30. Грийн томъёо. Тусгаар тогтнолын нөхцөл муруйн интегралнэгтгэх замаас.

Грийн томьёо: Хэрэв C нь D домэйны битүү хил бөгөөд P(x,y) ба Q(x,y) функцүүд нь тэдгээрийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын хамт D хаалттай мужид (хязгаарыг оруулаад) үргэлжилдэг. of C), тэгвэл Грийн томъёо хүчинтэй байна:, C контурыг тойрч гарах замыг сонгосон бөгөөд ингэснээр D хэсэг зүүн талд үлдэнэ.

Лекцээс: Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын хамт D мужид үргэлжилдэг P(x,y) ба Q(x,y) функцуудыг өгье. Хил дээрх интеграл (L), бүхэлд нь D мужид агуулагдах ба D муж дахь бүх цэгүүдийг агуулсан: . Контурын эерэг чиглэл нь контурын хязгаарлагдмал хэсэг зүүн тийш байх үед юм.

2-р төрлийн муруйн интегралын интегралын замаас үл хамаарах нөхцөл. M1 ба M2 цэгүүдийг холбосон эхний төрлийн муруйн интеграл нь интегралын замаас хамаарахгүй, зөвхөн эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдээс хамаардаг байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэгш байдал юм.

.

31. Нэг ба хоёрдугаар төрлийн гадаргуугийн интеграл, тэдгээрийн үндсэн шинж чанар, тооцоо.

- гадаргууг тодорхойлох.

S-ийг xy хавтгайд проекц хийж, D мужийг олъё. Бид D мужийг шугаман сүлжээгээр Ди гэж нэрлэгддэг хэсгүүдэд хуваа. Шугам бүрийн цэг бүрээс бид параллель z шугам зурж, дараа нь S нь Si-д хуваагдана. Интеграл нийлбэр гаръя: . Диаметрийн дээд хэмжээг тэг рүү чиглүүлье:, бид олж авна:

Энэ бол эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл юм

Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралыг ингэж тооцдог.

Товчхондоо тодорхойлолт. Хэрэв S-ийг Si анхан шатны хэсгүүдэд хуваах арга болон цэгийн сонголтоос хамааралгүй интеграл нийлбэрийн хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол түүнийг нэгдүгээр төрлийн гадаргуугийн интеграл гэнэ.

x ба y хувьсагчаас u ба v руу шилжих үед:

П гадаргуугийн интеграл нь энгийн интегралын бүх шинж чанартай байдаг. Дээрх асуултуудыг харна уу.

Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо. Эхний төрлийн интегралтай холболт.

L шугамаар хязгаарлагдсан S гадаргууг өгье (Зураг 3.10). L хилтэй нийтлэг цэггүй S гадаргуу дээр L контурыг авцгаая. L контурын M цэг дээр бид S гадаргууд хоёр хэвийн байдлыг сэргээж болно. Эдгээр чиглэлүүдийн аль нэгийг сонгоё. Бид M цэгийг L контурын дагуу сонгосон хэвийн чиглэлийн дагуу зурдаг.

Хэрэв M цэг хэвийн байрлалтай ижил чиглэлтэй (эсрэг биш) анхны байрлалдаа буцаж ирвэл S гадаргууг хоёр талт гэж нэрлэдэг.

Бид зөвхөн хоёр талт гадаргууг авч үзэх болно. Хоёр талт гадаргуу нь тэгшитгэлтэй аливаа гөлгөр гадаргуу юм.

Өөрөө огтлолцох цэггүй L шулуунаар хүрээлэгдсэн хоёр талт задгай гадаргуу S гэж үзье. Гадаргуугийн тодорхой талыг сонгоцгооё. Бид контурыг туулах эерэг чиглэлийг L гэж нэрлэх болно, ингэснээр гадаргуугийн сонгосон хажуугийн дагуу хөдөлж байх үед гадаргуу нь өөрөө зүүн тийш үлддэг. Ийм байдлаар тогтсон контурыг хөндлөн гарах эерэг чиглэлтэй хоёр талт гадаргууг чиглэсэн гадаргуу гэж нэрлэдэг. Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг бүтээх ажлыг үргэлжлүүлье. Хязгаарлагдмал тооны хэсгүүдээс бүрдэх хоёр талт S гадаргууг огторгуйд авч үзье, тэдгээр нь тус бүр нь хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн эсвэл генератортой цилиндр гадаргуу юм.тэнхлэгтэй параллель

R(x,y,z) нь S гадаргуу дээр тодорхойлогдсон ба тасралтгүй функц байг. Шугамын сүлжээг ашиглан бид S-г дур мэдэн n “элементар” хэсэгт хуваана ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., Нийтлэг дотоод цэггүй ΔSn. ΔSi хэсэг бүр дээр бид дур мэдэн Mi(xi,yi,zi) цэгийг сонгоно (i=1,...,n). Mi(xi,yi,zi) цэг дээрх S гадаргуугийн нормаль бол "+" тэмдгээр авсан ΔSi хэсгийн Oxy координатын хавтгай дээрх проекцын талбайг (ΔSi)xy гэж үзье. i=1,...,n) хэлбэрүүд нь Oz тэнхлэгтэй бол хурц өнцөг, хэрэв энэ өнцөг нь мохоо бол “–” тэмдэгтэй байна. R(x,y,z) функцийн интеграл нийлбэрийг x,y: хувьсагчид S гадаргуу дээр байгуулъя. λ нь ΔSi (i = 1, ..., n) диаметрүүдийн хамгийн том нь байг.

Хэрэв S гадаргууг ΔSi "элементар" хэсгүүдэд хуваах арга, цэгийн сонголтоос хамаарахгүй хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол R функцийн S гадаргуугийн сонгосон тал дээрх гадаргуугийн интеграл гэнэ. (x,y,z) координатын дагуу x, y (эсвэл хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл) ба тэмдэглэнэ. .

Үүний нэгэн адил та гадаргуугийн харгалзах талын дагуу x, z эсвэл y, z координатууд дээр гадаргуугийн интегралуудыг байгуулж болно, өөрөөр хэлбэл. Тэгээд .

Хэрэв эдгээр бүх интегралууд байгаа бол гадаргуугийн сонгосон тал дээр "ерөнхий" интеграл оруулж болно: .

Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интеграл нь интегралын ердийн шинж чанартай байдаг. Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интеграл нь гадаргуугийн тал өөрчлөгдөхөд тэмдэг нь өөрчлөгддөг гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Эхний болон хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралуудын хоорондын хамаарал.

S гадаргууг тэгшитгэлээр тодорхойлъё: z = f(x,y) ба f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) нь хаалттай горимд тасралтгүй функцууд юм. домэйн τ (S гадаргуугийн координатын Oxy хавтгайд проекцууд) ба R(x,y,z) функц нь S гадаргуу дээр тасралтгүй байна. S гадаргуугийн нормаль нь cos α, cos β, cos чиглэлтэй косинустай. γ, гадаргуугийн дээд талд сонгосон S. Дараа нь .

Ерөнхий тохиолдолд бид:

=

2-р төрлийн муруйн интегралыг авч үзье, хаана Л- муруй холбох цэгүүд МТэгээд Н. Функцуудыг зөвшөөр P(x, y)Тэгээд Q(x, y)зарим домэйнд тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай Д, бүх муруйг агуулсан Л. Харгалзан үзэж буй муруйн интеграл нь муруйн хэлбэрээс хамаарахгүй нөхцөлийг тодорхойлъё. Л, гэхдээ зөвхөн цэгүүдийн байршил дээр МТэгээд Н.

Дурын хоёр муруй зуръя MPNТэгээд MQN, хэсэгт хэвтэж байна Дболон холбох цэгүүд МТэгээд Н(Зураг 1).

М НЦагаан будаа. 1. П

Энэ нь тийм гэж бодъё

Тэгээд хаана Л– муруйгаас тогтсон хаалттай контур MPNТэгээд N.Q.M.(тиймээс үүнийг дур зоргоороо гэж үзэж болно). Иймд 2-р төрлийн муруйн интегралын интегралын замаас хамааралгүй байх нөхцөл нь аливаа битүү контур дээрх ийм интеграл тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлтэй тэнцүү байна.

Теорем 1.Зарим бүс нутгийн бүх цэгүүдэд зөвшөөрнө Дфункцууд тасралтгүй байна P(x, y)Тэгээд Q(x, y)ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн дериватив ба . Дараа нь ямар ч хаалттай контурын тулд Л, хэсэгт хэвтэж байна Д, болзол хангагдсан

Бүс нутгийн бүх цэгт = байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай Д.

Баталгаа .

1) Хангалттай байдал: нөхцөл = хангагдсан байг. Дурын хаалттай гогцоог авч үзье Лбүс нутагт Д, талбайг хязгаарлах С, мөн үүний төлөө Ногоон томъёог бичнэ үү:

Тиймээс хангалттай нь батлагдсан.

2) Шаардлагатай байдал: тухайн бүс нутгийн цэг бүрт нөхцөл хангагдсан гэж үзье Д, гэхдээ энэ бүсэд дор хаяж нэг цэг байдаг - ≠ 0. Жишээ нь, цэг дээр байг. P(x 0 , y 0)- > 0. Тэгш бус байдлын зүүн тал нь тасралтгүй функцийг агуулж байгаа тул эерэг ба зарим жижиг мужид зарим δ > 0-ээс их байх болно. D`цэг агуулсан Р. Тиймээс,

Эндээс Green-ийн томъёог ашиглан бид хаана гэдгийг олж авна L`- талбайг хязгаарлаж буй контур D`. Энэ үр дүн нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс бүс нутгийн бүх цэгүүдэд = Д, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Тайлбар 1 . Үүнтэй адилаар гурван хэмжээст орон зайшаардлагатай гэдгийг баталж болно хангалттай нөхцөлшугамын интегралын бие даасан байдал

Интеграцийн замаас дараахь зүйлс орно.

Тайлбар 2. Хэрэв нөхцөл (28/1.18) хангагдсан бол илэрхийлэл Pdx + Qdy + Rdzнь зарим функцийн нийт дифференциал юм Тэгээд. Энэ нь утгуудын хоорондын зөрүүг тодорхойлохын тулд муруйн интегралын тооцоог багасгах боломжийг бидэнд олгодог. Тэгээдинтеграцийн контурын эцсийн болон эхлэлийн цэгүүдэд, оноос хойш

Энэ тохиолдолд функц Тэгээдтомъёог ашиглан олж болно

Хаана ( x 0 , y 0 , z 0)– талбайгаас цэг Д, a C- дурын тогтмол. Үнэн хэрэгтээ функцийн хэсэгчилсэн дериватив гэдгийг шалгахад хялбар байдаг Тэгээд(28/1.19) томъёогоор өгөгдсөн , тэнцүү байна П, КТэгээд Р.

Интеграцийн замаас 2-р төрөл

2-р төрлийн муруйн интегралыг авч үзье, энд L нь M ба N цэгүүдийг холбосон муруй юм. P(x, y) ба Q(x, y) функцууд нь L муруй байх зарим D мужид тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг. бүхэлдээ оршиж байгаа муруйн интеграл нь L муруйн хэлбэрээс хамаарахгүй зөвхөн M ба N цэгүүдийн байршлаас хамаарах нөхцөлийг тодорхойлъё.

D талбайд хэвтэж, M ба N цэгүүдийг холбосон дурын MSN ба MTN хоёр муруйг зуръя (Зураг 14).

гэж бодъё, өөрөөр хэлбэл,

Энд L нь MSN ба NTM муруйгаас тогтсон хаалттай гогцоо (тиймээс үүнийг дур зоргоороо гэж үзэж болно). Иймд 2-р төрлийн муруйн интегралын интегралын замаас хамааралгүй байх нөхцөл нь аливаа битүү контур дээрх ийм интеграл тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлтэй тэнцүү байна.

Теорем 5 (Ногоон теорем). P(x, y) ба Q(x, y) функцууд ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд ба зарим D мужын бүх цэгүүдэд тасралтгүй байг. Дараа нь D мужид байрлах ямар нэгэн хаалттай контур L нөхцөлийг хангахын тулд

шаардлагатай бөгөөд хангалттай байх нь = бүс нутгийн бүх цэгүүдэд D.

Баталгаа.

1) Хангалттай байдал: нөхцөл = хангагдсан байг. S мужийг хязгаарлаж буй D мужид дурын битүү L контурыг авч үзээд Гринийн томьёог бичье.

Тиймээс хангалттай нь батлагдсан.

2) Шаардлагатай байдал: D бүсийн цэг бүрт нөхцөл хангагдсан гэж бодъё, гэхдээ энэ мужид дор хаяж нэг цэг байна -? 0. Жишээ нь, P(x0, y0) цэг дээр: - > 0. Тэгш бус байдлын зүүн талд тасралтгүй функц агуулагдаж байгаа тул эерэг ба заримаас их байх уу? P цэгийг агуулсан зарим жижиг D` мужид > 0. Иймээс,

Эндээс Гриний томъёог ашиглан бид үүнийг олж авна

Энд L` нь D` талбайг хязгаарлах контур юм. Энэ үр дүн нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Үүний үр дүнд = D бүсийн бүх цэгүүдэд нотлох шаардлагатай байсан.

Тайлбар 1. Үүний нэгэн адил гурван хэмжээст орон зайн хувьд муруйн интегралын бие даасан байдалд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл бүрдүүлнэ гэдгийг баталж болно.

Интеграцийн замаас дараахь зүйлс орно.

Тайлбар 2. Хэрэв нөхцөл (52) хангагдсан бол Pdx + Qdy + Rdz илэрхийлэл нь зарим u функцийн нийт дифференциал болно. Энэ нь интегралын контурын эцсийн болон эхний цэгүүдийн утгын зөрүүг тодорхойлохын тулд муруйн интегралын тооцоог багасгах боломжийг олгодог.

Энэ тохиолдолд функц ба томъёог ашиглан олж болно

Энд (x0, y0, z0) нь D мужаас авсан цэг, C нь дурын тогтмол юм. Үнэн хэрэгтээ, (53) томъёогоор өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд нь P, Q, R-тэй тэнцүү эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Жишээ 10.

2-р төрлийн шугаман интегралыг тооцоол

(1, 1, 1) ба (2, 3, 4) цэгүүдийг холбосон дурын муруй дагуу.

(52) нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая:

Тиймээс функц байдаг. Үүнийг x0 = y0 = z0 = 0 гэж тавиад (53) томъёогоор олъё. Дараа нь

Тиймээс функц нь дурын тогтмол гишүүн хүртэл тодорхойлогддог. C = 0, дараа нь u = xyz гэж үзье. Тиймээс,

Интеграцийн замаас.

2-р төрлийн муруйн интегралыг авч үзье, хаана Л- муруй холбох цэгүүд МТэгээд Н. Функцуудыг зөвшөөр P(x, y)Тэгээд Q(x, y)зарим домэйнд тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай Д, бүх муруйг агуулсан Л. Харгалзан үзэж буй муруйн интеграл нь муруйн хэлбэрээс хамаарахгүй нөхцөлийг тодорхойлъё. Л, гэхдээ зөвхөн цэгүүдийн байршил дээр МТэгээд Н.

Дурын хоёр муруй зуръя MPNТэгээд MQN, хэсэгт хэвтэж байна Дболон холбох цэгүүд МТэгээд Н(Зураг 1).

Q

М НЦагаан будаа. 1.

Ингэж бодъё , тэр нь

Тэгээд хаана Л– муруйгаас тогтсон хаалттай контур MPNТэгээд N.Q.M.(тиймээс үүнийг дур зоргоороо гэж үзэж болно). Иймд 2-р төрлийн муруйн интегралын интегралын замаас хамааралгүй байх нөхцөл нь аливаа битүү контур дээрх ийм интеграл тэгтэй тэнцүү байх нөхцөлтэй тэнцүү байна.

Тасалбар №34.Эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл (гадаргуугийн талбайн хэмжээ).

Нээлттэй гадаргууг авч үзье С, контураар хязгаарлагдсан Л, мөн зарим муруйгаар хэсэг болгон хуваа S 1, S 2,…, S n. Хэсэг бүрээс нэг цэгийг сонгоцгооё М имөн энэ хэсгийг энэ цэгийг дайран өнгөрч буй гадаргуу руу шүргэгч хавтгай дээр буулгана. Бид проекцоор талбайтай хавтгай дүрсийг олж авдаг Т и. Гадаргуугийн аль ч хэсгийн хоёр цэгийн хоорондох хамгийн их зайг ρ гэж нэрлэе С.

Тодорхойлолт 12.1.За дуудъя талбай Сгадаргууталбайн нийлбэрийн хязгаар Т ицагт

Эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл.

Зарим гадаргууг авч үзье С, контураар хязгаарлагдсан Л, мөн хэсэг болгон хуваана S 1, S 2,…, S p(бид хэсэг бүрийн талбайг мөн зааж өгнө S p). Энэ гадаргуугийн цэг бүрт функцийн утгыг зааж өгье f(x, y, z).Хэсэг бүрээр нь сонгоцгооё S iцэг M i (x i , y i , z i)мөн интеграл нийлбэрийг зохио

. (12.2)

Тодорхойлолт 12.2.Хэрэв гадаргууг хэсэг болгон хуваах арга, цэгийн сонголтоос үл хамааран интеграл нийлбэр (12.2) хязгаарлагдмал хязгаартай бол. М и, дараа нь үүнийг дууддаг функцээс эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл f(M) = f(x, y, z)гадаргуу дээр С болон томилогдсон

Сэтгэгдэл. 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл нь интегралын ердийн шинж чанартай байдаг (шугаман байдал, авч үзэж буй гадаргуугийн бие даасан хэсгүүдийн өгөгдсөн функцийн интегралуудын нийлбэр гэх мэт).

Геометр ба физик утга 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл.

Хэрэв интеграл f(M)≡ 1, дараа нь 12.2-р тодорхойлолтоос харахад энэ нь авч үзэж буй гадаргуугийн талбайтай тэнцүү байна. С.

. (12.4)

1-р төрлийн гадаргуугийн интегралын хэрэглээ.

1. Муруй гадаргуугийн талбай, тэгшитгэл нь z = f(x, y), хэлбэрээр олж болно:

(14.21)

(Ом - проекц С O онгоц руу xy).

2. Гадаргуугийн масс

(14.22)

3. Агшин:

Координатын хавтгайтай харьцуулахад гадаргуугийн статик моментууд О xy, О xz, О yz;

Координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад гадаргуугийн инерцийн моментууд;

Координатын хавтгайтай харьцуулахад гадаргуугийн инерцийн моментууд;

- (14.26)

Гарал үүсэлтэй харьцуулахад гадаргуугийн инерцийн момент.

4. Гадаргуугийн массын төвийн координатууд:

. (14.27)

Тасалбарын дугаар 35. 1-р төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох (үүнийг үржвэр болгон багасгах).

Гадаргуугийн үед өөрсдийгөө хязгаарлая Стодорхой, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн z = φ(x, y). Түүнээс гадна гадаргуугийн талбайн тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч ирдэг

S i =, хаана Δ σi -проекцын талбай S i O онгоц руу xy, А γ би– O тэнхлэг хоорондын өнцөг zмөн гадаргуу дээр хэвийн Сцэг дээр М и. Энэ нь мэдэгдэж байна

,

Хаана ( x i , y i , z i) –цэгийн координат М и. Тиймээс,

Энэ илэрхийллийг томъёогоор (12.2) орлуулснаар бид үүнийг олж авна

,

Баруун талын нийлбэрийг О хавтгайн Ω мужаар гүйцэтгэнэ xy, энэ нь гадаргуугийн энэ хавтгай дээрх проекц юм С(Зураг 1).

S: z=φ(x,y)

Δσ биΩ

Үүний зэрэгцээ, баруун талд, хавтгай муж дээрх хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд интеграл нийлбэрийг олж авсан бөгөөд энэ нь at хязгаарт давхар интеграл өгдөг тул тооцоог багасгах боломжийг олгодог томъёог олж авсан болно 1-р төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоонд давхар интеграл:

Сэтгэгдэл. (12.5) томъёоны зүүн талд байгаа гэдгийг дахин нэг удаа тодруулцгаая гадаргууинтеграл, баруун талд - давхар.

Тасалбарын дугаар 36.Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл. Талбайн вектор урсгал. Эхний болон хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралуудын хоорондын хамаарал.

Талбайн вектор урсгал.

Вектор талбарыг авч үзье А (М), орон зайн мужид тодорхойлогдсон Г,чиглэсэн гөлгөр гадаргуу С Гболон нэгж нормуудын талбар n (М)гадаргуугийн сонгосон тал дээр С.

Тодорхойлолт 13.3. 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл

, (13.1)

Хаана Ан харгалзах векторуудын скаляр үржвэр ба А х- вектор проекц А хэвийн чиглэл рүү залгана вектор талбайн урсгал A(M)гадаргуугийн сонгосон хажуугаар дамжин өнгөрнө С .

Тайлбар 1. Хэрэв та гадаргуугийн нөгөө талыг сонговол хэвийн, улмаар урсгалын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Тайлбар 2. Хэрэв вектор А өгөгдсөн цэг дэх шингэний урсгалын хурдыг зааж, дараа нь интеграл (13.1) нь гадаргуугаар нэгж хугацаанд урсах шингэний хэмжээг тодорхойлно. Сэерэг чиглэлд (тиймээс "урсгал" гэсэн нийтлэг нэр томъёо).

Хавтгай вектор талбар өгье. Дараах зүйлд бид P ба Q функцууд нь тэдгээрийн деривативуудын хамт хавтгайн зарим O мужид тасралтгүй байна гэж үзэх болно.

G бүсийн дурын хоёр цэгийг авч үзье. Эдгээр цэгүүд нь ерөнхийдөө муруйн интегралын утгууд өөр өөр байдаг мужид байрлах өөр өөр шугамаар холбогдож болно.

Жишээлбэл, муруйн интегралыг авч үзье

ба хоёр цэг. Энэ интегралыг нэгдүгээрт, А ба В цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын дагуу, хоёрдугаарт, эдгээр ижил цэгүүдийг холбосон параболын нумын дагуу тооцъё. Муруй шугаман интегралыг тооцоолох дүрмийг ашигласнаар бид олдог

a) сегментийн дагуу

б) параболын нумын дагуу:

Тиймээс муруйн интегралын утгууд нь интегралын замаас хамаардаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь А ба В цэгүүдийг холбосон шугамын төрлөөс хамаардаг болохыг бид харж байна. Эсрэгээр нь муруй шугаман интегралыг шалгахад хялбар байдаг. цэгүүдийг холбосон ижил шугамууд нь ижил зүйлтэй тэнцүү утгыг өгнө.

Өгөгдсөн хоёр цэгийг холбосон янз бүрийн зам дагуу тооцсон муруйн интегралууд зарим тохиолдолд өөр хоорондоо ялгаатай, зарим тохиолдолд ижил утгыг авдаг болохыг дүн шинжилгээ хийсэн жишээ харуулж байна.

A ба B нь G мужын дурын хоёр цэг байя. G мужид байрлах ба А ба В цэгүүдийг холбосон янз бүрийн муруйг авч үзье.

Хэрэв эдгээр замуудын аль нэгнийх нь шугамын интеграл нь ижил утгатай байвал интегралын замаас хамааралгүй гэнэ.

Дараагийн хоёр теорем нь шугаман интеграл нь интегралын замаас хамааралгүй байх нөхцөлийг өгдөг.

Теорем 1. Зарим G муж дахь муруй шугаман интеграл нь интегралын замаас хамааралгүй байхын тулд энэ мужид хэвтэж буй аливаа битүү контур дээрх интеграл нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Баталгаа. Хангалттай байдал.

G мужид зурсан аль ч битүү контур дээрх интеграл нь тэгтэй тэнцүү байг. Энэ интеграл нь интеграцийн замаас хамаардаггүй гэдгийг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ, A ба B нь G мужид хамаарах хоёр цэг байя. Эдгээр цэгүүдийг G мужид байрлах хоёр өөр, дур зоргоороо сонгосон муруйгаар холбоноё (Зураг 257).

Муруй шугаман интегралын шинж чанарыг харгалзан нумууд нь хаалттай контур үүсгэдэг болохыг харуулъя

Учир нь . Гэхдээ нөхцөлийн дагуу энэ нь битүү гогцооны интегралтай адил юм.

Тиймээс, эсвэл Иймээс шугамын интеграл нь интегралын замаас хамаарахгүй.

Хэрэгцээ. G муж дахь муруйн интеграл нь интегралын замаас хамааралгүй байг. Энэ мужид байрлах аливаа битүү контур дээрх интеграл нь тэгтэй тэнцүү болохыг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ G мужид байрлах дурын битүү контурыг авч үзээд түүн дээр дурын хоёр А ба В цэгийг авъя (257-р зургийг үз). Дараа нь

Учир нь нөхцөл байдлын дагуу. Тэгэхээр G мужид байрлах L-ийн аль ч битүү контур дээрх интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна.

Дараах теорем нь муруйн интеграл нь интегралчлалын замаас хамаарахгүй практикт ашиглахад тохиромжтой нөхцлийг өгдөг.

Теорем 2.

Муруй шугаман интеграл нь энгийн холбогдсон домайн дахь интегралын замаас хамааралгүй байхын тулд энэ муж дахь цэг бүрт нөхцөл хангагдсан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Баталгаа. Хангалттай байдал. G мужид байрлах дурын битүү контур L дээрх муруйн интеграл тэгтэй тэнцүү болохыг мужид харуулъя. L контураар хязгаарлагдсан a талбайг авч үзье. G муж нь энгийн холбогдсон шинж чанараас шалтгаалан a талбай бүхэлдээ энэ бүсэд хамаарна. Остроградский-Ногоон томъёонд үндэслэн, ялангуяа сайт дээр Тийм учраас, . Тэгэхээр G муж дахь аль ч хаалттай контурын L дээрх интеграл нь тэгтэй тэнцүү байна. 1-р теорем дээр үндэслэн муруйн интеграл нь интегралын замаас хамаардаггүй гэж дүгнэж байна.

Хэрэгцээ. Муруй шугаман интеграл нь зарим Q домэйны интегралын замаас хамааралгүй байг. Домэйн бүх цэгт гэдгийг харуулъя.

Үүний эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл, тухайн бүс нутгийн аль нэг цэгт тодорхой байдлын үүднээс Let, . Хэсэгчилсэн деривативуудын тасралтгүй байдлын таамаглалаас шалтгаалан ялгаа нь байх болно тасралтгүй функц. Иймээс нэг цэгийн эргэн тойронд a тойргийг (G мужид байрлах) дүрслэх боломжтой бөгөөд түүний бүх цэгүүдэд тухайн цэгийн адил зөрүү эерэг байх болно. Тойрог дээр Остроградский-Ногоон томъёог хэрэглэцгээе.