Далд байдлаар тодорхойлсон функцийн деривативын томъёо. Энэ томъёог ашиглах нотолгоо ба жишээ. Нэг, хоёр, гурав дахь эрэмбийн деривативыг тооцоолох жишээ.

Эхний эрэмбийн дериватив

Тэгшитгэлийг ашиглан функцийг далд байдлаар тодорхойл
(1) .
Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар нэг утгын хувьд өвөрмөц шийдэлтэй байг.
.
, ба цэг дээр функц нь дифференциалагдах функц байг
(2) .

Дараа нь энэ утгад дараах томъёогоор тодорхойлогддог дериватив байна.

Баталгаа
.
Үүнийг батлахын тулд функцийг хувьсагчийн цогц функц гэж үзье.
(3) :
.
Комплекс функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэж тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас хувьсагчийн деривативыг олъё.
(4) ;
.

Тогтмолын дериватив нь тэг ба , тэгвэл

Томъёо нь батлагдсан.

Дээд зэрэглэлийн деривативууд
(4) .
(4) тэгшитгэлийг өөр өөр тэмдэглэгээ ашиглан дахин бичье.
;
.
Үүний зэрэгцээ хувьсагчийн нарийн төвөгтэй функцууд нь:
(1) .

Хамаарал нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог (1):
Бид (4) тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас хувьсагчийн деривативыг олно.
;
.
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

.
Бүтээгдэхүүний дериватив томъёоны дагуу:


.

Дериватив нийлбэрийн томъёог ашиглан:
(5) .
(4) тэгшитгэлийн баруун талын дериватив нь тэгтэй тэнцүү тул

Энд деривативыг орлуулснаар бид далд хэлбэрээр хоёр дахь эрэмбийн деривативын утгыг олж авна.
.
(5) тэгшитгэлийг ижил төстэй байдлаар ялгаж, бид гурав дахь эрэмбийн дериватив агуулсан тэгшитгэлийг олж авна.

Энд эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативын олсон утгыг орлуулснаар бид гурав дахь эрэмбийн деривативын утгыг олно.

Үргэлжлүүлэн ялгах замаар ямар ч дарааллын деривативыг олох боломжтой.

Жишээ

Жишээ 1
Тэгшитгэлээр далд өгөгдсөн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн деривативыг ол. .

(P1)

Томъёо 2-ын шийдэл
(2) .

Бид (2) томъёог ашиглан деривативыг олно:
.
Тэгшитгэл хэлбэрийг авахын тулд бүх хувьсагчдыг зүүн тал руу шилжүүлье.

Эндээс.
;
;
;
.

Тогтмол гэж үзэн бид үүсмэлийг олдог.
;
;
;
.

Хувьсагчийн тогтмолыг харгалзан бид хувьсагчийн деривативыг олно.
.

Томъёо (2) ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
.
Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
.

Хоёрдахь арга зам шийдэл

Энэ жишээг хоёр дахь аргаар шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид анхны тэгшитгэлийн (A1) зүүн ба баруун талын хувьсагчтай холбоотой деривативыг олох болно.

Бид өргөдөл гаргана:
.
Бид дериватив бутархай томъёог хэрэглэнэ:
;
.
Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.
Анхны тэгшитгэлийг (A1) ялгаж үзье.
Тэгшитгэлээр далд өгөгдсөн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн деривативыг ол. ;
;
.
Бид нэр томъёог үржүүлж, бүлэглэдэг.
;
.

(А1) тэгшитгэлээс) орлуулъя:
.
Үржүүлэх:
.

Жишээ 2

Дараах тэгшитгэлийг ашиглан далд өгөгдсөн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг ол.
(A2.1) .

Бид анхны тэгшитгэлийг хувьсагчийн функцээр ялгаж авч үзвэл:
;
.
Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.

Анхны тэгшитгэлийг ялгаж үзье (A2.1):
;
.
Анхны тэгшитгэлээс (A2.1) .
.
Орлуулж үзье:
;
Хаалтуудыг нээж, гишүүдийг бүлэглэнэ: .
(A2.2)
Бид эхний эрэмбийн деривативыг олно: .

(A2.3)
;
;
;
.
Хоёрдахь эрэмбийн деривативыг олохын тулд (A2.2) тэгшитгэлийг ялгана.
.
Үржүүлэх:

;
.
Нэгдүгээр эрэмбийн дериватив (A2.3)-ийн илэрхийлэлийг орлуулъя:

Эндээс бид хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олно.

Жишээ 3
Дараах тэгшитгэлийг ашиглан далд өгөгдсөн функцийн гуравдугаар эрэмбийн деривативыг ол. .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Бид анхны тэгшитгэлийг хувьсагчийн функц гэж үзэн ялгадаг. ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
(A3.2) тэгшитгэлийг хувьсагчийн хувьд ялгаж үзье. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Тэгшитгэлийг ялгаж үзье (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

(A3.2), (A3.3) ба (A3.4) тэгшитгэлээс бид деривативын утгыг олно.
Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив.

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив Энэ нийтлэлд бид ихэвчлэн олддог өөр хоёр ердийн даалгаврыг авч үзэх болнотуршилтууд Byдээд математик . Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд дор хаяж дунд түвшний деривативуудыг олох чадвартай байх ёстой. Та үндсэн хоёр хичээлээр үүсмэл хэрэгслийг эхнээс нь олж сурах боломжтойНарийн төвөгтэй функцийн дериватив

. Хэрэв таны ялгах чадвар сайн бол явцгаая.

Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Эсвэл товчхондоо далд функцийн дериватив. Далд функц гэж юу вэ? Эхлээд нэг хувьсагчийн функцийн тодорхойлолтыг санацгаая.Нэг хувьсагч функц

бие даасан хувьсагчийн утга тус бүр нь функцийн зөвхөн нэг утгатай тохирч байх дүрэм юм. хувьсагч гэж нэрлэдэгбие даасан хувьсагч эсвэл.
маргаан хувьсагч гэж нэрлэдэгбие даасан хувьсагч хамааралтай хувьсагч .

функц Одоогоор бид дээр тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэнтодорхой

хэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан товч танилцуулга хийцгээе.

Функцийг авч үзье Бид зүүн талд ганц "тоглогч" байгааг харж байна, баруун талд -. Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлнэ.

Өөр функцийг харцгаая:

Энд хувьсагчид холилдсон байдаг. Түүнээс гадна ямар ч аргаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийг өөрчилснөөр нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтнаас гаргах, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ: . Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Би танд танилцуулъя: – жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай ("хэвийн" функцтэй адил). Далд функц нь яг адилхан байдагэхний дериватив, хоёрдугаар дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд заасан функцийн деривативыг хэрхэн олох талаар сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, дериватив хүснэгт үндсэн функцуудхүчин төгөлдөр хэвээр байна. Ялгаа нь нэг өвөрмөц мөчид байгаа бөгөөд үүнийг бид яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлье - доор дурдсан ажлуудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвалт хавсаргана.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгах нь бүрэн ойлгомжтой. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

- зүгээр л гутамшигтай болтлоо, функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ
Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ "y" гэсэн ганц үсэг байдаг нь үнэн юм. ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь гадаад функц бөгөөд дотоод функц юм. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгахдаа бид дүрмийг ашигладаг :

Бид бүтээгдэхүүнийг ердийн дүрмийн дагуу ялгадаг :

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. аливаа "хонх, шүгэлтэй тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдэл нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой:


Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг өргөжүүлнэ үү:

4) Зүүн талд бид "Y" гэсэн үндсэн тоотой нэр томъёог цуглуулдаг. Бусад бүх зүйлийг баруун тийш шилжүүлнэ үү:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтуудыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив нь олдсон. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функц дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Мөн саяхан хэлэлцсэн алгоритмыг ашиглан үүнийг ялгаж үзээрэй. Үнэн хэрэгтээ "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг семантик нюансаараа ялгаатай байдаг. "Далд заасан функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм. - энэ функцийг далд хэлбэрээр зааж өгсөн боловч энд та "тоглоом" -ыг илэрхийлж, функцийг тодорхой харуулах боломжтой. "Тоглоом" -ыг илэрхийлэх боломжгүй үед "далд функц" гэсэн үг нь ихэвчлэн "сонгодог" далд функцийг илэрхийлдэг.

"Далд тэгшитгэл" нь хоёр буюу түүнээс дээш функцийг нэг дор зааж өгч болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тойргийн тэгшитгэл нь хагас тойргийг тодорхойлдог функцуудыг далд байдлаар тодорхойлдог. Гэхдээ энэ өгүүллийн хүрээнд бид Нэр томьёо, нюансуудын хооронд онцгой ялгаа гаргахгүй, энэ нь зөвхөн ерөнхий хөгжилд зориулагдсан мэдээлэл байв.

Хоёр дахь шийдэл

Анхаар!Хэрхэн итгэлтэйгээр олохоо мэддэг л бол та хоёрдахь аргатай танилцаж болно хэсэгчилсэн деривативууд. Суралцаж эхэлж буй хүмүүс математик шинжилгээмөн цайны аяга уу уншиж, энэ цэгийг алгасах хэрэггүй, тэгэхгүй бол таны толгой бүрэн эмх замбараагүй болно.

Хоёрдахь аргыг ашиглан далд функцийн деривативыг олъё.

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлнэ:

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь томъёог ашиглан бидний деривативыг олж болно
Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Тиймээс:

Хоёрдахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг хараахан мэдэхгүй байх ёстой тул даалгаврын эцсийн хувилбарыг бичихийг зөвлөдөггүй.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хоёр хэсэгт зураас нэмнэ:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтуудыг нээх:

Бид бүх нэр томъёог зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ.

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн.

Ялгаварласаны дараа фракц үүсэх нь ердийн зүйл биш юм. Ийм тохиолдолд та фракцаас салах хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг харцгаая.

Жишээ 4

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бид хоёр хэсгийг зураасанд оруулаад шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан ялгах ба хуваалтыг ялгах дүрэм :

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

Одоо бид фракцаас салах хэрэгтэй. Үүнийг дараа нь хийж болно, гэхдээ үүнийг шууд хийх нь илүү оновчтой юм. Бутархайн хуваагч нь . Үржүүлэх дээр. Нарийвчилсан байдлаар энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Заримдаа ялгасны дараа 2-3 фракц гарч ирдэг. Жишээлбэл, бид өөр фракцтай байсан бол үйлдлийг давтах шаардлагатай болно - үржүүлэх хэсэг бүрийн нэр томъёо бүрдээр

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 5

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Цорын ганц зүйл бол та фракцаас салахаасаа өмнө эхлээд гурван давхар бүтэцтэй фракцаас салах хэрэгтэй болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Стресс битгий хэл энэ догол мөр дэх бүх зүйл маш энгийн. Та параметрт тодорхойлсон функцийн ерөнхий томьёог бичиж болно, гэхдээ үүнийг ойлгомжтой болгохын тулд би шууд бичих болно. тодорхой жишээ. Параметрийн хэлбэрээр функцийг хоёр тэгшитгэлээр өгөгдөнө: . Ихэнхдээ тэгшитгэлийг буржгар хаалтанд биш, дарааллаар бичдэг: , .

Хувьсагчийг параметр гэж нэрлэдэгмөн "хасах хязгааргүй" -ээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэлх утгыг авч болно. Жишээлбэл, утгыг авч үзээд үүнийг хоёр тэгшитгэлд орлуулна уу: . Эсвэл хүний ​​хэллэгээр: “х нь дөрөвтэй тэнцүү бол у нь нэгтэй тэнцэнэ.” Та координатын хавтгай дээрх цэгийг тэмдэглэж болох бөгөөд энэ цэг нь параметрийн утгатай тохирно. Үүний нэгэн адил та "te" параметрийн аль ч утгын цэгийг олох боломжтой. "Ердийн" функцийн хувьд параметрийн хувьд тодорхойлогдсон функцтэй Америкийн индианчуудын хувьд бүх эрхийг хүндэтгэдэг: та график байгуулах, дериватив олох гэх мэт боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та параметрээр тодорхойлогдсон функцийн график зурах шаардлагатай бол миний програмыг ашиглаж болно.

Хамгийн энгийн тохиолдолд функцийг тодорхой илэрхийлэх боломжтой. Параметрийг эхний тэгшитгэлээс илэрхийлж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулъя: . Үр дүн нь ердийн куб функц юм.

Илүү "хүнд" тохиолдолд энэ заль мэх ажиллахгүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь параметрийн функцийн деривативыг олох томъёо байдаг.

Бид "te хувьсагчтай холбоотой тоглоом"-ын деривативыг олдог.

Бүх ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгт нь мэдээжийн хэрэг үсгийн хувьд хүчинтэй байдаг. дериватив олох үйл явцад шинэлэг зүйл байхгүй. Хүснэгтийн бүх "X"-ийг "Тэ" үсгээр солих хэрэгтэй.

Бид te хувьсагчтай холбоотой x-ийн деривативыг олно.

Одоо олсон деривативуудыг томъёонд орлуулах л үлдлээ.

Бэлэн. Дериватив нь функцын нэгэн адил параметрээс хамаарна.

Тэмдэглэгээний хувьд үүнийг томьёонд бичихийн оронд "Х"-ийн хувьд "ердийн" дериватив тул үүнийг доод тэмдэггүйгээр бичиж болно. Гэхдээ уран зохиолд үргэлж сонголт байдаг, тиймээс би стандартаас хазайхгүй.

Жишээ 6

Бид томъёог ашигладаг

IN энэ тохиолдолд:

Тиймээс:

Параметр функцийн деривативыг олох онцгой шинж чанар нь алхам бүрт үр дүнг аль болох хялбарчлах нь ашигтай байдаг. Тиймээс, авч үзсэн жишээн дээр би үүнийг олохдоо язгуур дор хаалт нээв (хэдийгээр би үүнийг хийгээгүй байж магадгүй). Томъёонд орлуулахад олон зүйл сайн буурах магадлал өндөр байна. Мэдээжийн хэрэг, болхи хариулттай жишээнүүд байдаг.

Жишээ 7

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Нийтлэлд Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн ердийн асуудлуудБид функцийн хоёр дахь деривативыг олох шаардлагатай жишээнүүдийг харлаа. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн хувьд та хоёр дахь деривативыг олох боломжтой бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно: . Хоёрдахь деривативыг олохын тулд эхлээд эхний деривативыг олох хэрэгтэй гэдэг нь ойлгомжтой.

Жишээ 8

Параметрээр өгөгдсөн функцийн эхний ба хоёрдугаар деривативыг ол

Эхлээд анхны деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Z= f(x; y) функцийг Z-ийн хувьд шийдэгдээгүй F(x,y,z)=0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол далд гэж нэрлэдэг. Далд өгөгдсөн Z функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё. Үүний тулд тэгшитгэлд Z-ийн оронд f(x;y) функцийг орлуулснаар F(x,y, f(x,y))=0 адилтгалыг олж авна. Х ба у-ын хувьд тэгтэй ижил тэнцүү функцийн хэсэгчилсэн деривативууд мөн тэгтэй тэнцүү байна.

F(x,y, f (x,y)) =
=0 (тогтмол гэж үздэг)

F(x,y, f (x,y)) =
=0 (х тогтмол гэж үзсэн)

Хаана
Тэгээд

Жишээ: Тэгшитгэлээр өгөгдсөн Z функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол
.

Энд F(x,y,z)=
;
;
;
. Дээр өгөгдсөн томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

Тэгээд

1. Чиглэлийн дериватив

M (x,y) цэгийн тодорхой орчимд Z= f(x; y) хоёр хувьсагчийн функцийг өгье. Нэгж вектороор тодорхойлогдсон зарим чиглэлийг авч үзье
, Хаана
(зураг харна уу).

Энэ чиглэлд M цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам дээр бид M 1 цэгийг (
) ингэснээр урт
сегментMM 1 нь тэнцүү байна
. f(M) функцийн өсөлтийг хамаарлаар тодорхойлно, энд
харилцаа холбоогоор холбогдсон. Харьцааны хязгаар цагт
функцийн дериватив гэж нэрлэгдэх болно
цэг дээр
чиглэлд мөн томилогдох .

=

Хэрэв Z функц цэг дээр дифференциал болох юм бол
, дараа нь түүний өсөлт нь энэ үед хамаарлыг харгалзан
дараах хэлбэрээр бичиж болно.

хоёр хэсгийг хуваах

болон хязгаарт шилжих
Бид Z= f(x; y) функцийн деривативын томъёог дараах чиглэлд авна.

1. Градиент

Гурван хувьсагчийн функцийг авч үзье
хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой
.

Энэ функцийн градиент
М цэг дээрх координат нь хэсэгчилсэн деривативтай тэнцүү вектор байна
энэ үед. Градиентыг зааж өгөхийн тулд тэмдгийг ашиглана уу
.
=
.

.Градиент нь тухайн цэг дэх функцийн хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэлийг заана.

Нэгж вектороос хойш координаттай (
), дараа нь гурван хувьсагчийн функцийн тохиолдолд чиглэсэн деривативыг хэлбэрээр бичнэ, i.e. векторуудын скаляр үржвэрийн томьёотой Тэгээд
. Сүүлийн томъёог дараах байдлаар дахин бичье.

, Хаана - вектор хоорондын өнцөг Тэгээд
. Түүнээс хойш
, тэгвэл чигийн функцийн дериватив нь max утгыг авна гэсэн үг =0, өөрөөр хэлбэл. үед векторуудын чиглэл Тэгээд
таарах. Үүний зэрэгцээ
Өөрөөр хэлбэл, функцийн градиент нь тухайн цэг дэх энэ функцийн өсөлтийн хамгийн их хурдны чиглэл, хэмжээг тодорхойлдог.

1. Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум

Хоёр хувьсагчийн функцийн макс, мин, экстремум гэсэн ойлголтууд нь нэг хувьсагчийн функцийн харгалзах ухагдахуунуудтай төстэй. Зарим D мужид Z= f(x; y) функц тодорхойлогдъё.
энэ бүсэд харьяалагддаг. М цэг
Хэрэв цэгийн ийм δ-хөрш байгаа бол Z= f(x; y) функцийн max цэг гэнэ.
, энэ хөршийн цэг бүрийн хувьд тэгш бус байдал
. Мин цэгийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог бөгөөд зөвхөн тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө
. max(min) цэг дээрх функцийн утгыг хамгийн их (минимум) гэж нэрлэдэг. Функцийн хамгийн их ба минимумыг экстрем гэж нэрлэдэг.

1. Экстремум үүсэх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл

Теорем:(Экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв М цэг дээр
дифференциал болох Z= f(x; y) функц нь экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна.
,
.

Нотолгоо: x эсвэл y хувьсагчийн аль нэгийг тогтоосны дараа бид Z = f(x; y)-ийг нэг хувьсагчийн функц болгон хувиргах бөгөөд үүний экстремумын хувьд дээрх нөхцөл хангагдсан байх ёстой. Геометрийн тэгш байдал
Тэгээд
Z= f(x; y) функцийн экстремум цэг дээр f(x,y)=Z функцийг илэрхийлэх гадаргуутай шүргэгч хавтгай нь OXY хавтгайтай параллель байна гэсэн үг. шүргэгч хавтгайн тэгшитгэл нь Z = Z 0. Z = f (x; y) функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байх цэг, өөрөөр хэлбэл.
,
, функцийн суурин цэг гэж нэрлэдэг. Функц нь дор хаяж нэг хэсэгчилсэн дериватив байхгүй цэгүүдэд экстремумтай байж болно. Жишээ нь:Z=|-
| O(0,0) цэг дээр max-тай боловч энэ цэгт дериватив байхгүй.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд ба дор хаяж нэг хэсэгчилсэн дериватив байхгүй цэгүүд гэж нэрлэдэг чухал цэгүүд.Чухал цэгүүдэд функц нь экстремумтай эсвэл байхгүй байж болно. Хэсэгчилсэн деривативуудын тэгтэй тэнцүү байх нь экстремум байх зайлшгүй нөхцөл боловч хангалттай биш юм. Жишээ нь, Z=xy үед O(0,0) цэг нь чухал юм. Харин Z=xy функцэд экстремум байхгүй. (Учир нь I, III улиралд Z>0, II ба IV улиралд - Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорем: (Экстремийн хангалттай нөхцөл). Хөдөлгөөнгүй цэг дээр тавь
мөн тодорхой хөршид f(x; y) функц нь 2-р эрэмбийг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байна. Тухайн цэг дээр тооцоолъё
үнэт зүйлс
,
Тэгээд
. гэж тэмдэглэе

тохиолдолд
, цэг дэх экстремум
Энэ нь байж болно, үгүй ​​ч байж болно. Илүү их судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Эсвэл товчхондоо - далд функцийн дериватив. Далд функц гэж юу вэ? Хичээл маань практик шинж чанартай тул тодорхойлолт, теоремоос зайлсхийхийг хичээдэг ч энд хийх нь зүйтэй болов уу. Функц гэж юу вэ?

Ганц хувьсагчийн функц гэдэг нь бие даасан хувьсагчийн утга тус бүрд тухайн функцийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг утга байна гэж заасан дүрэм юм.

бие даасан хувьсагчийн утга тус бүр нь функцийн зөвхөн нэг утгатай тохирч байх дүрэм юм. хувьсагч гэж нэрлэдэгбие даасан хувьсагч эсвэл.
хувьсагч гэж нэрлэдэг хувьсагч гэж нэрлэдэгбие даасан хувьсагч хамааралтай хувьсагч.

Товчоор хэлбэл, энэ тохиолдолд "Y" үсэг нь функц юм.

функц Одоогоор бид дээр тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэнтодорхой

хэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан товч танилцуулга хийцгээе.

Бид зүүн талд ганц "тоглоом" (функц) байгааг харж байна, баруун талд - Бид зүүн талд ганц "тоглогч" байгааг харж байна, баруун талд -. Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлнэ.

Өөр функцийг харцгаая:

Энд хувьсагчид холилдсон байдаг. Түүнээс гадна ямар ч аргаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийг өөрчилснөөр нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтнаас гаргах, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ: . Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Би танд танилцуулъя: - жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай ("хэвийн" функцтэй адил). Далд функц нь яг адилхан байдагэхний дериватив, хоёрдугаар дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд заасан функцийн деривативыг хэрхэн олох талаар сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгт хүчин төгөлдөр хэвээр байна. Ялгаа нь нэг өвөрмөц мөчид байгаа бөгөөд бид үүнийг яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлье - доор дурдсан ажлуудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвалт хавсаргана.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгах нь бүрэн ойлгомжтой. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

Зүгээр л гутамшигт хүртлээ функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ

Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ "y" гэсэн ганц үсэг байдаг нь үнэн юм. ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь гадаад функц бөгөөд дотоод функц юм. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгахдаа бид дараах дүрмийг ашигладаг.

Бид бүтээгдэхүүнийг ердийн дүрмийн дагуу ялгадаг.

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. аливаа "хонх, шүгэлтэй тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдэл нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой:

Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг өргөжүүлнэ үү:

4) Зүүн талд бид "Y" гэсэн үндсэн тоотой нэр томъёог цуглуулдаг. Бусад бүх зүйлийг баруун тийш шилжүүлнэ үү:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтуудыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив нь олдсон. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функцийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Мөн саяхан хэлэлцсэн алгоритмыг ашиглан үүнийг ялгаж үзээрэй. Үнэн хэрэгтээ "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг семантик нюансаараа ялгаатай байдаг. "Далд хэлбэрээр заасан функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм - энэ функц нь далд хэлбэрээр тодорхойлогдсон боловч энд та "тоглоом" -ыг илэрхийлж, функцийг тодорхой илэрхийлж болно. "Тоглоом"-ыг илэрхийлэх боломжгүй үед "далд функц" гэсэн хэллэг нь "сонгодог" далд функцийг хэлнэ.

Хоёр дахь шийдэл

Анхаар!Хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн найдвартай олохыг мэддэг л бол та хоёр дахь аргыг мэддэг болно. Математикийн анализыг судалж буй эхлэгч болон эхлэгчдэд энэ цэгийг уншиж, алгасаж болохгүй, эс тэгвээс таны толгой бүхэлдээ эмх замбараагүй болно.

Хоёрдахь аргыг ашиглан далд функцийн деривативыг олъё.

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлнэ:

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь томъёог ашиглан бидний деривативыг олж болно

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Тиймээс:

Хоёрдахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг хараахан мэдэхгүй байх ёстой тул даалгаврын эцсийн хувилбарыг бичихийг зөвлөдөггүй.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хоёр хэсэгт зураас нэмнэ:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтуудыг нээх:

Бид бүх нэр томъёог зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ.

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн.

Ялгахын дараа фракц үүсэх нь ховор биш юм. Ийм тохиолдолд та фракцаас салах хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг авч үзье: хэсэг бүрийн нэр томъёо бүр

Жишээ 5

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Цорын ганц зүйл бол та фракцаас салахаасаа өмнө эхлээд гурван давхар бүтэцтэй фракцаас салах хэрэгтэй болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.