Ердийн пирамидын эзэлхүүн. Энгийн гурвалжин пирамидын V пирамидын хэмжээ
Суурь нь жирийн гурвалжин, үлдсэн нүүрүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжингаар дүрслэгдсэн олон өнцөгтийг гэнэ. гурвалжин пирамидИйм пирамидыг тетраэдр гэж нэрлэдэг.
Ердийн пирамид нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс үүдэлтэй олон шинж чанартай байдаг.
- Энгийн гурвалжингаар дүрслэгдсэн тул суурийн бүх талууд нь хоорондоо тэнцүү байна;
- Пирамидын бүх ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү байна;
- Учир нь нүүр бүр нь үүсдэг тэгш өнцөгт гурвалжин, ирмэгүүд нь тэнцүү, суурь нь тэнцүү бол нүүр тус бүрийн талбай ижил байна гэж хэлж болно;
- Суурийн бүх хоёр талт өнцөг тэнцүү байна.
Энэ нь суурь ба хажуугийн сканнерын талбайн нийлбэрээр тооцоологддог. Үүнийг хажуугийн нүүр ба суурийн аль нэгний талбайг тооцоолох замаар олж болно. Гурвалжин пирамидын эзэлхүүний томъёог мөн гурвалжингийн шинж чанараас гаргаж авсан болно.
Суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно. 
Гурвалжин пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолох жишээг авч үзье.
Бидэнд гурвалжин пирамид өгье. Суурийн тал нь a = 2 см, өндөр нь h = 2√3 байна. Өгөгдсөн олон өнцөгтийн эзэлхүүнийг ол.
Эхлээд суурийн талбайг олъё. Үүнийг хийхийн тулд мэдэгдэж буй өгөгдлийг дээрх томъёонд орлъё: 
Одоо бид гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд олсон утгыг ашиглана. 
Гурвалжин пирамидын талбайг тооцоолохын тулд та богиносгосон томъёог ашиглаж болно. Энэ нь суурийн талбай ба өндрийг хослуулсан бөгөөд томьёог суурийн талбай ба пирамидын өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэг гэж уншина.
Энэ томъёог ашиглахдаа тооцоолол, бууралтыг чанд баримтлах нь чухал юм. Нэг жижиг алдаа нь буруу үр дүнд хүргэж болзошгүй юм. Ер нь энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг олох нь маш энгийн.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно имэйлгэх мэт.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай гэж үзвэл хуулийн дагуу шүүхийн журам, хуулийн дагуу болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - өөрийн хувийн мэдээллийг задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
Аливаа зүйлийн гол шинж чанар геометрийн дүрсорон зайд түүний эзэлхүүн байдаг. Энэ нийтлэлд бид гурвалжин хэлбэртэй пирамид гэж юу болохыг авч үзэх болно, мөн гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг харуулах болно - ердийн бүтэн ба таслагдсан.
Энэ юу вэ - гурвалжин пирамид?
Хүн бүр эртний хүмүүсийн тухай сонссон Египетийн пирамидууд, гэхдээ тэдгээр нь гурвалжин биш, ердийн дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Гурвалжин пирамид хэрхэн яаж авах талаар тайлбарлая.
Дурын гурвалжинг авч, түүний бүх оройг энэ гурвалжны хавтгайн гадна байрлах нэг цэгтэй холбоно. Үүссэн дүрсийг гурвалжин пирамид гэж нэрлэнэ. Үүнийг доорх зурагт үзүүлэв.
Таны харж байгаагаар уг дүрс нь ерөнхийдөө ялгаатай дөрвөн гурвалжингаас бүрддэг. Гурвалжин бүр нь пирамидын талууд эсвэл түүний нүүр юм. Энэ пирамидыг ихэвчлэн тетраэдр, өөрөөр хэлбэл тетраэдр гурван хэмжээст дүрс гэж нэрлэдэг.
Хажуу талаас гадна пирамид нь ирмэгүүд (тэдгээрийн 6 нь байдаг) ба орой (4-ийн) байдаг.
гурвалжин суурьтай
Дурын гурвалжин ба орон зайн цэгийг ашиглан олж авсан дүрс нь ерөнхий тохиолдолд жигд бус налуу пирамид байх болно. Анхны гурвалжин нь ижил талуудтай бөгөөд огторгуйн цэг нь түүний геометрийн төвөөс яг дээгүүр нь гурвалжны хавтгайгаас h зайд байрладаг гэж төсөөлөөд үз дээ. Эдгээр анхны өгөгдлийг ашиглан барьсан пирамид зөв байх болно.
Ердийн гурвалжин пирамидын ирмэг, тал, оройн тоо нь дурын гурвалжингаас барьсан пирамидынхтай ижил байх нь ойлгомжтой.
Гэсэн хэдий ч зөв тоонд зарим нь бий өвөрмөц онцлог:
- оройгоос зурсан өндөр нь геометрийн төв (медиануудын огтлолцох цэг) дээр суурьтай яг огтлолцох болно;
- Ийм пирамидын хажуугийн гадаргуу нь гурван ижил өнцөгт гурвалжингаас бүрддэг бөгөөд тэдгээр нь тэгш өнцөгт эсвэл тэгш өнцөгт юм.
Ердийн гурвалжин пирамид нь зөвхөн онолын геометрийн объект биш юм. Байгалийн зарим бүтэц нь өөрийн гэсэн хэлбэртэй байдаг, жишээлбэл, нүүрстөрөгчийн атом нь ижил дөрвөн атомтай ковалент холбоогоор холбогддог алмазын болор тор эсвэл пирамидын оройг устөрөгчийн атомуудаас бүрдүүлдэг метан молекул юм.
гурвалжин пирамид
Суурин дээр дурын n-гонтой ямар ч пирамидын эзэлхүүнийг дараах илэрхийллийг ашиглан тодорхойлж болно.
Энд S o тэмдэг нь суурийн талбайг илэрхийлдэг, h нь пирамидын оройноос тэмдэглэгдсэн суурь руу зурсан зургийн өндөр юм.
Дурын гурвалжны талбай нь түүний хажуугийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү бөгөөд энэ тал дээр унасан h a тэмдэгт нь гурвалжин пирамидын эзэлхүүний томъёог дараах хэлбэрээр бичиж болно.
V = 1/6 × a × h a × h
Учир нь ерөнхий төрөлӨндөрийг тодорхойлох нь тийм ч амар ажил биш юм. Үүнийг шийдэх хамгийн хялбар арга бол тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэн цэг (орой) ба хавтгай (гурвалжин суурь) хоорондын зайны томъёог ашиглах явдал юм. ерөнхий үзэл.
Зөв зүйлийн хувьд энэ нь тодорхой дүр төрхтэй байдаг. Суурийн талбай (тэнцүү талт гурвалжны) нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.
Үүнийг V-ийн ерөнхий илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
V = √3/12 × a 2 × h
Онцгой тохиолдол бол тетраэдрийн бүх талууд ижил тэгш талт гурвалжин болж хувирах нөхцөл байдал юм. Энэ тохиолдолд түүний эзэлхүүнийг зөвхөн түүний ирмэгийн параметрийн талаархи мэдлэг дээр үндэслэн тодорхойлж болно a. Харгалзах илэрхийлэл нь дараах байдалтай байна.
Таслагдсан пирамид
Хэрэв оройг агуулсан дээд хэсэг нь ердийн гурвалжин пирамидаас таслагдсан бол та таслагдсан дүрсийг авах болно. Анхныхаас ялгаатай нь энэ нь хоёр тэгш талт гурвалжин суурь, гурван тэгш өнцөгт трапецаас бүрдэнэ.
Доорх зурган дээр цаасаар хийсэн ердийн тайрсан гурвалжин пирамид хэрхэн харагддагийг харуулж байна.
Таслагдсан гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлохын тулд та түүний гурван шугаман шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй: суурийн тал тус бүр ба зургийн өндөр нь дээд ба доод суурийн хоорондох зайтай тэнцүү байна. Эзлэхүүнд тохирох томъёог дараах байдлаар бичнэ.
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Энд h нь зургийн өндөр, A ба a нь том (доод) ба жижиг (дээд) тэгш талт гурвалжны талуудын урт юм.
Асуудлын шийдэл
Өгүүлэл дэх мэдээллийг уншигчдад илүү ойлгомжтой болгохын тулд бид бичсэн томъёоны заримыг хэрхэн ашиглахыг тодорхой жишээгээр харуулах болно.
Гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг 15 см 3 гэж үзье. Зураг зөв байгаа нь мэдэгдэж байна. Пирамидын өндөр нь 4 см байх нь мэдэгдэж байгаа бол хажуугийн ирмэгийн апотемийг олох шаардлагатай.
Зургийн эзэлхүүн ба өндөр нь мэдэгдэж байгаа тул та тохирох томъёог ашиглан түүний суурийн хажуугийн уртыг тооцоолж болно. Бидэнд:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 см
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 см
Зургийн үгийн тооцоолсон урт нь түүний өндрөөс их байсан нь ямар ч төрлийн пирамидын хувьд үнэн юм.
Энд бид эзлэхүүний тухай ойлголттой холбоотой жишээг авч үзэх болно. Ийм даалгавруудыг шийдэхийн тулд та пирамидын эзлэхүүний томъёог мэдэж байх ёстой.
С
h - пирамидын өндөр
Суурь нь ямар ч олон өнцөгт байж болно. Гэхдээ Улсын нэгдсэн шалгалтын ихэнх асуудлын хувьд нөхцөл байдал нь ердийн пирамидуудтай холбоотой байдаг. Түүний нэг шинж чанарыг танд сануулъя:
Орой ердийн пирамидтүүний суурийн төв рүү чиглэсэн
Ердийн гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт пирамидуудын проекцийг харна уу (TOP VIEW):
Пирамидын эзлэхүүнийг олохтой холбоотой асуудлуудыг хэлэлцсэн блог дээр та болно.Даалгавруудыг авч үзье:
27087. Суурийн талууд нь 1, өндөр нь гурвын язгууртай тэнцүү энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг ол.
С- пирамидын суурийн талбай
h- пирамидын өндөр
Пирамидын суурийн талбайг олъё, энэ бол ердийн гурвалжин юм. Томьёог ашиглацгаая - гурвалжны талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэрийн тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү бөгөөд энэ нь:
Хариулт: 0.25
27088. Суурийн талууд нь 2, эзэлхүүн нь гурвын язгууртай тэнцүү энгийн гурвалжин пирамидын өндрийг ол.
Пирамидын өндөр, суурийн шинж чанар зэрэг ойлголтууд нь эзэлхүүний томъёогоор холбогддог.
С- пирамидын суурийн талбай
h- пирамидын өндөр
Бид эзэлхүүнийг өөрөө мэддэг, суурь болох гурвалжны талуудыг мэддэг тул суурийн талбайг олох боломжтой. Заасан утгыг мэдсэнээр бид өндрийг хялбархан олох боломжтой.
Суурийн талбайг олохын тулд бид томъёог ашигладаг - гурвалжны талбай нь зэргэлдээ талуудын бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү бөгөөд энэ нь:
Тиймээс эдгээр утгыг эзэлхүүний томъёонд орлуулснаар бид пирамидын өндрийг тооцоолж болно.
Өндөр нь гурван.
Хариулт: 3
27109. Энгийн дөрвөлжин пирамидын өндөр нь 6, хажуугийн ирмэг нь 10. Түүний эзэлхүүнийг ол.
Пирамидын эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.
С- пирамидын суурийн талбай
h- пирамидын өндөр
Бид өндрийг мэддэг. Та суурийн талбайг олох хэрэгтэй. Ердийн пирамидын орой нь суурийнх нь голд байрладаг гэдгийг сануулъя. Ердийн дөрвөлжин пирамидын суурь нь дөрвөлжин юм. Бид түүний диагональыг олж чадна. Тэгш өнцөгт гурвалжинг (цэнхэрээр тодруулсан) авч үзье.
Дөрвөлжингийн төвийг В цэгтэй холбосон сегмент нь дөрвөлжингийн диагональ талтай тэнцүү хөл юм. Пифагорын теоремыг ашиглан бид энэ хөлийг тооцоолж болно.
Энэ нь BD = 16 гэсэн үг юм. Дөрвөн өнцөгтийн талбайн томъёог ашиглан квадратын талбайг тооцоолъё.
Тиймээс:
Тиймээс пирамидын эзэлхүүн нь:
Хариулт: 256
27178. Энгийн дөрвөлжин пирамидын өндөр нь 12, эзэлхүүн нь 200. Энэ пирамидын хажуу ирмэгийг ол.
Пирамидын өндөр ба түүний эзэлхүүн нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь бид суурь болох дөрвөлжингийн талбайг олох боломжтой гэсэн үг юм. Квадратын талбайг мэдсэнээр бид түүний диагональыг олж чадна. Дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзвэл хажуугийн ирмэгийг тооцоолно.
Квадратын талбайг олцгооё (пирамидын суурь):
Квадратын диагональыг тооцоолъё. Талбай нь 50 тул тал нь тавын язгууртай тэнцүү байх ба Пифагорын теоремын дагуу:
О цэг нь диагональ BD-ийг хагасаар хуваадаг бөгөөд энэ нь OB = 5 тэгш өнцөгт гурвалжны хөл гэсэн үг юм.
Тиймээс бид пирамидын хажуугийн ирмэг нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолж болно.
Хариулт: 13
245353. Зурагт үзүүлсэн пирамидын эзэлхүүнийг ол. Түүний суурь нь олон өнцөгт бөгөөд түүний зэргэлдээ талууд нь перпендикуляр, хажуугийн ирмэгүүдийн нэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр бөгөөд 3-тай тэнцүү байна.
Олон удаа хэлсэнчлэн пирамидын эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.
С- пирамидын суурийн талбай
h- пирамидын өндөр
Суурийн перпендикуляр хажуугийн ирмэг нь гуравтай тэнцүү бөгөөд энэ нь пирамидын өндөр нь гурван байна гэсэн үг юм. Пирамидын суурь нь талбай нь дараахтай тэнцүү олон өнцөгт юм.
Тиймээс:
Хариулт: 27
27086. Пирамидын суурь нь 3 ба 4 талтай тэгш өнцөгт бөгөөд эзэлхүүн нь 16. Энэ пирамидын өндрийг ол.
Пирамид бол суурь нь олон өнцөгт бүхий олон өнцөгт юм. Бүх нүүрүүд нь эргээд нэг орой дээр нийлдэг гурвалжин үүсгэдэг. Пирамидууд нь гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт. Таны өмнө аль пирамид байгааг тодорхойлохын тулд түүний суурь дахь өнцгийн тоог тоолоход хангалттай. "Пирамидын өндөр" гэсэн тодорхойлолтыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт геометрийн асуудалд ихэвчлэн олдог. Энэ нийтлэлд бид авч үзэхийг хичээх болно янз бүрийн арга замуудтүүний байршил.
Пирамидын хэсгүүд
Пирамид бүр нь дараахь элементүүдээс бүрдэнэ.
- хажуугийн нүүр, гурван булантай, орой дээр нийлдэг;
- апотем нь түүний оройноос бууж буй өндрийг илэрхийлдэг;
- пирамидын дээд хэсэг нь хажуугийн хавиргыг холбосон цэг боловч суурийн хавтгайд оршдоггүй;
- суурь нь орой нь оршдоггүй олон өнцөгт;
- пирамидын өндөр нь пирамидын оройг огтолж, суурьтай нь тэгш өнцөг үүсгэдэг сегмент юм.
Пирамидын эзэлхүүнийг мэддэг бол түүний өндрийг хэрхэн олох вэ
V = (S*h)/3 томьёогоор (томьёонд V нь эзэлхүүн, S нь суурийн талбай, h нь пирамидын өндөр) h = (3*V)/ гэдгийг олж мэднэ. С. Материалыг нэгтгэхийн тулд асуудлыг даруй шийдье. Гурвалжин суурь нь 50 см 2, эзэлхүүн нь 125 см 3 байна. Гурвалжин пирамидын өндөр нь тодорхойгүй байгаа бөгөөд бид үүнийг олох хэрэгтэй. Энд бүх зүйл энгийн: бид өгөгдлийг томъёонд оруулна. Бид h = (3*125)/50 = 7.5 см-ийг авна.
Диагональ ба түүний ирмэгийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол пирамидын өндрийг хэрхэн олох вэ
Бидний санаж байгаагаар пирамидын өндөр нь түүний суурьтай тэгш өнцөг үүсгэдэг. Энэ нь диагональын өндөр, ирмэг ба хагас нь хамтдаа үүсдэг гэсэн үг юм. Олонхи нь мэдээж Пифагорын теоремыг санаж байна. Хоёр хэмжигдэхүүнийг мэдсэнээр гурав дахь хэмжигдэхүүнийг олоход хэцүү биш байх болно. Сайн мэддэг теоремыг эргэн санацгаая a² = b² + c², a нь гипотенуз, бидний тохиолдолд пирамидын ирмэг; b - эхний хөл буюу диагональ хагас ба c - тус тус хоёр дахь хөл, эсвэл пирамидын өндөр. Энэ томъёоноос c² = a² - b².
Одоо асуудал: ердийн пирамидын диагональ нь 20 см, ирмэгийн урт нь 30 см байх үед та өндрийг олох хэрэгтэй. Бид шийднэ: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Эндээс c = √ 500 = ойролцоогоор 22.4.
Таслагдсан пирамидын өндрийг хэрхэн олох вэ
Энэ нь суурьтай параллель хөндлөн огтлолтой олон өнцөгт юм. Таслагдсан пирамидын өндөр нь түүний хоёр суурийг холбосон сегмент юм. Хоёр суурийн диагональ, түүнчлэн пирамидын ирмэгийн уртыг мэддэг бол ердийн пирамидын өндрийг олж болно. Том суурийн диагональ нь d1, жижиг суурийн диагональ нь d2, ирмэг нь l урттай байг. Өндөрийг олохын тулд диаграммын хоёр эсрэг талын дээд цэгээс өндрийг суурь хүртэл нь буулгаж болно. Бид хоёр байгааг харж байна зөв гурвалжин, энэ нь тэдний хөлний уртыг олоход үлддэг. Үүнийг хийхийн тулд том диагональаас жижиг хэсгийг хасаад 2-т хуваана. Тэгэхээр бид нэг хөлийг олох болно: a = (d1-d2)/2. Үүний дараа Пифагорын теоремын дагуу бидний хийх ёстой зүйл бол пирамидын өндөр болох хоёр дахь хөлийг олох явдал юм.
Одоо энэ бүх зүйлийг практик дээр авч үзье. Бидний өмнө даалгавар байна. Таслагдсан пирамид нь дөрвөлжин суурьтай, том суурийн диагональ урт нь 10 см, жижиг нь 6 см, ирмэг нь 4 см өндөртэй байх ёстой. Эхлээд бид нэг хөлийг олно: a = (10-6) / 2 = 2 см, нэг хөл нь 2 см, гипотенуз нь 4 см, хоёр дахь хөл буюу өндөр нь 16-тай тэнцүү байх болно. 4 = 12, өөрөөр хэлбэл h = √12 = 3.5 см орчим байна.