Гэр лүүгээ яв Трансцендент тоо

- алгебрийн бус нийлмэл тоо, өөрөөр хэлбэл рационал коэффициент бүхий тэгээс өөр олон гишүүнтийн үндэс биш.

Трансцендент тооны оршин тогтнолыг анх 1844 онд Ж.Лиувилл тогтоосон; Тэрээр мөн ийм тооны анхны жишээг бүтээжээ. Лиувилл алебраик тоог оновчтой тоогоор "хэтэрхий сайн" ойртуулах боломжгүйг ажигласан. Тухайлбал, Лиувиллийн теорем нь хэрвээ алгебрийн тоо нь рационал коэффициенттэй зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндэс юм бол дурын рационал тооны хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ гэж заасан байдаг. тогтмол нь зөвхөн хамаарна. Энэ мэдэгдлээс дараах зүйл гарч байнахангалттай нотлох баримт

трансцендент: хэрэв тоо нь аливаа тогтмолын хувьд тэгш бус байдлыг хангадаг оновчтой тооны хязгааргүй олонлогтой байвал

Энэ нь трансцендент юм. Дараа нь ийм тоонуудыг Лиувиллийн тоо гэж нэрлэдэг байв. Ийм тооны жишээ бол

Трансцендент тоо оршин байдгийн өөр нэг нотолгоог 1874 онд Г.Кантор өөрийн бүтээсэн олонлогийн онолын үндсэн дээр олж авчээ. Кантор алгебрийн тооны олонлогийг тоолж болдог, бодит тооны олонлог нь тоологдох боломжгүй гэдгийг нотолсон нь трансцендент тооны олонлогийг тоолж болохгүй гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч, Лиувиллийн нотолгооноос ялгаатай нь эдгээр аргументууд нь дор хаяж нэг ийм тооны жишээг өгөх боломжийг бидэнд олгодоггүй.

Лиувиллийн ажил нь трансцендентал тооны онолын бүхэл бүтэн хэсгийг бий болгосон - алгебрийн тоог рационал буюу ерөнхийдөө алгебрийн тоогоор ойртуулах онол. Лиувиллийн теоремыг олон математикчдын бүтээлд бэхжүүлж, ерөнхийд нь тусгасан байдаг. Энэ нь трансцендент тоонуудын шинэ жишээг бүтээх боломжийг олгосон. Ийнхүү К.Малер хэрэв бүх натурал тоонуудын хувьд сөрөг бус бүхэл тоон утгыг авдаг тогтмол бус олон гишүүнт юм бол радикс тооллын системд бичигдсэн тоо нь аль ч натурал тооны хувьд трансцендентал, гэхдээ тийм гэдгийг харуулсан. Лиувиллийн дугаар биш. Жишээ нь, ба-тай бид дараах гоёмсог үр дүнг авна: тоо

1873 онд C. Hermite өөр санаануудыг ашиглан Неперийн тооны (натурал логарифмын суурь) давж гарахыг баталжээ.

Ф.Линдеманн Эрмитийн санааг хөгжүүлснээр 1882 онд тооны давж гарсныг нотолсон бөгөөд ингэснээр тойргийг квадрат болгох эртний асуудалд цэг тавьжээ: луужин ба захирагчийг ашиглан ижил хэмжээтэй дөрвөлжин барих боломжгүй (өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин хэлбэртэй байх). ижил талбай) өгөгдсөн тойрог руу. Ерөнхийдөө Линдеманн аливаа алгебрийн тооны хувьд тоо нь трансцендент гэдгийг харуулсан. Эквивалент томъёолол: ба-аас бусад алгебрийн тооны хувьд түүний натурал логарифм нь трансцендент тоо юм.

1900 онд Парист болсон математикчдын их хурал дээр Д.Хилберт математикийн шийдэгдээгүй 23 асуудлын дотроос Л.Эйлерийн тодорхой хэлбэрээр томъёолсон дараах зүйлийг онцлон тэмдэглэжээ.

Болъё Тэгээд алгебрийн тоонууд ба трансцендентал? Ялангуяа тоонууд трансцендент гэж үү? Тэгээд?

Энэ асуудлыг Эйлерийн анхны томъёололтой ойролцоо хэлбэрээр дараах хэлбэрээр дахин хэлж болно.

Болъё Тэгээд -аас бусад алгебрийн тоонууд ба үүнээс гадна тэдгээрийн натурал логарифмын харьцаа үндэслэлгүй. Тоо байх болов уу трансцендентал?

Асуудлын анхны хэсэгчилсэн шийдлийг 1929 онд А.О.Гельфонд олж авсан бөгөөд тэрээр ялангуяа тооноос давж гарахыг нотолсон юм. 1930 онд Р.О.Кузьмин Гельфондын аргыг боловсронгуй болгож, тэр дундаа тооноос давж гарах чадварыг баталж чадсан. Эйлер-Гильбертийн асуудлын бүрэн шийдлийг (баталгаатай утгаараа) 1934 онд А.О.Гельфонд, Т.Шнайдер нар бие даан гаргаж авсан.

А.Бэйкер 1966 онд Линдеман, Гельфонд-Шнайдер нарын теоремуудыг ерөнхийд нь гаргаж, ялангуяа дурын хязгаарлагдмал тооны хэлбэрийн үржвэр болон байгалийн хязгаарлалтын дагуу алгебрийн тоонуудын үржвэрийг давж гарахыг нотолсон.

1996 онд Ю.В. Нестеренко Эйзенштейн цувралын утгуудын алгебрийн бие даасан байдлыг нотолсон, ялангуяа тоонууд ба. Энэ нь алгебрийн коэффициент бүхий 0-ээс ялгаатай рационал функц бүхий аль ч тооны хэлбэрийг давах гэсэн үг юм. Жишээлбэл, цувралын нийлбэр нь трансцендент байх болно

1929-1930 онд К.Малер хэд хэдэн бүтээлдээ утгын хэтийн чанарыг нотлох шинэ аргыг санал болгосон аналитик функцууд, тодорхой төрлийн функциональ тэгшитгэлийг хангах (дараа нь ийм функцийг Малер функц гэж нэрлэдэг).

Трансцендент тооны онолын аргууд нь математикийн бусад салбаруудад, ялангуяа диофантийн тэгшитгэлийн онолд хэрэглэгдэх болсон.

Энэ нь a = 1 үед геометр прогрессийн нийлбэрийг тодорхойлоход тусалсан. Гауссын теорем батлагдсан гэж үзвэл (17) тэгшитгэлийн үндэс нь a = a 1 гэж үзье.

Энэ илэрхийллийг f(x)-аас хасч, нэр томъёог дахин цэгцлэхэд бид ижил төстэй байдлыг олж авна

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) Одоо (20) томъёог ашигласнаар бид гишүүн бүрээс x − a 1 хүчин зүйлийг тусгаарлаж, дараа нь хаалтнаас гаргаж авах ба хаалтанд үлдсэн олон гишүүнтийн зэрэг нэгээр бага болно. Нөхцөлүүдийг дахин бүлэглэснээр бид таних тэмдгийг олж авдаг

f(x) = (x − a1 )g(x),

Энд g(x) нь n − 1 зэрэгтэй олон гишүүнт:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 +. . . + b1 x + b0.

(Бид энд b-ээр тэмдэглэсэн коэффициентүүдийг тооцох сонирхолгүй байна.) Цаашид g(x) олон гишүүнт ижил үндэслэлийг хэрэгжүүлье. Гауссын теоремоор g(x) = 0 тэгшитгэлийн a2 язгуур байгаа тул

g(x) = (x − a2 )h(x),

Энд h(x) нь аль хэдийн n − 2 зэрэгтэй шинэ олон гишүүнт юм. Эдгээр аргументуудыг n − 1 удаа давтвал (мэдээжийн хэрэг математик индукцийн зарчмыг ашиглахыг хэлнэ) бид эцэст нь тэлэлтэнд хүрнэ.

Тодорхойлолтоос (22) зөвхөн a1, a2, нийлмэл тоонууд гарч ирдэггүй.

Ан нь (17) тэгшитгэлийн язгуурууд боловч (17) тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв y тоо нь (17) тэгшитгэлийн язгуур байсан бол (22) -аас эхлэн дагах болно.

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Гэвч хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байхад л цогц тоонуудын үржвэр тэгтэй тэнцүү байдгийг бид (х. 115) харсан. Тэгэхээр y − ar хүчин зүйлсийн нэг нь 0-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл y = ar гэсэн утгатай бөгөөд үүнийг тогтоох шаардлагатай.

§ 6.

1. Оршихуйн тодорхойлолт ба асуултууд. Алгебрийн тоо гэдэг нь заримд нь нийцэх бодит эсвэл зохиомол x дурын тоо юм алгебрийн тэгшитгэлтөрлийн

130 МАТЕМАТИК ТООН СИСТЕМ ch. II

ai тоонууд нь бүхэл тоо байдаг. Жишээлбэл, 2-ын тоо нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул алгебрийн тоо юм

x2 − 2 = 0.

Үүний нэгэн адил алгебрийн тоо нь радикалаар илэрхийлэгдэх эсэхээс үл хамааран гурав, дөрөв, тав дахь бүхэл тоон коэффициент бүхий тэгшитгэлийн аль ч үндэс юм. Алгебрийн тооны тухай ойлголт нь рационал тооны тухай ойлголтын байгалийн ерөнхий ойлголт бөгөөд n = 1 гэсэн онцгой тохиолдолтой тохирч байна.

Бодит тоо бүр алгебрийн шинж чанартай байдаггүй. Энэ нь Канторын хэлсэн дараах теоремоос гарна: бүх алгебрийн тооны олонлогийг тоолж болно. Бүх бодит тоонуудын олонлог тоолж баршгүй тул заавал алгебрийн бус бодит тоонууд байх ёстой.

Алгебрийн тооны багцыг дахин тооцоолох аргуудын аль нэгийг зааж өгье. (1) хэлбэрийн тэгшитгэл бүр эерэг бүхэл тоотой холбоотой

h = |ан | + |ан−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

Үүнийг товчлохын тулд бид тэгшитгэлийн "өндөр" гэж нэрлэх болно. n-ийн тогтмол утга бүрийн хувьд зөвхөн h өндөртэй (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийн хязгаартай тоо байдаг. Эдгээр тэгшитгэл бүр хамгийн ихдээ n үндэстэй байна. Тиймээс h өндөртэй тэгшитгэлээр үүсгэгдсэн хязгаарлагдмал тооны алгебрийн тоо л байж болно; Иймээс бүх алгебрийн тоонуудыг дарааллын хэлбэрээр байрлуулж, эхлээд 1 өндөртэй, дараа нь 2 өндөртэй тэгшитгэлээр үүсгэгдсэн тоог жагсааж болно.

Алгебрийн тоонуудын багцыг тоолж болдог гэдгийн энэхүү нотолгоо нь алгебрийн бус бодит тоо байгаа эсэхийг тогтооно. Ийм тоонуудыг трансцендентал гэж нэрлэдэг (Латин transcendere - өнгөрөх, давах); Эйлер тэдэнд "алгебрийн аргын хүч чадлыг давсан" учир ийм нэр өгсөн.

Канторын трансцендент тоо оршин тогтнох тухай нотолгоо нь бүтээлч биш юм. Онолын хувьд бүх алгебрийн тоон аравтын өргөтгөлийн төсөөллийн жагсаалт дээр гүйцэтгэсэн диагональ процедурыг ашиглан трансцендентал тоог бүтээх боломжтой болно; гэхдээ ийм журам нь ямар ч байхгүй практик ач холбогдолмөн аравтын бутархай (эсвэл бусад) бутархай руу тэлэх нь үнэндээ бичигдэх боломжтой тоонд хүргэхгүй. Трансцендент тоотой холбоотой хамгийн сонирхолтой асуудлууд нь тодорхой, тодорхой тоонууд (үүнд p ба e тоонууд багтана. 319–322-р хуудсыг үзнэ үү) трансцендент гэдгийг нотлох явдал юм.

**2. Лиувиллийн теорем ба трансцендент тоонуудын байгуулалт. Кантороос ч өмнө трансцендент тоо оршин байсны баталгааг Ж.Лиувилл (1809–1862) өгсөн. Энэ нь ийм тооны жишээг бодитоор бүтээх боломжийг олгодог. Лиувиллийн нотолгоо нь Канторын нотолгооноос илүү хэцүү бөгөөд жишээг бий болгох нь оршин тогтнохыг нотлохоос илүү хэцүү байдаг тул энэ нь гайхах зүйл биш юм. Доорх Лиувиллийн нотолгоог танилцуулахдаа бид зөвхөн бэлтгэгдсэн уншигчийг л санаж байна, гэхдээ анхан шатны математикийн мэдлэг нь нотолгоог ойлгоход хангалттай юм.

Лиувиллийн олж мэдсэнээр иррационал алгебрийн тоонууд нь ойролцоох бутархайн хуваагчийг туйлын том гэж авахгүй бол тэдгээрийг маш өндөр нарийвчлалтай рационал тоонуудаар ойртуулах боломжгүй шинж чанартай байдаг.

z тоо нь бүхэл тооны коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийг хангаж байна гэж бодъё

гэхдээ доод түвшний ижил тэгшитгэлийг хангахгүй. Дараа нь

x нь өөрөө n зэрэгтэй алгебрийн тоо гэж тэд хэлдэг. Тиймээс, жишээ нь,

z = 2 тоо нь 2-р зэргийн x2 − 2 = 0√ тэгшитгэлийг хангаж байгаа боловч нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг хангахгүй тул 2-р зэргийн алгебрийн тоо; z = 3 2 тоо нь 3-р зэрэгтэй, учир нь энэ нь x3 − 2 = 0 тэгшитгэлийг хангаж байгаа боловч бага зэрэгтэй тэгшитгэлийг хангадаггүй (III бүлэгт харуулах болно). n > 1 зэрэглэлийн алгебрийн тоо

z = p q оновчтой тоо хангадаг тул рационал байж болохгүй

1-р зэргийн qx − p = 0 тэгшитгэлийг хангана иррационал тоо z-ийг рационал тоо ашиглан ямар ч нарийвчлалтайгаар ойртуулж болно; Энэ нь та үргэлж оновчтой тоонуудын дарааллыг зааж өгч болно гэсэн үг юм

p 1 , p 2 , . . .

q 1 q 2

хязгааргүй өсөн нэмэгдэж буй хуваагчтай, өөрийн гэсэн байдаг

тэр

p r → z. qr

Лиувиллийн теоремд: n > 1 зэрэгтэй z алгебрийн тоо ямар ч байсан, үүнийг оновчтой болгох замаар ойролцоолж болохгүй.

Хангалттай том хуваагчийн хувьд тэгш бус байдал заавал байх ёстой

Бид энэ теоремын нотолгоог өгөх гэж байгаа боловч эхлээд трансцендент тоог бүтээхэд үүнийг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Тоогоо анхаарч үзээрэй

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + цаг · 10−м! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

Энд ai нь 1-ээс 9 хүртэлх дурын тоог илэрхийлдэг (хамгийн хялбар арга бол бүх ai-ийг 1-тэй тэнцүү болгох явдал юм), ердийнх шигээ n! тэмдэг (36-р хуудсыг үз) нь 1 · 2 · -ийг илэрхийлдэг. . . · n. Ийм тооны аравтын бутархай тэлэлтийн онцлог шинж чанар нь урт нь хурдацтай нэмэгдэж буй тэгийн бүлгүүд нь тэгээс өөр цифрүүдээр солигдох явдал юм. Өргөтгөхдөө am · 10−m хүртэлх бүх гишүүнийг авах үед олж авсан эцсийн аравтын бутархайг zm-ээр тэмдэглэе! багтаасан. Дараа нь бид тэгш бус байдлыг олж авна

z нь n зэрэгтэй алгебрийн тоо байсан гэж бодъё. Дараа нь Лиувиллийн тэгш бус байдалд (3) p q = zm = 10 p m гэж үзвэл! , бидэнд байх ёстой

|z − zm | > 10 (n+1)м!

хангалттай том утгын хувьд м. Сүүлчийн тэгш бус байдлыг тэгш бус байдалтай (4) харьцуулах нь гарна

Энэ нь (n + 1)м гэсэн үг! > (м + 1)! − 1 хангалттай том m. Гэхдээ энэ нь n-ээс их m утгын хувьд үнэн биш юм (уншигч та энэ мэдэгдлийн нарийвчилсан нотолгоог өгөхийг хичээгээрэй). Бид зөрчилдөж байна. Тиймээс z тоо нь трансцендент юм.

Лиувиллийн теоремыг батлахад л үлдлээ. z нь n > 1 зэрэгтэй алгебрийн тоо (1) тэгшитгэлийг хангадаг гэж үзье.

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + . . . + an (zm n − zn ).

Хоёр талыг zm − z-д хувааж, алгебрийн томъёог ашиглана

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

бид авах:

zm нь z руу чиглэдэг тул хангалттай том m-ийн хувьд zm оновчтой тоо нь z-ээс нэгээс бага зөрүүтэй байна. Тиймээс хангалттай том м-ийн хувьд дараахь тооцоог хийж болно.

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

Түүгээр ч барахгүй z нь нотлох явцад өөрчлөгддөггүй тул баруун талд байгаа M тоо тогтмол байна. Одоо m маш том хэмжээтэйг сонгоцгооё

z m = p m бутархай нь q m хуваагчтай байна M-ээс том байсан; Дараа нькв

тэр цагаас хойш (x − zm) хүчин зүйлийг f(x) олон гишүүнээс тусгаарлах боломжтой болох тул z нь n-ээс бага зэрэгтэй тэгшитгэлийг хангана. Тэгэхээр f(zm) 6= 0. Харин тэгшитгэлийн баруун талын хүртэгч (9) нь бүхэл тоо тул үнэмлэхүй утгаараа ядаж нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс (8) ба (9) харьцааг харьцуулж үзвэл дараахь зүйл гарч ирнэ

заасан теоремын агуулгыг яг таг.

Сүүлийн хэдэн арван жилийн хугацаанд алгебрийн тоог рационал тоогоор ойртуулах боломжийг судлах судалгаа нэлээд урагшиллаа. Жишээлбэл, Норвегийн математикч А.Тюэ (1863–1922) Лиувиллийн тэгш бус байдалд (3) n + 1 илтгэгчийг бага n 2 + 1 илтгэгчээр сольж болохыг олж мэдсэн.

K. L. Siegel үүнээс ч бага (бүр бага) авах боломжтой гэдгийг харуулсан

том n хувьд) үзүүлэлт нь 2 n байна.

Трансцендент тоо бол математикчдын анхаарлыг үргэлж татдаг сэдэв байсаар ирсэн. Гэхдээ харьцангуй саяхныг хүртэл сонирхолтой тоонуудын дотроос трансцендент шинж чанар нь тогтоогдсон цөөхөн хүн мэддэг байсан. (III бүлэгт авч үзэх p тооны давж гарах байдлаас үзэхэд тойрогыг захирагч, луужин ашиглан квадрат болгох боломжгүй юм.) Дэвид Хилберт 1900 онд Парисын олон улсын математикийн конгресс дээр хэлсэн үгэндээ: гучин математик

Энгийн томъёоллыг зөвшөөрдөг, зарим нь бүр энгийн бөгөөд түгээмэл байсан, тэдгээрийн нэг нь ч шийдэгдээгүй төдийгүй тухайн үеийн математикийн тусламжтайгаар шийдвэрлэх чадваргүй мэт санагдаж байв. Эдгээр "Гильбертийн асуудлууд" нь математикийн хөгжлийн дараагийн үед хүчтэй түлхэц үзүүлсэн. Бараг бүгдийг нь аажмаар шийдэж, ихэнх тохиолдолд тэдний шийдэл нь илүү ерөнхий, гүнзгий аргуудыг хөгжүүлэх утгаараа тодорхой илэрхийлэгдсэн амжилтуудтай холбоотой байв. Найдваргүй мэт санагдсан асуудлуудын нэг бол асуудал байв

тоо гэдгийг нотолж байна

трансцендентал (эсвэл ядаж иррациональ) юм. Гурван арван жилийн турш амжилтанд хүрэх найдварыг нээж өгөх хэн нэгний талаас асуудалд ийм хандлагын сэжүүр ч байсангүй. Эцэст нь Сигель болон түүнээс үл хамааран Оросын залуу математикч А.Гельфонд нар олон зүйлийг давж гарахыг батлах шинэ аргуудыг нээжээ.

математикт чухал ач холбогдолтой тоо. Тодруулбал, байгуулагдсан

зөвхөн Гилбертийн 2 2 тоо төдийгүй ab хэлбэрийн тоонуудын бүхэлдээ нэлээд өргөн ангиллыг давсан байдал, энд a нь 0 ба 1-ээс ялгаатай алгебрийн тоо, b нь иррационал алгебрийн тоо юм.

II БҮЛГИЙН НЭМЭЛТ

Олонлогуудын алгебр

1. Ерөнхий онол. Анги, цуглуулга эсвэл объектын багц гэсэн ойлголт нь математикийн хамгийн суурь ойлголтуудын нэг юм. Олонлог нь ямар нэг шинж чанартай ("шинж чанар") A-аар тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь тухайн объект бүр байх ёстой эсвэл байхгүй байх ёстой; А өмчтэй тэдгээр объектууд нь А олонлогийг бүрдүүлдэг. Тиймээс хэрэв бид бүхэл тоонууд ба А-ийн шинж чанарыг "анхны байх" гэж үзвэл харгалзах А олонлог нь 2, 3, 5, 7, бүх анхны тооноос бүрдэнэ. . . .

Олонлогуудын математикийн онол нь тодорхой үйлдлүүдийг ашиглан олонлогоос шинэ олонлог үүсгэж болдог (нэмэх, үржүүлэх үйлдлээр тооноос шинэ тоо гаргаж авдагтай адил) үндсэн дээр бий болдог. Олонлог дээрх үйлдлүүдийг судлах нь "олонлогийн алгебр"-ын хичээлийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ нь ердийн тоон алгебртай нийтлэг зүйл боловч зарим талаараа ялгаатай байдаг. Олонлог гэх мэт тоон бус объектуудыг судлахад алгебрийн аргыг хэрэглэж болохыг дараах байдлаар харуулав.

орчин үеийн математикийн үзэл бодлын илүү нийтлэг байдлыг бий болгодог. Сүүлийн үед олонлог алгебр нь математикийн олон талбарт шинэ гэрэл тусгаж байгаа нь тодорхой болсон, тухайлбал хэмжилтийн онол, магадлалын онол; энэ нь математикийн ойлголтуудыг системчлэх, тэдгээрийн логик холболтыг тодруулахад тустай.

Дараах зүйлд би бүх нийтийн олонлог (эсвэл сэтгэхүйн ертөнц) гэж нэрлэж болох шинж чанар нь үл тоомсорлодог тодорхой тогтмол объектуудыг тэмдэглэх болно.

A, B, C, . . . I-ийн зарим дэд олонлогууд байх болно. Хэрэв I нь бүх натурал тоонуудын олонлог юм бол А нь бүх тэгш тооны олонлогийг, В нь бүх сондгой тооны олонлогийг, С нь бүх анхны тооны олонлогийг тэмдэглэж болно. Хэрэв би хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн олонлогийг тэмдэглэвэл A нь тойрог доторх цэгүүдийн олонлог, В нь өөр тойрог доторх цэгүүдийн олонлог гэх мэт байж болно. Бидэнд I өөрөө болон ""-г оруулах нь тохиромжтой. ямар ч элемент агуулаагүй хоосон" олонлог. Ийм зохиомол өргөтгөлийн зорилго нь А шинж чанар бүрийн хувьд энэ шинж чанартай I элементийн тодорхой багцтай тохирч байх байр суурийг хадгалах явдал юм. Хэрэв А нь нийтээр хүчинтэй шинж чанар бөгөөд үүний жишээ нь (тоонуудын хувьд) x = x өчүүхэн тэгш байдлыг хангах шинж чанар юм бол элемент бүр ийм шинж чанартай байдаг тул I-ийн харгалзах дэд олонлог нь I өөрөө байх болно; нөгөө талаас хэрэв А нь ямар нэгэн дотоод зөрчилтэй шинж чанартай (х 6 = x гэх мэт) байвал харгалзах дэд олонлог нь огт элемент агуулаагүй, энэ нь "хоосон" бөгөөд тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн байна.

Тэд А олонлогийг В олонлогийн дэд олонлог гэж хэлдэг, товчоор хэлбэл, "А В олонлогт байна" эсвэл "В" олонлогт В олонлогт байхгүй элемент байхгүй бол "В нь А-г агуулдаг" гэж хэлдэг. хамаарал нь тэмдэглэгээтэй тохирч байна

A B эсвэл B A.

Жишээ нь: 10-д хуваагдах бүх бүхэл тоонуудын А олонлог нь 10-д хуваагдах тоо бүр 5-д хуваагддаг тул 5-д хуваагдах бүх бүхэл тоонуудын В олонлогийн дэд олонлог юм. A B хамаарал нь В хамаарлыг үгүйсгэхгүй. энэ, тэр, тэгээд

Энэ нь А-ийн элемент бүр нь В-ийн элемент бөгөөд эсрэгээр нь A ба В олонлогууд яг ижил элементүүдийг агуулна гэсэн үг юм.

Олонлогуудын хоорондох A B хамаарал нь олон талаараа тоонуудын хоорондох a 6 b хамаарлыг санагдуулдаг. Ялангуяа бид дараахь зүйлийг тэмдэглэж байна

Энэ харилцааны дараах шинж чанарууд:

1) А.

2) Хэрэв A B ба B A бол A = B.

3) Хэрэв A B ба B C бол A C.

Ийм учраас A B харьцааг заримдаа "дэг журам" гэж нэрлэдэг. Харгалзан үзэж буй хамаарал болон тоонуудын хоорондын a 6 b харьцааны гол ялгаа нь аливаа өгөгдсөн (бодит) a ба b тооны хооронд a 6 b эсвэл b 6 a харьцааны ядаж нэг нь заавал хангагдана, харин харилцааны хувьд Олонлогуудын хоорондох B нь ижил төстэй мэдэгдэл худал байна. Жишээлбэл, хэрэв А нь 1, 2, 3 тооноос бүрдэх олонлог бол,

ба B нь 2, 3, 4 тооноос бүрдэх олонлог,

тэгвэл A B хамаарал ч, B A хамаарал ч биелдэггүй, ийм учраас тэд A, B, C, дэд олонлогууд гэж хэлдэг. . . I олонлогууд нь “хэсэгчилсэн захиалгатай”, харин бодит тоонууд нь a, b, c, . . .

"бүрэн захиалсан" багцыг бүрдүүлэх.

Дашрамд дурдахад, А В харьцааны тодорхойлолтоос харахад I олонлогийн А дэд олонлогоос үл хамааран,

Өмч 4) зарим талаараа парадоксик мэт санагдаж болох ч хэрэв та энэ талаар бодож үзвэл энэ нь тэмдгийн тодорхойлолтын яг утгыг логикийн хувьд яг таарч байна. Үнэн хэрэгтээ А харьцаа л зөрчигдөх болно

В хэрэв хоосон багц нь А-д агуулагдахгүй элемент агуулсан бол; гэхдээ хоосон олонлогт ямар ч элемент агуулаагүй тул А гэж юу байхаас үл хамааран энэ нь байж болохгүй.

Дотоод агуулгаараа эдгээр арифметик үйлдлүүдээс тэс өөр тоонуудыг нэмэх, үржүүлэх олон алгебрийн шинж чанартай байдаг олонлог дээр бид одоо хоёр үйлдлийг тодорхойлох болно. А ба В хоёр олонлог байг. А ба В-ийн нэгдэл буюу "логик нийлбэр" нь А эсвэл В хэсэгт агуулагдах эдгээр элементүүдээс бүрдсэн олонлогийг хэлнэ.

В B (А болон В аль алинд нь агуулагдсан элементүүдийг оруулаад). Энэ багцыг A + B гэж тэмдэглэв. 1 А ба В хоёрын “уулзвар” буюу “логик үржвэр” гэдэг нь А ба В-ийн аль алинд нь агуулагдах элементүүдээс бүрдсэн олонлогийг хэлнэ. Энэ олонлогийг AB гэж тэмдэглэнэ.2

A + B ба AB үйлдлүүдийн чухал алгебрийн шинж чанаруудын дунд бид дараахь зүйлийг жагсаав. Уншигч эдгээр үйлдлүүдийн тодорхойлолтыг үндэслэн тэдгээрийн хүчинтэй эсэхийг шалгах боломжтой болно.

Эдгээр бүх хуулийг шалгах нь хамгийн энгийн логикийн асуудал юм. Жишээлбэл, дүрмийн 10) нь А эсвэл А-д агуулагдах элементүүдийн багц нь яг А олонлог болохыг заана; Дүрэм 12) нь А-д агуулагдах ба нэгэн зэрэг В эсвэл С-д агуулагдах эдгээр элементүүдийн багц нь А ба В-д нэгэн зэрэг агуулагдах, эсвэл А ба С-д нэгэн зэрэг агуулагдах элементүүдийн багцтай давхцаж байна гэж заасан. . Логик үндэслэлХэрэв бид A, B, C, олонлогуудыг дүрслэхийг зөвшөөрвөл энэ төрлийн дүрмийн баталгаанд ашигласан , тохиромжтой байдлаар дүрслэгдсэн болно. . . Хавтгай дээрх зарим дүрс хэлбэрээр байх бөгөөд бид хоёр олонлогийн нийтлэг элементүүд эсвэл эсрэгээр нэг багц элементүүд байгаа эсэх талаар гарах логик боломжуудын аль нэгийг алдахгүйн тулд маш болгоомжтой байх болно. нөгөөд агуулаагүй.

6), 7), 8), 9), 12) хуулиуд нь энгийн алгебрийн сайн мэдэх коммутатив, ассоциатив, дистрибьютив хуулиудтай гадна талаасаа адилхан гэдгийг уншигч та сонирхсон нь дамжиггүй. Үүнээс үзэхэд эдгээр хуулиас үүдэлтэй энгийн алгебрийн бүх дүрэм олонлог алгебрт бас хүчинтэй байна. Үүний эсрэгээр, 10), 11) ба 13) хуулиудад энгийн алгебрт ижил төстэй зүйл байдаггүй бөгөөд тэдгээр нь олонлог алгебрийг илүү энгийн бүтэцтэй болгодог. Жишээлбэл, олонлогийн алгебр дахь бином томъёо нь хамгийн энгийн тэгшитгэл хүртэл буурдаг

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

11-р хуулийн дагуу). 14), 15), 17)-д олонлогуудын нэгдэл ба огтлолцлын үйлдлүүдтэй холбоотой олонлог ба I-ийн шинж чанарууд нь нэмэх ба 1-р тоон үйлдлүүдийн үйлдлүүдтэй холбоотой 0 ба 1 тоонуудын шинж чанаруудтай маш төстэй байдаг гэжээ. үржүүлэх. Гэхдээ 16-р хууль) тоон алгебрийн аналоги байхгүй.

Олонлог алгебр дахь өөр нэг үйлдлийг тодорхойлоход л үлдлээ. А нь бүх нийтийн I олонлогийн зарим нэг дэд олонлог байг. Дараа нь I дахь А-ийн нэмэлт нь А-д агуулаагүй I-ийн бүх элементүүдийн олонлог гэж ойлгогдоно. Энэ олонлогийн хувьд бид A0 тэмдэглэгээг оруулав. Хэрэв I нь бүх натурал тоонуудын олонлог, А нь бүх анхны тоонуудын олонлог юм бол А0 нь бүх натурал тоонуудын олонлог юм. нийлмэл тооба тоо 1. Энгийн алгебрт аналоги байхгүй А-аас А0 руу шилжих үйлдэл нь дараах шинж чанартай байна.

23) A 00 = A.

24) A B харьцаа нь B харьцаатай тэнцүү байна 0 A0.

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

Эдгээр шинж чанаруудын баталгаажуулалтыг бид уншигчдад дахин үлдээж байна.

1)–26) хуулиуд нь олонлог алгебрийн үндэс юм. Тэд дараахь утгаараа "хоёр тал" гэсэн гайхалтай шинж чанартай байдаг.

Хэрэв 1)-26) хуулиудын аль нэгэнд нь бид харгалзах зүйлийг солино

(тэдгээрийн тохиолдол бүрт), үр дүн нь дахин ижил хуулиудын нэг юм. Жишээлбэл, 6) хууль 7), 12) 13), 17) 16) гэх мэт. Үүнээс үзэхэд 1)–26) хуулиас гаргаж болох теорем бүр өөр , түүний "хос"-той тохирч байна. Тэмдэгтүүдийн заасан орлуулалтын тусламжтайгаар эхнийхээс олж авсан теорем. Үнэндээ нотлох баримтаас хойш

Ч. II БАГЦЫН АЛГЕБР 139

эхний теорем нь бүрдэнэ тууштай хэрэглээ(үргэлжилж буй үндэслэлийн янз бүрийн үе шатанд) зарим хуулиудын 1-26), дараа нь "хос" хуулиудыг холбогдох үе шатанд хэрэглэх нь "хос" теоремын нотолгоо болно. (Геометрийн ижил төстэй "хоёр тал"-ыг IV бүлгээс үзнэ үү.)

2. Математик логикийн хэрэглээ. Олонлогийн алгебрийн хуулиудыг шалгахдаа A B хамаарлын логик утгын дүн шинжилгээ ба A + B, AB, A0 үйлдлүүдийн үндсэн дээр хийгдсэн. Одоо бид энэ үйл явцыг эргүүлж, 1)-26) хуулиудыг "логикийн алгебр"-ын үндэс болгон авч үзэж болно. Илүү нарийвчлалтай хэлье: олонлогтой холбоотой логикийн хэсгийг эсвэл үндсэндээ авч үзэж буй объектуудын шинж чанаруудыг 1)-26) хуульд үндэслэсэн албан ёсны алгебрийн систем болгон бууруулж болно. Логик "ерөнхий ертөнц" нь I олонлогийг тодорхойлдог; шинж чанар бүр нь I доторх эдгээр шинж чанартай объектуудаас бүрдэх А олонлогийг тодорхойлдог. Энгийн логик нэр томъёог олонлогийн хэл рүү хөрвүүлэх дүрмүүд нь тодорхой байна

Олонлог алгебрийн хувьд "Хэрэв А бүр В, В бүр С бол А бүр С" гэсэн утгатай "Барбара" силлогизм нь энгийн хэлбэрийг авдаг.

3) Хэрэв A B ба B C байвал A C.

Үүний нэгэн адил, "объект нэгэн зэрэг ямар нэгэн өмчтэй байж болохгүй" гэж заасан "зөрчилдөөний хууль" нь дараахь байдлаар бичигдсэн байдаг.

20) AA 0 =,

А "Объект ямар нэгэн өмчтэй байх ёстой, эс байх ёстой" гэсэн "хасах дундын хууль" гэж бичсэн байдаг.

19) A + A 0 = I.

Иймд +, · ба 0 тэмдгээр илэрхийлэгдэх логик хэсгийг 1)–26) хуулиудын дагуу албан ёсны алгебрийн систем гэж үзэж болно. Математикийн логик анализын нэгдэл дээр үндэслэсэн ба математик шинжилгээлогик, шинэ шинжлэх ухаан бий болсон - математик логик нь одоогоор хурдацтай хөгжиж байна.

Аксиоматик үүднээс авч үзвэл, 1)-26)-ын мэдэгдлүүд нь олонлогийн алгебрийн бусад бүх теоремуудын хамт дараах гурван тэгшитгэлээс логикоор дүгнэлт хийж болох гайхалтай баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Үүнээс үзэхэд олонлогийн алгебрийг аксиом гэж хүлээн зөвшөөрсөн эдгээр гурван заалтын үндсэн дээр Евклидийн геометрийн нэгэн адил цэвэр дедуктив онол болгон байгуулж болно. Хэрэв эдгээр аксиомыг хүлээн зөвшөөрвөл AB үйлдэл ба А В хамаарлыг A + B ба A0 гэсэн томъёогоор тодорхойлно.

Олонлог алгебрийн бүх албан ёсны хуулиудыг хангасан математик системийн тэс өөр төрлийн жишээг 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 гэсэн найман тооны системээр өгсөн болно: энд a + b гэж тэмдэглэнэ. дагуу

тодорхойлолт, a ба b-ийн нийтлэг хамгийн бага үржвэр, ab нь a ба b-ийн хамгийн их нийтлэг хуваагч, a b нь "b нь а-д хуваагдана" гэсэн өгүүлбэр, a0 нь 30 a тоо юм. Су-

Ийм жишээнүүд байгаа нь 27)-ийн хуулийг хангасан ерөнхий алгебрийн системийг судлахад хүргэсэн. Ийм системийг 1854 онд "Бодлын хуулиудын судалгаа" номоо хэвлүүлсэн Английн математикч, логикч Жорж Буль (1815-1864)-ийн нэрээр "Булийн алгебр" гэж нэрлэдэг.

3. Магадлалын онолын хэрэглээний нэг. Алгебрийн багц байна хамгийн ойр дотно харилцаамагадлалын онол руу шилжүүлж, үүнийг шинэ өнцгөөс харах боломжийг бидэнд олгодог. Хамгийн энгийн жишээг авч үзье: бүгд "ижил боломжтой" гэж тооцогддог хязгаарлагдмал тооны боломжит үр дүн бүхий туршилтыг төсөөлөөд үз дээ. Туршилт нь жишээлбэл, сайн холилдсон бүтэн тавцангаас санамсаргүй байдлаар карт зурахаас бүрдэж болно. Хэрэв бид туршилтын бүх үр дүнгийн багцыг I-ээр, А нь I-ийн зарим дэд олонлогийг тэмдэглэвэл туршилтын үр дүн А дэд олонлогт хамаарах магадлалыг харьцаагаар тодорхойлно.

p(A) = A элементийн тоо. элементүүдийн тоо I

Хэрэв бид зарим А олонлогийн элементүүдийн тоог n(A)-аар тэмдэглэхийг зөвшөөрвөл сүүлчийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг өгч болно.

Олонлогийн алгебрийн санаа нь шаардлагатай үед магадлалыг тооцоолох, зарим олонлогийн магадлалыг мэдэх, бусад олонлогийн магадлалыг тооцоолох үед илэрдэг. Жишээлбэл, p(A), p(B) ба p(AB) магадлалыг мэдэж байгаа тул та p(A + B) магадлалыг тооцоолж болно:

Үүнийг батлахад хэцүү биш байх болно. Бидэнд байна

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

n(A) + n(B) нийлбэрийг тооцоолохдоо A ба B-д нэгэн зэрэг агуулагдах элементүүд, өөрөөр хэлбэл AB элементүүдийг хоёр удаа тоолдог тул тооцоолохын тулд энэ нийлбэрээс n (AB) -ийг хасах шаардлагатай болно. n(A + B) зөв хийгдсэн. Дараа нь тэгш байдлын хоёр талыг n (I) -д хувааснаар бид (2) хамаарлыг олж авна.

Хэрэв бид I-ээс A, B, C гурван багцын тухай ярьж байгаа бол илүү сонирхолтой томъёог олж авна. (2) хамаарлыг ашиглан бид

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Өмнөх догол мөрийн хууль (12) нь бидэнд (A + B)C = AC + BC-ийг өгдөг. Үүнээс үүдэн гарч байна.

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) - p(ABC).

Өмнө нь олж авсан хамааралд p[(A + B)C] утга ба (2) -аас авсан p(A + B) утгыг орлуулснаар бид шаардлагатай томъёонд хүрнэ.

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Жишээ болгон дараах туршилтыг авч үзье. 1, 2, 3 гэсэн гурван тоог дурын дарааллаар бичнэ. Цифрүүдийн ядаж нэг нь зөв (дугаарлалтын хувьд) байранд байх магадлал хэд вэ? Нэгдүгээрт 1-ийн тоо, хоёрдугаарт 2-ын тоог В, гуравдугаарт 3-ын тоог C-г оруулъя. Бид p (A + B + C) тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нь ойлгомжтой

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

үнэхээр, хэрэв аль нэг цифр зохих байранд байгаа бол үлдсэн хоёр цифрийг дахин цэгцлэх хоёр боломж бий. нийт тоо 3 · 2 · 1 = 6 боломжит гурван оронтой солих. Дараа нь,

Дасгал хийх. p(A + B + C + D) -д тохирох томьёог гаргаж, 4 оронтой туршилтанд хэрэглэнэ. Харгалзах магадлал нь 5 8 = 0.6250.

n олонлогийг нэгтгэх ерөнхий томъёо нь

агуулсан хослолууд нэг, хоёр, гурав, . . . , (n − 1) үсэг A1 , A2 , . . .

Ан. Энэ томьёог (3) томъёог (2) томъёоноос гаргаж авсантай адил математикийн индукцаар тогтоож болно.

(4) томъёоноос бид n цифр нь 1, 2, 3, . . . , n-ийг дурын дарааллаар бичсэн бол ядаж нэг цифр зөв байранд байх магадлал нь тэнцүү байна.

n нь тэгш, сондгой байхаас хамаарч сүүлийн гишүүний өмнө + эсвэл − тэмдэг тавина. Ялангуяа n = 5-ын хувьд энэ магадлал тэнцүү байна

p5 = 1 - 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0.6333. . .

n нь хязгааргүйд ойртох тусам илэрхийлэл болохыг бид VIII бүлэгт харах болно

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ±n!

1 e хязгаар руу чиглэдэг бөгөөд утга нь аравтын таван орон хүртэл,

0.36788-тай тэнцүү. Томъёо (5)-аас pn = 1 − Sn гэдэг нь тодорхой байгаа тул n → ∞ гэж гарна.

pn → 1 - e ≈ 0.63212.

Трансцендент тоо

ямар ч алгебрийн тэгшитгэлийг хангаагүй тоо (бодит эсвэл зохиомол) (Харна уу. Алгебрийн тэгшитгэл) бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Тиймээс тооны тоонууд нь алгебрийн тооноос ялгаатай байдаг (Харна уу. Алгебрийн тоо). Т.х-ийн оршин тогтнолыг анх Ж. Лиувилл(1844). Лиувиллийн эхлэлийн цэг нь түүний теорем байсан бөгөөд үүний дагуу өгөгдсөн иррационал алгебрийн тоонд өгөгдсөн хуваарьтай рационал бутархайг ойртуулах дараалал нь дур зоргоороо өндөр байж болохгүй. Тухайлбал, хэрэв алгебрийн тоо Аградусын бууруулж болохгүй алгебрийн тэгшитгэлийг хангана nбүхэл тооны коэффициенттэй бол ямар ч рационал тооны хувьд c зөвхөн хамаарна α ). Иймд хэрэв өгөгдсөн иррационал α тооны хувьд өгөгдсөн тэгш бус байдлыг хангахгүй хязгааргүй оновчтой ойролцоолсон багцыг зааж өгч болно. -тайТэгээд n(бүх ойролцоо тооцоололд адилхан), тэгвэл α Ийм тооны жишээ нь T. h.

Т.ч байгаагийн өөр нэг нотлох баримтыг Г. Кантор(1874), бүх алгебрийн тоонуудын багцыг тоолох боломжтой гэдгийг тэмдэглэв (өөрөөр хэлбэл бүх алгебрийн тоог дахин дугаарлаж болно; үзнэ үү. Олонлогын онол), бүх бодит тоонуудын багц тоолж баршгүй.

Үүнээс үзэхэд тооны тооны багц нь тоолж баршгүй бөгөөд цаашлаад тооны тоо нь бүх тооны багцын дийлэнх хэсгийг бүрдүүлдэг. Үнэмлэхүй тооны онолын хамгийн чухал ажил бол аргументийн алгебрийн утгуудын тодорхой арифметик болон аналитик шинж чанартай аналитик функцүүдийн утгууд нь үнэн тоо эсэхийг тодорхойлох явдал юм. Энэ төрлийн асуудлууд нь орчин үеийн математикийн хамгийн хэцүү асуудлуудын нэг юм. 1873 онд Ш.Эрмит гэдгийг нотолсон

Неперово дугаар 1882 онд Германы математикч Ф.Линдеманн илүү ерөнхий үр дүнг олж авсан: хэрэв α нь алгебрийн тоо юм болα - T. h. Lipdemann-ийн үр дүнг Германы математикч К. Сигель (1930) ихээхэн ерөнхийлсөн бөгөөд жишээлбэл, аргументийн алгебрийн утгуудын хувьд цилиндр функцүүдийн утгыг давж гарахыг нотолсон. 1900 онд Парист болсон математикийн их хурал дээр Д.Хилберт математикийн шийдэгдээгүй 23 асуудлын дотроос дараахь зүйлийг онцлон тэмдэглэжээ: трансцендент тоо юм. α β , Хаана α Тэгээд β - алгебрийн тоо, ба β - иррационал тоо, ялангуяа e π трансцендентал тоо (хэлбэрийн тоонуудыг давах асуудал) α β Анх хувийн хэлбэрээр тайзнаа тавьсан Л. Эйлером, 1744). Энэ асуудлын бүрэн шийдлийг (нааштай утгаараа) зөвхөн 1934 онд А.О. Гельфонду. Гельфондын нээлтээс харахад натурал тооны бүх аравтын логарифмууд (өөрөөр хэлбэл "хүснэгтийн логарифм") бүхэл тоонууд байдаг бөгөөд тооны онолын аргуудыг бүхэл тоон дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Лит.:Гельфонд А.О., Трансцендентал ба алгебрийн тоо, М., 1952 он.

Том Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдээс "Трансцендент тоо" гэж юу болохыг харна уу.

Бүхэл тоон коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийг хангахгүй тоо. Трансцендент тоонууд нь: тоо??3.14159...; нэгээр илэрхийлэгдээгүй бүхэл тооны аравтын логарифм, дараа нь тэг; тоо e=2.71828... болон бусад... Том Нэвтэрхий толь бичиг

- (Латин transcendere-аас давах, давах) нь алгебрийн бус бодит буюу нийлмэл тоо, өөрөөр хэлбэл бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс болж чадахгүй тоо юм. Агуулга 1 Properties 2 ... ... Википедиа

Бүхэл тоон коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийг хангахгүй тоо. Трансцендент тоонууд нь: π тоо = 3.14159...; нэгээр илэрхийлэгдээгүй бүхэл тооны аравтын логарифм, дараа нь тэг; тоо e = 2.71828... гэх мэт... Нэвтэрхий толь бичиг

Ямар ч алгебрыг хангахгүй тоо. бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэл. Үүнд: тоо PI = 3.14159...; нэгээр илэрхийлэгдээгүй бүхэл тооны аравтын логарифм, дараа нь тэг; тоо e = 2.71828... гэх мэт... Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг

Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс биш тоо. Ийм тоонуудын тодорхойлолтын талбар нь бодит, комплекс, радитик тоонуудын тэг юм. Жинхэнэ Т.-ийн хэсгүүдийн оршин тогтнол, тодорхой бүтцийг Ж.Лиувилл нотолсон... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Алгебрийн бус тэгшитгэл. Ихэвчлэн эдгээр нь экспоненциал, логарифм, тригонометр, урвуу тригонометрийн функцуудыг агуулсан тэгшитгэлүүд юм, жишээлбэл: Илүү хатуу тодорхойлолт нь: Трансцендент тэгшитгэл нь тэгшитгэл юм ... Wikipedia

Ойролцоогоор 2.718-тай тэнцэх тоо нь математикт ихэвчлэн олддог ба байгалийн шинжлэх ухаан. Жишээлбэл, цацраг идэвхт бодис t хугацааны дараа задрахад тухайн бодисын анхны хэмжээнээс e kt-тэй тэнцэх хэсэг үлдэнэ, k нь тоо,... ... Коллиерийн нэвтэрхий толь бичиг

E нь математикийн тогтмол, натурал логарифмын суурь, иррационал ба трансцендентал тоо юм. Заримдаа e тоог Эйлерийн тоо (эхний төрлийн Эйлерийн тоо гэж нэрлэгдэхгүй) эсвэл Напиерийн тоо гэж нэрлэдэг. Латин жижиг “e” үсгээр тэмдэглэсэн.... ... Википедиа

E нь математикийн тогтмол, натурал логарифмын суурь, иррационал ба трансцендентал тоо юм. Заримдаа e тоог Эйлерийн тоо (эхний төрлийн Эйлерийн тоо гэж нэрлэгдэхгүй) эсвэл Напиерийн тоо гэж нэрлэдэг. Латин жижиг “e” үсгээр тэмдэглэсэн.... ... Википедиа

4.2. Алгебрийн болон трансцендент тоо

Бодит тоог заримдаа алгебрийн болон трансцендентал гэж хуваадаг.

Алгебрийн тоонууд нь бүхэл тооны коэффициент бүхий алгебрийн олон гишүүнтүүдийн үндэс болох тоонууд юм, жишээлбэл, 4, . Бусад бүх (алгебрийн бус) тоонууд трансцендент гэж тооцогддог. Рационал тоо p/q бүр нь qx -p бүхэл тооны коэффициент бүхий нэгдүгээр зэргийн харгалзах олон гишүүнтийн үндэс учир бүх трансцендентал тоо иррациональ байна.

Онцолж хэлье онцлог шинж чанарууд(натурал, оновчтой, бодит) тоонууд: тэд зөвхөн нэг шинж чанарыг загварчлах болно - тоо хэмжээ; тэдгээр нь нэг хэмжээст бөгөөд бүгд координатын тэнхлэг гэж нэрлэгддэг нэг шулуун шугамын цэгүүдээр дүрслэгддэг.

5. Нарийн төвөгтэй тоо

5.1. Төсөөллийн тоо

1545 онд Италийн эрдэмтэн Карданогийн нээсэн шинэ шинж чанартай тоонууд үндэслэлгүй тооноос ч хачирхалтай байв. Бодит тооны олонлогт шийдэлгүй тэгшитгэлийн систем нь , хэлбэрийн шийдтэй болохыг тэрээр харуулсан. Та энгийн алгебрийн дүрмийн дагуу ийм илэрхийлэл дээр ажиллахыг зөвшөөрч, · = - гэж үзэх хэрэгтэй.

Кардано ийм хэмжигдэхүүнийг "цэвэр сөрөг", тэр ч байтугай "софист сөрөг" гэж нэрлэж, ашиггүй гэж үзэж, ашиглахгүй байхыг хичээдэг.

Удаан хугацааны туршид эдгээр тоог боломжгүй, байхгүй, төсөөлөл гэж үздэг. Декарт тэднийг төсөөлөл гэж нэрлэсэн бол Лейбниц нь "үзэл бодлын ертөнцөөс гарсан галзуу хүн, орших ба эс оршихуйн хооронд орших нэгдэл" гэж нэрлэжээ.

Үнэн хэрэгтээ ийм тоонуудын тусламжтайгаар аливаа хэмжигдэхүүнийг хэмжих үр дүн эсвэл ямар нэгэн хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлтийг илэрхийлэх боломжгүй юм.

Координатын тэнхлэгт төсөөлөгдөж буй тоонуудын газар байгаагүй. Харин координатын тэнхлэгийн эерэг хэсэгт байгаа бодит b тоог аваад үржүүлбэл хаана байрлах нь тодорхойгүй төсөөллийн b тоо гарч ирдгийг эрдэмтэд анзаарчээ. Гэхдээ энэ тоог дахин үржүүлбэл координатын тэнхлэгийн сөрөг хэсэгт -b, өөрөөр хэлбэл анхны тоог авна. Тиймээс, хоёр үржүүлснээр бид b тоог эерэгээс хасах руу шидсэн бөгөөд яг энэ шидэлтийн дундуур тоо нь төсөөлөлтэй байсан. Бодит координатын тэнхлэгийн дунд перпендикуляр байгаа төсөөллийн координатын тэнхлэг дээрх цэгүүд дээрх төсөөллийн тоонуудын байрыг ингэж олсон. Төсөөлөл болон бодит тэнхлэгүүдийн хоорондох хавтгайн цэгүүд нь Карданогийн олсон тоог илэрхийлдэг. ерөнхий үзэл a + b·i нь бодит а болон төсөөллийн b·i тоог нэг цогцолбор (бүрэлдэхүүн) -д агуулж байгаа тул тэдгээрийг комплекс тоо гэж нэрлэдэг.

Энэ нь тоог нэгтгэх 4-р түвшин байв.

Төсөөллийн тоон дээр үйлдлийн техник аажмаар хөгжсөн. 17-17-р зууны зааг дээр Английн математикч А.Мойврын дараах томьёонд үндэслэн эхлээд сөрөг, дараа нь дурын комплекс тооноос n-р зэрэглэлийн язгуурын ерөнхий онолыг бүтээжээ.

Энэ томьёог ашиглан олон нумын косинус ба синусын томъёог гаргаж авах боломжтой байсан.

Леонхард Эйлер 1748 онд гайхалтай томьёог гаргажээ.

Энэ нь экспоненциал функцийг тригонометрийн функцтэй холбосон. Эйлерийн томьёог ашиглан e тоог дурын тоонд өсгөх боломжтой байв цогц зэрэг. Сонирхолтой нь жишээ нь... Та нийлмэл тоонуудын нүгэл ба cos-ийг олох, ийм тооны логарифмыг тооцоолох гэх мэт боломжтой.

Удаан хугацааны туршид математикчид хүртэл нийлмэл тоог нууцлаг гэж үздэг бөгөөд зөвхөн математикийн заль мэхэнд ашигладаг байв. Тиймээс Швейцарийн математикч Бернулли интегралыг шийдэхийн тулд нийлмэл тоог ашигласан. Хэсэг хугацааны дараа тэд төсөөллийн тоонуудын тусламжтайгаар шугаман тоонуудын шийдлийг илэрхийлж сурсан дифференциал тэгшитгэлтогтмол коэффициенттэй. Ийм тэгшитгэлийг жишээлбэл, хэлбэлзлийн онолд олдог материаллаг цэгтэсвэртэй орчинд.

Алгебрийн бүлгүүдматрицууд

Алгебрийн хаалтын системүүд

Алгебрийн үйлдлийн тухай ойлголтоос эхэлье. А нь U алгебрийн үйлдлүүдийн багц бүхий универсал алгебр байг. U-аас авсан U үйлдэл бүр тодорхой n, nN(0) ариттай байна. Аливаа натурал n тооны хувьд n-ary үйлдэл u нь Ан-аас А хүртэлх зураглал юм...

Анхны тоонуудын хүч

Харилцан анхны тоонууд нь 1-ээс их нэгжтэй ижил тооны нэгжгүй натурал эсвэл бүхэл тоо юм, эсхүл 1-ээс их нэгжтэй юм шиг санагддаг. Тиймээс 2 ба 3 -- маш энгийнээр, 2 ба 4 биш (2-т хуваагдсан)...

График ба тэдгээрийн үүрэг

Нэмэх, хасах (y = f(x) ±g(x)), үржүүлэх (y = f(x) g(x)), хуваах (y = f() гэх мэт функц, тэдгээрийн график дээрх алгебрийн үндсэн үйлдлүүдийг авч үзье. x) / g(x)). Энэ төрлийн графикийг бүтээхдээ та...

Цогцолбор тоо: тэдний өнгөрсөн ба одоо

Дундад зууны үеийн математик

Шаардлагатай нөхцөлФан Чен аргыг тэгшитгэлийн системд хэрэглэх нь сөрөг тоог нэвтрүүлэх явдал байв. Жишээлбэл, системийг шийдэхдээ бид хүснэгтийг авдаг. Дараагийн алхам: баруун талын гурав дахь баганын элементүүдийг эхнийхээс хасах ...

Тоон зүй

Пифагор тоо нь бодит зүйлийн хийсвэр орлуулагч төдийгүй орон зай, энерги, дуу чимээний чичиргээний шинж чанарыг тусгасан амьд биетүүд гэж үздэг. Тооны үндсэн шинжлэх ухаан, арифметик...

Тоон зүй

Домогт өгүүлснээр бөмбөрцгийн хөгжмийг үүсгэдэг гармоник тоонуудыг Пифагор нээсэн байдаг. Фламмарион энэ домгийг дахин өгүүлэхдээ: "Тэд нэгэн төмөр эргийн дэргэдүүр өнгөрөхдөө алхны дууг сонссон гэж тэд ярьдаг ...

Практик хэрэглээЧебышев-Гермит жинтэй квадрат томъёо

Бүх тэнхлэгт тэгш жингийн функцийг зааж өгье.

(1.1) Энэ функцийг дараалан ялгаж үзвэл (1.2) функцийн n дарааллын дериватив (1.1) нь энэ функцийн үржвэр болох n... зэрэгтэй олон гишүүнт үржвэр болохыг индукцийн аргаар батлахад хялбар байна.

-1 квадрат нь хүчингүй болсон шинэ тоог оруулъя. Бид энэ тоог I тэмдгээр тэмдэглэж, түүнийг төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Тиймээс (2.1) Дараа нь. (2.2) 1. Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр Хэрэв тийм бол (2.3) тоог комплекс тоо гэнэ...

Дахин тодорхойлогдсон тоон дараалал

Олон асуудлыг шийдвэрлэхдээ та байнга өгөгдсөн дарааллаар ажиллах шаардлагатай болдог ч Фибоначчийн дарааллаас ялгаатай нь түүний аналитик даалгаврыг олж авах нь үргэлж боломжгүй байдаг ...

Трансцендентал тэгшитгэлийн параметрүүд ба тэдгээрийн шийдлийн аргууд

Трансцендентал тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх (хувьсагчийн) трансцендентал функцуудыг (иррационал, логарифм, экспоненциал, тригонометр ба урвуу тригонометр) агуулсан тэгшитгэл юм, жишээлбэл тэгшитгэл...

Эрт дээр үед хүмүүс хайрга чулуугаар тоолоход туслахдаа хайрга чулуугаар хийж болох зөв дүрсийг анхаарч үздэг байв. Та зүгээр л хайрга чулууг дараалан тавьж болно: нэг, хоёр, гурав. Тэгш өнцөгт үүсгэхийн тулд тэдгээрийг хоёр эгнээнд оруулбал ...

Трансцендентал тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх (хувьсагчийн) трансцендентал функцуудыг (иррационал, логарифм, экспоненциал, тригонометр ба урвуу тригонометр) агуулсан тэгшитгэл юм, жишээлбэл тэгшитгэл...

Заримдаа төгс тоонуудыг ээлтэй тоонуудын онцгой тохиолдол гэж үздэг: төгс тоо бүр өөртөө ээлтэй байдаг. Алдарт философич, математикч Герагийн Никомах: “Төгс тоо бол сайхан байдаг.

Нийгмийн үйл явцын фрактал шинж чанарууд

Геометрийн фракталуудстатик тоонууд юм. Үүнийг анхаарч үзэх шаардлагагүй бол энэ аргыг нэлээд хүлээн зөвшөөрнө байгалийн үзэгдлүүдурсах усны урсгал, бужигнасан утаа шиг...