Тэгш өнцөгт координатын давхар интегралыг хувиргах, туйлын координат руу
, харьцаагаар тэгш өнцөгт координаттай холбоотой
,
, томъёоны дагуу явагдана

Хэрэв интеграцийн домайн бол
хоёр цацрагаар хязгаарлагдана
,
(
), туйлаас гарч ирэх ба хоёр муруй
Тэгээд
, дараа нь томъёог ашиглан давхар интегралыг тооцоолно

.

Жишээ 1.3.Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.
,
,
,
.

Шийдэл.Тухайн газрын талбайг тооцоолох
Томьёог ашиглая:
.

Талбайг дүрсэлцгээе (Зураг 1.5). Үүнийг хийхийн тулд бид муруйг хувиргана: , , , . Туйлын координат руу шилжье: , . . Туйлын координатын системд талбай тэгшитгэлээр тодорхойлсон:

.

1.2. Гурвалсан интеграл

Үндсэн шинж чанарууд гурвалсан интегралдавхар интегралын шинж чанаруудтай төстэй.

Декарт координатуудад гурвалсан интегралыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

.

Хэрэв
, дараа нь талбай дээрх гурвалсан интеграл тоон хувьд биеийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна :

.

Гурвалсан интегралын тооцоо

Интеграцийн домэйныг үзье нэг утга бүхий тасралтгүй гадаргууг тус тусад нь доороос дээш хязгаарласан
,
, мөн бүс нутгийн хэтийн төлөв координатын хавтгайд
тэгш газар байна
(Зураг 1.6).

Дараа нь тогтмол утгуудын хувьд холбогдох өргөдөл талбайн цэгүүд дотор өөр өөр байдаг. Дараа нь бид авна: . Хэрэв, үүнээс гадна, төсөөлөл тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог , , Хаана - хоёрдмол утгагүй тасралтгүй функцууд асаалттай , Тэр

.

Жишээ 1.4.Тооцоол
, Хаана - онгоцоор хязгаарлагдсан бие:

	, , , ( , , ). Шийдэл.Интеграцийн талбар нь пирамид юм (Зураг 1.7). Проекцийн талбай гурвалжин бий , шулуун шугамаар хязгаарлагдсан , , (Зураг 1.8). At цэг хэрэглэнэ тэгш бус байдлыг хангана , Тийм учраас .
	Гурвалжны интеграцийн хязгаарыг тогтоох , бид авдаг

Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Декарт координатаас шилжих үед
цилиндр координат руу
(Зураг 1.9) холбоотой
харилцаа
,
,
, ба

	, ,, гурвалсан интеграл хувирна: Жишээ 1.5.Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. , , . Шийдэл.Шаардлагатай биеийн хэмжээ тэнцүү байна .
	Интеграцийн домэйн нь доороос нь хавтгайгаар хязгаарлагдсан цилиндрийн хэсэг юм , мөн онгоцны дээгүүр (Зураг 1.10). Проекцийн талбай тойрог байна эх ба нэгж радиус дээр төвтэй. Цилиндр координат руу шилжье. , , . цэг хэрэглэнэ At , тэгш бус байдлыг ханга эсвэл дотор:

цилиндр координат
Бүс нутаг
, муруйгаар хязгаарлагдсан
, хэлбэрийг авна, эсвэл
, харин туйлын өнцөг

.

. Үүний үр дүнд бидэнд бий

2. Талбайн онолын элементүүд

Эхлээд муруй ба гадаргуугийн интегралыг тооцоолох аргуудыг эргэн санацгаая. Муруй дээр тодорхойлогдсон функцүүдийн координат дээрх муруйн интегралын тооцоо

, маягтын тодорхой интегралыг тооцоолох хүртэл бууруулна муруй бол
параметрийн дагуу тодорхойлсон муруйны эхлэлийн цэгтэй тохирч байна
, А

- түүний төгсгөлийн цэг.
Функцийн гадаргуугийн интегралын тооцоо , хоёр талт гадаргуу дээр тодорхойлогддог

,

, жишээлбэл, хэлбэрийн давхар интегралыг тооцоолоход ирдэг хэрэв гадаргуу
, тэгшитгэлээр өгөгдсөн
, онгоцон дээр өвөрмөц байдлаар төлөвлөгдсөн
бүс нутаг руу . Энд - нэгж хэвийн вектор хоорондын өнцөг гадаргуу руу
:

.

ба тэнхлэг Асуудлын нөхцөлд шаардагдах гадаргуугийн тал

(2.3) томъёонд тохирох тэмдгийг сонгох замаар тодорхойлно.
Тодорхойлолт 2.1. Вектор талбар
цэгийн вектор функц гэж нэрлэдэг

хамрах хүрээний хамт:
Вектор талбар скаляр хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог -

зөрүү: Тодорхойлолт 2.2. Урсгал
вектор талбар гадаргуугаар дамжин

,

гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг: Хаана муруйны эхлэлийн цэгтэй тохирч байна
- гадаргуугийн сонгосон тал руу нэгж хэвийн вектор Тэгээд .

- векторуудын скаляр үржвэр Тодорхойлолт 2.2. Урсгал

Тодорхойлолт 2.3. Цусны эргэлт By хаалттай муруй

,

гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг:
.

муруйн интеграл гэж нэрлэдэг Остроградский-Гаусын томъёо векторын талбайн урсгалын хоорондох холбоог тогтооно хаалттай гадаргуугаар дамжин

гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг: ба талбайн ялгаа: - хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуу , А .

нь энэ гадаргуугийн нэгж хэвийн вектор юм. Хэвийн чиглэл нь контурын эргэлтийн чиглэлтэй тохирч байх ёстойЖишээ 2.1.

,

гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг: Гадаргуугийн интегралыг тооцоолох
(
- конусын гаднах хэсэг
), онгоцоор таслагдсан

Шийдэл.(Зураг 2.1). Гадаргуу
тухайн бүс нутагт өвөрмөц байдлаар төлөвлөгдсөн
онгоц

, ба интегралыг (2.2) томъёогоор тооцоолно. Нэгж гадаргуугийн хэвийн вектор . Бид томъёог (2.3) ашиглан олно: Энд, хэвийн илэрхийлэлд өнцөгөөс хойш нэмэх тэмдгийг сонгосон тэнхлэгийн хооронд ба хэвийн - тэнэг, тиймээс сөрөг байх ёстой. Үүнийг харгалзан үзвэл , гадаргуу дээр

цилиндр координат
тойрог байна
бид авдаг
,
:

. Тиймээс сүүлчийн интегралд бид туйлын координат руу шилждэгЖишээ 2.2.
.

Шийдэл.Вектор талбарын зөрүү ба буржгарыг ол

(2.4) томъёог ашиглан бид олж авна

Өгөгдсөн вектор талбайн роторыг (2.5) томъёог ашиглан олно.Жишээ 2.3.
онгоцны хэсэг дамжин :
, эхний октантад байрладаг (хэвийн нь тэнхлэгтэй хурц өнцөг үүсгэдэг
).

	Шийдэл.Томъёоны дагуу (2.6) . Онгоцны нэг хэсгийг дүрсэлцгээе : , эхний октантад байрладаг. Сегмент дэх энэ хавтгайн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна (Зураг 2.3). Хавтгайн хэвийн вектор координаттай байна:
	. . , , нэгж хэвийн вектор , хаана

гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг:
, тиймээс, - онгоцны проекц
дээр

(Зураг 2.4).Жишээ 2.4. Хаалттай гадаргуугаар дамжин векторын талбайн урсгалыг тооцоол
, онгоцоор үүсгэгдсэн
(
ба конусын хэсэг

Шийдэл.) (Зураг 2.2).

.

Остроградский-Гауссын томъёог ашиглацгаая (2.8) Векторын талбайн ялгааг олъё

гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг:
(2.4) томъёоны дагуу:
(нь интеграци хийгдэж байгаа конусын эзэлхүүн юм. Конусын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд сайн мэддэг томъёог ашиглацгаая - конусын суурийн радиус,
- түүний өндөр). Манай тохиолдолд бид авдаг

.

. Эцэст нь бид авдагЖишээ 2.5.
Вектор талбайн эргэлтийг тооцоол контурын дагуу
Тэгээд
(
, гадаргуугийн огтлолцолоор үүссэн

Шийдэл.). Стоксын томъёог ашиглан үр дүнг шалгана уу.
,
Эдгээр гадаргуугийн огтлолцол нь тойрог юм :

(Зураг 2.1). Хязгаарлагдмал хэсэг нь зүүн тийшээ үлдэхийн тулд голдуу дамжих чиглэлийг сонгодог. Контурын параметрийн тэгшитгэлийг бичье

хаана ба параметр -аас ялгаатай
руу

.

. (2.1) ба (2.10)-ыг харгалзан (2.7) томъёог ашиглан бид олж авна Одоо Стоксын томъёог (2.9) хэрэглэцгээе. Гадаргуугаар , контур дээр сунгасан
, та онгоцны нэг хэсгийг авч болно
. Ердийн чиглэл энэ гадаргууд хүрэх нь контурын эргэлтийн чиглэлтэй тохирч байна
. Өгөгдсөн вектор талбарын буржгарыг Жишээ 2.2-т тооцоолсон болно.

гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг:
. Тиймээс хүссэн эргэлт
.
- бүс нутгийн нутаг дэвсгэр
- тойргийн радиус

, хаана
Сансарт хоёр тэгш өнцөгт координатын системтэй байцгаая

(1)

, мөн функцүүдийн систем
Тэгээд
зарим газар цэгүүдийн хооронд ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгодог
Эдгээр координатын системд. (1) системийн функцууд байна гэж үзье

,

тасралтгүй хэсэгчилсэн дериватив. Тодорхойлогч нь эдгээр хэсэгчилсэн деривативуудаас бүрддэг
функцын системийн Якобиан (эсвэл Якоби тодорхойлогч) гэж нэрлэдэг (1). Бид үүнийг таамаглах болно
.

В

Дээрх таамаглалын дагуу гурвалсан интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх дараах ерөнхий томъёог баримтална.
Давхар интегралын хувьд (1) системийн харилцан өвөрмөц байдал ба нөхцөл

бие даасан цэг, бие даасан шугам, бие даасан гадаргуу дээр зөрчигдөж болно.
Цэг бүрийн функцын систем (1).
нэг цэгтэй таарч байна
. Энэ гурван тоо цэгийн муруйн координат гэж нэрлэдэг
, эдгээр координатуудын аль нэг нь тогтмол утгыг хадгалж байдаг, гэж нэрлэгддэгийг үүсгэнэ. координатын гадаргуу.

II Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Цилиндр координатын систем (CSS) нь хавтгайгаар тодорхойлогддог
, үүнд туйлын координатын системийг зааж өгсөн ба тэнхлэг
, энэ хавтгайд перпендикуляр. Цэгийн цилиндр координат
, Хаана
- цэгийн туйлын координат – төсөөлөл t нүдний шил онгоц руу
муруйны эхлэлийн цэгтэй тохирч байна – эдгээр нь цэгийн проекцын координатууд юм тэнхлэг бүрт
эсвэл
.

Онгоцонд
бид декарт координатыг ердийн аргаар оруулж, хэрэглээний тэнхлэгийг тэнхлэгийн дагуу чиглүүлнэ
CSK. Одоо цилиндр координатыг декарт координатуудтай холбосон томъёог олж авахад хэцүү биш юм.

(3)

Эдгээр томьёо нь тухайн талбайг бүхэлд нь орон зайд буулгадаг
.

Хэлэлцэж буй тохиолдолд координатын гадаргуу нь дараах байдалтай байна.

1)
– тэнхлэгтэй параллель генератор бүхий цилиндр гадаргуу
, тэдгээрийн чиглүүлэгчид нь онгоцонд тойрог байдаг
, цэг дээр төвлөрсөн ;

2)

;

3)
– хавтгайтай параллель байгаа онгоцууд
.

Системийн Якобиан (3):

.

CSK-ийн ерөнхий томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Тайлбар 1 . Интеграцийн талбар нь дугуй цилиндр эсвэл конус, эсвэл эргэлтийн параболоид (эсвэл түүний хэсэг) бөгөөд энэ биеийн тэнхлэг нь хэрэглээний тэнхлэгтэй давхцаж байгаа тохиолдолд цилиндр координат руу шилжихийг зөвлөж байна.
.

Тайлбар 2. Цилиндр координатыг хавтгай дээрх туйлын координаттай адил ерөнхийлж болно.

Жишээ 1. Функцийн гурвалсан интегралыг тооцоол

бүс нутгаар
, цилиндрийн дотоод хэсгийг төлөөлдөг
, конусаар хязгаарлагдсан
ба параболоид
.

Шийдэл. Бид энэ хэсгийг §2, жишээ 6-д аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд DPSC-д стандарт оруулга авсан. Гэсэн хэдий ч энэ бүсэд интегралыг тооцоолоход хэцүү байдаг. CSK руу явцгаая:

.

Төсөл
бие
онгоц руу
- энэ бол тойрог
. Тиймээс координат 0-ээс хэлбэлздэг
муруйны эхлэлийн цэгтэй тохирч байна - 0-ээс Р. Дурын цэгээр дамжуулан
тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам зурна
. Шулуун шугам орох болно
конус дээр, гэхдээ параболоид дээр гарч ирнэ. Гэхдээ конус
CSC-д тэгшитгэлтэй байна
, ба параболоид
- тэгшитгэл
.

Тэгэхээр бидэнд байгаа

III Бөөрөнхий координат дахь гурвалсан интеграл
Бөмбөрцөг координатын систем (SCS) нь хавтгайгаар тодорхойлогддог
, үүнд UCS заасан бөгөөд тэнхлэг
.

, хавтгайд перпендикуляр Цэгийн бөмбөрцөг координат
, Хаана орон зайг тооны гурвалсан гэж нэрлэдэг
,– цэгийг хавтгайд тусгах туйлын өнцөг
- тэнхлэг хоорондын өнцөг
Тэгээд
.

Онгоцонд
ба вектор
Тэгээд
Декартын координатын тэнхлэгүүдийг танилцуулъя
ердийн аргаар, мөн хэрэглээний тэнхлэг нь тэнхлэгтэй нийцдэг

(4)

. Бөмбөрцөг координатыг декарт координатуудтай холбосон томъёонууд дараах байдалтай байна.
.

Эдгээр томьёо нь тухайн талбайг бүхэлд нь орон зайд буулгадаг

.

Функцийн системийн Якобиан (4):

1)
– төв нь гарал үүсэлтэй төвлөрсөн бөмбөрцөг;

2)
– тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хагас хавтгай
;

3)
– тэнхлэг нь тэнхлэг болох координатын эхэнд оройтой дугуй конусууд
.

Гурвалсан интеграл дахь SSC руу шилжих томъёо:

Тайлбар 3. Интеграцийн талбар нь бөмбөлөг эсвэл түүний хэсэг байх үед SCS руу шилжихийг зөвлөж байна. Энэ тохиолдолд бөмбөрцгийн тэгшитгэл
ордог. Өмнө дурьдсан CSK-ийн нэгэн адил CSK нь тэнхлэгт "уягдсан"
. Хэрэв бөмбөрцгийн төв нь координатын тэнхлэгийн дагуу радиусаар шилжсэн бол тэнхлэгийн дагуу шилжсэн үед бид хамгийн энгийн бөмбөрцөг тэгшитгэлийг олж авна.
:

Тайлбар 4. SSC-ийг дараахь байдлаар нэгтгэж болно.

Якобиантай хамт
. Энэхүү функцийн систем нь эллипсоидыг орчуулах болно

"параллелепипед"

Жишээ 2. Радиустай бөмбөг дээрх цэгүүдийн дундаж зайг ол түүний төвөөс.

Шийдэл. Функцийн дундаж утга гэдгийг санаарай
бүс нутагт
нь муж дээрх функцийн гурвалсан интегралыг тухайн бүсийн эзэлхүүнд хуваасан юм. Манай тохиолдолд

Тэгэхээр бидэнд байгаа

Гурвалсан интегралыг тооцоолох журам нь давхар интегралын харгалзах үйлдэлтэй төстэй. Үүнийг тайлбарлахын тулд бид ердийн гурван хэмжээст бүсийн тухай ойлголтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 9.1. Битүү S гадаргуугаар хязгаарлагдсан гурван хэмжээст V мужийг дараах тохиолдолд тогтмол гэнэ.

1. ямар ч шулуун шугам тэнхлэгтэй параллель Oz ба бүс нутгийн дотоод цэгээр дамжуулан зурсан S хоёр цэг дээр огтлолцдог;
2. V бүсийг бүхэлд нь Oxy хавтгайд ердийн хоёр хэмжээст D муж руу буулгасан;
3. координатын аль нэг хавтгайтай параллель хавтгайгаар таслагдсан V бүсийн аль ч хэсэг нь 1) ба 2) шинж чанартай байдаг.

Доод ба дээрээс z=χ(x,y) ба z=ψ(x,y) гадаргуугаар хязгаарлагдаж, Oxy хавтгайд ердийн D муж руу проекцлогдсон ердийн V мужийг авч үзье. b-ээс y=φ1(x) ба y=φ2(x) муруйгаар хязгаарлагдана (Зураг 1). V мужид тасралтгүй f(x, y, z) функцийг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт 9.2. V муж дээрх f(x, y, z) функцийн гурвалсан интегралыг дараах хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэе.

Гурвалсан интеграл нь давхар интегралтай ижил шинж чанартай байдаг. Давхар интегралтай адилхан нотлогдсон тул бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр жагсаав.

Гурвалсан интегралын тооцоо.

Теорем 9.1. Энгийн V домэйн дээрх f(x,y,z) функцийн гурвалсан интеграл нь ижил домэйн дээрх гурвалсан интегралтай тэнцүү байна.

. (9.3)

Баталгаа.

V мужийг координатын хавтгайтай параллель хавтгайгаар n тогтмол муж болгон хуваая. Дараа нь 1-р өмчөөс үүнийг дагадаг

f(x,y,z) функцийн муж дээрх гурвалсан интеграл хаана байна.

Томьёог (9.2) ашиглан өмнөх тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

f(x,y,z) функцийн тасралтгүй байдлын нөхцлөөс үзэхэд энэ тэгшитгэлийн баруун талд байрлах интеграл нийлбэрийн хязгаар байгаа бөгөөд гурвалсан интегралтай тэнцүү байна. Дараа нь хязгаарт хүрэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

Q.E.D.

Сэтгэгдэл.

Давхар интегралтай адил интегралын дарааллыг өөрчлөхөд гурвалсан интегралын утга өөрчлөгдөхгүй гэдгийг баталж болно.

Жишээ. V - интегралыг тооцоолъё. гурвалжин пирамид(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) ба (0, 0, 1) цэгүүдэд оройтой байна. Окси хавтгай дээрх түүний проекц нь (0, 0), (1, 0) ба (0, 1) оройтой гурвалжин юм. Энэ муж нь доороос z = 0 хавтгай, дээрээс нь x + y + z = 1 хавтгайгаар хязгаарлагддаг. Гурван дахин интеграл руу шилжье:

Интеграл хувьсагчаас үл хамаарах хүчин зүйлсийг харгалзах интегралын тэмдгээс хасаж болно.

Гурван хэмжээст орон зай дахь муруйн координатын систем.

1. Цилиндр координатын систем.

P(ρ,φ,z) цэгийн цилиндр координатууд нь энэ цэгийн Oxy хавтгай дээрх проекцын ρ, φ туйлын координат ба энэ z цэгийн хэрэглүүр юм (Зураг 2).

Цилиндрээс декарт координат руу шилжих томъёог дараах байдлаар тодорхойлж болно.

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Бөмбөрцөг координатын систем.

Бөмбөрцөг координатуудад орон зай дахь цэгийн байрлалыг шугаман координат ρ - цэгээс эхлэл хүртэлх зайгаар тодорхойлно. Декарт системкоординатууд (эсвэл бөмбөрцөг системийн туйл), φ нь эерэг хагас тэнхлэг Ox ба цэгийн Oxy хавтгай дээрх проекцын хоорондох туйлын өнцөг, θ нь Оз тэнхлэгийн эерэг хагас тэнхлэг ба тэнхлэгийн хоорондох өнцөг юм. сегмент OP (Зураг 3). Үүний зэрэгцээ

Бөмбөрцөгөөс декарт координат руу шилжих томъёог оруулцгаая.

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Якобиан ба түүний геометрийн утга.

Хувьсагчдыг өөрчлөх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье давхар интеграл. L шулуунаар хязгаарлагдсан Oxy хавтгайд D мужийг өгье. x ба y нь u ба v шинэ хувьсагчдын нэг утгатай, тасралтгүй дифференциалагдах функцууд гэж үзье.

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Ингээд авч үзье тэгш өнцөгт системкоординат Ouv, P΄(u, v) цэг нь D мужаас P(x, y) цэгтэй тохирч байна. Ийм бүх цэгүүд нь Ouv хавтгайд L΄ шулуунаар хязгаарлагдсан D΄ мужийг үүсгэдэг. Томъёо (9.6) нь D ба D΄ мужуудын цэгүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харгалздаг гэж хэлж болно. Энэ тохиолдолд u = const ба шугамууд

Ouv хавтгай дахь v = const нь Окси хавтгай дахь зарим шугамтай тохирно.

Ouv хавтгайд u = const, u+Δu = const, v = const ба v+Δv = const шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн ΔS΄ тэгш өнцөгт талбайг авч үзье. Энэ нь Oxy хавтгайд ΔS муруй талбайтай тохирно (Зураг 4). Мөн авч үзэж буй талбайн талбайг ΔS΄ ба ΔS гэж тэмдэглэнэ. Энэ тохиолдолд ΔS΄ = Δu Δv байна. ΔS талбайг олъё. Энэ муруйн дөрвөн өнцөгт P1, P2, P3, P4 оройг тэмдэглэе.

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Δu ба Δv жижиг өсөлтүүдийг харгалзах дифференциалаар орлуулъя. Дараа нь

Энэ тохиолдолд P1 P2 P3 P4 дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэж үзэж, түүний талбайг аналитик геометрийн томъёогоор тодорхойлж болно.

(9.7)

Тодорхойлолт 9.3. Тодорхойлогчийг функциональ тодорхойлогч буюу φ(x, y) ба ψ(x, y) функцүүдийн Якобиан гэж нэрлэдэг.

Тэнцүү байдлын хязгаарт (9.7) хүрснээр бид Якобийн геометрийн утгыг олж авна.

өөрөөр хэлбэл Якобины модуль нь хязгааргүй жижиг талбайн ΔS ба ΔS΄ талбайн харьцааны хязгаар юм.

Сэтгэгдэл. Үүнтэй адилаар бид Якобын тухай ойлголт болон n хэмжээст орон зайн геометрийн утгыг тодорхойлж болно: хэрэв x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) бол ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), тэгвэл

(9.8)

Энэ тохиолдолд Якобины модуль нь x1, x2,..., xn ба u1, u2,..., un зайнуудын жижиг мужуудын "эзэлхүүний" харьцааны хязгаарыг өгдөг.

Олон интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт.

Давхар интегралын жишээн дээр хувьсагчийн өөрчлөлтийн ерөнхий тохиолдлыг судалъя.

D домэйнд өгөгдсөн байг тасралтгүй функц z = f(x,y), утга бүр нь D΄ домайн дахь z = F(u, v) функцийн ижил утгатай тохирч байна.

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Интеграл нийлбэрийг авч үзье

баруун талын интеграл нийлбэрийг D΄ домэйн дээр авна. -ийн хязгаарт хүрч, бид давхар интеграл дахь координатыг хувиргах томъёог олж авна.

Гурвалсан интеграл. Биеийн эзлэхүүнийг тооцоолох.
Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Нас барсан хүн Пифагорын өмд өмсөж гурван өдрийн турш деканы өрөөнд хэвтэв.
Фихтенхольцын гарт түүнийг энэ ертөнцөөс авчирсан боть байсан.
Гурвалсан интегралыг хөлөндөө уяж, цогцсыг матрицаар ороож,
Залбирахын оронд зарим нэг увайгүй хүн Бернуллигийн теоремыг уншив.

Гурвалсан интеграл бол айх хэрэггүй зүйл юм =) Учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол та сайн ойлгосон байх магадлалтай. "энгийн" интегралын онол практик, мөн түүнчлэн давхар интеграл. Давхар байгаа газар ойролцоо гурвалсан байна:

Тэгээд үнэхээр айх зүйл юу байна? Интеграл нь бага, интеграл нь илүү....

Бичлэгийг харцгаая:

- гурвалсан интеграл дүрс;
- интеграл гурван хувьсагчийн функц;
– дифференциалын бүтээгдэхүүн.
- интеграцийн бүс.

Ялангуяа анхаарлаа хандуулцгаая интеграцийн талбарууд. Хэрэв орвол давхар интегралилэрхийлдэг хавтгай дүрс, дараа нь энд - орон зайн бие, энэ нь мэдэгдэж байгаагаар багцаар хязгаарлагддаг гадаргуу. Тиймээс, дээрхээс гадна та навигаци хийх ёстой орон зайн үндсэн гадаргуумөн энгийн гурван хэмжээст зураг зурах чадвартай байх.

Зарим нь сэтгэлээр унасан, би ойлгож байна ... Харамсалтай нь, нийтлэлийг "даммигийн гурвалсан интеграл" гэж нэрлэх боломжгүй бөгөөд таны мэдэх/хийх боломжтой зарим зүйл бий. Гэхдээ зүгээр - бүх материалыг маш хүртээмжтэй хэлбэрээр танилцуулж, хамгийн богино хугацаанд эзэмших боломжтой!

Гурвалсан интегралыг тооцоолох нь юу гэсэн үг вэ, тэгш хэм гэж юу вэ?

Гурвалсан интегралыг тооцоолохын тулд ДУГААР олох:

Хамгийн энгийн тохиолдолд, хэзээ гурвалсан интеграл нь биеийн эзэлхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна. Тэгээд үнэхээр, дагуу интеграцийн ерөнхий утга, бүтээгдэхүүн тэнцүү байна хязгааргүй жижигбиеийн энгийн "тоосго" -ын эзэлхүүн. Гурвалсан интеграл нь зүгээр юм нэгтгэдэг энэ бүгд хязгааргүй жижиг хэсгүүдталбайн дээгүүр, үүний үр дүнд биеийн эзэлхүүний салшгүй (нийт) утга: .

Үүнээс гадна гурвалсан интеграл чухал ач холбогдолтой физик програмууд. Гэхдээ энэ талаар дараа нь - хичээлийн 2-р хэсэгт зориулагдсан болно дурын гурвалсан интегралын тооцоо, ерөнхий тохиолдолд функц нь тогтмолоос өөр бөгөөд тухайн бүсэд тасралтгүй байна. Энэ нийтлэлд бид эзлэхүүнийг олох асуудлыг нарийвчлан авч үзэх болно, энэ нь миний бодлоор субъектив үнэлгээ 6-7 дахин их тохиолддог.

Гурвалсан интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулт нь өмнөх догол мөрөөс логикийн дагуу гардаг. Тодорхойлох хэрэгтэй биеийг эргүүлэх дараалалболон очих давтагдсан интегралууд. Дараа нь гурван дан интегралыг дараалан авч үзнэ.

Таны харж байгаагаар гал тогооны өрөө бүхэлдээ маш их санагдуулдаг давхар интеграл, ялгаа нь одоо бид нэмэлт хэмжээс (ойролцоогоор өндөр) нэмсэн. Магадгүй та нарын олонхи нь гурвалсан интеграл хэрхэн шийдэгддэгийг аль хэдийн таасан байх.

Үлдсэн эргэлзээг арилгацгаая:

Жишээ 1

Цаасан дээр баганад бичнэ үү:

Тэгээд дараах асуултуудад хариулна уу. Эдгээр тэгшитгэлийг аль гадаргуу тодорхойлдог гэдгийг та мэдэх үү? Та эдгээр тэгшитгэлийн албан бус утгыг ойлгож байна уу? Эдгээр гадаргуу нь сансар огторгуйд хэрхэн байрлаж байгааг та төсөөлж байна уу?

Хэрэв та "тийм" гэхээсээ илүүтэй ерөнхий хариултыг авах хандлагатай байгаа бол хичээлээ сайтар нягталж үзээрэй, эс тэгвээс та ахиц дэвшил гаргахгүй!

Шийдэл: бид томъёог ашигладаг.

Үүнийг олж мэдэхийн тулд биеийг эргүүлэх дараалалболон очих давтагдсан интегралуудЭнэ нь ямар төрлийн бие болохыг ойлгохын тулд танд хэрэгтэй (ухаалаг бүх зүйл энгийн). Ихэнх тохиолдолд зураг нь ийм ойлголтод ихээхэн хувь нэмэр оруулдаг.

Нөхцөлөөр бие нь хэд хэдэн гадаргуугаар хязгаарлагддаг. Хаанаас барьж эхлэх вэ? Би дараах процедурыг санал болгож байна.

Эхлээд дүрсэлье зэрэгцээ ортогональбиеийн координатын хавтгай дээрх проекц. Энэ проекцийг юу гэж нэрлэхийг анх удаа хэлж байсан хэхэ =)

Төсөл нь тэнхлэгийн дагуу хийгддэг тул юуны түрүүнд үүнийг шийдвэрлэхийг зөвлөж байна гадаргуу, энэ тэнхлэгтэй параллель байна. Ийм гадаргуугийн тэгшитгэлийг танд сануулъя "z" үсэг агуулаагүй. Эдгээрээс гурван асуудал хэлэлцэж байна.

– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг зааж өгсөн;
– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг зааж өгсөн;
- тэгшитгэлийн багц онгоц "хавтгай" шулуун шугамтэнхлэгтэй параллель.

Хүссэн төсөөлөл нь дараах гурвалжин байх магадлалтай.

Магадгүй хүн бүр бидний юу ярьж байгааг бүрэн ойлгоогүй байх. Хяналтын дэлгэцээс тэнхлэг гарч ирээд хамрын гүүрэнд шууд наалддаг гэж төсөөлөөд үз дээ ( тэдгээр. Та дээрээс 3 хэмжээст зургийг харж байгаа нь харагдаж байна). Судалгаанд хамрагдаж буй орон зайн бие нь эцэс төгсгөлгүй гурвалсан "корридор" -д байрладаг бөгөөд түүний хавтгай дээрх проекц нь сүүдэртэй гурвалжинг дүрсэлсэн байх магадлалтай.

Бидний илэрхийлсэн зүйлд онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байна зүгээр л проекцын таамаглал"хамгийн их магадлалтай" ба "хамгийн их магадлалтай" гэсэн заалтууд санамсаргүй биш байсан. Баримт нь бүх гадаргууг хараахан шинжилж амжаагүй байгаа бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь гурвалжингийн хэсгийг "хавчих" байж магадгүй юм. Үүнийг тод жишээ болгон харуулж байна бөмбөрцөгнэгээс бага радиусын эхэнд төвтэй, жишээлбэл, бөмбөрцөг - түүний хавтгай дээрх проекц (тойрог ) сүүдэртэй хэсгийг бүрэн "хамрахгүй" бөгөөд биеийн эцсийн төсөөлөл нь огт гурвалжин биш байх болно. (тойрог нь түүний хурц булангуудыг "таслах" болно).

Хоёр дахь шатанд бид биеийг дээрээс болон доороос хэрхэн хязгаарлаж байгааг олж мэдээд орон зайн зураглалыг хийдэг. Асуудлын мэдэгдэл рүү буцаж, ямар гадаргуу үлдсэнийг харцгаая. Тэгшитгэл нь координатын хавтгайг өөрөө, тэгшитгэл нь - параболик цилиндр, байрладаг дууссанхавтгай ба тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх. Тиймээс биеийн төсөөлөл нь үнэхээр гурвалжин юм.

Дашрамд хэлэхэд би эндээс олсон илүүдэлнөхцөл - абсцисса тэнхлэгт хүрсэн гадаргуу нь биеийг аль хэдийн хаадаг тул онгоцны тэгшитгэлийг оруулах шаардлагагүй байв. Энэ тохиолдолд бид шууд проекцийг зурах боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм - гурвалжин нь тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа л "зурах" болно.

Параболик цилиндрийн хэсгийг сайтар дүрсэлцгээе.

Зургийг дуусгасны дараа биеийг тойрон алхах дараалаласуудалгүй!

Нэгдүгээрт, бид проекцыг туулах дарааллыг тодорхойлно (үүнтэй зэрэгцэн хоёр хэмжээст зураг ашиглан жолоодоход илүү тохь тухтай байдаг).Энэ нь дууссан ЯГ ТЭГЭЭД БАЙНА, шиг давхар интеграл! Лазер заагч болон хавтгай талбайг сканнердах талаар бод. "Уламжлалт" 1-р тойрч гарах аргыг сонгоцгооё.

Дараа нь бид шидэт дэнлүү авч, гурван хэмжээст зургийг харна уу хатуу доороос дээшБид өвчтөнийг гэрэлтүүлдэг. Цацрагууд биенд онгоцоор орж, гадаргуугаар дамжин гардаг. Тиймээс биеийг туулах дараалал нь:

Давтагдсан интеграл руу шилжье:

1) Та "zeta" интегралаас эхлэх хэрэгтэй. Бид ашигладаг Ньютон-Лейбницийн томъёо:

Үр дүнг "тоглоомын" интеграл болгон орлъё:

Юу болсон бэ? Үндсэндээ уусмалыг давхар интеграл болгон, яг нарийн томъёогоор буулгасан цилиндр цацрагийн эзэлхүүн! Дараах нь танил юм:

2)

3-р интегралыг шийдвэрлэх оновчтой техникийг анхаарч үзээрэй.

Хариулт:

Тооцооллыг үргэлж "нэг мөрөнд" бичиж болно:


Гэхдээ энэ аргыг болгоомжтой байгаарай - хурдыг нэмэгдүүлэх нь чанараа алдахад хүргэдэг бөгөөд жишээ нь илүү төвөгтэй байх тусам алдаа гаргах магадлал өндөр болно.

Нэг чухал асуултанд хариулъя:

Даалгаврын нөхцөл нь тэдгээрийг хэрэгжүүлэхийг шаарддаггүй бол зураг зурах шаардлагатай юу?

Та дөрвөн замаар явж болно:

1) Проекц болон биеийг өөрөө зур. Энэ бол хамгийн ашигтай сонголт юм - хэрэв танд хоёр зохистой зураг зурах боломж байгаа бол залхуу байх хэрэггүй, хоёр зургийг хоёуланг нь хий. Би эхлээд зөвлөж байна.

2) Зөвхөн их биеийг зур. Биеийн энгийн бөгөөд тодорхой төсөөлөлтэй үед тохиромжтой. Жишээлбэл, задалсан жишээнд гурван хэмжээст зураг хангалттай байх болно. Гэсэн хэдий ч, бас хасах зүйл бий - 3D зургаас проекцийг давах дарааллыг тодорхойлох нь тохиромжгүй бөгөөд би энэ аргыг зөвхөн сайн түвшний сургалттай хүмүүст зөвлөж байна.

3) Зөвхөн төсөөллийг зур. Энэ нь бас муу биш, гэхдээ дараа нь нэмэлт бичмэл тайлбар шаардлагатай бөгөөд энэ нь талбайг янз бүрийн талаас нь хязгаарладаг. Харамсалтай нь, гурав дахь сонголт нь ихэвчлэн албадан байдаг - бие нь хэтэрхий том эсвэл түүний бүтэц нь бусад бэрхшээлтэй тулгардаг. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

4) Огт зураг зурахгүйгээр хий. Энэ тохиолдолд та биеийг оюун ухаанаар төсөөлж, түүний хэлбэр/байршлын талаар бичгээр тайлбар өгөх хэрэгтэй. Маш энгийн биетүүд эсвэл хоёр зургийг гүйцэтгэхэд хэцүү ажил хийхэд тохиромжтой. Гэхдээ "нүцгэн" шийдлээс татгалзаж магадгүй тул ядаж бүдүүвч зураг зурах нь дээр.

Дараах байгууллага нь бие даасан ажилд зориулагдсан болно.

Жишээ 2

Гурвалсан интеграл ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол

IN энэ тохиолдолдИнтеграцийн талбарыг үндсэндээ тэгш бус байдлаар тодорхойлдог бөгөөд энэ нь бүр илүү сайн - маш олон тэгш бус байдал юм. координатын хавтгай ба тэгш бус байдлыг багтаасан 1-р октантыг тодорхойлно. хагас орон зай, гарал үүслийг агуулсан (шалгах)+ онгоц өөрөө. "Босоо" хавтгай нь параболоидыг параболын дагуу огтолж, зураг дээр энэ хэсгийг бүтээхийг зөвлөж байна. Үүнийг хийхийн тулд та нэмэлт лавлах цэгийг олох хэрэгтэй, хамгийн хялбар арга бол параболын орой юм. (бид утгыг авч үздэг болон харгалзах "zet" -ийг тооцоолно).

Үргэлжлүүлэн халаацгаая:

Жишээ 3

Гурвалсан интегралыг ашиглан заасан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. Зургийг гүйцэтгэнэ.

Шийдэл: "Зураг зурах" гэсэн үг нь бидэнд тодорхой эрх чөлөөг өгдөг боловч орон зайн зургийг гүйцэтгэхийг илтгэдэг. Гэсэн хэдий ч төсөөлөл нь бас гэмтэхгүй, ялангуяа энд хамгийн энгийн зүйл биш юм.

Бид өмнө нь батлагдсан тактикуудыг баримталдаг - эхлээд шийдвэрлэх болно гадаргуу, тэдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгтэй параллель байна. Ийм гадаргуугийн тэгшитгэл нь "z" хувьсагчийг тодорхой агуулаагүй болно.

– тэгшитгэл нь тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх координатын хавтгайг тодорхойлно ( хавтгайд "нэртэй" тэгшитгэлээр тодорхойлогддог);
- тэгшитгэлийн багц онгоц, "нэртэй" дамжин өнгөрөх "хавтгай" шулуун шугамтэнхлэгтэй параллель.

Хүссэн бие нь доорх хавтгайгаар хязгаарлагддаг ба параболик цилиндрдээр:

Биеийг тойрон гарах дарааллыг бий болгоё, харин "X" ба "Y" интеграцийн хязгаарыг хоёр хэмжээст зураг ашиглан олж мэдэх нь илүү тохиромжтой гэдгийг би танд сануулж байна.

Тиймээс:

1)

"y" дээр интеграл хийхдээ "x" нь тогтмол гэж тооцогддог тул интеграл тэмдэгээс тогтмолыг нэн даруй хасах нь зүйтэй.

3)

Хариулт:

Тийм ээ, би бараг мартсан, ихэнх тохиолдолд гурван хэмжээст зургаар олж авсан үр дүнг шалгах нь бага зэрэг ашиг тустай (тэр ч байтугай хортой) магадлал өндөр байдаг. эзлэхүүний хуурмаг, энэ тухай миний хичээл дээр ярьсан Биеийн эргэлтийн хэмжээ. Тиймээс, авч үзсэн асуудлын үндсэн хэсгийг дүгнэж үзэхэд 4-өөс илүү "шоо" байгаа юм шиг надад санагдсан.

Дараах жишээ нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 4

Гурвалсан интегралыг ашиглан заасан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол. Энэ биеийн зураг, түүний проекцийг хавтгайд хий.

Хичээлийн төгсгөлд хийх даалгаврын ойролцоо жишээ.

Гурван хэмжээст зургийг гүйцэтгэхэд хэцүү байх нь ховор тохиолддог.

Жишээ 5

Гурвалсан интеграл ашиглан биеийн хязгаарлагдмал гадаргуугаар өгөгдсөн эзэлхүүнийг ол

Шийдэл: энд төсөөлөл нь төвөгтэй биш, гэхдээ та үүнийг туулах дарааллын талаар бодох хэрэгтэй. Хэрэв та 1-р аргыг сонговол зургийг 2 хэсэгт хуваах шаардлагатай бөгөөд энэ нь нийлбэрийг тооцоход ноцтой аюул учруулж байна. хоёргурвалсан интеграл. Үүнтэй холбогдуулан 2-р зам нь илүү ирээдүйтэй харагдаж байна. Энэ биеийн төсөөллийг зурган дээр илэрхийлж, дүрсэлцгээе.

Зарим зургуудын чанарт хүлцэл өчье, би шууд өөрийнхөө гар бичмэлээс хайчилж авлаа.

Бид зургийг давах илүү ашигтай дарааллыг сонгодог.

Одоо энэ нь бие махбодоос хамаарна. Доод талаас нь хавтгайгаар, дээрээс нь ординатын тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх онгоцоор хязгаарлагддаг. Тэгээд бүх зүйл сайхан байх байсан, гэхдээ сүүлчийн онгоц хэт эгц, талбайг барих нь тийм ч амар биш юм. Энд сонголт хийх нь эргэлзээгүй юм: үнэт эдлэлийн аль нэг нь жижиг хэмжээтэй (бие нь нэлээд туранхай) эсвэл 20 см өндөртэй зураг (тэр ч байтугай тохирох бол).

Гэхдээ асуудлыг шийдэх гуравдахь, уугуул орос арга байдаг - оноо авах =) Гурван хэмжээст зургийн оронд аман тайлбарыг хий: "Энэ бие нь цилиндрээр хязгаарлагддаг. мөн хажуугаас нь онгоц, доороос нь онгоц, дээрээс нь онгоц."

Интеграцийн "босоо" хязгаар нь мэдээжийн хэрэг:

Биеийн эзэлхүүнийг тооцоолж, проекцийг бага түгээмэл аргаар тойрч гарсныг мартаж болохгүй.

1)

Хариулт:

Таны анзаарсанчлан зуун доллараас илүү үнэтэй асуудалд санал болгож буй байгууллагууд ихэвчлэн доорх онгоцоор хязгаарлагддаг. Гэхдээ энэ бол дүрэм биш, тиймээс та үргэлж сэрэмжтэй байх хэрэгтэй - та бие нь байрладаг ажилтай тулгарч магадгүй юм. доорхавтгай Жишээлбэл, хэрэв дүн шинжилгээ хийж буй асуудалд бид хавтгайг авч үзэх юм бол судалж буй биеийг доод хагас орон зайд тэгш хэмтэйгээр буулгаж, доороос нь хавтгайгаар, дээрээс нь хавтгайгаар хязгаарлагдах болно!

Та ижил үр дүнд хүрч байгааг харахад амархан:

(биеийг тойрч гарах хэрэгтэй гэдгийг санаарай хатуу доороос дээш!)

Нэмж дурдахад, "дуртай" онгоцыг огт ашиглахгүй байж магадгүй юм: хамгийн энгийн жишээ: онгоцны дээгүүр байрлах бөмбөг - түүний эзэлхүүнийг тооцоолоход тэгшитгэл огт хэрэггүй болно.

Бид эдгээр бүх тохиолдлыг авч үзэх болно, гэхдээ одоогоор танд бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар байна.

Жишээ 6

Гурвалсан интегралыг ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хоёрдахь догол мөр рүү ижил алдартай материалаар шилжье:

Цилиндр координат дахь гурвалсан интеграл

Цилиндр координатууд нь үндсэндээ туйлын координатсансарт.
Цилиндр координатын системд орон зай дахь цэгийн байрлалыг тухайн цэгийн туйлын координатууд буюу тухайн цэгийн хавтгай дээрх проекц ба тухайн цэгийн хэрэглээний тусламжтайгаар тодорхойлно.

Гурван хэмжээст декартын системээс цилиндр координатын системд шилжих ажлыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.

Бидний сэдэвтэй холбоотойгоор өөрчлөлт нь дараах байдалтай байна.

Үүний дагуу бид энэ нийтлэлд авч үзэх хялбаршуулсан тохиолдолд:

Хамгийн гол нь нэмэлт "er" үржүүлэгчийн талаар мартаж, зөв ​​байрлуулах явдал юм интеграцийн туйлын хязгаарпроекцийг туулахдаа:

Жишээ 7

Шийдэл: бид ижил журмыг баримталдаг: юуны түрүүнд "z" хувьсагч байхгүй тэгшитгэлийг авч үздэг. Энд ганц л байна. Төсөл цилиндр гадаргууонгоцон дээр "нэртэй" -ийг төлөөлдөг тойрог .

Онгоц тэдгээр нь хүссэн биеийг доороос болон дээрээс нь хязгаарлаж ("цилиндрээс хайчилж") тойрог хэлбэрээр хийнэ.

Дараагийнх нь гурван хэмжээст зураг юм. Гол бэрхшээл нь цилиндрийг "ташуу" өнцгөөр огтолж буй хавтгайг бүтээхэд оршдог. эллипс. Энэ хэсгийг аналитик байдлаар тодруулцгаая: үүнийг хийхийн тулд бид хавтгайн тэгшитгэлийг дахин бичнэ. функциональ хэлбэр проекцын хил дээр байрлах тодорхой цэгүүдэд функцийн утгыг ("өндөр") тооцоол.

Бид зураг дээр олсон цэгүүдийг анхааралтай тэмдэглэж авдаг (над шиг биш =))тэдгээрийг шугамаар холбоно:

Биеийн хавтгай дээрх проекц нь тойрог бөгөөд энэ нь цилиндр хэлбэртэй координатын систем рүү шилжих хүчтэй аргумент юм.

Цилиндр координат дахь гадаргуугийн тэгшитгэлийг олцгооё.

Одоо та биеийг давах дарааллыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Эхлээд проекцийг авч үзье. Түүний шилжих дарааллыг хэрхэн тодорхойлох вэ? ЯГТАЙ БАЙНА туйлын координат дахь давхар интегралыг тооцоолох. Энд анхан шатны байна:

Интеграцийн "босоо" хязгаарууд нь бас тодорхой байдаг - бид биеийг онгоцоор дамжуулж, онгоцоор дамжуулдаг.

Давтагдсан интеграл руу шилжье:

Энэ тохиолдолд бид нэн даруй "er" гэсэн хүчин зүйлийг "манай" интегралд оруулна.

Ердийнх шиг шүүр нь мөчрийн дагуу эвдэхэд хялбар байдаг.

1)

Бид үр дүнг дараах интегралд оруулав.

Энд бид "фи" -ийг тогтмол гэж үздэгийг мартаж болохгүй. Гэхдээ энэ нь одоогоор:

Хариулт:

Таны бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 8

Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг гурвалсан интеграл ашиглан тооцоол. Энэ биеийн зураг, түүний проекцийг хавтгай дээр зур.

Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Асуудлын нөхцөлд цилиндр координатын системд шилжих талаар нэг ч үг хэлээгүй бөгөөд мунхаг хүн декартын координат дахь хэцүү интегралуудтай тулалдах болно гэдгийг анхаарна уу. ...Эсвэл болохгүй ч байж магадгүй - эцэст нь асуудлыг шийдэх гуравдахь, анхны орос арга байдаг =)

Бүх зүйл дөнгөж эхэлж байна! ...сайнаар : =)

Жишээ 9

Гурвалсан интегралыг ашиглан гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг ол

Даруухан, амттай.

Шийдэл: энэ бие хязгаарлагдмал конус гадаргууТэгээд эллипс параболоид. Нийтлэлийн материалыг анхааралтай уншсан уншигчид Орон зайн үндсэн гадаргуу, бие нь ямар харагдахыг аль хэдийн төсөөлж байсан, гэхдээ практик дээр илүү төвөгтэй тохиолдлууд ихэвчлэн байдаг тул би нарийвчилсан аналитик үндэслэлийг хийх болно.

Эхлээд бид гадаргуугийн огтлолцох шугамуудыг олдог. Дараах системийг зохиож шийдье.

1-р тэгшитгэлээс бид хоёр дахь гишүүнийг гишүүнээр хасна.

Үр дүн нь хоёр үндэс юм:

Олсон утгыг системийн дурын тэгшитгэлд орлъё.
, үүнээс үүдэн гарч ирдэг
Тиймээс үндэс нь нэг цэгтэй тохирч байна - гарал үүсэл. Мэдээжийн хэрэг, авч үзэж буй гадаргуугийн оройнууд давхцдаг.

Одоо хоёр дахь язгуурыг системийн аль ч тэгшитгэлд орлъё:

Хүлээн авсан үр дүнгийн геометрийн утга нь юу вэ? "Өндөрт" (хавтгайд) параболоид ба конус нь огтлолцдог тойрог– цэг дээр төвтэй нэгж радиус .

Энэ тохиолдолд параболоидын "аяга" нь конусын "юүлүүр" -ийг агуулна. бүрдүүлэхКонус хэлбэрийн гадаргууг тасархай шугамаар зурах хэрэгтэй (энэ өнцгөөс харахад биднээс хамгийн алслагдсан генераторын сегментээс бусад):

Биеийн хавтгай дээрх проекц нь тойрог 1-р радиусын гарал үүслийн төвтэй, энэ нь тодорхой учраас би дүрслэхээс ч санаа зовсонгүй. (гэхдээ бид бичгээр тайлбар өгөх болно!). Дашрамд дурдахад, өмнөх хоёр бодлогод хэрэв нөхцөл болоогүй бол проекцын зургийг бас оноож болно.

Стандарт томьёо ашиглан цилиндр координат руу шилжихдээ тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн хэлбэрээр бичдэг бөгөөд проекцийг давах дараалалд асуудал гардаггүй.

Цилиндр координатын систем дэх гадаргуугийн тэгшитгэлийг олцгооё.

Асуудал нь конусын дээд хэсгийг авч үздэг тул бид тэгшитгэлээс илэрхийлнэ.

"Бид биеийг сканнердаж" доороос дээш. Гэрлийн туяа түүгээр нэвтэрдэг эллипс параболоидба конус гадаргуугаар дамжин гарах. Тиймээс биеийг туулах "босоо" дараалал нь:

Үлдсэн нь техникийн асуудал юм:

Хариулт:

Биеийг хязгаарлагдмал гадаргуугаар нь биш, харин олон тэгш бус байдлаар тодорхойлох нь ердийн зүйл биш юм.

Жишээ 10

Геометрийн утгаБи ижил лавлах нийтлэлд орон зайн тэгш бус байдлын талаар хангалттай дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Орон зайн үндсэн гадаргуу ба тэдгээрийн бүтэц.

Хэдийгээр энэ даалгавар нь параметрийг агуулсан боловч биеийн үндсэн дүр төрхийг харуулсан яг зургийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог. Хэрхэн барихаа бодоорой. Богино шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

...за, дахиад хэдэн даалгавар? Би хичээлээ дуусгая гэж бодож байсан ч чамайг илүү ихийг хүсч байх шиг байна =)

Жишээ 11

Гурвалсан интеграл ашиглан өгөгдсөн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.
, энд дурын эерэг тоо байна.

Шийдэл: тэгш бус байдал радиусын эхэнд төвтэй бөмбөг ба тэгш бус байдлыг тодорхойлно – радиусын тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий дугуй цилиндрийн “дотор” . Тиймээс хүссэн бие нь хажуугийн дугуй цилиндрээр хязгаарлагдаж, дээд ба доод хэсэгт хавтгайтай харьцангуй тэгш хэмтэй бөмбөрцөг сегментүүдээр хязгаарлагддаг.

Үүнийг хэмжих үндсэн нэгж болгон зурж үзье:

Илүү нарийвчлалтай, би тэнхлэгийн дагуух пропорцийг тийм ч сайн барьж чадаагүй тул үүнийг зураг гэж нэрлэх ёстой. Гэсэн хэдий ч шударга байхын тулд нөхцөл нь юу ч зурах шаардлагагүй байсан бөгөөд ийм дүрслэл хангалттай байсан.

Хэрэв та гартаа луужин аваад радиусын гарал үүсэл дээр төвтэй тойрог тэмдэглэхэд ашигладаг бол цилиндр нь бөмбөгөөс "таг" -ыг хайчлах өндрийг олох шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. 2 см, дараа нь цилиндртэй огтлолцох цэгүүд өөрсдөө гарч ирнэ.

Дурын гурвалсан интегралын шийдлийн жишээ.
Гурвалсан интегралын физик хэрэглээ

Хичээлийн 2-р хэсэгт бид дурын гурвалсан интегралыг шийдвэрлэх арга техникийг боловсруулах болно. , хэний интеграл гурван хувьсагчийн функцерөнхий тохиолдолд энэ нь бүс нутагт тогтмол ба тасралтгүй байдлаас ялгаатай; мөн гурвалсан интегралын физик хэрэглээтэй танилцана

Шинэ зочдод бид үндсэн ойлголтуудыг авч үзсэн 1-р хэсгээс эхлэхийг зөвлөж байна гурвалсан интеграл ашиглан биеийн эзэлхүүнийг олох бодлого. Би бусад хүмүүст үүнийг бага зэрэг давтахыг санал болгож байна. гурван хувьсагчийн функцын дериватив, учир нь энэ өгүүллийн жишээн дээр бид урвуу үйлдлийг ашиглах болно - хэсэгчилсэн интеграцифункцууд

Нэмж дурдахад бас нэг чухал зүйл бий: хэрэв та сайн биш бол боломжтой бол энэ хуудсыг уншихаа хойшлуулсан нь дээр. Гол нь тооцооллын нарийн төвөгтэй байдал одоо нэмэгдэхэд байгаа юм биш - ихэнх гурвалсан интегралууд байдаггүй. найдвартай арга замуудгарын авлагын шалгалт, тиймээс ядарсан байдалд тэдгээрийг шийдэж эхлэх нь туйлын хүсээгүй юм. Бага дууны хувьд үүнийг зөвлөж байна илүү хялбар зүйлийг шийдэхэсвэл зүгээр л тайвшир (би тэвчээртэй байна, би хүлээх болно =)), ингэснээр дахин шинэ толгойтойгоор би гурвалсан интегралуудыг үргэлжлүүлэн задалж чадна:

Жишээ 13

Гурвалсан интегралыг тооцоолох

Практикт биеийг мөн үсгээр тэмдэглэдэг боловч энэ нь тийм ч их биш юм сайн сонголт, үүнтэй холбогдуулан "ve" нь эзлэхүүнийг тодорхойлоход "нөөцлөгдсөн".

Юу хийх ёсгүйг би шууд хэлье. Хэрэглэх шаардлагагүй шугаман шинж чанаруудболон интегралыг хэлбэрээр илэрхийлнэ. Хэдийгээр та үнэхээр хүсч байгаа бол та чадна. Төгсгөлд нь жижиг нэмэлт зүйл бий - хэдийгээр бичлэг нь урт байх боловч эмх замбараагүй байх болно. Гэхдээ энэ арга нь стандарт биш хэвээр байна.

Алгоритм дотор шийдлүүдшинэлэг зүйл бага байх болно. Эхлээд та интеграцийн домайныг ойлгох хэрэгтэй. Биеийн хавтгайд проекц нь маш сайн мэддэг гурвалжин юм.

Бие нь дээрээс хязгаарлагддаг онгоц, гарал үүслээр дамждаг. Дашрамд хэлэхэд та эхлээд хийх хэрэгтэй шалгахаа мартуузай(сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог), энэ онгоц гурвалжны хэсгийг "тасалж" байгаа эсэх. Үүнийг хийхийн тулд бид координатын хавтгайтай огтлолцох шугамыг олдог, өөрөөр хэлбэл. Бид хамгийн энгийн системийг шийддэг: - үгүй ​​ээ, энэ шулуун (зураг дээр биш)"Хажуухан өнгөрдөг" бөгөөд биеийг онгоцон дээрх төсөөлөл нь үнэхээр гурвалжинг илэрхийлдэг.

Энд орон зайн зураг зурах нь бас төвөгтэй биш юм:

Үнэн хэрэгтээ төсөөлөл нь маш энгийн тул зөвхөн үүгээр хязгаарлагдах боломжтой байв. ...За, эсвэл зүгээр л проекцын зураг, бие нь бас энгийн болохоор =) Гэхдээ юу ч зурахгүй байх нь буруу сонголт гэдгийг сануулж байна.

Мэдээжийн хэрэг, би таныг эцсийн даалгавраар баярлуулахаас өөр аргагүй юм.

Жишээ 19

Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн нэгэн төрлийн биеийн хүндийн төвийг ол. . Энэ биеийн зураг, түүний проекцийг хавтгай дээр зур.

Шийдэл: хүссэн бие нь координатын хавтгай ба хавтгайгаар хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь дараагийн барилгын ажилд тохиромжтой. сегментүүдэд байдаг: . "a"-г масштабын нэгжээр сонгоод гурван хэмжээст зураг хийцгээе.

Зураг дээр аль хэдийн бэлэн хүндийн төв байдаг, гэхдээ бид үүнийг хараахан мэдэхгүй байна.

Биеийн онгоцон дээрх проекц нь тодорхой боловч үүнийг аналитик аргаар хэрхэн олохыг танд сануулъя. энгийн тохиолдлуудүргэлж олддоггүй. Онгоцуудын огтлолцох шугамыг олохын тулд та дараах системийг шийдэх хэрэгтэй.

1-р тэгшитгэлд утгыг орлуулж, бид тэгшитгэлийг авна "хавтгай" шулуун:

Бид томьёо ашиглан биеийн хүндийн төвийн координатыг тооцоолно
, биеийн эзэлхүүн хаана байна.