Зэрэгцээ шугам, тэмдэг ба зэрэгцээ шугамын нөхцөл. Зэрэгцээ шугам, шугамын параллель байх тэмдэг ба нөхцөл Орон зай дахь шугамын перпендикуляр байх нөхцөл

ОНГОЦ ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон α 1 ба α 2 гэсэн хоёр хавтгайг авч үзье.

Доод өнцөгХоёр хавтгайн хооронд бид эдгээр хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгийн аль нэгийг ойлгох болно. Хэвийн векторууд ба α 1 ба α 2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь заасан зэргэлдээ хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. . Тийм ч учраас . Учир нь Тэгээд , Тэр

.

Жишээ.Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойл x+2y-3z+4=0 ба 2 x+3y+z+8=0.

Хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөл.

α 1 ба α 2 гэсэн хоёр хавтгай нь тэдгээрийн хэвийн векторууд параллель байх тохиолдолд л зэрэгцээ байна .

Тиймээс, харгалзах координатын коэффициентүүд пропорциональ байвал хоёр хавтгай бие биетэйгээ параллель байна.

эсвэл

Хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

Хоёр хавтгай нь хэвийн векторууд нь перпендикуляр байх тохиолдолд л перпендикуляр байх нь ойлгомжтой, тиймээс, эсвэл .

Ийнхүү, .

Жишээ.

САНСАР ШУУД.

Шугаман Вектор тэгшитгэл.

ПАРАМЕТРИЙН ШУУД ТЭГШИГЧИЛГЭЭ

Шугамын орон зай дахь байрлал нь түүний тогтмол цэгүүдийн аль нэгийг зааж өгснөөр бүрэн тодорхойлогддог М 1 ба энэ шулуунтай параллель вектор.

Шугамантай параллель векторыг нэрлэдэг хөтөчэнэ шугамын вектор.

Тиймээс шулуун шугамыг тавь лцэгээр дамждаг М 1 (x 1 , y 1 , z 1), вектортой параллель шугаман дээр хэвтэж байна.

Дурын цэгийг авч үзье М(x,y,z)шулуун шугам дээр. Зурагнаас харахад энэ нь тодорхой байна .

Векторууд ба коллинеар тул ийм тоо байна т, юу , үржүүлэгч хаана байна тцэгийн байрлалаас хамааран ямар ч тоон утгыг авч болно Мшулуун шугам дээр. Хүчин зүйл тпараметр гэж нэрлэдэг. Цэгүүдийн радиус векторуудыг тодорхойлсон М 1 ба Мболон -ээр дамжуулан бид . Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг векторшулуун шугамын тэгшитгэл. Энэ нь параметр бүрийн утгыг харуулж байна тзарим цэгийн радиус вектортой тохирч байна М, шулуун шугам дээр хэвтэж байна.

Энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичье. Анхаарна уу, мөн эндээс

Үүссэн тэгшитгэлийг дуудна параметрийншулуун шугамын тэгшитгэл.

Параметрийг өөрчлөх үед ткоординатууд өөрчлөгдөнө x, yТэгээд zба хугацаа Мшулуун шугамаар хөдөлдөг.

ШУУДЫН КАНОНИК тэгшитгэлүүд

Болъё М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - шулуун шугам дээр байрлах цэг л, Мөн нь түүний чиглэлийн вектор юм. Шугаман дээрх дурын цэгийг дахин авч үзье М(x,y,z)ба векторыг авч үзье.

Векторууд нь бас коллинеар байх нь тодорхой тул тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх ёстой.

– каноникшулуун шугамын тэгшитгэл.

Тайлбар 1.Шугамын каноник тэгшитгэлийг параметрийг хасах замаар параметрийн тэгшитгэлээс олж авч болохыг анхаарна уу. т. Үнэн хэрэгтээ бид параметрийн тэгшитгэлээс олж авдаг эсвэл .

Жишээ.Шугамын тэгшитгэлийг бичнэ үү параметрийн хэлбэрээр.

гэж тэмдэглэе , эндээс x = 2 + 3т, y = –1 + 2т, z = 1 –т.

Тайлбар 2.Шулуун шугамыг координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд, жишээлбэл тэнхлэгт перпендикуляр болго Үхэр. Дараа нь шугамын чиглэлийн вектор перпендикуляр байна Үхэр, тиймээс, м=0. Үүний үр дүнд шугамын параметрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Тэгшитгэлээс параметрийг оруулаагүй болно т, бид шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна

Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд бид шугамын каноник тэгшитгэлийг хэлбэрээр албан ёсоор бичихийг зөвшөөрч байна . Тиймээс аль нэг бутархайн хуваагч тэг байвал шулуун шугам нь харгалзах координатын тэнхлэгт перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

Каноник тэгшитгэлтэй төстэй тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамтай тохирч байна ҮхэрТэгээд Өөэсвэл тэнхлэгтэй параллель Оз.

Жишээ.

ХОЁР ХАТГАЛТЫН УУЛЗАЛТЫН ШУГАМ ГЭДЭГ Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлүүд

Сансар огторгуйн шулуун шугам бүрээр тоо томшгүй олон онгоц байдаг. Тэдгээрийн аль ч хоёр нь огтлолцож, түүнийг орон зайд тодорхойлдог. Иймээс аль нэг ийм хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг хамтад нь авч үзвэл энэ шугамын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.

Ерөнхийдөө ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн аль ч хоёр зэрэгцээ бус хавтгай

тэдгээрийн огтлолцлын шулуун шугамыг тодорхойлно. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлшууд.

Жишээ.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамыг байгуул

Шулуун шугам барихын тулд түүний дурын хоёр цэгийг олоход хангалттай. Хамгийн хялбар арга бол координатын хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг сонгох явдал юм. Жишээлбэл, онгоцтой огтлолцох цэг xOyбид шулуун шугамын тэгшитгэлээс олж авна z= 0:

Энэ системийг шийдсэний дараа бид цэгийг олдог М 1 (1;2;0).

Үүнтэй адилаар таамаглаж байна y= 0, бид шулууны хавтгайтай огтлолцох цэгийг авна xOz:

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс түүний каноник эсвэл параметрийн тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой цэгийг олох хэрэгтэй МШулуун шугам дээр 1 ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Цэгийн координат М 1-ийг бид энэ тэгшитгэлийн системээс олж, координатуудын аль нэгийг дурын утгыг өгдөг. Чиглэлийн векторыг олохын тулд энэ вектор хоёр хэвийн векторт перпендикуляр байх ёстойг анхаарна уу Тэгээд . Тиймээс шулуун шугамын чиглэлийн вектороос цааш лхэвийн векторуудын вектор үржвэрийг авч болно:

.

Жишээ.Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өг каноник хэлбэрт.

Шулуун дээр хэвтэж буй цэгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид координатуудын аль нэгийг дур мэдэн сонгоно, жишээлбэл, y= 0 ба тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шугамыг тодорхойлж буй хавтгайнуудын хэвийн векторууд нь координаттай байдаг Тиймээс чиглэлийн вектор шулуун байх болно

. Тиймээс, л: .

ШУУД ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

ӨнцөгОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.

Орон зайд хоёр мөр өгье.

Шулуун шугамуудын хоорондох φ өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ба -ын хоорондох өнцөг гэж авч болох нь ойлгомжтой. -ээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог ашиглан бид олж авна

Лекц 8. Шугамын параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл. Орон зай дахь шулуун ба хавтгай

Хавтгай дээрх шугамуудын харьцангуй байрлал;

Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл;

Орон зайд шууд;

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

8.1. Хавтгай дээрх шугамуудын харьцангуй байрлал

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг.Хавтгай дээрх хоёр шулуун шугамыг өгье: (1) ба
(2) бөгөөд өнцгийг тодорхойлох шаардлагатай тэдгээрийн хооронд (8.1-р зургийг үз).

Цагаан будаа. 8.1. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Зураг дээрээс. 8.1. гэдэг нь ойлгомжтой
, ба
Тэгээд
,
.

Дараа нь
эсвэл

. (8.1)

Шугамын параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл.

Хоёр мөр өгье:

(1);

(2).

(1) ба (2) шугамууд зэрэгцээ байнадараа нь, зөвхөн хэзээ
.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал
Мөн .

дараа нь, зөвхөн хэзээ
.

Шугамуудыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгье.

(1);

(2).

Энэ тохиолдолд налуу
Тэгээд
параллелизмын нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна.

(1) ба (2) шугамууд зэрэгцээ байнадараа нь, зөвхөн хэзээ
.

Үүний үр дүнд ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамуудын параллелизмын нөхцөл нь хувьсагчдын коэффициентүүдийн пропорциональ байдал юм.

Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын перпендикуляр байх нөхцөл нь хувьсагчдын коэффициентүүдийн үржвэрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Тэгээд .

Үнэхээр, учир нь
, Тэр
.

(1) ба (2) шугамууд перпендикуляр байнадараа нь, зөвхөн хэзээ
.

Шугамануудын огтлолцлын цэг.

Шугамуудыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгье.
Тэгээд
.

Уулзвар цэгийн координат нь тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой тул тэдгээрийг системээс олж болно.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Өгөгдсөн цэгийг оруулъя
ба шулуун
.

Цагаан будаа. 8.2. Цэгээс шугам хүртэлх зай

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикулярын урт юм
, цэгээс унасан
шууд (Зураг 8.2).

Танд хэрэгтэй зайг олохын тулд:

Үр дүн нь томъёо юм:

. (8.2)

8.2. Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл

A) Хавтгайг цэг ба хэвийн вектороор зааж өгөх.Онгоцоо явуул цэгээр дамждаг
векторт перпендикуляр
(Зураг 8.3).

Цагаан будаа. 8.3. Цэг ба хэвийн вектороор тодорхойлогддог хавтгай

Вектор
хавтгайн хэвийн вектор гэж нэрлэдэг .

Онгоцонд сууцгаая дурын цэг
. Дараа нь вектор нь векторт перпендикуляр байх болно
. Энэ нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. координат хэлбэрээр:

Хавтгай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хаана
.

(8.4) тэгшитгэлийг хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гэнэ.

б) Гурван цэгийг ашиглан онгоцыг тодорхойлох.Нэг шулуун дээр ороогүй хавтгай дээрх гурван цэгийг авч үзье.
,
,
.

Цагаан будаа. 8.4. Гурван цэгийг ашиглан онгоцыг тодорхойлох

ба векторуудыг тохируулъя. Өгөгдсөн гурван цэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй тул өгөгдсөн векторууд нь коллинеар биш (зэрэгцээ биш, нэг шулуун дээр хэвтдэггүй). Векторууд
Тэгээд
хоёр хэмжээст орон зайн үндэс суурийг бүрдүүлдэг.

Онгоцонд дур зоргоороо цэг авах
. Векторыг тохируулъя. Векторуудаас хойш
Тэгээд
суурь, дараа нь вектор үүсгэнэ
байна шугаман хослолсуурь векторууд. Энэ нь эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх матрицын мөрүүд нь шугаман хамааралтай бөгөөд ийм матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

. (8.5)

V) Онгоцыг цэгээр нь зааж өгч байна
хавтгай дээр хэвтэх ба хоёр чиглэлийн векторууд (векторууд нь өгөгдсөн хавтгайд байрладаг эсвэл хавтгайтай параллель байдаг)
Тэгээд
.

Үндэслэл нь b үсэгний үндэслэлтэй төстэй тул бид дараахь зүйлийг олж авна.

. (8.6)

Онцгой тохиолдлууд ерөнхий тэгшитгэлонгоц :

Хэрэв
, дараа нь тэгшитгэл
эхийг дайран өнгөрөх хавтгайг тодорхойлно.

Хэрэв
, дараа нь тэгшитгэл
параллель хавтгайг тодорхойлно
. Үүнтэй адилаар
параллелизм
болон цагт
параллелизм
.

Хэрэв
, Тэр
хавтгайтай параллель хавтгайг тодорхойлно
. At
параллелизм
, цагт
параллелизм
.

Хэрэв
, Тэр
тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайг тодорхойлно
. At
дамжин өнгөрдөг
, цагт
дамжин өнгөрдөг
.

Хэрэв
, Тэр
координатын хавтгайг тодорхойлно
. At
онгоц
, цагт
онгоц
.

Хавтгайн параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөлхэвийн векторуудын коллинеар ба перпендикуляр байдлын нөхцлөөр тодорхойлогддог
Тэгээд
.

Хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөл нь ижил хувьсагчийн коэффициентүүдийн пропорциональ байдал юм.

.

Перпендикуляр байдлын нөхцөл:

a) Орон зайн шулуун шугамыг хоёр хавтгайн огтлолцох шугам гэж тодорхойлж болно.

b) Хэрэв шугам нь вектортой параллель байвал
(чиглэлийн вектор) ба цэгээр дамждаг
, дараа нь векторуудын коллинеар байдлын нөхцлөөс ба
(Хаана
- шулуун шугамын дурын цэг) бид дараахь зүйлийг авна.

. (8.7)

(8.7) тэгшитгэлийг орон зай дахь шулуун шугамын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

в) (8.7) тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр бичиж болно.

;

Бутархай бүрийг параметртэй тэнцүүлэх
, бид авах:

(8.8)

(8.8) тэгшитгэлийг огторгуй дахь шугамын параметрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

8.4. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1.Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич
:

a) шулуун шугамтай зэрэгцээ :
;

б) шулуун шугамд перпендикуляр :
.

Шийдэл.

a) Хүссэн шугам нь шугамтай параллель байх тул :
, Тэр
. Бид олох болно анхны шулуун шугам
. Үүнийг бид хаанаас авах вэ
.

Тиймээс бид шаардлагатай шулуун шугамыг цэгээр тогтооно
болон налуу
:

b) Хүссэн шугам нь шулуунтай перпендикуляр тул :
, Тэр
. Анхны шугамын тэгшитгэлээс бид олж авна
. Дараа нь
.

Хүссэн шугамын тэгшитгэл:

Хариулт: a)
; б)
.

Жишээ 2. Хавтгайн тэгшитгэлийг үүсгэ , цэгээр дамжин өнгөрөх
Мөн:

a) хавтгайтай зэрэгцээ :
;

б) цэг
, тэнхлэгтэй зэрэгцээ
;

в) тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх
.

Шийдэл.

a) Хүссэн хавтгай нь хавтгайтай параллель байгаа тул
, тэгвэл сүүлчийн хавтгайн хэвийн вектор нь хүссэн хавтгайн хэвийн вектор болно. гэсэн үг,
тэгшитгэлийг тогтоохын тулд бид (8.3) томъёог ашиглана:

б) Хавтгай параллель байгаа тул
, дараа нь ерөнхий тэгшитгэлд (8.4) коэффициент
, тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
. Онооноос хойш
Тэгээд
хавтгай дээр хэвтэж байвал тэдгээрийн координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой.

Тиймээс хавтгайн тэгшитгэл нь:

в) Онгоц тэнхлэгээр дамжин өнгөрдөг тул
, Тэр
, өөрөөр хэлбэл хавтгайн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
. Онгоц нь цэг агуулдаг тул
, Тэр . Онгоцны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

Хариулт: a)
; б)
; V)
.

V бүлэг*. Орон зай дахь шулуун ба хавтгайн тэгшитгэл.

§ 70. Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл.

Чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамууд А Тэгээд б :

a) зөвхөн векторууд байвал зэрэгцээ байна А Тэгээд б collinear;

b) зөвхөн векторууд байвал перпендикуляр А Тэгээд б перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл хэзээ А б = 0.

Эндээс бид каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын параллелизм ба перпендикуляр байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг олж авдаг.

Шулуун байхын тулд

зэрэгцээ байсан бол нөхцөл хангагдахад зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай

Хэрэв аль нэг тоо байвал б 1 , б 2 , б 3 нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоо нь тэг байх ёстой а 1 , а 2 , а 3 .

Шулуун шугамууд перпендикуляр байхын тулд нөхцөл хангагдсан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай

а 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 = 0. (2)

Даалгавар 1.Дараах хос шугамуудын дотроос параллель эсвэл перпендикуляр хос шугамыг заана уу.

a) Чиглэлийн векторууд а = (2; 4; -13) ба б = (3; 5; 2) нь хоорондоо уялдаа холбоогүй нь ойлгомжтой. Тиймээс шугамууд зэрэгцээ биш байна. Перпендикуляр байдлын нөхцөлийг шалгацгаая

а 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Шулуун шугамууд перпендикуляр байна.

б) Хоёр дахь шулууны чиглэлийн вектор координаттай байна б = (3; 2; 4). Эхний примын чиглэлийн векторын хувьд бид хэвийн векторуудын вектор үржвэрийг авч болно
n 1 = (2; -3; 0) ба n Энэ шугамыг тодорхойлох 2 = (4; -2; -2) онгоцууд:

6/3 = 4/2 = 8/4 тул нөхцөл (1) хангагдсан байна. Шугамууд зэрэгцээ байна.

в) Эхний шугамын чиглэлийн вектор координаттай байна А = (2; 3; 1). Хоёрдахь шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт амархан буулгадаг

Тиймээс, б =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Векторууд А Тэгээд б зэрэгцээ биш. Тэд перпендикуляр биш, учир нь

а 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Эдгээр шугамууд нь параллель эсвэл перпендикуляр биш юм.

Даалгавар 2.Шулуунуудад перпендикуляр М 0 (2; -3; 4) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Энэ нийтлэл нь параллель болон зэрэгцээ шугамуудын тухай юм. Нэгдүгээрт, хавтгай ба орон зайд параллель шугамуудын тодорхойлолтыг өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж, параллель шугамын жишээ, график дүрслэлийг өгсөн болно. Дараа нь шугамын параллелизмын шинж тэмдэг, нөхцөлийг авч үзнэ. Дүгнэж хэлэхэд шугамын параллелизмыг нотлох ердийн асуудлын шийдлүүдийг харуулсан бөгөөд эдгээрийг шугамын зарим тэгшитгэлээр өгөгдсөн болно. тэгш өнцөгт системхавтгай ба гурван хэмжээст орон зай дахь координатууд.

Хуудасны навигаци.

Зэрэгцээ шугамууд - үндсэн мэдээлэл.

Тодорхойлолт.

Хавтгай дээрх хоёр шугамыг нэрлэдэг зэрэгцээхэрэв тэдэнд байхгүй бол нийтлэг цэгүүд.

Тодорхойлолт.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр шугамыг дууддаг зэрэгцээ, хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэж, нийтлэг цэгүүд байхгүй бол.

Сансар огторгуй дахь параллель шугамын тодорхойлолтод "нэг хавтгайд хэвтэж байвал" гэсэн заалт маш чухал гэдгийг анхаарна уу. Энэ цэгийг тодруулцгаая: гурван хэмжээст орон зайд нийтлэг цэггүй, нэг хавтгайд оршдоггүй хоёр шулуун параллель биш, огтлолцдог.

Зэрэгцээ шугамын зарим жишээ энд байна. Тэмдэглэлийн дэвтрийн хуудасны эсрэг талын ирмэгүүд нь зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг. Байшингийн хананы хавтгай нь тааз, шалны хавтгайг огтолж буй шулуун шугамууд нь параллель байна. Мөн тэгш газар дээрх төмөр замын төмөр замыг зэрэгцээ шугам гэж үзэж болно.

Зэрэгцээ шугамыг тэмдэглэхийн тулд "" тэмдгийг ашиглана уу. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a ба b шугамууд параллель байвал бид a b гэж товч бичиж болно.

Анхаарна уу: хэрэв a ба b шугамууд параллель байвал a шугам b шугамтай параллель, мөн b шугам нь а шугамтай параллель байна гэж хэлж болно.

Хавтгай дээрх параллель шугамыг судлахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг мэдэгдлийг хэлье: өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр өгөгдсөнтэй параллель цорын ганц шулуун шугам өнгөрдөг. Энэхүү мэдэгдлийг баримт болгон хүлээн зөвшөөрсөн (энэ нь мэдэгдэж буй планиметрийн аксиомуудын үндсэн дээр нотлогдох боломжгүй) бөгөөд үүнийг параллель шугамын аксиом гэж нэрлэдэг.

Орон зай дахь тохиолдлын хувьд теорем хүчинтэй байна: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй орон зайн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун шугам дамждаг. Энэхүү теоремыг дээрх параллель шугамын аксиомыг ашиглан хялбархан нотолж болно (үүнийг та 10-11-р ангийн геометрийн сурах бичгээс олж болно. Үүнийг нийтлэлийн төгсгөлд лавлагааны жагсаалтад оруулсан болно).

Орон зай дахь тохиолдлын хувьд теорем хүчинтэй байна: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй орон зайн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун шугам дамждаг. Дээрх параллель шугамын аксиомыг ашиглан энэ теоремыг хялбархан баталж болно.

Шугамын параллелизм - параллелизмын шинж тэмдэг ба нөхцөл.

Шугамын параллелизмын шинж тэмдэгбайна хангалттай нөхцөлшугамын параллелизм, өөрөөр хэлбэл биелэлт нь шугамын параллелизмыг баталгаажуулах нөхцөл юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нөхцлийн биелэлт нь шугамууд зэрэгцээ байгааг батлахад хангалттай юм.

Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд шугамыг параллель болгоход шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлүүд байдаг.

"Зэрэгцээ шугамын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл" гэсэн хэллэгийн утгыг тайлбарлая.

Зэрэгцээ шугамын хангалттай нөхцөлийг бид аль хэдийн авч үзсэн. Тэгээд юу вэ " шаардлагатай нөхцөлшулуун шугамын параллелизм? "Шаардлагатай" гэсэн нэрнээс харахад параллель шугамын хувьд энэ нөхцлийг биелүүлэх шаардлагатай байна. Өөрөөр хэлбэл, зэрэгцээ шугамын зайлшгүй нөхцөл хангагдаагүй бол шугамууд зэрэгцээ биш байна. Тиймээс, зэрэгцээ шугамын хувьд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлнь зэрэгцээ шугамын хувьд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай байх нөхцөл юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь нэг талаасаа шугамын параллелизмын шинж тэмдэг, нөгөө талаас энэ нь зэрэгцээ шугамууд байдаг шинж чанар юм.

Шугамын параллелизмд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг бүрдүүлэхийн өмнө хэд хэдэн туслах тодорхойлолтыг эргэн санах нь зүйтэй.

Таслах шугамөгөгдсөн давхцаагүй хоёр шугам тус бүрийг огтолж буй шугам юм.

Хоёр шулуун шугам нь хөндлөн шугамтай огтлолцох үед хөгжөөгүй найман шугам үүсдэг. гэж нэрлэгддэг хөндлөн хэвтэх, харгалзахТэгээд нэг талын өнцөг. Тэднийг зурган дээр харуулъя.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол тэдгээр нь параллель байхын тулд огтлолцох өнцөг нь тэнцүү, эсвэл харгалзах өнцөг нь тэнцүү, эсвэл нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180-тай тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. градус.

Хавтгай дээрх шугамуудын параллель байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл байдлын график дүрслэлийг үзүүлье.

Та 7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгүүдээс шугамын параллелизмын эдгээр нөхцлийн нотолгоог олж болно.

Эдгээр нөхцлийг гурван хэмжээст орон зайд ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу - гол зүйл бол хоёр шугам ба секант нь нэг хавтгайд байрладаг.

Шугамануудын параллелизмыг батлахад ихэвчлэн ашигладаг хэд хэдэн теоремуудыг энд оруулав.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай параллель байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Энэ өмчийн баталгаа нь параллель шугамын аксиомоос үүдэлтэй.

Гурван хэмжээст орон зайд параллель шугамын хувьд ижил нөхцөл байдаг.

Теорем.

Хэрэв огторгуйн хоёр шулуун гурав дахь шугамтай параллель байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Энэ шалгуурын баталгааг 10-р ангийн геометрийн хичээлээр хэлэлцдэг.

Өгөгдсөн теоремуудыг тайлбарлая.

Хавтгай дээрх шулуунуудын параллель байдлыг батлах өөр нэг теоремыг танилцуулъя.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.

Орон зайн шугамын хувьд ижил төстэй теорем байдаг.

Теорем.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр шулуун нь нэг хавтгайд перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.

Эдгээр теоремуудад тохирох зургуудыг зурцгаая.

Дээр дурдсан бүх теоремууд, шалгуурууд, шаардлагатай, хангалттай нөхцөлүүд нь геометрийн аргыг ашиглан шугамын параллель байдлыг батлахад маш сайн байдаг. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн хоёр шулууны параллель байдлыг батлахын тулд тэдгээрийг гурав дахь шугамтай параллель байгааг харуулах эсвэл хөндлөн хэвтэх өнцгийн тэгш байдлыг харуулах гэх мэтийг харуулах хэрэгтэй. Үүнтэй төстэй олон асуудлыг геометрийн хичээл дээр шийддэг ахлах сургууль. Гэсэн хэдий ч олон тохиолдолд хавтгай эсвэл гурван хэмжээст орон зайд шугамын параллель байдлыг батлахын тулд координатын аргыг ашиглах нь тохиромжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгш өнцөгт координатын системд заасан шугамын зэрэгцээ байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг томъёолъё.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамын параллелизм.

Өгүүллийн энэ догол мөрөнд бид томъёолох болно зэрэгцээ шугамд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлтэгш өнцөгт координатын системд, эдгээр шугамыг тодорхойлсон тэгшитгэлийн төрлөөс хамааран бид мөн шинж чанарын асуудлын нарийвчилсан шийдлүүдийг өгдөг.

Тэгш өнцөгт координатын Oxy систем дэх хавтгай дээрх хоёр шулууны параллель байх нөхцлөөс эхэлье. Түүний нотолгоо нь шулууны чиглэлийн векторын тодорхойлолт болон хавтгай дээрх шулууны хэвийн векторын тодорхойлолт дээр суурилдаг.

Теорем.

Хавтгайд давхцдаггүй хоёр шулуун параллель байхын тулд эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь коллинеар, эсвэл эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь коллинеар, эсвэл нэг шулууны чиглэлийн вектор нь хэвийнд перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Хоёр дахь шугамын вектор.

Хавтгай дээрх хоёр шулууны параллелизмын нөхцөл нь (шугамын чиглэлийн векторууд эсвэл шулууны хэвийн векторууд) эсвэл (нэг шугамын чиглэлийн вектор ба хоёр дахь шугамын хэвийн вектор) хүртэл буурдаг нь ойлгомжтой. Тиймээс, хэрэв ба бол a ба b шугамын чиглэлийн векторууд ба Тэгээд нь a ба b шугамын хэвийн векторууд байвал a ба b шугамын параллель байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ. , эсвэл , эсвэл , энд t нь бодит тоо юм. Хариуд нь чиглүүлэгчийн координат ба (эсвэл) a ба b шугамын хэвийн векторуудыг шугамын мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан олно.

Ялангуяа тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугам нь хавтгай дээрх Oxy нь ерөнхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлно. , ба шулуун шугам b - , тэгвэл эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь координаттай ба тус тустай байх ба a ба b шулуунуудын параллель байх нөхцөлийг гэж бичнэ.

Хэрэв а шугам нь өнцгийн коэффициент бүхий шулууны тэгшитгэл, b - гэсэн хэлбэртэй тохирч байвал эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь координаттай ба , эдгээр шулуунуудын параллель байх нөхцөл хэлбэрийг авна. . Үүний үр дүнд, тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх шугамууд параллель бөгөөд өнцгийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлогддог бол шугамын өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байх болно. Мөн эсрэгээр: хэрэв тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх давхцахгүй шугамуудыг ижил өнцгийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлж болох юм бол ийм шугамууд параллель байна.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун a ба шулуун b шулуун шугамыг хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тэгээд , эсвэл хэлбэрийн хавтгай дээрх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл Тэгээд үүний дагуу эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь координат ба -тай байх ба a, b шулуунуудын параллель байх нөхцөлийг гэж бичнэ.

Хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Шугамууд зэрэгцээ байна уу? Тэгээд ?

Шийдэл.

Шугамын тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын ерөнхий тэгшитгэл хэлбэрээр дахин бичье. . Одоо бид шугамын хэвийн вектор болохыг харж болно , a нь шугамын хэвийн вектор юм. Эдгээр векторууд нь хоорондоо уялдаа холбоогүй, учир нь тэгшитгэл (t) байх бодит тоо байхгүй. ). Иймээс хавтгай дээрх шугамуудын параллель байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл хангагдаагүй тул өгөгдсөн шугамууд параллель биш байна.

Хариулт:

Үгүй ээ, шугамууд нь зэрэгцээ биш юм.

Жишээ.

Шулуун ба параллель байна уу?

Шийдэл.

өгье каноник тэгшитгэлшулуун шугамыг өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамын тэгшитгэлд: . Мэдээжийн хэрэг, шугамын тэгшитгэлүүд нь ижил биш (энэ тохиолдолд өгөгдсөн шугамууд ижил байх болно) ба шугамын өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү тул анхны шугамууд зэрэгцээ байна.