Москвагийн эрчим хүчний хүрээлэн

(Техникийн их сургууль)

Лабораторийн тайлан

тоглоомын онолд

"Матриц хэлбэрээр өгөгдсөн, тэг нийлбэртэй хосолсон тоглоомын оновчтой стратегийг олох хөтөлбөр"

Оюутнууд бөглөсөн

бүлэг А5-01

Ашрапов Далер

Ашрапова Ольга

Тоглоомын онолын үндсэн ойлголтууд

Тоглоомын онол нь шийдвэрлэх зорилготой юм зөрчилдөөнтэй нөхцөл байдал , өөрөөр хэлбэл өөр өөр зорилготой хоёр буюу түүнээс дээш талуудын ашиг сонирхол мөргөлдөх нөхцөл байдал.

Хэрэв талуудын зорилго шууд эсрэг байвал тэд ярьдаг антагонист мөргөлдөөн .

Тоглоом мөргөлдөөний нөхцөл байдлын хялбаршуулсан албан ёсны загвар гэж нэрлэдэг.

Тоглоомыг эхнээс нь дуустал нэг удаа тоглохыг нэрлэдэг үдэшлэг . Тоглоомын үр дүн төлбөр (эсвэл ялалт ).

Намаас бүрдэнэ хөдөлдөг , өөрөөр хэлбэл боломжит хувилбаруудын тодорхой багцаас тоглогчдын сонголт.

Хөдөлгөөн нь байж болно хувийнТэгээд санамсаргүй.Хувийн хөдөлгөөн , ялгаатай санамсаргүй , тоглогч ямар нэг сонголтыг ухамсартайгаар сонгохыг хамардаг.

Дор хаяж нэг хувийн хөдөлгөөнтэй тоглоомуудыг дууддаг стратегийн .

Бүх хөдөлгөөнийг санамсаргүй байдлаар хийдэг тоглоомуудыг нэрлэдэг мөрийтэй тоглоом .

Хувийн алхам хийхдээ тэд бас ярьдаг стратеги тоглогч, өөрөөр хэлбэл. тоглогчийн сонголтыг тодорхойлдог дүрэм эсвэл багц дүрмийн тухай. Үүний зэрэгцээ стратеги нь цогц байх ёстой, i.e. Тоглолтын явцад ямар ч боломжит нөхцөл байдалд сонголт хийх ёстой.

Тоглоомын онолын асуудал- тоглогчдын оновчтой стратегийг олох, жишээлбэл. тэдэнд хамгийн их ашиг эсвэл хамгийн бага алдагдлыг өгдөг стратеги.

Тоглоомын онолын загваруудын ангилал

Тоглоом nхүмүүсийг ихэвчлэн хаана гэж тэмдэглэдэг
- i-р тоглогчийн стратегийн багц,
- тоглоомын төлбөр.

Энэхүү тэмдэглэгээний дагуу тоглоомын онолын загваруудын дараахь ангиллыг санал болгож болно.

Салангид (олон стратеги салангид)

Финал

Төгсгөлгүй

Тасралтгүй (олон стратеги тасралтгүй)

Төгсгөлгүй

nхүмүүс (
)

эвсэл (хоршоо)

Эвсэлгүй (хоршоогүй)

2 хүн (хос)

Антагонист (тэг нийлбэртэй тоглоом)

(талуудын ашиг сонирхол эсрэгээрээ, өөрөөр хэлбэл нэг тоглогчийн алдагдал нь нөгөө тоглогчийн ашигтай тэнцүү байна)

Антагонист бус

Бүрэн мэдээлэлтэй (хэрэв хувийн нүүдэл хийж байгаа тоглогч тоглолтын бүх дэвсгэрийг, өөрөөр хэлбэл өрсөлдөгчийнхөө бүх нүүдлийг мэддэг бол)

Бүрэн бус мэдээлэлтэй

Тэг дүнгээр (нийт төлбөр тэгтэй тэнцүү)

Тэг биш нийлбэр

Нэг нүүдэл (сугалаа)

Олон дамжуулалт

Хосолсон тэг нийлбэртэй тоглоомын матриц дүрслэл

Энэ зааварт бид үзэх болно хоёр хүний ​​антагонист тоглоомууд , матриц хэлбэрээр өгөгдсөн. Энэ нь бид эхний тоглогчийн олон стратегийг мэддэг гэсэн үг юм (тоглогч А){ А би }, би = 1,…, мболон хоёр дахь тоглогчийн олон төрлийн стратеги (тоглогч Б){ Б j }, j = 1,..., n, мөн матрицыг өгсөн А = || а ij || анхны тоглогчийн ялалт. Бид антагонист тоглоомын тухай ярьж байгаа тул эхний тоглогчийн ашиг хоёр дахь тоглогчийн алдагдалтай тэнцүү байна гэж үздэг. Бид матрицын элемент гэж таамаглаж байна а ij– стратеги сонгохдоо эхний тоглогчийн ялалт А биболон хоёр дахь тоглогч түүнд стратегийн хариу үйлдэл Б j. Бид ийм тоглоомыг тэмдэглэх болно
, Хаана м - тоглогчдын стратегийн тоо А,n - тоглогчдын стратегийн тоо IN.Ерөнхийдөө үүнийг дараах хүснэгтээр илэрхийлж болно.

Жишээ 1

Энгийн жишээ болгон тоглоом нь хоёр хөдөлгөөнөөс бүрддэг тоглоомыг авч үзье.

1-р алхам: Тоглогч Аөөрийн сонголтын талаар өрсөлдөгчдөө мэдэгдэхгүйгээр тоонуудын аль нэгийг (1 эсвэл 2) сонгоно.

2 дахь алхам: Тоглогч INтоонуудын аль нэгийг (3 эсвэл 4) сонгоно.

Доод шугам: Тоглогчдын сонголт АТэгээд INнугалах. Хэрэв нийлбэр тэгш байвал INтоглогчид үнэ цэнээ төлдөг А, хэрэв сондгой бол - эсрэгээр, Атоглогчид мөнгөө төлдөг IN.

Энэ тоглоомыг хэлбэрээр танилцуулж болно
дараах байдлаар:

Энэ тоглоом нь антагонист гэдгийг харахад хялбар байдаг, учир нь энэ нь бүрэн бус мэдээлэлтэй тоглоом юм тоглогч руу IN,хувийн нүүдэл хийхдээ тоглогч ямар сонголт хийсэн нь тодорхойгүй байна А.

Дээр дурдсанчлан тоглоомын онолын даалгавар бол тоглогчдын оновчтой стратегийг олох явдал юм. тэдэнд хамгийн их ашиг эсвэл хамгийн бага алдагдлыг өгдөг стратеги. Энэ процессыг нэрлэдэг тоглоомын шийдэл .

Тоглоомыг матриц хэлбэрээр шийдвэрлэхдээ тоглоом байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй эмээлийн цэг . Үүнийг хийхийн тулд хоёр утгыг оруулна:

– тоглоомын үнийг бага тооцоолж,

- тоглоомын үнийн дээд тооцоо.

Эхний тоглогч хоёр дахь тоглогчийн боломжит бүх хариултын дундаас хамгийн их ялалтыг авах стратегийг сонгох бөгөөд хоёр дахь тоглогч нь эсрэгээрээ өөрийн алдагдлыг багасгах стратегийг сонгох болно, жишээлбэл. эхний ялах боломжтой.

Үүнийг баталж болно α ≤ В ≤ β , Хаана В–тоглоомын үнэ , өөрөөр хэлбэл, эхний тоглогчийн ялах магадлал.

Хэрэв харилцаа хэвээр байвал α = β = В, дараа нь тэд ингэж хэлдэг тоглоом нь эмээл цэгтэй
, Мөн цэвэр стратегиар шийдэж болно . Өөрөөр хэлбэл, хэд хэдэн стратеги байдаг
, тоглогч өгөх АВ.

Жишээ 2

1-р жишээнд авч үзсэн тоглоом руугаа буцаж очоод эмээлийн цэг байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Энэ тоглоомын хувьд
= -5,
= 4,
, тиймээс энэ нь эмээлийн цэггүй.

Энэ тоглоом нь бүрэн бус мэдээлэлтэй тоглоом гэдгийг дахин нэг удаа анхааръя. IN энэ тохиолдолдБи зөвхөн тоглогчдод зөвлөгөө өгөх боломжтой Астратеги сонгох , учир нь Энэ тохиолдолд тэр тоглогчийн сонголтоос хамааран хамгийн том ялалтыг авах боломжтой INстратеги .

Жишээ 3

1-р жишээнээс тоглоомын дүрэмд зарим өөрчлөлт оруулъя. Бид тоглогчийг өгөх болно INтоглогч сонгох мэдээлэл А.Дараа нь байна INхоёр нэмэлт стратеги гарч ирнэ:

- ашигтай стратеги А.Хэрэв сонголт бол A - 1,Тэр INсонголттой бол 3-ыг сонгоно A - 2,Тэр IN 4-ийг сонгоно;

- ашиггүй стратеги А.Хэрэв сонголт бол A - 1,Тэр INсонголттой бол 4-ийг сонгоно A - 2,Тэр IN 3-ыг сонгодог.

Энэ тоглоом нь бүрэн мэдээлэлтэй.

Энэ тохиолдолд
= -5,
= -5,
, тиймийн тул, тоглоом нь эмээл цэг байна
. Энэ эмээлийн цэг нь хоёр хос оновчтой стратегитай тохирч байна:
Тэгээд
. Тоглоомын үнэ В= -5. төлөө гэдэг нь ойлгомжтой Аийм тоглоом ашиггүй.

Жишээ 2 ба 3 нь тоглоомын онолоор батлагдсан дараах теоремын сайн дүрслэл юм.

Теорем 1

Бүрэн мэдээлэл бүхий хосолсон антагонист тоглоом бүрийг цэвэр стратегиар шийдэж болно.

Тэр. Теорем 1-д бүрэн мэдээлэл бүхий хоёр тоглогчийн тоглоом нь эмээл цэгтэй бөгөөд цэвэр стратеги хостой гэж хэлдэг.
, тоглогч өгөх Атоглоомын үнэтэй тэнцэх тогтвортой ялалт В.

Эмээлийн цэг байхгүй тохиолдолд гэж нэрлэгддэг холимог стратеги :, Хаана х би Тэгээдq j- стратеги сонгох магадлал А би Тэгээд Б jэхний болон хоёр дахь тоглогчид тус тус. Энэ тохиолдолд тоглоомын шийдэл бол хосолсон стратеги юм
, тоглоомын үнийн математикийн хүлээлтийг дээд зэргээр нэмэгдүүлэх.

Дараах теорем нь 1-р теоремыг бүрэн бус мэдээлэлтэй тоглоомын тохиолдолд ерөнхийд нь илэрхийлдэг.

Теорем 2

Аливаа хосолсон антагонист тоглоом нь дор хаяж нэг оновчтой шийдэлтэй, өөрөөр хэлбэл ерөнхий тохиолдолд хосолсон стратегитай байдаг.
, тоглогч өгөх Атоглоомын үнэтэй тэнцэх тогтвортой ялалт В, ба α ≤ В ≤ β .

Онцгой тохиолдолд, эмээлийн цэгтэй тоглоомын хувьд холимог стратеги дахь шийдэл нь нэг элемент нь нэг, үлдсэн хэсэг нь тэгтэй тэнцүү байх хос вектор шиг харагдаж байна.

Матрицын тоглоомуудыг шийдвэрлэх арга барилыг тоглогчдын өгөөжийг тасралтгүй функцээр (хязгааргүй тэг нийлбэртэй тоглоом) тодорхойлсон тэг нийлбэртэй тоглоомын жишээнд нэгтгэж болно.

Энэ тоглоомыг 1-р тоглогч тоо сонгох хоёр тоглогчтой тоглоомоор төлөөлдөг Xолон хүнээс X, 2-р тоглогч 7-р багцаас y тоог сонгох ба үүний дараа 1 ба 2-р тоглогч тус тус ялалтаа авна. U(x, y) ба -U(x, y).Тоглогч тодорхой тоог сонгох нь түүний энэ тоонд тохирсон цэвэр стратегийг хэрэгжүүлэх гэсэн үг юм.

Матриц тоглоомтой адилтгаж үзвэл тоглоомын цэвэр хямд үнийг нэрлэж болно v ( =хамгийн их мин U(x, y),болон тоглоомын цэвэр дээд үнэ -v 2 =

мин макс U(x, y).Дараа нь, зүйрлэлээр, бид зарим нь бол гэж таамаглаж болно

цагт *

эсвэл эцэс төгсгөлгүй антагонист тоглоом ВТэгээд v 2байдаг ба бие биетэйгээ тэнцүү байна ("i =v 2 =v),Дараа нь ийм тоглоом нь цэвэр стратегиудад шийдэлтэй байдаг, i.e. 1-р тоглогчийн оновчтой стратеги бол тоо сонгох явдал юм x°д X,болон тоглогч 2 - тоо y 0 e 7, үүний төлөө шшх ( y 0) -v.

Энэ тохиолдолд vнь тоглоомын цэвэр үнэ гэж нэрлэгддэг ба (x°, y 0) нь хязгааргүй тэг нийлбэртэй тоглоомын эмээлийн цэг юм.

Матрицтай тоглоомуудын хувьд v xТэгээд v 2үргэлж оршин байдаг, гэхдээ хязгааргүй антагонист тоглоомуудад тэдгээр нь байхгүй байж болно, өөрөөр хэлбэл. Төгсгөлгүй тэг нийлбэртэй тоглоом үргэлж шийдэгддэггүй.

Бодит нөхцөл байдлыг эцэс төгсгөлгүй антагонист тоглоом хэлбэрээр албан ёсны болгохдоо ихэвчлэн нэг стратегийн интервалыг сонгодог - тоглогчид сонголт хийх боломжтой нэг интервал. (X - 1-р тоглогчийн сонгосон тоо (стратеги); -

2-р тоглогчийн сонгосон тоо (стратеги). Техникийн хувьд энэ нь шийдлийг хялбаршуулдаг, учир нь энгийн хувиргалтаар ямар ч интервалыг нэгж интервал болгон хувиргаж болно. Энэ тоглоомыг нэрлэдэг нэгж талбай дээр антагонист тоглоом.

Жишээлбэл, 1-р тоглогч тоог сонгосон гэж үзье Xолон хүнээс X=, 2-р тоглогч багцаас y тоог сонгоно Y=. Үүний дараа 2-р тоглогч 1-р тоглогчийн дүнг төлнө Шх, у) -2х 2 -у 2. 2-р тоглогч 1-р тоглогчийн төлбөрийг багасгахыг эрмэлздэг тул тэрээр хамгийн бага ( 2х 2 - у 2) = 2х 2- 1, өөрөөр хэлбэл. энэ тохиолдолд = 1. 1-р тоглогч mtag хийхийг эрмэлздэг

Төлбөрөө дуурайж, хамгийн дээд хэмжээг тодорхойлно Шшш, y)1 =

xGX y жишээ нь

- хамгийн их (2х 2 - 1) = 2- 1 = 1, хэзээ хүрсэн байна X = 1.

Тиймээс тоглоомын цэвэр үнэ бага байна v x - 1. Дээд зэргийн цэвэрхэн

тоглоомын үнэv 2 =мин - мин (2 - y 2) = 2 - 1 = 1, i.e. үүнд

>жишээ ньхэхэ ээ

тоглоом v l =v 2 =l.Тиймээс тоглоомын цэвэр үнэ v= 1, эмээлийн цэг (x° = 1; y° = 1).

Одоо тэгж төсөөлье Чи Ү-нээлттэй интервалууд, өөрөөр хэлбэл. 1-р тоглогч xeA"=(0; 1), 2-р тоглогч ue 7= (0; 1)-ийг сонгоно. Энэ тохиолдолд сонгох X, 1-д хангалттай ойрхон байвал 1-р тоглогч "=1"-тэй ойролцоо тооноос багагүй ашиг авна гэдэгт итгэлтэй байх болно; y-г 1-д ойрхон сонгосноор 2-р тоглогч 1-р тоглогчийн ашиг нь тоглоомын цэвэр зардлаас их хэмжээгээр давахыг зөвшөөрөхгүй. v= 1.

Тоглоомын үнэд ойртсон түвшинг үү?>0 тоогоор тодорхойлж болно. Тиймээс, тайлбарласан тоглоомонд бид цэвэр стратегийн оновчтой байдлын талаар ярьж болно x°= 1, 0 = 1, 1 ба 2 тоглогчид дурын тоо хүртэл?>0. Цэг (X", y E), хаана x e e X, y (. eY, хязгааргүй тэг нийлбэрт тоглоом гэж нэрлэдэг z-тэнцвэрийн цэг (с.-эмээл цэг), хэрэв ямар нэгэн стратеги xTiger 1, ue Tiger 2-ын хувьд тэгш бус байдал хэвээр байна Шшш,у.) - ? Ш x r , у (.) U(x t ., у) + ?. Энэ тохиолдолд стратеги х к.мөн у. гэж нэрлэдэг нь,-оновчтой стратеги. Эдгээр стратеги нь оновчтой юу? Хэрэв оновчтой стратегиас хазайх нь тоглогчид ямар ч ашиг авчрахгүй бол түүний c-оновчтой стратегиас хазайх нь түүний үр ашгийг e-ээс ихгүй нэмэгдүүлэх боломжтой гэсэн утгаараа.

Хэрэв тоглоомонд эмээлийн цэг (c-эмээл цэг) байхгүй бол i.e. цэвэр стратеги дэх шийдлүүд, дараа нь оновчтой стратегиудыг холимог стратегиас хайж олох боломжтой бөгөөд эдгээрийг цэвэр стратеги ашиглан тоглогчдын магадлалын хуваарилалтын функц болгон ашигладаг.

Болъё F(x)нь 1-р тоглогчийн цэвэр стратеги ашиглах магадлалын хуваарилалтын функц юм. Хэрэв E тоо нь 1-р тоглогчийн цэвэр стратеги юм. F(x) = P(q энд P(q -X)- санамсаргүй байдлаар сонгосон цэвэр стратеги Е-ээс хэтрэхгүй байх магадлал X. r| цэвэр стратеги ашиглах магадлалын хуваарилалтын функцийг ижил төстэй байдлаар авч үздэг. тоглогч 2: Q(y) = P(g .

Функцүүд F(x)Тэгээд Q(y)гэж нэрлэдэг холимог стратегитус тус тоглогчид 1 болон 2. Хэрэв Fx)Тэгээд Q(y)ялгах боломжтой бол тэдгээрийн деривативууд байгаа бөгөөд үүнийг тус тус тэмдэглэнэ f(x)Тэгээд q(y)(тархалтын нягтын функцууд).

Ерөнхийдөө хуваарилалтын функцийн дифференциал dF(x) стратегийн магадлалыг илэрхийлнэ -тай,хооронд байна x E, 2-р тоглогчийн хувьд мөн адил: dQ(y)түүний стратеги p интервалд байх магадлалыг хэлнэ y g| y+dy.Дараа нь 1-р тоглогчийн төлбөр болно Шх, у) dF(x), 2-р тоглогчийн төлбөр Шх, у) dQ(y).

1-р тоглогчийн дундаж ашиг нь 2-р тоглогч өөрийн цэвэр стратегийг ашигладаг у,бүх боломжит утгууд дээр төлбөрийг нэгтгэх замаар олж авч болно X,тэдгээр. нэгж интервал дээр:

Хоёр тоглогч холимог стратегиа ашигладаг гэж үзвэл 1-р тоглогчийн дундаж ашиг F(x)Тэгээд Q(y),тэнцүү байх болно

Матрицын тоглоомуудтай адилтгах замаар тоглогчдын оновчтой холимог стратеги, тоглоомын үнийг тодорхойлдог: хэрэв хос холимог стратеги байвал F*(x) Мөн Q*(y) 1 ба 2-р тоглогчдын хувьд хамгийн тохиромжтой, дараа нь аливаа холимог стратегийн хувьд F(x)Тэгээд Q(y)дараах харилцаанууд хүчинтэй байна.

Хэрэв 1-р тоглогч стратегиасаа хазайвал F*(x),Дараа нь түүний дундаж ашиг өсөх боломжгүй, харин 2-р тоглогчийн оновчтой үйлдлээс болж буурах боломжтой. Хэрэв 2-р тоглогч холимог стратегиасаа ухарвал Q*(y),тэгвэл 1-р тоглогчийн илүү боломжийн үйлдлээс болж 1-р тоглогчийн дундаж ашиг нэмэгдэх боловч буурахгүй. Дундаж ашиг E(F*, Q*),Тоглогчид оновчтой холимог стратеги хэрэглэх үед 1-р тоглогч хүлээн авсан нь тоглоомын үнэтэй тохирч байна.

Дараа нь холимог стратегиар шийдэгдсэн хязгааргүй тэг нийлбэртэй тоглоомын доод үнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. v x= шалгах

мин Э(FQ),болон тоглоомын дээд үнэ нь шиг байна v 2 =мин макс E(F, Q).

Q Q f

Хэрэв ийм холимог стратеги байгаа бол F* (x)Тэгээд Q*(y) тоглоомын доод ба дээд үнэ давхцаж байгаа 1 ба 2-р тоглогчдын хувьд F*(x)Тэгээд Q*(y)Харгалзах тоглогчдын оновчтой холимог стратеги гэж нэрлэх нь зүйн хэрэг v=v x = v 2- тоглоомын зардлаар.

Матрицын тоглоомуудаас ялгаатай нь хязгааргүй тэг нийлбэртэй тоглоомын шийдэл функц бүрт байдаггүй Чшш, өө).Гэхдээ төгсгөлгүй тэг нийлбэртэй тоглоом бүр тасралтгүй үр ашгийн функцтэй байдаг нь теоремоор батлагдсан Чшш, аа)Нэгж квадрат дээр шийдэл байдаг (тоглогчид оновчтой холимог стратегитай байдаг) хэдийгээр хязгааргүй тэг нийлбэртэй тоглоом, түүний дотор тасралтгүй тоглоомуудыг шийдэх ерөнхий аргууд байдаггүй. Гэсэн хэдий ч гүдгэр ба хотгор тасралтгүй үр ашгийн функц бүхий антагонист хязгааргүй тоглоомуудыг (тэдгээрийг тус тусад нь нэрлэдэг) гүдгэрТэгээд хотгор тоглоомууд).

Гүдгэр төлбөрийн функцтэй тоглоомуудын шийдлийг авч үзье. Энэхэр ашиг тустай тоглоомуудын шийдэл нь тэгш хэмтэй байдаг.

Гүдгэрфункц/хувьсагч Xинтервал дээр ( А; б)тэгш бус байдал хэрэгжих функц юм

Хаана ХХТэгээд x 2 -интервалаас дурын хоёр цэг (a; б);

X.1, A.2 > 0, ба +X.2= 1.

Хэрэв / h * 0 D 2 * 0 бол хатуу тэгш бус байдал үргэлж явагдана

дараа нь функц/ дуудагдана хатуу гүдгэрдээр (a; б).

Геометрийн гүдгэр функц нь нумыг дүрсэлсэн бөгөөд график нь хөвчний доор байрладаг. Аналитикийн хувьд хоёр дахин ялгах функцийн гүдгэр байдал нь түүний хоёр дахь деривативын сөрөг бус (мөн хатуу гүдгэрийн хувьд эерэг) -тэй тохирч байна.

Хонхор функцүүдийн хувьд шинж чанарууд нь эсрэгээрээ байна /(/4X1 +A.2X2) > Кф(xi) +)-хэрэв(x 2) (> хатуу хонхорхойтой), хоёр дахь дериватив / "(x)

Битүү интервал дээрх тасралтгүй, хатуу гүдгэр функц нь зөвхөн интервалын нэг цэг дээр хамгийн бага утгыг авдаг нь батлагдсан. Хэрэв Шшш,у) - тасралтгүй функцнэгж талбай дээр тоглогч 1-ийн ашиг болон хатуудагуу гүдгэр цагтямар ч x хувьд, дараа нь өвөрмөц оновчтой цэвэр стратеги байдаг y=y° 2-р тоглогчийн хувьд тоглоомын үнийг томъёогоор тодорхойлно

болон утга y 0нь дараах тэгшитгэлийн шийдэл гэж тодорхойлогддог.

Хэрэв функц Шшш, y) y-д хатуу гүдгэр биш бол 2-р тоглогч цорын ганц оновчтой цэвэр стратегитай байх болно.

Тэгш хэмтэй шинж чанар нь хатуу хонхойсон функцүүдэд бас хамаарна. Хэрэв функц Шшш, y) аргументуудын аль алинд нь үргэлжилсэн бөгөөд дурын y-ийн хувьд x-д хатуу хонхойсон байвал 1-р тоглогч өвөрмөц оновчтой стратегитай байна.

Тоглоомын үнийг томъёогоор тодорхойлно

1-р тоглогчийн цэвэр оновчтой стратеги x 0 нь тэгшитгэлээс тодорхойлогдоно

Гүдгэр эсвэл хотгор ашиг тустай хязгааргүй тэг нийлбэртэй тоглоомуудын эдгээр шинж чанарууд дээр үндэслэн ерөнхий схемнэгж квадрат дээрх ийм тоглоомуудын шийдлүүд (x e, y e). Бид энэ схемийг зөвхөн гүдгэр тоглоомын хувьд толилуулж байна, учир нь хотгор тоглоомуудын хувьд энэ нь тэгш хэмтэй байдаг.

1. Функцийг шалгана уу Шшш, y) гүдгэрийн хувьд y (хоёр дахь хэсэгчилсэн дериватив нь 0-ээс их буюу тэнцүү байх ёстой).

2. Харьцаанаас y 0-г тодорхойл v-мин макс Чшш, аа)утга учир

у,хамгийн багадаа хүрдэг.

3. Тэгшитгэлийн шийдийг ол v = U(x, y 0) ба түүний шийдлүүдийг хосоор нь хийнэ XТэгээд x 2,үүний төлөө

4. Параметрийг олох Атэгшитгэлээс.

Параметр А 1-р тоглогчийн оновчтой стратегийг тодорхойлж, түүний цэвэр стратегийг сонгох магадлалын утгыг агуулна х х. 1 - a утга нь 1-р тоглогч өөрийн стратегийг сонгох магадлалын утгыг агуулна x 2.

Энэ төрлийн тоглоомыг шийдэхийн тулд энэ схемийг хэрхэн ашиглахыг харуулахын тулд жишээ татъя. Хязгааргүй тэг нийлбэртэй тоглоомын өгөөжийн функцийг нэгж квадрат дээр өгөөд тэнцүү байг Shchh, y) = =(x - y) 2 =x 2 - 2 xy ch-y 2.

1. Энэ функц нь үргэлжилдэг XТэгээд у,Тиймээс энэ тоглоомд шийдэл бий. Чиг үүрэг Чшш, аа)хатуу гүдгэр дагуу у,учир нь

Тиймээс 2-р тоглогч цорын ганц цэвэр оновчтой стратеги 0-тэй байна.

2. Бидэнд байна v= хамгийн бага (x -) у) 2. Максыг тодорхойлох (x 2 - 2xy Ch-y 2)

Төлбөрийн функцийн эхний ба хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативуудыг х-тэй харьцуулан дараалан олъё.

Тиймээс функц У x=y үед ямар ч у-ийн хамгийн бага утгатай. Энэ нь xy - өсөх тусам түүний дээд тал нь аль нэгэнд хүрэх ёстой гэсэн үг юм туйлын цэгүүд x=0 эсвэл x= 1. Функцийн утгыг тодорхойлно уу Уэдгээр цэгүүдэд:

Дараа нь (x - y) 2 = max (y 2; 1 - 2y + y 2) -ийг шалгана уу. "Дотоод"-ыг харьцуулах

буржгар хаалтанд максима, үүнийг харахад хялбар байдаг 2 цагт > 1 - - 2y+y 2,Хэрэв у >*/ 2 ба y 2 1 - 2 y+y 2,Хэрэв y "/ 2. Үүнийг графикаар илүү тодорхой харуулав (Зураг 2.5).

Цагаан будаа. 2.5. Төлбөрийн функцийн дотоод дээд хэмжээ U(x,у) = (x- цагт) 2

Тиймээс илэрхийлэл (x - у) 2 if x=0 үед хамгийн ихдээ хүрнэ у > 7 2 ба цагт x= 1 бол U 2 дээр:

Тиймээс, v=мин ( мин y 2 ; мин (1 - у) 2 ). Тус бүр нь

өглөөний доод хязгаарт хүрдэг у=*/ 2 ба Y 4 утгыг авна. Тиймээс тоглоомын үнэ r = Y 4, 2-р тоглогчийн оновчтой стратеги:

3. 1-р тоглогчийн оновчтой стратегийг тэгшитгэлээс тодорхойл U(x, y 0)= v,тэдгээр. энэ тоглоомын хувьд (x - Y 2) 2 = Y 4. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл ARE X| =0, x 2 = 1.

Тэдний хувьд болзол хангагдсан

4. a параметрийг тодорхойлъё, i.e. 1-р тоглогчийн өөрийн цэвэр стратегийг ашиглах магадлал X] = 0. a-1 + (1 - a) (-1) = 0 тэгшитгэлийг байгуулъя, үүнээс a = Y 2. Тиймээс 1-р тоглогчийн оновчтой стратеги бол магадлал бүхий 0 ба 1-ийн цэвэр стратегийг сонгох явдал юм. 1 / 2 тус бүр. Асуудал шийдэгдсэн.

Системийн хандлагын хүрээнд авч үзсэн шийдвэр гаргах асуудал нь систем, хяналтын дэд систем, хүрээлэн буй орчныг ялгах гэсэн гурван үндсэн бүрэлдэхүүн хэсгийг агуулдаг. Одоо бид системд нэг биш, харин тус бүр өөрийн гэсэн зорилго, үйл ажиллагааны боломж бүхий хэд хэдэн хяналтын дэд системүүд нөлөөлдөг шийдвэр гаргах асуудлыг судлах руу шилжиж байна. Шийдвэр гаргах энэ аргыг тоглоомын онол гэж нэрлэдэг ба математик загваруудхаргалзах харилцан үйлчлэл гэж нэрлэдэг тоглоомууд. Хяналтын дэд системүүдийн зорилгын ялгаатай байдал, тэдгээрийн хооронд мэдээлэл солилцох боломжийн тодорхой хязгаарлалтаас шалтгаалан эдгээр харилцан үйлчлэл нь зөрчилдөөнтэй байдаг. Тиймээс тоглоом бүр зөрчилдөөний математик загвар юм. Хоёр хяналтын дэд систем байгаа тохиолдолд бид өөрсдийгөө хязгаарлая. Хэрэв системийн зорилго нь эсрэгээрээ байвал зөрчилдөөнийг антагонист гэж нэрлэдэг бөгөөд ийм зөрчилдөөний математик загварыг нэрлэдэг. антагонист тоглоом..

Тоглоомын онолын нэр томъёонд 1-р хяналтын дэд системийг нэрлэдэг тоглогч 1, 2-р хяналтын дэд систем - тоглогч 2, багц

Тэдний альтернатив үйлдлүүд гэж нэрлэдэг стратегийн багцэдгээр тоглогчид. Болъё X- 1-р тоглогчийн олон стратеги, Ю- олон стратеги

тоглогч 2. Системийн төлөв байдал нь 1 ба 2-р дэд системүүдийн хяналтын үйлдлүүдийн сонголтоор тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл стратегийн сонголтоор тодорхойлогддог.

x∈XТэгээд y∈Ю. Болъё Ф(x,y) - тухайн муж улсын 1-р тоглогчийн хэрэглээний үнэлгээ

Тоглогч 1 стратеги сонгох үед системд ордог XТэгээд

тоглогч 2 стратеги цагт. Тоо Ф(x,y) гэж нэрлэдэг ялнанөхцөл байдалд байгаа тоглогч 1 ( x,y), функц Ф- 1-р тоглогчийн төлбөрийн функц. Тоглогчийн ялалт

1 нь нэгэн зэрэг 2-р тоглогчийн алдагдал, өөрөөр хэлбэл эхний тоглогч нэмэгдүүлэхийг эрмэлздэг үнэ цэнэ, хоёр дахь нь - бууруулахыг эрмэлздэг. Энэ л байна

мөргөлдөөний антагонист шинж чанарын илрэл: тоглогчдын ашиг сонирхол огт эсрэгээрээ (нэг нь юу хожсон, нөгөө нь алддаг).

Антагонист тоглоом нь угаасаа системээр тодорхойлогддог G=(X, Y, F).

Албан ёсоор тэг нийлбэртэй тоглоом нь тодорхойгүй нөхцөлд шийдвэр гаргах даалгавартай бараг ижил байдлаар тавигддаг болохыг анхаарна уу.

хяналтын дэд систем 2-г хүрээлэн буй орчинтой нь тодорхойлох. Хяналтын дэд систем ба хүрээлэн буй орчны хоорондох үндсэн ялгаа нь

Эхнийх нь зан үйл нь зорилготой юм. Хэрэв бодит зөрчилдөөний математик загварыг гаргахдаа хүрээлэн буй орчныг дайсан гэж үзэх шалтгаан (эсвэл санаа) байгаа бол түүний зорилго нь үүнийг авчрах явдал юм.

бидэнд хамгийн их хохирол учруулах юм бол ийм нөхцөл байдлыг антагонист тоглоом хэлбэрээр танилцуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, тэг нийлбэртэй тоглоомыг тодорхойгүй байдлын нөхцөлд ZPR-ийн онцгой тохиолдол гэж тайлбарлаж болно.

хүрээлэн буй орчныг зорилго бүхий дайсан гэж үздэгээрээ онцлог. Үүний зэрэгцээ бид хүрээлэн буй орчны зан үйлийн талаархи таамаглалын төрлийг хязгаарлах ёстой.

Энд хамгийн зөвтгөгдсөн зүйл бол шийдвэр гаргахдаа бидний хувьд хамгийн муу зүйлд тооцогдох үед маш болгоомжтой байх таамаглал юм. боломжит сонголтбайгаль орчны үйл ажиллагаа.

Тодорхойлолт.Хэрэв XТэгээд Юнь хязгаарлагдмал бол антагонист тоглоомыг матриц тоглоом гэж нэрлэдэг. Матрицын тоглоомд бид үүнийг таамаглаж болно X={1,…,n},

Ю={1,…,м) ба тавь aij=F(i,j). Тиймээс матрицын тоглоом нь матрицаар бүрэн тодорхойлогддог A=(айж), би=1,…,n, j=1,…,м.

Жишээ 3.1. Хоёр хурууны тоглоом.

Хоёр хүн нэгэн зэрэг нэг эсвэл хоёр хуруугаа харуулж, 1 эсвэл 2 дугаарыг дууддаг бөгөөд энэ нь илтгэгчийн бодлоор дугаарыг илэрхийлдэг.

хуруугаа бусдад харуулав. Хуруунуудыг харуулж, тоонуудыг нэрлэсний дараа хожлыг дараах дүрмийн дагуу хуваарилна.

хэрэв хоёулаа тааварласан эсвэл хоёулаа өрсөлдөгчөө хэдэн хуруу харуулсныг тааварлаагүй бол хүн бүрийн ялалт тэг болно; Хэрэв зөвхөн нэг нь зөв таасан бол өрсөлдөгч нь таамаглагчид пропорциональ хэмжээний мөнгө төлнө нийт тооүзүүлсэн

Энэ бол тэг нийлбэртэй матриц тоглоом юм. Тоглогч бүр дөрвөн стратегитай: 1- 1 хуруугаа харуулах, 1-г дуудах, 2- 1 хуруугаа харуулах, 2-руу залгах, 3-

2 хуруугаа үзүүлээд 1, 4 гэж дууд - 2 хуруугаа үзүүлээд 2 руу залгана уу. Дараа нь өгөөжийн матриц A=(aij), i= 1,…, 4, j= 1,…, 4-ийг дараах байдлаар тодорхойлно.

a12= 2, a21 = – 2, a13=a42=–3, a24=a31= 3, a34 = – 4, a43= 4,aij=бусад тохиолдолд 0.

Жишээ 3.2. Дискрет дуэлийн төрлийн тоглоом.

Дуэлийн төрлийн асуудлууд нь жишээ нь хоёр тоглогчийн хоорондох зодоон,

хүн бүр нэг удаагийн үйлдэл хийхийг хүсч байгаа (барааны багцыг зах зээлд гаргах, дуудлага худалдаагаар худалдан авах хүсэлт гаргах) бөгөөд үүний тулд цагаа сонгодог. Тоглогчдыг бие бие рүүгээ чиглүүлэхийг хүс nалхам. Хийсэн алхам бүрийн дараа тоглогч дайсан руу буудах эсвэл буудахгүй байх сонголт хийх боломжтой. Хүн бүр зөвхөн нэг удаа буудах боломжтой. Хэрэв та урагшлах юм бол дайсныг цохих магадлал өндөр байдаг гэж үздэг к n =5 хэлбэртэй байна

Тоглоомын онолын үндсэн таамаглалын хувьд тоглогч бүр хамтрагчийнхаа аливаа үйлдлээс хамгийн их ялалтыг хангахыг хичээдэг гэж үздэг. Эхний тоглогчийн өгөөжийн матриц, үүний дагуу хоёр дахь тоглогчийн өгөөжийн матриц бүхий төгсгөлтэй тэг нийлбэртэй тоглоом байна гэж үзье. 1-р тоглогч ямар ч стратеги сонгосон бай, 2-р тоглогч ашиг орлогоо нэмэгдүүлэх стратегийг сонгох бөгөөд ингэснээр 1-р тоглогчийн ашиг тусыг багасгах стратегийг сонгоно.

Тиймээс 1-р тоглогч сонгоно би

Тоглогч 2 нь өрсөлдөгчийнхөө сонгосон стратегиас үл хамааран хамгийн их ялалтыг (эсвэл үүнтэй адилаар хамгийн бага алдагдалтай) хангахыг хичээдэг. Түүний оновчтой стратеги нь багана байх болно H 0хамгийн бага төлбөртэй. Тиймээс Тоглогч 2 сонгох болно jАсуудлын шийдэл болох стратеги

Үүний үр дүнд, хэрэв 1-р тоглогч сонгосон стратегийг дагаж мөрдвөл (хэрэв максимин стратеги ), түүний өгөөж нь ямар ч тохиолдолд хамгийн их утгаас бага байх болно (гэж нэрлэдэг "тоглоомын доод үнэ" ), i.e.

Үүний дагуу, хэрэв Тоглогч 2 өөрийн минимакс стратегиа баримталбал түүний алдагдал хамгийн их утгаас ихгүй байх болно (гэж нэрлэдэг) "тоглоомын дээд үнэ" ), i.e.

Тоглоомын дээд үнэ нь доод үнэтэй тэнцүү байх тохиолдолд, i.e. = , аль аль нь тоглогчид тэдний баталгаат төлбөр хүлээн авах, болон үнэ цэнэ h ij *дуудсан тоглоомын зардлаар .

Матрицын элемент h ijстратегид тохирсон төлбөрийн матриц гэж нэрлэдэг матрицын эмээл цэг Н.

Антагонист тоглоомын үнэ 0 байвал тоглоомыг дуудна шударга .

1-р тоглогч хоёр стратеги, 2-р тоглогч гурван стратегитай тоглоомыг авч үзье. Тоглогч 1-ийн ялалтын матриц дараах байдалтай байна.

Сэтгэгдэл . Бид тэг нийлбэртэй тоглоомын жишээг авч үзэж байгаа тул 2-р тоглогчийн өгөөжийн матриц нь дараах байдалтай байна. N 2 = -H 1.

1-р тоглогч эхний стратегийг сонговол (өөрөөр хэлбэл матрицын эхний эгнээ) H 1), дараа нь өрсөлдөгч хоёр дахь стратегиа (өөрөөр хэлбэл хоёр дахь багана) сонгох бөгөөд ингэснээр ашиг нь тэнцүү байх болно. 1 . Хэрэв тэр хоёр дахь стратегийг сонговол өрсөлдөгч нь эхний стратегийг сонгох боломжтой тул ашиг нь тэнцүү байх болно. -1.

Хүлээн авсан утгуудад дүн шинжилгээ хийсний дараа: Тоглогч 1 нь анхны стратегиа шийдсэн бөгөөд энэ нь түүнд 1-тэй тэнцэх хамгийн их баталгаатай ялалтыг өгдөг.

Үүний нэгэн адил, 2-р тоглогч өрсөлдөгч нь эхний эсвэл хоёр дахь стратегийг сонгох, эсвэл 2-р тоглогч гурав дахь баганыг сонгох үед өрсөлдөгч нь хоёр дахь стратегийг сонгох үед өөрийн хамгийн муу сонголтуудыг авч үздэг. Эдгээр сонголтууд нь 2, 1, 6-р баганын хамгийн их утгатай тохирч байна.

Эдгээр максимумуудын хамгийн бага утгыг авч, Тоглогч 2 хоёр дахь стратеги дээрээ тогтдог бөгөөд үүнд түүний алдагдал хамгийн бага бөгөөд дараах байдалтай тэнцүү байна.

Иймээс энэ тоглоомонд стратегийн хамтарсан сонголтууд байдаг. Э

Тиймээс, энэ тоглоомонд өрсөлдөгчид сонгосон стратегидаа үнэнч байх болно гэж хүлээх нь үндэслэлтэй юм. Матрицын антагонист тоглоом - бүрэн тодорхой тоглоом, эсвэл цэвэр стратегийн шийдэл бүхий тоглоом гэж нэрлэдэг.

Гэсэн хэдий ч бүх матрицын антагонист тоглоомууд сайн тодорхойлогддоггүй.

Хатуу тэгш бус байдал бий болсон тоглоомуудыг бүрэн бус тодорхойлогддог тоглоомууд (эсвэл цэвэр стратегийн шийдэлгүй тоглоомууд) гэж нэрлэдэг.

Энэ тоглоомын жишээг харцгаая:

Энэ тоглоомын хувьд.

Үүний үр дүнд, хэрэв тоглогчид дээр санал болгосон дүрмийг дагаж мөрдвөл 1-р тоглогч стратеги 1-ийг сонгох ба 2-р тоглогч стратеги 2-ыг сонгох бөгөөд алдагдал -2 байх бол 2-р тоглогч 3-р стратегийг сонгох бөгөөд 1-р тоглогчийг сонгох болно. 4-тэй тэнцэх өгөөжтэй стратеги 2-ыг сонго.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв Тоглогч 2 гурав дахь стратегиа сонгосон бол 1-р тоглогч эхний стратеги биш хоёр дахь стратегийг сонгосноор илүү сайн байх болно. Үүний нэгэн адил, хэрэв Тоглогч 1 эхний стратегийг сонгосон бол 2-р тоглогч гурав дахь стратегийг сонгохоос илүүтэй хоёр дахь стратегийг сонгох нь дээр. Гэнэтийн төрлийн тоглоомуудад цэвэр стратеги дахь шийдлийн зарчим тохиромжгүй болох нь харагдаж байна.

Тайлбарласан нөхцөл байдалд дайсан ямар стратеги ашиглахаа тааварлахгүй байх нь тоглогчдын хувьд чухал болж байна. Энэ төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэхийн тулд тоглогчид холимог стратеги гэж нэрлэгддэг стратегийг ашиглах ёстой.

Үндсэндээ тоглогчийн холимог стратеги нь цэвэр стратегийг санамсаргүй байдлаар сонгох схем юм. Математикийн хувьд энэ нь тухайн тоглогчийн цэвэр стратегийн багц дээрх магадлалын хуваарилалтаар илэрхийлэгдэж болно. Үүний үр дүнд 1-р тоглогчийн стратегийг ашиглах магадлалтай тохирч байгаа вектор нь энэ тоглогчийн холимог стратегийг тодорхойлдог. Тоглогч 2-ын холимог стратеги ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог .

Тоглогчдын холимог стратегиудын хэрэглээ нь бие даасан байх тул 1-р тоглогч, 2-р тоглогч энэ стратегийг сонгох магадлал нь -тэй тэнцүү байна гэж бид таамаглах болно. Энэ тохиолдолд төлбөр. Тоглогч 1-ийн хожлын математикийн хүлээлтийг бид олж харна.

эсвэл матрицын тэмдэглэгээ

Холимог стратегийн багц дээр 1-р тоглогч баталгаатай хожлынхоо хамгийн томд хүрэхийг эрмэлзэж, хүлээгдэж буй хожлын хамгийн бага утгыг авахын тулд магадлалын векторыг сонгодог. энэ нь асуудлыг шийддэг:

.

Үүний нэгэн адил, 2-р тоглогчийн зорилго нь түүний алдагдлын хамгийн бага утгыг олж авах явдал юм. тэр асуудлыг шийддэг

.

Тоглоомын онолын үндсэн үр дүн нь Тоглогч 1 ба Тоглогч 2-ын томъёолсон асуудлууд нь ямар ч үр өгөөжийн матрицын шийдэлтэй байдаг гэж заасан Минимакс теорем юм.

Тоглогчийн 1-ийн стратегийг сайн тодорхойлсон тоглоомуудын хувьд гэж нэрлэдэг Максимийн стратеги , 2-р тоглогчийн стратеги - минимакс стратеги, үнэ цэнэ - тоглоомын зардлаар ; тоглолтыг шударга гэж нэрлэдэг тохиолдолд.

Минимакс теоремын тодорхой үр дагавар нь дараахь хамаарал юм.

.

Энэ нь 2-р тоглогч өөрийн минимакс стратегийг хэрэгжүүлбэл 1-р тоглогчийн ямар ч стратеги түүнд тоглоомын үнээс илүү их мөнгө хожихыг зөвшөөрөхгүй бөгөөд 2-р тоглогчийн ямар ч стратеги нь тоглоомын үнээс бага мөнгийг алдахыг зөвшөөрөхгүй гэсэн үг юм. Хэрэв Тоглогч 1 хамгийн их стратегиа хэрэглэвэл.

Энэ нь холимог стратегийн онцгой тохиолдлын хувьд цэвэр стратегийн хувьд ч мөн адил юм. (Учир нь цэвэр стратеги нь 1-р магадлалаар ашиглагддаг стратеги): Хэрэв өрсөлдөгч өөрийн оновчтой стратегийг ашиглавал ямар ч цэвэр стратеги ашиглах нь тоглоомын зардлаас илүү (бага алдах) хожих боломжийг танд олгодоггүй.

Энэ баримтыг ихэвчлэн антагонист матрицын тоглоомуудыг шийдвэрлэх тусгай алгоритмуудыг боловсруулахад ашигладаг.

Стратегийн тоо нэмэгдэхийн хэрээр оновчтой стратегийг тооцоолох нь илүү хэцүү болдог. Хамгийн оновчтой стратегийг олохын тулд хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно.

Тоглоомын хэмжээг багасгахын тулд мөр, баганын давамгайллыг ашигладаг. Матрицын i-р эгнээ нь i-р эгнээнд давамгайлдаг (өөрөөр хэлбэл нэг цэвэр эгнээ нөгөөг нь давамгайлдаг) гэж ихэвчлэн хэлдэг, хэрэв бүгдэд нь, ядаж нэг .

Үүний нэгэн адил th багана if for all , ядаж нэг нь гэсэн баганад давамгайлдаг.

Энэхүү тодорхойлолтын гол санаа нь давамгайлсан стратеги нь давамгайлсан стратегиас хэзээ ч муу, зарим тохиолдолд бүр илүү сайн байдаггүй. Эндээс хамгийн чухал дүгнэлт бол тоглогч давамгайлсан стратеги ашиглах шаардлагагүй юм. Энэ нь практикт давамгайлсан бүх мөр, баганыг хаях боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь матрицын хэмжээг багасгах болно (энэ аргыг цэвэр стратеги дэх шийдлийг хайхад ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу).

Жишээ. Дараах матрицтай тоглоомыг авч үзье.

Хоёрдахь мөрийг хасвал матриц үүснэ: Энэ таслагдсан матрицын гурав дахь баганад хоёр дахь багана давамгайлж, хоёр дахь баганыг орхивол: .

Үүний үр дүнд, хэрэв үүссэн тоглоомын шийдлийг олж чадвал хассан мөр, баганад 0 магадлалыг өгөх замаар анхны тоглоомыг хялбархан шийдвэрлэх боломжтой.

Матрицыг хялбарчлах өөр нэг арга нь төлбөрийн матрицын аффин хувиргалт (өөрөөр хэлбэл, дүрмийн дагуу матрицын бүх элементүүдийг хувиргах, энд) тоглоомын шийдлийг өөрчлөхгүй байх шинж чанарт суурилдаг; Үүнээс гадна хөрвүүлсэн тоглоомын үнийг ижил дүрмийг ашиглан анхны тоглоомын үнээс авч болно: . Энэ нь тоглоомын даалгаврын хувьд ялалтыг ямар нэгжээр хэмжих нь хамаагүй (рубль эсвэл доллараар) тодорхой хэмжээгээр нэмэх (хасах) нь тоглогч бүрийн ялалт (алдагдал) өөрчлөгдөх болно гэсэн үг юм тоглоомын шийдлийг өөрчлөхгүйгээр ижил хэмжээгээр.

Энэ өмчийг төлбөрийн матрицыг хялбарчлах, тодорхой болгоход ашиглаж болно (матриц дээрх үйлдлүүдтэй адилтгаж ашигладаг - матрицыг тогтмол тоогоор үржүүлэх, мөр нэмэх, хасах, үүнээс гадна энэ шинж чанар нь ямар ч матрицын тэг нийлбэртэй тоглоом хийх боломжийг олгодог. шударга, үүний тулд өгөөжийн матрицын бүх элементүүдээс тоглоомын үнийг тооцоолох шаардлагатай).

Үүнээс гадна үүнийг ашиглаж болно график аргатоглоомыг шийдэхийн тулд (мөн ерөнхийдөө тоглоомууд эсвэл).

Жишээлбэл, өгөөжийн матриц дараах байдалтай байна.

Тоглогч 1-д магадлалаар эхний стратегиа, магадлалаар хоёр дахь стратегийг сонго. Хэрэв 2-р тоглогч эхний стратегиа сонговол (матрицын эхний баганаас) 1-р тоглогчийн хүлээгдэж буй утга нь байх болно. Хэрэв тоглогч 2 хоёр дахь стратегиа сонгосон бол матрицын хоёр дахь баганын дагуу: .

Эдгээр тэгшитгэл бүрийг графикаар координат болон график дээрх талбайн шулуун шугамын сегментээр дүрсэлж болно.

Танилцуулга

Бодит зөрчилдөөний нөхцөл байдал үүсдэг янз бүрийн төрөлтоглоомууд. Тоглоомууд нь хэд хэдэн зүйлээр ялгаатай: тэдгээрт оролцож буй тоглогчдын тоо, боломжит тоглогчдын тоо, боломжит стратеги, тоглогчдын хоорондын харилцааны шинж чанар, хожлын шинж чанар, тоглоомын төрлөөр. ялалт функцууд, нүүдлийн тоо, тоглогчдын мэдээллээр хангах шинж чанар гэх мэт .d. Тоглоомын төрлүүдийг тэдгээрийн хуваагдлаас хамааран авч үзье.

· Стратегийн тоогоор тоглоомууд хуваагдана эцсийн(тоглогч бүр хязгаарлагдмал тооны боломжит стратегитай) ба эцэс төгсгөлгүй(тоглогчдын ядаж нэг нь хязгааргүй олон стратегитай байдаг).

· Хожлын шинж чанараас хамааран тоглоомууд тэг нийлбэр(тоглогчдын нийт хөрөнгө өөрчлөгддөггүй, харин үр дүнгээс хамааран тоглогчдын хооронд дахин хуваарилагддаг) ба тоглоомууд тэг биш нийлбэр.

· Функцийн төрлөөс хамааран тоглоомын ялалтыг хуваана матриц (Тоглогчийн өгөөжийг өгдөг хязгаарлагдмал хоёр тоглогчтой, тэг нийлбэртэй тоглоом юм Аматриц хэлбэрээр (матрицын эгнээ нь тоглогчийн ашигласан стратегийн тоотой тохирч байна) IN, багана - ашигласан тоглогчийн стратегийн тоо IN; матрицын мөр ба баганын огтлолцол дээр тоглогчийн үр ашиг байна А, ашигласан стратегиудад тохирсон.

Матриц тоглоомуудын хувьд тэдгээрийн аль нэг нь шийдэлтэй байдаг нь батлагдсан бөгөөд тоглоомыг шугаман програмчлалын асуудал болгон бууруулснаар амархан олох боломжтой). биматрицтоглоом (энэ нь тэгээс ялгаатай нийлбэртэй хоёр тоглогчийн төгсгөлтэй тоглоом бөгөөд тоглогч бүрийн өгөөжийг харгалзах тоглогчийн хувьд тус тусад нь матрицаар өгдөг (матриц бүрт мөр нь тоглогчийн стратегид нийцдэг) А, багана – тоглогчийн стратеги IN, эхний матриц дахь мөр ба баганын огтлолцол дээр тоглогчийн өгөөж байна А, хоёр дахь матрицад - тоглогчийн ялалт IN.

Биматрицын тоглоомуудын хувьд тоглогчдын оновчтой зан үйлийн онолыг мөн боловсруулсан боловч ийм тоглоомыг шийдвэрлэх нь энгийн матриц тоглоомоос илүү хэцүү байдаг. тасралтгүйтоглоом ( ТасралтгүйЭнэ нь стратегиас хамааран тоглогч бүрийн ашиг орлого тасралтгүй үргэлжлэх тоглоом гэж тооцогддог. Энэ ангиллын тоглоомууд шийдэлтэй байдаг нь батлагдсан боловч тэдгээрийг олоход хүлээн зөвшөөрөгдсөн аргуудыг боловсруулаагүй болно) гэх мэт.

Тоглоомыг хуваах өөр аргууд бас боломжтой. Одоо шууд судалгааны сэдэв болох Тоглоомын онол руу буцъя. Эхлээд энэ ойлголтыг тодорхойлъё.

Тоглоомын онол - хүлээн зөвшөөрөх албан ёсны загварыг судалдаг математикийн салбар оновчтой шийдлүүдмөргөлдөөний нөхцөлд. Энэ тохиолдолд зөрчилдөөн гэдэг нь янз бүрийн ашиг сонирхолд нийцүүлэн өөрт тохирсон үйлдлүүдийг сонгох боломжоор хангагдсан янз бүрийн талууд оролцож байгаа үзэгдэл гэж ойлгогддог тодорхойгүй байдал үүсэх. Үүний эсрэгээр шийдвэр гаргахдаа тодорхойгүй байдал (жишээлбэл, хангалтгүй өгөгдөл дээр үндэслэсэн) нь шийдвэр гаргах субьект ба мөн чанар хоорондын зөрчил гэж тайлбарлаж болно. Тиймээс тоглоомын онолыг мөн тодорхой бус нөхцөлд оновчтой шийдвэр гаргах онол гэж үздэг. Энэ нь зарим зүйлийг системчлэх боломжийг танд олгоно чухал талуудтехнологи, хөдөө аж ахуй, анагаах ухаан, социологи болон бусад шинжлэх ухаанд шийдвэр гаргах. Мөргөлдөөнд оролцогч талуудыг үйл ажиллагааны эвсэл гэж нэрлэдэг; тэдэнд боломжтой арга хэмжээ - стратегиар нь; мөргөлдөөний боломжит үр дагавар - нөхцөл байдал.

Онолын зорилго нь:

1) тоглоомын оновчтой зан байдал.

2) оновчтой зан үйлийн шинж чанарыг судлах

3) түүнийг ашиглах нь утга учиртай байх нөхцлийг тодорхойлох (оршихуй, өвөрмөц байдал, динамик тоглоомын хувьд нэрлэсэн тууштай байдлын асуултууд).

4) оновчтой зан үйлийг олох тоон аргыг бий болгох.

Эдийн засаг, нийгмийн гарал үүслийн асуудлыг математикийн шийдэлд зориулж бүтээсэн тоглоомын онолыг ерөнхийдөө физик, техникийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан сонгодог математикийн онол болгон бууруулж болохгүй. Гэсэн хэдий ч олон төрлийн сонгодог математик аргуудыг тоглоомын онолын янз бүрийн тодорхой асуултуудад өргөн ашигладаг.

Нэмж дурдахад тоглоомын онол нь математикийн хэд хэдэн салбартай дотооддоо холбоотой байдаг. Тоглоомын онолд магадлалын онолын ойлголтуудыг системтэй, үндсэндээ ашигладаг. Тоглоомын онолын хэлээр математик статистикийн ихэнх асуудлыг томъёолж болох бөгөөд тоглоомын онол нь шийдвэрийн онолтой холбоотой тул үүнийг зайлшгүй чухал гэж үздэг. бүрэлдэхүүн хэсэгүйл ажиллагааны судалгааны математик аппарат.

Тоглоомын математикийн ойлголт ер бусын өргөн юм. Үүнд танхимын тоглоомууд (шатар, даам, GO, хөзрийн тоглоом, даалуу гэх мэт) багтдаг боловч өөр хоорондоо өрсөлдөж буй олон тооны худалдан авагч, худалдагч бүхий эдийн засгийн тогтолцооны загварыг тодорхойлоход ашиглаж болно. Дэлгэрэнгүй ярихгүйгээр тоглоом ерөнхий тоймНэг буюу хэд хэдэн хувь хүн ("тоглогчид") тодорхой багц хувьсагчдыг хамтран хянаж, тоглогч бүр шийдвэр гаргахдаа бүхэл бүтэн бүлгийн үйлдлийг харгалзан үзэх нөхцөл байдал гэж тодорхойлж болно. Тоглогч бүрт ногдох "төлбөр" нь зөвхөн өөрийн үйлдлээр бус, мөн бүлгийн бусад гишүүдийн үйлдлээр тодорхойлогддог. Тоглоомын үеэр зарим "хөдөлгөөн" (хувь хүний ​​үйлдэл) санамсаргүй байж болно. Тодорхой жишээ бол алдартай покер тоглоом юм: хөзрийн анхны наймаа нь санамсаргүй нүүдэл юм. Тоглолтын үлдэгдэл нүүдлээр мэхийг эцсийн харьцуулалт хийхээс өмнөх бооцоо болон эсрэг бооцооны дараалал үүсдэг.

Математик ТОГЛООМЫН ОНОЛ нь спорт, хөзөр болон бусад тоглоомуудад дүн шинжилгээ хийх замаар эхэлсэн. Тоглоомын онолыг нээсэн, 20-р зууны Америкийн нэрт математикч гэж тэд хэлдэг. Жон фон Нейман покер тоглоом үзэж байхдаа онолынхоо санааг гаргаж иржээ. "Тоглоомын онол" гэдэг нэр эндээс гаралтай.

Энэ сэдвийг судалж эхэлцгээе тоглоомын онолын хөгжлийн ретроспектив шинжилгээ.Тоглоомын онолын асуудлын түүх, хөгжлийг авч үзье. Ер нь "овгийн мод"-ыг графын онолын утгаараа мод хэлбэрээр төлөөлдөг бөгөөд энэ нь ямар нэгэн "үндэс"-ээс салаалж байдаг. Тоглоомын онолын удам угсаа нь Ж.фон Нейман, О.Моргенштерн нарын ном юм. Тиймээс тоглоомын онолыг математикийн шинжлэх ухаан болгон хөгжүүлэх түүхэн замнал нь байгалийн жамаар гурван үе шатанд хуваагддаг.

Эхний шат- Ж.фон Нейман, О.Моргенштерн нарын монографи хэвлэгдэхээс өмнө. Үүнийг "монографиягийн өмнөх" гэж нэрлэж болно. Энэ үе шатанд тоглоом нь дүрмээр тодорхойлогдсон тодорхой өрсөлдөөний үүрэг гүйцэтгэдэг хэвээр байна. Зөвхөн төгсгөлд нь Ж.фон Нейманн хийсвэр зөрчилдөөний ерөнхий загвар болох тоглоомын тухай санааг бий болгодог. Энэ үе шатны үр дүн нь хэд хэдэн тодорхой математикийн үр дүн, тэр ч байтугай ирээдүйн тоглоомын онолын бие даасан зарчмуудын хуримтлал байв.

Хоёр дахь шатнь Ж. фон Нейманы нэг сэдэвт зохиол юм

О.Моргенштерн "Тоглоомын онол ба эдийн засгийн зан байдал" (1944) нь өмнө нь олж авсан ихэнх үр дүнг нэгтгэсэн (гэхдээ орчин үеийн математикийн стандартаар бол нэлээд цөөхөн). Тэрээр анх удаа системчилсэн онол хэлбэрээр тоглоомын математик хандлагыг (энэ үгийн тодорхой болон хийсвэр утгаараа) танилцуулсан.

Эцэст нь, дээр гурав дахь шатТоглоомын онол нь судалж буй объектод хандах хандлагаараа математикийн бусад салбаруудаас бага зэрэг ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн нийтлэг хуулиудын дагуу ихээхэн хөгждөг. Үүний зэрэгцээ, түүний бодит болон боломжтой практик хэрэглээний онцлог нь тоглоомын онолын чиглэлийг бүрдүүлэхэд чухал нөлөө үзүүлдэг.

Гэсэн хэдий ч математик тоглоомын онол хүртэл зарим зөрчилдөөний үр дүнг бүрэн таамаглах боломжгүй байдаг. Тоглоомын үр дүн (мөргөлдөөн) тодорхойгүй байгаа гурван үндсэн шалтгааныг тодорхойлох боломжтой юм шиг санагддаг.

Нэгдүгээрт, эдгээр нь тоглоомын зан үйлийн бүх эсвэл наад зах нь ихэнх хувилбаруудыг судлах бодит боломж бүхий тоглоомууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь ялалтад хүргэдэг. Тодорхойгүй байдал нь олон тооны сонголтуудаас үүдэлтэй байдаг тул бүх хувилбаруудыг судлах нь үргэлж боломжгүй байдаг (жишээлбэл, Японы GO тоглоом, Орос, олон улсын даам, Британийн верси).

Хоёрдугаарт, тоглоомын хүчин зүйлсийн санамсаргүй нөлөөллийг тоглогчид урьдчилан таамаглах аргагүй юм. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь тоглоомын үр дүнд шийдвэрлэх нөлөө үзүүлдэг бөгөөд тоглогчид бага хэмжээгээр хянаж, тодорхойлж чаддаг. Тоглоомын эцсийн үр дүн нь зөвхөн тоглогчдын өөрсдийнх нь үйлдлээс бага, маш бага хэмжээгээр тодорхойлогддог. Санамсаргүй шалтгаанаар үр дүн нь тодорхойгүй байгаа тоглоомуудыг мөрийтэй тоглоом гэж нэрлэдэг. Тоглоомын үр дүн нь үргэлж магадлалтай эсвэл таамаглалтай байдаг (рулет, шоо, шидэх).

Гуравдугаарт, тодорхойгүй байдал нь өрсөлдөгч нь ямар стратеги баримталж байгаа талаар мэдээлэл дутмаг байгаагаас үүдэлтэй. Тоглогчид өрсөлдөгчийнхөө зан байдлыг үл тоомсорлож байгаа нь үндсэн бөгөөд тоглоомын дүрмээр тодорхойлогддог. Ийм тоглоомыг стратегийн тоглоом гэж нэрлэдэг.

Тоглоомын онол нь үйл ажиллагааны судалгааны чухал хэсгүүдийн нэг бөгөөд төлөөлдөг онолын үндэсӨрсөлдөөнт тэмцлийн шинж чанартай зах зээлийн харилцааны зөрчилдөөнтэй нөхцөл байдалд оновчтой шийдвэр гаргах математик загварууд нь нөгөө тал нь нөгөө талдаа ялагдал хүлээдэг. хангадаг Үйл ажиллагааны судалгааны шинжлэх ухааны хүрээнд энэ нөхцөл байдлын хамт математик тайлбарянз бүрийн шийдвэр гаргах даалгаврын томъёолол, эрсдэл, тодорхойгүй байдлын нөхцөл байдлыг харгалзан үздэг. Тодорхой бус нөхцөлд нөхцөл байдлын магадлал нь тодорхойгүй бөгөөд тэдгээрийн талаар нэмэлт статистик мэдээлэл авах арга байхгүй. Асуудлын шийдлийг тойрсон, тодорхой нөхцөлд илэрдэг орчныг "байгаль" гэж нэрлэдэг бөгөөд түүнд тохирох математик загварыг "байгальтай тоглоом" эсвэл "статистик тоглоомын онол" гэж нэрлэдэг. Тоглоомын онолын гол зорилго нь мөргөлдөөнд оролцогчдын сэтгэл ханамжтай зан үйлийн талаархи зөвлөмжийг боловсруулах, өөрөөр хэлбэл тэд тус бүрийн хувьд "оновчтой стратеги" -ийг тодорхойлох явдал юм.