Бүтэн өнцөг. Шулуун ба шулуун өнцөг Шулуун өнцөг гэж юу вэ

"Бяцхан хүү аав дээрээ ирээд Бяцханаас: "Ямар өнцөг вэ?" гэж асуув. Гэхдээ аав аа, би хариултаа мартчихаж. Энэ бол маш муу!

Манай нийтлэлд бид математикийн хичээлээ санаж, Крочигийн асуултын хариултыг олохыг санал болгож байна.

Өнцөг гэж юу вэ

Өнцөг гэж юу болохыг тайлбарлахаас илүү харуулах нь мэдээжийн хэрэг. -аас анхан шатны ангиудХавтгай өнцөг нь:

1. Энэ геометрийн дүрс.
2. Энэ нь хоёр тал - туяагаар үүсдэг.
3. Цацраг нь нэг орой - цэгээс гарч ирдэг.
4. градусаар хэмждэг.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та ямар ч хавтгай дээр цэг тавиад, дараа нь энэ цэгээс хоёр туяа зурвал (туяа бол эхлэлтэй, гэхдээ төгсгөлгүй шулуун шугам юм) бид нэг биш, харин хоёр өнцөг авна. Учир нь цацрагууд онгоцыг хоёр хэсэгт хуваасан. Бид дотоод болон гадаад гэсэн хоёр өнцгийг бий болгосон.

Өнцгийн тэмдэглэгээ

Математикт өнцгийг "˪" болон Грек үсгээр тэмдэглэдэг: β, δ, φ. Та мөн жижиг эсвэл том латин үсгээр өнцгийг тодорхойлж болно. Жижиг үсгээр (d, c, b) өнцгийг үүсгэдэг цацрагийг илэрхийлдэг тул нэр нь хоёр үсэг, ˪ab гэсэн дүрсээс бүрдэнэ. Том латин үсэг нь өнцгийн гурван цэгийг заана: хоёр тал, нэг орой (˪ DEF). Түүнээс гадна оройн үсэг нь үргэлж нэрний дунд байх боловч DEF эсвэл FED-ийг хэрхэн унших нь хамаагүй.

Өнцгийн төрлүүд

Зэрэг (хэмжилт) -ээс хамааран өнцгийг дараахь байдлаар хуваана.

• Хурц (>90 градус);
• Шулуун (яг 90);
• Тэнэг (180);
• Өргөтгөсөн (180-тай тэнцүү);
• Гүдгэр бус (180-аас дээш, гэхдээ 360-аас бага);
• Бүрэн(360);

Зөв эсвэл шулуун биш бүх өнцгийг ташуу гэж нэрлэдэг.

Мөн ямар өнцөгтэй вэ?

• Зэргэлдээ - тэд нэг талдаа нийтлэг байдаг бол бусад нь давхцахгүй, нэг хавтгайд хэвтдэг. Ийм өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180-тай тэнцүү байх болно.
• Босоо - хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцөг ба тэдгээр нь нийтлэг талуудгүй боловч тэдгээрийн цацраг нь нэг цэгээс гарч ирдэг. Өөрөөр хэлбэл, нэг өнцгийн тал нь нөгөө өнцгийн үргэлжлэл юм. Эдгээр өнцөг нь тэнцүү байна.
• Төв - орой нь тойргийн төв болох өнцөг.
• Бичсэн өнцөг. Түүний орой нь тойрог дээр байрладаг бөгөөд түүнийг үүсгэсэн цацрагууд энэ тойрогтой огтлолцдог.

Одоо та аль өнцөг нь зөв, аль нь хурц өнцөг болохыг мэдэж болно. Үүнийг санахад хэцүү биш бөгөөд бусад төрлийн өнцгүүд нь мөн онцлог нэртэй байдаг.

Өнцөг бол үндсэн геометрийн дүрс бөгөөд бид бүхэл бүтэн сэдвээр дүн шинжилгээ хийх болно. Өнцгийн тодорхойлолт, тогтоох арга, тэмдэглэгээ, хэмжилт. Зурган дээрх булангуудыг тодруулах зарчмуудыг авч үзье. Бүхэл бүтэн онолыг дүрсэлсэн бөгөөд бий их тоохарааны зураг.

Булан– геометрийн энгийн чухал дүр. Өнцөг нь цацрагийн тодорхойлолтоос шууд хамаардаг бөгөөд энэ нь цэг, шулуун шугам, хавтгай гэсэн үндсэн ойлголтуудаас бүрддэг. Нарийвчилсан судалгаа хийхийн тулд та сэдвүүдийг илүү гүнзгий судлах хэрэгтэй хавтгай дээрх шулуун шугам - шаардлагатай мэдээлэлТэгээд онгоц - шаардлагатай мэдээлэл.

Өнцгийн тухай ойлголт нь энэ хавтгайд дүрслэгдсэн цэг, хавтгай, шулуун шугам гэсэн ойлголтуудаас эхэлдэг.

Тодорхойлолт 2

Хавтгай дээр a шулуун шугам өгөгдсөн. Үүн дээр тодорхой O цэгийг тэмдэглэе. Шулуун шугамыг цэгээр хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд тус бүр нь нэртэй байдаг цацраг, ба O цэг - цацрагийн эхлэл.

Өөрөөр хэлбэл цацраг буюу хагас шулуун -энэ нь эхлэл цэг, өөрөөр хэлбэл О цэгтэй харьцуулахад нэг талд байрлах өгөгдсөн шугамын цэгүүдээс бүрдэх шугамын хэсэг юм.

Цацрагийн тэмдэглэгээг хоёр хувилбараар зөвшөөрнө: Латин цагаан толгойн нэг жижиг эсвэл хоёр том үсэг. Хоёр үсгээр тэмдэглэгдсэн бол цацраг нь хоёр үсгээс бүрдэх нэртэй байна. Зургийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Өнцгийг тодорхойлох ойлголт руу шилжье.

Тодорхойлолт 3

Булан-д байрлах дүрс юм өгсөн онгоц, нийтлэг гарал үүсэлтэй хоёр ялгаатай туяанаас үүссэн. Өнцгийн талтуяа юм орой- талуудын нийтлэг гарал үүсэл.

Өнцгийн талууд нь шулуун шугамын үүрэг гүйцэтгэх тохиолдол байдаг.

Тодорхойлолт 4

Хэрэв өнцгийн хоёр тал нь нэг шулуун дээр байрладаг эсвэл талууд нь нэг шулуун шугамын нэмэлт хагас шугам болж байвал ийм өнцгийг гэнэ. өргөтгөсөн.

Доорх зураг нь эргүүлсэн буланг харуулж байна.

Шулуун шугам дээрх цэг нь өнцгийн орой юм. Ихэнхдээ үүнийг О цэгээр тэмдэглэдэг.

Математикийн өнцгийг “∠” тэмдгээр тэмдэглэнэ. Хэрэв өнцгийн талуудыг жижиг латинаар тэмдэглэвэл, дараа нь зөв тодорхойлолтөнцөг, үсгүүдийг талуудын дагуу дараалан бичнэ. Хэрэв хоёр талыг k ба h гэж тэмдэглэсэн бол өнцгийг ∠ k h эсвэл ∠ h k гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв тэмдэглэгээг том үсгээр бичсэн бол өнцгийн талуудыг O A ба O B гэж нэрлэнэ. Энэ тохиолдолд өнцөг нь ∠ A O B ба ∠ B O A гэсэн оройтой, дараалан бичсэн латин цагаан толгойн гурван үсгээс бүрдсэн нэртэй байна. Өнцөгт нэр, үсгийн тэмдэглэгээ байхгүй тохиолдолд тоон хэлбэрээр тэмдэглэгээ байдаг. Доорх зураг нь хаана байна янз бүрийн аргаарөнцгүүдийг зааж өгсөн болно.

Өнцөг нь хавтгайг хоёр хэсэгт хуваадаг. Хэрэв өнцгийг эргүүлээгүй бол онгоцны нэг хэсгийг дуудна дотоод булангийн талбай, нөгөө нь - гадна булангийн талбай. Онгоцны аль хэсэг нь гаднах, аль нь дотоод болохыг тайлбарласан зургийг доор харуулав.

Хавтгай дээр хөгжсөн өнцгөөр хуваагдвал түүний аль нэг хэсэг нь хөгжсөн өнцгийн дотоод муж гэж тооцогддог.

Өнцгийн дотоод хэсэг нь өнцгийн хоёр дахь тодорхойлолтод үйлчилдэг элемент юм.

Тодорхойлолт 5

Өнцөгнийтлэг гарал үүсэл, харгалзах дотоод өнцгийн талбайтай хоёр зөрөөтэй туяанаас бүрдэх геометрийн дүрс гэж нэрлэдэг.

Энэ тодорхойлолт нь илүү олон нөхцөлтэй тул өмнөхөөсөө илүү хатуу юм. Хоёр тодорхойлолтыг тусад нь авч үзэхийг зөвлөдөггүй, учир нь өнцөг нь нэг цэгээс гарах хоёр цацрагийг ашиглан хувиргасан геометрийн дүрс юм. Өнцөгтэй үйлдэл хийх шаардлагатай бол тодорхойлолт нь нийтлэг эхлэл ба дотоод талбай бүхий хоёр туяа байгааг хэлнэ.

Хоёр өнцгийг гэж нэрлэдэг зэргэлдээ, хэрэв нийтлэг тал байгаа бол нөгөө хоёр нь нэмэлт хагас шугам эсвэл шулуун өнцөг үүсгэдэг.

Зэргэлдээх өнцөг нь бие биенийхээ үргэлжлэл учраас бие биенээ нөхөж байгааг зураг харуулж байна.

Тодорхойлолт 7

Хоёр өнцгийг гэж нэрлэдэг босоо, хэрэв нэг талын талууд нь нөгөөгийнхөө нэмэлт хагас шугам эсвэл нөгөөгийн талуудын үргэлжлэл бол. Доорх зураг нь босоо өнцгийн зургийг харуулж байна.

Шулуун шугамууд огтлолцох үед 4 хос зэргэлдээ, 2 хос босоо өнцгийг олж авна. Доорх зураг дээр харуулав.

Нийтлэлд тэгш ба тэгш бус өнцгийн тодорхойлолтыг харуулав. Аль өнцгийг илүү том, аль нь бага, мөн өнцгийн бусад шинж чанаруудыг авч үзье. Хоёр тоог давхарласан үед бүрэн давхцаж байвал тэнцүү гэж үзнэ. Үүнтэй ижил шинж чанар нь өнцгийг харьцуулахад хамаарна.

Хоёр өнцөг өгөгдсөн. Эдгээр өнцгүүд тэнцүү байна уу, үгүй ​​юу гэдэгт дүгнэлт хийх шаардлагатай.

Хоёр өнцгийн орой ба эхний өнцгийн талууд хоёр дахь өнцгийн аль ч талтай давхцаж байгаа нь мэдэгдэж байна. Өөрөөр хэлбэл, өнцгүүдийг давхцуулах үед бүрэн давхцаж байвал өгөгдсөн өнцгүүдийн талууд бүрэн тэгшлэх болно. тэнцүү.

Энэ нь давхардсан үед тал нь таарахгүй байж болох юм, дараа нь булан тэгш бус, жижигөөр нэгээс бүрдэх ба илүүогт өөр өнцгийг агуулдаг. Доорх нь давхардсан үед тэгш бус өнцгүүд юм.

Шулуун өнцөг нь тэнцүү байна.

Өнцгийг хэмжих нь хэмжиж буй өнцгийн тал ба түүний дотоод талбайг хэмжиж, аль нэг өнцгөөр дүүргэж, бие биедээ хэрэглэхээс эхэлнэ. Та тавьсан өнцгийн тоог тоолох шаардлагатай бөгөөд тэдгээр нь хэмжсэн өнцгийн хэмжүүрийг урьдчилан тодорхойлдог.

Өнцгийн нэгжийг ямар ч хэмжиж болох өнцгөөр илэрхийлж болно. Шинжлэх ухаан, технологид ашигладаг нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэмжилтийн нэгжүүд байдаг. Тэд бусад цол хэргэмээр мэргэшсэн.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг ойлголт зэрэг.

Тодорхойлолт 8

Нэг зэрэгтэйшулуун өнцгийн зуун наян хэсэгтэй өнцгийг гэнэ.

Зэрэглэлийн стандарт тэмдэглэгээ нь "°", дараа нь нэг зэрэг нь 1 ° байна. Тиймээс шулуун өнцөг нь нэг градусын 180 ийм өнцгөөс бүрдэнэ. Боломжтой бүх булангуудыг бие биентэйгээ нягт нааж, өмнөх булангуудын хажуу талууд нь дараагийнхтай таарч байна.

Өнцөг дэх градусын тоо нь өнцгийн хамгийн хэмжүүр гэдгийг мэддэг. Эвхэгдсэн өнцөг нь найрлагадаа 180 давхарласан өнцөгтэй байдаг. Доорх зурагт өнцгийг 30 удаа, өөрөөр хэлбэл задарсан зургаагийн нэг, 90 удаа, өөрөөр хэлбэл хагасыг нь тавьсан жишээг үзүүлэв.

Өнцгийг зөв хэмжихийн тулд минут, секундыг ашигладаг. Эдгээр өнцгийн утга нь бүхэл бүтэн градусын тэмдэглэгээ биш тохиолдолд ашиглагддаг. Эдгээр зэрэглэлийн фракцууд нь илүү нарийвчлалтай тооцоолох боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт 9

минутын доторградусын жарны нэг гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 10

Нэг секундын доторминутын жарны нэгийг дуудлаа.

Нэг зэрэг нь 3600 секундийг агуулдаг. Минутуудыг """ гэж, секундийг "" гэж тэмдэглэнэ.

1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,

17 градус 3 минут 59 секундын өнцгийн тэмдэглэгээ нь 17 ° 3 "59"" байна.

Тодорхойлолт 11

17 ° 3 "59 ""-тэй тэнцүү өнцгийн хэмжүүрийг тодорхойлох жишээг өгье. Бичлэг нь өөр хэлбэртэй: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

Өнцгийг нарийвчлалтай хэмжихийн тулд хэмжигч гэх мэт хэмжих хэрэгслийг ашиглана уу. ∠ A O B өнцөг ба түүний хэмжигдэхүүнийг 110 градусаар тэмдэглэхдээ "A O B өнцөг нь 110 градустай тэнцүү" гэсэн ∠ A O B = 110 ° гэсэн илүү тохиромжтой тэмдэглэгээг ашигладаг.

Геометрийн хувьд (0, 180) интервалаас өнцгийн хэмжигдэхүүнийг ашигладаг бол тригонометрт дурын градусын хэмжүүр гэж нэрлэдэг. эргэлтийн өнцөг.Өнцгийн утгыг үргэлж бодит тоогоор илэрхийлдэг. Зөв өнцөг- Энэ бол 90 градусын өнцөг юм. Хурц өнцөг– 90 градусаас бага өнцөг, ба мохоо- илүү.

Цочмог өнцгийг интервалаар (0, 90), мохоо өнцгийг (90, 180) хэмждэг. Гурван төрлийн өнцгийг доор тодорхой харуулав.

Аливаа өнцгийн хэмжүүр нь ижил утгатай байна. Том өнцөг нь жижиг хэмжээтэй харьцуулахад харьцангуй том хэмжүүртэй байдаг. Нэг өнцгийн хэмжүүр нь дотоод өнцгийн бүх боломжтой хэмжүүрүүдийн нийлбэр юм. AOC, COD, DOB өнцгүүдээс бүрдэх AOB өнцгийг харуулсан зураг доор байна. Нарийвчилсан байдлаар энэ нь дараах байдалтай байна: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Үүн дээр үндэслэн бид үүнийг дүгнэж болно нийлбэрхүн бүр зэргэлдээх өнцөг нь 180 градустай тэнцүү,Учир нь тэд бүгд шулуун өнцөг үүсгэдэг.

Үүнээс үзэхэд аливаа босоо өнцөг нь тэнцүү байна. Хэрэв бид үүнийг жишээ болгон авч үзвэл A O B ба C O D өнцгүүд босоо байна (зураг дээр), дараа нь A O B ба B O C, C O D ба B O C хос өнцгийг зэргэлдээ гэж үзнэ. Энэ тохиолдолд ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° -ийн ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° -ийн тэгш байдлыг онцгой үнэн гэж үзнэ. Тиймээс бидэнд ∠ A O B = ∠ C O D байна. Доорх нь босоо барих дүрс, тэмдэглэгээний жишээ юм.

градус, минут, секундээс гадна хэмжилтийн өөр нэгжийг ашигладаг. гэж нэрлэдэг радиан. Ихэнх тохиолдолд олон өнцөгтийн өнцгийг тэмдэглэхдээ тригонометрээс олж болно. Радианыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Тодорхойлолт 12

Нэг радиан өнцөгнумын урттай тэнцүү тойргийн радиустай төв өнцөг гэж нэрлэдэг.

Зураг дээр радианыг тойрог хэлбэрээр дүрсэлсэн бөгөөд энд цэгээр тэмдэглэгдсэн төв байдаг бөгөөд тойрог дээрх хоёр цэгийг холбож, O A ба O B радиус болгон хувиргасан. Тодорхойлолтоор энэ гурвалжин A O B нь тэгш талт байна. A B нумын урт нь O B ба O A радиусуудын урттай тэнцүү байна.

Өнцгийн тэмдэглэгээг "рад" гэж авна. Өөрөөр хэлбэл, 5 радиан гэж бичихийг 5 рад гэж товчилдог. Заримдаа та pi гэж нэрлэгддэг тэмдэглэгээг олж болно. Радианууд нь өгөгдсөн тойргийн уртаас хамаардаггүй, учир нь дүрсүүд нь өгөгдсөн өнцгийн орой дээр байрлах төвтэй өнцөг ба нумын хувьд тодорхой хязгаарлалттай байдаг. Тэдгээрийг ижил төстэй гэж үздэг.

Радианууд нь градустай ижил утгатай бөгөөд зөвхөн ялгаа нь тэдгээрийн хэмжээ юм. Үүнийг тодорхойлохын тулд төв өнцгийн тооцоолсон нумын уртыг түүний радиусын уртаар хуваах шаардлагатай.

Практикт тэд ашигладаг градусыг радиан, радианыг градус болгон хувиргахасуудлыг шийдвэрлэхэд илүү тохиромжтой. Энэ нийтлэлд градусын хэмжигдэхүүн ба радиан хоорондын холболтын талаархи мэдээллийг агуулсан бөгөөд та градусаас радиан руу болон эсрэгээр хөрвүүлэлтийг нарийвчлан судлах боломжтой.

Зургийг нуман болон өнцгийг нүдээр харуулах, хялбархан дүрслэх зорилгоор ашигладаг. Энэ эсвэл өөр өнцөг, нум, нэрийг зөв дүрсэлж, тэмдэглэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгш өнцгийг ижил тооны нумаар, тэгш бус өнцгийг өөр тоогоор тодорхойлно. Зураг нь хурц, тэгш, тэгш бус өнцгийн зөв тэмдэглэгээг харуулж байна.

3-аас дээш буланг тэмдэглэх шаардлагатай үед тусгай нуман тэмдэглэгээг ашиглана, тухайлбал, долгионтой эсвэл ховхорсон. Энэ тийм ч чухал биш. Тэдний нэрийг харуулсан зургийг доор харуулав.

Бусад утгыг хөндөхгүйн тулд өнцгийн тэмдэглэгээг энгийн байлгах хэрэгтэй. Асуудлыг шийдэхдээ зургийг бүхэлд нь эмх замбараагүй болгохгүйн тулд зөвхөн шийдэлд шаардлагатай өнцгүүдийг тодруулахыг зөвлөж байна. Энэ нь шийдэл, нотолгоонд саад болохгүй, мөн зурган дээр гоо зүйн дүр төрхийг өгөх болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Оюутнууд өнцгийн тухай ойлголттой танилцдаг бага сургууль. Гэхдээ тодорхой шинж чанартай геометрийн дүрсийн хувьд тэд үүнийг 7-р ангиасаа эхлэн геометрийн чиглэлээр судалж эхэлдэг. бололтой, маш энгийн дүр, түүний тухай юу хэлж болох вэ. Гэхдээ шинэ мэдлэг олж авснаар сургуулийн сурагчид энэ талаар нэлээд сонирхолтой баримтуудыг сурч чадна гэдгээ улам бүр ойлгодог.

Суралцаж байхдаа

Сургуулийн геометрийн хичээл нь планиметр ба стереометр гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Тэд тус бүрт ихээхэн анхаарал хандуулдаг булангуудад өгдөг:

• Планиметрийн хувьд тэдгээрийн үндсэн ойлголтыг өгч, тэдгээрийн төрлүүдийг хэмжээгээр нь танилцуулсан болно. Гурвалжны төрөл бүрийн шинж чанарыг илүү нарийвчлан судалж үздэг. Оюутнуудад зориулсан шинэ тодорхойлолтууд гарч ирж байна - эдгээр нь хоёр шулуун шугамын огтлолцол, хэд хэдэн шулуун шугамын хөндлөн огтлолцолоор үүссэн геометрийн дүрсүүд юм.
• Стереометрийн хувьд орон зайн өнцгийг судалдаг - хоёр талт ба гурван талт.

Анхаар!Энэ нийтлэлд планиметрийн өнцгийн бүх төрөл, шинж чанарыг авч үзэх болно.

Тодорхойлолт ба хэмжилт

Суралцаж эхлэхдээ эхлээд тодорхойл өнцөг гэж юу вэПланиметрийн хувьд.

Хэрэв бид хавтгай дээрх тодорхой цэгийг авч, үүнээс дурын хоёр туяа зурвал дараах элементүүдээс бүрдэх геометрийн дүрсийг олж авна.

• орой - латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэсэн туяа татсан цэг;
• талууд нь оройгоос татсан хагас шулуун шугамууд юм.

Бидний авч үзэж буй дүрсийг бүрдүүлж буй бүх элементүүд онгоцыг хуваана хоёр хэсэг:

• дотоод - планиметрийн хувьд 180 градусаас хэтрэхгүй;
• гадаад.

Планиметрийн өнцгийг хэмжих зарчимзөн совингийн үндсэн дээр тайлбарлав. Эхлээд оюутнуудыг эргүүлэх өнцгийн тухай ойлголттой танилцуулна.

Чухал!Оройноос нь гарч буй хагас шугамууд нь шулуун шугам үүсгэдэг бол өнцгийг хөгжсөн гэж нэрлэдэг. Хөгжөөгүй өнцөг нь бусад бүх тохиолдол юм.

Хэрэв 180 тэнцүү хэсэгт хуваагдвал нэг хэсгийн хэмжүүрийг 10-тай тэнцүү гэж үздэг заншилтай. Энэ тохиолдолд хэмжилтийг градусаар хийдэг гэж хэлдэг бөгөөд ийм дүрсийн хэмжүүр нь 180 байна. градус.

Үндсэн төрлүүд

Өнцгийн төрлүүд нь градус, тэдгээрийн үүсэх шинж чанар, доор үзүүлсэн ангилал зэрэг шалгуурын дагуу хуваагдана.

Хэмжээгээр нь

Хэмжээг харгалзан өнцгийг дараахь байдлаар хуваана.

• өргөтгөсөн;
• шууд;
• мохоо;
• халуун ногоотой.

Аль өнцгийг задалсан гэж нэрлэдэгийг дээр үзүүлэв. Шууд гэдэг ойлголтыг тодорхойлъё.

Өргөтгөсөн хэсгийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах замаар олж авч болно. Энэ тохиолдолд асуултанд хариулахад хялбар байдаг: зөв өнцөг нь хэдэн градус вэ?

180 градусыг задалсан хэсгийг 2-т хуваавал бид үүнийг олж авна зөв өнцөг нь 90 градус байна. Геометрийн олон баримтууд үүнтэй холбоотой байдаг тул энэ бол гайхалтай зураг юм.

Энэ нь мөн тэмдэглэгээнд өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Зураг дээр зөв өнцгийг харуулахын тулд нумаар биш харин дөрвөлжин хэлбэрээр тэмдэглэнэ.

Шулуун шугамыг дурын туяагаар хуваах замаар олж авсан өнцгийг хурц өнцөг гэж нэрлэдэг.Логикийн хувьд хурц өнцөг нь зөв өнцгөөс бага боловч хэмжигдэхүүн нь 0 градусаас ялгаатай байна. Энэ нь 0-ээс 90 градусын утгатай байна.

Мохоо өнцөг нь зөв өнцгөөс том боловч шулуун өнцгөөс бага. Түүний хэмжүүр нь 90-180 градусын хооронд хэлбэлздэг.

Энэ элементийг хувааж болно янз бүрийн төрөлнээсэн тооноос бусад тоонуудын.

Эргэдэггүй өнцгийг хэрхэн хуваахаас үл хамааран планиметрийн үндсэн аксиомыг үргэлж ашигладаг - "хэмжилтийн үндсэн шинж чанар".

At өнцгийг нэг цацрагаар хуваахэсвэл хэд хэдэн бол өгөгдсөн зургийн градусын хэмжигдэхүүн нь түүний хуваагдсан өнцгийн хэмжүүрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

7-р ангийн түвшинд өнцгийн төрлүүдийг хэмжээнээс нь хамааруулж тэнд төгсдөг. Гэхдээ мэдлэгийг нэмэгдүүлэхийн тулд 180 градусаас дээш хэмжсэн бусад сортуудыг гүдгэр гэж нэрлэдэг.

Шугамын огтлолцол дээрх зургууд

Сурагчидтай танилцсан дараагийн төрлийн өнцгүүд нь хоёр шулуун шугамын огтлолцолоор үүссэн элементүүд юм. Бие биенийхээ эсрэг талд байрлуулсан дүрсийг босоо гэж нэрлэдэг. Тэдний ялгаатай шинж чанар нь тэд тэнцүү байдаг.

Ижил шугамтай зэргэлдээ орших элементүүдийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Тэдний өмчийг тусгасан теорем үүнийг хэлдэг зэргэлдээх өнцөг нь 180 градус хүртэл нэмэгддэг.

Гурвалжин дахь элементүүд

Хэрэв бид дүрсийг гурвалжингийн элемент гэж үзвэл өнцгийг дотоод ба гадаад гэж хуваана. Гурвалжин нь гурван сегментээр хүрээлэгдсэн бөгөөд гурван оройноос бүрдэнэ. Орой бүр дээр гурвалжны дотор байрлах өнцөг нь байна дотоод гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид аль нэг орой дээр байгаа дотоод элементийг авч, аль нэг талыг нь сунгавал дотоод өнцөгт үүссэн, зэргэлдээ орших өнцгийг гадаад гэж нэрлэдэг. Энэ хос элементүүд нь дараах шинж чанартай: тэдгээрийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байна.

Хоёр шулуун шугамын огтлолцол

Шугамануудын огтлолцол

Хоёр шулуун шугам нь хөндлөн шугамтай огтлолцох үед мөн өнцөг үүсдэг., энэ нь ихэвчлэн хос хосоороо тархдаг. Хос элемент бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

• дотоод хөндлөн хэвтэх: ∟4 ба ∟6, ∟3 ба ∟5;
• дотоод нэг талт: ∟4 ба ∟5, ∟3 ба ∟6;
• харгалзах: ∟1 ба ∟5, ∟2 ба ∟6, ∟4 ба ∟8, ∟3 ба ∟7.

Секант нь хоёр шугамыг огтолж байгаа тохиолдолд эдгээр бүх өнцөг нь тодорхой шинж чанартай байдаг.

1. Дотоод хөндлөн хэвтэх ба харгалзах тоонууд хоорондоо тэнцүү байна.
2. Дотоод нэг талын элементүүд нь 180 градус хүртэл нэмэгддэг.

Бид геометрийн өнцөг, тэдгээрийн шинж чанарыг судалдаг

Математик дахь өнцгийн төрлүүд

Дүгнэлт

Энэ нийтлэлд планиметрийн хичээлд байдаг, долдугаар ангид судалдаг өнцгийн бүх үндсэн төрлүүдийг танилцуулж байна. Дараагийн бүх хичээлүүдэд авч үзсэн бүх элементүүдтэй холбоотой шинж чанарууд нь геометрийг цаашид судлах үндэс суурь болно. Жишээлбэл, судлахдаа хоёр зэрэгцээ шугам нь хөндлөн огтлолцох үед үүссэн өнцгийн бүх шинж чанарыг санах хэрэгтэй. Гурвалжны шинж чанарыг судлахдаа зэргэлдээ өнцөг гэж юу болохыг санах хэрэгтэй. Стереометрт шилжсэнээр бүх эзэлхүүн үзүүлэлтүүдийг судалж, планиметрийн тоон дээр үндэслэн байгуулна.

Энэ нийтлэлд геометрийн үндсэн хэлбэрүүдийн нэг болох өнцөгийг авч үзэх болно. Энэ үзэл баримтлалын ерөнхий танилцуулга хийсний дараа бид анхаарлаа хандуулах болно тусдаа төрөл зүйлийм тоо. Шулуун өнцөг бол геометрийн чухал ойлголт бөгөөд энэ нийтлэлийн гол сэдэв байх болно.

Геометрийн өнцгийн танилцуулга

Геометрийн хувьд бүх шинжлэх ухааны үндэс суурийг бүрдүүлдэг хэд хэдэн объект байдаг. Өнцөг нь тэдгээрт хамаарах бөгөөд туяа гэсэн ойлголтыг ашиглан тодорхойлогддог тул үүнээс эхэлье.

Түүнчлэн, та өнцгийг өөрөө тодорхойлж эхлэхээсээ өмнө геометрийн хэд хэдэн ижил чухал зүйлийг санах хэрэгтэй - энэ бол цэг, хавтгай дээрх шулуун шугам, хавтгай өөрөө юм. Шулуун шугам бол эхлэл, төгсгөлгүй хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Хавтгай нь хоёр хэмжээст гадаргуу юм. Геометрийн туяа (эсвэл хагас шугам) нь эхлэлтэй мөртлөө төгсгөлгүй шугамын нэг хэсэг юм.

Эдгээр ойлголтуудыг ашиглан бид өнцөг нь бүхэлдээ тодорхой хавтгайд орших геометрийн дүрс бөгөөд нийтлэг гарал үүсэлтэй хоёр ялгаатай туяанаас бүрддэг гэсэн мэдэгдлийг хийж болно. Ийм туяаг өнцгийн талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд талуудын нийтлэг эхлэл нь түүний орой юм.

Өнцөг ба геометрийн төрлүүд

Өнцөг нь огт өөр байж болно гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс, өнцгийн төрлүүд, тэдгээрийн үндсэн шинж чанаруудыг илүү сайн ойлгоход туслах жижиг ангиллыг бага зэрэг доор харуулав. Тиймээс геометрийн хэд хэдэн төрлийн өнцөг байдаг:

1. Зөв өнцөг. Энэ нь 90 градусын утгаараа тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь түүний талууд нь бие биентэйгээ үргэлж перпендикуляр байдаг гэсэн үг юм.
2. Хурц өнцөг. Эдгээр өнцгүүд нь 90 градусаас бага хэмжээтэй бүх төлөөлөгчдийг багтаадаг.
3. Мохоо өнцөг. Энд 90-180 градусын бүх өнцөг байж болно.
4. Эвхэгдсэн булан. Энэ нь 180 градусын хэмжээтэй бөгөөд гадна тал нь нэг шулуун шугам үүсгэдэг.

Шулуун өнцгийн тухай ойлголт

Одоо эргүүлэх өнцгийг илүү нарийвчлан авч үзье. Энэ нь хоёр тал нь нэг шулуун шугам дээр хэвтэж байх үед тохиолддог бөгөөд энэ нь бага зэрэг доогуур зурган дээр тодорхой харагдаж байна. Энэ нь урвуу өнцгөөр түүний нэг тал нь үндсэндээ нөгөө талын үргэлжлэл гэдгийг бид итгэлтэйгээр хэлж чадна гэсэн үг юм.

Ийм өнцгийг оройноос нь гарч буй туяа ашиглан үргэлж хувааж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Үүний үр дүнд бид геометрийн хувьд зэргэлдээ гэж нэрлэгддэг хоёр өнцгийг олж авдаг.

Мөн задарсан өнцөг нь хэд хэдэн онцлог шинж чанартай байдаг. Тэдний эхнийх нь талаар ярихын тулд та "өнцгийн биссектрис" гэсэн ойлголтыг санах хэрэгтэй. Энэ бол ямар ч өнцгийг яг хагасаар хуваадаг туяа гэдгийг санаарай. Эвхэгдсэн өнцгийн хувьд түүний биссектрис нь 90 градусын хоёр тэгш өнцөг үүсгэх байдлаар хуваагддаг. Үүнийг математикийн хувьд тооцоолоход маш хялбар байдаг: 180˚ (эргэлтийн өнцгийн зэрэг): 2 = 90˚.

Хэрэв бид эргэлдсэн өнцгийг бүрэн дурын туяагаар хуваах юм бол үр дүнд нь бид үргэлж хоёр өнцөг авах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь хурц, нөгөө нь мохоо байх болно.

Эргүүлсэн булангийн шинж чанарууд

Энэ жагсаалтад бидний хийсэн бүх үндсэн шинж чанаруудыг нэгтгэн энэ өнцгийг авч үзэх нь тохиромжтой байх болно.

1. Эргүүлсэн өнцгийн талууд нь эсрэг параллель бөгөөд шулуун шугам үүсгэдэг.
2. Эргүүлсэн өнцөг нь үргэлж 180˚ байна.
3. Хоёр зэргэлдээ өнцөг нь үргэлж шулуун өнцгийг үүсгэдэг.
4. Бүтэн өнцөг буюу 360˚ нь хоёр задарсан өнцөгөөс бүрдэх ба тэдгээрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
5. Шулуун өнцгийн тал нь зөв өнцөг юм.

Тиймээс, энэ төрлийн өнцгүүдийн эдгээр бүх шинж чанаруудыг мэдсэнээр бид тэдгээрийг хэд хэдэн геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Эргүүлсэн өнцөгтэй холбоотой асуудлууд

Та шулуун өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгосон эсэхээ мэдэхийн тулд дараах хэдэн асуултанд хариулж үзээрэй.

1. Хэрэв талууд нь босоо шугам үүсгэдэг бол шулуун өнцгийн хэмжээ хэд вэ?
2. Эхнийх нь 72˚, нөгөө нь 118˚ бол хоёр өнцөг зэргэлдээ байх уу?
3. Хэрэв бүрэн өнцөгэвхээгүй хоёр хэсгээс бүрдэх бол хэдэн тэгш өнцөгтэй байх вэ?
4. Шулуун өнцгийг туяагаар хоёр өнцөгт хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн хэмжүүр нь 1:4 харьцаатай байна. Үүссэн өнцгийг тооцоол.

Шийдэл ба хариултууд:

1. Эргүүлсэн өнцөг хэрхэн байрлаж байгаагаас үл хамааран энэ нь үргэлж 180˚-тэй тэнцүү байдаг.
2. Зэргэлдээх өнцөг нь нэг талдаа нийтлэг байдаг. Тиймээс, тэдгээрийн хамтдаа хийсэн өнцгийн хэмжээг тооцоолохын тулд та тэдгээрийн градусын хэмжүүрийн утгыг нэмэх хэрэгтэй. Энэ нь 72 +118 = 190 гэсэн үг. Гэхдээ тодорхойлолтоор урвуу өнцөг нь 180˚ бөгөөд энэ нь өгөгдсөн хоёр өнцөг нь зэргэлдээ байж болохгүй гэсэн үг юм.
3. Шулуун өнцөг нь хоёр зөв өнцгийг агуулдаг. Бүтэн нэг нь хоёр задалсан байдаг тул 4 шулуун шугам байх болно гэсэн үг юм.
4. Хэрэв бид хүссэн өнцгүүдийг a ба b гэж нэрлэвэл x-ийг тэдгээрийн пропорциональ байдлын коэффициент гэж үзье, энэ нь a=x, үүний дагуу b=4x гэсэн үг юм. Эргүүлсэн өнцөг нь градусаар 180˚ байна. Өнцгийн хэмжүүр нь түүний талуудын хооронд дамждаг дурын туяанд хуваагдсан өнцгүүдийн градусын хэмжүүрүүдийн нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байдаг шинж чанарын дагуу бид x + 4x = 180˚ гэж дүгнэж болно. , энэ нь 5x = 180˚ гэсэн үг юм. Эндээс бид олох болно: x = a = 36˚ ба b = 4x = 144˚. Хариулт: 36˚ ба 144˚.

Хэрэв та эдгээр бүх асуултанд ямар ч зааваргүйгээр, хариултыг хайхгүйгээр хариулж чадсан бол дараагийн геометрийн хичээл рүү шилжихэд бэлэн байна.