Экстремумын зайлшгүй бөгөөд хангалттай шинж тэмдэг. Функцийн экстремум. Экстремумын зайлшгүй шинж тэмдэг. Эхний болон хоёр дахь деривативыг ашиглан экстремумын хангалттай шинж тэмдэг. Функц нэмэгдэх, буурах хангалттай нөхцөл

Функцийн үйл ажиллагааны талаарх маш чухал мэдээллийг нэмэгдүүлэх ба буурах интервалуудаар хангадаг. Тэдгээрийг олох нь функцийг шалгах, график зурах үйл явцын нэг хэсэг юм. Нэмж дурдахад, тодорхой интервал дахь функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг олохдоо өсөлтөөс буурах эсвэл буурахаас нэмэгдэх рүү шилжих туйлын цэгүүдэд онцгой анхаарал хандуулдаг.

Энэ нийтлэлд бид шаардлагатай тодорхойлолт, томъёолол өгөх болно хангалттай нотлох баримтинтервал дахь функцийн өсөлт, бууралт ба экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл бол бид энэ онолыг бүхэлд нь жишээ, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах болно.

Хуудасны навигаци.

Интервал дээр нэмэгдэх ба буурах функц.

Өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолт.

y=f(x) функц нь хэрэв байгаа бол X интервал дээр нэмэгдэнэ тэгш бус байдал бий. Өөрөөр хэлбэл, том аргументын утга нь том функцын утгатай тохирч байна.

Буурах функцийн тодорхойлолт.

y=f(x) функц нь хэрэв байгаа бол X интервал дээр буурна тэгш бус байдал бий . Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байна.

ТАЙЛБАР: Хэрэв функц нь (a;b) нэмэгдэж, буурах интервалын төгсгөлд, өөрөөр хэлбэл x=a ба x=b-ийн төгсгөлд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байвал эдгээр цэгүүд нэмэгдэх эсвэл буурах интервалд орно. Энэ нь X интервал дахь өсөлт ба буурах функцийн тодорхойлолттой зөрчилддөггүй.

Жишээлбэл, үндсэн шинж чанараас үндсэн функцууд y=sinx нь аргументийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс интервал дээрх синус функцийн өсөлтөөс бид интервал дээр нэмэгддэг гэж баталж болно.

Функцийн экстремум цэг, экстремум.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэгХэрэв ойролцоох бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн бол y=f(x) функц. Хамгийн их цэг дээрх функцийн утгыг дуудна функцийн дээд хэмжээболон тэмдэглэнэ.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэгХэрэв ойролцоох бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн бол y=f(x) функц. Функцийн хамгийн бага цэг дэх утгыг дуудна хамгийн бага функцболон тэмдэглэнэ.

Цэгийн хөршийг интервал гэж ойлгодог , энд хангалттай бага эерэг тоо байна.

Хамгийн бага ба дээд цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд, мөн экстремум цэгүүдэд харгалзах функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Функцийн экстремумыг хамгийн том батай андуурч болохгүй хамгийн бага утгафункцууд.

Эхний зураг дээр хамгийн өндөр үнэ цэнэсегмент дээрх функц нь хамгийн их цэг дээр хүрч, функцийн хамгийн их утгатай тэнцүү бөгөөд хоёр дахь зураг дээр - функцийн хамгийн их утга нь хамгийн их цэг биш x=b цэгт хүрдэг.

Функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах хангалттай нөхцөл.

Функцийн өсөлт, бууралтын хангалттай нөхцөл (тэмдэг) дээр үндэслэн функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг олно.

Интервал дахь функцүүдийн өсөлт ба бууралтын шинж тэмдгүүдийн томъёолол энд байна.

• хэрэв y=f(x) функцийн дериватив нь X интервалаас аль ч х-д эерэг байвал функц X-ээр нэмэгдэнэ;
• хэрэв y=f(x) функцийн дериватив нь X интервалаас аль ч х-д сөрөг байвал функц X дээр буурна.

Тиймээс функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Алгоритмыг тайлбарлах функцүүдийн өсөлт ба бууралтын интервалыг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

Өсөх ба буурах функцүүдийн интервалыг ол.

Шийдэл.

Эхний алхам бол функцийн тодорхойлолтын мужийг олох явдал юм. Бидний жишээн дээр хуваагч дахь илэрхийлэл тэг рүү орох ёсгүй тул .

Функцийн деривативыг олохын тулд үргэлжлүүлье.

Хангалттай шалгуур дээр үндэслэн функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойлолтын муж дээрх тэгш бус байдлыг шийддэг. Интервалын аргын ерөнхий ойлголтыг ашиглая. Тоолуурын цорын ганц жинхэнэ язгуур нь x = 2 бөгөөд хуваагч нь x=0 үед тэг болно. Эдгээр цэгүүд нь тодорхойлолтын мужийг функцийн дериватив тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэе. Бид уламжлал ёсоор дериватив эерэг эсвэл сөрөг байх интервалуудыг нэмэх ба хасахаар тэмдэглэдэг. Доорх сумнууд нь харгалзах интервал дээрх функцийн өсөлт эсвэл бууралтыг схемээр харуулав.

Тиймээс, Тэгээд .

Яг цэг дээр x=2 функц нь тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг тул нэмэгдэх ба буурах интервалд хоёуланд нь нэмэх шаардлагатай. x=0 цэгт функц тодорхойлогдоогүй тул шаардлагатай интервалд энэ цэгийг оруулахгүй.

Бид олж авсан үр дүнг харьцуулахын тулд функцийн графикийг толилуулж байна.

Хариулт:

Функц нь нэмэгддэг , интервал дээр буурна (0;2] .

Функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл.

Функцийн максимум ба минимумыг олохын тулд экстремумын гурван тэмдгийн аль нэгийг нь ашиглаж болно, хэрэв функц тэдгээрийн нөхцөлийг хангаж байвал мэдээж хэрэг. Хамгийн түгээмэл бөгөөд тохиромжтой нь тэдний эхнийх юм.

Экстремумын эхний хангалттай нөхцөл.

y=f(x) функц нь цэгийн -хүрш хэсэгт дифференциал болох ба цэг дээр үргэлжилсэн байна.

Өөрөөр хэлбэл:

Функцийн экстремумын эхний шинж тэмдэг дээр үндэслэн экстремум цэгийг олох алгоритм.

• Бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олдог.
• Тодорхойлолтын мужаас функцийн деривативыг олно.
• Бид тоологчийн тэг, деривативын хуваагчийн тэг ба дериватив байхгүй тодорхойлолтын домэйны цэгүүдийг тодорхойлно (бүх жагсаасан цэгүүдийг гэж нэрлэдэг) болзошгүй экстремумын цэгүүд, эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөхөд дериватив нь зүгээр л тэмдэгээ өөрчилж болно).
• Эдгээр цэгүүд функцийн тодорхойлолтын мужийг үүсмэл шинж тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Бид интервал тус бүр дээр деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлдог (жишээлбэл, тодорхой интервалын аль ч цэг дэх функцийн деривативын утгыг тооцоолох замаар).
• Бид функц тасралтгүй үргэлжлэх цэгүүдийг сонгож, үүсмэл шинж тэмдэг нь өөрчлөгддөг - эдгээр нь экстремум цэгүүд юм.

Хэт олон үг байгаа тул функцийн экстремумын эхний хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремум ба экстремумыг олох хэд хэдэн жишээг илүү сайн харцгаая.

Жишээ.

Функцийн экстремумыг ол.

Шийдэл.

Функцийн муж нь x=2-оос бусад бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм.

Деривативыг олох нь:

Тоолуурын тэг нь x=-1 ба x=5 цэгүүд бөгөөд хуваагч нь x=2 үед тэг болно. Эдгээр цэгүүдийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэ

Бид интервал бүр дээр деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлж, интервал бүрийн аль ч цэг дээр, жишээлбэл, x=-2, x=0, x=3 ба x=6.

Тиймээс интервал дээр дериватив эерэг байна (зураг дээр бид энэ интервал дээр нэмэх тэмдэг тавьсан). Үүний нэгэн адил

Тиймээс бид хоёр дахь интервалаас дээш хасах, гурав дахь нь хасах, дөрөв дэх дээр нэмэх нь дээр тавьдаг.

Функц тасралтгүй үргэлжлэх цэгүүд ба түүний дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхийг сонгоход л үлддэг. Эдгээр нь туйлын цэгүүд юм.

Яг цэг дээр x=-1 функц тасралтгүй бөгөөд дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг тул экстремумын эхний тэмдгийн дагуу x=-1 нь хамгийн их цэг, функцийн хамгийн их нь түүнд тохирч байна. .

Яг цэг дээр x=5 функц тасралтгүй бөгөөд үүсмэл тэмдэг нь хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул x=-1 нь хамгийн бага цэг, функцийн хамгийн бага нь түүнд тохирч байна. .

График дүрслэл.

Хариулт:

Анхаарна уу: экстремумын эхний шалгуур нь тухайн цэг дээрх функцийг ялгахыг шаарддаггүй.

Жишээ.

Функцийн экстремум ба экстремумыг ол .

Шийдэл.

Функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Функцийг өөрөө дараах байдлаар бичиж болно.

Функцийн деривативыг олъё:

Яг цэг дээр Аргумент тэг байх үед нэг талын хязгаарын утгууд давхцдаггүй тул x=0 дериватив байхгүй.

Үүний зэрэгцээ анхны функц нь x=0 цэг дээр тасралтгүй байна (тасралтгүй байдлын функцийг судлах хэсгийг үзнэ үү):

Дериватив тэг болох аргументийн утгыг олъё:

Олж авсан бүх цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэж, интервал бүр дээр деривативын тэмдгийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид интервал бүрийн дурын цэгүүдэд деривативын утгыг тооцоолно, жишээлбэл, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Энэ нь,

Тиймээс экстремумын эхний шинж тэмдгийн дагуу хамгийн бага оноо нь байна , хамгийн их оноо байна .

Бид функцийн харгалзах минимумыг тооцоолно

Бид функцийн харгалзах максимумыг тооцоолно

График дүрслэл.

Хариулт:

.

Функцийн экстремумын хоёр дахь тэмдэг.

Таны харж байгаагаар функцийн экстремумын энэ тэмдэг нь тухайн цэг дээр дор хаяж хоёр дахь эрэмбийн дериватив байхыг шаарддаг.

Функцийн үйл ажиллагааг шалгахын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

2) Энэ деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийд
Түүний үндэс
хөдөлгөөнгүй цэгүүд юм.

3) Тооны тэнхлэгт зурж, тэмдгүүдийг тодорхойлох нэмэлт судалгаанд суурин цэгүүдийг хамруулна.
үүссэн хэсгүүд дээр. Эдгээр тэмдгүүдийг мэдсэнээр та суурин цэг бүрийн мөн чанарыг тодорхойлж болно .
Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив
Тэмдгийг нэмэхээс хасах болгон өөрчилвөл хөдөлгөөнгүй цэг нь хамгийн их цэг болно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэгээр дамжин өнгөрөх үед деривативын тэмдэг нь хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл хөдөлгөөнгүй цэг нь хамгийн бага цэг болно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив

тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол суурин цэг нь экстремум цэг биш юм.

Заримдаа экстремумыг олохдоо экстремум цэгийн шинж чанарыг суурин цэг дээрх хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлдог бусад хангалттай нөхцлийг ашигладаг. Теорем (экстремум байх хоёр дахь хангалттай нөхцөл). --- функцийн суурин цэг
(энэ нь Тэгээд хоёр дахь деривативтай , цэгийн ойролцоо үргэлжилсэн

.Дараа нь
1) хэрэв , Тэр ;

--- функцийн хамгийн их цэг
1) хэрэв 2) хэрэв

--- функцийн хамгийн бага цэг.

Жишээ 3. Функцийн экстремумыг ол.
Шийдэл. Түүнээс хойш
, зөвхөн 0-ээс интервалыг авч үзэхэд хангалттай
. Бид олох болно
(энэ нь
:

,
.

Тэнцүүлэх
тэг хүртэл бид суурин цэгүүдийг олдог:

эсвэл
. Энэ хооронд
Энэ тэгшитгэлийн хоёр үндэс байдаг:
(энэ нь
. Тэмдгийг тодорхойлъё
эдгээр цэгүүдэд:
, тиймээс
--- хамгийн их оноо:

, тиймээс
--- хамгийн бага оноо.

Гүдгэр ба хотгорын функцүүдийн судалгаа. Гулзайлтын цэгүүд

Дифференциалагдах функцийн график болох Г муруйг хавтгай дээр авч үзье
.

Тодорхойлолт 1. Хэрэв энэ интервал дээр муруйн бүх цэгүүд түүний шүргэгчээс өндөргүй байвал муруйг (a,b) дээр дээшээ гүдгэр (гүдгэр) гэнэ.

Тодорхойлолт 2.Муруйг гүдгэр доош (хотгор) гэж нэрлэдэг
, хэрэв энэ интервал дээр муруйны бүх цэгүүд түүний шүргэгчээс багагүй байвал.

Муруйн гүдгэр чиглэл нь түүний хэлбэрийн чухал шинж чанар юм. Функцийн график нь гүдгэр (гүдгэр) байх интервалуудыг тодорхойлох шалгуурыг тогтооцгооё. Ийм тэмдэг нь жишээлбэл, функцийн хоёр дахь деривативын тэмдэг юм
(хэрэв байгаа бол).

Теорем 1.
функцийн хоёр дахь дериватив сөрөг байвал муруй болно
энэ интервал дээр дээшээ гүдгэр.

Теорем 2.Хэрэв интервалын бүх цэгүүдэд
функцийн хоёр дахь дериватив
эерэг байвал муруй болно
энэ завсарт энэ нь хотгор (доош гүдгэр).

Жишээ 1. Функцийн гүдгэр-гүдгэр интервалуудыг ол

Шийдэл. At

Тиймээс эдгээрт зориулсан функц гүдгэр; цагт

, тиймээс, эдгээрийн хувьд функц нь хотгор юм.

Тодорхойлолт 3. Муруйн гүдгэр хэсгийг хотгор хэсгээс тусгаарлах цэгийг гулзайлтын цэг гэнэ.

Гулзайлтын цэг дээр шүргэгч нь хэрэв байгаа бол муруйг огтолдог нь ойлгомжтой, учир нь энэ цэгийн нэг талд муруй нь шүргэгчийн доор, нөгөө талд нь түүний дээгүүр байрладаг.

Теорем 3. (Зайлшгүй нугалах нөхцөл). Хэрэв муруйн гулзайлтын цэг байдаг
мөн энэ нь хоёр дахь деривативтай
Тэр
.

Эндээс харахад зөвхөн хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг л нугалалтыг шалгах шаардлагатай болно.

Теорем 4.Хэрэв, цэгээр дамжин өнгөрөх үед хоёр дахь дериватив
тэмдэг, дараа нь муруйн цэг өөрчлөгдөнө
абсциссатай гулзайлтын цэг байдаг.

Жишээ 2. Муруйн гулзайлтын цэгүүдийг ол
.

Шийдэл. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ:
.

Дериватив олох:

;
.

Хоёр дахь дериватив хаана ч алга болдоггүй, харин хэзээ
байхгүй.

Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё
цэгийн зүүн ба баруун талд
:

цагт
, тиймээс интервал дээр
функц нь хотгор;

цагт
, тиймээс интервал дээр
функц нь гүдгэр байна.

Тиймээс, хэзээ
гулзайлтын цэг байдаг
.

Теорем (экстремумын эхний хангалттай нөхцөл). Функц нь цэг дээр тасралтгүй, цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг өөрчлөгдөнө. Дараа нь экстремумын цэг нь: тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгдвөл хамгийн их нь, "-"-ээс "+" бол хамгийн бага нь.

Баталгаа. Let at болон at .

Лагранжийн теоремын дагуу , хаана .Тэгвэл хэрэв , тэгвэл ; тийм учраас , тиймээс, , эсвэл . Хэрэв, тэгвэл; тийм учраас , тиймээс, эсвэл .

Тиймээс, ойролцоох аль ч цэг дээр, i.e. – функцийн хамгийн их цэг.

Минимум цэгийн теоремийн нотолгоог мөн адил гүйцэтгэнэ. Теорем нь батлагдсан.

Хэрэв дериватив цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол цэг дээр экстремум байхгүй болно.

Теорем (экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөл). Нэг цэг дээрх хоёр дахин дифференциалагдах функцийн дериватив нь 0 ()-тэй тэнцүү байх ба энэ цэг дэх хоёр дахь дериватив нь тэгээс ялгаатай () бөгөөд тухайн цэгийн зарим орчимд тасралтгүй байг. Дараа нь туйлын цэг; Энэ нь хамгийн бага цэг бөгөөд энэ нь хамгийн дээд цэг юм.

Экстремумын эхний хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремумыг олох алгоритм.

1. Деривативыг ол.

2. Функцийн чухал цэгүүдийг ол.

3. Чухал цэг бүрийн зүүн ба баруун талд байгаа деривативын тэмдгийг судалж, экстремум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.

4. Функцийн хэт утгыг ол.

Экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремумыг олох алгоритм.

1. Деривативыг ол.

2. Хоёр дахь деривативыг ол.

3. Эдгээр цэгүүдийг ол.

4. Эдгээр цэгүүдийн тэмдгийг тодорхойл.

5. Экстремумын оршин тогтнол, мөн чанарын талаар дүгнэлт гарга.

6. Функцийн хэт утгыг ол.

Жишээ.Ингээд авч үзье . Бид олох болно . Дараа нь, at болон at. Экстремумын эхний хангалттай нөхцөлийг ашиглан эгзэгтэй цэгүүдийг судалж үзье. Бидэнд for and for , and for . Цэгүүд болон дериватив нь тэмдэгээ өөрчилдөг: at "+"-ээс "-" хүртэл, at at "-"-ээс "+" хүртэл. Энэ нь нэг цэгт функц хамгийн их утгатай, нэг цэг дээр хамгийн бага нь байна гэсэн үг юм; . Харьцуулахын тулд бид экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглан эгзэгтэй цэгүүдийг судалдаг. Хоёр дахь деривативыг олъё. Бидэнд: , ба энэ нь функц нь нэг цэгт максимумтай, нэг цэгт хамгийн багатай байна гэсэн үг.

Функцийн графикийн асимптотын тухай ойлголт. Хэвтээ, ташуу, босоо асимптотууд. Жишээ.

Тодорхойлолт. Функцийн графикийн асимптот гэдэг нь графын цэг эх цэгээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжих үед цэгээс энэ шулуун хүртэлх зай тэг рүү чиглэх шинж чанартай шулуун шугам юм.

Босоо (зураг 6.6 а), хэвтээ (зураг 6.6 б) ба налуу (зураг 6.6 в) асимптотууд байдаг.

Зураг дээр. 6.6a-г үзүүлэв босоо асимптот.

6.6b-р зурагт - хэвтээ асимптот.

Зураг дээр. 6.6v - ташуу асимптот.

Теорем 1.Босоо асимптотуудын цэгүүдэд (жишээлбэл, ) функц тасалддаг бөгөөд түүний цэгийн зүүн ба баруун талын хязгаар нь дараахтай тэнцүү байна.

Теорем 2.Функцийг хангалттай том, хязгаарлагдмал хязгаартай гэж тодорхойлъё

БА .

Дараа нь шулуун шугам нь функцийн графикийн ташуу асимптот болно.

Теорем 3.Функцийг хангалттай томоор тодорхойлъё, функцийн хязгаар байна. Дараа нь шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Хэвтээ асимптот нь ташуу асимптотын онцгой тохиолдол бөгөөд . Тиймээс хэрэв аль нэг чиглэлд муруй нь хэвтээ асимптоттой бол энэ чиглэлд налуу байхгүй ба эсрэгээр.

Жишээ.Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

Шийдэл. Функц тодорхойлогдоогүй үед тухайн цэгийн зүүн ба баруун талын функцийн хязгаарыг олъё.

; .

Тиймээс энэ нь босоо асимптот юм.

Ерөнхий схемфункцийг судлах, тэдгээрийн графикийг байгуулах. Жишээ.

Функцийн судалгааны ерөнхий схем мөн үүнийг төлөвлөх.

1. Тодорхойлолтын хүрээг ол.

2. Тэгш - сондгой байдлын функцийг судал.

3. Босоо асимптот ба тасалдал (хэрэв байгаа бол) цэгүүдийг ол.

4. Хязгааргүй үед функцийн үйлдлийг судлах; хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг (хэрэв байгаа бол) олох.

5. Функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг ол.

6. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олох ба графикийг схемээр барихад шаардлагатай бол нэмэлт цэгүүдийг олно.

7. Графикийг бүдүүвчээр зур.

Нарийвчилсан диаграмфункциональ судалгаа болон хуйвалдаан .

1. Тодорхойлолтын домэйныг ол .

а. Хэрэв y нь хуваагчтай бол 0 хүртэл явах ёсгүй.

б. Тэгш градусын язгуурын радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш (тэгээс их буюу тэнцүү) байх ёстой.

в. Дэд логийн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.

2. Паритет - сондгой байдлын функцийг судал.

а. Хэрэв бол функц тэгш байна.

б. Хэрэв бол функц нь сондгой байна.

в. Аль нь ч биш, үгүй ​​бол , тэгвэл ерөнхий хэлбэрийн функц юм.

3. Босоо асимптот ба тасалдал (хэрэв байгаа бол) цэгүүдийг ол.

а. Босоо асимптот нь зөвхөн функцийн тодорхойлолтын домэйны хил дээр тохиолдож болно.

б. Хэрэв ( эсвэл ) бол графикийн босоо асимптот болно.

4. Хязгааргүй үед функцийн зан төлөвийг судлах; хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг (хэрэв байгаа бол) олох.

а. Хэрэв , тэгвэл графикийн хэвтээ асимптот болно.

б. Хэрэв ба , тэгвэл шулуун шугам нь графикийн налуу асимптот болно.

в. Хэрэв a, b-д заасан хязгаарлалтууд нь зөвхөн нэг талт нь хязгааргүй (эсвэл) байх үед л байдаг бол үүссэн асимптотууд нь нэг талт байх болно: зүүн гартай үед баруун гартай.

5. Функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг ол.

а. Деривативыг ол.

б. Чухал цэгүүдийг олох (байгаа эсвэл байхгүй цэгүүд).

в. Тоон тэнхлэг дээр тодорхойлолтын домэйн болон түүний чухал цэгүүдийг тэмдэглэ.

г. Үүссэн тоон интервал бүр дээр деривативын тэмдгийг тодорхойлно.

д. Деривативын шинж тэмдгүүд дээр үндэслэн y-д экстремум байгаа эсэх, тэдгээрийн төрлүүдийн талаар дүгнэлт гарга.

е. Хэт их утгыг олох.

g. Деривативын шинж тэмдгүүд дээр үндэслэн нэмэгдэж, буурах талаар дүгнэлт гарга.

6. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олж, графикийг схемийн дагуу зурах шаардлагатай бол нэмэлт цэгүүдийг олно.

а. Графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олохын тулд тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай. Тэг байх цэгүүд нь графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд болно.

б. Графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь дараах байдалтай байна. Энэ нь тухайн цэг нь функцын домайн дотор байгаа тохиолдолд л оршино.

8. Графикийг бүдүүвчээр зур.

а. Координатын систем ба асимптотыг байгуул.

б. Хэт их цэгүүдийг тэмдэглэ.

в. Графикийн огтлолцох цэгүүдийг координатын тэнхлэгүүдээр тэмдэглэ.

г. Графикийг тэмдэглэсэн цэгүүдийг дайран өнгөрч, асимптотуудад ойртохын тулд схемийн дагуу байгуул.

Жишээ.Функцийг судалж, графикийг нь схемээр байгуул.

2. – ерөнхий хэлбэрийн үүрэг.

3. ба , дараа нь ба шулуунууд нь босоо асимптотууд; цэгүүд нь таслах цэгүүд юм. , функцын тодорхойлолтын домэйнд ороогүй үед

Функцийн максимум ба минимумыг олохын тулд та экстремумын хангалттай гурван тэмдгийн аль нэгийг ашиглаж болно. Хэдийгээр хамгийн түгээмэл бөгөөд тохиромжтой нь эхнийх нь юм.

Экстремумын эхний хангалттай нөхцөл.

Функцийг зөвшөөр у = f(x)цэгийн -хөршөөр ялгах боломжтой бөгөөд цэгийн өөрөө үргэлжилдэг. Дараа нь

Өөрөөр хэлбэл:

Алгоритм.

• Бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олдог.

Тодорхойлолтын мужаас функцийн деривативыг олно.

Бид тоологчийн тэг, деривативын хуваагчийн тэг ба дериватив байхгүй тодорхойлолтын домэйны цэгүүдийг тодорхойлдог (эдгээр цэгүүдийг гэж нэрлэдэг). болзошгүй экстремумын цэгүүд, эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөхөд дериватив нь зүгээр л тэмдэгээ өөрчилж болно).

Эдгээр цэгүүд функцийн тодорхойлолтын мужийг үүсмэл шинж тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Бид интервал тус бүр дээр деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлдог (жишээлбэл, тодорхой интервалын аль ч цэг дэх функцийн деривативын утгыг тооцоолох замаар).

Бид функц тасралтгүй байх цэгүүдийг сонгож, үүсэл нь тэмдгийг өөрчилдөг.

Жишээ.Функцийн экстремумыг ол.
Шийдэл.
Функцийн домэйн нь бодит тооноос бусад бүхэл бүтэн багц юм x = 2.
Деривативыг олох нь:

Тоолуурын тэг нь цэг юм x = -1Тэгээд x = 5, хуваагч нь тэг рүү очно x = 2. Эдгээр цэгүүдийг тооны тэнхлэг дээр тэмдэглэ

Бид интервал бүр дээр деривативын шинж тэмдгүүдийг тодорхойлдог, бид интервал бүрийн аль ч цэг дээр, жишээлбэл, цэгүүдэд деривативын утгыг тооцоолно x = -2, x = 0, x = 3Тэгээд x=6.

Тиймээс интервал дээр дериватив эерэг байна (зураг дээр бид энэ интервал дээр нэмэх тэмдэг тавьсан). Үүний нэгэн адил

Тиймээс бид хоёр дахь интервалаас дээш хасах, гурав дахь нь хасах, дөрөв дэх дээр нэмэх нь дээр тавьдаг.

Функц тасралтгүй үргэлжлэх цэгүүд ба түүний дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхийг сонгоход л үлддэг. Эдгээр нь туйлын цэгүүд юм.
Яг цэг дээр x = -1функц тасралтгүй бөгөөд дериватив нь нэмэхээс хасах тэмдэг рүү шилждэг тул экстремумын эхний тэмдгийн дагуу, x = -1функцийн хамгийн их цэг нь түүнд тохирч байна.
Яг цэг дээр x = 5функц тасралтгүй бөгөөд дериватив тэмдэг нь хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул x = -1функцийн хамгийн бага цэг нь түүнд тохирч байна.
График дүрслэл.

Хариулт: .

Функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай тэмдэг.
Болъё

хэрэв , тэгвэл хамгийн бага цэг;

хэрэв , тэгвэл хамгийн их цэг болно.

Таны харж байгаагаар энэ шалгуур нь тухайн цэг дээр дор хаяж хоёр дахь эрэмб хүртэл дериватив байхыг шаарддаг.
Жишээ.Функцийн экстремумыг ол.
Шийдэл.
Тодорхойлолтын домэйноос эхэлцгээе:

Анхны функцийг ялгаж үзье:

Дериватив нь тэг рүү очдог x = 1, өөрөөр хэлбэл, энэ нь боломжит экстремумын цэг юм.
Бид функцийн хоёр дахь деривативыг олж, утгыг нь тооцоолно x = 1:Түүнээс гадна,

y = f(x) функцийг дуудна нэмэгдэж байна (буурч байна) тодорхой интервалд, хэрэв x 1 бол< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Хэрэв дифференциал болох y = f(x) функц интервал дээр ихсэх (багарах) бол энэ интервал дээрх түүний уламжлал f " (x) > 0 болно.

(f" (x)< 0).

Цэг х одуудсан орон нутгийн хамгийн дээд цэг (хамгийн бага) функц f(x), хэрэв тухайн цэгийн хөрш байгаа бол х о, бүх цэгүүдийн хувьд f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) тэгш бус байдал үнэн байна.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг дууддаг экстремум цэгүүд, мөн эдгээр цэгүүд дэх функцын утгууд нь түүнийх юм туйлшрал.

Урьдчилсан нөхцөлэкстремум. Хэрэв цэг бол х онь f(x) функцийн экстремум цэг бол f " (x o) = 0, эсвэл f (x o) байхгүй. Ийм цэгүүд гэж нэрлэгддэг. шүүмжлэлтэй,ба функц нь өөрөө чухал цэг дээр тодорхойлогддог. Функцийн экстремумыг түүний чухал цэгүүдээс хайх хэрэгтэй.

Эхний хангалттай нөхцөл.Болъё х о- чухал цэг. Хэрэв цэгээр дамжин өнгөрөх үед f "(x). х онэмэх тэмдгийг хасах, дараа нь цэг дээр өөрчилнө х офункц нь дээд талтай, эс тэгвээс хамгийн багатай. Хэрэв эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол тухайн цэг дээр х отуйлшрал гэж байхгүй.

Хоёр дахь хангалттай нөхцөл. f(x) функц деривативтэй байг
f "(x) цэгийн ойролцоо х омөн цэг дээрх хоёр дахь дериватив х о. Хэрэв f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка х о f(x) функцийн орон нутгийн хамгийн бага (хамгийн их) цэг юм. Хэрэв =0 бол та эхний хангалттай нөхцөлийг ашиглах эсвэл илүү өндөр дериватив ашиглах хэрэгтэй.

Сегмент дээр y = f(x) функц нь эгзэгтэй цэгүүд эсвэл сегментийн төгсгөлд хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгад хүрч болно.

Нөхцөл байдлыг судлах, график зурах.

Функцийн домайныг ол

Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол

Тогтмол байдлын тэмдгийн интервалыг ол

Тэгш, сондгой байдлыг шалга

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Функцийн монотон байдлын интервалыг ол

Функцийн экстремумыг ол

Гүдгэрийн интервал ба гулзайлтын цэгүүдийг ол

Функцийн графикийн асимптотууд. Функцийн графикийг судлах, зурах ерөнхий схем. Жишээ.

Босоо

Босоо асимптот - хязгаар байгаа тохиолдолд шулуун шугам .

Дүрмээр бол, босоо асимптотыг тодорхойлохдоо тэд нэг хязгаар биш, харин хоёр нэг талт (зүүн ба баруун) хязгаарыг эрэлхийлдэг. Үүнийг янз бүрийн чиглэлээс босоо асимптот руу ойртох үед функц хэрхэн ажиллахыг тодорхойлох зорилгоор хийдэг. Жишээ нь:

Тайлбар: Эдгээр тэгшитгэл дэх хязгааргүй байдлын тэмдгүүдэд анхаарлаа хандуулаарай.

[засварлах]Хэвтээ

Хэвтээ асимптот - хязгаар байгаа тохиолдолд шулуун шугам

.

[засварлах] Ташуу

Ташуу асимптот - хязгаарыг харгалзан шулуун шугам

Ташуу асимптотын жишээ

1.

Анхаарна уу: функц нь хоёроос илүүгүй ташуу (хэвтээ) асимптоттой байж болно!

Тайлбар: Хэрэв дээр дурдсан хоёр хязгаарын ядаж нэг нь байхгүй (эсвэл -тэй тэнцүү) бол (эсвэл ) дээрх ташуу асимптот байхгүй болно!

Ташуу ба хэвтээ асимптотуудын хоорондын хамаарал

Хэрэв хязгаарыг тооцохдоо , тэгвэл ташуу асимптот нь хэвтээтэй давхцаж байгаа нь илт байна. Эдгээр хоёр төрлийн асимптотуудын хооронд ямар холбоо байдаг вэ?

Гол нь, хэвтээ асимптот нь ташуугийн онцгой тохиолдол юмцагт , мөн дээрх сэтгэгдлээс ийм дүгнэлт гарч байна

1. Функц нь зөвхөн нэг ташуу асимптоттой, эсвэл нэг босоо асимптоттой, эсвэл нэг ташуу ба нэг босоо, эсвэл хоёр ташуу, эсвэл хоёр босоо асимптоттой, эсвэл огт асимптотгүй байна.

2. 1.)-д заасан асимптотууд байгаа нь харгалзах хязгаар байгаатай шууд холбоотой.

Хоёр хэвтээ асимптот бүхий функцийн график

]Асимптотуудыг олох

Асимптотуудыг олох дараалал

1. Босоо асимптотуудыг олох.

2. Хоёр хязгаарыг олох

3. Хоёр хязгаарыг олох:

Хэрэв 2.), дараа нь , мөн хязгаарыг хэвтээ асимптотын томъёог ашиглан хайна, .