Тодорхой бус интеграл тодорхойлолт ба хамгийн энгийн шинж чанарууд. Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл, тэдгээрийн шинж чанарууд. Интеграцийн үндсэн аргууд

Тодорхойгүй интегралын тухай ойлголт.Дифференциал гэдэг нь тухайн функцэд түүний дериватив буюу дифференциалыг олох үйлдэл юм. Жишээлбэл, хэрэв F(x) = x 10 бол F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Интеграци -Энэ нь ялгахын эсрэг зүйл юм. Өгөгдсөн дериватив эсвэл функцийн дифференциал дээр интегралчлалыг ашиглан функцийг өөрөө олно. Жишээлбэл, хэрэв F" (x) = 7x 6 бол F (x) == x 7, учир нь (x 7)" = 7x 6.

Дифференциалагдах функц F(x), xЄ]a; b[ гэж нэрлэдэг эсрэг дериватив]а интервал дээрх f (x) функцийн хувьд; b[, хэрэв F" (x) = f (x) бол xЄ]a тус бүрд; b[.

Тиймээс f(x) = 1/cos 3 x функцийн эсрэг дериватив нь (tg x)"= 1/cos 2 x учир F(x)= tan x функц болно.

]a интервал дээрх бүх эсрэг дериватив функцүүдийн олонлог f(x); b[ гэж нэрлэдэг тодорхойгүй интеграл f(x) функцээс энэ интервал дээр f (x)dx = F(x) + C гэж бичнэ. Энд f(x)dx нь интеграл;

F(x)-интеграл функц; интегралын x хувьсагч: C нь дурын тогтмол юм.

Жишээлбэл, 5x 4 dx = x 5 + C, учир нь (x 3 + C)" = 5x 4.

өгье тодорхойгүй интегралын үндсэн шинж чанарууд. 1. Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна.

D f(x)dx=f(x)dx.

2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функцийг дурын тогтмолд нэмсэнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

3. Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж болно.

af(x)dx = a f(x)dx

4. Функцийн алгебрийн нийлбэрийн тодорхойгүй интеграл нь функц бүрийн тодорхойгүй интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

Интеграцийн үндсэн томъёо

(хүснэгтийн интеграл).

6.

Жишээ 1.Хай

Шийдэл. Орлуулалтыг 2 - 3x 2 = t болгоод дараа нь -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Дараа нь бид авна

Жишээ 3.Хай

Шийдэл. 10x = t гэж үзье; дараа нь 10dx = dt, үүнээс dx=(1/10)dt.

3.

Тэгэхээр sinl0xdx-г олохдоо sinkxdx = - (1/k) cos kx+C томъёог ашиглаж болно, энд k=10.

Дараа нь sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Өөрийгөө шалгах асуулт, дасгалууд

1. Ямар үйлдлийг интеграл гэдэг вэ?

2. Ямар функцийг f(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг вэ?

3. Тодорхойгүй интегралыг тодорхойлно уу.

4. Тодорхой бус интегралын үндсэн шинж чанарыг жагсаа.

5. Интеграцчлалыг хэрхэн шалгах вэ?

6. Интегралчлалын үндсэн томьёо (хүснэгтийн интеграл) бич.

7. Интегралыг ол: a) b) c)

Энд a нь доод хязгаар, b нь дээд хязгаар, F (x) нь f (x) функцийн эсрэг дериватив юм.

Энэ томъёоноос тодорхой интегралыг тооцоолох журмыг харж болно: 1) өгөгдсөн функцийн эсрэг деривативуудын нэгийг F (x) олох; 2) x = a ба x = b-ийн F (x) утгыг олох; 3) F (b) - F (a) ялгааг тооцоол.

Жишээ 1.Интегралыг тооцоолох

Шийдэл. Бутархай ба сөрөг илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг ашиглаж, тодорхой интегралыг тооцоолъё:

2. Интеграцийн сегментийг дараах хэсгүүдэд хувааж болно.

3. Тогтмол коэффициентийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

4. Функцийн нийлбэрийн интеграл нь бүх гишүүний интегралын нийлбэртэй тэнцүү байна.

2) t хувьсагчийн интеграцийн хязгаарыг тодорхойлъё. x=1 бол tn =1 3 +2=3, х=2 бол tb =2 3 +2=10 болно.

Жишээ 3.Интегралыг тооцоолох

Шийдэл. 1) cos x=t-ийг тавина; дараа нь – sinxdx =dt ба

sinxdx = -dt. 2) t хувьсагчийн интегралчлалын хязгаарыг тодорхойлъё: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Интегралыг t ба dt-ээр илэрхийлж, шинэ хязгаарт шилжсэнээр бид олж авна

Интеграл бүрийг тусад нь тооцоолъё:

Жишээ 5.Парабол y = x 2, шулуун шугамууд x = - 1, x = 2 ба абсцисса тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол (Зураг 47).

Шийдэл. Томъёог (1) хэрэглэснээр бид олж авна

тэдгээр. S=3 кв. нэгж

ABCD зургийн талбай (Зураг 48), графикаар хязгаарлагдсан тасралтгүй функцууд y =f 1 (x) ба y f 2 = (x), энд x Є[a, b], x = a ба x = b шугамын хэсгүүдийг томъёогоор тооцоолно.

		Х=f(y) тасралтгүй муруйгаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын aAB-ийн Oy тэнхлэгийг тойрон эргэснээр үүссэн биеийн эзэлхүүн, энд y Є [a, b], Oy тэнхлэгийн [a, b] сегмент, шугамын сегментүүд y = a ба y = b (Зураг 53), томъёогоор тооцоолсон Нэг цэгээр явсан зам. Хэрэв цэг шулуунаар хөдөлж, хурд нь v=f(t) нь t хугацааны мэдэгдэж байгаа функц бол тухайн цэгийн тодорхой хугацаанд туулсан замыг томъёогоор тооцоолно. Өөрийгөө шалгах асуултууд 1. Тодорхой интегралын тодорхойлолтыг өг. 2. Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарыг жагсаа. 3. Тодорхой интегралын геометрийн утга нь юу вэ? 4. Тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тодорхойлох томьёо бич. 5. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг ямар томъёогоор олох вэ? 6. Биеийн туулсан зайг тооцоолох томьёо бич. 7. Хувьсах хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоолох томьёог бич. 8. Хавтан дээрх шингэний даралтын хүчийг ямар томъёогоор тооцох вэ?

Интеграл бол дифференциал тооцооллын чухал хэсэг юм. Интеграл нь хоёр, гурав, гэх мэт байж болно. Гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүнийг олох геометрийн биетүүдашиглаж байна янз бүрийн төрөлинтеграл.

Тодорхой бус интеграл нь \(∫f (x)\, dx\) хэлбэртэй, тодорхой интеграл нь: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\) хэлбэртэй байна.

Тодорхой интегралын графикаар хязгаарлагдсан хавтгайн муж:

Интеграцийн үйлдлүүд нь ялгахын урвуу үйлдэл юм. Ийм учраас бид эсрэг дериватив, функц, уламжлалын хүснэгтийг санах хэрэгтэй.

\(F (x) = x^2\) функц нь \(f (x) = 2x\) функцийн эсрэг дериватив юм. \(f (x) = x^2+2\) ба \(f (x) = x^2+7\) функцууд нь \(f (x) = 2x\) функцийн эсрэг дериватив юм. \(2\) ба \(7-\) нь дериватив нь 0-тэй тэнцүү тогтмолууд тул бид хүссэнээрээ орлуулж болно, эсрэг деривативын утга өөрчлөгдөхгүй. Тодорхой бус интеграл бичихийн тулд \(∫\) тэмдгийг ашиглана. Тодорхой бус интегралнь \(f (x) = 2x\) функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог юм. Интеграцийн үйлдлүүд нь ялгахын урвуу үйлдэл юм. \(∫2x = x^2+C\) , энд \(C\) нь интегралын тогтмол, өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид \(x^2\) деривативыг тооцвол \(2x\) , ба энэ нь \ (∫2x\) юм. Амархан, тийм үү? Хэрэв та ойлгохгүй байгаа бол функцийн деривативыг давтах хэрэгтэй. Одоо бид интегралыг тооцоолох томъёог гаргаж болно. \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ​​≠ -1\). Бид 1-ийг хассан, одоо бид 1-ийг нэмсэн, n нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй. Бусад үндсэн функцүүдийн интеграцийн бусад дүрмүүдийг сурах шаардлагатай:

Тодорхой бус интегралыг шийдэх нь эсрэг деривативуудыг олох урвуу үйл явц юм дифференциал тэгшитгэл. Бид дериватив нь интеграл болох функцийг олох бөгөөд төгсгөлд нь "+ C" нэмэхээ бүү мартаарай.

Интеграл тооцооллын зарчмуудыг 17-р зууны төгсгөлд Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц нар бие даан томъёолсон. Бернхард Риман интегралын математикийн хатуу тодорхойлолтыг өгсөн. Интегралыг тодорхойлох чадвартай анхны баримтжуулсан системчилсэн арга бол эртний Грекийн одон орон судлаач Евдоксийн тооцооллын арга бөгөөд талбай ба эзлэхүүнийг хязгааргүй олон тооны мэдэгдэж буй талбай, эзлэхүүн болгон задлах замаар олохыг оролдсон. Энэ аргыг МЭӨ 3-р зуунд Архимед улам хөгжүүлж хэрэглэж байжээ. д. параболын талбайг тооцоолох, тойргийн талбайг ойролцоогоор тооцоолоход ашигласан.

Үүнтэй төстэй аргыг Хятадад МЭ 3-р зууны үед Лю Хуй бие даан боловсруулж, тойргийн талбайг олоход ашигласан. Энэ аргыг хожим 5-р зуунд Хятадын эцэг хүү математикч З.У.Чонжи, ЗУ Гэн нар бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг олоход ашигласан.

Интеграл тооцооллын дараагийн чухал дэвшил 17-р зуун хүртэл гарч ирээгүй. Энэ хугацаанд Кавальери, Фермат нарын ажил орчин үеийн тооцооны үндэс суурийг тавьж эхэлсэн.

Ялангуяа интеграл тооцооллын үндсэн теорем нь илүү өргөн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгодог. Ньютон, Лейбниц нарын боловсруулсан нарийн төвөгтэй математикийн тогтолцоо ч мөн адил чухал юм. Интегралын энэ бүтцийг Лейбницийн бүтээлээс шууд авч, орчин үеийн интеграл тооцоолол болсон бөгөөд энэ тооцоог Риман хязгаарыг ашиглан өөрчилсөн. Дараа нь илүү ерөнхий чиг үүргүүдийг авч үзсэн, ялангуяа Риеманы тодорхойлолт хамаарахгүй Фурьегийн шинжилгээний хүрээнд. Лебесг хэмжүүрийн онолд (бодит шинжилгээний дэд талбар) үндэслэсэн интегралын өөр нэг тодорхойлолтыг томъёолсон.

Тодорхой бус интегралын орчин үеийн тэмдэглэгээг 1675 онд Готфрид Лейбниц нэвтрүүлсэн.

Интеграл нь математикийн олон салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, магадлалын онолд зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой хязгаарт орох магадлалыг тодорхойлоход интеграл ашигладаг.

Интегралыг муруй хил бүхий хоёр хэмжээст бүсийн талбайг тооцоолох, мөн муруй хил бүхий гурван хэмжээст объектын эзлэхүүнийг тооцоолоход ашиглаж болно.

Интегралыг физик, кинематик гэх мэт салбарт шилжилт хөдөлгөөн, цаг хугацаа, хурдыг олоход ашигладаг.

Эсрэг дериватив функц ба тодорхойгүй интеграл

Баримт 1. Интеграл гэдэг нь дифференциалын урвуу үйлдэл, тухайлбал, энэ функцийн мэдэгдэж буй деривативаас функцийг сэргээх явдал юм. Ингэснээр функц сэргээгдсэн Ф(x) гэж нэрлэдэг эсрэг деривативфункцийн хувьд е(x).

Тодорхойлолт 1. Чиг үүрэг Ф(x е(x) тодорхой интервалаар X, хэрэв бүх утгын хувьд xЭнэ интервалаас тэгш байдал хадгалагдана Ф "(x)=е(x), өөрөөр хэлбэл энэ функц е(x) нь эсрэг дериватив функцийн дериватив юм Ф(x). .

Жишээлбэл, функц Ф(x) = нүгэл x функцийн эсрэг дериватив юм е(x) = cos x бүх тооны шулуун дээр, учир нь x-ийн дурын утгын хувьд (нүгэл x)" = (cos x) .

Тодорхойлолт 2. Функцийн тодорхойгүй интеграл е(x) нь түүний бүх эсрэг деривативуудын багц юм. Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана

∫

е(x)dx

тэмдэг хаана байна ∫ интеграл тэмдэг, функц гэж нэрлэдэг е(x) – интеграл функц, ба е(x)dx - интеграл илэрхийлэл.

Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив е(x), Тэр

∫

е(x)dx = Ф(x) +C

Хаана C - дурын тогтмол (тогтмол).

Функцийн эсрэг деривативуудын багцын утгыг тодорхойгүй интеграл гэж ойлгохын тулд дараах зүйрлэл тохиромжтой. Хаалга байх болтугай (уламжлалт модон хаалга). Үүний үүрэг бол "хаалга байх" юм. Хаалга юугаар хийгдсэн бэ? Модоор хийсэн. Энэ нь "хаалга байх" функцийн интегралын эсрэг деривативуудын олонлог, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойгүй интеграл нь "мод байх + C" функц байна гэсэн үг бөгөөд C нь тогтмол бөгөөд энэ нөхцөлд үүнийг хийж болно. жишээлбэл, модны төрлийг заана. Хаалгыг зарим багаж ашиглан модоор хийдэгтэй адил функцийн деривативыг ашиглан эсрэг дериватив функцээс "бүтээдэг". деривативыг судалж байхдаа бидний сурсан томъёо .

Дараа нь нийтлэг объектуудын функцын хүснэгт ба тэдгээрийн харгалзах эсрэг деривативууд ("хаалга байх" - "мод байх", "халбага байх" - "төмөр байх" гэх мэт) нь үндсэн хүснэгттэй төстэй байна. тодорхойгүй интегралуудыг доор өгөв. Тодорхой бус интегралын хүснэгтэд эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг деривативуудыг харуулсан нийтлэг функцуудыг жагсаав. Тодорхой бус интегралыг олох асуудлын нэг хэсэгт маш их хүчин чармайлтгүйгээр шууд интегралд оруулах боломжтой, өөрөөр хэлбэл тодорхойгүй интегралын хүснэгтийг ашиглан интегралуудыг өгдөг. Илүү төвөгтэй бодлогод хүснэгтийн интегралыг ашиглахын тулд эхлээд интегралыг хувиргах ёстой.

Баримт 2. Функцийг эсрэг дериватив болгон сэргээхдээ бид дурын тогтмол (тогтмол)-ыг харгалзан үзэх ёстой. C, мөн 1-ээс хязгааргүй хүртэлх янз бүрийн тогтмолтой эсрэг деривативуудын жагсаалтыг бичихгүйн тулд дурын тогтмолтой эсрэг деривативуудын багц бичих хэрэгтэй. C, жишээ нь: 5 x³+C. Тиймээс эсрэг дериватив нь функц байж болох тул дурын тогтмол (тогтмол) нь эсрэг деривативын илэрхийлэлд орсон болно, жишээлбэл, 5 x³+4 эсвэл 5 x³+3, ялгах үед 4 эсвэл 3 эсвэл бусад тогтмол нь тэг болно.

Энэ функцийн хувьд интеграцийн асуудлыг тавьцгаая е(x) ийм функцийг ол Ф(x), хэний деривативтэнцүү байна е(x).

Жишээ 1.Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол

Шийдэл. Энэ функцийн хувьд эсрэг дериватив нь функц юм

Чиг үүрэг Ф(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг е(x), хэрэв дериватив бол Ф(x) тэнцүү байна е(x), эсвэл ижил зүйл болох дифференциал Ф(x) тэнцүү байна е(x) dx, өөрөөр хэлбэл

(2)

Тиймээс функц нь функцийн эсрэг дериватив юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц эсрэг дериватив биш юм. Тэд бас үүрэг гүйцэтгэдэг

Хаана ХАМТ- дурын тогтмол. Үүнийг ялгах замаар баталгаажуулж болно.

Тиймээс, хэрэв функцэд нэг эсрэг дериватив байгаа бол түүний хувьд тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай хязгааргүй тооны эсрэг дериватив байдаг. Функцийн бүх эсрэг деривативуудыг дээрх хэлбэрээр бичнэ. Энэ нь дараах теоремоос үүдэлтэй.

Теорем (баримт 2-ын албан ёсны мэдэгдэл).Хэрэв Ф(x) – функцийн эсрэг дериватив е(x) тодорхой интервалаар X, дараа нь бусад ямар ч эсрэг дериватив е(x) ижил интервал дээр хэлбэрээр илэрхийлж болно Ф(x) + C, Хаана ХАМТ- дурын тогтмол.

Дараагийн жишээнд бид тодорхойгүй интегралын шинж чанаруудын дараа 3-р зүйлд өгөгдсөн интегралын хүснэгт рүү шилждэг. Дээрх зүйлийн мөн чанар тодорхой байхын тулд бид хүснэгтийг бүхэлд нь уншихаас өмнө үүнийг хийдэг. Хүснэгт болон шинж чанаруудын дараа бид нэгтгэх явцад тэдгээрийг бүхэлд нь ашиглах болно.

Жишээ 2.Эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг ол:

Шийдэл. Бид эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг олдог. Интегралын хүснэгтээс томьёог дурдахдаа одоохондоо ийм томьёо байдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөрч, тодорхой бус интегралын хүснэгтийг өөрөө бага зэрэг судлах болно.

1) Интегралын хүснэгтээс (7) томъёог ашиглана n= 3, бид олж авна

2) Интегралын хүснэгтээс (10) томъёог ашиглана n= 1/3, бидэнд байна

3) Түүнээс хойш

дараа нь (7) томъёоны дагуу n= -1/4 бид олдог

Энэ нь интеграл тэмдгийн доор бичигдсэн функц өөрөө биш юм. е, мөн дифференциалаар түүний бүтээгдэхүүн dx. Энэ нь үндсэндээ эсрэг деривативыг аль хувьсагчаар хайж байгааг харуулахын тулд хийгддэг. Жишээлбэл,

, ;

Энд хоёр тохиолдолд интеграл нь -тэй тэнцүү боловч авч үзсэн тохиолдолд түүний тодорхойгүй интегралууд өөр байна. Эхний тохиолдолд энэ функцийг хувьсагчийн функц гэж үзнэ x, хоёрдугаарт - функцээр z .

Функцийн тодорхойгүй интегралыг олох үйл явцыг тухайн функцийг интегралдах гэж нэрлэдэг.

Тодорхой бус интегралын геометрийн утга

Бид муруй олох хэрэгтэй гэж бодъё y=F(x)Мөн цэг бүр дээрх шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн өгөгдсөн функц f(x)энэ цэгийн абсцисса.

дагуу геометрийн мэдрэмждериватив, муруйн өгөгдсөн цэг дэх шүргэгч өнцгийн тангенс y=F(x)деривативын утгатай тэнцүү байна F"(x). Тиймээс бид ийм функцийг олох хэрэгтэй F(x), үүний төлөө F"(x)=f(x). Даалгаварт шаардлагатай функц F(x)-ийн эсрэг дериватив юм f(x). Асуудлын нөхцлийг нэг муруй биш, харин муруйн гэр бүл хангадаг. y=F(x)- эдгээр муруйнуудын аль нэг, үүнээс өөр ямар ч муруйг авч болно зэрэгцээ шилжүүлэгтэнхлэгийн дагуу Өө.

-ийн эсрэг дериватив функцийн графикийг нэрлэе f(x)интеграл муруй. Хэрэв F"(x)=f(x), дараа нь функцийн график y=F(x)интеграл муруй байна.

Баримт 3. Тодорхой бус интеграл нь геометрийн хувьд бүх интеграл муруйн бүлгээр илэрхийлэгдэнэ. , доорх зурган дээрх шиг. Муруй бүрийн координатын гарал үүслийн зайг дурын интеграцийн тогтмолоор тодорхойлно C.

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Баримт 4. Теорем 1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай, дифференциал нь интегралтай тэнцүү.

Баримт 5. Теорем 2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл е(x) функцтэй тэнцүү байна е(x) тогтмол хугацаа хүртэл , өөрөөр хэлбэл

(3)

1 ба 2-р теоремууд нь дифференциал ба интеграл нь харилцан урвуу үйлдлүүд гэдгийг харуулж байна.

Баримт 6. Теорем 3. Интеграл дахь тогтмол хүчин зүйлийг тодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно. , өөрөөр хэлбэл

Дериватив эсвэл дифференциалаас нь сэргээж болох функцийг дуудна эсрэг дериватив.

Тодорхойлолт.Чиг үүрэг F(x)дуудсан эсрэг деривативфункцийн хувьд

f(x)зарим интервал дээр, хэрэв энэ интервалын цэг бүрт

F"(x) = f(x)

эсвэл, энэ нь бас

dF(x) = f(x)dx

Жишээлбэл, F(x) = sin xнь эсрэг дериватив юм f(x) = cos xбүх тооны мөрөнд ОX, учир нь

(нүгэл х)" = cos x

Хэрэв функц бол Ф(x) функцийн эсрэг дериватив байдаг е(x) дээр [ а; б], дараа нь функц Ф(x) + C, Хаана Cямар ч бодит тоо нь эсрэг дериватив юм е(x) ямар ч үнэ цэнээр C. Үнэхээр ( Ф(x) + C)" = Ф"(x) + C" = е(x).

Жишээ.

Тодорхойлолт.Хэрэв F(x)функцийн эсрэг деривативуудын нэг f(x)дээр [ а; б], дараа нь илэрхийлэл F(x) + C, Хаана Cдурын тогтмол гэж нэрлэдэг тодорхойгүй интегралфункцээс f(x)ба ʃ тэмдгээр тэмдэглэнэ е(x)dx(унш: -ын тодорхойгүй интеграл f(x)дээр dx). Тэгэхээр,

ʃ е (x ) dx = F (x ) +C ,

Хаана f(x)интеграл функц гэж нэрлэдэг, f(x)dx- интеграл илэрхийлэл, xнь интегралын хувьсагч бөгөөд ʃ тэмдэг нь тодорхойгүй интегралын тэмдэг юм.

Тодорхой бус интегралын шинж чанарууд ба түүний геометрийн шинж чанарууд.

Тодорхой бус интегралын тодорхойлолтоос дараахь зүйлийг гаргана.

1. Тодорхойгүй интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

Үнэхээр, F"(x) = е(x) ба ʃ е(x)dx = F(x)+C. Дараа нь

2. Тодорхойгүй интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна

Үнэхээр,

3. Үүсмэлийн тодорхойгүй интеграл нь функц өөрөө болон дурын тогтмолтой тэнцүү байна.

Үнэхээр, F"(x) = е(x). Дараа нь,

4. Дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь дифференциал болох функц дээр дурын тогтмолтой тэнцүү байна.

Үнэхээр, . Дараа нь,

5. Тогтмол үржүүлэгч к(к≠ 0) нь тодорхойгүй интегралын тэмдэг болгон авч болно:

6. Хязгаарлагдмал тооны функцийн алгебрийн нийлбэрийн тодорхойгүй интеграл нь эдгээр функцүүдийн интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Графикийг эсрэг дериватив гэж нэрлэе Интеграл муруйны F(x). Бусад антидеривативын график F(x) + Cинтеграл муруйг параллель шилжүүлэх замаар олж авсан F(x)тэнхлэгийн дагуу Өө.

Жишээ.

Үндсэн интегралын хүснэгт

Интеграцийн үндсэн аргууд

1. Шууд (хүснэгт) нэгтгэх.

Шууд (хүснэгт) интеграл гэдэг нь анхан шатны математикийн үндсэн шинж чанар, томъёог ашиглан интегралыг хүснэгт хэлбэрт оруулах явдал юм.

Жишээ 1.

Шийдэл:

Жишээ2 .

Шийдэл:

Жишээ3 .

Шийдэл:

2. Дифференциал дор оруулах арга.

Жишээ 1.

Шийдэл:

Жишээ2 .

Шийдэл:

Жишээ3 .

Шийдэл:

Жишээ4 .

Шийдэл:

Жишээ5 .

Шийдэл:

Жишээ6 .

Шийдэл:

Жишээ7 .

Шийдэл:

Жишээ8 .

Шийдэл:

Жишээ9 .

Шийдэл:

Жишээ10 .

Шийдэл:

3. Дифференциалтай холбох хоёр дахь арга.

Жишээ 1.

Шийдэл:

Жишээ2 .

Шийдэл:

4. Хувьсах (орлуулах) арга.

Жишээ.

Шийдэл:

5. Хэсэгээр нэгтгэх арга.

Энэ томьёог ашиглан дараах төрлийн интегралуудыг авна.

1 төрөл

, томъёо хамаарна n- нэг удаа, үлдсэн нь dv.

2 төрөл.

, Томъёог нэг удаа хэрэглэнэ.

Жишээ1 .

Шийдэл:

Жишээ 2.

Шийдэл:

Жишээ3 .

Шийдэл:

Жишээ4 .

Шийдэл:

РАЦИОН БУТАРЧЛАЛЫН ИНТЕГРАЛЬ.

Рационал бутархай гэдэг нь хоёр олон гишүүнтийн харьцаа - градус юм м ба - градус n,

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1. Хэрэв бол өнцгийг хуваах аргыг ашиглан хэсгийг бүхэлд нь арилгана.

2. Хэрэв хуваагч нь мөн дөрвөлжин гурвалжинтай бол төгс квадрат дээр нэмэх аргыг хэрэглэнэ.

Жишээ 1.

Шийдэл:

Жишээ2 .

Шийдэл:

3. Зөв рационал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах тодорхой бус коэффициентийн арга.

Аливаа зөв рационал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Хаана A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ тодорхой бус коэффициентүүд.

Тодорхойлогдоогүй коэффициентийг олохын тулд баруун гар талыг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай. Хуваагч нь баруун талын бутархайн хуваагчтай давхцаж байгаа тул тэдгээрийг хаяж, тоологчдыг тэнцүүлж болно. Дараа нь коэффициентүүдийг ижил градусаар тэнцүүлэх x зүүн ба баруун талд бид шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна n- үл мэдэгдэх. Энэ системийг шийдсэний дараа бид шаардлагатай коэффициентүүдийг олдог А, Б, C, Дгэх мэт. Тиймээс бид зөв оновчтой бутархайг энгийн бутархай болгон задлах болно.

Жишээнүүдийг ашиглан боломжит хувилбаруудыг авч үзье:

1. Хэрэв хуваагч хүчин зүйлүүд нь шугаман ба ялгаатай байвал:

2. Хэрэв хуваагч хүчин зүйлсийн дунд богино хүчин зүйлүүд байвал:

3. Хэрэв хуваагчийн хүчин зүйлүүдийн дунд үржвэрлэх боломжгүй дөрвөлжин гурвалжин байвал:

Жишээ нь:Рационал бутархайг хамгийн энгийн хэсгүүдийн нийлбэр болгон задлаарай. нэгтгэх.

Жишээ 1.

Бутархайн хуваагч нь тэнцүү тул тоологч нь мөн тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл.

Жишээ 2.

Жишээ3 .