Шулуун шугамын багц. Шугаман харандааны тэгшитгэл. Хавтгайн багц, багц хавтгайн тэгшитгэл Өгөгдсөн шугамаар дамжин өнгөрөх олон тооны хавтгайн тэгшитгэл

Энэ өгүүлэлд бид онгоцны харандааны тодорхойлолтыг өгч, өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд хамаарах хавтгайн харандааны тэгшитгэлийг гаргаж, онгоцны харандааны тухай ойлголттой холбоотой шинж чанарын асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Онгоцны багц - тодорхойлолт.

Геометрийн аксиомуудаас үзэхэд энэ нь дараах байдалтай байна гурван хэмжээст орон зайнэг хавтгай шулуун ба түүн дээр хэвтээгүй цэгийг дайран өнгөрдөг. Мөн энэ мэдэгдлээс харахад урьдчилан тодорхойлсон шулуун шугамыг агуулсан хязгааргүй олон хавтгай байдаг. Үүнийг зөвтгөе.

Бидэнд шулуун шугам өгье a. a шулуун дээр хэвтэхгүй M 1 цэгийг авъя. Дараа нь шулуун шугам ба M 1 цэгээр бид зөвхөн нэг хавтгай зурж болно. Үүнийг тэмдэглэе. Одоо хавтгайд хэвтдэггүй M 2 цэгийг авч үзье. Шулуун а ба М2 цэгийг дайран өнгөрөх ганцхан хавтгай байна. Хэрэв бид хавтгайд ч биш, хавтгайд ч байхгүй M 3 цэгийг авбал a шулуун ба M 3 цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайг байгуулж болно. Өгөгдсөн a шугамыг дайран өнгөрөх онгоц бүтээх энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болох нь ойлгомжтой.

Ингэж л бид онгоцны багц гэдэг ойлголтод хүрдэг.

Тодорхойлолт.

Бөөн онгоцөгөгдсөн нэг шугамыг дайран өнгөрөх гурван хэмжээст орон зайн бүх хавтгайнуудын олонлог юм.

Багцын бүх хавтгайд агуулагдах шулуун шугамыг энэ багцын төв гэж нэрлэдэг. Тиймээс "а төвтэй онгоцнуудын багц" гэсэн илэрхийлэл хэрэгжинэ.

Онгоцны тодорхой багцыг түүний төвийг зааж өгөх эсвэл энэ багцын аль нэг хоёр хавтгайг зааж өгөх замаар тодорхойлж болно, энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм. Нөгөө талаар огтлолцох дурын хоёр хавтгай нь тодорхой багц хавтгайг тодорхойлдог.

Олон тооны онгоцны тэгшитгэл - асуудлыг шийдвэрлэх.

Практик зорилгын хувьд геометрийн дүрс дэх хавтгайн багцаас илүү сонирхол татдаг.

"Онгоцны багцын тэгшитгэл гэж юу вэ" гэсэн логик асуултанд нэн даруй хариулъя?

Үүнийг хийхийн тулд бид Oxyz-ийг гурван хэмжээст орон зайд нэвтрүүлж, хоёр хавтгайг зааж өгснөөр онгоцны багцыг зааж өгсөн гэж бид таамаглах болно. Хавтгай нь хэлбэрийн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлд, хавтгай нь хэлбэрт тохирно. Тэгэхээр, хавтгайн багцын тэгшитгэл нь энэ багцын бүх хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлсон тэгшитгэл юм.

Дараах логик асуулт гарч ирнэ: "Онгоцны багцын тэгшитгэл ямар хэлбэртэй байна вэ? тэгш өнцөгт систем Oxyz координатууд"?

Хавтгайн харандааны тэгшитгэлийн хэлбэрийг дараах теоремоор өгөв.

Теорем.

Хавтгай нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр огтлолцсон хавтгайгаар тодорхойлогддог хавтгайн харандаанд хамаарах бөгөөд хэрэв түүний ерөнхий тэгшитгэл нь , энд ба нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш дурын бодит тоонууд байна. нөхцөл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү).

Баталгаа.

Хангалттай байдлыг батлахын тулд та дараахь зүйлийг харуулах хэрэгтэй.

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье. Үр дүнгийн тэгшитгэл нь ерөнхий тэгшитгэлхавтгай бол илэрхийллүүд ба нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.

Тэд үнэхээр зөрчилдөөнөөр нэгэн зэрэг алга болдоггүй гэдгийг баталцгаая. Ингэж бодъё. Дараа нь хэрэв , тэгвэл , хэрэв , тэгвэл . Үүссэн тэгш байдал нь векторууд ба харилцаа холбоотой буюу (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү), тиймээс, болон . Хавтгайн хэвийн вектор учраас - хавтгайн хэвийн вектор ба векторууд нь коллинеар, дараа нь хавтгай ба параллель эсвэл давхцаж байна (хоёр хавтгайн параллелизмын нөхцлийн өгүүллийг үзнэ үү). Гэхдээ энэ нь байж болохгүй, учир нь онгоцууд нэг багц онгоцыг тодорхойлдог тул огтлолцдог.

Тэгэхээр тэгшитгэл нь үнэхээр хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хавтгай нь ба .

Хэрэв энэ нь үнэн бол хэлбэрийн тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна. (Хэрэв бичмэл тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол системийг бүрдүүлсэн хавтгай нь нэг нийтлэг цэгтэй тул хавтгай нь огтлолцох хавтгайгаар тодорхойлогдсон шулууныг огтолж, тэгшитгэлийн бичмэл системд шийдэл байхгүй бол , тэгвэл бүх гурван хавтгайд нэгэн зэрэг хамаарах цэг байхгүй тул хавтгай нь огтлолцсон хавтгай ба )-ээр тодорхойлогдсон шулуунтай параллель байна.

Бичсэн тэгшитгэлийн системийн эхний тэгшитгэл нь хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн шугаман хослол тул энэ нь илүүдэл бөгөөд үр дагаваргүйгээр системээс хасагдах боломжтой (бид энэ талаар нийтлэлд ярьсан). Өөрөөр хэлбэл, анхны тэгшитгэлийн систем нь хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна . Мөн энэ систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй байдаг, учир нь онгоцууд хязгааргүй олон байдаг нийтлэг цэгүүдогтлолцож байгаатай холбоотой.

Хангалттай нь батлагдсан.

Зайлшгүй байдлын нотолгоо руу шилжье.

Шаардлагатай гэдгийг нотлохын тулд урьдчилан тодорхойлсон хавтгай нь огтлолцлын шугамаар дамжин өнгөрөхөөс үл хамааран энэ нь параметрийн тодорхой утгын тэгшитгэлээр тодорхойлогддог болохыг харуулах шаардлагатай.

Цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцыг ав ба хавтгайнуудын огтлолцлын шугамаар ба (M 0 нь эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугам дээр оршдоггүй). М 0 цэгийн координатууд нь тэгшитгэлийг хангах, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь үнэн байх параметрүүдийн ийм утгыг сонгох боломжтой гэдгийг харуулъя. Энэ нь хангалттай гэдгийг батлах болно.

М 0 цэгийн координатыг тэгшитгэлд орлуулъя: . Онгоцууд нь M 0 цэгийг нэгэн зэрэг өнгөрөөгүй тул (эсвэл эдгээр онгоцууд давхцах болно), дор хаяж нэг илэрхийлэл байна. эсвэл тэгээс ялгаатай. Хэрэв бол тэгшитгэлийг дараах параметртэй холбож шийдэж болно мөн параметрт дурын тэг биш утгыг өгснөөр бид тооцоолно. Хэрэв , дараа нь параметрт дурын тэг биш утгыг өгвөл бид тооцоолно .

Теорем бүрэн батлагдсан.

Тэгэхээр, энэ нь харагдаж байна. Энэ нь цацрагийн бүх хавтгайг тодорхойлдог. Хэрэв бид зарим хос утгыг авбал ба тэдгээрийг олон тооны хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь бид энэ багцаас нэг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг олж авна.

Хавтгайн багцын тэгшитгэлд параметрүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш тул үүнийг , хэрэв , хэрэв , хэрэв хэлбэрээр бичиж болно.

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгшитгэлүүд нь хэлбэрийн хавтгайн тэгшитгэлтэй тэнцэхгүй, учир нь аливаа утгын хувьд хэлбэрийн хавтгайн тэгшитгэлийг тэгшитгэлээс олж авах боломжгүй бөгөөд аливаа утгын тэгшитгэлээс хэлбэрийн хавтгайн тэгшитгэлийг олж авах боломжгүй.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэх рүү шилжье.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт координатын системд Oxyz нь огтлолцох хоёр хавтгайгаар тодорхойлогддог хавтгайн харандааны тэгшитгэлийг бич. Мөн .

Шийдэл.

Сегмент дэх өгөгдсөн хавтгай тэгшитгэл нь хэлбэрийн ерөнхий хавтгай тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Одоо бид хэд хэдэн хавтгайд шаардлагатай тэгшитгэлийг бичиж болно: .

Хариулт:

Жишээ.

Онгоц нь төвтэй онгоцны багцад хамаарах уу?

Шийдэл.

Хэрэв хавтгай нь цацрагт хамаарах бол цацрагийн төв болох шулуун шугам нь энэ хавтгайд байрладаг. Тиймээс та шулуун дээр хоёр өөр цэг авч, тэдгээр нь хавтгайд хэвтэж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Хэрэв тийм бол онгоц нь заасан онгоцны багцад хамаарахгүй бол энэ нь хамаарахгүй.

Орон зай дахь шугамын параметрийн тэгшитгэл нь түүн дээр байрлах цэгүүдийн координатыг тодорхойлоход хялбар болгодог. Хоёр параметрийн утгыг (жишээлбэл, ба) авч, шулуун шугамын M 1 ба M 2 хоёр цэгийн координатыг тооцоолъё.

Энэ нийтлэлд бид шугамын харандаа гэсэн ойлголтыг авч үзэх болно. Шулуун шугамын харандааны тэгшитгэлийг төсөөлье. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шугамын харандааны тэгшитгэлийг олох жишээг өгье.

цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм П. Эсрэгээр, цэгээр дамжин өнгөрөх аливаа шулуун шугам Пзарим тооны хувьд (3) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог λ 1 ба λ 2 .

Баталгаа. Эхлээд бид (3) тэгшитгэлийг харуулж байна шугаман тэгшитгэл(эхний эрэмбийн тэгшитгэл), i.e. коэффициент байх тэгшитгэл xэсвэл yтэгтэй тэнцүү биш.

Бид коэффициентүүдийг бүлэглэнэ xТэгээд y:

Дараа нь, жишээлбэл, хэзээ λ 1 ≠0 (теоремын дагуу хамгийн багадаа нэг тоо λ 1 ба λ 2 нь тэгтэй тэнцүү биш), бид дараахь зүйлийг авна.

Үүссэн тэгш байдал нь (1) ба (2) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамуудын параллелизмын нөхцөл бөгөөд теоремын нөхцөлтэй зөрчилддөг (эдгээр шугамууд огтлолцдог бөгөөд давхцдаггүй). Тиймээс (5) тэгшитгэлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй, өөрөөр хэлбэл. дор хаяж нэг коэффициент xТэгээд y(4) тэгшитгэлийн хувьд тэгтэй тэнцүү биш байна. Эндээс (4) тэгшитгэл нь шугаман тэгшитгэл (эхний зэргийн тэгшитгэл) бөгөөд зарим шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Теоремын дагуу энэ шулуун цэгийг дайран өнгөрдөг П(x 0 , y 0), энэ нь (1) ба (2) шугамын огтлолцол, i.e. Дараахь тэгш байдлыг хангана.

тэдгээр. тэгшитгэл (3) цэгээр дамждаг П.

Теоремын хоёр дахь хэсгийг баталъя. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх дурын шулуун гэдгийг харуулъя Пзарим утгын хувьд (3) тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно λ 1 ба λ 2 .

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамыг авцгаая ПТэгээд М"(x", у"). Энэ шулуун шугам нь зарим утгын хувьд (3) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог болохыг харуулъя λ 1 ба λ 2 нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш.

Теоремын баталгааны эхний хэсэгт бид цэгийг дайран өнгөрөх шулуун болохыг харуулсан П(3) тэгшитгэлээр тодорхойлогдоно. Одоо, хэрэв энэ шугам өөр цэгээр дамжин өнгөрвөл М"(x", у"), тэгвэл энэ цэгийн координатууд (3) тэгшитгэлийг хангах ёстой:

Хаалтанд байгаа илэрхийллүүд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу, учир нь Энэ нь хоёр тэгшитгэл хоёулаа цэгүүдээр дамждаг гэсэн үг юм ПТэгээд М"(x", у") тул давхцаж байна. Жишээлбэл, λ 1 (А 1 x" 0 +Б 1 у" 0 +C 1)≠0. Дараа нь асуух замаар λ 2 нь тэгээс ялгаатай дурын тоо бөгөөд (9) -ийг харгалзан шийд λ 1:

Цэгийн координатыг орлуулъя Мтэгшитгэлд (12):

Хялбарчилъя (13):

Жишээ нь асууснаар, λ 2 = 4, бид авна λ 1 =−5.

Үнэ цэнээ оруулъя λ 1 ба λ 2 инч (12):

Хариулт:

Жишээ 2. Төвтэй шугамын харандааны тэгшитгэлийг байгуул М(4,1):

Шийдэл. Цэгтэй давхцахгүй байгаа хоёр өөр цэгийг авч үзье М: М 1 (2,1), М 2 (−1.3). Цэгүүдийг дайран өнгөрөх тэгшитгэл байгуулъя МТэгээд М 1. Ердийн вектор nЭнэ шугамын 1 нь цэгүүдийн координатын зөрүүтэй тэнцүү векторт ортогональ байх ёстой. МТэгээд М 1: =(2−4, 1−1)=(−2,0). Тэдгээр. та үүнийг авч болно n 1 =(0,1). Дараа нь хэвийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл n 1 цэгээр дамжин өнгөрөх Мдараах хэлбэртэй байна:

Хариулт:

Бусад оноо авахыг анхаарна уу М 1 ба М 2-т бид ижил харандаа, гэхдээ хоёр өөр шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Онгоцны зөв харандаа нь нэг шугамаар дамжин өнгөрөх бүх онгоцнуудын багц юм.

Онгоцны зохисгүй харандаа нь бие биентэйгээ параллель байрладаг онгоцны багц юм.

Теорем 1.Ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлсон гурван хавтгайд зориулж

Декартын координатын ерөнхий системтэй харьцуулахад ижил харандаанд хамаарах, зөв ​​эсвэл буруу байх нь матрицын зэрэглэл нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

хоёр эсвэл нэгтэй тэнцүү байсан.

Шаардлагатай байдлын баталгаа. Гурван онгоц (1) нэг багцад хамаарагдана. Үүнийг нотлох шаардлагатай

Эхлээд өгөгдсөн гурван онгоц нь өөрийн багцад багтдаг гэж үзье. Дараа нь (1) систем нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байдаг (зохистой харандааны тодорхойлолтоор: нэг шулуун шугамаар дамжин өнгөрөх гурван онгоц харандаанд хамаарна); Энэ нь үл мэдэгдэхийн коэффициентүүдээс бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай эсвэл тэгтэй тэнцүү эсэхээс хамаарч (1) систем нь өвөрмөц шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд л болно.

Хэрэв өгөгдсөн гурван хавтгай нь буруу харандаанд хамаарах бол матрицын зэрэглэлтэй байна

нь 1-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь матрицын зэрэглэл гэсэн үг юм Мхоёр эсвэл нэгтэй тэнцүү.

Хангалттай байдлын баталгаа. Өгөгдсөн: Өгөгдсөн гурван онгоц нэг багцад хамаарах болохыг батлах шаардлагатай.

Хэрэв, тэгвэл ба. Байгаа. Дараа нь (1) систем нь тууштай, хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй бөгөөд эдгээр хавтгайн дунд огтлолцсон нэгдлүүд байдаг (учир нь огтлолцох нэг ч байхгүй байсан бол тэдгээр нь бүгд параллель байх ба матрицын зэрэглэл нь 1-тэй тэнцүү байх болно) , тиймээс өгөгдсөн гурван онгоц нь өөрийн багцад хамаарна.

Хэрэв; , дараа нь бүх онгоцууд хоорондоо уялдаатай байна (тэдгээрийн хоёр нь мэдээж параллель, гурав дахь нь зэрэгцээ хавтгайн аль нэгтэй давхцаж болно).

Хэрэв, тэгвэл ба, бүх онгоц давхцаж байвал.

Теорем 2. Ерөнхийдөө болъё Декартын системкоординатыг хоёр өөр хавтгай ба ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн: ; .

Гурав дахь хавтгайд зориулж, мөн ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

ижил координатын системтэй харьцуулахад, хавтгайгаар тодорхойлсон харандаанд хамаарах бөгөөд тэгшитгэлийн зүүн тал нь хавтгайнуудын тэгшитгэлийн зүүн талын шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. болон.

Шаардлагатай байдлын баталгаа. Өгөгдсөн: онгоц нь онгоцоор тодорхойлогдсон онгоцны багцад хамаарна. Энэ нь бүх утгын хувьд ижил төстэй тоо байгаа эсэхийг батлах шаардлагатай X, цагт, z:

Уг нь гурван онгоц нэг багцад харьяалагддаг бол хаана

Энэ матрицын эхний хоёр мөр нь шугаман хамааралгүй (онгоцууд өөр өөр байдаг тул), гурав дахь эгнээ нь эхний хоёрын шугаман хослол тул, i.e. гэх мэт тоонууд байдаг

Эхний тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлэх X, хоёр дахь хэсгийн аль аль нь дээр цагт, гурав дахь хэсгийн аль аль нь дээр zҮүний үр дүнд үүссэн тэгш байдал ба тэгш байдлын нэр томъёог нэр томъёогоор нэмснээр бид нотлогдож буй ижил төстэй байдлыг олж авна.

Хангалттай байдлын баталгаа.Баримт бичгийг нь өгөөч

бүх утгын хувьд хүчинтэй X, цагтТэгээд z. Онгоц нь онгоцоор тодорхойлогдсон харандаанд хамаарах болохыг батлах шаардлагатай ба.

Энэ таних тэмдэгээс дараах харилцааг дагана.

Тиймээс матрицын гурав дахь эгнээ Мэхний хоёрын шугаман хослол байдаг тул. гэх мэт.

Нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлийг хоёр өөр хавтгайгаар тодорхойлсон хавтгайн харандааны тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба декартын координатын ерөнхий системд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Батлагдсанчлан цацрагийн аливаа хавтгайн тэгшитгэлийг янз бүрийн хавтгайгаар тодорхойлж, хэлбэрээр бичиж болно.

Эсрэгээр, хэрэв тоонуудын ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл бол энэ нь ба хавтгайгаар тодорхойлогдсон харандаанд хамаарах хавтгайн тэгшитгэл юм. Үнэхээр матрицын гурав дахь эгнээ М, тэгшитгэлийн коэффициентуудаас бүрдэх ба хэлбэртэй байна

тэдгээр. нь нөгөө хоёрын шугаман хослол тул.

Хэрэв хавтгай ба огтлолцох ба ба нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол бүх коэффициентүүд X, цагт, zХэрэв харилцаа үүссэн бол тэгшитгэл нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй

тэгвэл онгоцнууд таамаглаж байснаас эсрэгээрээ хоорондоо уялдаатай байх болно.

Гэхдээ хэрэв онгоцууд параллель байвал тоонууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд тэгшитгэлд бүх коэффициентүүд байдаг. X, цагтТэгээд zтэгтэй тэнцүү байна. Гэхдээ дараа нь энэ нь зохисгүй багц байх болно, шулуун шугамын багцын нэгэн адил энд та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй.

Юуны өмнө бид онгоц гэж хэлэх болно

хавтгайн шугаман хослол байдаг

хэрэв (1) тэгшитгэл нь (2) ба (3) тэгшитгэлийн шугаман хослол юм, өөрөөр хэлбэл ийм ба байгаа бол ижил төстэй байдал нь биелнэ.

(4) тэгшитгэлээс харахад (2) ба (3) тэгшитгэлийн аль алиныг хангасан аливаа цэг нь (1) тэгшитгэлийг хангадаг - (2) ба (3) хавтгайд хамаарах аливаа цэг нь (1) хавтгайд хамаарна. Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн хоёр огтлолцох (2) ба (3) хавтгайн шугаман хослол болох хавтгай нь эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамаар дамжин өнгөрдөг. Үүний эсрэгээр, өгөгдсөн хоёр (2) ба (3) хавтгайн огтлолцол d шугамыг дайран өнгөрч буй (1) хавтгай бүр эдгээр хавтгайн энгийн хослол гэдгийг баталъя.

Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид (1) хавтгай нь (2) ба (3) хавтгайтай давхцахгүй гэж үзэж болно. Нотолгоо нь шулуун шугамын жишээтэй яг ижил байна (V бүлэг, § 5).

Хэрэв бид d шулуун дээр ороогүй зарим цэгийг (Зураг 122) зааж өгвөл d шулууныг дайрч өнгөрөх хавтгай бүрэн тодорхойлогдоно.

Хавтгай дээрх ийм цэгийг (1) аваад хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл бичье.

Таамаглалаар цэг нь d шулуун дээр оршдоггүй тул тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хаалтуудын дор хаяж нэг нь тэгээс ялгаатай байна; Энэ тэгшитгэлээс (5) хамаарал

Одоо (6) пропорцийг хангасан тоонуудыг олъё. Дараа нь тэгш байдал (5) бас хангагдана, энэ нь цэг нь хавтгай дээр байрладаг гэсэн үг юм

Гэхдээ энэ хавтгай нь (2) ба (3) хавтгайн шугаман хослол бөгөөд d шулууныг дайран өнгөрч, хавтгайд хамаарах цэгийг агуулдаг ( - энэ нь хавтгай (1) нь хавтгай (7) -тай давхцаж, шугаман байна гэсэн үг юм. (2) ба (3) хавтгайн хослол. Энэ мэдэгдэл батлагдсан.

Тиймээс (1) хавтгайг (2) ба (3) хоёр хавтгайн огтлолцлын шулуун шугамаар өнгөрөхийн тулд тэгшитгэл (1) нь (2) ба (3) тэгшитгэлийн шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. ).

Одоо (2) ба (3) онгоцууд параллель байцгаая. V бүлгийн § 5-д заасантай яг ижилхэн (2) ба (3) хавтгайн шугаман хослол болох аливаа хавтгай нь тэдгээртэй параллель байх ба эсрэгээр нь хоёртой параллель (тус бүртэй параллель) хавтгай байх болно гэдэгт бид итгэлтэй байна. бусад) хавтгай (2) ба (3) нь тэдгээрийн шугаман хослол юм.

Өгөгдсөн шугамыг дайран өнгөрөх бүх хавтгайн олонлогийг тэнхлэгтэй хавтгайнуудын зөв харандаа гэж нэг хавтгайд параллель (өргөн утгаараа) бүх хавтгайнуудын багц гэж нэрлэе; Эцэст нь, хоёр хавтгай ба шугаман хослол болох бүх хавтгайн олонлогийг түүний хоёр элементээс үүсгэсэн хавтгайнуудын нэг хэмжээст олон талт гэж нэрлэе. Аливаа онгоцны харандаа (зөв эсвэл зохисгүй) нь түүний аль ч хоёр элементээс үүссэн нэг хэмжээст олон талт зүйл гэдгийг бид нотолсон.

Үүний эсрэгээр, нэг хэмжээст олон талт онгоц бүр (хоёр ба 62-аар үүсгэгдсэн) хавтгайн багц юм - хэрэв онгоц болон 62 нь огтлолцвол зөв, параллель байвал зохисгүй.

Эдгээр лекцийн XXIII бүлэгт бид ердийн орон зайг хязгааргүй алслагдсан (зохисгүй) цэгүүдээр нэмж, эдгээр хязгааргүй алслагдсан цэгүүдийн цуглуулга нь хязгааргүй алслагдсан (зохисгүй) хавтгайг бүрдүүлэх замаар проекцийн орон зайг бүтээх болно;

Энэ хавтгайд байрлах бүх шугамыг хязгааргүй алслагдсан эсвэл буруу гэж нэрлэнэ. Орон зайн "зөв" (жишээ нь энгийн) хавтгай бүр нь буруу шугамын дагуу буруу хавтгайтай огтлолцдог - өгөгдсөн зөв хавтгайн цорын ганц буруу шугамын дагуу. Хязгааргүйд (нийтлэг) шулуун шугамын дагуу огтлолцсон тохиолдолд хоёр зөв хавтгай зэрэгцээ байна. Тиймээс проекцийн орон зайд онгоцны зөв ба зохисгүй харандаа хоорондын ялгаа алга болно: зохисгүй харандаа нь тэнхлэг нь проекцийн орон зайн буруу шугамуудын нэг болох онгоцны харандаа юм.