаг: B (дээд), N (доод), L (зүүн) ба P (баруун). Торон дахь зангилааны хоорондох зай нь гэдгийг санаарай h. Дараа нь (4) тэгшитгэлийн хоёр дахь деривативыг ойролцоогоор бичихийн тулд (2) илэрхийллийг ашиглан бид ойролцоогоор бичиж болно:
Үүнээс төв цэг дэх температурын утгыг хөрш зэргэлдээ цэгүүдийн утгуудтай холбох илэрхийлэлийг олж авахад хялбар байдаг.
Илэрхийлэл (5) нь хөрш зэргэлдээ цэгүүдийн температурын утгыг мэдэж, төв цэг дээрх утгыг тооцоолох боломжийг олгодог. Деривативуудыг хязгаарлагдмал зөрүүгээр сольж, сүлжээний цэг дээрх утгыг хайхдаа зөвхөн хамгийн ойрын хөрш цэгүүдийн утгыг ашигладаг ийм схемийг төвийн ялгааны схем гэж нэрлэдэг. арга нь өөрөө төгсгөлийн ялгаа арга гэж нэрлэгддэг.
Сүлжээний цэг тус бүрийн хувьд (5)-тай төстэй тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд энэ нь хоорондоо холбогдсон болохыг ойлгох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн тоо нь торны зангилааны тоотой тэнцүү байх алгебрийн тэгшитгэлийн системтэй. Ийм тэгшитгэлийн системийг янз бүрийн аргыг ашиглан шийдэж болно.
Алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Давталтын арга.Хилийн зангилааны температурыг тохируулж, 20-той тэнцүү, дулааны эх үүсвэрийн хүчийг 100-тай тэнцүү болго. Манай бүс нутгийн хэмжээсүүд нь босоо тэнхлэгт 6, хэвтээ 8-тай тэнцүү байх тул торны тал нь квадрат ( алхам) h= 1. Дараа нь дотоод цэгүүдийн температурыг тооцоолох илэрхийлэл (5) хэлбэрийг авна
Зангилаа болгонд Excel хуудасны нүдийг оноож үзье. Хилийн цэгүүдэд харгалзах нүднүүдэд бид 20-ийн тоог оруулна (6-р зурагт тэдгээрийг саарал өнгөөр тодруулсан). Үлдсэн нүдэнд бид томъёо (6) бичнэ. Жишээлбэл, F2 нүдэнд дараах байдлаар харагдах болно: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Энэ томъёог F2 нүдэнд бичсэний дараа та үүнийг хуулж, дотоод зангилааны харгалзах хэсгийн үлдсэн нүдэнд буулгаж болно. Энэ тохиолдолд Excel нь үр дүнгийн давталтаас болж тооцоолол хийх боломжгүй тухай мэдээлэх болно.
"Цуцлах" дээр товшоод цонх руу очно уу Хэрэгсэл|Сонголтууд|Тооцоолол, "Давталт" хэсгийн нүдийг чагтална уу, харьцангуй алдаа гэж 0.00001, давталтын хамгийн их тоог 10000 гэж зааж өгнө үү.
Ийм утгууд нь бидэнд жижиг ТООЛОЛТОЙ алдаа гаргаж, давталтын процесс заасан алдаанд хүрэх баталгаа болно.
Гэсэн хэдий ч эдгээр утгууд нь аргын жижиг алдааг баталгаажуулдаггүй, учир нь сүүлийнх нь хоёр дахь деривативыг хязгаарлагдмал зөрүүгээр солих үед гарсан алдаанаас хамаардаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ алдаа бага байх тусам сүлжээний алхам бага байх болно, i.e. бидний ялгааны схемийг үндэслэсэн квадратын хэмжээ. Энэ нь 1-р зурагт үзүүлсэн сүлжээний зангилааны температурын утгыг нарийн тооцоолсон гэсэн үг юм. 6 нь үнэн хэрэгтээ огт худал болж магадгүй юм. Олдсон шийдлийг шалгах ганцхан арга бий: илүү нарийн торноос олж, өмнөхтэй нь харьцуулах. Хэрэв эдгээр шийдлүүд бага зэрэг ялгаатай бол олсон температурын хуваарилалт бодит байдалтай нийцэж байна гэж бид үзэж болно.
Алхамыг хоёр дахин багасгая. 1-ийн оронд ½-тэй тэнцүү болно. Үүний дагуу бидний зангилааны тоо өөрчлөгдөнө. Босоо чиглэлд 7 зангилаа (6 алхам, өөрөөр хэлбэл 7 зангилаа байсан) 13 (12 дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл 13 зангилаа) байх болно, хэвтээ 9-ийн оронд 17 байх болно. Алхамны хэмжээ нь 2000-2000 оны хооронд байх ёстой гэдгийг мартаж болохгүй. хоёр дахин багасгасан бөгөөд одоо (6) томъёонд 1 2-ын оронд баруун талд (1/2) 2-ыг орлуулах хэрэгтэй. Олдсон шийдлүүдийг харьцуулах хяналтын цэг болгон бид Зураг дээр тэмдэглэсэн хамгийн их температуртай цэгийг авна. 6 шар өнгөтэй. Тооцооллын үр дүнг Зураг дээр үзүүлэв. 9:
Алхамыг багасгах нь хяналтын цэгийн температурын утгыг 4% -иар их хэмжээгээр өөрчлөхөд хүргэсэн болохыг харж болно. Олдсон шийдлийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхийн тулд сүлжээний алхамыг цаашид багасгах хэрэгтэй. Учир нь h= ¼ бид хяналтын цэг дээр 199.9-ийг авдаг бөгөөд h = 1/8-ийн хувьд харгалзах утга нь 200.6 байна. Та алхамын хэмжээнээс олсон утгын хамаарлыг зурж болно.
Зургаас бид цаашдын алхамыг багасгах нь хяналтын цэгийн температурын мэдэгдэхүйц өөрчлөлтөд хүргэхгүй бөгөөд олсон шийдлийн нарийвчлалыг хангалттай гэж үзэж болно гэж дүгнэж болно.
Excel-ийн багцын боломжуудыг ашиглан та судалгааны талбай дахь түүний тархалтыг нүдээр харуулах температурын гадаргууг барьж болно.