Хөрөнгийн вектор орон зайн тухай ойлголт. Шугаман вектор орон зай: тодорхойлолт, шинж чанар. Вектор шугаман орон зай

P талбар байг. Элементүүд a, b, ... О Рбид дуудна скаляр.

Тодорхойлолт 1.Анги Вдурын шинж чанартай объект (элементүүд) , , , ... гэж нэрлэдэг Талбай дээрх вектор орон зай P, мөн V ангийн элементүүдийг дууддаг векторууд, хэрэв V нь “+” үйлдлээр хаагдсан бол P-ээс скаляраар үржүүлэх үйлдлээр (жишээ нь аль ч , ОV +О) В;"aО Р aОV) бөгөөд дараах нөхцөлүүд хангагдсан байна.

А 1: алгебр - Абелийн бүлэг;

A 2: дурын a, bОР, ямар ч ОV хувьд a(b)=(ab) нь ерөнхий ассоциатив хууль;

A 3: дурын a, bОР, дурын ОV хувьд, (a+b)= a+ b;

A 4: P-ээс дурын а-д, V-ээс дурын хувьд, a(+) = a+a (ерөнхий тархалтын хуулиуд);

A 5: V-ийн аль нэгний хувьд 1 = хангагдсан, 1 нь P талбайн нэгж - нэгдмэл байдлын шинж чанар юм.

Бид P талбарын элементүүдийг скаляр, олонлогийн элементүүдийг V вектор гэж нэрлэнэ.

Сэтгэгдэл.Векторыг скаляраар үржүүлэх нь P´V®V зураглал тул V олонлог дээрх хоёртын үйлдэл биш юм.

Вектор орон зайн жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Тэг (тэг хэмжээст) вектор орон зай - орон зай V 0 =() - нэг тэг вектороос бүрдэнэ.

Мөн ямар ч aОР a=. Вектор орон зайн аксиомуудын хангалтыг шалгацгаая.

Тэг векторын орон зай нь үндсэндээ P талбараас хамаардаг болохыг анхаарна уу. Тиймээс талбар дээрх тэг хэмжээст орон зай рационал тооба бодит тоонуудын талбар нь нэг тэг вектороос бүрдэх боловч өөр өөр гэж тооцогддог.

Жишээ 2. P талбар нь P талбар дээрх вектор орон зай юм. V=P гэж үзье. Вектор орон зайн аксиомуудын хангалтыг шалгацгаая. P нь талбар учраас P нь нэмэлт Абелийн бүлэг бөгөөд A 1-ийг агуулна. P дахь үржүүлгийн ханамжийн улмаас A2 нь хангагдсан байна. А 3 ба А 4 аксиомууд нь нэмэхтэй холбоотой үржүүлгийн тархалтын P-д хэрэгжих боломжоос шалтгаалан хангагдсан. P талбарт нэгж элемент 1 байгаа тул нэгдмэл байдлын шинж чанар А 5 хангагдана. Тиймээс P талбар нь P талбар дээрх вектор орон зай юм.

Жишээ 3.Арифметик n хэмжээст вектор орон зай.

P талбар байг. V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n) олонлогийг авч үзье. Дараах дүрмийн дагуу вектор нэмэх, векторыг скаляраар үржүүлэх үйлдлүүдийг V олонлог дээр танилцуулъя.

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n +bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

V олонлогийн элементүүдийг дуудах болно n хэмжээст векторууд. Хоёр n хэмжээст векторын харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүд (координатууд) тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү гэнэ. V нь P талбар дээрх вектор орон зай гэдгийг харуулъя. Вектор нэмэх, векторыг скаляраар үржүүлэх үйлдлүүдийн тодорхойлолтоос үзэхэд эдгээр үйлдлүүдийн дор V хаалттай байна. V-ийн элементүүдийг нэмэх нь P талбайн элементүүдийг нэмэхэд буурдаг ба P нь нэмэлт Абелийн бүлэг тул V нь нэмэлт Абелийн бүлэг юм. Түүнчлэн, =, энд 0 нь P талбарын тэг, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Тиймээс A 1 хангагдсан байна. V-ийн элементийг P-ийн элементээр үржүүлэх нь P талбарын элементүүдийг үржүүлэхэд хүргэдэг тул:

A 2 нь P-ээр үржүүлгийн ассоциатив байдлаас шалтгаалан хангагдсан;

A 3 ба A 4 нь P-ээр нэмэхтэй холбоотой үржүүлгийн тархалтын улмаас хангагдсан;

1 Î P нь P-ээр үржүүлэхэд төвийг сахисан элемент учраас 5 нь хангагдсан байна.

Тодорхойлолт 2.(1) ба (2) томъёогоор тодорхойлогдсон үйлдлүүдтэй V= P n олонлогийг P талбар дээрх арифметик n хэмжээст вектор орон зай гэнэ.

n хэмжээст векторуудын тухай өгүүлэлд бид n хэмжээст векторуудын багцаар үүсгэгдсэн шугаман орон зайн тухай ойлголттой болсон. Одоо бид вектор орон зайн хэмжээс, суурь зэрэг адил чухал ойлголтуудыг авч үзэх хэрэгтэй. Эдгээр нь векторуудын шугаман бие даасан системийн тухай ойлголттой шууд холбоотой тул энэ сэдвийн үндсийг өөртөө сануулахыг зөвлөж байна.

Зарим тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Вектор орон зайн хэмжээс– шугаман бусын хамгийн их тоонд тохирох тоо хамааралтай векторуудэнэ орон зайд.

Тодорхойлолт 2

Вектор орон зайн суурь– шугаман бие даасан векторуудын багц, дараалсан ба орон зайн хэмжээстэй тэнцүү тоо.

Тодорхой n -векторын орон зайг авч үзье. Түүний хэмжээ нь n-тэй тэнцүү байна. n нэгж векторуудын системийг авч үзье.

e (1) = (1, 0, . . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, .. , 1)

Бид эдгээр векторуудыг А матрицын бүрэлдэхүүн хэсэг болгон ашигладаг: энэ нь n-ээс n хэмжээтэй нэгж байх болно. Энэ матрицын зэрэглэл нь n байна. Иймд вектор систем e (1) , e (2) , . . . , e(n) нь шугаман хамааралгүй. Энэ тохиолдолд шугаман бие даасан байдлыг зөрчихгүйгээр системд нэг вектор нэмэх боломжгүй юм.

Систем дэх векторын тоо n тул n хэмжээст векторуудын орон зайн хэмжээ n, нэгж векторууд нь e (1), e (2), . . . , e (n) нь заасан зайны суурь болно.

Үр дүнгийн тодорхойлолтоос бид дүгнэж болно: векторын тоо n-ээс бага n хэмжээст векторуудын аливаа систем нь орон зайн суурь биш юм.

Хэрэв бид эхний болон хоёр дахь векторуудыг сольвол e (2) , e (1) , векторуудын систем гарч ирнэ. . . , e (n) . Энэ нь мөн n хэмжээст вектор орон зайн суурь болно. Үүссэн системийн векторуудыг мөр болгон авч матриц үүсгэе. Матрицыг таних матрицаас эхний хоёр мөрийг сольж авч болно, түүний зэрэглэл нь n байна. Систем e (2) , e (1) , . . . , e(n) нь шугаман хамааралгүй бөгөөд n хэмжээст вектор орон зайн суурь болно.

Анхны систем дэх бусад векторуудыг дахин зохион байгуулснаар бид өөр үндэслэлийг олж авна.

Бид нэгдмэл бус векторуудын шугаман бие даасан системийг авч болох ба энэ нь мөн n хэмжээст вектор орон зайн суурийг төлөөлөх болно.

Тодорхойлолт 3

n хэмжигдэхүүнтэй вектор орон зай нь n тооны n хэмжээст векторуудын шугаман бие даасан системтэй адил олон суурьтай байна.

Хавтгай нь хоёр хэмжээст орон зай бөгөөд түүний үндэс нь хоёр коллинеар бус вектор байх болно. Гурван хэмжээст орон зайн суурь нь дурын гурван хосгүй вектор байх болно.

Энэ онолын хэрэглээг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл:векторууд

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) в = (3 , - 1 , - 2)

Заасан векторууд нь гурван хэмжээст вектор орон зайн суурь мөн эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд шугаман хамаарлын векторуудын өгөгдсөн системийг судална. Мөрүүд нь векторуудын координат болох матрицыг бүтээцгээе. Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлъё.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Иймээс асуудлын нөхцлөөр тодорхойлсон векторууд нь шугаман бие даасан бөгөөд тэдгээрийн тоо нь вектор орон зайн хэмжээстэй тэнцүү - тэдгээр нь векторын орон зайн суурь болдог.

Хариулт:заасан векторууд нь векторын орон зайн суурь болно.

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл:векторууд

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) в = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Заасан векторын систем нь гурван хэмжээст орон зайн суурь болж чадах эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

Асуудлын илэрхийлэлд заасан векторуудын систем нь шугаман хамааралтай, учир нь шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо нь 3. Тиймээс заасан векторуудын систем нь гурван хэмжээст вектор орон зайд суурь болж чадахгүй. Гэхдээ анхны системийн дэд систем a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) нь суурь гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хариулт:заасан векторын систем нь суурь биш юм.

Жишээ 3

Анхны өгөгдөл:векторууд

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) в = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Тэд дөрвөн хэмжээст орон зайн суурь болж чадах уу?

Шийдэл

Өгөгдсөн векторуудын координатыг мөр болгон ашиглан матриц үүсгэе

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Гауссын аргыг ашиглан бид матрицын зэрэглэлийг тодорхойлно.

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Үүний үр дүнд өгөгдсөн векторуудын систем нь шугаман бие даасан бөгөөд тэдгээрийн тоо нь векторын орон зайн хэмжээтэй тэнцүү байдаг - тэдгээр нь дөрвөн хэмжээст вектор орон зайн үндэс болдог.

Хариулт:өгөгдсөн векторууд нь дөрвөн хэмжээст орон зайн суурь болно.

Жишээ 4

Анхны өгөгдөл:векторууд

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Эдгээр нь 4-р хэмжээсийн орон зайн үндэс суурийг бүрдүүлдэг үү?

Шийдэл

Анхны векторуудын систем нь шугаман бие даасан боловч түүний доторх векторуудын тоо нь дөрвөн хэмжээст орон зайн суурь болоход хангалтгүй юм.

Хариулт:үгүй, тэд тэгдэггүй.

Векторыг суурь болгон задлах

Дурын векторууд e (1) , e (2) , . . . , e (n) нь n хэмжээст вектор орон зайн суурь болно. Тэдэнд тодорхой n хэмжээст вектор x → нэмье: үүссэн векторуудын систем шугаман хамааралтай болно. Шугаман хараат байдлын шинж чанарууд нь ийм системийн ядаж нэг векторыг бусдаар нь шугаман байдлаар илэрхийлж болно гэдгийг харуулж байна. Энэ мэдэгдлийг дахин томъёолсноор бид шугаман хамааралтай системийн ядаж нэг векторыг үлдсэн векторууд болгон өргөжүүлж болно гэж хэлж болно.

Тиймээс бид хамгийн чухал теоремыг томъёолоход хүрэв.

Тодорхойлолт 4

n хэмжээст вектор орон зайн дурын векторыг суурь болгон өвөрмөц байдлаар задалж болно.

Нотлох баримт 1

Энэ теоремыг баталъя:

n хэмжээст вектор орон зайн суурийг тавьцгаая - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Үүн дээр n хэмжээст x → векторыг нэмж системийг шугаман хамааралтай болгоё. Энэ векторыг анхны векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлж болно e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , энд x 1 , x 2 , . . . , x n - зарим тоо.

Одоо бид ийм задрал нь өвөрмөц гэдгийг баталж байна. Энэ нь тийм биш бөгөөд өөр ижил төстэй задрал байдаг гэж үзье.

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , энд x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - зарим тоо.

Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус хасъя x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Бид авах:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Суурь векторуудын систем e (1) , e (2) , . . . , e(n) нь шугаман хамааралгүй; векторуудын системийн шугаман бие даасан байдлын тодорхойлолтоор дээрх тэгш байдал нь зөвхөн бүх коэффициентүүд (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Үүнээс шударга байх болно: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Энэ нь векторыг суурь болгон задлах цорын ганц сонголтыг баталж байна.

Энэ тохиолдолд коэффициентууд x 1, x 2, . . . , x n -ийг e (1) , e (2) , суурь дахь х → векторын координат гэнэ. . . , e (n) .

Батлагдсан онол нь “өгөгдсөн n хэмжээст вектор x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)” гэсэн илэрхийллийг тодорхой харуулж байна: вектор х → n хэмжээст векторын орон зайг авч үзэж, координатыг нь a-д зааж өгсөн болно. тодорхой үндэслэл. Мөн n хэмжээст орон зайн өөр суурь дахь ижил вектор өөр өөр координаттай байх нь тодорхой байна.

Дараах жишээг авч үзье: n хэмжээст вектор орон зайн зарим суурь дээр шугаман бие даасан n векторын систем өгөгдсөн гэж бодъё.

мөн x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) вектор өгөгдсөн.

векторууд e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) энэ тохиолдолд мөн энэ вектор орон зайн суурь болно.

e 1 (1) , e 2 (2) , үндсэн дээр х → векторын координатыг тодорхойлох шаардлагатай гэж үзье. . . , e n (n) , гэж тэмдэглэсэн x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

вектор x → дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Энэ илэрхийллийг координат хэлбэрээр бичье.

(x 1 , x 2 , . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , e n (1) + x ~ 2 e n (2) + .

Үүссэн тэгш байдал нь n шугаман системтэй тэнцүү байна алгебрийн илэрхийллүүд n үл мэдэгдэх шугаман хувьсагчтай x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Энэ системийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна.

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Үүнийг А матриц гэж үзье, түүний баганууд нь e 1 (1), e 2 (2), векторуудын шугаман бие даасан системийн векторууд байна. . . , e n (n) . Матрицын зэрэглэл нь n, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна. Энэ нь тэгшитгэлийн систем нь ямар ч тохиромжтой аргаар тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй болохыг харуулж байна: жишээлбэл, Крамерын арга эсвэл матрицын арга. Ингэснээр бид x ~ 1, x ~ 2, координатуудыг тодорхойлж чадна. . . , x ~ n вектор x → суурь дээр e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Тодорхой жишээн дээр авч үзсэн онолыг хэрэгжүүлье.

Жишээ 6

Анхны өгөгдөл:векторууд нь гурван хэмжээст орон зайн үндсэн дээр тодорхойлогддог

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1), e (2), e (3) векторуудын систем нь мөн өгөгдсөн орон зайн суурь болж байгааг батлах, мөн өгөгдсөн үндэслэлээр х векторын координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

e (1), e (2), e (3) векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй бол гурван хэмжээст орон зайн суурь болно. Мөр нь өгөгдсөн e (1), e (2), e (3) векторууд болох А матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох замаар энэ боломжийг олж мэдье.

Бид Гауссын аргыг ашигладаг:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Тиймээс e (1), e (2), e (3) векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болно.

Х → вектор нь суурьт x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 координаттай байг. Эдгээр координатуудын хоорондын хамаарлыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Асуудлын нөхцлийн дагуу утгуудыг хэрэглэцгээе.

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдье.

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Тиймээс e (1), e (2), e (3) суурь дахь х → вектор нь x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 координатуудтай байна.

Хариулт: x = (1 , 1 , 1)

Суурийн хоорондын хамаарал

n хэмжээст вектор орон зайн зарим суурь дээр хоёр шугаман бие даасан векторын систем өгөгдсөн гэж үзье.

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , .. , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , ... , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Эдгээр системүүд нь мөн өгөгдсөн орон зайн суурь юм.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , суурь дахь в (1) векторын координатууд. . . , e (3) , тэгвэл координатын хамаарлыг шугаман тэгшитгэлийн системээр өгнө.

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + в ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Системийг матриц хэлбэрээр дараах байдлаар илэрхийлж болно.

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

c (2) векторын хувьд ижил төстэй оруулга хийцгээе.

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Матрицын тэгшитгэлийг нэг илэрхийлэл болгон нэгтгэе.

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Энэ нь хоёр өөр суурийн векторуудын хоорондын холболтыг тодорхойлох болно.

Үүнтэй ижил зарчмыг ашиглан бүх суурь векторуудыг e(1), e(2), . . . , e (3) үндсэн дээр c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Дараахь тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт 5

Матриц c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) нь e (1) , e (2) , суурийн шилжилтийн матриц юм. . . , e (3)

суурь руу c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Тодорхойлолт 6

Матриц e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) нь c (1) , c (2) , , суурийн шилжилтийн матриц юм. . . , c(n)

суурь руу e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Эдгээр тэгш байдлаас харахад энэ нь тодорхой байна

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

тэдгээр. шилжилтийн матрицууд харилцан хамааралтай.

Тодорхой жишээн дээр онолыг авч үзье.

Жишээ 7

Анхны өгөгдөл:баазаас шилжилтийн матрицыг олох шаардлагатай

c (1) = (1 , 2 , 1) в (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Мөн өгөгдсөн үндэслэлд дурын х → векторын координатуудын хоорондын хамаарлыг зааж өгөх шаардлагатай.

Шийдэл

1. Шилжилтийн матрицыг T болговол тэгшитгэл үнэн болно.

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = Т 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлнэ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

мөн бид авах:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Шилжилтийн матрицыг тодорхойлно уу:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. x → векторын координатуудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлъё:

Үндсэн дээр c (1) , c (2) , . . . , c (n) вектор x → координатууд x 1 , x 2 , x 3 , тэгвэл:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

ба үндсэн дээр e (1) , e (2) , . . . , e (3) нь x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 координаттай, тэгвэл:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Учир нь Хэрэв эдгээр тэгшитгэлийн зүүн талууд тэнцүү бол бид баруун талыг мөн адил тэнцүүлж болно.

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Баруун талын хоёр талыг үржүүлнэ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

мөн бид авах:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Нөгөө талд

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Сүүлийн тэгшитгэлүүд нь хоёр суурийн х → векторын координатуудын хоорондын хамаарлыг харуулж байна.

Хариулт:шилжилтийн матриц

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Өгөгдсөн суурийн х → векторын координатууд нь дараах хамаарлаар холбогдоно.

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Вектор(эсвэл шугаман) зай- скаляр - өөр хоорондоо нэмэх, тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг тодорхойлсон вектор гэж нэрлэгддэг элементүүдийн багц болох математикийн бүтэц.

1) X+y=y+x ( нэмэх солих чадвар)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( нэмэлт холбоо)

3) x+0=x байх 0єV элемент байна

4) дурын x єV хувьд x+(-x)=0 байх x єV элемент байна уу? вектор гэж нэрлэдэг, эсрэгвектор х.

5) α(βx)= (αβ)x ( скаляраар үржүүлэхийн холбоо)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) R 3 зай дахь чөлөөт векторууд

2) nxm хэмжээсийн матрицууд

3) Зэрэг нь n-ээс хэтрэхгүй бүх олон гишүүнтүүдийн олонлог

4) Шугаман орон зайн жишээ нь:

5) - бодит тоонуудын орон зай.

6) - хавтгай дээрх геометрийн векторуудын багц.

7) - тогтмол хэмжээст матрицын орон зай.

8) - нэгэн төрлийн шугаман системийн шийдлийн орон зай гэх мэт.

Үндсэн тодорхойлолтууд

N хэмжээст вектор n тооны дараалал гэж нэрлэдэг. Эдгээр тоонуудыг дууддаг координатуудвектор. Вектор координатын тоог n гэж нэрлэдэг хэмжээсвектор.

Та зөвхөн ижил хэмжээтэй векторуудыг нэмж болно

Векторууд тэнцүү байна, хэрэв тэдгээр нь ижил хэмжээстэй бөгөөд тэдгээрийн харгалзах координатууд тэнцүү бол.

Ямар ч n хэмжээст А вектор байж болно дурын тоогоор үржүүлнэλ ба түүний бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлнэ.
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Ижил хэмжээст хоёр векторыг нэмж болох ба тэдгээрийн харгалзах координатуудыг нэмнэ:

Юу гэж нэрлэдэг вэ шугаман хослолвекторууд?

a1,a2,…,an векторуудын шугаман хослолхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг:

Хаана a1,a2,…,an- дурын тоо

Ямар векторуудыг шугаман хамааралтай (бие даасан) гэж нэрлэдэг вэ?

Тэг биш векторууд a1,a2,…,anгэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв эдгээр векторуудын энгийн бус шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү бол:

Тэг биш векторууд a1,a2,…,anгэж нэрлэдэг шугаман бие даасан, эдгээр векторуудын өчүүхэн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү биш л бол.

Шугаман бие даасан векторуудын жишээ

Векторуудын шугаман хамаарлын асуудлыг хэрхэн шийдсэн бэ?

Теорем 1. Векторуудын систем нь шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээрийн ядаж нэгийг нь бусдын шугаман хослолоор дүрслэх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Теорем 2. n хэмжээст орон зайд n-ээс дээш вектор агуулсан аливаа систем шугаман хамааралтай байдаг.

Теорем 3.Хэрэв векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогч тэгээс ялгаатай бол векторуудын систем шугаман бие даасан байна. Хэрэв эдгээр теоремууд нь векторуудын шугаман хамаарал эсвэл бие даасан байдлын асуултанд хариулж чадахгүй бол -ийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх эсвэл векторын системийн зэрэглэлийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шугаман хамааралтай хоёр векторын координат ямар хамааралтай вэ?

Шугаман хамааралтай хоёр векторын жишээг өг

: Ийм тоо байгаа үед вектор ба коллинеар Энэ тэгш байдал нь:
.

Шугаман орон зайн суурийн тодорхойлолт

n хэмжээст орон зайд шугаман бие даасан n элементийн цуглуулгыг энэ орон зайн суурь гэнэ.

Шугаман орон зайн хэмжээг тодорхойлох.

Тодорхойлолт 3.1.Шугаман орон зай Рагуулж байвал n хэмжээст гэж нэрлэдэг nшугаман бие даасан элементүүд ба дурын ( n+1) элементүүд аль хэдийн шугаман хамааралтай байна. Энэ тохиолдолд тоо nорон зайн хэмжээс гэж нэрлэдэг Р.

Орон зайн хэмжээсийг бүдэг тэмдэгээр тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт 3.2.Шугаман орон зай Рхэрэв шугаман бие даасан хэдэн ч элемент агуулж байвал хязгааргүй хэмжээст гэж нэрлэдэг.

Теорем 3.4.Болъё шугаман орон зай Р-аас бүрдсэн суурьтай nэлементүүд. Дараа нь хэмжээс Ртэнцүү байна n(бүдэг R=n).

n хэмжээст орон зайн тухай ойлголт

Шугаман V орон зайд шугаман хамааралгүй n элементийн систем агуулагдаж байвал ямар ч n+1 элемент нь шугаман хамааралтай байвал n хэмжээст орон зай гэнэ.

Хуучин ба шинэ суурийн векторуудыг холбосон томьёо

Вектор (шугаман) орон зай нь тодорхой аксиомыг (шинж чанарыг) хангах вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг тодорхойлсон бодит бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй векторуудын (элементүүдийн) багц юм.

1) x+цагт=цагт+X(нэмэлтийн солигдох чадвар);

2)(X+цагт)+z=x+(y+z) (нэмэлтийн холбоо);

3) тэг вектор байна 0 (эсвэл тэг вектор) нөхцөлийг хангаж байна x+ 0 =х:ямар ч векторын хувьд x;

4) дурын векторын хувьд Xэсрэг вектор байна цагттиймэрхүү X+цагт = 0 ,

5) 1 х=X,

6) а(bx)=(ab)X(үржүүлэхийн холбоо);

7) (а+б)X=аа+bx(тоон хүчин зүйлтэй харьцуулахад хуваарилах шинж чанар);

8) а(X+цагт)=аа+ай(вектор үржүүлэгчтэй харьцуулахад хуваарилах шинж чанар).

P талбар дээрх шугаман (вектор) орон зай V(P) нь хоосон бус олонлог V. V олонлогийн элементүүдийг векторууд, P талбарын элементүүдийг скаляр гэж нэрлэдэг.

Хамгийн энгийн шинж чанарууд.

1. Вектор орон зай нь Абелийн бүлэг (бүлэг үйлдэл нь солигддог бүлэг. Абелийн бүлгүүдийн бүлгийн үйлдлийг ихэвчлэн “нэмэлт” гэж нэрлэдэг ба + тэмдгээр тэмдэглэдэг)

2. Төвийг сахисан элемент нь аливаа .

3. Аль ч элементийн хувьд эсрэг талын элемент нь бүлгийн шинж чанараас үүдэлтэй цорын ганц элемент юм.

4.(–1) дурын x є V хувьд x = – x.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) дурын α є P ба x є V хувьд.

Илэрхийлэл a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) векторуудын шугаман хослол гэж нэрлэдэг e 1 , e 2 ,..., e nмагадлал бүхий a 1, a 2,..., a n .Шугаман хослолыг (1) коэффициентүүдийн дор хаяж нэгийг нь утгагүй гэж нэрлэдэг a 1 , a 2 ,..., a nтэгээс ялгаатай. Векторууд e 1 , e 2 ,..., e nХэрэв тэг вектор болох жижиг бус хослол (1) байвал шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг. Үгүй бол (энэ нь зөвхөн векторуудын өчүүхэн хослол юм e 1 , e 2 ,..., e nтэг вектортой тэнцүү) векторууд e 1 , e 2 ,..., e nшугаман бие даасан гэж нэрлэдэг.

Орон зайн хэмжээс нь түүнд агуулагдах LZ векторуудын хамгийн их тоо юм.

Вектор орон зай n-хэмжээт гэж нэрлэдэг (эсвэл "хэмжээтэй n"), хэрэв байгаа бол nшугаман бие даасан элементүүд e 1 , e 2 ,..., e n ,болон аливаа n+ 1 элементүүд нь шугаман хамааралтай (ерөнхий нөхцөл B). Вектор орон зайямар ч байгалийн хувьд хязгааргүй хэмжээст гэж нэрлэдэг nбайдаг nшугаман бие даасан векторууд. Ямар ч nшугаман бие даасан n хэмжээст векторууд Вектор орон зайэнэ орон зайн үндэс суурийг бүрдүүлнэ. Хэрэв e 1 , e 2 ,..., e n- суурь Вектор орон зай, дараа нь дурын вектор XЭнэ орон зайг үндсэн векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно. x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
Үүний зэрэгцээ тоонууд a 1 , a 2, ..., a nвектор координат гэж нэрлэдэг Xэнэ үндсэн дээр.

1. Шугаман орон зайн тухай ойлголт

Тодорхойлолт 1.1. РОлон элементүүд x, y, z,

1. ... дараах гурван шаардлагыг хангасан тохиолдолд ямар ч шинж чанартай шугаман (эсвэл вектор) орон зай гэнэ. xЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг yТэгээд РГурав дахь элемент таарч байна zЭлементүүдийн нийлбэр гэж нэрлэгддэг энэ олонлогийн xЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг yболон томилогдсон z=x+y.
2. Аливаа элементийг дагаж мөрдөх дүрэм байдаг xТэгээд Рмөн хэн ч бодит тоо α элемент таарч байна wэлементийн бүтээгдэхүүн гэж нэрлэгддэг энэ олонлогийн xтоо бүрт α болон томилогдсон w=αxэсвэл w=xα.
3. Үзүүлсэн хоёр дүрэмд дараах найман аксиом хамаарна.
1. x+y=y+x(нийлбэрийн хувирах шинж чанар);
2. (x+y)+z=x+(y+z)(нийлбэрийн хосолсон шинж чанар);
3. 0 гэсэн тэг элемент байдаг x+0=xаливаа элементийн хувьд x.
4. аливаа элементийн хувьд xэсрэг элементийн элемент байдаг x"тиймэрхүү x+x"=0;
5. 1· x=xхэний ч төлөө x;
6. λ(μx)=(λμ)x(тоон хүчин зүйлийн хосолсон шинж чанар);
7. (λ+μ )x= λx+μx(тоон хүчин зүйлийн талаархи хуваарилах өмч);
8. λ(x+y)=λx+λy(элементүүдийн нийлбэртэй харьцуулахад хуваарилах шинж чанар).

Шугаман (вектор) орон зайн элементүүдийг вектор гэж нэрлэдэг.

2. Шугаман орон зайн суурь

Тодорхойлолт 2.1. РОрон зайн шугаман бие даасан элементүүдийн багц xэлемент бүрийн хувьд энэ орон зайн суурь гэж нэрлэдэг зайР бодит тоонууд байдаг

тэгш байдал хадгалагдана xТэгш байдлыг (2.1) элементийн тэлэлт гэж нэрлэдэг xсуурь ба тоонуудын дагуу элементийн координат гэж нэрлэдэг

(үндсэнтэй харьцуулахад). xАливаа элемент гэдгийг баталцгаая Р

шугаман орон зай x:

Өөр нэг задрал байх болтугай

(2.3)

(2.2)-аас (2.1) хасвал бид:

Суурь элементүүд нь шугаман хамааралгүй байдаг тул (2.3) хамаарлаас гарч байна РТиймээс шугаман орон зайн элемент бүр

өвөрмөц аргаар үндсэн дээр өргөжүүлж болно. РТеорем 2.2. РШугаман орон зайн дурын хоёр элементийг нэмэх үед xтэдгээрийн координатууд (ямар ч орон зайн суурьтай харьцуулахад). α ) нэмэх, мөн аливаа элементийг үржүүлэх үед xдурын дугаар руу α .

бүх координатууд

-ээр үржүүлсэн

Тодорхойлолт 1.1-ийн 1-8-р аксиомуудаас нотлох баримтууд гарч ирнэ. Р.

3. Шугаман орон зайн хэмжээс Рагуулж байвал n хэмжээст гэж нэрлэдэг nшугаман бие даасан элементүүд ба дурын ( nДурын бодит орон зайг авч үзье nТодорхойлолт 3.1. Р.

Орон зайн хэмжээсийг бүдэг тэмдэгээр тэмдэглэнэ.

Шугаман орон зай Рхэрэв шугаман бие даасан хэдэн ч элемент агуулж байвал хязгааргүй хэмжээст гэж нэрлэдэг.

+1) элементүүд аль хэдийн шугаман хамааралтай байна. Энэ тохиолдолд тоо Ророн зайн хэмжээс гэж нэрлэдэг n(бүдэг R=nТодорхойлолт 3.2. nШугаман орон зай

Теорем 3.3. РБолъё nхэмжээсийн шугаман орон зай юм n). Дараа нь ямар ч xЭнэ орон зайн шугаман бие даасан элементүүд нь түүний үндэс суурийг бүрдүүлдэг. РБаталгаа. Учир нь шугаман хамааралтай, i.e. тоонууд байдаг (бүгд тэгтэй тэнцүү биш) тэгэхээр тэгш байдал

(3.3)

Тэгш байдал (3.3)-аас харахад орон зайнаас дурын вектор гарч ирнэ Рэлемент болгон өргөжүүлж болох тул тэдгээр нь орон зайн суурь болдог Р. ■

Теорем 3.4. Р-аас бүрдсэн суурьтай nэлементүүд. Дараа нь хэмжээс РШугаман орон зайг зөвшөөр n(бүдэг R=n).

тэнцүү байна nБаталгаа. Багцыг нь тавь Рэлементүүд нь орон зайн суурь юм n. Үүнийг батлахад хангалттай +1 элемент

Энэ зай нь шугаман хамааралтай байна. Эдгээр элементүүдийг суурийн дагуу өргөжүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна. Хаана 11 а 12 , a ,...,а n+1,n

бодит тоо. Элементүүдийг оруулаарай

шугаман бие даасан. (3.4)-ийг матриц хэлбэрээр дахин бичье. Тэд шугаман бие даасан учраас матрицА урвуу матрицтай A -1.

(3.5) матрицын тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж авна. (3.9) тэгшитгэлээс харахад үүнийг векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлж болно . Тиймээс векторууд

шугаман хамааралтай. ■

4. Суурийг солих, координатыг хувиргах РСансарт оруул Анхны суурьтай хамт өөр нэг үндэс бий

. Энэ суурийн векторуудыг анхны суурийн векторуудын шугаман хослолоор дараах байдлаар илэрхийлж болно. МатрицП дуудсансуурь өөрчлөлтийн матриц .

дээр

Хариуд нь анхны суурийн векторуудыг шинийн векторуудаар дараах харьцаагаар илэрхийлнэ. (4.6)-аас дараах зүйл гарч байна QP=E , ХаанаЭ нь таних матриц ба матрицууд юм Q МатрицТэгээд

харилцан урвуу матрицууд.

Суурь өөрчлөгдөхөд векторуудын координат хэрхэн өөрчлөгдөхийг авч үзье. xВектор байг координат ба координаттай

(4.7)

. Энэ суурийн векторуудыг анхны суурийн векторуудын шугаман хослолоор дараах байдлаар илэрхийлж болно. , Дараа ньП П Ткоординатын хувиргах матриц . Үүнийг суурь өөрчлөлтийн матрицаар шилжүүлдэг. Урвуу матриц(P T) -1

хуучин координатуудын хувьд шинэ координатыг илэрхийлдэг. Зарим матрицын шилжүүлгийн урвуу матриц гэж нэрлэдэгэсрэг градиент

түүнтэй хамт.

5. Шугаман орон зайн изоморфизм РЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг Тодорхойлолт 5.1.Хоёр дурын бодит шугаман орон зай R"∈РХэрэв эдгээр орон зайн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харилцаж чадвал тэдгээрийг изоморф гэж нэрлэдэг. x, y∊Тодорхойлолт 5.1.хариулах x", y"∈Рүүний дагуу, дараа нь элемент x+y∈Тодорхойлолт 5.1.хариу үйлдэл үзүүлдэг элемент α x"+y" α x∈Рүүний дагуу, дараа нь элемент α x"∈Тодорхойлолт 5.1..

, ямар ч бодит РЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг Тодорхойлолт 5.1., элемент

Теорем 5.2. РЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг Тодорхойлолт 5.1.Хэрэв зай изоморф бол тэдгээр нь ижил хэмжээтэй байна. РБаталгаа. Шугаман зайг зөвшөөр изоморф бөгөөд элементүүдийг зөвшөөрнө зай элементүүд хариу үйлдэл үзүүлдэг зай R" тус тус. Элементүүдийг авч үзье Баталгаа. Шугаман зайг зөвшөөр R орон зайд y байх ба нийлбэр нь нийлбэртэй тохирч байна . Гэхдээ сүүлийнх нь элементүүдийн шугаман хамаарлыг илэрхийлдэг . Тиймээс шугаман бие даасан. Элементүүдийн шугаман хамаарлаас элементүүдийн шугаман хамаарлыг дагадаг . Тиймээс орон зайн хувьд шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо РЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг Тодорхойлолт 5.1.нэг ба ижил, өөрөөр хэлбэл. Эдгээр орон зай нь ижил хэмжээтэй байна. ■

Теорем 5.3. nДурын хоёр РЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг Тодорхойлолт 5.1.- хэмжээст бодит шугаман орон зай

изоморф байдаг. Ямар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг Баталгаа. Суурьуудыг сонгоцгооё РЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг Тодорхойлолт 5.1.орон зайн хувьд Тодорхойлолт 5.1.тус тус. Дараа нь R зайны элемент бүрийг үндсэн элементүүдийн шугаман хослолоор илэрхийлж болно: . Энэ элемент нь орон зайд x"изоморф бол тэдгээр нь ижил хэмжээтэй байна. Тодорхойлолт 5.1.ижил координаттай элементийг тааруулъя:. Хариуд нь элемент xизоморф бол тэдгээр нь ижил хэмжээтэй байна. Рэлементтэй таарч байна xЯмар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг yизоморф бол тэдгээр нь ижил хэмжээтэй байна. РБаталгаа. Шугаман зайг зөвшөөр x"Ямар ч хоёр элементийн дүрэм байдаг . Хэрэв элементүүдийг анхаарна ууизоморф бол тэдгээр нь ижил хэмжээтэй байна. Тодорхойлолт 5.1.у" x", y"изоморф бол тэдгээр нь ижил хэмжээтэй байна. Рүүний дагуу, дараа нь элемент x+yизоморф бол тэдгээр нь ижил хэмжээтэй байна. Тодорхойлолт 5.1.үүний дагуу теорем 2.2 дээр үндэслэн элемент α xүүний дагуу, дараа нь элемент α x". ■