Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Пикардын арга. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Maple Picard аргаар асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Энэ нь дараалсан ойртуулах аргын ерөнхий дүгнэлт болох ойролцоо шийдлийн арга юм (V бүлэг, § 2-ыг үзнэ үү). Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн Коши бодлогыг авч үзье
Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэснээр бид энэ асуудлыг Вольтерра төрлийн эквивалент интеграл тэгшитгэлээр сольсон.
Энэхүү интеграл тэгшитгэлийг дараалсан ойртолтын аргаар шийдэж, бид Пикардын давтагдах процессыг олж авна.
(ойролцоо шийдлийг яг нэгээс ялгаатай нь y-ээр тэмдэглэнэ). Энэ үйл явцын давталт бүрт интеграцчлалыг яг эсвэл IV бүлэгт дурдсан тоон аргуудыг ашиглан гүйцэтгэдэг.
Зарим хязгаарлагдмал мужид баруун тал нь үргэлжилсэн бөгөөд хувьсагч болон Липшицийн нөхцөлийг хангадаг гэж үзээд аргын нэгдлийг баталъя.
Талбай нь хязгаарлагдмал тул (9)-ээс (8) хасч, Липшицийн нөхцөлийг ашиглан ойролцоо шийдийн алдааг тэмдэглэе.
Энэ давтагдах хамаарлыг шийдэж, бид дарааллаар нь олох болно
Энэ нь алдааны тооцоог илэрхийлнэ
-ийн хувьд, өөрөөр хэлбэл, ойролцоо шийдэл нь бүх бүс нутагт яг шийдэлд жигд нийлдэг болохыг харж болно.
Жишээ. Шийдэл нь энгийн функцээр илэрхийлэгдээгүй (3) тэгшитгэлийн Коши бодлогод Пикардын аргыг хэрэглэцгээе.
Энэ тохиолдолд квадратуудыг (9) яг нарийн тооцоолж, бид амархан олж авдаг
гэх мэт. Эдгээр ойролцоо тооцоолол нь хурдан нийлж, шийдлийг өндөр нарийвчлалтайгаар тооцоолох боломжийг олгох нь ойлгомжтой.
Энэ жишээнээс харахад (9) интегралуудыг анхан шатны функцээр тооцож чадвал Пикардын аргыг ашиглах нь ашигтай байдаг. Хэрэв (7) тэгшитгэлийн баруун тал нь илүү төвөгтэй тул эдгээр интегралуудыг тоон аргаар олох шаардлагатай бол Пикардын арга тийм ч тохиромжтой биш болно.
Пикардын аргыг 2-р зүйлд заасан аргаар тэгшитгэлийн системд хялбархан ерөнхийлдөг. Гэсэн хэдий ч практик дээр системийн дараалал өндөр байх тусам (9)-д заасан интегралуудыг үнэн зөв тооцоолох боломжгүй байдаг нь хэрэглээг хязгаарладаг. Энэ тохиолдолд аргын талаар.
Ойролцоогоор өөр олон аргууд байдаг. Жишээлбэл, С.А.Чаплыгин тухайн тохиолдолд Ньютоны алгебрийн аргын ерөнхий дүгнэлт болох аргыг санал болгосон. дифференциал тэгшитгэл. Ньютоны аргыг ерөнхийд нь илэрхийлэх өөр нэг аргыг 1948 онд Л.В.Канторович санал болгосон. Эдгээр аргуудын аль алинд нь, мөн Пикардын аргад давталтуудыг квадрат хэлбэрээр гүйцэтгэдэг. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн доторх квадратууд илүү их байдаг нарийн төвөгтэй дүр төрх, (9) -ээс илүү бөгөөд энгийн функцүүдэд авах нь ховор. Тиймээс эдгээр аргуудыг бараг ашигладаггүй.
Ажлын зорилго:оюутнуудад алсын удирдлагыг янз бүрийн чиглэлээр ашиглах талаархи санаа бодлыг бий болгох; алсын удирдлагад зориулсан Кошигийн асуудлыг шийдэх чадварыг суулгах цагт" = е(x,y) сегмент дээр [ а, б] өгөгдсөн анхны нөхцөлийн хувьд цагт 0 = е(x 0) Пикард, Эйлер, Рунге - Кутта, Адамс нарын аргууд; хэрэглээний программ ашиглан олж авсан үр дүнг шалгах ур чадварыг хөгжүүлэх.
Пикардын арга
Жишээ 5.1.
: цагт h= 0.1 алхамтай Пикардын аргаар h.
Тайланд танилцуулна: ажлын явц, програм - функц, алдаа, шийдлийн график дүрслэл.
Шийдэл.
1. Өгөгдөл оруулах (Зураг 5.1)
а= 1,7 b = 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3 би = 0..n
Зураг 5.1.Анхны өгөгдлийг тохируулах
2. Хувьсагчийн хувьд эхний деривативын утгыг буцаадаг функцийг тодорхойлно уу цагт(Зураг 5.2).
егаргах( y) = 
Зураг 5.2.Функцийн эхний деривативын утгыг буцаадаг функц
3. Аргыг ашиглан DE-д шийдлийг буцаадаг функц үүсгэцгээе
Пикара. Энд: f -анхны функц; f дерив –
-тай холбоотой функцийн дериватив цагт; а,б- сегментийн төгсгөлүүд; h- алхам; цагт 0 –
хувьсагчийн анхны утга цагт.
4. Пикардын аргаар дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олъё (Зураг 5.3).
fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)=
Цагаан будаа. 5.3.Алсын удирдлага руу шийдлийг буцаах функцийг зааж өгөх
Пикардын арга (fnPikar.mcd файл)
fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =
| 7.78457519486 10 -11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Цагаан будаа. 5.4.Пикардын аргыг ашиглан DE-ийн тоон шийдлийг олох
Эйлерийн арга ба түүний өөрчлөлтүүд
Жишээ 5.2.
цагт(1.7) = 5.3 ба нэгтгэх алхам h= 0.1 Эйлерийн арга ба шаталсан Эйлерийн арга hТэгээд h/2.
Шийдэл.
Эйлерийн аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх явцыг Зураг дээр үзүүлэв. 5.5 – 5.7.
a = 1.7 b = 2.7 y0 = 5.3
y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0.05
Зураг 5.5.Шийдэл бүхий Mathcad ажлын хуудасны фрагмент
алхамтай Эйлерийн аргаар тэгшитгэл hТэгээд h/2 ба график
Эйлерийн аргын дүрслэл.
1. Эйлерийн аргыг хэрэгжүүлдэг программыг бүтээцгээе (Зураг 1).
Зураг 5.6.Эйлерийн аргыг хэрэгжүүлдэг програмын жагсаалт
2. Эйлерийн аргыг ашиглан DE-ийн уусмалыг авъя (Зураг 5.7.).
ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)
Цагаан будаа. 5.7.Эйлерийн аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн тоон шийдийг олох
Анхаарна уу
Сайжруулсан Эйлер аргыг ашиглан DE-ийн шийдлийг буцаах функцийг та өөрөө зохиож болно.
Цагаан будаа. 5.8.Сайжруулсан аргыг ашиглан DE-ийг шийдвэрлэх
Алхамтай Эйлер hТэгээд h/2
5.3. Рунге-Кутта арга
Практикт дөрөв дэх эрэмбийн Runge-Kutta аргыг ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ 5.3.
Тухайн үйлдлийн системийн сегмент дээрх алсын удирдлагад зориулсан Кошигийн асуудлыг шийд цагт(1.7) = 5.3 ба нэгтгэх алхам h= 0.1 Дөрөвдүгээр эрэмбээр Runge–Kutta аргын алхамтай hба 2 h.
Тайланд: ажлын явц, програмын функц, алдаа, шийдлийн график дүрслэл, ойролцоолсон алдааны үнэлгээ.
Шийдэл.
1. Даалгаврын өгөгдлийг оруулна уу (Зураг 5.9).
а = 1,7 б = 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3
би= 0...n
Зураг 5.9.Анхны өгөгдлийг тохируулах
2. Runge-Kutta аргыг ашиглан нэгдүгээр эрэмбийн DE-ийн шийдийг буцаадаг функцийг зохиоё. Энд: fn – өгөгдсөн функц; а, б- сегментийн төгсгөлүүд; h- алхам; y 0 – функцийн анхны утга.
3. Mathcad программын суурилагдсан функцуудыг ашиглан нэгдүгээр эрэмбийн DE-ийн шийдлийг олцгооё (Зураг 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2цаг = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Цагаан будаа. 5.10.Тоон тоог буцаадаг функцийн жагсаалт
Runge-Kutta аргыг ашиглан DE-ийг шийдвэрлэх
Адамсын арга
Жишээ 5.4.
Тухайн үйлдлийн системийн сегмент дээрх алсын удирдлагад зориулсан Кошигийн асуудлыг шийд цагт(1.7) = 5.3 ба нэгтгэх алхам h= 0.1 Адамсын аргаар алхам алхмаар h.
Тайланд: гарын авлагын тооцоо, програм - функц, алдаа, шийдлийн график дүрслэл, ойролцоолсон алдааны үнэлгээ.
Шийдэл.
1. Рунге-Кутта томьёог ашиглан эхний дөрвөн тоог ол (Зураг 5.11).
y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i
Цагаан будаа. 5.11.Рунге-Кутта томъёог ашиглан тоон шийдлийн эхний дөрвөн утгыг тооцоолох
2. Адамсын аргыг хэрэгжүүлдэг функц бүтээцгээе (Зураг 2.10.3). Энд а, б- сегментийн төгсгөлүүд; y 1 – функцийн анхны утга; h- алхам.
Цагаан будаа. 5.12.Тоон шийдийг буцаадаг функц
Адамсын аргаар DE
3. Өөр өөр аргуудыг ашиглан DE-ийг шийдвэрлэх график дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 5.13.
Цагаан будаа. 5.13.Янз бүрийн аргуудыг ашиглан DE шийдлийн дүрслэл
Сэдвийн талаархи асуултууд
1. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн Кошигийн бодлогыг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
2. DE-ийн тоон шийдлийн график тайлбар.
3. DE-г шийдвэрлэх ямар аргууд байдаг вэ?
Шийдлийг танилцуулах маягтууд уу?
4. Шахах зарчмын мөн чанар юу вэ
дэлгэцүүд?
5. Пикардын аргын давтагдах томьёо.
6. Эйлерийн тасархай шугамын аргын мөн чанар юу вэ?
7. Ямар томьёог хэрэглэх нь утгыг авах боломжийг олгодог
Эйлерийн аргыг ашиглан хүссэн функц?
8. Эйлерийн аргын график тайлбар ба
Эйлерийн аргыг сайжруулсан. Тэдний ялгаа юу вэ?
9. Рунге-Кутта аргын мөн чанар юу вэ?
10. Тооны зөв цифрүүдийн тоог хэрхэн тодорхойлох,
Эйлерийн аргаар дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл,
Эйлер, Пикард, Рунж нарын сайжруулсан арга.
Лабораторийн даалгавар No5
Даалгавар 5.1.
Алсын удирдлагад зориулсан Коши асуудлыг шийднэ үү y’ = е(x, y) сегмент дээр [ а, б] өгөгдсөн NU-д зориулагдсан цагт(А) = -тайболон нэгтгэх алхам h(анхны параметрүүдийг Хүснэгт 2.10.1-д өгсөн):
1) Эйлерийн арга ба шаталсан Эйлерийн арга hТэгээд h/2;
2) Алхамтай Рунге-Кутта арга hба 2 h;
3) Адамсын арга;
4) Пикардын арга.
Шийдэл нь дараахь зүйлийг агуулсан байх ёстой: ажлын явц, аргын хөтөлбөр, график шийдэлтэгшитгэл ба ойролцоолох алдааны тооцоо. Тоонуудын аравтын бутархайн араас 5 цифр үлдээгээрэй.
Хүснэгт 5.1.Гүйцэтгэх ажлуудын сонголтууд бие даасан ажил
| № | f( x, y) | [а, б] | y 0 | h |
| 3X 2 + 0,1xy | цагт(0) = 0,2 | 0,1 | ||
| 0,185(x 2 + cos(0.7 x)) + 1,843y | цагт(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| цагт(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
 | цагт(0,2) = 1,1 | 0,1 | ||
| цагт(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
 | цагт(1,7) = 5,3 | 0,1 | ||
 | цагт(2,6) = 3,5 | 0,2 | ||
 | цагт(2) = 2,3 | 0,1 | ||
| 1.6 + 0.5 жил 2 | цагт(0) = 0,3 | 0,1 | ||
 | цагт(1,8) = 2,6 | 0,1 | ||
 | цагт(2,1) = 2,5 | 0,1 | ||
| д 2x + 0,25y 2 | цагт(0) = 2,6 | 0,05 | ||
| [- 2; -1] | цагт(-2) = 3 | 0,1 | ||
| 0.133·( x 2+ нүгэл(2 x)) + 0,872y | цагт(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| нүгэл( x + y) +1,5 | цагт(1,5) = 4,5 | 0,1 | ||
 | цагт(0,4) = 0,8 | 0,1 | ||
| 2,5x+cos( y + 0,6) | цагт(1) = 1,5 | 0,2 | ||
| cos(1.5 y +x) 2 + 1,4 | цагт(1) = 1,5 | 0,1 | ||
 | цагт(1,5) = 2,1 | 0,05 | ||
| cos y + 3x | цагт(0) = 1,3 | 0,1 | ||
| cos(1.5 x – y 2) – 1,3 | [-1; 1] | цагт(-1) = 0,2 | 0,2 | |
| цагт(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
| д -(y – 1) + 2x | цагт(0) = 0,3 | 0,05 | ||
| 1 + 2yнүгэл x – y 2 | цагт(1) = 0 | 0,1 | ||
 | цагт(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,166(x 2 + нүгэл(1,1 x)) + 0,883y | цагт(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| цагт(1,7) = 5,6 | 0,1 | |||
| цагт(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
| цагт(0,6) = 0,8 | 0,1 | |||
| цагт(1) = 5,9 | 0,1 | |||
| 1 + 0,8yнүгэл x - 2y 2 | цагт(0) = 0 | 0,1 | ||
 | цагт(0,5) = 1,8 | 0,1 | ||
| цагт(1,2) = 1,8 | 0,1 | |||
| 1 + 2.2 нүгэл x + 1,5y 2 | цагт(0) = 0 | 0,1 | ||
| цагт(0) = 0 | 0,1 | |||
 | цагт(0) = 0 | 0,1 | ||
 | цагт(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,2x 2 + y 2 | цагт(0) = 0,8 | 0,1 | ||
| x 2 + y | цагт(0) = 0,4 | 0,1 | ||
| xy + 0,1y 2 | цагт(0) = 0,5 | 0,1 |
Уран зохиол
Үндсэн уран зохиол:
Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математикийн аргууд
Хүнсний инженерчлэл: Сурах бичиг. – Санкт-Петербург: “Лан”, 2012. – 212 х.
Алексеев Г.В. Инженерийн математикийн аргууд: Боловсролын арга. тэтгэмж. – Санкт-Петербург: NRU ITMO; IHBT. 2012. – 39 х.
Алексеев Г.В., Холявин И.И. Тоон эдийн засаг-математик загварчлал ба оновчлол: сургалтын гарын авлагаих, дээд сургуулиудад зориулсан, Улсын эдийн засаг, технологийн дээд сургууль, 2011, 211 х.
Макаров Е.Г. Mathcad: Сургалтын курс. – Санкт-Петербург: Петр, 2009. - 384 х.
Поршнев С.В., Беленкова И.В. Mathcad дээр суурилсан тоон аргууд. –
Санкт-Петербург: BHV-Петербург, 2005. – 464 х.
Агапев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Туршилтын өгөгдлийг боловсруулах: Сурах бичиг. тэтгэмж / Санкт-Петербург улсын техникийн их сургууль. Санкт-Петербург, 2001 он.
Горелова Г.В. Магадлалын онол, математикийн статистикийн жишээ, Excel програмын бодлого. – М.: Финикс, 2005. – 476 х.
Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Оновчтой нөхцөлийг хайж байхдаа туршилтыг төлөвлөх нь - М.: Наука, 1976
Асатурян В.И. Туршилтын төлөвлөлтийн онол.-М.: Радио ба холбоо, 1983
Бродский В.З. Туршилтын хүчин зүйлийн дизайны танилцуулга.-М.: Наука, 1976
Демиденко Е.З. Шугаман ба шугаман бус регресс.-М.: Санхүү, статистик, 1981 он.
Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Туршилтыг төлөвлөх нь.-Минск: BSU, 1982
Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Олон хүчин зүйлийн туршилтын асуудлууд дахь комбинаторын төлөвлөгөө - М.: Наука, 1979
Фролкис В.А. Шугаман ба шугаман бус оновчлол.-SPb. 2001. 306 х.
Курицкий Б.Я. Хайх оновчтой шийдлүүд Excel 7.0.-SPb ашиглан: BHV, 1997, 384c
програм хангамжболон интернетийн эх сурвалжууд:
http://www.open-mechanics.com/journals - Хүнсний үйлдвэрлэлийн процесс ба аппаратууд
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Шингэн ба хийн механик, гидравлик ба гидравлик машин
http://elibrary.ru/defaultx.asp - "Elibrary" шинжлэх ухааны цахим номын сан
Танилцуулга
1.Лабораторийн ажил№1: Тооцооллын ойролцоо онол
1.1. Үнэмлэхүй ба харьцангуй алдаа
1.2. Дугуйрсан тооны алдаа
1.3. Арифметик алдаа
1.4. Алдаа үндсэн функцууд
1.5. Хилийн арга
1.6. Алдааны онолын урвуу асуудал
1.7. Сэдвийн талаархи асуултууд
1.8. Лабораторийн ажлын даалгавар No1
2. Лабораторийн ажил No2: Уусмалын тоон аргууд
скаляр тэгшитгэл
1.1. Хөвчний арга
1.2. Тангенсийн арга
1.3. Энгийн давталтын арга
1.4. Сэдвийн талаархи асуултууд
1.5. Лабораторийн ажлын даалгавар No2
3. Лабораторийн ажил No3: Системийг шийдвэрлэх тоон аргууд
шугаман бус тэгшитгэл
3.1. Ньютоны арга
3.2. Сэдвийн талаархи асуултууд
3.3. Лабораторийн даалгавар No3
4. Лабораторийн ажил No4: Тоон интеграл
4.1. Тэгш өнцөгтийн арга
4.2. Симпсоны арга
4.3. Трапец хэлбэрийн арга
4 .4. Монте Карло арга
4.5. Сэдвийн талаархи асуултууд
4.6. Лабораторийн даалгавар No4
5. Лабораторийн ажил No5: Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
5.1. Пикардын арга
5.2. Эйлерийн арга ба түүний өөрчлөлтүүд
5.3. Рунге-Кутта арга
Энэ арга нь ойролцоо аргын ангийн төлөөлөгч юм
Аргын санаа нь маш энгийн бөгөөд дараалсан процедур хүртэл багасдаг
интеграл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тодорхой ойролцоо тооцоолол
анхны дифференциал тэгшитгэл өгөгдсөн.
Кошигийн асуудлыг тавья
,
Бичсэн тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье
.
(5.2)
Пикардын аргын дараалсан ойртуулах журмыг дараах схемийн дагуу хэрэгжүүлнэ
,
(5.3)
Жишээ . Пикардын аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд
,
Энэ тэгшитгэлийн шийдийг энгийн функцээр илэрхийлээгүй.
,
Цуврал хурдан нэгдэж байгааг харж болно. Хэрэв интегралуудыг аналитик аргаар авах боломжтой бол энэ арга тохиромжтой.
Пикардын аргын нийлэлтийг баталъя. Хязгаарлагдмал байдлаар оруулаарай
бүс нутаг, баруун гар тал нь тасралтгүй бөгөөд үүнээс гадна хувьсагчийн хувьд Липшицийн нөхцлийг хангадаг, i.e.
зарим тогтмол хаана байна.
Хязгаарлагдмал талбайн улмаас тэгш бус байдал үүсдэг
(5.2) томъёог (5.3) -аас хасаад бид баруун ба зүүн модулиудыг олж авна
,
.
Эцэст нь Lipschitz-ийн тасралтгүй байдлын нөхцлийг ашиглан бид олж авна
,
(5.4)
Ойролцоогоор шийдлийн алдаа хаана байна.
(5.4)-ийн томъёог тууштай хэрэглэх нь дараахь гинжин хэлхээг үүсгэдэг.
,
,
.
Учир нь , тэгвэл бидэнд байна
.
Стирлингийн томъёог ашиглан бид эцэст нь ойролцоогоор шийдлийн алдааны тооцоог олж авна.
.
(5.5)
(5.4)-ээс харахад алдааны модуль, i.e.
Ойролцоо шийдэл нь яг нэгд нь жигд нийлдэг.
5.2.2. Рунге-Куттагийн аргууд
Эдгээр аргууд нь тоон шинж чанартай байдаг.
Практикт Рунге-Куттагийн аргыг ашигладаг бөгөөд энэ нь дараахь зүйлийг хангадаг.
Янз бүрийн нарийвчлалын дарааллаар ялгах схем (арга) боловсруулах. Ихэнх
Хоёр ба дөрөв дэх дарааллын схемийг (арга) ашигладаг. Тэдэнд бид болон
Үүнийг доороос харцгаая.
Эхлээд зарим ойлголт, тодорхойлолтыг танилцуулъя.
Сүлжээ асаалттай
сегмент нь тухайн сегмент дээрх тогтсон цэгүүдийн багц юм.
Эдгээр цэгүүдэд тодорхойлсон функцийг тор функц гэж нэрлэдэг.
Цэгүүдийн координат нь нөхцөлийг хангаж байна
,
,
Цэгүүд нь сүлжээний зангилаанууд юм. Нэг төрлийн сүлжээ нь цэгүүдийн багц юм
сүлжээний алхам хаана байна. 
Ойролцоох аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гол асуудал бол нийлэх явдал юм. Ялгаатай аргуудтай холбоотойгоор конвергенц гэдэг ойлголт нь уламжлалт байдлаар илүү түгээмэл байдаг. Сүлжээний функцийн утгыг зангилаа дахь дифференциал тэгшитгэлийн (5.1) яг шийдлийн утгууд гэж тэмдэглэе - (тэдгээр нь ойролцоо утгатай). Конвергенц гэдэг нь дараахь утгатай. Бид нэг цэгийг засаж, сүлжээний багцыг ийм байдлаар байгуулдаг 
(үүнтэй зэрэгцэн). Дараа нь тоон аргыг хэрэв цэг дээр нийлдэг гэж үзнэ 
дээр ,. Арга цэг бүрт нийлдэг бол сегмент дээр нийлдэг. Ийм тоог олж чадвал аргын нарийвчлалын дараалалтай гэж нэрлэдэг
цагт.
,
.
Анхны тэгшитгэлийн шийдэл дээр өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийг орлуулах ялгаа тэгшитгэлийн зөрүү буюу ойролцоо алдааны тухай ойлголтыг цааш нь танилцуулъя. үлдэгдэл нь (5.1) тэгшитгэлийн яг шийдлийг ялгавартай тэгшитгэлд орлуулсны үр дүн юм. Жишээлбэл, (5.1)-ийг дараах хамгийн энгийн ялгавартай тэгшитгэлээр сольж болно
.
Дараа нь зөрүүг дараах илэрхийллээр тодорхойлно 
.
Ойролцоо шийдэл нь ерөнхийдөө -тэй давхцдаггүй тул 3-р цэгийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Дараах тодорхойлолтыг танилцуулав: тоон арга нь анхны дифференциал тэгшитгэлийг ойролцоолсон бөгөөд хэрэв бол нарийвчлалын 3-р эрэмбтэй байна.
Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тоон аргын нарийвчлалын дараалал нь нэлээд ерөнхий таамаглалд ойртох дараалалтай давхцаж байгаа нь батлагдсан.
Одоо Рунге-Куттагийн схемийн шинжилгээнд шилжье. Эхлээд хандъя
хоёр дахь эрэмбийн нарийвчлалын схемүүд.
Тейлорын томъёог ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
, (5.6)
(5.1) гэж төлөөлж болно 
,
.
заасан газар, 
,.
(5.1)-ийн дагуу гэдгийг анхаарна уу.
,
дараах байдлаар дериватив
Одоогоор үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүд хаана байна. Болъё
Уусмалын ойролцоо утгыг дугаарласан зангилааны цэг дээр тэмдэглэе (энэ нь бид цувралыг хоёр дахь хэмжээнээс ихгүй дарааллаар хязгаарласны дараа олж авах шийдэл юм).
Энд оруулсан параметрүүд нь тодорхойлолтод хамаарна.
Тейлорын цувралын баруун гар талыг өргөжүүлж, ижил төстэй нэр томъёог оруулснаар бид олж авна
дараалсан
i параметрүүдийг сонгох нөхцөл нь илэрхийллийн ойролцоо байх болно
,
,
.
Нэг параметр үнэгүй хэвээр байна. Тэгээд байг
,
,
эцэст нь (5.7)-аас болон -ын олсон хамаарлыг харгалзан үзнэ
Харилцаа (5.8) нь Рунге-Кутта хоёртын томъёоны нэг параметрийн бүлгийг дүрсэлдэг.
Мэргэшсэн уран зохиолд хэрэв үргэлжилсэн бөгөөд хоёр дахь деривативтай нь хязгаарлагдмал байвал (5.8) схемийн ойролцоо шийдэл нь алдаатай яг шийдэлд жигд нийлдэг болохыг нотолсон байдаг. 
, өөрөөр хэлбэл схем (5.8) нь хоёр дахь эрэмбийн нарийвчлалтай.
Тооцооллын практикт параметрийн утгыг (5.8) томъёог ашигладаг.
(5.8) -аас бид дүгнэлт гаргадаг
Томъёо (5.9)-ийн хэрэглээг дараах дарааллаар багасгасан.
1. Функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоолох (полилин диаграммын дагуу)
2. () цэг дээрх интеграл муруйны налууг тодорхойл.
3. Алхам дахь функцийн деривативын дундаж утгыг ол
4. ()-р зангилаа дахь функцийн утгыг тооцоолно
Энэхүү схем нь "урьдчилан таамаглагч - залруулагч" гэсэн тусгай нэртэй байдаг.
(5.8)-ын дагуу бид олж авна
Асуудлыг дараах алхмуудаар шийдвэрлэнэ.
1. Хагас зангилаа дахь функцийн утгыг тооцоолно
.
2. Зангилаа дахь деривативын утгыг тодорхойлно
.
3. Функцийн утгыг ()-р зангилаанаас олно
Тооцооллын практикт дээр дурдсан бином схемүүдээс гадна нарийвчлалын дөрөв дэх эрэмбийн Runge-Kutta схемүүдийг өргөн ашигладаг. Харгалзах томьёог гарал үүсэлгүйгээр доор өгөв
(5.10)
Олон тооны гишүүдтэй схемийг бараг ашигладаггүй.
тав-
нэр томъёоны томъёо нь дөрөв дэх нарийвчлалын дарааллыг өгдөг, зургаан гишүүний томъёо нь зургаа дахь дараалалтай байдаг боловч хэлбэр нь маш төвөгтэй байдаг.
Өгөгдсөн Runge-Kutta схемийн алдааг хамгийн их хэмжээгээр тодорхойлно
харгалзах деривативуудын ny утгууд.
Эрхийн онцгой тохиолдлын хувьд алдааны тооцоог хялбархан олж авч болно
.
дифференциал тэгшитгэлийн хэсгүүд
Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдийг квадрат болон бууруулж болно
Бүх ялгавартай шийдлийн схемүүд нь тоон интеграцийн томъёо болж хувирдаг
,
сэлүүрт. Жишээлбэл, схем (5.9) хэлбэрийг авна
өөрөөр хэлбэл, энэ нь трапец хэлбэрийн томьёо хэлбэртэй бөгөөд схем (5.10) нь схемд ордог.
Энэ нь алхамтай Симпсоны томъёо юм.
Трапецын болон Симпсоны томьёоны гол алдааны тооцооллыг мэддэг (3.2-р хэсгийг үзнэ үү). (3.4) ба (3.5)-аас Runge-Kutta схемийн нарийвчлал нэлээд өндөр байгаа нь тодорхой байна.
Тодорхой асуудлыг шийдэхийн тулд өгөгдсөн схемүүдийн аль нэгийг сонгох
dacha нь дараахь зүйлийг харгалзан үздэг. Хэрэв функц нь
тэгшитгэлийн баруун тал нь тасралтгүй ба хязгаарлагдмал, түүнчлэн тасралтгүй ба
түүний дөрөв дэх деривативууд хязгаарлагдмал бол хамгийн сайн үр дүнд хүрнэ -
дээр дурдсан дериватив байхгүй, хязгаарлах (дөрөвдүгээр) дараалал
(5.10) схемд хүрэх боломжгүй бөгөөд энэ нь зүйтэй юм
илүү энгийн схемүүдийг ашиглах.
Рунге-Куттагийн схемээс гадна олон үе шаттай аргууд нь практик сонирхолтой байдаг бөгөөд үүнийг дараах тэгшитгэлийн системээр дүрсэлж болно.
Хаана 
, a - тоон коэффициентүүд, 
,.
Энэ тэгшитгэлийн дагуу тооцоолол нь -ээс эхэлнэ. Энэ тохиолдолд бид хэлбэрийн хамаарлыг олж авна
тэдгээр. Тоолж эхлэхийн тулд та анхны утгуудтай байх хэрэгтэй. Эдгээр утгыг өөр аргаар, жишээлбэл, Рунге-Кутта аргаар тооцоолох ёстой.
Олон үе шаттай аргуудын дотроос хамгийн түгээмэл нь Адамсын арга бөгөөд хэрэгжүүлэх схем нь (5.11)-ээс дараах байдалтай байна. 
төлөө 
:
.
Адамсын арга нь тодорхой, гэхдээ далд болж хувирах үед.