Давхар интеграл. Давхар интегралын тодорхойлолт, түүний шинж чанарууд. Давтагдсан интегралууд. Давхар интегралыг давтагдсан интеграл болгон бууруулах. Интеграцийн хязгаарыг тогтоох. Тооцоолол давхар интегралДекартын координатын системд.

1. ДАВХАР ИНТЕГРАЛД

1.1. Давхар интегралын тодорхойлолт

Давхар интеграл гэдэг нь тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд нэгтгэсэн ерөнхий ойлголт юм. Энэ тохиолдолд интеграцийн сегментийн оронд зарим төрлийн хавтгай дүрс байх болно.

Болъё Дзарим хаалттай хязгаарлагдмал талбай юм, мөн е(x, y) нь энэ хэсэгт тодорхойлогдсон, хязгаарлагдмал дурын функц юм. Бүс нутгийн хил хязгаар гэж бид таамаглах болно Дхэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хязгаарлагдмал тооны муруйгаас бүрдэнэ y=е(x) эсвэл x=g( y), Хаана е(x) Мөн g(y) – тасралтгүй функцууд.

Р

Цагаан будаа. 1.1

азобиемийн талбай Дсанамсаргүй байдлаар nхэсгүүд. Дөрвөлжин би-р хэсгийг  тэмдгээр тэмдэглэнэ с би. Хэсэг бүрт бид санамсаргүй байдлаар цэг сонгоно П би , мөн зарим тогтмол декартын системд координаттай байг ( x би , y би). Зохиоцгооё интеграл нийлбэрфункцийн хувьд е(x, y) бүс нутгаар Д, Үүнийг хийхийн тулд функцийн утгыг бүх цэгээс олоорой П би, тэдгээрийг харгалзах хэсгүүдийн s талбайгаар үржүүлнэ биолж авсан бүх үр дүнг нэгтгэн дүгнэх:

. (1.1)

За дуудъя диаметр диаметр(Г) талбайнууд Гэнэ талбайн хилийн цэгүүдийн хоорондох хамгийн их зай.

Давхар интеграл функцууд е(x, y) бүс нутгаар Д интегралын дарааллын хандлагатай хязгаар юм хэмжээ (1.1) хуваалтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх замаар n (нэгэн зэрэг
). Үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна

. (1.2)

Ерөнхийдөө интеграл нийлбэр гэдгийг анхаарна уу өгөгдсөн функцмөн интеграцийн өгөгдсөн домэйн нь домайныг хуваах аргаас хамаарна Дболон цэгүүдийг сонгох П би. Гэсэн хэдий ч, хэрэв давхар интеграл байгаа бол энэ нь харгалзах интеграл нийлбэрийн хязгаар нь заасан хүчин зүйлээс хамаарахгүй гэсэн үг юм. Давхар интеграл оршин байхын тулд(эсвэл тэдний хэлснээр руу функц е(x, y) байсан талбарт нэгтгэсэнД), интеграл функц байх нь хангалттайтасралтгүй Өгөгдсөн интеграцийн домэйнд.

П

Цагаан будаа. 1.2

функцтэй байна е(x, y) нь домэйнд нэгтгэгдэх боломжтой Д. Ийм функцүүдийн харгалзах интеграл нийлбэрийн хязгаар нь интеграцийн домайныг хуваах аргаас хамаардаггүй тул хуваалтыг босоо болон хэвтээ шугам ашиглан хийж болно. Дараа нь бүс нутгийн ихэнх нутаг дэвсгэр Дталбай нь -тай тэнцүү тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх болно с би =x би y би. Тиймээс талбайн дифференциалыг ингэж бичиж болно ds= dxdy. Тиймээс, Декартын координатын системд давхар интегралхэлбэрээр бичиж болно

. (1.3)

Сэтгэгдэл . Хэрэв интеграл е(x, y)1, Дараа нь давхар интеграл нь интеграцийн бүсийн талбайтай тэнцүү байх болно.

. (1.4)

Давхар интеграл нь тодорхой интегралтай ижил шинж чанартай байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тэдгээрийн заримыг нь тэмдэглэе.

Давхар интегралын шинж чанарууд.

1 0 . Шугаман шинж чанар. Функцийн нийлбэрийн интеграл нь интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна:

ба интеграл тэмдгээс тогтмол коэффициентийг гаргаж болно:

.

2 0 . Нэмэлт шинж чанар. Хэрэв интеграцийн домайн болДхоёр хэсэгт хуваагдвал давхар интеграл нь эдгээр хэсэг тус бүрийн интегралын нийлбэртэй тэнцүү байх болно.:

.

3 0 . Дундаж утгын теорем. Хэрэв функц бол f( x, y)бүс нутагт тасралтгүйД, тэгвэл энэ бүс нутагт ийм цэг байдаг() , Юу:

.

Дараагийн асуулт бол давхар интегралыг хэрхэн тооцдог вэ? Үүнийг ойролцоогоор тооцоолох боломжтой бөгөөд холбогдох интеграл нийлбэрийг бүрдүүлэх үр дүнтэй аргуудыг боловсруулж, дараа нь компьютер ашиглан тоон хэлбэрээр тооцдог. Давхар интегралыг аналитик аргаар тооцоолохдоо тэдгээрийг хоёр тодорхой интеграл болгон бууруулна.

1.2. Давтагдсан интегралууд

Давтагдсан интеграл нь хэлбэрийн интеграл юм

. (1.5)

Энэ илэрхийлэлд эхлээд дотоод интегралыг тооцоолно, i.e. Нэгдүгээрт, хувьсагч дээрх интеграци хийгддэг y(энэ тохиолдолд хувьсагч xтогтмол утга гэж үздэг). Интеграцийн үр дүнд дууссан yдагуу та зарим функцийг авах болно x:

.

Дараа нь үүссэн функцийг нэгтгэнэ x:

.

Жишээ 1.1.Интегралыг тооцоолох:

A)
, б)
.

Шийдэл . a) Интеграцид орцгооё y, хувьсагч гэж үзвэл x= const. Үүний дараа бид интегралыг тооцоолно x:

.

б) Дотоод интегралд интеграл нь хувьсагч дээр явагддаг тул x, Тэр y 3-ыг гадаад интегралд тогтмол хүчин зүйл болгон авч болно. Түүнээс хойш yДотоод интеграл дахь 2-ыг тогтмол утга гэж үзвэл энэ интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй болно. Дэс дараалсан интеграцчлалыг гүйцэтгэж байна yТэгээд x, бид авдаг

Давхар болон давталттай интегралуудын хооронд хамаарал байдаг ч эхлээд энгийн, төвөгтэй талбаруудыг авч үзье. Талбайг гэж нэрлэдэг энгийнхэрэв энэ чиглэлд татсан шулуун шугам нь тухайн бүсийн хилийг хоёроос илүүгүй цэгээр огтолж байвал аль ч чиглэлд. Декартын координатын системд О тэнхлэгийн дагуух чиглэлийг ихэвчлэн авч үздэг xболон О y. Хэрэв талбай нь хоёр чиглэлд энгийн байвал чиглэлийг онцлохгүйгээр энгийн газар гэж товчхон хэлнэ. Хэрэв бүс нутаг энгийн биш бол түүнийг тийм гэж хэлдэг цогцолбор.

Л

a b

Цагаан будаа. 1.4

Аливаа нийлмэл мужийг энгийн мужуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Үүний дагуу аливаа давхар интегралыг энгийн мужууд дээрх давхар интегралуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тиймээс, дараагийн зүйлд бид зөвхөн энгийн домайн дээрх интегралуудыг авч үзэх болно.

Теорем . Хэрэв интеграцийн домайн болД- тэнхлэгийн чиглэлд энгийнӨө(1.4а-р зургийг үз), тэгвэл давхар интегралыг дараах байдлаар давтан бичиж болно.

; (1.6)

интеграцийн домэйн болД- тэнхлэгийн чиглэлд энгийнҮхэр(1.4б-р зургийг үз), дараа нь давхар интегралыг дараах байдлаар давтан бичиж болно.

. (1.7)

Э

Цагаан будаа. 1.3

Хэрэв интеграцийн домэйн хоёр чиглэлд зөв байвал интегралын хялбар байдлаас хамааран давтагдсан интегралын төрлийг дур мэдэн сонгож болно.

1.3. НЭГДСЭН ХЯЗГААР ТОХИРУУЛАХ

1.3.1. Тэгш өнцөгт интеграцийн бүс

П

Цагаан будаа. 1.5

Давхар интегралыг давтан болгон бууруулахад дотоод интегралд хязгаар тогтооход гол бэрхшээл үүсдэг. Тэгш өнцөгт талбайн хувьд үүнийг хийхэд хамгийн хялбар байдаг (1.5-р зургийг үз).

Жишээ 1.2.Давхар интегралыг тооцоол

.

Шийдэл . Давхар интегралыг давталтаар бичье.

.

1.3.2. Интеграцийн дур зоргоороо домэйн

Давхар интегралаас давтагдах интеграл руу шилжихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

интеграцийн домэйныг бий болгох;

Гадаад интегралыг аль хувьсагчаас тооцож байгаагаас үл хамааран гадаад интегралын хязгаар нь тогтмол хэмжигдэхүүн (өөрөөр хэлбэл тоо) байх ёстой гэдгийг санаарай..

Жишээ 1.3.Давхар интегралын харгалзах давтагдсан интегралд интегралын хязгаарыг зохион байгуул

, хэрэв a)
б)

Р

Цагаан будаа. 1.6

шийдвэр . A)Интеграцийн талбарыг дүрсэлцгээе Д(1.6-р зургийг үз). Гаднах интеграл дахь интеграцчлалыг хувьсагч дээр гүйцэтгэнэ x, мөн дотоодод – дагуу y. Хязгаарыг тогтоохдоо та үргэлж гаднах интегралаас эхлэх хэрэгтэй, энэ тохиолдолд хувьсагчтай x. Зурагнаас харахад энэ нь тодорхой байна x хувьсагчийн утгууд 0-ээс 1 хүртэл өөрчлөгдөнө yшулуун шугам дээрх утгуудаас ялгаатай байх болно y= xшулуун шугам дээрх утгууд руу y=2x. Тиймээс бид авдаг

.

Одоо гаднах интеграл дахь интегралчлалыг дагуу гүйцэтгэнэ y, мөн дотоодод – дагуу x. y 0-ээс 2 хүртэл өөрчлөгдөнө. Гэсэн хэдий ч хувьсагчийн утгын өөрчлөлтийн дээд хязгаар xхоёр хэсгээс бүрдэнэ x= y/2 ба x=1. Энэ нь интеграцийн бүсийг шулуун шугамын хоёр хэсэгт хуваах шаардлагатай гэсэн үг юм y=1. Дараа нь эхний мужид y нь 0-ээс 1 болж өөрчлөгдөнө xшулуун шугамаас x= y/2 шулуун шугам руу x= y. Хоёр дахь мужид y нь 1-ээс 2 болж өөрчлөгддөг ба x- шулуун шугамаас x= y/2 шулуун шугам руу x=1. Үүний үр дүнд бид авдаг

.

б

Цагаан будаа. 1.7

) Интеграцийн домайныг байгуулцгаая Д(1.7-р зургийг үз). Гадаад интеграл дахь интеграцчлалыг дагуу гүйцэтгэнэ x, мөн дотоодод – дагуу y. Энэ тохиолдолд өөрчлөх үед x– хувьсагчийн 1-ээс 1 өөрчлөлт yдээрээс нь тойрог ба шулуун шугам гэсэн хоёр шугамаар хязгаарлагдах болно. Сегмент дээр [–1;0] y-аас ялгаатай y=0 хүртэл
; сегмент дэх хувьсагч y-аас ялгаатай y=0 хүртэл y=1–x. Тиймээс,

.

Одоо интегралыг гадаад интегралд заасны дагуу хийцгээе y, мөн дотоодод – дагуу x. Энэ тохиолдолд y 0-ээс 1 хүртэл өөрчлөгдөх ба хувьсагч x– тойргийн нумнаас
шулуун шугам руу x=1–y. Үүний үр дүнд бид авдаг

.

Интеграцийн дарааллыг зөв сонгох нь ямар чухал болохыг эдгээр жишээнүүд харуулж байна.

Жишээ 1.4.Интеграцийн дарааллыг өөрчлөх

A)
;
.

Р

б)

шийдвэр . A)Цагаан будаа. 1.8 xИнтеграцийн домайныг байгуулъя. зориулсан сегмент дээр yхувьсагч yшулуун шугамаас ялгаатай y= x. =0 шулуун шугам руу

.

Үр дүн нь дараах интеграцийн бүс юм (1.8-р зургийг үз). Баригдсан зураг дээр үндэслэн бид интеграцийн хязгаарыг тогтоовЦагаан будаа. 1.8 yИнтеграцийн домайныг байгуулъя. зориулсан сегмент дээр xхувьсагч x=yб)
парабол руу x=y; сегмент дээр - шулуун шугамаас x= шулуун шугам руу

.

3/4. Үр дүн нь дараах интеграцийн бүс юм (1.9-р зургийг үз). Үүсгэсэн зураг дээр үндэслэн бид интеграцийн хязгаарыг тогтоов.

Давхар интеграл нь тодорхой интегралтай төстэй шинж чанартай байдаг. Зөвхөн гол зүйлийг тэмдэглэе:
1. Хэрэв функцууд болон
бүсүүдэд нэгтгэсэн

, тэгвэл тэдгээрийн нийлбэр ба ялгаа нь үүн дотор интеграл болно, ба

2. Тогтмол коэффициентийг давхар интегралын тэмдгээс гаргаж болно.
3. Хэрэв
хэсгүүдэд нэгтгэх боломжтой , мөн энэ талбай нь давхардалгүй хоёр хэсэгт хуваагдана
Тэгээд

.

, Тэр
, мөн энэ талбай нь давхардалгүй хоёр хэсэгт хуваагдана
1. Хэрэв функцууд болон
4. Хэрэв

Тэгээд

.

, аль нь
5. Тухайн бүсэд байгаа бол
функц


тэгш бус байдлыг хангадаг
, мөн энэ талбай нь давхардалгүй хоёр хэсэгт хуваагдана
,Хаана

,

Зарим бодит тоо, тэгвэл Хаана
.

- бүс нутгийн нутаг дэвсгэр

Эдгээр шинж чанаруудын баталгаа нь тодорхой интегралын харгалзах теоремуудын баталгаатай төстэй.

Тэгш өнцөгт декарт координат дахь давхар интегралын тооцоо
Бид давхар интегралыг тооцоолох хэрэгтэй гэж бодъё , хаана газар ,.

- тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог тэгш өнцөгт
Ингэж бодъё Энэ тэгш өнцөгт нь үргэлжилсэн бөгөөд сөрөг бус утгыг авдаг бол энэ давхар интеграл нь суурьтай биеийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.
, гадаргуугаас дээш хязгаарлагдсан
,
,
,
:

.

Нөгөө талаас, ийм зургийн эзэлхүүнийг тодорхой интеграл ашиглан тооцоолж болно.

,

Зарим бодит тоо, тэгвэл
- өгөгдсөн биеийн хөндлөн огтлолын талбай нь нэг цэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар ба тэнхлэгт перпендикуляр
. Мөн авч үзэж буй хэсэг нь муруй трапец хэлбэртэй тул
, дээрх функцийн графикаар хязгаарлагдсан
, Хаана тогтмол ба Тэгээд

.

Эдгээр гурван тэгшитгэлээс ийм зүйл гарч ирнэ

.

Тиймээс, энэ давхар интегралын тооцоог хоёр тодорхой интегралын тооцоонд шилжүүлэв; "дотоод интеграл" -ыг тооцоолохдоо (хаалтанд бичсэн) байнгын гэж үздэг.

Сэтгэгдэл.Сүүлчийн томъёо нь бас үнэн гэдгийг баталж болно
, мөн түүнчлэн тохиолдолд үед функц
заасан тэгш өнцөгт дэх тэмдгийг өөрчилнө.

Томъёоны баруун талыг давтагдсан интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

.

Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж болно

.

Дээрхээс харахад ийм байна

.

Сүүлийн тэгш байдал нь интеграцийн үр дүн нь интеграцийн дарааллаас хамаарахгүй гэсэн үг юм.

Илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үзэхийн тулд бид стандарт домэйны тухай ойлголтыг танилцуулж байна. Өгөгдсөн тэнхлэгийн чиглэлийн стандарт (эсвэл ердийн) муж нь энэ тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам нь тухайн бүсийн хилийг хоёроос илүүгүй цэгээр огтолж буй муж юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь зөвхөн нэг шулуун шугамын сегментийн дагуу бүс нутаг болон түүний хилийг огтолдог.

Хязгаарлагдмал талбай гэж үзье

ба дээр нь функцын графикаар хязгаарлагдана
, доор - функцийн график
. R( ,) - энэ талбайг хамарсан хамгийн бага тэгш өнцөгт
.

Талбайд оруул
тодорхойлсон ба тасралтгүй функц
. Шинэ функцийг танилцуулъя:

,

дараа нь давхар интегралын шинж чанарын дагуу

.

Тиймээс

.

Сегментээс хойш
бүс нутагт бүхэлдээ харьяалагддаг
тэгэхээр,
цагт


, мөн хэрэв энэ сегментийн гадна оршдог, тэгвэл
.

Тогтмол үед бид бичиж болно:

.

Баруун талд байгаа эхний болон гурав дахь интегралууд тэгтэй тэнцүү тул

.

Тиймээс,

.

Үүнээс бид тэнхлэгт хамаарах бүсийн стандартын давхар интегралыг тооцоолох томъёог олж авна
Үүнийг давтагдсан интеграл болгон бууруулснаар:

.

Хэрэв талбай
тэнхлэгийн чиглэлд стандарт байна
ба тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог ,

, үүнтэй адил үүнийг баталж болно

.

Сэтгэгдэл.Талбайн хувьд
, тэнхлэгүүдийн чиглэлд стандарт
, мөн энэ талбай нь давхардалгүй хоёр хэсэгт хуваагдана
, сүүлчийн тэгшитгэл хоёулаа хангагдах болно, тиймээс

Энэ томьёо нь харгалзах давхар интегралыг тооцоолохдоо интеграцын дарааллыг өөрчилдөг.

Сэтгэгдэл.Хэрэв интегралын талбай нь хоёр координатын тэнхлэгийн чиглэлд стандарт биш (зөв) биш бол стандарт талбайн нийлбэрт хуваагдаж, интегралыг эдгээр талбайн дээрх интегралын нийлбэр хэлбэрээр үзүүлнэ.

Жишээ. Давхар интегралыг тооцоол
бүс нутгаар
, шугамаар хязгаарлагдсан:
,
,
.

Шийдэл.

Энэ талбай нь тэнхлэгтэй харьцуулахад стандарт юм
, мөн тэнхлэгтэй харьцуулахад
.

Талбайг тэнхлэгийн хувьд стандарт гэж тооцож интегралыг тооцоолъё
.

.

Сэтгэгдэл.Хэрэв бид тэнхлэгт хамаарах талбайн стандартыг харгалзан интегралыг тооцоолох юм бол
, бид ижил үр дүнд хүрнэ:

.

Жишээ. Давхар интегралыг тооцоол
бүс нутгаар
, шугамаар хязгаарлагдсан:
,
,
.

Шийдэл.Зураг дээр өгөгдсөн интеграцийн домайныг дүрсэлцгээе.

Энэ талбай нь тэнхлэгтэй харьцуулахад стандарт юм
.

.

Жишээ. Давтагдсан интеграл дахь интеграцийн дарааллыг өөрчил:

Шийдэл.Зураг дээр интеграцийн бүсийг дүрсэлцгээе.

Интеграцийн хязгаараас бид интеграцийн талбайг хязгаарласан шугамуудыг олдог. ,
,
,
. Интеграцийн дарааллыг өөрчлөхийн тулд бид илэрхийлж байна функцууд болгон уулзварын цэгүүдийг олоорой:

,
,
.

Функц интервалуудын аль нэгэнд байгаа тул нь аналитик хоёр илэрхийллээр илэрхийлэгдвэл интегралчлалын мужийг хоёр мужид хувааж, давтагдсан интегралыг хоёр интегралын нийлбэр хэлбэрээр харуулах ёстой.

.

1.1 Давхар интегралын тодорхойлолт

1.2 Давхар интегралын шинж чанарууд

Давхар интегралын шинж чанарууд (мөн тэдгээрийн гаралтай) нь нэг тодорхой интегралын харгалзах шинж чанаруудтай төстэй.

1°. Нэмэлт чанар. Хэрэв f(x, y) функц нь D мужид интегралчлагдах боломжтой бөгөөд хэрэв D муж нь тэг талбайн Г муруйгаар хуваагдаж, нийтлэг дотоод цэггүй D1 ба D2 холбогдсон хоёр мужид хуваагдвал f(x) функц болно. , y) нь D 1 ба D 2 талбайн тус бүрд интегралдах боломжтой ба

2°. Шугаман шинж чанар. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функцууд нь D мужид интегралдах боломжтой бол тийм үү? Тэгээд? - ямар ч бодит тоо, дараа нь функц [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] нь мөн D мужид интегралдах боломжтой ба

3°. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функцүүд нь D мужид интегралдах боломжтой бол эдгээр функцүүдийн үржвэр нь D-д мөн интегралч болно.

4°. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функцүүд хоёулаа D мужид болон энэ мужид f(x, y) хаа сайгүй интегралдах боломжтой бол? g(x, y), тэгвэл

5°. Хэрэв f(x, y) функц нь D мужид интегралдах боломжтой бол |f(x, y)| функц байна. D домэйнд интегралдах боломжтой ба

(Мэдээж D-ийн |f(x, y)|-ийн интегралчлал нь D-ийн f(x, y)-ийн интегралч байдлыг илэрхийлдэггүй.)

6°. Дундаж утгын теорем. Хэрэв f(x, y) ба g(x, y) функц хоёулаа D мужид интегралдах боломжтой бол g(x, y) функц нь энэ домайн хаа сайгүй сөрөг биш (эерэг биш) байвал M ба m нь D муж дахь f( x, y) функцийн дээд ба инфимум бол m тэгш бус байдлыг хангах тоо байна уу? ? ? M ба томъёо нь хүчинтэй байх болно

Ялангуяа D-д f(x, y) функц тасралтгүй, D муж холбогдсон бол энэ мужид ийм цэг (?, ?) байна? = f(?, ?), томъёо нь хэлбэрийг авна

7°. Чухал геометрийн шинж чанар. D бүсийн талбайтай тэнцүү

Т биеийг огторгуйд өгье (Зураг 2.1), доороос D мужаар, дээрээс - тасралтгүй ба сөрөг бус функцийн графикаар хязгаарлагдсан z=f (x, y) -ээр тодорхойлогддог. D бүс, хажуу талаас - цилиндр гадаргуу, чиглэл нь D бүсийн хил бөгөөд генатрисууд нь Оз тэнхлэгтэй параллель байна. Энэ төрлийн биеийг цилиндр бие гэж нэрлэдэг.

1.3 Давхар интегралын геометрийн тайлбар

1.4 Тэгш өнцөгтийн давхар интегралын тухай ойлголт

R = тэгш өнцөгтийн хаа сайгүй дурын f(x, y) функц тодорхойлогдъё?

(1-р зургийг үз).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

a сегментийг хувааж үзье? х? b a = x 0 цэгүүдийг ашиглан n хэсэгчилсэн сегмент болгон

Ox болон Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг ашиглан энэ хуваалт нь R тэгш өнцөгтийг n · p хэсэгчилсэн тэгш өнцөгт R kl = хуваахтай тохирч байна?

(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Бид R тэгш өнцөгтийн заасан хуваалтыг T тэмдгээр тэмдэглэнэ. Цаашид энэ хэсэгт "тэгш өнцөгт" гэсэн нэр томъёог координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ талуудтай тэгш өнцөгт гэж ойлгох болно.

R kl хэсэгчилсэн тэгш өнцөгт бүр дээр дурын цэгийг (? k, ? l) сонгоно. ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1 гэж тавиад R kl тэгш өнцөгтийн талбайг?R kl гэж тэмдэглэнэ. Мэдээжийн хэрэг, ?R kl = ?x k ?y l .

R тэгш өнцөгтийн өгөгдсөн T хуваалт болон T хуваалтын хэсэгчилсэн тэгш өнцөгтүүдийн завсрын цэгүүдийн (? k, ? l) өгөгдсөн сонголттой харгалзах f(x, y) функцийн интеграл нийлбэр гэнэ. Бид диагональыг тэгш өнцөгтийн диаметр гэж нэрлэнэ R kl. Билэг тэмдэг үү? бүх хэсэгчилсэн тэгш өнцөгтүүдийн хамгийн том диаметрийг R kl гэж тэмдэглэе. I тоог интеграл нийлбэрийн хязгаар (1) гэж нэрлэдэг вэ? Хэрэв эерэг тоо байвал > 0? та үүнийг зааж өгч болно< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

эерэг тоо< ?.

?, яах вэ?

| ? - Би |

Хэрэв энэ функцийн интеграл нийлбэрийн төгсгөлөг I хязгаар байгаа бол f(x, y) функцийг R тэгш өнцөгт дээр Риманы интегралчлагдах боломжтой гэж нэрлэх вэ? > 0.

Заасан I хязгаарыг R тэгш өнцөгт дээрх f(x, y) функцийн давхар интеграл гэж нэрлэх ба дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

Сэтгэгдэл. Ганц тодорхой интегралын нэгэн адил R тэгш өнцөгт дээр интегралдах f(x, y) ямар ч функц энэ тэгш өнцөгт дээр хязгаарлагдах нь тогтоогдсон.

Энэ нь зөвхөн f(x, y) хязгаарлагдмал функцуудыг дараах байдлаар авч үзэх үндэслэл болно. Шүргэх ба хэвийн гадаргуутайТодорхойлолт.

Ямар ч үед гадаргуу нь зөвхөн нэг шүргэгч хавтгайтай эсвэл огт байхгүй.

Хэрэв гадаргуу нь z = f(x, y) тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол f(x, y) нь M 0 (x 0, y 0) цэгт дифференциалагдах функц, N 0 цэг дээрх шүргэгч хавтгай. x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) байгаа бөгөөд тэгшитгэлтэй байна:

Энэ цэгийн гадаргуугийн хэвийн тэгшитгэл нь:

Геометрийн мэдрэмж бүрэн дифференциал(x 0, y 0) цэг дэх f(x, y) хоёр хувьсагчийн функц нь (x 0, y 0) цэгээс шилжих үед гадаргууд шүргэгч хавтгайн хэрэглээний (z координат) нэмэгдэхийг хэлнэ. цэг (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Таны харж байгаагаар геометрийн утгаХоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциал нь нэг хувьсагчийн функцийн дифференциалын геометр утгын орон зайн аналог юм.

Жишээ.Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг ол

М(1, 1, 1) цэг дээр.

Тангенс хавтгай тэгшитгэл:

Хэвийн тэгшитгэл:

Туйлын координат дахь давхар интегралын тооцоо.

D талбайг шугамаар хязгаарла r = r()ба туяа = Тэгээд = , хаана болон r– хавтгай дээрх цэгийн туйлын координат, түүний декарт координаттай холбоотой xТэгээд y

Харилцаа холбоо (Зураг 5). Энэ тохиолдолд

Сэтгэгдэл.Хэрэв D хэсэгт Декарт координатсүх нь дуран агуулсан тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол жишээлбэл, ийм муж дээрх давхар интегралыг туйлын координатаар тооцоолох нь илүү тохиромжтой.

Давхар интеграл. Үндсэн тодорхойлолт ба шинж чанарууд.

Давхар интеграл.

Тэгшитгэл нь байгаа хавтгай дээрх зарим битүү муруйг авч үзье

Муруй дотор болон муруйн дээр байрлах бүх цэгүүдийн багцыг хаалттай муж D гэнэ. Хэрэв та муруй дээр байрлах цэгүүдийг харгалзахгүйгээр тухайн муж дахь цэгүүдийг сонговол тухайн мужийг нээлттэй D муж гэж нэрлэнэ.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл D нь контураар хязгаарлагдсан зургийн талбай юм.

D мужийг x тэнхлэгийн дагуу бие биенээсээ Dx i зайгаар, у тэнхлэгийн дагуу Dу i зайд байрлуулсан шугамын тороор n хэсэгчилсэн муж болгон хуваая. Ерөнхийдөө энэ хуваах дарааллыг заавал биелүүлэх ёстой бөгөөд энэ нь талбайг дурын хэлбэр, хэмжээтэй хэсэг болгон хуваах боломжтой юм.

Бид S талбайг энгийн тэгш өнцөгтүүдэд хуваасан бөгөөд тэдгээрийн талбай нь S i = Dx i × Dy i-тэй тэнцүү болохыг олж мэдэв.

Хэсэгчилсэн муж бүрт дурын P(x i, y i) цэгийг авч, интеграл нийлбэрийг зохио.

Энд f нь D мужийн бүх цэгүүдийн хувьд тасралтгүй ба тодорхойгүй функц юм.

Хэрэв бид D i хэсэгчилсэн мужуудын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх юм бол S i хэсэгчилсэн муж бүрийн талбай тэг болох хандлагатай байгаа нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Хэрэв D домэйны хуваалтын алхам тэг рүү ойртох тусам интеграл нийлбэрүүд хязгаарлагдмал хязгаартай бол энэ хязгаарыг гэнэ. давхар интеграл D домэйн дээрх f(x, y) функцээс.

S i = Dx i × Dy i гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Дээрх тэмдэглэгээнд хоёр S тэмдэг байна, учир нь нийлбэрийг x ба y гэсэн хоёр хувьсагчаар гүйцэтгэнэ.

Учир нь Интеграцийн бүсийг хуваах нь дур зоргоороо бөгөөд Р i цэгийг сонгох нь мөн дур зоргоороо байдаг тул Si бүх талбайг ижил гэж үзвэл бид томъёог олж авна.

Давхар интеграл байх нөхцөл.

Томьёолъё хангалттай нөхцөлдавхар интеграл байгаа эсэх.

Теорем. Хэрэв f(x, y) функц нь хаалттай D мужид тасралтгүй байвал давхар интеграл байна

Теорем. Хэрэв f(x, y) функц нь хаалттай D мужид хязгаарлагдмал бөгөөд хязгаарлагдмал тооны хэсэгчилсэн гөлгөр шугамаас бусад бүх газарт тасралтгүй байвал давхар интеграл байна.

Давхар интегралын шинж чанарууд.

3) Хэрэв D = D 1 + D 2 байвал

4) Дундаж утгын теорем. f(x, y) функцийн давхар интеграл нь интеграцийн домэйн ба интеграцийн домайн талбайн аль нэг цэг дэх энэ функцийн утгын үржвэртэй тэнцүү байна.

5) Хэрэв D мужид f(x, y) ³ 0 байвал .

6) Хэрэв f 1 (x, y) £ f 2 (x, y) бол .

№43 Тодорхойлолтмуруй гэж үзье Cхувьсагч нь вектор функцээр өгөгдсөн с− муруйн нумын урт. Дараа нь вектор функцийн дериватив

Энэ нь энэ муруйн шүргэгчийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор юм (Зураг 1).
Дээрх томъёонд α, β Тэгээд γ − О тэнхлэгүүдийн шүргэгч ба эерэг чиглэлүүдийн хоорондох өнцөг x, О yболон О z, тус тус.

Муруй дээр тодорхойлогдсон вектор функцийг танилцуулъя C, тэгэхээр скаляр функц

Ийм интегралыг муруйн дагуух вектор функцийн хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл гэж нэрлэдэг. Cгэж тэмдэглэсэн байна

Тиймээс, тодорхойлолтоор,

муруйн шүргэгчийн нэгж вектор хаана байна C.
Сүүлийн томъёог вектор хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Хаана.
Хэрэв муруй бол C O хавтгайд байрладаг xy, дараа нь таамаглаж байна R = 0, бид авдаг

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд

Хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл нь дараах шинж чанартай байна: Let Cцэгээс эхэлсэн муруйг илэрхийлнэ Аба төгсгөлийн цэг Б. -ээр тэмдэглэе −Cэсрэг чиглэлд муруй - эхлэн Бруу А. Дараа нь

Хэрэв C- муруйг хослуулах C 1 ба C 2 (дээрх зураг 2), дараа нь муруй бол Cхэлбэрээр параметрт өгөгдсөн бол , дараа нь муруй бол C O хавтгайд байрладаг xyба Tm тэгшитгэл өгөгдсөн (энэ гэж таамаглаж байна R = 0 ба t = x), дараа нь сүүлчийн томъёог маягтаар бичнэ

No49F гадаргуу нь z = z(x,y), (x,y)О D (авсаархан), тодорхой өгөгдсөн.

z(x,y) нь D-д эхний эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол f(x,y,z) функц тодорхойлогдсон ба F дээр тасралтгүй байна. Дараа нь үүнтэй тэнцүү интеграл байна.

Баталгаа. Бидний авсан газруудын хувьд

Дараа нь интеграл нийлбэрүүд тэнцүү болно

Эхнийх нь нийлбэр нь салшгүй, хоёр дахь нь хангалттай жижиг хуваалтыг сонгох замаар дур зоргоороо жижиг болгож болно. Сүүлийнх нь D дээрх f(x,y,z(x,y)) функцийн жигд тасралтгүй байдлаас үүсдэг.

№40 (үргэлжлэл) Оршихуйн хангалттай нөхцөл муруйн интегралЭхний төрлийг бид үүнийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах үед дараа нь томъёолох болно.

Эхний төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт нь тодорхой интегралын тодорхойлолттой бүтцийн хувьд ижил байна. Тиймээс эхний төрлийн муруйн интеграл нь тодорхой интегралтай ижил шинж чанартай байдаг. Бид эдгээр шинж чанаруудыг нотлох баримтгүйгээр танилцуулж байна.

1-Р ТӨРЛИЙН МУРЖИЛГААН ИНТЕГРАЛЫН ШИНЖ

1. , муруйн урт хаана байна.

2. Тогтмол хүчин зүйлийг эхний төрлийн муруйн интегралын тэмдгээс гаргаж болно, i.e.

3. Хоёр (хязгаарлагдмал тооны) функцын алгебрийн нийлбэрээс авсан эхний төрлийн муруйн интеграл нь эдгээр функцүүдийн эхний төрлийн муруйн интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

4. Хэрэв муруй нь хоёр хэсэгт хуваагдаж, нийтлэг дотоод цэггүй бол

(эхний төрлийн муруйн интегралын нэмэгдлийн шинж чанар).

5. Хэрэв функц () муруй дээр хаа сайгүй байвал

6. Хэрэв муруй дээр хаа сайгүй (),

7. (6 ба 1-р шинж чанаруудын үр дагавар) Хэрэв ба нь муруй дээрх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утга нь тус тус болно.

муруйн урт хаана байна.

8. (Нэгдүгээр төрлийн муруйн интегралын дундаж утгын теорем) Хэрэв функц муруй дээр тасралтгүй байвал тэгшитгэлтэй байх цэг байна.

муруйн урт хаана байна.

No 42 Муруй урт.

Хэрэв f(x, y, z) интеграл функц ≡ 1 бол 1-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолтоос бид энэ тохиолдолд интеграл явагдаж буй муруйн урттай тэнцүү болохыг олж мэднэ.

Муруй масс.

γ (x, y, z) интеграл функц нь муруйн цэг бүрийн нягтыг тодорхойлдог гэж үзвэл бид муруйн массыг томъёогоор олно.

3. Бид l муруйн моментуудыг хавтгай мужтай адил аргаар олох болно: -

статик мөчүүдхавтгай муруй l Ox болон Oy тэнхлэгтэй харьцуулахад;

гарал үүсэлтэй харьцуулахад орон зайн муруйн инерцийн момент;

· муруйн координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад инерцийн моментууд.

4. Муруйн массын төвийн координатыг томъёогоор тооцоолно

No 38(2) Гурвалсан интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт

Давхар интеграл шиг гурвалсан интегралыг тооцоолохдоо хувьсагчийн өөрчлөлт хийх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг. Энэ нь интеграцийн домайн эсвэл интегралын хэлбэрийг хялбарчлах боломжийг танд олгоно.

Анхны гурвалсан интегралыг U мужид декартын x, y, z координатаар өгье.

Энэ интегралыг u, v, w шинэ координатуудад тооцоолох шаардлагатай. Хуучин болон шинэ координатуудын хоорондын хамаарлыг дараахь харьцаагаар тодорхойлно.

Дараахь нөхцлийг хангасан гэж үзэж байна.

1. φ, ψ, χ функцууд нь хэсэгчилсэн деривативын хамт тасралтгүй;

2. xyz орон зай дахь U интегралчлалын бүсийн цэгүүд болон uvw орон зай дахь U" мужын цэгүүдийн хооронд нэгээс нэг харгалзах байдал байна;

3. I (u,v,w) хувирлын Якобиан, тэнцүү

тэгээс ялгаатай бөгөөд U интеграцийн домэйны хаа сайгүй тогтмол тэмдгийг хадгалдаг.

Дараа нь гурвалсан интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Дээрх илэрхийлэлд энэ нь гэсэн үг юм үнэмлэхүй үнэ цэнэЯкобиан

No38 Бөмбөрцөг координат дахь гурвалсан интеграл

M(x,y,z) цэгийн бөмбөрцөг координатууд нь − ρ, φ, θ гэсэн гурван тоо байна.

ρ - M цэгийн радиус векторын урт;

φ нь радиус векторын Oxy хавтгай ба Ox тэнхлэгт проекцоор үүссэн өнцөг;

θ нь радиус векторын Oz тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс хазайх өнцөг юм (Зураг 1).

Бөмбөрцөг ба цилиндр координат дахь ρ, φ-ийн тодорхойлолтууд нь бие биенээсээ ялгаатай болохыг анхаарна уу.

Цэгийн бөмбөрцөг координатууд нь түүний декарт координатуудтай харилцаа холбоогоор холбогддог

Декартаас бөмбөрцөг координат руу шилжих Якобиан нь дараах хэлбэртэй байна.

Тодорхойлогчийг хоёр дахь баганад өргөжүүлбэл бид олж авна

Үүний дагуу Якобийн үнэмлэхүй утга нь тэнцүү байна

Тиймээс декартын координатыг бөмбөрцөг координат болгон хувиргах үед хувьсагчдыг өөрчлөх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Гурвалсан интеграл U интегралын муж нь бөмбөг (эсвэл түүний зарим хэсэг) ба/эсвэл интеграл нь f (x2 + y2 + z2) хэлбэртэй байх үед бөмбөрцөг координатаар тооцоолоход илүү тохиромжтой.

Гадаргуу

Гөлгөр гадаргуу дээр (хаалттай эсвэл гөлгөр контураар хязгаарлагдсан) M0 цэгийг сонгож, гадаргуу дээр нь нормийг зурж, тодорхой чиглэлийг (хоёр боломжит аль нэгийг) сонгоно уу. М0 цэгээс эхлээд төгсгөлийн гадаргуугийн дагуу битүү контур зуръя. Энэ контурыг тойрох М цэгийг авч үзье, түүний байрлал бүрт өмнөх цэгийн норм тасралтгүй өнгөрөх чиглэлийн нормийг зурна. Хэрэв контурыг өнгөрсний дараа гадаргуу дээрх M0 цэгийг сонгохдоо хэвийн байдал нь M0 цэг дээр анхны байрлалдаа буцаж ирвэл гадаргууг хоёр талт гэж нэрлэдэг. Хэрэв хэвийн чиглэл нь дор хаяж нэг цэгийг давсны дараа эсрэгээр өөрчлөгдвөл гадаргууг нэг талт гэж нэрлэдэг (нэг талт гадаргуугийн жишээ бол Мобиусын зурвас юм). нэг цэг дэх нормын чиглэл нь гадаргуугийн бүх цэг дэх хэвийн чиглэлийг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлдог.

Тодорхойлолт

Ижил хэвийн чиглэлтэй гадаргуу дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гадаргуугийн тал гэж нэрлэдэг.

Гадаргуугийн чиг баримжаа.

L контураар хязгаарлагдсан нээлттэй гөлгөр хоёр талт S гадаргууг авч үзээд энэ гадаргуугийн нэг талыг сонгоно.

Тодорхойлолт

Контурын дагуух хөдөлгөөн нь хэвийн төгсгөлийн цэгт байрлах ажиглагчтай харьцуулахад цагийн зүүний эсрэг явагдах L контурын хөндлөн гарах чиглэлийг эерэг гэж нэрлэе. Урвуу чиглэлБид хэлхээний тойргийг сөрөг гэж нэрлэдэг.

Талбайн вектор урсгал.

Орон зайн G мужид тодорхойлогдсон вектор талбар A(M), S гадаргуугийн сонгосон тал дээрх чиглэгдсэн гөлгөр гадаргуу S G ба нэгж нормуудын n(M) талбарыг авч үзье.

Тодорхойлолт 13.3. 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл, (13.1)

Энд Ан нь харгалзах векторуудын скаляр үржвэр, Ан нь A векторын хэвийн чиглэл рүү чиглэсэн проекц бөгөөд үүнийг A(M) векторын талбайн S гадаргуугийн сонгосон хажуугаар урсах урсгал гэж нэрлэдэг.

Тайлбар 1.

Хэрэв та гадаргуугийн нөгөө талыг сонговол хэвийн, улмаар урсгал нь тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Тайлбар 2.

Хэрэв А вектор нь өгөгдсөн цэг дэх шингэний урсгалын хурдыг зааж өгсөн бол интеграл (13.1) нь эерэг чиглэлд S гадаргуугаар нэгж хугацаанд урсах шингэний хэмжээг тодорхойлно (тиймээс "урсгал" гэсэн ерөнхий нэр томъёо).

No53 Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл. Тодорхойлолт ба гэгээнтнүүд.

Тодорхойлолт

Гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр хоёр талт гадаргууг авч үзээд түүний хоёр талын аль нэгийг нь засаж, гадаргуу дээр тодорхой чиг баримжаа сонгохтой тэнцэх болно.

Тодорхой байхын тулд эхлээд гадаргуу нь тодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд цэг нь хэсэгчилсэн гөлгөр контураар хязгаарлагдсан хавтгай дээрх мужид өөрчлөгддөг гэж үзье.

Одоо энэ гадаргуугийн цэгүүдэд зарим функцийг тодорхойлъё. Гадаргууг хэсэгчилсэн гөлгөр муруйн сүлжээгээр хэсэг болгон хувааж, ийм хэсэг тус бүр дээр цэгийг сонгосны дараа бид өгөгдсөн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолж, хавтгай дээрх проекцын талбайгаар үржүүлнэ. тодорхой тэмдгээр тоноглогдсон элемент. Интеграл нийлбэрийг гаргая:

Бүх хэсгүүдийн диаметр тэг болох хандлагатай байгаа энэ интеграл нийлбэрийн эцсийн хязгаарыг хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг.

гадаргуугийн сонгосон тал руу тарааж, тэмдгээр тэмдэглэнэ

(энд) нь гадаргуугийн элементийн хавтгайд проекцын талбайг бидэнд сануулж байна

Хэрэв бид хавтгайн оронд гадаргуугийн элементүүдийг хавтгай дээр эсвэл ., дараа нь бид хоёр дахь төрлийн бусад хоёр гадаргуугийн интегралыг олж авна.

Хэрэглээнд эдгээр бүх төрлийн интегралуудын холболтууд ихэвчлэн тохиолддог:

-ийн функцууд нь гадаргуугийн цэгүүдэд тодорхойлогддог.

Хоёр дахь болон эхний төрлийн гадаргуугийн интегралуудын хоорондын хамаарал

Гадаргуугийн нэгж хэвийн вектор хаана байна - ort.

Үл хөдлөх хөрөнгө

1. Шугаман байдал: ;

2. Нэмэлт: ;

3. Гадаргуугийн чиглэл өөрчлөгдөхөд гадаргуугийн интеграл тэмдэг өөрчлөгдөнө.

№60 Операторнабла (Хэмилтоны оператор)- тэмдгээр (набла) тэмдэглэсэн вектор дифференциал оператор. Тэгш өнцөгт декартын координат дахь гурван хэмжээст Евклидийн орон зайн хувьд nabla операторыг дараах байдлаар тодорхойлно: x, y, z тэнхлэгийн дагуух нэгж векторууд хаана байна.

Ажиглах боломжтой операторын шинж чанарууд.Хэрэв та векторыг скаляр φ-ээр үржүүлбэл функцийн градиентийг илэрхийлэх вектор гарч ирнэ. Хэрэв векторыг вектороор скаляраар үржүүлбэл үр дүн нь скаляр болно

өөрөөр хэлбэл векторын зөрүү. Хэрэв та вектороор үржүүлбэл векторын роторыг авна.

Анхаарна уу: Скаляр болон вектор үржвэрийг ерөнхийд нь тэмдэглэхийн тулд тэдгээрийг набла оператортой хамт хэрэглэхэд дээр дурдсантай адил төстэй өөр тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг, жишээлбэл, ихэвчлэн бичихийн оронд , оронд нь бичдэг. бичих; Энэ нь доор өгөгдсөн томъёонд мөн хамаарна.

Үүний дагуу скаляр үржвэр нь Лаплас оператор гэж нэрлэгддэг скаляр оператор юм. Сүүлийнх нь мөн томилогдсон. Декартын координатуудад Лаплас операторыг дараах байдлаар тодорхойлно: Набла оператор нь дифференциал оператор тул илэрхийллийг хувиргахдаа вектор алгебрийн дүрэм болон ялгах дүрмийг хоёуланг нь харгалзан үзэх шаардлагатай. Жишээ нь:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр талбараас хамаарах илэрхийллийн дериватив нь зөвхөн нэг талбарт ялгагдах илэрхийллийн нийлбэр юм. Набла аль талбарт үйлчилдэгийг зааж өгөхөд хялбар байх үүднээс талбар ба операторуудын үржвэрт оператор бүр түүний баруун талд байгаа илэрхийлэл дээр ажилладаг бөгөөд зүүн талын бүх зүйл дээр ажилладаггүй гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Хэрэв оператор зүүн талд байгаа талбарт ажиллах шаардлагатай бол энэ талбарыг ямар нэгэн байдлаар, жишээлбэл, үсгийн дээр сум байрлуулж тэмдэглэнэ: Энэ тэмдэглэгээний хэлбэрийг ихэвчлэн завсрын хувиргалтанд ашигладаг. Энэ нь тохиромжгүй учраас эцсийн хариултын сумнаас салах гэж оролдож байна.

№61 Хоёр дахь эрэмбийн вектор дифференциал үйлдлүүдДараах таван үйлдлийг дуудна.

1. Лаплас оператор хаана байна.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Векторын проекц бүрт Лаплас операторыг хэрэглэснээр векторын хэмжигдэхүүнийг энд харуулав.

- - - - - - - - - - - - - - -

Давхар интегралын тухай ойлголтод хүргэж буй асуудал Давхар интегралын тодорхойлолт Давхар интегралын үндсэн шинж чанарууд Хавтгай мужийн талбай Давхар интегралыг давтан интеграл болгон бууруулах Давхар интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт Муруйн координат дахь талбайн элемент Якобиан ба түүний геометрийн утга Давхар интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлтийн томъёо Туйлт координат дахь давхар интеграл

Давхар интеграл гэдэг ойлголтод хүргэж буй асуудал. Давхар интегралын тодорхойлолт. Цилиндр биетийн эзэлхүүнийг тооцоолох тодорхой асуудлыг шийдсэнээр бид давхар интеграл гэдэг ойлголтод хүрдэг. Цилиндр бие гэдэг нь xOy хавтгай, тодорхой гадаргуу ба цилиндр гадаргуутай, генатрисууд нь тэнхлэгтэй параллель байрладаг биеийг хэлнэ (1-р зургийг үз). x ба y хувьсагчдын өөрчлөлтийн D мужийг цилиндр биеийн суурь гэнэ. Биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлохдоо бид хоёр зарчмыг баримтална: !) Хэрэв бид биеийг хэсэг болгон хуваах юм бол түүний эзэлхүүн нь бүх хэсгүүдийн эзэлхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна (нэмэлт шинж чанар); 2) xOy хавтгайтай параллель z = const хавтгайгаар хязгаарлагдсан шулуун цилиндрийн эзэлхүүн нь суурийн талбайг өндрөөр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Дараахь зүйлд бид D муж нь холбогдсон (нэг хэсгээс бүрдэх), квадрат хэлбэртэй (өөрөөр хэлбэл, талбайтай) болон хязгаарлагдмал (өөрөөр хэлбэл гарал үүсэл дээр төвлөрсөн тодорхой тойрог дотор байрладаг) гэж үзэх болно. Z> бүсийн хаа сайгүй бүсийн P(x, y) цэгийн тасралтгүй функц, өөрөөр хэлбэл авч үзэж буй цилиндр гадаргуу нь xOy хавтгайгаас бүхэлдээ дээгүүр байрлана. Цилиндр биеийн эзэлхүүнийг V-ээр тэмдэглэцгээе. Цилиндр биеийн суурь болох D мужийг дурын хэлбэрийн огтлолцдоггүй дөрвөлжин мужуудын тодорхой тооны n-д хуваана; Бид тэдгээрийг хэсэгчилсэн бүс гэж нэрлэх болно. Хэсэгчилсэн талбайг тодорхой дарааллаар дугаарлаж, талбайг зохих ёсоор нь дугаарлана. Хэсэгчилсэн мужийн диаметрийг Dk хэмжигдэхүүн гэж нэрлэе Давхар интегралын тухай ойлголтод хүргэдэг асуудал Давхар интегралын тодорхойлолт Давхар интегралын үндсэн шинж чанарууд Хавтгай мужийн талбай Давхар интегралыг дахин дахин интеграл болгон бууруулах Давхар интеграл дахь хувьсагч Муруй шугаман координат дахь талбайн элемент Якобин ба түүний геометрийн утга Давхар интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлтийн томъёо Туйлын координат дахь давхар интеграл р(P; Q) тэмдэг нь P ба Q цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлдэг. d-ээр хэсэгчилсэн мужуудын голчуудаас хамгийн том нь Dk (k = 1,2,..., n). Хэсэгчилсэн муж бүрийн хилээр Oz тэнхлэгтэй параллель генератор бүхий цилиндр гадаргууг зуръя. Үүний үр дүнд цилиндр бие нь n хэсэгчилсэн цилиндр хэлбэртэй биед хуваагдана. Энэ хэсэгчилсэн биеийг сольсон гадаргуугийн аль нэг цэгийн хэрэглээний хэмжээтэй ижил суурь ба өндөртэй шулуун цилиндрээр орлуулъя (Зураг 2). Ийм цилиндрийн эзэлхүүн нь тухайн цэг нь Dk бүсийн талбайтай тэнцүү байна. Хэсэгчилсэн цилиндр хэлбэртэй бие бүрийн хувьд тайлбарласан бүтээцийг хийсний дараа бид n-алхам биеийг олж авсан бөгөөд түүний эзэлхүүн нь (o) Зөн совингийн хувьд Vn нь хүссэн V хэмжээг илүү нарийвчлалтай илэрхийлэх нь тодорхой байна, хэсэгчилсэн бүсүүдийн хэмжээ бага байх болно. Дк. Цилиндр биеийн V эзэлхүүнийг бид n-шатлалт биеийн эзэлхүүн (1) n-ω, хэсэгчилсэн мужуудын хамгийн том d диаметр нь Dk тэг рүү чиглэх хязгаартай тэнцүү байна. Мэдээжийн хэрэг, хязгаар нь D бүсийг хэсэгчилсэн Dk мужид хуваах төрөл, хэсэгчилсэн бүс дэх Pk цэгийн сонголтоос хамаарах ёсгүй. f(x, y) нь D мужид тодорхойлогдсон дурын функц байг. n (1) нийлбэрийг энэ домайн n-д өгөгдсөн хуваалттай харгалзах D муж дээрх f(x)y) функцийн интеграл нийлбэр гэнэ. хэсэгчилсэн домэйн болон өгөгдсөн цэгийн сонголт Ж ®*,!/*) хэсэгчилсэн домэйн дээр Dk. Тодорхойлолт. Хэрэв d -* 0-ийн хувьд D мужийг хэсэгчилсэн домайнуудад хуваах аргаас эсвэл хэсэгчилсэн домайн дахь Pk цэгийн сонголтоос үл хамаарах n интеграл нийлбэрийн хязгаар байгаа бол үүнийг давхар интеграл гэнэ. F(P) (эсвэл f(x, y )) функц нь D муж дээр байх ба ЭСВЭЛ тэмдгээр тэмдэглэгдсэн тул (2) f(x, y) функцийг D (f() мужид интегралдах боломжтой гэж нэрлэдэг. P) нь интеграл, f(P) dS нь интеграл, dS нь талбайн дифференциал (эсвэл элемент), бүс D - интеграцийн бүс P(®, y) - интегралын хувьсагч); ,.. Цилиндр бие рүү буцаж очоод бид дүгнэж байна: xOy хавтгай, гадаргуу, Oz тэнхлэгтэй параллель генераторууд бүхий цилиндр гадаргуугаар хязгаарлагдсан цилиндр хэлбэртэй биеийн эзэлхүүн нь функцийн давхар интегралтай тэнцүү байна /( x, y) цилиндр биеийн суурь болох D муж дээр / OR Энд dx dy нь декарт координат дахь талбайн элемент юм. Энэ нь сөрөг бус функцийн давхар интегралын геометрийн утга юм. Хэрэв эзэлхүүн нь хэрэв f(P) функцийн D мужид эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авдаг бол интеграл нь xOy хавтгайгаас дээш байрлах биеийн хэсгүүдийн эзлэхүүний алгебрийн нийлбэрийг илэрхийлнэ. "+" тэмдэг), мөн xOy хавтгайн доор байрлах биеийн хэсгүүд ("-" тэмдгээр авсан). Теорем 2. Хэрэв f(x, y) функц нь битүү хязгаарлагдмал D мужид хязгаарлагдмал бөгөөд тэг талбайн зарим олонлогоос бусад D хэсгийн хаа сайгүй үргэлжилдэг бол энэ функц нь D мужид интегралч болно.§2. Давхар интегралын үндсэн шинж чанарууд Давхар интеграл нь нэг бие даасан хувьсагчийн функцүүдийн тодорхой интегралын шинж чанаруудтай төстэй хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. 2.1. Шугаман шинж чанар) Хэрэв функцууд нь D мужид интегралч, a ба p нь дурын бодит тоо бол af) функц нь D мужид мөн интеграл болно, ба o) 2.2. Тэгш бус байдлын интегралчлал Хэрэв функцууд) нь D мужид болон энэ домайн хаа сайгүй интегралдах боломжтой бол (2) өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдлыг нэгтгэж болно. Ялангуяа илт тэгш бус байдлыг нэгтгэн бид олж авна Хавтгай бүсийн талбай Хавтгай мужийн талбай D нь нэгдмэл байдалтай ижил тэнцүү функцийн энэ муж дээрх давхар интегралтай тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ D домэйн дэх /(P) = 1 функцийн интеграл нийлбэр нь хэлбэртэй бөгөөд D домэйныг хэсэгчилсэн мужид Dt хуваахад түүний S талбайтай тэнцүү байна. Гэхдээ энэ нийлбэрийн хязгаар нь, өөрөөр хэлбэл давхар интеграл нь S талбай D талбайтай тэнцүү байна: эсвэл юу нь ижил байна, (3) 2.4. Интегралын тооцоо f(P) функц нь хязгаарлагдмал хаалттай D мужид тасралтгүй байх ба M ба mn нь D муж дахь f(P) ба түүний талбайн 5-ын хамгийн том ба хамгийн бага утгууд байг. Дараа нь (4) 2.5. Нэмэлт чанар: Хэрэв /(P) функц нь D мужид интегралдах боломжтой ба Z) домэйн нь нийтлэг дотоод цэггүй D\ ба Di хоёр мужид хуваагддаг бол /(P) нь D\ ба Di домэйн тус бүр дээр интегралдах боломжтой болно. , ба (5) 2.6. Дундаж утгын теорем Теорем 3 (дундаж утга). Хэрэв /(P) функц нь хаалттай хязгаарлагдмал D домэйн дээр үргэлжилдэг бол D домэйны Pc-ийн дор хаяж нэг цэг байдаг бөгөөд S нь D домэйны талбайн хувьд хүчинтэй байна /(P) нь битүү хязгаарлагдмал D талбайд үргэлжилсэн байвал түүний авна хамгийн өндөр үнэ цэнэ M ба түүний хамгийн бага утга m 4-р интегралын үнэлгээний тухай Тиймээс тоо нь хамгийн том ба хоёрын хооронд байрлана. хамгийн бага утгуудфункц /(P) домэйн D. D домэйн дэх /(P) функцийн тасралтгүй байдлаас шалтгаалан Pc G D ямар нэгэн цэгт энэ тоотой тэнцүү утгыг авдаг, эндээс S f(Pc)-ийн утга, (7) томъёогоор тодорхойлогддог домэйн дэх f(P) дундаж утгын функцууд гэж нэрлэгддэг D. Дундаж утгын теоремын геометрийн утга Хэрэв D мужид f(P) → O функц байвал (6) томъёог хэлнэ. D суурьтай (талбай нь 5), өндөр Н = /(Рс) шулуун цилиндр байдаг бөгөөд эзэлхүүн нь цилиндр биеийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна (Зураг 3). § 3. Давхар интегралыг давтагдах интеграл болгон бууруулах Нэг үр дүнтэй арга замууд Давхар интегралыг тооцоолох нь түүнийг дахин давтагдах болгон багасгах явдал юм. 3.1. Тэгш өнцөгтийн тохиолдол D талбайг координатын тэнхлэгүүдтэй параллель талуудтай битүү P тэгш өнцөгт гэж үзье. P тэгш өнцөгт дэх f(x, y) функц тасралтгүй байг. Давхар интегралыг P суурьтай цилиндр биений (алгебрийн) эзэлхүүн гэж тайлбарлаж болно, гадаргуугаар хязгаарлагдсан. Ой тэнхлэгт перпендикуляр хавтгай зуръя (Зураг 4). Энэ хавтгай нь цилиндр биеийг тэгшитгэлээр тодорхойлсон хавтгай z шугамаар дээрээс нь хязгаарласан муруйн трапецын дагуу огтолно. ABC\A\ трапецын талбайг x дээр интеграл хийх интегралаар илэрхийлнэ. - интегралын хоёр дахь аргументыг тогтмол гэж үзнэ (c ^ Uo ^ d ). Интеграл (1)-ийн утга нь уо утгын сонголтоос хамаарна. (2) илэрхийлэл (2) нь цилиндр биеийн хөндлөн огтлолын талбайг y-ийн функцээр илэрхийлнэ. Иймд цилиндр хэлбэртэй биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно Нөгөө талаас, энэ эзэлхүүнийг P тэгш өнцөгт дээрх f(x, y) функцийн давхар интегралаар илэрхийлнэ. Энэ нь S(y) -ийг орлуулах гэсэн үг юм. түүний илэрхийлэл (2), бид давхар интеграл гэсэн ойлголтыг авчрах асуудлыг олж авна Давхар интегралын тодорхойлолт Давхар интегралын үндсэн шинж чанарууд Хавтгай мужийн талбай Давхар интегралыг давтан интеграл болгон бууруулах Давхар интеграл дахь хувьсагчдыг солих Муруй шугаман координат дахь талбайн элемент Якобин ба түүний геометрийн утга Давхар интеграл дахь хувьсагчдыг орлуулах томъёо Туйлт координат дахь давхар интеграл Сүүлийн хамаарлыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг. Цилиндр биеийн эзэлхүүнийг мөн биеийн хөндлөн огтлолын талбайгаас олж болно. онгоцууд x = x0. Энэ нь томьёо (4)-д хүргэдэг (3) ба (4) томъёоны баруун талд байгаа илэрхийлэл бүр нь /(x, y) функцийн энгийн интегралын дараалсан хоёр үйлдлийг агуулна. Тэдгээрийг P домэйн дээрх /(x, y) функцийн давтагдсан интеграл гэж нэрлэдэг. Хэрэв f(x, y) нь P битүү тэгш өнцөгт P-д тасралтгүй байвал давтан интеграл руу шилжих нь үргэлж боломжтой ба (5) өөрөөр хэлбэл, Тасралтгүй функцийн /(x, y) давтагдсан интегралуудын утга нь интегралчлалын дарааллаас хамаарахгүй. Жишээ 1. Домен дээрх функцийн давхар интегралыг ол. Бидэнд байна (5-р зургийг үз): 3.2. Дурын домэйны тохиолдол Одоо интеграцийн мужийг xOy хавтгай дээрх дурын хязгаарлагдмал дөрвөлжин битүү D домэйн гэж үзье, дараах нөхцөлийг хангана: Oy тэнхлэгтэй параллель дурын шулуун шугам нь D домэйны хилийг огтлолцоно. хоёроос дээш цэг эсвэл бүхэл бүтэн сегментийн дагуу (Зураг . 6 a). Зурагт үзүүлсэн шиг тэгш өнцөгт доторх D талбайг хаая. 66. [a, 6] хэрчим нь D мужийг Oxy тэнхлэгт хийсэн ортогональ проекц бөгөөд [c, dj сегмент нь D мужийг Ой тэнхлэг рүү чиглэсэн ортогональ проекц юм. А ба С цэгүүд нь D талбайн хилийг ABC ба AEC хоёр муруй болгон хуваана. Эдгээр муруй бүр нь нэгээс илүүгүй цэг дээр Oy тэнхлэгтэй параллель дурын шулуун шугамтай огтлолцоно. Иймд тэдгээрийн тэгшитгэлийг y-д хамааруулан шийдэгдсэн хэлбэрээр бичиж болно: f(x, y) ямар нэг функц тасралтгүй D мужид байг. Харгалзаж буй цилиндр биеийг хавтгайгаар задлан үзье. Энэ хэсэгт бид PQMN муруйн трапецийг (Зураг 7) олж авдаг бөгөөд түүний талбайг нэг y хувьсагчийн функц гэж үздэг /(x, y) функцийн энгийн интегралаар илэрхийлдэг. Энэ тохиолдолд y хувьсагч нь P цэгийн ординатаас Q цэгийн ординат хүртэл өөрчлөгддөг P цэг нь x = const шулууны (хавтгайд) муж руу "орох" - түүний "гаралтын" цэг юм. энэ бүсээс. ABC муруйн тэгшитгэл нь, муруй нь мөн тул авсан x-ийн эдгээр ординатууд тус тус тэнцүү байна. Үүний үр дүнд интеграл нь цилиндр биеийн хавтгай хэсгийн талбайг огтлох хавтгайн байрлалаас хамаарсан илэрхийлэлийг өгдөг x = const. Бүх биеийн эзэлхүүн нь өөрчлөлтийн интервал дахь х дээрх илэрхийллийн интегралтай тэнцүү байх болно. Тиймээс, тухайлбал, D бүсийн S талбайн хувьд бид дараахь зүйлийг олж авлаа: Шулуун шугам бүр нь D бүсийн хилийг P ба Q хоёроос илүүгүй цэгээр огтолж байгаа бөгөөд тэдгээрийн абсциссууд нь тэнцүү байна гэж үзье ( эсвэл бүхэл бүтэн сегментийн дагуу) (Зураг 8). Үүнтэй төстэй үндэслэлийг хийснээр бид давхар интегралын тооцоог дахин давтагдах болгон бууруулсан томъёонд хүрнэ. Жишээ 2. Функцийн давхар интегралыг талбайн дээр тооцоол. D. шугамаар хязгаарлагдсан ^ Нэгдүгээр арга. Интегралчлалын мужийг дүрсэлье D. Шулуун шугам y = x ба парабол y = x2 цэгүүд дээр огтлолцоно). Энэ нь x нь 0-ээс 8 хязгаарт хэлбэлзэнэ гэсэн үг. Аливаа шулуун шугам x = const) мужын хилийг хоёроос илүүгүй цэгээр огтолно. Тиймээс (8) томъёог хэрэглэнэ: Хоёр дахь арга (Зураг 10). Томъёо (10) ашиглах. Бид ижил үр дүнд хүрнэ: Жишээ 3. Хагас тэнхлэг бүхий эллипсийн шугамын дагуу xOy хавтгайтай огтлолцсон гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг энэ биеийн xOz ба y Ox координатын хавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмийн улмаас тооцоол. Бид олж авна: Тайлбар. Хэрэв D муж нь зарим шулуун шугамууд (астратик эсвэл хэвтээ) түүний хилийг хоёроос дээш цэгээр огтолдог бол D муж дээрх давхар интегралыг тооцоолохын тулд үүнийг хэсэг болгон хувааж, интеграл бүрийг хэсэг болгон давтах хэрэгтэй. , мөн олж авсан үр дүнг нэмнэ үү. Жишээ 4. Дотор квадратын тал нь 2, гадна тал нь 4 бол төвтэй хоёр квадратын хооронд болон координатын тэнхлэгүүдтэй параллель эх ба талууд дээр байрлах D талбай дээрх давхар интегралыг тооцоол. том дөрвөлжин Q, тал нь 4 , жижиг дөрвөлжинд R. тал нь 2-той тэнцүү (Зураг 12). Теорем 1-ийн дагуу заасан квадратууд дээрх e*** функцийн интегралууд байгаа тул шаардлагатай интегралын утга §4. Давхар интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт 4.1. Цэгийн муруйн координатын тухай ойлголт uOv хавтгайн D* мужид хос функцийг өгье, бид үүнийг энэ мужид тасралтгүй, тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай авч үзэх болно. Тэгшитгэл (1)-ийн дагуу D* домэйны M*(α, v) цэг бүр нь xOy хавтгай дахь тодорхой нэг M(x, y) цэгтэй тохирч байгаа тул D* домэйны цэгүүд нь a. xOy хавтгай дахь тодорхой D цэгүүдийн (x, y) багц (Зураг 13). Энэ тохиолдолд (1) функцууд нь D4 домэйнийг D олонлогт буулгадаг гэж тэд хэлдэг. Өөр өөр цэгүүд (u, v) өөр өөр цэгүүдтэй (x, y) тохирч байна гэж үзье. Энэ нь (1) тэгшитгэлийн u, v-ийн хувьд давтагдашгүй шийдвэрлэх чадвартай тэнцэнэ: Энэ тохиолдолд зураглалыг D* домайныг D домэйн дээр нэг нэгээр нь буулгах гэж нэрлэдэг. Ийм хувиргалтаар дурын D* мужид байрлах тасралтгүй муруй L* нь D мужид байрлах тасралтгүй муруй L болж хувирна. Хэрэв d(x) y) ба h(x, y) функцууд мөн тасралтгүй байвал ямар ч тасралтгүй шугамын LCD тусламжтайгаар. хувиргах (2) нь L* C D* тасралтгүй шугамыг давах болно.<)> Vq) мужид £)* өөрөө, харин D муж дахь харгалзах M(xo, vo) цэгийн байрлал, xo = 4>(io, v0), 3/0 = o,vo). Энэ нь u, v тоонуудыг xOy хавтгай дээрх М мужийн D цэгийн зарим шинэ координат гэж үзэх үндэслэл болж байна. Тэдгээрийг М цэгийн муруйн координат гэж нэрлэдэг. D талбайн аль нэг координат нь тогтмол байх цэгүүдийн багцыг координатын шугам гэнэ. (1) томъёонд u = vq гэж тохируулснаар бид координатын шугамын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна. Энд параметрийн үүргийг u хувьсагч гүйцэтгэдэг. Координат v янз бүрийн (үүнд боломжтой) тогтмол утгыг өгснөөр бид xOy хавтгай дээр координатын шугамын бүлгийг (v = const) олж авна. Үүний нэгэн адил бид координатын өөр гэр бүлийг (u = const) олж авдаг. Хэрэв D* ба D мужуудын хооронд нэг нэгээр нь харгалзах юм бол нэг гэр бүлийн өөр өөр координатын шугамууд хоорондоо огтлолцохгүй бөгөөд гэр бүл бүрийн нэг шугам нь D мужын аль ч цэгийг дайран өнгөрдөг. xOp хавтгай дээрх муруй шугаман координатын шугам нь uOv хавтгай дээрх тэгш өнцөгт торны дүрс юм (13-р зургийг үз). 4.2. Муруй шугаман координат дахь талбайн элемент. Якобин ба түүний геометрийн утга Uo*V хавтгай дээрх D* мужид талууд нь 0*u ба O"v координатын тэнхлэгтэй параллель P*P?P$Pl, хажуугийн урт нь Ai ба Av нартай P*P?P$Pl жижиг тэгш өнцөгтийг сонгоцгооё. (тодорхой байдлын хувьд бид A ) тус тусад нь (Зураг 14 a) Тэгш өнцөгт нь D талбайд муруй дөрвөлжин хэлбэртэй болдог (Зураг 146) Хэрэв оройнууд нь координаттай бол (1). ), харгалзах оройнууд нь Pi координаттай байна). дөрвөлжингийн оройн цэгүүд нь тэдгээрийн бүх деривативууд болох цэгүүдийн координатуудын хувьд олдсон илэрхийлэлүүд нь хамгийн бага зэрэглэлийн дөрвөлжин P\PiPa нь параллелограмм юм баримт Дараа нь дөрвөн өнцөгтийн DS талбайг вектор үржвэрийн уртаар ойролцоогоор илэрхийлж болно, Давхар интеграл гэсэн ойлголтод хүргэх асуудал Давхар интегралын тодорхойлолт Давхар интегралын үндсэн шинж чанарууд Хавтгай бүсийн талбай Давтан интегралд давхар интегралыг багасгах Давхар интеграл дахь хувьсагчдыг солих Муруйн координат дахь талбайн элемент Якобиан ба түүний геометрийн утга Давхар интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх томъёо Туйлт координат дахь давхар интеграл Тодорхойлогч Видеоны (7) ба (8) томъёоноос , Жакобын үнэмлэхүй утга нь хувиргах томьёог (1) ашиглан D домэйн дээр буулгахдаа D" (энэ цэгт (tx, v)) бүсийн орон нутгийн суналтын коэффициентийн үүргийг гүйцэтгэдэг. 4.3. Давхар интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх томьёо Үргэлжилсэн функцууд нь D* мужийг D дээр нэгээс нэгээр нь буулгаж, эхний эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байг. xOy хавтгайд D мужид тасралтгүй функцийг өгье) функцын утга тус бүр нь D муж дахь r = функцийн тэнцүү утгатай тохирч байна. Энд D* мужийг хэсэгчилсэн мужид хуваая. мөн мужийн харгалзах хуваалтыг байгуулна D. Харгалзах хэсэгчилсэн мужууд (u, v) ба (x, y) цэгүүдийг сонгон тэдгээрийн функцүүдийн утгууд давхцаж, бид z функцүүдийн интеграл нийлбэрийг зохио. = /(x, y) ба v) D ба D* домэйн дээр D\ хэсэгчилсэн мужуудын хамгийн том диаметр нь тэг болох хандлагатай тул (9) функцийн тэгш байдлыг олж авна. газрын зургийн тасралтгүй байдал (I), D хэсэгт хэсэгчилсэн мужуудын d диаметрээс хамгийн том нь тэг байх хандлагатай байх болно), J Ф 0 нөхцөл нь функцээр хийгдсэн орон нутгийн нэг нэгээр нь зураглал хийх нөхцөл юм. Теорем 4. Декартын координатад заасан давхар интегралыг муруйн координатад давхар интеграл болгон хувиргахын тулд /(x, y) интеграл функцийн x, y хувьсагчдыг dx dy - талбайн элементээр тус тус орлуулах шаардлагатай. муруйн координат дахь түүний илэрхийлэл: Жишээ. Гипербол m-ээр хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой. Заасан зургийн талбайг олох нь О муж дээрх давхар интегралыг тооцоолоход хүргэдэг. муруй шугаман координатуудба болон томъёоны тухай Аадачи яшиогийн нөхцөлөөс, тэр. Энэ нь uOv хавтгайд бид тэгш өнцөгт (Зураг 156) - өгөгдсөн дүрсээс энгийн дүрсийг олж авсан гэсэн үг юм D. (11) -ээс u ба t>-ийн харьцаанаас x ба у-г илэрхийлье: Зураг 15 Дараа нь Давхар интеграл. туйлын координатаар давхар интегралын тооцоог ихэвчлэн орлуулах замаар хялбаршуулдаг тэгш өнцөгт координат Томьёоны дагуу х ба у туйлын координат Туйлын координат дахь талбайн элемент нь хэлбэртэй байх ба декарт координат дахь интегралаас туйлын координат дахь интеграл руу шилжих томъёог дараах байдлаар бичиж болно: Энэ тохиолдолд (13) Талбай туйлын координат дахь элементийг мөн геометрийн үүднээс авч болно (Зураг 16-г үз). Зураг дээрх сүүдэртэй талбайн талбай A = pl. салбарууд. салбарууд Дээд эрэмбийн хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнийг хаяж, бид туйлын координат дахь талбайн элемент болгон авч, авна. Тэгэхээр декарт координат дахь давхар интегралыг туйлын координат дахь давхар интеграл болгон хувиргахын тулд интеграл дахь a: ба y-г p costp болон psiny-ээр тус тус сольж, декарт координат дахь талбайн элементийг dx dy орлуулах шаардлагатай. туйлын координат дахь талбайн элементтэй p dp dip. Одоо туйлын координат дахь давхар интегралыг тооцоолж эхэлцгээе. Тэгш өнцөгт декартын координатын нэгэн адил туйлын координат дахь интегралын тооцоог давтагдсан интеграл болгон бууруулж гүйцэтгэнэ. Эхлээд O туйл нь тухайн D мужаас гадуур орших тохиолдлыг авч үзье. D муж нь туйлаас гарах аливаа цацраг (координатын шугам y нь түүний хилийг хоёроос илүүгүй цэгээр эсвэл бүхэл сегментийн дагуу огтолдог) шинж чанартай байг. (Зураг 17) Туйлтын өнцгийн i туйлын утга нь μ> = туяа нь D бүсийн контурын А цэгээр, туяа нь В цэгээр дамждаг гэдгийг анхаарна уу. Aw B цэгүүд нь D бүсийн контурыг хоёр хэсэгт хуваадаг: ACB ба AFB ба) нь нөхцөлийг хангадаг нэг утгатай тасралтгүй функцууд Функцууд нь дотоод интеграцийн хязгаар юм. Давтагдсан интеграл руу шилжихдээ бид дараах томьёог олж авна. Ялангуяа F(p, r 1) бүхий D мужийн S талбайн хувьд одоо O туйл нь D муж дотор байрлана. D муж гэж үзье. туйлын хувьд од байна, өөрөөр хэлбэл ямар ч туяа tp = const нь тухайн бүсийн хилийг зөвхөн нэг цэг дээр эсвэл бүхэл сегментийн дагуу огтолдог (Зураг 18). Дараа нь 18-р зураг. Интегралын муж нь дөрвөлжин байх болно. Нэгжийн тойргийн дөрөвний нэгийг тооц Домэйн D-д тэгээс ялгаатай бол энэ домэйны цэг бүрийн тодорхой хөршийн зураглал нь нэгээс нэгтэй боловч бүх домэйны зураглал нэгээс нэг биш байж болно. Эдгээр функцүүдийн Якобиан нь тэнцүү, тиймээс хаа сайгүй тэгээс өөр функцээр тодорхойлогдсон зураглалыг авч үзье. Ямар ч байсан, бид үүнийг авдаг, тиймээс энэ зураглал нь нэг нэгээр нь биш юм. Нөгөөтэйгүүр, хэрэв зураглалын Якобиан хэзээ нэгэн цагт алга болвол энэ цэгийн ойр орчмын зураглал нь нэг нэгээр нь болж магадгүй юм. Жишээлбэл, функцээр тодорхойлогдсон зураглалын хувьд Якобиан нь тэг ба at-тай тэнцүү боловч зураглал нь нэгээс нэг юм. Урвуу зураглалыг функцээр тодорхойлно